CAPITOLUL II METODE DIRECTE DE CALCUL A INVERSEI UNEI MATRICE 2.1. Metoda complemenţilor algebrici Dacă A = (a ij ) M n (C), pentru aflarea inversei matricei date se procedează astfel: se calculează transpusa matricei şi apoi se înlocuiesc elementele sale prin complemenţii algebrici ai lor. Matricea astfel obţinută se numeşte matrice adjunctă (sau asociată, sau reciprocă) matricei A şi se notează A*. Inversa matricei A este A -1 = A*. Explicit, această metodă decurge astfel: A = Calculăm det A. Dacă d = det A 0, atunci matricea A este inversabilă. Scriem matricea transpusă a matricei A, schimbând în matricea A liniile cu coloanele. t A = Scriem matricea adjunctă a matricei A, notată A*, înlocuind fiecare element al matricei transpuse t A prin complementul său algebric, notat d ij = (-1) i+j A ij , i, j = , unde A ij
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CAPITOLUL II
METODE DIRECTE DE CALCUL
A INVERSEI UNEI MATRICE
2.1. Metoda complemenţilor algebrici
Dacă A = (aij) Mn (C), pentru aflarea inversei matricei date se procedează astfel: se
calculează transpusa matricei şi apoi se înlocuiesc elementele sale prin complemenţii algebrici
ai lor. Matricea astfel obţinută se numeşte matrice adjunctă (sau asociată, sau reciprocă)
matricei A şi se notează A*.
Inversa matricei A este A-1 = A*.
Explicit, această metodă decurge astfel:
A =
Calculăm det A. Dacă d = det A 0, atunci matricea A este inversabilă.
Scriem matricea transpusă a matricei A, schimbând în matricea A liniile cu coloanele.
tA =
Scriem matricea adjunctă a matricei A, notată A*, înlocuind fiecare element al matricei
transpuse tA prin complementul său algebric, notat dij = (-1)i+jAij, i, j = , unde Aij este
minorul elementului aij din matricea tA (determinantul obţinut din tA prin eliminarea liniei i şi
a coloanei j).
Complemenţii algebrici se mai numesc şi cofactori.
Deci:
A* =
Împărţim toate elementele matricei A* prin valoarea determinantului d (d = detA) şi
matricea obţinută este A-1.
Avem: A-1 = A* sau, explicit:
A-1 = , d 0
Se verifică că are loc:
Pentru exemplificare, considerăm matricea:
A =
Să se determine inversa matricei A şi apoi să se verifice prin calcul direct relaţia:
Calculăm determinantul său şi obţinem:
d = detA = =
Determinantul său fiind nenul, matricea sa este inversabilă şi
Scriem transpusa:
tA =
Determinăm complemenţii algebrici ai elementelor matricei tA, de forma
Deci,
Se constată că:
- înmulţim linia 1 cu coloana 1 şi obţinem:
- înmulţim linia 1 cu coloana 2 şi obţinem:
- înmulţim linia 1 cu coloana 3 şi obţinem:
- înmulţim linia 2 cu coloana 1 şi obţinem:
- înmulţim linia 2 cu coloana 2 şi obţinem:
- înmulţim linia 2 cu coloana 3 şi obţinem:
- înmulţim linia 3 cu coloana 1 şi obţinem:
- înmulţim linia 3 cu coloana 2 şi obţinem:
- înmulţim linia 3 cu coloana 3 şi obţinem:
Analog, se arată că
2.2. Metoda ecuaţiei caracteristice
Această metodă poartă acest nume pentru că, în cele ce urmează, vom calcula inversa
matricei , nesingulară, cu ajutorul ecuaţiei ei caracteristice.
Determinantul caracteristic al matricei A, det (E – A), este de fapt un polinom de
gradul n în raport cu .
Ecuaţia det (E – A) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A.
Utilizând coeficienţii polinomului, precum şi puterile A, A2, A3, ......, An-1 ale matricei
A, se poate obţine relativ uşor inversa
(2.2.1.) det (E – A) =
Atunci, conform identităţii lui Hamilton-Cayley, avem:
(2.2.2.) ,
Înmulţind (2.2.2.) cu obţinem:
(2.2.3.) ,
Din această ecuaţie determinăm pe :
(2.2.4.)
Deci, cunoscând coeficienţii polinomului caracteristic al matricei A şi calculând
puterile acestei matrice până la a n-1 putere, matricea A-1 se calculează după formula (2.2.4.)
Această metodă de inversare se utilizează în cazul matricelor de ordin nu prea mare,
pentru că în acest caz ridicarea la putere devine anevoioasă, fapt pentru care se propune o
metodă iterativă:
(2.2.5.) , unde A1 = A
reprezintă suma elementelor diagonalei matricei şi se numeşte de obicei
„urma” matricei .
Inversa căutată se determină prin formula:
(2.2.6.)
care prezintă avantajul că în loc să calculăm puterile matricei A: A, A2, ..., An-1, se calculează
şirul A, A1, ..., An, după (2.2.5.).
2.3. Metoda eliminării Gauss-Jordan
Definiţia 2.3.1. Fie matricea
Se numeşte pas Gauss-Jordan modificat transformarea elementelor matricei după
algoritmul următor:
(i)alegerea unui element nenul , numit pivot;
(ii) înlocuirea pivotului cu 1;
(iii) înlocuirea celorlalte elemente ale coloanei pivot cu 0;
(iv) împărţirea celorlalte elementei ale liniei pivot la pivot;
(v) calcularea celorlalte elemente ale matricei după regula determinantului de ordin 2,
considerând diagonala principală diagonala pivotului şi împărţire la elementul
pivot.
Observaţii (2.3.1.)
(i)dacă pivotul nu e în prima linie şi prima coloană, se efectuează schimbări de linii şi
coloane;
(ii) prin efectuarea unui pas Gauss-Jordan modificat, rangul matricei se păstrează.
Teorema 2.3.1. Dacă , atunci rang A = numărul maxim de paşi
Gauss-Jordan modificaţi ce se pot efectua cu elementele matricei A.
Observaţia 2.3.2. Dacă şi rang A = n, A este inversabilă, atunci există
A-1. Inversa lui A se găseşte efectuând cei n paşi Gauss-Jordan modificaţi cu elementele
matricei (A, In).
este matricea unitate de ordin n.
După efectuarea lor, în locul matricei A se obţine matricea unitate In, iar în locul
matricei unitate se obţine A-1.
Pentru exemplificare, considerăm matricea:
Să se afle inversa matricei şi apoi să se verifice prin calcul direct relaţia:
, unde I3 este matricea unitate de ordin 3.
A I3
1 1 1 1 0 01 2 3 0 1 01 4 9 0 0 1
I1 1 1 1 0 00 1 2 -1 1 00 3 8 -1 0 1
II1 0 -1 2 -1 00 1 2 -1 1 00 0 2 2 -3 1
III
1 0 0 32
5
0 1 0 -3 -4 -1
0 0 1 12
3
I3 A-1
Prin bordare asupra pivotului, obţinem, succesiv:
Iteraţia I:
; 1 : 1 = 1
; 2 : 1 = 2
; 3 : 1 = 3
; 8 : 1 = 8
; -1 : 1 = -1
; 1 : 1 = 1
; 0 : 1 = 0
; -1 : 1 = -1
; 0 : 1 = 0
; 1 : 1 = 1
Iteraţia II:
; 1 : 1 = 1; ; -1 : 1 = -1
; 2 : 1 = 2; ; -1 : 1 = -1
; 0 : 1 = 0; ; 0 : 1 = 0
; 2 : 1 = 2; ; 2 : 1 = 2
; -3 : 1 = -3; ; 1 : 1 = 1
Iteraţia III:
;
;
;
;
;
Verificare:
Analog se verifică şi că , ceea ce confirmă corectitudinea aflării lui .
2.4. Metoda de eliminare a lui Gauss
Fie matricea , detA 0 (matrice pătrată de ordinul n), , a cărei
inversă vrem s-o determinăm. Pentru aceasta se utilizează relaţia principală:
(2.4.1.) ,
In este matricea unitate de ordinul n:
Înmulţind matricele A şi A-1 se obţin n sisteme de ecuaţii liniare cu n necunoscute.
Coeficienţii acestor sisteme sunt elementele matricei A-1, xij, , iar termenii liberi sunt
elementele matricei unitate In.
Se observă că aceste sisteme se pot scrie sub următoarea formă:
(2.4.2.)
unde şi
şi
..........
şi
Cele n sisteme de n ecuaţii liniare, având aceeaşi matrice A, se pot rezolva simultan
prin metoda Gauss.
Metoda constă în a elimina la fiecare pas câte o necunoscută, obţinându-se un sistem
echivalent cu sistemul iniţial, sistem de n-1 ecuaţii cu n-1 necunoscute. La ultimul pas,
sistemul se transformă într-un sistem echivalent, format dintr-o singură ecuaţie cu o singură
necunoscută.
Se începe apoi determinarea necunoscutelor în sens invers, începând cu determinarea
ultimei necunoscute din sistemul intermediar.
Construim tabela formată din matricea A şi de coloanele termenilor liberi e1, e2, ..., en.
e1 ... ei ... en b
e1 a11 ... a1j ... a1n 1 ... 0 ... 0 b1
e2 a21 ... a2j ... a2n 0 1 0 ... 0 b2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ei ai1 ... aij ... ain 0 ... 1 ... ... bi
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
en an1 ... anj ... ann 0 ... 0 ... 1 bn
Descriem calculele din această tabelă, care se numeşte „tabela cu împărţire”.
Împărţim elementele primei linii la primul ei element a11 0, astfel:
, , ..., ,..., ,
Elementele astfel obţinute: 1, b12, ..., b1j, ..., b1n, v1, 0, 0, ..., 0 se trec în linia n+1 a
tabelei. Când a11 = 0 se face o permutare de linii sau coloane. Înmulţim elementele 1, b12, ...,
b1j, ..., b1n, v1, ..., 0 cu elementul conducător a21, iar produsele obţinute le scădem din
elementele corespunzătoare liniei a doua. Obţinem astfel linia întâi din primul sistem
intermediar Sn-1. Apoi înmulţim tot elementele 1, b12, ..., b1j, ..., b1n, v1, ..., 0 cu elementul
conducător a31 şi scăzând produsele obţinute din elementele liniei a treia se obţine astfel a
doua linie din sistemul Sn-1.
În general, înmulţind elementele 1, b12, ..., b1j, ..., b1n, v1, ..., 0 cu elementul conducător
ai1, scăzând produsele obţinute din linia i, obţinem linia i-1 din sistemul Sn-1.
Procedând analog cu sistemul intermediar Sn-1, găsim al doilea sistem intermediar Sn-2,
ş.a.m.d.
Continuând în acest mod obţinem un sistem Sn, ca urmare a împărţirii ecuaţiilor:
, respectiv cu . În tabelă vom nota coeficienţii ecuaţiilor care
formează acest sistem cu bik, unde bii = 1.
Observaţie:
Dacă în sistemul dat Sn facem transformarea , (i = 1, 2, ..., n) atunci obţinem
sistemul transformat cu necunoscutele . Se observă că cele două sisteme au aceeaşi
matrice A, ele deosebindu-se doar prin termenii liberi. Termenul liber din ecuaţia i a
sistemului se obţine făcând suma coeficienţilor şi termenului liber din ecuaţia i a sistemului
Sn şi se mai numeşte suma de control pentru ecuaţia i a lui Sn.
Aceste sume de control se trec în coloana notată . La fiecare pas în rezolvarea
problemei se obţine un sistem intermediar pentru sistemul ale cărui necunoscute sunt xij unde
i, j , cât şi pentru sistemul ale cărui necunoscute sunt . Construind aceste sisteme
intermediare se verifică dacă într-adevăr suma de control dintr-o linie coincide cu suma
elementelor, inclusiv şi termenul liber din linia respectivă. În caz afirmativ, se continuă să se
calculeze. Se procedează analog şi când se trece la determinarea necunoscutelor, adică se
trece la calcularea necunoscutei următoare doar dacă .
Numărul operaţiilor.
Pentru calculul matricei inverse A-1 avem de rezolvat cele n sisteme din formula
(2.4.2.)
Pentru transformarea matricei A într-o matrice triunghiulară efectuăm:
împărţiri
înmulţiri şi tot atâtea adunări.
Pe lângă acestea, pentru calculul termenilor liberi avem:
- la sistemul Sn : 1 împărţire, n-1 înmulţiri, 0 adunări;
- la sistemul Sn-1: 2 împărţiri, 2(n-2) înmulţiri, n-2 adunări;
- la sistemul Sn-2: 3 împărţiri, 3(n-3) înmulţiri, 2(n-3) adunări;