Elettrotecnica T Capitolo 2 Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione 1 2. Introduzione alla Teoria dei Circuiti Elettrici Teoria dei Circuiti La teoria dei circuiti elettrici (electric circuit theory)e la teoria dei campi elettromagnetici (electromagnetic fields theory) sono le due teorie fondamentali su cui si basano tutti i settori dell’Ingegneria Elettrica ed Elet- tronica (Electrical and Electronic Technology). Molti di questi settori, come la produzione, la trasmissione e l'utilizzazione dell’energia elettrica, le macchine e gli azionamenti elettrici, l’elettronica di segnale e l’elettro- nica di potenza, il controllo automatico, l’elettronica per le telecomunicazioni, la strumentazione di misura elet- trica ed elettronica sono state sviluppate grazie princi- palmente alla teoria dei circuiti elettrici. Buona parte dell’Ingegneria Elettrica riguarda il trasferi- mento di segnali elettrici o dell’energia elettrica da un punto ad un altro. Durante il trasferimento il segnale viene in parte elaborato o trasformato. Ciò richiede un’interconnessione di dispositivi elettrici che operano e trasformano il segnale. L’interconnessione viene attuata per mezzo di un circuito e ciascun suo componente è detto elemento circuitale (circuit element), il quale interviene sul segnale elettrico. Nella prima figura a fianco l’energia elettrica fornita al circuito dalla batteria, viene trasferita alla lampada, viene da essa utilizzata ed è trasformata in luce. Il circuito elettrico è formato da due elementi circuitali: batteria e lampada. Tali elementi sono connessi fra loro. La seconda figura si riferisce ad un impianto per il trasporto di potenza ad alta tensione (400 kV). Nella terza e nella quarta figura sono mostrati due esempi che riguardano l’elaborazione del segnale. Nella terza figura è mostrato un circuito stampato di una sceda elettronica di controllo. Nella quarta figura è mostrata una sezione ingrandita al micro- scopio elettronico di una CPU per calcolatore elettronico a cinque strati. Tutti questi apparati sono stati progettati utilizzando la teoria circuitale. Il termine circuito elettrico indica il luogo fisico in cui av- vengono fenomeni elettromagnetici. L'altro significato del termine circuito elettrico riguarda i modelli matema- tici che lo descrivono. Di solito il termine viene utilizzato per indicare i circuiti e i relativi modelli che soddisfano la descrizione per mezzo di parametri concentrati (lumped parameters). Questa ipotesi considera tutti i fenomeni elettromagnetici concentrati all'interno di corpi fisici (resistori, condensatori, induttori, generatori di tensione e di corrente, diodi, transistori, amplificatori operazionali). Questi sono gli elementi circuitali che compongono il circuito. Le cariche elettriche si muovono
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TeoriadeiCircuitiLateoriadeicircuitielettrici(electriccircuittheory)elateoriadeicampielettromagnetici(electromagneticfieldstheory)sonoledueteoriefondamentalisucuisibasanotutti isettoridell’IngegneriaElettricaedElet-tronica (ElectricalandElectronicTechnology).Moltidiquestisettori,comelaproduzione, latrasmissioneel'utilizzazione dell’energia elettrica, le macchine e gliazionamentielettrici,l’elettronicadisegnaleel’elettro-nicadipotenza,ilcontrolloautomatico,l’elettronicaperletelecomunicazioni, lastrumentazionedimisuraelet-tricaedelettronicasonostatesviluppategrazieprinci-palmenteallateoriadeicircuitielettrici.Buonapartedell’IngegneriaElettricariguardailtrasferi-mentodi segnali elettriciodell’energiaelettricadaunpunto ad un altro. Durante il trasferimento il segnaleviene in parte elaborato o trasformato. Ciò richiedeun’interconnessionedidispositivielettricicheoperanoetrasformanoilsegnale.L’interconnessionevieneattuatapermezzodiuncircuitoeciascunsuocomponenteèdettoelementocircuitale(circuitelement),ilqualeintervienesulsegnaleelettrico.Nellaprimafiguraafiancol’energiaelettricafornitaalcircuitodallabatteria,vienetrasferitaallalampada,vienedaessautilizzataedètrasformatainluce.Ilcircuitoelettricoèformatodadue elementi circuitali: batteria e lampada.Talielementisonoconnessifraloro.Lasecondafigurasiriferisce adun impiantoper il trasportodi potenza adaltatensione(400kV).Nellaterzaenellaquartafigurasonomostratidueesempicheriguardanol’elaborazionedel segnale. Nella terza figura è mostrato un circuitostampato di una sceda elettronica di controllo. Nellaquartafiguraèmostrataunasezioneingranditaalmicro-scopioelettronicodiunaCPUpercalcolatoreelettronicoacinquestrati.Tuttiquestiapparatisonostatiprogettatiutilizzandolateoriacircuitale.
Ilterminecircuitoelettricoindicailluogofisicoincuiav-vengono fenomeni elettromagnetici. L'altro significatodelterminecircuitoelettricoriguardaimodellimatema-ticichelodescrivono.Disolitoilterminevieneutilizzatoperindicareicircuitieirelativimodellichesoddisfanola descrizione per mezzo di parametri concentrati(lumped parameters). Questa ipotesi considera tutti ifenomeni elettromagnetici concentrati all'interno dicorpifisici(resistori,condensatori,induttori,generatoriditensioneedicorrente,diodi,transistori,amplificatorioperazionali). Questi sono gli elementi circuitali checompongonoilcircuito.Lecaricheelettrichesimuovono
IlBipoloElettricoL’elementocircuitaleadueterminali(twoterminalelement),anchedettoelementocircui-taleaduepolioelementocircuitalebipolareosemplicementebipolo,consisteinunasuper-ficiechiusaSdacuiemergonodueterminali.TuttiifenomenielettromagneticiEMsonoconfi-natiall’internodiS.Quindiall’internodellasuperficieSdelbipoloilcampoelettricoEpuòes-serenon-conservativo,𝜕B/𝜕te𝜕D/𝜕tpossonoesserenon-nulli.All’esternodiS tutti i feno-meniEMsonosilenti:ilcampoEèsempreconservativo,𝜕B/𝜕te𝜕D/𝜕tsonosemprenulli.Per-ciòlasuperficiedell’elementocircuitalehafunzionedischermoperifenomeniEM.Lostatodell’elementocircuitaleadogniistanteèdescrittodalladiffe-renzadipotenzialevfraisuoidueterminalielacorrenteicheloattra-versa.Lacorrentechefluisceattraversoilbipolo,èlacorrenteentrantedaunterminale,correnteugualeaquellauscentedalterminaleoppostoperlasolenoidalitàdiJt.Peridueterminalidelbipolo,all’esternodellasuper-ficiechiusaSdelbipolostesso,𝜕D/𝜕tènullaeJcoincideconJt.QuindiancheJèsolenoidale.LacorrentediconduzionetotaleuscentedaSènulla.LacorrentetotaleuscentedaSèdatadallasommaalgebricadelleduecorrentiuscentidaidueterminali.Perciòlacorrenteentrantedaunterminaleèugualeallacorrenteuscentedall’altro.PoichéilcampoelettricoEèconservativo,aldifuoridellasuperficiechiusadell’elementocir-cuitale,sidefinisceunafunzionepotenzialef(x,y,z)=-v(x,y,z)cheassumesuidueterminali1e2rispettivamenteivaloriv1ev2eladifferenzadipotenzialev=v1-v2rappresentalatensionedelbipolo.Nellateoriacircuitaleunbipolocostituisceunramodelcircuito(circuitbranch).Lacorrenteièdettacorrentediramo(branchcurrent)efluiscedalterminaleapotenzialemaggiorealterminaleapotenzialeminore.Ladifferenzadipotenzialev=v1-v2èdettatensionediramo(brenchtensionobranchvoltage).
Qualorasiadottilaconvenzioneprecedentementedescrittasecondocuiunacorrentepositivaentradalterminaleapotenzialemaggiore,l’espressionesopradefinitaesprimelapotenzaas-sorbitadalbipolo.Quindiunacorrentepositivaentrantedalterminaleapotenzialemaggioredaorigineadunapotenzaassorbitadalbipolopositiva(convenzionedell’utilizzatoreodelbi-polopassivo).Elementocircuitaleadnterminali(n-polo)Unelementocircuitaleconnterminali,opoli,conn>2vienedettoelementocircuitaleadnpoli on-polo (n-terminalcircuitelement).Sceltounterminalediriferimento(M.0),adessovengonoriferiteletensionideglialtrinodi(M.1,M.2,M.3,…,M.n-1). Infatti, poiché E è conservativo all’esterno dell’ele-mentocircuitale,letensionisonoledifferenzefrailpo-tenziale agli n-1 nodi di non-riferimento (M.1, M.2, …,M.n-1)edilpotenzialealnododiriferimentoM.0:
Inoltresiassumonopositivelecorrentientrantineinodinondiriferimento(i1,i2,i3,…,in-1)elacorrenteuscentedal nodo di riferimento (i0). Per la solenoidalità di Jall’esternodell’elementocircuitalerisulta:
i0=i1+i2+….+in-1Lo stato dell’n-polo è definito da n-1coppiedivaloritensione-corrente:
v1,v2,v3,….,vn-1i1,i2,i3,……,in-1
Perciò l’elementocircuitaleadntermi-nali è equivalenteadn-1bipoli conunnodoincomune(stelladin-1bipoli).Ilnodoincomuneèilnododiriferimentodell’n-polo.L’n-poloquindicorrispondead una porzione di un circuito ad n-1
In figuraèmostratouncircuitoconcin-cinqueelementicircuitali.L’elementoAèunbipolo,equindièrappresentatodaunramo. L’elemento B ha 6 terminali (6poli). Esso equivale a 5 bipoli a stella eperciò è rappresentato da 5 rami in uncircuitoteoricoequivalente.L’elementoCda2rami,l’elementoDda6ramiel’ele-mentoEda3rami.Ilcircuitoperciòèfor-matoda1+5+2+6+3=17ramie11nodi.Ilsuostatoèdescrittoda17coppiediva-lori, le 17 tensioni e le 17 correnti diramo.Perciascunodei17ramisonodefinitealtrettanteequazionidiramo.Inuncircuitosiindividuanodellemaglie.Unamaglia(loop)èunqualunquepercorsochiusocostituitodaramidelcircuitopassanteperognunoditaliramiunavoltasola.
Legge di Kirchhoff delle correnti(LKC)SiconsideriunasuperficiechiusaSCchecon-tengaunaporzionediuncircuitochepassiperalcuni nodi del circuito e chenon intersechielementicircuitali.LaleggediKirchhoffdellecorrenti (LKC – Kirchhoff current law) af-fermachelasommaalgebricadellecorrentiuscentidallasuperficiechiusaènulla.
SullasuperficieSC,chenonintersecaelementicircuitali,𝜕D/𝜕tènulloeJtcoincideconJ.Perlasolenoidalitàdi Jt, sulla superficie chiusaSC il flusso totaledelladensitàdicorrente,equindidellacorrentediconduzione,uscentedallasuperficiechiusaSCènullo:
∯ 𝐉 ∙ 𝐧%dS𝐒𝐂= 0
Tale flusso è dato dalla somma algebrica delle correntiuscentidallasuperficieSC.QuindidallaLKCsiottienechelasommaalgebricaditalicorrentiènulla:
LeggediKirchhoffdelletensioni(LKT)SiconsideriunalineachiusalCchepassiperalcuninodidiuncircuitoenonintersechielementicir-cuitali. Poiché il vettore campo elettricoE è unvettore conservativo all’esterno degli elementicircuitalilacircuitazionediElungolCènulla:
Poichégli integralidi lineaconsideratisono integralidiunvettoreconservativopercuiE=- Ñv(x,y,z),essisonougualialledifferenzefraivalorichelafunzionepotenzialev(x,y,z)assume su nodi successivi per cui passa la linea lC. QuindidallaLKTsiottienechelasommaalgebricadelledifferenzedipotenziale fra inodipercuipassauna lineachiusaènulla:
Iregimichevengononormalmentedescrittidalsistemadiequazionichesiottienedalleequa-zionitopologicheedalleequazionidiramosono:ilregimeincorrentecontinuaCC(DC)incuilecorrentieletensionisonocostantineltempo,ilregimeincorrentealternataCA(AC)incuitaligrandezzesonodescrittedafunzionisinusoidalineltempoafre-quenzadataedilregimetransitoriocongrandezzeelettrichetempo-dipendenti.EsempiodianalisicircuitaleIlcircuitoinfiguraècompostodatrerami(r=3)eduenodi(n=2).Siindividuanoquinditrecorrentidiramoetre tensionidiramo.Nelcaso inesame leequazionitopologichesonotreetresonoleequazionidiramo.Ilproblemacircuitaleconsistequindidiseiequazioniinseiincognite.DalleleggidiKiechhoffsiottengonon-1=1equazionedinodoer-n+1=2equazionidimaglia.Quindi le treequazionitopologichesono:
i1-i2-i3=0-v1-v2=0v2-v3=0
Leequazionicaratteristichedeglielementicircuitali(equazionidiramo)sononoteinquantodatidelproblema.Essesonoinnumeroparialnumerodeirami. NeiramidelcircuitosonopresentitreresistorieduegeneratoriditensioneinCC(correntecontinua).Le equazioni caratteristiche di questi ele-menti circuitali sono riportate nelle due fi-gurea fianco.LeresistenzeR1,R2edR3e letensionideigeneratorivs1evs2sonodatidelproblema.Letreequazionicaratteristichedeitreramidelcircuitosono:
L’equazionecaratteristicachedefinisceillegamefratensionediramov,differenzadipoten-zialefraidueterminalidelramo,ecorrentediramoi,chevifluisceattraverso,èdefinitadaifenomenifisicicheavvengonoalsuointerno.Senell’equazione caratteristica la correnteappare come incognita indipendente, il bipolo sidiceesserecontrollatoincorrente:
Ilbipolopassivoassorbeocomunquenonproduceenergia.Perlacon-venzionedelbipolopassivolacorrentediramoèpositivaqualoraentrinel bipolo dal terminale a potenzialemaggiore. Secondo tale conven-zionel’energiaw(t)delbipolosinoaltempotrisultapositivaonulla:
BipoliidealipassiviIbipoliidealipassivisono:ilresistoreideale(idealresistor)ilcondensatoreideale(idealcapacitor)e l’induttore ideale (ideal inductor). Ciascuno diquesti elementi descrive un singolo processo elet-tromagnetico (EM) elementare. In un bipolo realenonèmaipresenteununicoprocessoEM,ancheseunodeitreèilprocessodominante.Leequazionica-ratteristicheperitrebipoliidealisono:
- resistore: v(t)=Ri(t)
- condensatore: v(t)=+, ∫ i-t'/dt't
-∞
- induttore: v(t)=L !"!#
IlresistoreIlresistoreèunelementobipolarepassivochedissipaener-gia.Ilcampoelettricofornisceenergiaallecaricheelettricheaccelerandole.L’energiaelettricadivieneintalmodoener-gia cinetica delle particelle carche associata alla correnteelettricacheattraversailresistore.Lecaricheelettricheinmotourtanocontroleparticelledelmaterialeconcuiilresi-storeècostituitoecedonoloropartedellapropriaenergiacineticachedivieneenergiatermicadiquestomateriale.Permantenere inmoto le cariche e la corrente elettrica asso-ciata,ènecessariofornireallecarichel’energiaspesanegliurtisottoformadilavorodelcampoelettrico,lavorochedi-pendedallatensioneacuiilresistoreèsottoposto.Inunresistorevièunarelazionefravelocitàdellecaricheelettriche e lavoro speso per mantenere tale velocità equindifracorrenteelettricaetensionedelresistore:
v(t)=Ri(t)dove R è la resistenza elettrica(electrical resistance), caratteri-sticadelresistore,lacuiunitàdimi-sura nell’SI è l’ohm [simbolo: W].L’inversodellaresistenzaG=1/Rèla conduttanza (conductance),L’unità dimisura della conduttanzanell’SI[simbolo:S].La resistenza elettrica definisce laproprietàdelresistorediopporsialflussodicaricaeperciòallacorrenteelettrica che attraversa il resistorestesso.Essaèdatadallatensionene-cessariapermantenereunacorrenteunitaria:
v=RiÞR=v/iRèunagrandezzamacroscopica.Laproprietà microscopica del mate-rialediopporsialflussodicaricaperunità di superficie perpendicolarealla densità di corrente è la resisti-vitàr: r=1/s
Ilcondensatoreèunelementobipolarepassivocheassorbeenergia dal circuito e l’immagazzina sotto forma di energiaelettrostatica. Èpoi ingradodi restituirecompletamentealcircuito l’energia immagazzinata. Il condensatore è un ele-mentoconmemoria(storageelement).Ilcondensatoreèco-stituitodaduearmature(conductingplates),piastredima-terialeconduttore,separatedaunisolante.Unacaricaqpor-tata su una delle due armature conduttrici induce nell’iso-lanteuncampoelettricocherichiamaunacaricaugualeedop-posta–qsullaarmaturaopposta.Sigeneraaseguitodiciòuncampoelettriconellaregionedell’isolante,originediunaten-sionefraleduearmature.L’energiaimmagazzinataaseguitodell’accumulodicaricavienefornitaalcondensatoredalcircuito.Essavienerestituitaalcir-cuitoquandolecarichelascianolearmature.Larelazionefrailmodulodellacaricaqsull’armaturaelatensionevfraleduearmatureindottadaqèingeneralelaseguente:
q(t)=Cv(t)Þi(t)=C dv(t)dt La capacità (capacitance) C del condensatore nel si-stemaSIsimisurainfarad[simboloSI:F].Essaèlaca-ricarichiamatasuciascunadelleduearmatureperunitàditensione.Considerandouncondensatorecostituitodaduearmatureuguali,pianeeparallele,disuperfi-cieAedadistanzad(sivedafigura),perunisolanteuniformelacapacitàCèdatada
dv/dt,unavariazionefinitadellatensioneinuntempoinfinitesimocomporterebbeunacaricaelettricaedunacorrenteinfinite.Inoltreancheunavariazionefinitadellacaricapresenteinciascunadelleduearmatureinuntempoinfinitesimo comporterebbe una corrente infinita. Ciò non è fisicamente possibile.Quindiilcondensatoresiopponeasaltiistantaneidellatensioneedellacaricaelettrica.
Ø Dall’espressionedell’energia di un condensatore, unavariazionefinitadellatensioneedellacaricacomporte-rebberounavariazionefinitadell’energiaelettrostaticaimmagazzinata in un tempo infinitesimo. Ciò corri-sponde ad una potenza infinita in quell’istante ditempo.Quindi,peravereunsaltofinitodellacaricaedellatensioneinuncondensatore,ènecessariaunapo-tenzainfinita.
L’induttoreL’induttoreèunelementobipolarepassivoche,attraver-satodaunacorrenteelettrica, induceuncampodi indu-zionemagnetica ed un flussomagnetico associato. Essoperciòassorbeenergiadalcircuitopergenerareilcampo,eimmagazzinataleenergiasottoformadienergiaelettro-magnetica.Quandolacorrente,ediconseguenzailflussomagneticodiminuiscono,essorestituiscealcircuitol’ener-giaimmagazzinata.L’induttoreèl’altroelementoconme-moria(storageelement)dellateoriacircuitale.Ésolitamentecostituitodaunconduttorepercorsodacor-renteavvoltoattornoadunnucleodimaterialeferroma-gnetico(vedifigura).Lacorrentegeneraunflussomagne-tico nel nucleo. Una variazione del flusso induce per laleggedell’induzione(2°leggediMaxwell)unatensioneaicapidelconduttore,terminalidell’induttorestesso.
Ø Poichéinuninduttorev=Ldi/dt,unavariazionefinitadellacorrenteinuntempoinfinitesimocomporterebbeuna tensione infinita. Ciò non è fisicamente possibile.Quindil’induttoresiopponeasaltiistantaneidellacor-renteelettrica.
Ø Dall’espressionedell’energiadiuninduttore,unavaria-zione finita della corrente comporterebbe una varia-zionefinitadell’energiamagneticaimmagazzinatainuntempoinfinitesimo.Ciòcorri-spondeadunapotenzainfinitainquell’istanteditempo.Quindi,peravereunsaltofinitodellacorrenteinuninduttoreènecessariaunapotenzainfinita.
L’induttore è un bipolo passivo che non dissipa energia.L’energiavieneimmagazzinatasottoformadienergiaelet-tromagnetica. L’energia viene utilizzata per creare ilcampo magnetico indotto dalla corrente che fluisce nelconduttoreavvoltoattornoalnucleo.L’energiaimmagaz-zinataèpoirestituitaquandolacorrentediminuisce.
Bipoliattivi:generatoriindipendentiI generatori indipendenti di ten-sione e di corrente ideali sono ri-portati in figura. Essi sono le sor-genti indipendenti del circuito. Ilgeneratore indipendente di ten-sione con tensione comunque va-riabile nel tempo è rappresentatodal primo simbolo a sinistra in fi-gura. Il secondo simbolo rappre-sentaungeneratoreditensionecostante(batteriaodaccumulatore).Ilterzosimbolosiriferi-sceadungeneratoredicorrenteindipendente.
IlgeneratoreindipendenteditensionePerilgeneratoreindipendenteditensioneideale,latensionegeneratanonvariaalvariaredellacor-rentecheattraversa ilbipolo. Inquesta ipotesisitrascura la resistenza internadelbipolo chepro-duceunatensionechesiopponeallatensionege-nerataecheaumentaall’aumentaredellacorrente.
Poichéneigeneratorirealilatensioneindottadallaresistenza interna al passaggio della corrente siopponeallatensionedelgeneratore,essaèanchedettaunacadutaditensione.Ungeneratoreindipendenterealeèperciòrappre-sentato da un ramo con un generatore ideale ditensione in serie (vedi figura) ad una resistenzacheèlaresistenzainternaRidelgeneratorereale(duebipoliinseriehannounterminaleincomunee la stessa corrente attraversa prima l’uno e poil’altrobipolo).Latensioneaiterminalidelgenera-torerealeèperciòdatadallatensionedelgenera-toreidealevsmenolacadutaditensionedovutaalpassaggiodicorrenteattraversolaresistenzainterna:
i=is–v/Ri ove isè lacorrentegeneratadalgeneratore idealeev/Rièlacorrentechericircolaall’internodelgenera-torerealeattraversolaresistenzainterna.Qualorasicolleghialgeneratorerealeunaresistenzadi caricoRL,dallaLKCsiottiene:
i–iS+vL/Ri=0vL=RLi ovevLèlatensioneaicui
èsottopostoilcarico.
Þ i= <%<$=<%
iS
GeneratoripilotatiNei generatori pilotati o generatoridipendenti di tensione o di corrente(controlledsources–dependantsources)latensione generata o la corrente generatadipendonodalla tensioneodalla corrente inunaltroramodelcicuito.
Le equazioni caratteristiche dei generatoripilotatisono:
CircuitoapertoUnramoincircuitoaperto(opencircuit)nonpermetteilpassaggiodi corrente per qualsiasi valore della tensione ai due terminali delramo. Questo ad esempio è il comportamento di un interruttoreaperto.Unramoincircuitoapertopuòessereconsideratocome:
IldiodoIldiodoideale(idealdiode)èunbipolochefungedacir-cuitoapertoperunacorrentepositivaedacircuitochiusoperunacorrentenegativa.Quandov<0(diodopolariz-zatonegativamente) la correnteènulla. Quando i>0(diodoinconduzione)latensioneènulla.L’equazioneca-ratteristicadeldiodoidealeè:
SeriediresistoriDue o più resistori si dicono in serie(in series) quando sono posti uno diseguitoall’altro(vedifigura).Inodiincomunecolleganoesclusivamenteduedei resistori in serie. Attraverso cia-scun resistore fluisce la stessa cor-rente.Dallafigurasiottiene:
v1,n=v12+v23+....+vn-1,n
v12 = R1i, v23 = R2i, .... , vn-1,n = Rn-1i Þ
Þ v1,n = i (R12 + R23 + … + Rn-1,n) Þ
Þ Req=(R12 + R23 + … + Rn-1,n)=∑ 𝑅012+03+
Req è la resistenza equivalente alla serie di resistori attraverso cui per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n fluisce la medesima corrente. Si ha anche:
Req è la resistenza equivalente al parallelo di resistori attraverso cui per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversata dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano i resistori in parallelo posti fra quella tensione. Si ha anche:
PartitoredicorrenteLacorrenteentranteiningressoinunterminalecollegatoapiùresistoriinparallelosisuddividefradiessiinmodotaleper cui la corrente attraverso ciascun resistore è diretta-menteproporzionalealrapportofralapropriaconduttanzaelaconduttanzatotaledelparallelo.Perilcircuitoinfiguracondueresistoriinparallelosiha:
Geq=1/R1+1/R2=1/Req=!)"!#!)!#
Þ v=Is/Geq=ReqIs=R1R2R1+R2
ISDaleggeLKC:
i1+i2-Is=0
Þ i1=Is–i2=Is–G2vÞi1=Is–G2Is/GeqÞi1=Is5'5()
Þi1= 6*6'76*
Is
i2=Is–i1=Is–G1v Þi2=Is–G1Is/GeqÞi2=Is5*5()
Þi2= 6'6'76*
Is
ConnessionediresistenzeastellaedatriangoloUnsistemacircuitaleditreresistoripuòessereconnessoatriangolo(deltaconnection)odastella (wye connection). Esempi di connes-sioneatriangoloedastellasonoriportatinellafiguraafianco.
Moltospessoquestaoperazionerisultadiparticolareefficacianell’analisicircuitale.Sisuppongadiconnettereadunareteilnodo1edilnodo2edilasciareilnodo3noncon-nessosianeltriangolochenellastella.Laresi-stenzaequivalentedellaconnessioneastellaR12(Y)vistadallareteèdatadallaseriedelleresistenzeRY1 edRY2. La resistenza equiva-lentedellaconnessioneatriangoloR12(Δ)vi-stadallareteèdatadalparallelodiRΔ1conlaseriedelleresistenzeRΔ2edRΔ3:
R12(Y)=R12(Δ);R23(Y)=R23(Δ);R31(Y)=R31(Δ)Perl’equivalenzastella-triangolotaliuguaglianzedevonoessereverificateperqualsiasicollegamentodeitrenodi1,2e3affinchéciò si verifichi ancheper leparticolariconnessionidescrittesopra.Daesseperciòsiottengonoleespressioniditrasformazionedalleresistenzeatrian-goloalleequivalentiresistenzeastella:
SeriedicondensatoriDueopiù condensatori sono in serie quandosonopostiunodiseguitoall’altro.Inodiinco-mune collegano esclusivamente due dei con-densatoriinserie.Attraversociascunodeicon-densatorifluiscelastessacorrente.Dallafigurasiha:
v=v1+v2+....+vn-1
dove: vk = +8+∫ i(t9)dt9 +v:(t;)<<"
Þ
Þ v1,n = +8'∫ i(t9)dt9<<"
+ +8*∫ i(t9)dt9<<"
+⋯+ +8,-'
∫ i(t9)dt9<<"
+v+(t;) + v=(t;) + ⋯+ v>2+(t;) Þ
Þ v=C +8'+ +
8*+⋯+ +
8,-'D ∫ i(t9)dt9<
<"+ v+(t;) + ⋯+ v>2+(t;)
Þ v = +8()
∫ i(t9)dt9 + v(t;)<<"
Ceq è la capacità del condensatore equivalente alla serie di condensatori che per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla medesima corrente:
Ceq è la capacità di un condensatore equivalente al parallelo di condensatori che per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano i con-densatori in parallelo posti fra quella tensione:
Leq è l’induttanza dell’induttore equivalente alla serie di induttori che per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla medesima corrente:
Ceq è l’induttanza di un induttore equivalente al parallelo di induttori che per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano gli induttori in parallelo posti fra quella tensione:
Leautoinduttanzesonosemprepo-sitive mentre le mutue induttanzepossono essere positive o negative.Ciòdipendedalreciprocoposiziona-mentodeiduecircuiti.Inoltresidi-mostracheM12=M21.Due induttori mutuamente accop-piati si indicanocomenella figuraafianco.Laconvenzionedeiduepalliniriguarda il segno di M12. M12 > 0quando i pallini corrispondono aiterminali dei due induttori con cor-renteentranteinentrambioppureuscentedaentrambi.Nelcasoincuiipallinisianopostiunovicinoadunterminaleincuilacorrenteentrael’altrovicinoadunterminaledacuilacorrenteesce,alloraM12<0.
ElementocircuitalemultiportaUnelementocircuitaleconunnumeropariditerminali2Npuòes-sereorganizzato comeelemento circuitalemultiporta (Nportcircuit element). La corrente entrante per un terminale di cia-scuna porta è uguale alla corrente uscente dall’altro terminaledellaportamedesima.Ogniportadell’elementoèdescrittodallacorrenteedallatensionefraidueterminali.Unmultiportachesicomportacometaleindipendentementedaisuoicollegamentiesternisidicemultiportaintrinseco(intrinsicNportelement).IlsistemadiequazionicaratteristichediunelementoadNporteèdatodaNequazioniscalarichemettonoinrelazioneleNtensionidiportaalleNcorrentidiporta:
ElementocircuitalebiportaUnelementocircuitaleadueporteobiporta(twoportcircuitelement)èmoltocomunenellatecnica.Essoèunquadripoloorganizzatoindueporte.Solitamentesiindividuaunaportadiingressocontensionev1ecorrentei1,edunadiuscita,contensionev2ecorrentei2,comenelcasodiunamplificatorediunimpiantoHI-FI,odiuntrasformatoremonofaseadueavvolgi-menti.Ilsegnaledaamplificareentranell’elementodallaportadiingressoedesceamplificatodaquelladiuscita.Cosìneltrasformatoreentradall’ingressoilsegnaledatrasformarecheescetrasformatodaquellad’uscita.L’equazione caratteristica per un elementobiportaè: