Introduzione ai Circuiti Elettronici

Introduzione ai CircuitiElettronici

Sommario

• Natura dei Segnali– Analogici e Digitali

• Bipoli– Bipoli Elementari– Connessione di Bipoli

• Analisi dei Circuiti Lineari e Tempo-Invarianti– Equazioni differenziali– Fasori– Funzione di Trasferimento– Diagrammi di Bode

Resistore IdealeRnome N+ N- valore in

N+

N-

I(t)V(t)

N+

N-

I(t)V(t)

V(t)=R·I(t)I(t)=G·V(t)

G·R=1

Condensatore IdealeCnome N+ N- valore in F

( )( ) CdV tI tdt

N+

N-

I(t)V(t)

N+

N-

I(t)V(t)

Induttore IdealeLnome N+ N- valore in H

( )( ) LdI tV tdt

N+

N-

I(t)V(t)

N+

N-

I(t)V(t)

Generatore Indipendente di Tensione

E V = E = cost. I(t)

I(t)

V=0 I(t):cortocircuito

I(t)

I(t)

V(t) = E(t) I(t)E(t)

E V

I

Generatore Dipendente di Tensione

E V

I

.

CV

)( CVF V

I

.CI( )CF I V

I

( ) cost.C CV F V V

( ) cost.C CV F I I

Generatore Indipendente di Corrente

I=0 V(t):ramo aperto

V(t)H

I = H = cost. V(t)

V(t)

V(t)

I(t) = H(t) V(t)

H(t)H

V

I

Generatore Dipendente di Corrente

.

CV

)( CVF V

I ( ) cost.C CI F V V

( ) cost.C CI F I I

V

I

.CI( )CF I V

I

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso sinusoidale

0

0 00 0

0 0 0 0

0 0 0

0

cos ?

C ; ; da cui ;R

cos cossin ;

RC RCsin cos cos sin

cos cos sin sin cos ;RC R

R

C

cosC RC

Ab b

b B

b a b

B AB

B B

B B A

V t V t

dV t V t V tI t I

dtV t V t

V t

V t V tV V Vt

V tdV t V td

t

t

tRC

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso sinusoidale

0 0

0 20

02 2

0 0

cos sin 0; cos sin ;RC RC RC

1tan RC cos ;1 RC

RCsin ; ;1 RC 1 RC

B B AB B

AB

V V VV V

VV

0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t

Vedi RC_sinInput.cir

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso a gradino:

H->:funzione di Heavyside

,

,

, ,

?

C ; ; da cui ;R

0 (cond.iniziale)

H( )RC RC

0

b b A

b b om b pt

tRCb

b A

b

b a b

tRC

b om

b pt A

tRC

AA A

b

V t

dV t V t V dV t V t V tdt

V t V t V t

V t V t V e VV

tI t I

dt

V t ae

V t V

ae V a V

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA H(t)

Vedi RC_stepInput.cir

FasoriPerche è comoda?

• Se sommiamo un numero di sinusoidi :– Tutte la stessa frequenza– Diverse ampiezze (volt o correnti)– Diverse fasi

• Ad es.

• Il risultato sarà un’altra sinusoide della forma

90377sin1242377sin5

15377sin450377sin1075377sin3tt

ttt

tA 377sin

FasoriEsempio…

• Esempio di cinque sinusoidi con la loro somma

36.3377sin81.14 t

FasoriCome si usano…

• Invece che usare identità trigonometriche, un modo piùsemplice per fare I conti

• Se è fissato, associamo

dove è il numero complessocon ampiezza v e argomento

cosv t v

v

cos Re j tv t v e


• La somma di sinusoidi è equivalente alla somma difasori (numeri complessi)

cosv t v

1

cosn

k kk

v t

n

kkkv

1

trigonometriaSomma dinumericomplessi

Dominio del tempo Fasori


• Ricordiamo la regola di Eulero

• Quindi…

n

kkk

n

kkk

n

kkk vjvv

111

sincos

sincos jvvev j

Fasoriesempio…

• Date le due sinusoidi– Usando I fasori:

– Il risultato è

3cos 9 2 cos 45t t

87.3615912

993452903

j

j

15cos 36.87t

FasoriAltro esempio…

• Questi grafici mostrano:– I singoli fasori– La loro somma

FasoriCircuiti lineari…

• Trattando correnti alternate (AC):– La generalizzazione della resistenza è

l’impedenza complessa Z = R + jX– La generalizzazione della conduttanza è

l’ammettenza complessa Y = G + jB

• La generalizzazione della legge di Ohm:V = IZ

FasoriDominio tempo

cosv t v

sin cos /2v t v t / 2v

cos

sin

d v tdtv t

/ 2v

cos

sin

v t dt

v t

/ 2v

fasori

Resistore Ideale

v Ri

v Ri N+

N-

iv

i Gv

1R G

Condensatore Ideale

N+

N-

iv

N+

N-

iv

/ 2Cv i

jC v i

Induttore Ideale

N+

N-

i v

/ 2v L i

v jL i

FasoriCircuiti lineari…

• In AC, I circuiti lineari si comportano come fasori

induttore con induttanza L

resistore con resistenza R

condensatore con capacità C

• Possiamo determinare la tensione ai capidei bipoli lineari in AC: V = IZ

90 LZ

90 CZ

0 RZ

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori

0Re ?j tjb BV t V e e 0Re j t

a AV t V e

Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t) VB cos(0 t+),allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t) VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+)e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)] VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)


0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t

0 00

0 0

20 0 0

00

; 1 R CR C R C

; ;1 R C 1 R C 1 R C

arg arg arctan R C1 R C

j t j tjj tj jB A

B B A

j A A AB B

j AB

V e e V ej V e e V e j V

V V VV e Vj j

VV ej

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)


0

0

22

0 2

0

cos

; ...

Ammettenza del condesatore di capacità C: =

X

X X

1 IYZ V

jM M

CC

X t X t X e

dX t d X tj

d t d t

j C

C

R I

Va

ab a

0

VV V1

C

C

ZR Z j RC

0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t

Trasformata di Laplace

y'' y' y xt t t t

tt eet 2

21

21y

s

t

sss

1X

231)H( 2

2311

2 sss

1x t

Dominio tempo Dominio frequenza

Soluzione equazioni algebriche

L-trasformata

L-trasformata inversa

Perche è comoda?


• Definizione di trasformata di Laplace

• Notazione comune

s

dtett st

F

ff0

L

st

stGgFf

L

L st

stGgFf

Definizioni


• La funzione da trasformare nulla per t<0

• Utile per descrivere il comportamento diun circuito dall’avvio

0f cos 2 [ ]

1 se t 0f [ ]

0 altrOK

ve

K

o

Ot A f t

t

Limiti

Trasformata di LaplaceEsistenza

• La trasformata di Laplace di f(t) esiste se– La funzione f(t) è continua a tratti, ovvero

l’insieme dei suoi punti di discontinuità è un infinità numerabile

– La funzione f(t) è limitata daper qualche k,M

– Esempi:

ktMet f

2

f [ ]

1 se t 0f [ ]

0 altro

KO

Kve

O

tt e

t

Trasformata di LaplaceFunzione delta-Dirac

• L’esempio più “facile” di trasformata: la delta di Dirac

0

0

L δ δ

1

st

s

t t e dt

e

1δ t

Trasformata di LaplaceIl gradino unitario

• Il gradino unitario

s

es

es

dte

dtett

s

st

st

st

1

10

1

uu

0

0

0

0

L

1100

utt

t s

t 1u

Trasformata di LaplaceAltri esempi: integrazione per parti

• Derivata del prodotto di funzioni

• Riordinando e integrando

t

dtdttt

dtdtt

dtd gfgfgf

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dtttdtdtt

dtttdtddttt

dtddtt

dtdt

ttdtdtt

dtdt

dtdt

gfgf

gfgfgf

gfgfgf

Trasformata di LaplaceLa rampa

• La funzione rampa

20

0

00

0

111

10

111

u

sess

dtes

dtese

st

dttett

st

st

stst

st

L

2

1us

tt

ttddf

f

st

st

es

te

1g

ddg

Trasformata di LaplaceMonomi e polinomi

• Ripetendo il procedimento di integrazioneper parti, è possibile trovare la formula per un generico monomio per n ≥ 0

1

!u nn

snttL

1

!u nn

sntt

Trasformata di LaplaceLinearità

• La trasformata di Laplace è lineare• Se e allora

sbsatbta

sbsatbtaGF)g()f(

GF)g()f(L

st F)f( L st G)g( L

Trasformata di LaplaceValori di bordo

• Dati allora

• Da notare che sF(s) è la trasformata diLaplace di f’(t)

st Ff

ss

ss

s

s

Flimf

Flim0f

0

Trasformata di LaplacePolinomi

• Applicando la proprietà di linearità• La formula per la L-trasformazione dei

polinomi segue:

n

kkk

n

k

kk s

katta0

10

!uL

Trasformata di LaplacePolinomi

• Applicando la proprietà di linearità• La formula per la L-trasformazione dei

polinomi segue:

n

kkk

n

k

kk s

katta0

10

!uL

Trasformata di LaplaceEsponenziale

• Usando espansione di Taylor per l’esponenziale:

0

1 10 0

1L u L u!

1 ! 1!

11

nt k

k

n n

k kk k

e t t tkk

k s s

s

1

1u

s

tet

Trasformata di LaplaceSeno

• Integrazione per parti due volte:

ttss

dtetss

dtetss

stets

dtets

dtets

stets

dtettt

st

st

st

st

st

usin11

sin11

sin11cos1

cos10

cos1sin1

sinusin

22

022

02

0

0

00

0

L

L

1 di 2

Trasformata di LaplaceSeno

• ..e finalmente

1

1usin

1usin1

usin11usin

2

2

22

stt

tts

ttss

tt

L

L

LL

1

1usin 2

stt

2 di 2

Trasformata di LaplaceCoseno

• ..e analogamente per il coseno

1 di 2

ttss

dtetss

dtetss

stetss

dtetss

dtets

stets

dtettt

st

st

st

st

st

ucos11

cos101

cos11sin11

sin11

sin1cos1

cosucos

2

022

02

0

0

00

0

L

L

Trasformata di LaplaceCoseno

• ..e finalmente

2 di 2

1

ucos

ucos1

ucos11ucos

2

2

2

sstt

stts

ttss

tt

L

L

LL

1

ucos 2

sstt

Trasformata di LaplaceFunzioni periodiche

• Se f(t) è periodica di periodo T

• Ad esempio:

sT

Tst

e

dtett

1

ff 0L

s

s

s

st

es

sse

e

dtett

11

1

cosf

20L

Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze

• Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze

as

dtet

dtetete

tas

statat

F

f

ff

0

)(

0

L

aste at Ff

Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze

• Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze

as

dtet

dtetete

tas

statat

F

f

ff

0

)(

0

L

aste at Ff

Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze: esempio

1

ucos 2

sstt 2cos u

( ) 1at s ae t t

s a

Trasformata di Laplace - ProprietàScaling nel dominio del tempo

• Scaling nel dominio del tempo oppurescaling attennuato nel dominio dellefrequenze

0

0

0

L f( ) f( )

1f( )

1 f( )

1 F

a

sa

st

s

at at e dt

e da

e da

sa a

dta

dat

as

aat F1f

Trasformata di Laplace - ProprietàScaling nel dominio del tempo: esempio

1

1usin 2

stt 2 2

2sin 2 u2

t ts

0.5

Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata prima

• La trasformata di Laplace della derivata

' '

0

00

0

L f f

ff

f 0 f

F f 0

st

stst

st

t t e dt

s t e dtt e

s t e dt

s s

Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata n volte

• Per induzione si ottiene la derivata n-volte:

1 2 ' 3 ''

2 1

L f F

f 0 f 0 f 0

f 0 f 0

n n

n n n

n n

t s s

s s s

s

Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata prima: esempio

'f u f u f 0 δd t t t t tdt

'

f sin

f 0 u 0 0

f u sin( ) u δ

t t

t t t t t

Trasformata di Laplace - ProprietàRitardo nel dominio del tempo

• La trasformata di Laplace dello shift temporale

0

0

0 00

0

L f( ) f

f

L f( )

st

s t

s t

t t t t e dt

e d

e t

0t td dt

00f Fs tt t e s

f( ) 0 0

Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata in frequenza

• La derivata della trasformata di Laplace

)f(

f

f

fF

0

0

0

)1(

tt

dtett

dtetdsd

dtetdsds

st

st

st

L stt )1(Ff

Trasformata di Laplace - ProprietàIntegrale

• La trasformata di Laplace dell’integrale

ss

des

tdde

tdde

dtedd

st

st

st

sttt

F

f1

f

f

ff

0

0

0

0 00

L

Trasformata di Laplace - ProprietàConvoluzione

• …dalla definizione di convoluzione

• Si ha che

dt

dtt

gf

gfgf

ssj

tt

sst

GF21gf

GFgf

Funzione di Trasferimento

• Dato un sistemalineare e tempo-invariante

• F. di Trasf. definitacome il rapporto traFASORE della rispostae della sollecitazione diingresso

( )( )( )

( ) ( ) ( )

o

I

o I

V jH jV j

V j H j V j


1 0

1 0

...( )( )( ) ...

mmo

nI n

a j a j aV jH jV j b j b j b

• Poli e zeri (pi,zi) sono reali o complessi coniugati

•Parametri concentrati f. di Trasf. Razionale a coefficienti reali (ai,bi)

1

1

( )...( )( )( )...( )

m

n

s z s zH s Ks p s p

j s


0 0( ) ( 2 )H j H j f

• Consente di calcolare la risposta a regime Su(t) ad eccitazioni sinusoidali Si(t)

0cos 2i MS t A f t

0 0 02 cos 2 arg 2u MS t A H j f f t H j f

Funzione di Trasferimento• …o a una somma finita o numerabile di contributi

sinusoidali

cos 2i k k kk

S t A f t

2 cos 2 arg 2u k k k k kk

S t A H j f f t H j f

Funzione di Trasferimento• …o a una “somma” di infiniti contributi sinusoidali

infinitesimi

0

cos 2iS t A f ft f df

0

2 cos 2 arg 2uS t A f H j f ft f H j f df

Diagrammi di Bode

• Un diagramma di Bode è un grafico (semilog) dall’ampiezza e della fase della funzione ditrasferimento in funzione della frequenza

• L’ampiezza è spesso espressa in decibels (dB)dB = 20 log10 A

dove A è l’ampiezza o il guadagno– Una decade è definita come ogni 10-a-1 range di

frequenze (ad es 10-100Hz)

Diagrammi di Bode

ω

Polo a ω=p(=1/)

Gain

UnaDecade

0 dB

–20 dB

pSingolo polo: ampiezza

1( )1

H jjp

Ad es. guadagnomax = 1 e

p0Una

Decade

2

-1

1 se 01 1( ) se p

21

se p

H j

pp

20 log10

-1

20log 1 0 se 0

120log =-10log 2 3 se p2

20log =-20log se pp p

Diagrammi di BodeFase

ω

0°

–45°

–90°

Singolo polo: fase

1( )1

H jjp

Ad es. guadagnomax = 1e p0

UnaDecade

UnaDecade

Polo a ω=p(=1/)

arg ( ) arctanH jp

0 se 10

se 4

se 102

p

p

p

Vedi RC_ACanalysis.cir

Diagrammi di Bode

Zero a ω=z(=1/)

UnaDecade

Singolo zero: ampiezza

( ) 1jH jz


z0Una

Decade

21 se 0

( ) 1 2 se

se

H j zz

zz

20 log10

20log 1 0 se 0

20log 2 =10log2 3 se

20log se

z

zz

Gain

+20 dB

0 dB

Diagrammi di BodeSingolo zero: fase

arg ( ) arctanH jz

0 se 10

se 4

se 102

z

z

z

( ) 1jH jz


z0

Fase

ω

+90°

+45°

0°

UnaDecade

UnaDecade

Diagrammi di Bode

ω

Polo a ωp=1/

Gain

Fase

ω

0°

–45°

–90°

UnaDecade

0 dB

–20 dBω

Zero a ωz=1/

Gain

Fase

ω

+90°

+45°

0°

UnaDecade

+20 dB

0 dB

ωp ωz

Se K=120 log10(K) = 0 dB

Diagrammi di Bode

Diagramma di Bode: ampiezza della risposta del filtro passa-alto del primo ordine

Analisi Circuiti Lineari e TI

• Se le relazioni differenziali sono lineari, possono essere rese algebriche con un metodo di trasformazione:– metodo dei fasori: per funzioni sinusoidali

isofrequenziali– trasformazione di Fourier: per funzioni

assolutamente integrabili– trasformazione di Laplace: per funzioni nulle per

t<0

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali

0

0 00 0

0 0 0 0

0 0 0

0

cos ?

C ; ; da cui ;R

cos cossin ;

RC RCsin cos cos sin

cos cos sin sin cos ;RC R

R

C

cosC RC

Ab b

b B

b a b

B AB

B B

B B A

V t V t

dV t V t V tI t I

dtV t V t

V t

V t V tV V Vt

V tdV t V td

t

t

tRC

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali

0 0

0 20

0

2 20 0

cos sin 0; cos sin ;RC RC RC

1tan RC; cos ;1 RC

RCsin ; ;

1 RC 1 RC

B B AB B

AB

V V VV V

VV

0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t


0Re ?j tjb BV t V e e 0Re j t

a AV t V e

Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t) VB cos(0 t+),allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t) VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+)e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)] VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)


0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t

0 00

0 0

20 0 0

00

; 1 R CR C R C

; ;1 R C 1 R C 1 R C

arg arg arctan R C1 R C

j t j tjj tj jB A

B B A

j A A AB B

j AB

V e e V ej V e e V e j V

V V VV e Vj j

VV ej

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(0 t)


0

0

22

0 2

0

cos

; ...

Ammettenza del condesatore di capacità C: =

X

X X

1 IYZ V

jM M

CC

X t X t X e

dX t d X tj

d t d t

j C

C

R I

Va

ab a

0

VV V1

C

C

ZR Z j RC

0 0

02

cos arctan RC1 RC

Ab

VV t t

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Laplace

0

0 0cos 0a

A

per tV t

V t per t

0

0 2 2 2 20 0

0 0: 0 ?

; 0 ...

cos ;

b b

s t

b a Ab

V V t

x t X s L x t x t e d t x t s X s x

V s V s Vs sL t sV ss R C R C R C s

Vb(t)C

R I(t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Laplace

Vb(t)C

R I(t)

2 20

20

2 2 2 22 0 00 2 2

0 0 02 2 20

11

111

cos sin1

Ab

A

tA RC

b

V sV sR C ss

R C

V RC s RCs ssR C R CR C

VV t e t R C tR C

tRC

2 2 2A A0 0 02 2 2 2 2 2

0 0

V e V- + 1 + ω R C cos ω t - arctan(ω R C1 + ω R C 1 + ω R C

Introduzione ai Circuiti Elettronici

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