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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
Introdução à Simulação de
Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues
(PETROBRAS/CENPES)
Programa de Verão LNCC – Fevereiro de 2015
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Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
• Mestre em Matemática pela UFRJ (1987)
• Doutor em Matemática pela UFRJ (1994)
• Profissional da Petrobras desde 1987
• 27 anos de experiência em pesquisa,
desenvolvimento e aplicação de metodologias nas
áreas de simulação de reservatórios, modelagem
de bacias e modelagem matemática de
experimentos laboratoriais
• Professor Adjunto do Depto de Análise
Matemática do IME/UERJ de 1997 a 2006
Instrutor: José Roberto P. Rodrigues
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• Nome;
• Formação Acadêmica;
• Atividade Profissional;
• Contato anterior com modelagem
matemática e simulação (de reservatórios
de petróleo ou em outra área).
Apresentação
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• Objetivo: Dar uma visão geral sobre
simulação de reservatórios e seus principais
conceitos
• Tópicos
• Motivação: importância da simulação na indústria
do petróleo
• Simulação e Modelos Matemáticos
• Características relevantes para o desenvolvimento de
técnicas numéricas apropriadas
• Principais Simuladores Disponíveis
Introdução
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Motivação
A tomada de decisões para
a explotação de um campo
de petróleo requer
responder uma série de
perguntas e comparar
diferentes opções
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Método de Recuperação:
• Depleção Primária?
• Injeção de água ou gás?
• Métodos Térmicos?
• Como controlar os poços? Que
vazões usar?
Previsão de Comportamento:
• Recuperação final?
• Fluxo de caixa?
• Reservas?
Poços:
• Quantos?
• Onde perfurá-los?
• Verticais, Horizontais
ou Multilaterais?
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Para decidir quais as melhores estratégias,
é necessário reproduzir (simular) qual seria
o comportamento do reservatório para as
diferentes estratégias.
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e a qualidade dessas decisões (envolvendo milhões ou bilhões de dólares para cada campo individualmente) depende fortemente de estudos de simulação
?
Toda decisão importante sobre a estratégia de explotação de um campo emprega simulação de reservatórios
Simulação de reservatórios é uma atividade padrão e essencial na indústria do petróleo:
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Motivação
Outro aspecto fundamental
em estudos de reservatórios
é a presença de incertezas
na descrição das variáveis
relevantes para as previsões
de comportamento.
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Incertezas Geológicas:
• Geometria externa
• Distribuição espacial de
propriedades
• Falhas (localização, rejeito,
transmissibilidades)
Incertezas na Distribuição
Inicial de Fluidos:
• Posição dos contatos água-óleo
e gás-óleo
• Saturações residuais de água e
óleo
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Incertezas nas Propriedades
dos Fluidos e Rocha:
• Compressibilidade
• Viscosidade
• Permeabilidade relativa
Incertezas Econômicas:
• Preço do petróleo
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Para tomar decisões de forma robusta em
relação às incertezas, é necessário
reproduzir (simular) qual seria o
comportamento do reservatório para
diversos possíveis cenários.
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Simulação e Modelos Matemáticos
Simular: 1. ...
2. Representar com semelhança
3.
Simulação: 1. Ato ou efeito de simular
2. ...
3. ...
4. Experiência ou ensaio realizado com auxílio
de modelos
5. ...
Segundo o Aurélio:
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Modelo
Matemático
Parâmetros do
Sistema Físico
(dados da geologia,
dos fluidos, etc)
Parâmetros da
Estratégia de Produção
(número e locação dos
poços, vazões de
injeção, etc)
Previsão de produção e
resultados econômicos
(produção acumulada
de óleo e gás, valor
presente líquido (VPL),
etc)
Simulação e Modelos Matemáticos
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• Os parâmetros do sistema físico são determinados pelo
problema particular em estudo (reservatório, fluidos, etc),
embora conhecidos com grande incerteza;
• Os parâmetros da estratégia de produção são arbitrados
pelo profissional encarregado do estudo e representam as
variáveis de decisão;
• Os modelos matemáticos mais empregados são baseados
em leis físicas básicas (conservação de massa e energia,
etc) e relações empíricas verificadas experimentalmente;
• Estes modelos são válidos sob determinadas hipóteses
simplificadoras e representam apenas uma “caricatura” do
comportamento do sistema físico real.
Simulação e Modelos Matemáticos
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Simulação e Modelos Matemáticos
Equações diferenciais
não-lineares que
modelam o escoamento
em meios porosos
Lei da
Conservação
de Massa
Lei de
Darcy
Equações
de Estado
Relações
de Kr e Pc
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Simulação e Modelos Matemáticos
Equações diferenciais
não-lineares que
modelam o escoamento
em meios porosos
Lei da
Conservação
de Massa
Lei de
Darcy
Equações
de Estado
Relações
de Kr e Pc
o ro
o o
o o o
w rw
w w
w w w
g rgo s s ro
g g o o
g o g g o o
S kkp g D
t B B
S kkp g D
t B B
S kkS R R kkp g D p g D
t B B B B
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• As equações diferenciais parciais (EDPs) que
modelam o escoamento em meios porosos são
extremamente complexas e sua análise e resolução
exigem técnicas matemáticas sofisticadas;
• Soluções analíticas envolvem expressões
relativamente simples e em geral podem ser
calculadas facilmente com auxílio de planilhas ou
mesmo calculadoras científicas;
• Soluções numéricas são baseadas no conceito de
“discretização” e requerem software especializado e
recursos computacionais poderosos.
Simulação e Modelos Matemáticos
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• Para obter soluções analíticas é
necessário impor simplificações ao
modelo:
• Geometria simples (1D, radial, representação
simplificada de falhas, etc);
• Heterogeneidade limitada;
• Simplificações nos modelos físicos (pequena
compressibilidade, interação rocha-fluido
limitada, etc).
Simulação e Modelos Matemáticos
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Simulação e Modelos Matemáticos
• Solução da linha fonte:
• Reservatório homogêneo
e isotrópico;
• Reservatório infinito (raio
de investigação elevado);
• Um único poço
produzindo a vazão
constante q;
• Pressão inicial constante;
21
( , )2 4
D
D D D
D
rp r t Ei
t
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Simulação e Modelos Matemáticos S
x
t1 > 0 t2 > t1 t3 > t2
q
• Problema de Buckley-Leverett:
• Água injetada com vazão constante, deslocando óleo em
um meio homogêneo com seção transversal constante e
inicialmente preenchido com óleo;
• Efeitos gravitacionais e capilares desprezíveis;
• Fluidos imiscíveis, rocha e fluidos incompressíveis.
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• Apesar de suas simplificações, soluções
analíticas são extremamente úteis:
• Análise de situações específicas (teste de
poços, ensaios laboratoriais, etc);
• Avaliações rápidas;
• Entendimento qualitativo do comportamento;
• Validação de soluções numéricas.
Simulação e Modelos Matemáticos
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• Soluções numéricas são baseadas no
conceito de discretização:
• O meio poroso é dividido em “células”;
• O tempo é dividido em uma sucessão de
intervalos (“passos de tempo”);
• Derivadas são substituídas por diferenças;
• EDPs de evolução no tempo são transformadas
em uma sucessão de problemas algébricos.
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Meio Poroso Real
(Afloramento Fayetteville, fonte: www.copyright-free-images.com)
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Divisão do Meio Poroso em Células
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Propriedades Homogêneas em Cada Célula
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Divisão do Tempo em Passos de Tempo P
ressã
o
Tempo P
ressã
o
Passos de Tempo
Variação de Pressão
com o tempo no
reservatório
Variação de Pressão
com o tempo no
simulador
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Apesar de todo detalhamento da discretização e da
sofisticação matemática, o modelo de simulação
ainda é uma caricatura do reservatório real
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• Características físicas relevantes para o
desenvolvimento de técnicas numéricas para
simulação de reservatórios:
• Meio altamente heterogêneo e anisotrópico
• Geologia complexa com a presença de falhas e pinch-outs
(detalhes da geometria externa do domínio são menos
relevantes)
• Processos físicos complexos (escoamento multifásico,
multicomponente, interação rocha-fluido, etc)
• Caráter misto parabólico/hiperbólico
• Presença de fontes/sumidouros pontuais (poços)
Simulação e Modelos Matemáticos
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Fonte: U.S. Geological Survey
Department of the Interior/USGS
http://geomaps.wr.usgs.gov/parks/deform/gfaults.html
(visitado em 8/1/2015)
Ilustração de uma falha
Ilustração de um pinch-out
Fonte
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rollover.pngl
Autor: Mikenorton
(visitado em 8/1/2015)
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• Outras características relevantes para o
desenvolvimento de técnicas numéricas para
simulação de reservatórios:
• Dimensão das malhas de simulação e necessidade de
utilização de HPC
• Existência de software sofisticado e de grande investimento
• Grande ênfase em robustez e eficiência, menor interesse na
precisão e acurácia
Simulação e Modelos Matemáticos
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• Programas de simulação de reservatórios
começaram a ser utilizados na década de 50
basicamente em grandes empresas de
petróleo utilizando mainframes
• A partir da década de 80, software-houses
independentes começaram a oferecer
simuladores comerciais
• Maior disponibilidade de desktops potentes
Simuladores Disponíveis
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• Dada a grande complexidade envolvida no
desenvolvimento de um programa de
simulação de reservatórios, a maioria das
empresas operadoras utilizam simuladores
comerciais
• Algumas empresas possuem simuladores
próprios (exs.: Exxon, Shell, Saudi Aramco)
• Algumas universidades e centros de pesquisa
mantém simuladores com finalidade acadêmica
e de pesquisa (exs.: Stanford, UT, Sintef)
Simuladores Disponíveis
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• Simuladores comerciais são ferramentas caras
e sofisticadas aperfeiçoadas durante duas
décadas de pesquisa e desenvolvimento
• Diversas opções de modelagem
• Black-oil, composicional, térmico, etc
• Geometria complexa
• Interfaces gráficas para entrada e saída de
resultados (gráficos, visualização 3D, etc)
Simuladores Disponíveis
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• Simuladores comerciais são ferramentas caras
e sofisticadas aperfeiçoadas durante duas
décadas de pesquisa e desenvolvimento
(cont.)
• Métodos numéricos avançados para máximo
desempenho computacional
• Adaptados às modernas arquiteturas
computacionais (processamento paralelo)
Simuladores Disponíveis
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• Principais simuladores comerciais:
• Eclipse (Schlumberger)
• Imex, Gem, Stars (CMG)
• Nexus (Landmark)
Simuladores Disponíveis
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• Os simuladores atuais foram desenvolvidos
em torno de 20 anos atrás
• Novas demandas
• Avanços em hardware e software
• Associações entre operadoras e software-
houses para o desenvolvimento de
ferramentas completamente novas:
• Nexus (BP + Landmark)
• Intersect (Chevron + Schlumberger)
• DRMS (Petrobras + Shell + CMG)
Simuladores de Nova Geração
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• Diferenciais:
• Modelagem integrada (Reservatórios + EE)
• Simulação multipropósito
• Flexibilidade e extensibilidade
• Workflows automatizados
• Rastreabilidade de estudos
• Eficiência computacional
• As novas ferramentas deverão gradualmente
substituir as antigas ao longo da próxima
década
Simuladores de Nova Geração
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• Simulação de reservatórios permite
reproduzir (com certo grau de precisão) o
comportamento de reservatórios de petróleo
submetidos a diferentes estratégias de
produção
• É a principal ferramenta utilizada na tomada
de decisões na engenharia de reservatórios
Parte I: Introdução – Resumo
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• Simulação de reservatórios é baseada em
modelos matemáticos sofisticados (sistemas
de EDP’s) obtidos a partir de princípios físicos
básicos (conservação de massa e energia)
combinados com leis constitutivas empíricas
• Soluções analíticas, embora úteis, são
limitadas a situações relativamente simples
• Soluções numéricas são baseadas no
conceito de discretização (espacial e
temporal)
Parte I: Introdução – Resumo
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• Técnicas numéricas para simulação de
reservatórios devem levar em conta a
presença de meio heterogêneo e anisotrópico,
geologia e processos físicos complexos,
cárater das EDPs e a presença de fontes
pontuais
• Também é preciso considerar a necessidade
de utilização de HPC, a grande base de
software já existente e a ênfase em robustez e
eficiência
Parte I: Introdução – Resumo
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• Simuladores de reservatório modernos são
ferramentas computacionais caras e
sofisticadas que requerem recursos
computacionais adequados
• Os simuladores comerciais são os mais
utilizados no cotidiano da indústria
• A sofisticação dos modelos e o número de
células utilizado cresceu exponencialmente ao
longo das últimas décadas
Parte I: Introdução – Resumo
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• Descrever as principais técnicas matemáticas
e numéricas empregadas nos simuladores de
reservatórios utilizados na indústria
• Ênfase na fundamentação matemática dessas
técnicas e nos aspectos distintivos de outras
áreas de aplicação
• Apresentar algumas questões em discussão
na literatura da área (“literatura SPE”)
Objetivos do Curso
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Fevereiro de 2015
• Descrever as principais técnicas matemáticas
e numéricas empregadas nos simuladores
de reservatórios utilizados na indústria
• Ênfase na fundamentação matemática
dessas técnicas e nos aspectos distintivos de
outras áreas de aplicação
• Apresentar algumas questões em discussão
na literatura da área (“literatura SPE”)
Objetivos do Curso
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• O que este curso não é:
• Um curso prático sobre o uso de ferramentas de
simulação
• Não serão apresentados os fluxos de trabalho
característicos de estudos de reservatório empregando
simulação (curso mais voltado “para
desenvolvedor/pesquisador” do que “para usuário”)
• Uma apresentação completa dos modelos físicos
sofisticados presentes nos simuladores
• Limitado a problemas monofásicos e bifásicos
• Discussão superficial de métodos de solução
Objetivos do Curso
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• Não é esperado conhecimento prévio de
simulação de reservatórios ou modelagem de
escoamento em meios porosos
• Não é esperado conhecimento prévio de
métodos numéricos para EDP’s (embora
possa ser útil em alguns momentos)
• Curso introdutório acessível até para alunos
de graduação com sólida base em cálculo e
álgebra linear (embora alguns tópicos não
sejam exatamente “elementares”)
Objetivos do Curso
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• Primeiro dia
• Introdução/Motivação (este conjunto de slides)
• Escamento monofásico
• Formulação Matemática: conceitos básicos de meios
porosos (porosidade, permeabilidade e a lei de Darcy). Lei
de conservação de massa e as EDP’s que modelam o
escoamento em meios porosos
• Formulação Numérica: discretização em Volumes Finitos
para fluido incompressível. Monotonicidade e
Convergência
Programa do Curso
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• Segundo dia
• Escamento monofásico (cont.)
• Formulação Numérica: discretização em Volumes Finitos
para fluido incompressível. Monotonicidade e
Convergência. Introdução a malhas não estruturadas e
métodos de múltiplos pontos.
Programa do Curso
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• Terceiro dia
• Escamento monofásico (cont.)
• Tratamento de poços. Fluido compressível e discretização
temporal. Breve descrição dos principais métodos de
solução.
• Escamento bifásico
• Formulação Matemática: conceitos básicos de
escoamento bifásico em meios porosos (saturação,
pressão capilar e permeabilidade relativa). Natureza das
EDP’s que modelam o escoamento bifásico em meios
porosos. Problema de Buckley-Leverett e comportamento
das soluções.
Programa do Curso
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• Quarto dia
• Escamento bifásico (cont.)
• Formulação Numérica: discretização a montante para
problemas convectivos. Estabilidade e a condição de CFL.
Difusão numérica. Métodos IMPES, Totalmente Implícito e
Adaptativo Implícito. Breve descrição dos principais
métodos de solução.
Programa do Curso
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• Aulas expositivas com uso de slides
• Não haverá exercícios ou laboratório
• A participação é incentivada através de perguntas,
etc.
• Cada dia dividido em duas aulas (em torno de
1:20 h cada uma) e um intervalo (em torno de
20 min)
Programa do Curso
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Fevereiro de 2015
• À comissão organizadora do Programa de
Verão do LNCC, especialmente à Profa.
Sandra Malta, pelo convite
• À Petrobras pela permissão e incentivo à
participação e pelas oportunidades de
desenvolvimento profissional ao longo da
minha carreira
Agradecimentos
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(PETROBRAS/CENPES)
Programa de Verão LNCC – Fevereiro de 2015
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Fevereiro de 2015
• Tópicos
• Conceitos básicos de meios porosos
• Porosidade
• Permeabilidade e a Lei de Darcy
• Dedução da equação para escoamento
monofásico em meios porosos
• Análise de alguns casos especiais
• Fluido e rocha pouco compressíveis
• Fluido e rocha incompressíveis
Escoamento Monofásico –
Formulação Matemática
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• Definição genérica: sólido com espaços vazios
Sólido
Vazio
• Embora os dois meios acima se enquadrem nesta definição
grosseira, estamos interessados em meios como o da direita
Meio Poroso: Conceitos Básicos
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• Hipóteses adicionais de homogeneidade e escala são
necessárias para distinguir o que iremos considerar meio
poroso:
Tamanho dos poros pequeno em relação ao tamanho da
amostra
Distribuição relativamente homogênea dos poros na
amostra
• Exemplos: rochas, solos, areias, tecidos fibrosos, madeira,
cerâmica
Meio Poroso: Conceitos Básicos
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• Reservatórios de petróleo são meios porosos naturais
constituídos por rochas sedimentares onde se encontram
hidrocarbonetos em estado líquido ou gasoso
• Estamos interessados nas propriedades dos meios porosos
relevantes para a modelagem do escoamento de fluidos
• Propriedades macroscópicas relevantes:
Porosidade: fração volumétrica do espaço vazio
Permeabilidade: capacidade do meio de deixar o fluido
escoar
Meio Poroso: Conceitos Básicos
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• Porosidade: fração do volume total ocupada por poros ou espaço
vazio
• Nos interessa apenas a porosidade efetiva, isto é, considerando
apenas o volume de poros conectados
Porosidade
T
S
T
P
V
V1
V
V
poros de volume VP
total volume VT
Poros Isolados
(porosidade efetiva nula)
Poros Conectados
sólido de volume VS
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• A porosidade é determinada através de experimentos em
laboratório
• Vários métodos, entre eles:
Por embebição com um fluido de densidade conhecida. A
diferença de peso antes e depois do fluido preencher o
meio permite calcular a porosidade
Expansão gasosa
• Valores típicos em reservatórios de petróleo se situam na faixa
de 0,15 a 0,25
Porosidade
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Fevereiro de 2015
Método de Expansão Gasosa para Determinação de Porosidade
Porosidade
V1, P1 V2, vácuo
V1 +V2, P2
221
21S
S212S11
VPP
PVV
VVVPVVP
Para gás ideal
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• A permeabilidade está relacionada à capacidade do meio de
permitir o escoamento de fluidos
• A definição de permeabilidade é baseada no experimento de
Darcy (1856)
Permeabilidade e Lei de Darcy
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• A vazão de um fluido incompressível escoando através de um
meio poroso é proporcional à diferença de potencial e à área
exposta ao fluido e inversamente proporcional ao comprimento
Permeabilidade e Lei de Darcy
Q
h
p2
p1
A
h
ghppAQ 21
fluido do densidade
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• A constante de proporcionalidade depende do meio e do fluido
onde µ é a viscosidade do fluido e k é uma constante que só
depende do meio, denominada de permeabilidade (específica)
• Daí,
Permeabilidade e Lei de Darcy
k
h
k
A
Qv 21
fluido do potencialgzp
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• v é uma velocidade “fictícia” diferente da velocidade real do
fluido, uma vez que considera a área total tanto vazios (por
onde o fluido escoa, em verde na figura abaixo) como sólidos
Permeabilidade e Lei de Darcy
• v é a velocidade superficial ou de Darcy
v
v fluido fluido
V
fluido
A área de vazios
A área total
AQ Av A v v v
A
vv
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• Análise dimensional para a permeabilidade:
Permeabilidade e Lei de Darcy
área de dimensãoL
TL
M
LTL
M
T
L
Lvk
2
2
• Unidade mais utilizada em engenharia de reservatórios é o
Darcy:
2132
m1087,9atms
cpcmDarcy 1
• 1 Darcy corresponde à permeabilidade de um meio com 1 cm
de comprimento em que um fluido de viscosidade igual a 1 cp,
submetido a uma diferença de potencial de 1 atm escoará com
uma velocidade de 1 cm/s
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Permeabilidade e Lei de Darcy
• Valores típicos de permeabilidade para reservatórios de
petróleo se situam entre 100 e 5000 mD
• Recentemente com o interesse em tight oil e tight gas,
reservatórios com permeabilidades muito baixas (< 0,1 mD)
também tem despertado grande interesse
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• Forma diferencial da Lei de Darcy (h0):
• O sinal de menos aparece pois o escoamento se dá do maior
para o menor potencial
• Para escoamento multidimensional em meio homogêneo e
isotrópico:
Permeabilidade e Lei de Darcy
g
dz
dpk
dz
dkv
gpkk
v
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• Em geral a permeabilidade varia com a posição no espaço
(heterogeneidade) e a direção (anisotropia)
• Trata-se então a permeabilidade como um tensor que varia no
espaço:
• É muito comum assumir que os eixos coordenados estão
alinhados com as direções principais e considerar k diagonal
Permeabilidade e Lei de Darcy
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
kkk
kkk
kkk
)x(k
zz
yy
xx
k00
0k0
00k
)x(k
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• Observações Finais:
A definição de potencial apresentada se aplica a fluidos
incompressíveis. Para fluidos compressíveis, a definição
deve levar em conta a dependência da densidade na
pressão
Existem diversas “deduções” da lei de Darcy a partir das
equações de balanço de quantidade de movimento
A lei de Darcy se aplica bem a escoamentos lentos, que
é o caso mais comum em engenharia de reservatórios
Existem extensões para situações de velocidades mais
elevadas
Note que a lei de Darcy é semelhante à lei de Fourier
para transmissão de calor e à lei de Fick da difusão
Permeabilidade e Lei de Darcy
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• Vamos obter a equação diferencial que modela o escoamento
de um fluido em um meio poroso
• O princípio básico é a lei de conservação de massa:
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
Entrada – Saída = Acumulação
Em um volume de controle fixo no espaço, a
variação de massa em um intervalo de tempo é igual
à massa que entrou menos a que saiu através das
fronteiras ou por ação de fontes ou sumidouros”
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X Y
Z
fluido do velocidade))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v()z,y,x(v zyx
vx(x+dx,y,z) vx(x,y,z)
Volume de controle retangular dzz,zdyy,ydxx,xV
vy(x,y,z)
vy(x,y+dy,z)
vz(x,y,z)
vz(x,y,z+dz)
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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V
dtt
t
V
dVdst
dV)t,z,y,x()dtt,z,y,x()t(M)dtt(M
Denotando a densidade do fluido por , a massa no volume M em um
instante t é dada por
Variação de Massa em um intervalo de tempo [t,t+dt]:
V
dV)t,z,y,x()t(M
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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dyy
y
dzz
z xx dydz)t,z,y,x(v)t,x(f
Massa atravessando a face perpendicular ao eixo X no ponto (x,y,z)
no instante t:
Sinal positivo para massa
entrando!!
X Y
Z
vx(x,y,z)
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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dyy
y
dzz
z xx dydz)t,z,y,dxx(v)t,dxx(f
Sinal negativo para massa
entrando!!
X Y
Z
vx(x+dx,y,z)
Massa atravessando a face perpendicular ao eixo X no ponto (x+dx,y,z)
no instante t:
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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Massa atravessando as faces perpendiculares ao eixo X no
intervalo [t,t+dt]:
dtt
tV
xdtt
t
dzz
z
dyy
y
dxx
x
x
dtt
t
dzz
z
dyy
y xx
dtt
t xx
dVdtx
vdtdydzdx
x
v
dsdydz)s,z,y,dxx(v)s,z,y,x(v
ds)s,dxx(f)s,x(f
Raciocinando analogamente para as direções Y e Z, a massa total
atravessando as faces do volume de controle V no intervalo [t,t+dt]
é dada por
dtt
tV
dtt
tV
zyx dVdtvdVdtz
v
y
v
x
v
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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Tratamento da produção e injeção de fluidos através dos poços:
• Raio dos poços raio é da ordem de centímetros
• A distância entre os poços é da ordem de centenas de metros
• Em muitas aplicações, é conveniente não considerar os poços
como fronteira e tratá-los como fontes ou sumidouros pontuais
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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Seja q a vazão volumétrica específica (vazão por unidade de
volume) de uma fonte (q > 0, injeção) ou sumidouro (q < 0,
produção) situada no volume de controle V.
A massa agregada à V por q no intervalo de tempo [t,t+dt] é dada
por
Sinal positivo para injeção (acréscimo de massa) e
negativo para produção (retirada de massa)
dtt
tV
dVdsq
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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Juntando acumulação, fluxo e termos fontes:
dtt
tV
dtt
tVV
dtt
tdVdsqdVdsvdsdV
t
0dVdsqv
t
dtt
tV
Como V e o intervalo de tempo [t,t+dt] são arbitrários, o integrando
deve ser nulo:
0qv
t
Equação de balanço de massa ou da continuidade
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
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A equação geral para escoamento monofásico é obtida substituindo
a lei de Darcy na equação da continuidade:
Em geral, na equação acima assumimos:
• k é um tensor diagonal conhecido em função da posição (não
varia com o tempo)
• = (p), = (p) e = (p) são funções conhecidas da pressão
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
gpk
v
0qgp
k
t
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A equação para escoamento monofásico requer ainda a
especificação de condições iniciais e de fronteira:
• Em simulação de reservatórios, a condição inicial é geralmente
determinada para que haja equilíbrio hidrostático, isto é, constante:
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
• Por exemplo, assumindo densidade constante, a distribuição
inicial de pressão é uma reta com inclinação positiva com a
profundidade
gz
p e 0
y
p
x
p0
Datum pDatum
profundidade
pressão
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• A condição de fronteira mais usada é fluxo nulo, isto é,
onde é a normal à fronteira
• Outra condição encontrada é especificar que em parte da
fronteira a pressão é mantida em um certo nível (por exemplo,
pela ação de um aqüífero)
Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
0nv
n
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Dedução da Equação para Escoamento Monofásico
Em resumo, p(x,t) deve satisfazer
T][0,t)(x,0qgp
k
t
EDP
x)x(p)0,x(p iCondição Inicial
T][0,t)(x,0ngpk
N
]T,0[)t,x()t,x(p)t,x(p DE
Condições de Fronteira
onde é o domínio de interesse com fronteira = N D
As equações acima são acrescidas de equações de estado = (p),
= (p) e = (p)
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Análise para Alguns Casos Especiais
• As equações apresentadas constituem um sistema de EDP’s não
lineares extremamente complexo
• Soluções para este problema só podem ser obtidas através de
técnicas numéricas aproximadas
• Mesmo a natureza do comportamento da solução é difícil de ser
percebido pelas equações
• Adicionando hipóteses simplificadoras, vamos considerar versões
destas equações que resultam em EDP’s clássicas que modelam
diversos outros fenômenos físicos
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• A compressibilidade do fluido é a propriedade que caracteriza a
variação de volume com a variação de pressão:
dp
d1
dp
dV
V
1c f
ff
• Para fluidos de compressibilidade constante (líquidos ideais),
sendo o a densidade medida em uma pressão de referência po,
da definição acima segue que
ofo ppcexp
• Para este caso,
ffff
c
1p
z
pc
z e
y
pc
y ,
x
pc
x
Análise para Alguns Casos Especiais
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• Substituindo na equação de balanço de massa,
0qg
c
k
t f
• Ignorando efeitos gravitacionais e a presença de fontes e
sumidouros e assumindo e constantes,
k
tc f
Análise para Alguns Casos Especiais
• Equação da difusividade linear, mesma que aparece em diversas
outras aplicações, como transferência de calor.
• Para k diagonal,
zk
zyk
yxk
xtc zyxf
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• Esta é a familiar equação do calor, o protótipo das equações
parabólicas.
Análise para Alguns Casos Especiais
f
2
c
k,
t
• Assumindo k homogêneo e isotrópico kx = ky = kz = k
2
2
2
2
2
2
2
zyx kzyx
kz
kzy
kyx
kx
de Laplaciano2
• Utilizando a definição do operador Laplaciano,
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• Nas aplicações é preferível usar a pressão, que é melhor medida,
que a densidade
• Fazendo a hipótese adicional de pequena compressibilidade, boa
para líquidos, podemos fazer a aproximação
Análise para Alguns Casos Especiais
2
2
fo2
2
2
2
fo2
2
2
2
fo2
2
fo
ofo
z
pc
z,
y
pc
y,
x
pc
x,
t
pc
t
ppc1
• Substituindo na equação da densidade, temos uma equação para
pressão similar à da densidade
pt
p
k
c 2f
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Fevereiro de 2015
• A variação da porosidade com a pressão é levada em
consideração de uma forma simplificada
• Compressibilidade da porosidade
Análise para Alguns Casos Especiais
• Substituindo no termo de derivada temporal
p
1c
t
pc
t
pcc
t
p
p
1
p
1
t
p
pt
p
ptf
total ilidadecompressibccc f
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Análise para Alguns Casos Especiais
• Resulta na mesma equação com a compressibilidade total
substituindo a compressibilidade do fluido
pt
p
k
c 2
• Note que a equação acima é não-linear já que = (p)
• A prática comum é ignorar esta dependência e tratar o termo
multiplicando a derivada temporal como constante
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Análise para Alguns Casos Especiais
• Para fluidos incompressíveis, a equação anterior se reduz à
equação de Laplace, protótipo para as equações elípticas,
0p2
• Restringindo à fluxo unidimensional linear em um intervalo [0,L] e
acrescentando condições de pressão prescrita nas fronteiras:
xL
pppp
p)L(p,p)0(p,0x
p
oLo
Lo2
2
0 L
po
pL
domínio no constante vazão) (e velocidade
cteL
pp
x
p oL
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Fevereiro de 2015
Análise para Alguns Casos Especiais
• Vamos considerar o efeito de heterogeneidade analisando o
escoamento unidimensional linear:
o
x L
x
o0
x L
p pk(x) 0, p(0) p ,
x x x
p p p k(L)k(L) k(x) 0 k(x) k(L) p p ds
x x x k(s)
tetancons)L(k
x
p)x(k)x(v
variável)x(k
)L(k
x
p
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Fevereiro de 2015
Análise para Alguns Casos Especiais
0 L
po
p
X
k1 k2 k3 k4
x1 x2 x3
32
2312
kk
pppp
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Introdução à Simulação de
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(PETROBRAS/CENPES)
Programa de Verão LNCC – Fevereiro de 2015
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Fevereiro de 2015
• Tópicos
• Escoamento Incompressível 1D
• Formulação do problema contínuo. Princípio de máximo.
• Discretização pelo método dos volumes finitos (MVF). Malhas de
pontos distribuídos e centrada na célula
• Monotonicidade e Convergência
• Escoamento Incompressível 2D e 3D
• Discretização pelo MVF em malhas cartesianas
• MVF em malhas realistas
• Discretização de 7 pontos em malhas “corner-point”
• Introdução a métodos de múltiplos pontos (MPFA) e malhas não estruturadas
Escoamento Monofásico – Formulação
Numérica
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Fevereiro de 2015
• Tópicos (cont.)
• Escoamento Pouco Compressível
• Formulação do problema contínuo. Princípio de máximo.
• Discretização pelo método dos volumes finitos (MVF)
• Estabilidade. Métodos explícitos e implícitos
• Tratamento de Poços
• Escoamento Compressível
• Breve Descrição do Métodos de Solução
Escoamento Monofásico – Formulação
Numérica
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Fevereiro de 2015
• O método dos volumes finitos (MVF) é o mais
utilizado em simulação de reservatórios e base para
praticamente todos os simuladores comerciais de
reservatórios
• Inicialmente, apresentaremos os princípios básicos
do MVF em um contexto bastante simples:
escoamento incompressível em uma dimensão
• Problemas progressivamente mais complexos irão
ser apresentados na sequência
MVF – Caso Incompressível 1D
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• O escoamento 1D linear incompressível em um
meio horizontal de seção transversal de área
constante resulta em
• Vamos assumir que k(x) ≥ k0 > 0. Como visto
anteriormente, a permeabilidade k pode ser
altamente descontínua, com saltos em função de
mudanças de litologia
• É necessário também especificar condições nos
extremos x = 0 e x = L
( ( ) ) ( ), 0 x x mk x p q x x L
MVF – Caso Incompressível 1D
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Fevereiro de 2015
• Antes de completar a formulação do problema com
a imposição de condições de fronteira, vamos
discutir uma propriedade importante dessa equação
• Princípio de máximo:
• Expressa a ideia intuitiva de que ao retirar massa
(produção) a maior pressão deve estar nas fronteiras
MVF – Caso Incompressível 1D
Se qm(x) ≤ 0 para a < x < b, então
( ) max{ ( ), ( )}p x p a p b
Page 100
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Fevereiro de 2015
• O princípio de máximo impõe restrições sobre as
soluções admissíveis para o problema, em particular,
não podem haver oscilações em regiões onde qm(x) ≤ 0
MVF – Caso Incompressível 1D
p
x a b
Se qm ≤ 0 em (a,b), o
perfil ao lado viola o
princípio de máximo
e, portanto, não
representa uma
solução válida
Page 101
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• Um princípio de mínimo similar também vale para o
caso em que qm(x) ≥ 0
• Corresponde ao caso em que massa é adicionada
(injeção) e, portanto, a menor pressão deve estar nas
fronteiras
MVF – Caso Incompressível 1D
Se qm(x) ≥ 0 para a < x < b, então
( ) min{ ( ), ( )}p x p a p b
Page 102
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• Para qm(x) = 0 (ausência de fontes/sumidouros),
valem tanto o princípio de máximo como o de
mínimo e, portanto,
• Por representar uma importante propriedade física
do problema, métodos numéricos para aproximá-lo
devem idealmente respeitar alguma versão discreta
do princípio do máximo
MVF – Caso Incompressível 1D
min{ ( ), ( )} ( ) max{ ( ), ( )} p a p b p x p a p b
Page 103
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• Para demonstrar o princípio de máximo, vamos tomar
k = 1 e considerar primeiramente o caso qm < 0
• Se p assumisse o valor máximo em um ponto x0 em
(a,b), teríamos
o que contradiz
• Assim, para qm < 0 temos
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0
2
20 e 0
x x x x
p p
x x
2
2 0
m
pq
x
max ( ) max{ ( ), ( )}
a x b
p x p a p b
Page 104
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• Um máximo no interior
significaria concavidade para
baixo, indicando retirada de
massa em uma região em
torno do máximo
• Isso é incompatível com
retirada de massa por fonte
produtora (qm < 0)
MVF – Caso Incompressível 1D
p
Page 105
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• O caso q ≤ 0 será reduzido ao caso anterior
considerando a função s = p + r, onde é um
número real positivo arbitrário e r é tal que
1. r ≥ 0 em (a,b) e
2.
• r(x) = (x – a)2 satisfaz as condições acima, já que
MVF – Caso Incompressível 1D
2
2 0 em ( , )
r a bx
2
2 2
rx
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• Assim,
• Temos, portanto, que
• Como > 0 é arbitrário, segue que
MVF – Caso Incompressível 1D
2 2 2
2 2 22 0
m
s p rq
x x x
2
( ) ( ) ( ) max ( ) ( )
max{ ( ), ( ) ( ) }
a x bp x p x r x p x r x
p a p b b a
( ) max{ ( ), ( )}p x p a p b
Page 107
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• Retornando à questão das condições de fronteira...
• Tipicamente se especifica o valor de pressão
(condição de Dirichlet):
ou o valor da velocidade (condição de Neumann):
f0, fL > 0 para entrada de massa pelas fronteiras
f0, fL < 0 para retirada de massa pelas fronteiras
MVF – Caso Incompressível 1D
0(0) , ( ) Lp P p L P
00( ) , ( )
x x Lx x L
k x p f k x p f
Page 108
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• É claro que também se pode especificar um tipo de
condição em cada extremidade
• Quando condições de Neumann são especificadas
em ambas as extremidades, uma condição de
compatibilidade, decorrente do balanço de massa,
deve ser imposta entre as velocidades das
extremidades e as fontes/sumidouros
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 109
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• De fato, integrando de 0 a L:
• Em particular para fluxo nulo nas fronteiras:
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0
0 0
00
00
( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 0
L L
x x m
L
x x mx L x
L
L m
L
m L
k x p dx q x dx
k x p k x p q x dx
f f q x dx
q x dx f f
0( ) 0
L
mq x dx
Page 110
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Uma segunda observação importante para o caso
com condições de Neumann é que as pressões ficam
determinadas a menos de uma constante
• De fato, se p é uma solução então p + C também é,
já que
MVF – Caso Incompressível 1D
pp C
x x
Page 111
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Após a discussão inicial sobre a formulação do
problema, iniciaremos aqui a discussão sobre a
técnica de volumes finitos (MVF) para encontrar
soluções aproximadas
• No método de volumes finitos a discretização é feita
dividindo o domínio em “volumes de controle”
(células ou blocos da malha) onde uma aproximação
para uma forma integral da equação original é feita
aproximando os fluxos nas suas fronteiras
• Em cada uma das células é escolhido um ponto onde
a variável a ser determinada é aproximada
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 112
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Pela sua construção, o método de volumes finitos
reproduz os princípios básicos de conservação das
leis físicas originárias das EDP’s a nível de cada
volume de controle, o que dá ao método uma
interpretação física poderosa e particularmente útil
em situações complexas
• É a metodologia mais empregada em simuladores
comerciais de reservatório e amplamente discutida
na literatura
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Para o problema 1D, as células são subintervalos de
[0,L]
• Existem duas abordagens para definição das células
e dos pontos onde aproximações de p serão obtidas:
malha de pontos (ou vértices) distribuídos (point-
distributed ou vertex-distributed) e malha centrada
na célula (ou no bloco) (cell-centered ou block-
centered)
MVF – Caso Incompressível 1D
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Fevereiro de 2015
• Na malha de pontos distribuídos, os pontos xi são
dados e as células [xi–1/2, xi+1/2] definidas de forma
que suas fronteiras estejam no ponto médio dos
pontos xi
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0x 1x 2x nx 1 nx L
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Fevereiro de 2015
• Na malha de pontos distribuídos, os pontos xi são
dados e as células [xi–1/2, xi+1/2] definidas de forma
que suas fronteiras estejam no ponto médio dos
pontos xi
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0x 1x 2x nx 1 nx L
12
x 32
x 12n
x
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Fevereiro de 2015
1ix ix 1ix
12i
x 1
2ix
1i i ih x x 1 1i i ih x x
1 1 12 2 2
1
2
i ii i i
h hh x x
12
11
2 2 2
i i i ii ii
x x h hx x x
• Malha de pontos distribuídos
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Na malha centrada na célula, as fronteiras xi+1/2 são
dadas e os pontos xi definidos no ponto médio das
células [xi–1/2, xi+1/2]
MVF – Caso Incompressível 1D
12
0
x 12
x 12
nx L3
2x 1
2nx
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• Na malha centrada na célula, as fronteiras xi+1/2 são
dadas e os pontos xi definidos no ponto médio das
células [xi–1/2, xi+1/2]
MVF – Caso Incompressível 1D
0x 1x nx
12
0
x 12
x 12
nx L3
2x 1
2nx
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Fevereiro de 2015
ix 1ix
12i
x 1
2ix
1 32 2
12
i i
i i i
h hh x x
1 1 12 2 2i i i
h x x
1 1 1 12 2 2 2
1 12 22 2 2
i i i i
i i i
x x h hx x x
• Malha centrada na célula
32i
x
3 3 122 2 ii i
h x x
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Em simulação de reservatórios é mais comum a
utilização de malhas centradas na célula pela maior
facilidade de alinhar as fronteiras da células com as
descontinuidades nas propriedades petrofísicas
decorrentes da heterogeneidades das rochas
• Embora resultem em esquemas distintos para malhas
não uniformes, a derivação do MVF é inteiramente
similar nos dois casos (diferenças maiores no
tratamento das condições de fronteira)
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Integrando a EDP na célula [xi–1/2, xi+1/2]:
• Os termos representam as velocidades através
das fronteiras da célula
1 12 2
1 12 2
12
1 1 12 2 2
( ( ) ) ( )
( )
i i
i i
i
i i i
x x
x x mx x
x
x x mx x x
k x p dx q x dx
kp kp q x dx
12
ix x
kp
MVF – Caso Incompressível 1D
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• O valor da derivada de p na face das células é
aproximado por diferenças finitas
• Na expressão acima, pi denota o valor de p
aproximado pelo MVF
MVF – Caso Incompressível 1D
12
1
i
i ix x
i
p pp
h
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• A aproximação da derivada pode ser justificada por
expansão em série de Taylor
• Notação:
ix 1ix
12i
x
1 i i ih x x
ih
ih
ix 1ix
12i
x
1 i i ih x x
ih
ih
12
1
i i i
h x x 12
i ii
h x x
Malha centrada
na célula
Malha de pontos
distribuídos
i ih h i ih h
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• A notação Pi irá indicar o valor de p avaliada no
ponto xi, ou seja, Pi = p(xi) = valor da solução exata
no ponto xi
• Expandindo em série de Taylor, temos
1 1 12 2 2
1 1 12 2 2
23
1
23
1
( )( ) ( ) ( )
2
( )( ) ( ) ( )
2
ii i x xx ii i i
ii i x xx ii i i
hP P h p x p x O h
hP P h p x p x O h
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 125
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• Subtraindo as duas expressões
1 12 2
1 12 2
1 12 2
2 23
1 1
3
1 1
21 1
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( )2
i ii i i i x xx ii i
i i i i
i i i i x xx ii i
i i i ix xx ii i
i
h hP P h h p x p x O h
h h h hP P h h p x p x O h
P P h hp x p x O h
h
MVF – Caso Incompressível 1D
i i ih h h
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• Para malha de pontos distribuídos ( ):
• Para malha centrada na célula ( ):
• Uma análise mais cuidadosa irá mostrar que o erro
ei = pi – Pi converge quadraticamente para ambas
as malhas
MVF – Caso Incompressível 1D
i ih h
12
21 1 ( ) ( )
i i
x ii
i
P Pp x O h
h
12
1 1 ( ) ( )
i i
x ii
i
P Pp x O h
h
i ih h
Page 127
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• O valor de k na face das células deve ser estimado a
partir dos valores de k em cada uma células vizinhas
i e i+1
• Uma aproximação simples é a média aritmética
• Se k é uma função suave (possui duas derivadas) a
média aritmética é uma aproximação O(h2) para o
valor correto
MVF – Caso Incompressível 1D
12
1
2
i ii
k kk
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• No caso em que k é descontínua na face, a média
harmônica é mais usada
• A média harmônica aparece naturalmente pela
imposição de continuidade da velocidade nas
fronteiras das células
1 31 32 22 2
12
31 1 32 2 2 2
1
1
1
i ii ii i
ii i i ii i
i i
h h k kh hk
hh h k h k
k k
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 129
• Para malha uniforme
1 12 2
12
1 1 11
1/ 2 / 2
i ii i i i i ii i i
i i
p p p p k p k pk k p
h h k k
1 1/2 1 11/2 1/2 1
1
11/2
1
1
2/ 2
2 2
1 1
i i i i i i i ii i i i i i i
i i
i ii
i i
i i
p p p p k p k pk k k p p k p
h h k k
k kk
k k
k k
ki
pi+1
pi
pi+1/2
ki+1
p
x
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• Para o caso 1D com seção transversal de área
constante, o termo fonte qm corresponde à vazão
mássica específica dada em termos de vazão mássica
por unidade de comprimento
• Assim, o termo
corresponde à vazão mássica (massa/tempo) que
iremos assumir especificada (corresponde à vazão
dos poços de injeção ou produção)
MVF – Caso Incompressível 1D
12
12
( )
i
ii
x
m mx
Q q x dx
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• Em geral, a vazão volumétrica em condições padrão
(de superfície) Qsc é especificada
• Para o problema incompressível, a densidade é
constante e não precisamos nos preocupar em
converter de condições de reservatório para padrão e
temos simplesmente que
• Calcular a pressão de fluxo nos poços é um
problema relevante que será tratado mais adiante
MVF – Caso Incompressível 1D
im scQ Q
Page 132
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• Retornando ao balanço de massa na célula, juntando
as expressões das velocidades nas faces e do termo
fonte
MVF – Caso Incompressível 1D
1 12 2
1 1 1 12 2 2 2
1 1
1
1 1
i
i
i i i imi i
i i
i i i mi i i i
p p p pk k Q
h h
T p T T p T p Q
12
12
10 é a transmissibilidade na face
2
i
i
i
kT i
h
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para completar a definição do MVF é necessário
discutir o tratamento das condições de fronteira (CF)
• Como o posicionamento de pontos e células é
diferente para as malhas de pontos distribuídos e
centrada na célula, o tratamento das CF será distinto
• Iniciamos considerando pressão especificada
(condição de Dirichlet)
MVF – Caso Incompressível 1D
0(0) , ( ) Lp P p L P
Page 134
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• No caso de malha de pontos distribuídos, existem
pontos sobre a fronteira
• Os valores podem ser especificados diretamente:
• Esses valores são utilizados no cálculo das
velocidades em x1/2 e xn+1/2
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0x 1x
12
x
0 0 1, n Lp P p P
nx 1 nx L
12n
x
Page 135
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• O balanço de massa para a célula [x1/2, x3/2] é dado por
• O tratamento da célula [xn–1/2, xn+1/2] é análogo
• Note que o balanço de massa não é calculado em todo
o domínio [0,L], já que não é escrito um balanço de
massa para os intervalos [0, x1/2] e [xn–1/2, L]
MVF – Caso Incompressível 1D
3 1122
3 3 1 112 22 2
2 1 1 0
2 1
2 1 0
m
m
p p p Pk k Q
h h
T p T T p T P Q
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Fevereiro de 2015
• No caso de malha centrada na célula, as fronteiras
externas coincidem com as fronteiras das células
• As velocidades nas fronteiras externas são calculadas
utilizando os valores de pressão especificados
MVF – Caso Incompressível 1D
1 12 2
0 00 0 ,
/ 2 / 2
L n
L n
n
p P P pf k f k
h h
0x 1x
12
0
x 12
x
nx
12
nx L1
2nx
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Balanço de massa para a célula [x1/2, x3/2]:
• A célula [xn–1/2, xn+1/2] tem tratamento similar
MVF – Caso Incompressível 1D
1 1 1 102 2 2 2
1 0 0 mT p T T p T P Q
1 32 2
02
T k h
102
12
1 0 0 00
1 / 2
m
p p p Pk k Q
h h
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para interpretar esse tratamento da CF, considere o
caso particular homogêneo (k3/2 = k0 = k) de malha
uniforme (h1 = h3/2 = h) e sem fontes ( ):
• Corresponde à interpolação linear e, portanto,
representa uma aproximação O(h2) para a CF
MVF – Caso Incompressível 1D
00mQ
1 0 0 0
0 10
0/ 2
3
2 2
p p p Pk k
h h
p pP
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• Para velocidade especificada (condição de Neumann)
basta incluir os valores especificados diretamente no
balanço de massa das células nos extremos:
MVF – Caso Incompressível 1D
00( ) , ( )
x x Lx x L
k x p f k x p f
102
1 102 2
1 00
1
0 1 0
m
m
p pk f Q
h
T p T p Q f
12
1 12 2
1
1
n
n
n nL mn
n
n n m Ln n
p pf k Q
h
T p T p Q f
Page 140
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Os balanços de massa descritos anteriormente
resultam em uma equação linear por célula, com
uma incógnita a determinar por célula (a pressão pi)
• Vamos analisar a existência e unicidade de solução
para esse sistema e a convergência das soluções
obtidas, ou seja, quão rapidamente a solução
aproximada obtida pelo MVF se aproxima da
solução exata quando a malha é refinada
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 141
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para fixar ideias, vamos considerar malha centrada
na célula com condição de Dirichlet em um extremo
e Neumann no outro
• Os casos com malha de pontos distribuídos e/ou
com condição de Dirichlet nos dois extremos são
similares
• O problema com condição de Neumann é
ligeiramente mais complexo e será tratado
separadamente
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 142
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Sistema linear para determinar p0, p1, ..., pn com
condição de Dirichlet em x = 0 e Neumann em x = L:
1 102 2
1 312 2
1 12 2
1 12 2
0 0 1 0
0 1 1 2
1 1
1
i
n
m
m
i i i i mi i
n n m Ln n
p T p Q T P
T p p T p Q
T p p T p Q
T p T p Q f
1 12 2
i i iT T
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Matricialmente:
• A é simétrica e tridiagonal
1 12 0 2
1 32 2 1
1 12 2
1 12 2
0 00
1 1
i
n
m
m
miii i
n m Ln n
T Q T Pp
T T Qp
QpT T
p Q fT T
Ap b
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para analisar as propriedades desse sistema,
mostraremos que ele satisfaz o seguinte princípio de
máximo discreto
• De fato, seja i0 tal que pi0 > pi para todo i ≠ i0
• Se 1 ≤ i0 ≤ n – 1, teríamos
já que Ti01/2 > 0, o que não é possível para Qmi0
≤ 0
0 0Se 0 e 0 então , 1 im L iQ f p p P i n
1 10 0 0 00 02 2
1 10 0 0 00 02 2
1 1
1 1( ) ( ) 0
i i i ii i
i i i ii i
T p p T p
T p p T p p
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• Note que essa contradição expressa o fato de que,
em uma célula onde fontes estão retirando massa, a
pressão não pode ser maior que nas células vizinhas,
já que induziria retirada de massa pelas fronteiras
MVF – Caso Incompressível 1D
ix 1ix 1ix
p
Page 146
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• Analogamente, se i0 = n, teríamos
já que Ti0
–1/2 > 0, o que não é possível para Qmi0 ≤ 0
e fL ≤ 0
• Se existir i0 com essa propriedade, necessariamente
i0 = 0, de onde segue pi0 ≤ P0, já que
MVF – Caso Incompressível 1D
1 1 10 0 0 00 0 02 2 2
1 1( ) 0 i i i ii i i
T p T p T p p
1 10 0 0 00 02 2
1 10 0 0 00 02 2
1 0
0 1( ) ( ) 0
i i i mi i
i i i mi i
p T p Q T P
T p P T p p Q
Page 147
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• Como consequência do princípio de máximo, segue
a seguinte propriedade para a matriz A
• De fato, basta considerar um problema com P0 = 0,
f0 = fL = 0, Qmi = bi e aplicar o princípio de máximo
MVF – Caso Incompressível 1D
Se com , então Ap b b 0 p 0
Page 148
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• Um princípio de mínimo discreto análogo também é
satisfeito
de onde segue que
• Combinando os princípios de mínimo e de máximo
segue que A é não-singular, já que
MVF – Caso Incompressível 1D
0Se 0 e 0 então , 0 im L iQ f p P i n
Se com , então Ap b b 0 p 0
Ap 0 p 0
Page 149
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• Uma outra consequência do princípio de máximo é
que todas as entradas da inversa de A são não-
negativas (A é monótona)
• De fato, a j-ésima coluna de A–1, xj, é obtida pela
resolução do sistema
• A monotonicidade é uma propriedade desejável, já
que evita o aparecimento de oscilações espúrias nas
soluções numéricas
1 A 0
, [0, ,1, ,0] 0 T
j j j jAx e e x 0
Page 150
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• Quando condições de Neumann são especificadas nos
dois extremos, temos o seguinte sistema linear:
1 102 2
1 312 2
1 12 2
1 12 2
0 1 0
0 1 1 2
1 1
1
i
n
m
m
i i i i mi i
n n m Ln n
T p T p Q f
T p p T p Q
T p p T p Q
T p T p Q f
1 12 2
i i iT T
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• Somando todas as equações:
• Para o sistema ter solução uma condição semelhante
à do caso contínuo aparece: o acréscimo e retirada
de massa por meio de fontes/sumidouros e através
das fronteiras têm que ser balanceados
MVF – Caso Incompressível 1D
0
0
0
i
n
L m
i
f f Q
Page 152
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• A matriz resultante ainda é simétrica e tridiagonal:
• Note que, se c = [c,...,c,...,c]T, Ac = 0 e, portanto, se p
é uma solução então p + c também é, de forma
semelhante ao caso contínuo
1 1 12 2 0 2
1 32 2 1
1 12 2
1 12 2
00
1 1
i
n
m
m
miii i
n m Ln n
T T Q T Pp
T T Qp
QpT T
p Q fT T
Page 153
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• Neste caso, não é possível ter lados direitos
positivos ou negativos, mas utilizando argumentos
semelhantes aos do princípio do máximo do
problema anterior, é possível mostrar que as únicas
soluções possíveis para o sistema Ap = 0 são os
vetores constantes
• Nos problemas de interesse prático, alguma
compressibilidade está sempre presente e essas
questões desaparecem
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 154
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• Agora estudaremos a questão de convergência da
solução aproximada para a solução exata, ou seja,
quão rapidamente o erro cometido diminui quando a
malha é refinada
• A análise padrão utilizada no caso de malha
uniforme é dificultada pelo aparecimento de termos
de O(h) ou mesmo inconsistentes no erro de
truncamento para malhas não-uniformes
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 155
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• Para simplificar a análise, consideraremos o caso
homogêneo (k constante) e condições de Dirichlet
em ambos extremos:
• Nos pontos interiores, o MVF é dado por
MVF – Caso Incompressível 1D
( ), 0
(0) , ( )
x xp f x x L
p a p L b
12
1 1
1
i i i i
ii
i i
p p p ph f
h h
Page 156
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• Dividindo por hi+1/2:
• Semelhante a uma aproximação de diferenças finitas
MVF – Caso Incompressível 1D
12
1 1
1
1
i i i ii
i ii
p p p pf
h h h
ix 1ix
12i
x 1
2ix
1ix ix 1ix
12i
x 1
2ix
1ix
Malha centrada na célula Malha de pontos distribuídos
Page 157
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• O erro de truncamento é obtido por expansão em
série de Taylor (a notação Pi irá indicar o valor de p
avaliado no ponto xi, ou seja, Pi = p(xi) = valor da
solução exata no ponto xi)
2 3 4*
1
2 3 4**1 1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )2 6 24
( ) ( ) ( ) ( )2 6 24
i i ii i i x i xx i xxx i xxxx i
i i ii i i x i xx i xxx i xxxx i
h h hP P h p x p x p x p x
h h hP P h p x p x p x p x
* **
1 1 e i i i i i ix x x x x x
MVF – Caso Incompressível 1D
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12
12
2 3*1
2 3**1 1 1 1
1
1 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )2 6 24
( ) ( ) ( ) ( )2 6 24
1( )
1 ( )2
i i i i ix i xx i xxx i xxxx i
i
i i i i ix i xx i xxx i xxxx i
i
i i i ixx i
i ii
i i ixx i
i
P P h h hp x p x p x p x
h
P P h h hp x p x p x p x
h
P P P Pp x
h h h
h h hp x
h 12
2 221 ( ) ( )
6
i
xxx i
i
hp x O h
h
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Fevereiro de 2015
• Expressão para o erro de truncamento:
• Para malha de pontos distribuídos, ET é de primeira
ordem
1 12 2
2 221 11 ( ) ( ) ( )
2 6
i i i iT xx i xxx i
i i
h h h hE p x p x O h
h h
12
21 1 ( ) ( ) ( )2 3
i i i i
T xxx ii
h h h hh E p x O h O h
ix 1ix
12i
x 1
2ix
1ix
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Fevereiro de 2015
• Para malha centrada na célula o termo principal da
expressão de ET não se anula e o erro é O(1), ou seja,
o esquema é inconsistente
• Para malha uniforme, o esquema é de segunda ordem
MVF – Caso Incompressível 1D
ix 1ix
12i
x 1
2ix
1ix
12
2
1 ( ) i i Ti
h h h E O h
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• Na verdade, o que estamos de fato interessados é
saber quão bem pi, resultado da discretização, se
aproxima de Pi a solução exata em cada ponto da
malha
• Argumentos clássicos, utilizando o princípio de
máximo, mostram que o erro ei = Pi – pi têm a mesma
ordem do erro de truncamento
• Isso é suficiente para mostrar convergência O(h2) para
malha uniforme e O(h) para malha de pontos
distribuídos, mas não garante convergência da malha
centrada na célula
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 162
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• Para apresentar os argumentos clássicos, considere
malha uniforme de pontos distribuídos
• A discretização é dada por
MVF – Caso Incompressível 1D
0 0x 1x 2x nx 1 nx L
1 1
2
0 1
2, 1
,
i i ii
n
p p pf i n
h
p a p b
Page 163
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• Como na expressão de ET só aparecem termos
envolvendo derivadas de ordem 4, ET = 0 para
qualquer polinômio de grau menor ou igual a três
• Em particular, pxx é calculado exatamente para
polinômios de grau menor ou igual a três
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Das expressões para a solução exata e aproximada,
segue que
• O erro satisfaz a mesma discretização da aproximação
p com condições homogêneas (nulas) nos extremos do
intervalo e lado direito igual ao erro de truncamento
1 1
21 1
2
1 1
2
0 0 1 1 0 1
2
2
2
e 0
i i ii T
i i iT
i i ii
n n n
P P Pf E
e e ehE
p p p hf
h
P p a P p b e e
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 165
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para aplicar o princípio de máximo é necessário
controlar o sinal do lado direito, o que será feito pela
introdução de uma função auxiliar tal que
1.
2.
i i ie
1 1
2
20i i i
h
2
0 1 ( )n O h
• Como e0 = en+1 = 0, a condição 2 requer que Φ0 =
Φn+1 = O(h2)
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Assumindo derivadas de quarta ordem contínuas, o
erro de truncamento pode ser limitado por:
• Definindo e, como se
trata de um polinômio de 2º grau, segue que
• Note também que
2 2* **( ) ( )
24 24
IV
T xxxx i xxxx i M
h hE u x u x M E
22 2( ) ( ) , ( ) ME L
xx Mx x x E
1 1
2
2i i iME
h
2(0) (1) / 8 ME L
MVF – Caso Incompressível 1D
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• Definindo ,
• Pelo princípio de máximo,
2 22max{ (0), (1)}
8 96
IV
Mi i i
E L L Me e h
2
1 1
2
20 e (0) (1)
8
i i i M
T M
E LE E
h
i i ie
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 168
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Analogamente, definindo ,
• Pelo princípio de máximo,
• Juntando as duas desigualdades,
2 22max{ (0), (1)}
8 96
IV
Mi i i
E L L Me e h
2
1 1
2
20 e (0) (1)
8
i i i M
T M
E LE E
h
i i ie
22 2( )
96
IV
i
L Me h O h
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 169
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para malhas centradas na célula, esse argumento é
insuficiente para mostrar convergência, dada a
inconsistência dos erros de truncamento
• No entanto, é possível isolar componentes O(h2) do
erro que originam os termos de O(1) e O(h) no erro de
truncamento, demonstrando convergência O(h2)
• Esse “paradoxo” pode ser ilustrado considerando o
operador diferencial
MVF – Caso Incompressível 1D
2 2( ) sen ( ) ( ) sen (1)
xx
x xp x h O h p x O
h h
Page 170
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• Relembrando a expressão para o erro de truncamento:
• Para entender a natureza do termo O(1) líder, vamos
por ora ignorar pxx e integrá-lo em um intervalo fixo
MVF – Caso Incompressível 1D
1 12 2
2 221 11 ( ) ( ) ( )
2 6
i i i iT xx i xxx i
i i
h h h hE p x p x O h
h h
Page 171
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
2 2 2
1 12 2
11 1 12
2 1
1 12 12 12 2
1 1
1
12 2
2 2
i i i
i i i ii i
i i i i i ii
i i
i ii i
h h h hh h
h
h hx x x x
1ix
1 1ix2i
x
11 2i
x11 2i
x 11 2i
x11 2i
x
2 1ix
1 12 12 2
i i
x x
2 1
2 1
1
2 2
i i
i i
h hx x
Page 172
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• A contribuição agregada do termo O(1) é pequena
(O(h)) em regiões de tamanho fixo, indicando que
elas podem ter um caráter “oscilatório” ou
“periódico”
• Essa observação indica que deve ser possível
encontrar componentes pequenas do erro que
originam esse termo
• De fato, tomando
MVF – Caso Incompressível 1D
2
12
i i
h
Page 173
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Fevereiro de 2015
3 1 1 12 2 22
3 1 3 1 1 1 1 12 22 2 2 2 2 2
1222
( )( ) ( )( )1
i i ii
i ii i i i i i
h h h h
i
h h h h h h h h
h
2 2 2 2
3 1 1 122 2 2
1 12
1
ii i i
h i
i ii
h h h hL
h h h
3 122
2
ii
h h
ih
1 11 2 2
2
12
12
21 1
11 1
12
2 2 2 2
42 8 1
2
ii ih i i
i ii ii
ii
h h h h
h hh h h
h h
3 122
2
i iih h h
Page 174
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A função /8 = O(h2) tem a propriedade desejada de
“gerar” o termo O(1) do erro de truncamento
(ignorando a dependência em pxx)
• Uma derivação mais trabalhosa mostra que
ou seja, o termo O(1) de ET deriva de uma
componente O(h2) do erro
MVF – Caso Incompressível 1D
12
(1) (1) 1( ) 1 ( ) ( )8 2
i i ii xx i h i xx i
i
h he p x L e p x O h
h
Page 175
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Assim,
• Os argumentos clássicos usados no caso de malha
uniforme podem ser usados para mostrar a
convergência O(h)
MVF – Caso Incompressível 1D
1
2
(1) 11 ( ) ( ) ( )2
i ih i i T xx i
i
h hL e e E p x O h O h
h
(1) (1)( ) ( ) ( ) h i i i i iL e e O h e e O h e O h
Page 176
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Da mesma forma, é possível encontrar uma
componente que isola os termos O(h) de
ET de forma que
• As CF também introduzem componentes especiais no
erro de truncamento que necessitam ser isoladas como
acima, mas a conclusão final é que a convergência do
MVF em malha centrada na célula é O(h2)
MVF – Caso Incompressível 1D
(1) ( ) 2 (1) ( ) 2 2( ) ( ) ( ) h h
h i i i i i i iL e e e O h e e e O h e O h
( ) 2( )h
ie O h
Page 177
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A mesma abordagem pode ser utilizada para mostrar
que a convergência do MVF em malha de pontos
distribuídos é O(h2) apesar de ET = O(h)
• A discussão acima é baseada em
• Forsyth & Sammon, Quadratic Convergence for Cell-
Centered Grids, Applied Numerical Mathematics, 1988
• Ver também
• Manteuffel & White, The Numerical Solution of Second-
Order BVP on Nonuniform Meshes, Mathematics of
Computation, 1986
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 178
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Experimentos numéricos do paper de Manteuffel &
White
• 700 malhas com espaçamento gerado aleatoriamente e
n variando de 100 a 800
MVF – Caso Incompressível 1D
Page 179
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• Malha de pontos
distribuídos
• A nuvem de pontos
superior corresponde
aos erros ei
• A nuvem de pontos
inferior corresponde ao
erro de truncamento
Page 180
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Malha centrada na
célula
• A nuvem de pontos
corresponde aos erros ei
Page 181
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• Os problemas de interesse prático são (quase)
sempre modelados em 3D
• Iremos agora estender a metodologia de volumes
finitos para 2D e 3D
• A discretização será apresentada inicialmente para a
malha mais simples (cartesiana)
• Neste contexto, a extensão para 2D e 3D é uma
generalização quase imediata do MVF 1D
• Malhas mais complexas serão tratadas em seguida
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 182
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• O escoamento 2D incompressível em um meio
horizontal de espessura constante e tensor de
permeabilidades diagonal resulta em
• A hipótese de K diagonal significa que os eixos
coordenados foram alinhados com as direções
principais de K
( , ) ( , ) ( , )
( , ) [ , ] [ , ] (domínio retangular)
x y m
p pk x y k x y q x y
x x y y
x y a b c d
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 183
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• O operador diferencial acima satisfaz um princípio
de máximo que generaliza o caso 1D: se qm ≤ 0 em
uma região D com fronteira , então p ≤ máximo de
p em
• A demonstração utiliza o mesmo argumento por
contradição do caso 1D e expressa o fato que, em
uma região onde há apenas retirada de massa pelas
fontes, o máximo de p não pode estar no interior, já
que isso indicaria retirada de massa pelas fronteiras
também
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 184
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• É necessário especificar condições de fronteira que
podem ser Dirichlet (valor da função especificada)
ou Neumman (valor de velocidade especificado)
• Para fixar ideias, durante a apresentação do MVF,
vamos tomar uma configuração específica para as
CF
• O tratamento se generaliza facilmente para outras
configurações
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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( , )
velocidade especificada
0 para entrada de massa
x L
L
pk x y h
x
h
( , )
velocidade especificada
0 para entrada de massa
y N
N
pk x y h
y
h
valor especificado
Op g
valor especificado
Sp g
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Malha centrada na célula
1x2x nx
1y
2y
my
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Considere a célula interior centrada em (xi,yj)
xi+1 xi
xi-1/2 xi+1/2
xi
xi+3/2
xi+1
xi-3/2
xi-1
xi-1
yj+
1
yj
yj-1
/2
yj+
1/2
y
j
yj+
3/2
y
j+1
yj-3
/2
yj-1
yj-1
Page 188
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Obs.: mudança de notação para as dimensões das
células
• As células são retangulares com quatro faces
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
xi-1/2 xi+1/2
yj-1
/2
yj+
1/2
Face
i+1/2,j
Face
i─1/2,j
Face
i,j+1/2
Face
i,j ─1/2
Page 189
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• Integrando a EDP na célula centrada (xi,yj):
Fluxo através
da face i+1/2,j
Fluxo através
da face i-1/2,j
1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2
11 22
1 11
2 21 22 1 1
2 2
, ,
, ,
j i i j i j
j i i j i j
jj
jji i
y x x y x y
x y my x x y x y
y y
x xi iy yx y x y
p pk dxdy k dydx q dxdy
x x y y
p pk x y dy k x y dy
x x
1 1 1 12 2 2 2
1 12 21 1 1 1
2 2 2 21 12 2
, ,
, ,
i i i j
i i i j
i i
x x x y
y y mi ix x x yx y x y
p pk x y dx k x y dx q dxdy
y y
Fluxo através
da face i,j+1/2
Fluxo através
da face i,j-1/2
Page 190
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• Integrais aproximadas pela regra do ponto médio:
1 12 2
1 12 2
, ,
, ,
j ji i
j x j j x ji i
x y x y
p py k x y y k x y
x x
1 12 2
1 12 2 1 1
2 21 12 2
, ,
, ,
i j
i ji ii i
x y
i y i i y i mi i x yx y x y
p px k x y x k x y q dxdy
y y
( ) ( )2
b
a
a bf d b a f
a b
f
Page 191
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• kx e ky são aproximados pela média harmônica:
• Aproximação para as derivadas de p:
1/2,
1
1
1i j
i i
i ix
i i
x x
x xk
x x
k k
, 1/2
1
1
1i j
j j
j j
yj j
y y
y yk
y y
k k
1/2
1, 1,
1( , ) 1,
2
i j
i j ij i j ij
i ix y i j ij
p p p pp
x xx x x
1/2
, 1 , 1
1, 1( , )
2
i j
i j ij i j ij
j ji j ijx y
p p p pu
y yy x x
Page 192
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A aproximação para o fluxo na face (xi+1/2,yj) fica
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da
malha e da permeabilidade do
meio)
12
121
2 12
1,
1
1,
1,1
1 1,
1, 1/2, 1,
1
,
2
2
j
ji
ij i j
i i
i j ij
yi j iji i
x jiyi i i ix y
x x
j x x
i j ij i j i j ij
i x i x
p pp x xk x y dy y
x x x xx
k k
y k kp p T p p
x k x k
1,
1,
1/2,
1
2ij i j
i j ij
j x x
i j
i x i x
y k kT
x k x k
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da malha
e das propriedades do meio)
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 193
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• A aproximação para o fluxo na face (xi,yj+1/2) fica
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da
malha e da permeabilidade do
meio) Transmissibilidade na direção Y
(depende da geometria da malha
e das propriedades do meio)
12
121
2 12
, 1
, 1
, 1
1 , 1
1 1,
, 1 , 1/2 , 1
1
,
2
2
i
i
j
ij i j
ij i j
i j ij
xj j i j ij
y ijxj j j jx y
y y
i y y
i j ij i j i j ij
j y j y
y y p ppk x y dx x
y y y yy
k k
x k kp p T p p
y k y k
, 1
, 1
, 1/2
1
2ij i j
i j ij
i y y
i j
j y j y
x k kT
y k y k
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 194
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• Para o caso 2D com espessura constante, o termo
fonte qm corresponde à vazão mássica específica
dada em termos de vazão mássica por unidade de
área
• Assim, o termo
corresponde à vazão mássica (massa/tempo) que
iremos assumir especificada (corresponde à vazão
dos poços de injeção ou produção)
1 12 2
1 12 2
i j
iji j
x y
m mx y
Q q dxdy
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 195
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• Em geral, a vazão volumétrica em condições padrão
(de superfície) Qsc é especificada
• Para o problema incompressível, a densidade é
constante e não precisamos nos preocupar em
converter de condições de reservatório para padrão e
temos simplesmente que
• Calcular a pressão de fluxo nos poços é um
problema relevante que será tratado mais adiante
ijm scQ Q
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 196
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• Considerando as quatro faces da célula em (xi,yj):
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da
malha e da permeabilidade do
meio)
1/2, 1, 1/2, 1,
, 1/2 , 1 , 1/2 , 1
1/2, 1, 1/2, 1, , 1/2 , 1 , 1/2 , 1
1/2, 1/2, , 1/2 , 1/2
ij
ij
i j i j ij i j ij i j
i j i j ij i j ij i j m
i j i j i j i j i j i j i j i j ij ij m
ij i j i j i j i j
T p p T p p
T p p T p p Q
T p T p T p T p p Q
T T T T
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 197
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• Para as células na fronteira os fluxos nas faces
externas devem ser adaptados
• Por exemplo, para uma célula na fronteira leste
(xn,yj), a velocidade na face (xi+1/2,yj) é especificada
( , )
velocidade especificada
x L
pk x y h
x 1
2121
2 12
,
Cálculo do fluxo:
,
j
jn
y
x j Lnyx y
pk x y dy y h
x
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Nas demais faces, o cálculo é idêntico ao anterior e
equação para a célula (xn,yj), 2 ≤ j ≤ n–1, fica
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da
malha e da permeabilidade do
meio)
1/2, 1,
, 1/2 , 1 , 1/2 , 1
1/2, 1, , 1/2 , 1 , 1/2 , 1
, 1/2 , 1/2 , 1/2
nj
nj
j L n j nj n j
n j n j nj n j nj n j m
n j n j n j n j n j n j nj nj m j L
ij i j i j i j
y h T p p
T p p T p p Q
T p T p T p p Q y h
T T T
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Para uma célula na fronteira sul (xi,y1), o valor de p
na face (xi,y1/2) é especificado e o fluxo tem que ser
aproximado usando esse valor
valor especificado
Sp g
12
1121
2 12
1
1
1,
1 ,1/2 1
1
Cálculo do fluxo:
,
2
2
i
ii
i
xi S
y i yx
x y
i y
i S i i S
p p gk x y dx x k
yy
x kp g T p g
y
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• Nas demais faces, o cálculo é idêntico ao anterior e
equação para a célula (xi,y1), 2 ≤ i ≤ n–1, fica
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da
malha e da permeabilidade do
meio)
1
1
1/2,1 1,1 1 1/2,1 1 1,1
,3/2 2 1 ,1/2 1
1/2,1 1,1 1/2,1 1,1 ,3/2 2 1 ,1/2
1 1/2,1 1/2,1 ,3/2 ,1/2
i
i
i i i i i i
i i i i i S m
i i i i i i i ij m i S
i i i i i
T p p T p p
T p p T p g Q
T p T p T p p Q T g
T T T T
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Cada célula da malha resulta em uma equação linear,
ou seja, os valores de p nas células da malha são
determinados por um sistema linear de ordem nm
• Um argumento baseado no princípio de máximo
inteiramente similar ao caso unidimensional pode
ser utilizado para mostrar que o sistema é não-
singular
• Essencialmente, dada a estrutura da discretização
um máximo no interior indicaria retirada de massa
pelas fronteiras da célula
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1/2, 1, 1/2, 1,
, 1/2 , 1 , 1/2 , 1
ij
i j ij i j i j ij i j
i j ij i j i j ij i j m
T p p T p p
T p p T p p Q
Um máximo em pij, significaria
retirada de massa por todas as
fronteiras, o que é incompatível
com Qmij < 0 (fonte retirando
massa)
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xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Matriz pentadiagonal
Numeração natural
Equação de balanço para
célula 6 depende de u nas
células 2, 5, 6, 7, 10
• Para analisar a estrutura deste sistema é necessário
associar uma numeração sequencial às células da
malha
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xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Matriz pentadiagonal
Numeração natural
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• Como no caso 1D, expansão em série de Taylor
revela que o erro de truncamento ET contém termos
O(1), O(h) e O(h2) impedindo uma demonstração
direta da convergência
• No entanto, da mesma forma que no caso 1D, é
possível isolar componentes O(h2) do erro que
geram os termos O(1) e O(h) de ET e a solução
aproximada converge para a solução exata com erro
O(h2) (mesmo para malha não uniforme e
coeficientes variáveis)
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• Vamos considerar o problema em 3D
• Como no caso 2D, condições de fronteira de
Dirichlet ou Neumman devem ser especificadas
x y z m
p p pk k k q
x x y y z z
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• No caso 3D é necessário considerar a célula
centrada em (xi,yj,zk) e seis vizinhos
Y X
Z i,j+1,k
i,j1,k
i,j,k1
i,j,k+1
i1,j,k
i+1,j,k
ijk
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• Integração volumétrica e aproximações semelhantes ao
caso bidimensional (média harmônica, etc) resultam em
1/2, , 1, , 1/2, , 1, ,
, 1/2, , 1, , 1/2, , 1,
, , 1/2 , , 1 , , 1/2 , , 1
1/2, , 1, , 1/2, , 1, , , 1/2,
ijk
i j k i j k ijk i j k ijk i j k
i j k i j k ijk i j k ijk i j k
i j k i j k ijk i j k ijk i j k m
i j k i j k i j k i j k i j k
T p p T p p
T p p T p p
T p p T p p Q
T p T p T , 1, , 1/2, , 1,
, , 1/2 , , 1 , , 1/2 , , 1
1/2, , 1/2, , , 1/2, , 1/2, , , 1/2 , , 1/2
ijk
i j k i j k i j k
i j k i j k i j k i j k ijk ijk m
ijk i j k i j k i j k i j k i j k i j k
p T p
T p T p p Q
T T T T T T
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1, ,
1, ,
1/2, ,
1
2ijk i j k
i j k ijk
j k x x
i j k
i x i x
y z k kT
x k x k
, 1,
, 1,
, 1/2,
1
2ijk i j k
i j k ijk
i k y y
i j k
j y j y
x z k kT
y k y k
, , 1
, , 1
, , 1/2
1
2ijk i j k
i j k ijk
i j z z
i j k
k z k z
x y k kT
z k z k
• Transmissibilidades nas direções X, Y e Z
• O tratamento das condições de fronteira é similar aos
casos anteriores
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• A equação de cada célula envolve apenas o valor de u
na própria célula e nos seis vizinhos mais próximos
• Considerando a numeração natural para os nós resulta
em uma matriz heptadiagonal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 4 7 7
8
9
10 13 16 16
17
18
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
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• A geometria dos reservatórios de petróleo é definida
por heterogeneidades internas determinadas pelas
características das formações geológicas
• Reservatórios de petróleo típicos seguem camadas
estratigráficas inclinadas que podem se colapsar em
pinch-outs e também se separar devido à presença
de falhas
• As fronteiras externas também devem ser
representadas corretamente de forma a permitir um
cálculo suficientemente preciso do volume (os
detalhes geométricos não são tão importantes)
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Fonte: U.S. Geological Survey
Department of the Interior/USGS
http://geomaps.wr.usgs.gov/parks/deform/gfaults.html
(visitado em 8/1/2015)
Ilustração de uma falha
Ilustração de um pinch-out
Fonte
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rollover.pngl
Autor: Mikenorton
(visitado em 8/1/2015)
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• É claro que uma malha cartesiana simples não é
capaz de descrever adequadamente um domínio com
essa complexidade, incluindo interfaces internas
separando regiões com propriedades petrofísicas
muito diferentes
• As malhas mais utilizadas em simulação de
reservatórios são generalizações da malha cartesiana
• Malhas não estruturadas também receberam bastante
atenção na literatura mas são menos utilizadas na
indústria
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Além disso, por questão de precisão da solução,
pode ser importante considerar malhas que sejam
refinadas em regiões onde seja necessário
representar bem características da solução,
particularmente junto aos poços
• Discretizações em malhas complexas é um tema
avançado e sob muitos aspectos ainda em
desenvolvimento
• Será apresentada uma exposição superficial de
alguns aspectos do tema
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• As malhas chamadas de “corner point” são as mais
comumente utilizadas na indústria
• Trata-se de uma malha hexaédrica onde cada célula
é definida por seus oito vértices
• A especificação independente dos vértices em
células vizinhas, permite representar os
deslocamentos entre blocos do reservatório que
aparecem nas falhas geológicas (“rejeito”)
• As células continuam identificadas por coordenadas
ijk (“logicamente retangulares”)
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MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Detalhe da conexão entre
duas células na malha corner
point com faces coincidentes
Detalhe da conexão entre duas
células na malha corner point
na presença de uma falha
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• As fronteiras externas são representadas de forma
simples, embora imprecisa, utilizando malhas “dente
de serra”, através da introdução de células inativas
Células
Inativas
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• A abordagem utilizada nos simuladores de
reservatórios comerciais é aplicar o MVF de forma
semelhante ao descrito para malhas cartesianas
gerando esquemas de sete pontos em 3D
• O conceito de transmissibilidade é generalizado,
adaptando o cálculo da área das faces e da distância
entre os centros das células para a geometria
distorcida
• Para muitos casos, esta é uma abordagem aceitável
do ponto-de-vista de engenharia
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i
i i
i i
AT k
d n
d d
área da face comum às duas células
vetor normal unitário à face comum às duas células
vetor ligando o centro das células ao centro da face
que contribui para a face comum
i
A
n
d
A
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1 2
• Transmissibilidade entre as células 1 e 2:
1
12
1 2
1 1 (média harmônica)
TT T
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• Note que em geral as faces das células não são
planas
• Assume-se que são representadas por funções
bilineares para o cálculo de áreas e volumes
• Nas falhas todas as contribuições de células em que
haja área de contato comum são consideradas
• Conexões fora das diagonais obtidas pela
discretização em malhas cartesianas aparecem
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1
2
3
Célula 1 conecta-se com as
células 2 e 3
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• Quando o segmento ligando os centros das células
não são ortogonais à face da célula, erros O(1) nos
fluxos podem aparecer quando os cálculos dos
fluxos são baseados em uma aproximação de dois
pontos (TPFA)
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
A figura ao lado indica que uma
aproximação consistente do fluxo
na interface deveria considerar o
valor de pressão em algum ponto
ao longo da linha vermelha
• Para tanto, seria necessária alguma forma de
interpolação do valor nas células vizinhas, gerando
um cálculo de fluxos envolvendo pontos adicionais
além dos centros das células que definem a face
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• Métodos de aproximação dos fluxos por múltiplos
pontos (MPFA) receberam grande atenção na
literatura nas últimas duas décadas e ainda
continuam uma área de pesquisa muito ativa
• A dificuldade está em obter discretizações que
possuam todas as propriedades de simetria,
monotonicidade (princípio de máximo),
convergência, etc desejadas
• Também é altamente desejável que os métodos
sejam fáceis de implementar nos simuladores
comerciais existentes baseados em TPFA
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Para ilustrar os princípios, vamos apresentar um
método MPFA específico
• O método tenta generalizar as ideias que justificam
o uso de médias harmônicas no caso 1D, assumindo
perfil linear de pressão nas células e impondo
condições de continuidade de pressão e velocidade
nas faces
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• A apresentação cobrirá apenas o caso 2D e é baseada
(incluindo algumas figuras) em
• Aavatsmark, An introduction to multipoint flux
approximations for quadrilateral grids, Computational
Geosciences, 2002
• O ponto de partida é definir uma malha dual ligando
os centros das células aos pontos médios das faces
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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Fig. 3 de Aavatsmark, Comp.
Geos., 2002
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
• As células da malha correspondem
aos quadriláteros de linha sólida
• Em cada célula assume-se uma
distribuição linear da pressão
• As linhas tracejadas dividem cada
face em duas subfaces onde a
continuidade de fluxo será imposta
• Continuidade de pressão será
imposta nos pontos médios das
faces
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• Expressão para o fluxo por uma subface i em uma
célula j:
• Assumindo linearidade, a expressão para a pressão na
célula é dada por (omitindo o subscrito j da célula):
, comprimento da subface i j j i if p i K n n
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
0 0
0
0 0
( ) ( )
coordenada do centro da célula
valor de em
p p p
p p
x x x
x
x
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Fig. 5a de Aavatsmark, Comp.
Geos., 2002
1 0 1 0
2 0 2 0
( )
( )
p p p
p p p
x x
x x
• Para determinar as componentes do gradiente,
utilizam-se pontos auxiliares nos pontos médios das
faces, gerando um sistema linear 2 x 2
1
1 0 1 0
1 0 1 2 0 2
2 0 2 0
( ) ( )
coluna da inversa (só depende da geometria da célula)k
p pp p p p p
p p
k
x xv v
x x
v
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• Substituindo na expressão para o fluxo da subface i da
célula j:
• Essa é a expressão que será usada para impor
continuidade de fluxo nas subfaces de uma célula da
malha dual
1 0 1 2 0 2
2
0
1
( ) ( )
( )
i j j i j i j i
ijk k
k
f p p p p p
p p
K n K v n K v n
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Na figura abaixo, as subinterfaces serão numeradas da
seguinte forma: 1 OA, 2 OB, 3 OC, 4 OD
• Os pontos de continuidade da pressão serão numerados
analogamente: 1 A, 2 B, 3 C, 4 D
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Fig. 9a de Aavatsmark, Comp.
Geos., 2002
111 1 1 112 4 1 121 2 2 122 1 2
221 2 2 222 1 2 231 3 3 232 2 3
331 3 3 332 2 3 341 4 4 342 3 4
441
Condições de continuidade de fluxo para OA, OB, OC, OD
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
4 4 442 3 4 411 1 1 412 4 1) ( ) ( ) ( )p p p p p p p p
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• As condições de continuidade de fluxo formam um
sistema linear 4 x 4 que pode ser resolvido para obter
as pressões no ponto médio das faces em função das
pressões no centro das células
• Finalmente, os fluxos em OA, OB, OC e OD são
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1 2 3 4 1 2 3 4
1
[ , , , ] , [ , , , ]T Tp p p p p p p p
p p
Ap Bp p A Bp
1 2 3 4
1
[ , , , ]
( )
Tf f f f
f
f Cp Dp CA B D p
Page 238
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• A relação anterior expressa o fluxo em cada uma das
subinterfaces em função das quatro pressões nos
centros das células (vértices da célula na malha dual)
• O fluxo em uma interface é a soma dos fluxos nas suas
duas subinterfaces constituintes
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1 1 2 2 3 3 4 4
1 entrada da matriz
i i i i i
ij
f t p t p t p t p
t ij
CA B D
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• O fluxo em cada interface irá depender dos valores de
pressão em seis células
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
1 4
2 5
3 6
Fluxo em PR é igual a fluxo em PQ + fluxo em QR
Fluxo em PQ é função da pressão nas células 1, 2, 4, 5
Fluxo em QR é função da pressão nas células 2, 3, 5, 6
Fluxo em PR é função da pressão nas células 1, 2, 3, 4, 5, 6
Fig. 4a de
Aavatsmark,
Comp. Geos.,
2002 (adaptada)
6
1
PR k k
k
f t p
Page 240
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• Juntando os fluxos através das quatro faces de uma
célula obtém-se um esquema de 9 pontos (em 3D são
27 pontos)
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Equação de balanço para célula 6 depende
de p nas células 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11
Page 241
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• A matriz gerada pelo método MPFA descrito não é,
em geral, simétrica
• Também não é monotônica para malhas com razão de
aspectos e/ou meio com anisotropia muito elevados
e/ou malhas muito distorcidas
• Também não existem resultados formais
demonstrando convergência dos esquemas, embora
resultados numéricos indiquem que há convergência
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 242
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• Resultados recentes mostram que não é possível obter
um esquema de 9 pontos que seja conservativo
localmente, reproduza exatamente campos de pressão
lineares e que seja incondicionalmente monotônico
• Ver
• Nordbotten, Aavatsmark & Eigestad, Monotonicity of
control volume methods, Numerische Mathematick, 2007
• Keilegavlen, Nordbotten, Aavatsmark, Sufficient criteria
are necessary for monotone control volume methods,
Applied Mathematics Letters, 2009
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
Page 243
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• Uma alternativa para obter flexibilidade de
representação geométrica é a utilização de malhas
não-estruturadas
• Malhas triangulares são bastante flexíveis para
representar domínios irregulares, acompanhando
descontinuidades internas e objetos de interesse
(p.ex. a trajetória de poços), além de permitirem um
adensamento/espalhamento da malha em áreas de
maior/menor interesse
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Um tipo de malha não-estruturada descrita na
literatura de simulação de reservatórios e
incorporada em alguns simuladores comerciais é a
malha de Voronoi (ou PEBI)
i
j
• Malhas Voronoi são construídas
como a malha dual de uma malha
triangular
• Os lados dos polígonos de Voronoi
são as bissetrizes dos lados dos
triângulos
• Esse polígono é a região do plano
onde todos os pontos estão mais
próximos do vértice central do que
de qualquer outro
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Fig. 2.6 da tese de PhD de Verma,
Flexible Grids for Reservoir Simulation,
Stanford Univeristy, 1998 (retirada de
Palagi, Aziz, Use of Voronoi grids in
reservoir simulation, SPE 22889, 1991)
Malha Voronoi
construída a partir de
“módulos”
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Fig. 4.14 da tese de PhD de Verma,
Flexible Grids for Reservoir Simulation,
Stanford Univeristy
Malha Voronoi
acompanhando um
poço de trajetória
complexa, uma falha e
camadas heterogêneas
Note que é difícil
alinhar as fronteiras
das células com as
heterogeneidades das
camadas
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• Os polígonos de Voronoi são as células da malha
onde o formalismo do MVF é aplicado
• Assumindo K isotrópico, o vetor velocidade Kp
fica alinhado com p e o fluxo em uma face
perpendicular ao segmento ij é bem aproximado por
( )
distância entre os vértices e
comprimento da face
j i
ij j ie
ij
ij
u uk u dS k e T u u
d
d i j
e
n
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• Tij é a transmissibilidade entre os vértices i e j,
função da geometria e das propriedades do meio
• No caso de meio heterogêneo, médias harmônicas
são empregadas para obter a permeabilidade na face
de forma semelhante às malhas cartesianas
• Juntando os fluxos em todas as faces:
conjunto dos índices dos vértices vizinhos à
i
i
ik i k m
k
i
T p p Q
i
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Note que a expressão do MVF neste caso generaliza
a de malhas cartesianas
• Para uma malha cartesiana 2D, por exemplo, se m é
o índice do nó ij, m é formado pelos índices que
correspondem aos nós i+1,j, i−1,j, i,j+1 e i,j−1
• Este fato que tem consequências importantes para
implementação dessa metodologia em simuladores
TPFA existentes
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• O número de conexões de uma célula da malha não
é sempre o mesmo como em malhas cartesianas, já
que um número arbitrário de triângulos pode
compartilhar cada vértice
• A matriz resultante continua sendo esparsa mas com
uma estrutura irregular
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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Fevereiro de 2015
1
2
3
4
5
6
7
11
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Malha triangular Matriz resultante
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• No caso em que K é anisotrópico, Kp e p não
estão alinhados e o mesmo tipo de problema que
motivou os métodos MPFA aparece
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
i
j Kn
n
• Para superar essa dificuldade,
malhas K-ortogonais foram
introduzidas
• As faces são escolhidas de tal
forma que Kn esteja alinhado
com o segmento ligando os
vértices
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• Em malhas K-ortogonais, o MVF pode ser
formulado da mesma forma que para o caso
isotrópico
• Se a razão de anisotropia for elevada, pode não ser
possível gerar uma malha K-ortogonal
• Por essa razão, é comum considerar malhas tipo
Voronoi apenas na direção horizontal e “empilhar” a
mesma malha em camadas para tratar geometrias
tridimensionais (2,5D)
MVF – Caso Incompressível 2D e 3D
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• Para fluido compressível, a EDP a ser resolvida tem
evolução no tempo, aparecendo um termo de
derivada temporal
• Como visto anteriormente, assumindo propriedades
de rocha e fluido constantes, compressibilidade
pequena e ignorando efeitos gravitacionais, a EDP
que modela o escoamento se reduz à bem conhecida
equação do calor
• Além de CF é preciso especificar uma condição
inicial
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Inciaremos o estudo do MVF para essa classe de
problemas considerando geometria 1D e CF de
Dirichlet homogêneas
• Antes de iniciar a derivação do MVF para este
problema, serão feitas algumas observações
qualitativas sobre a EDP acima
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
0
, 0 , 0
(0, ) 0, ( , ) 0, 0
( ,0) ( ), 0
t xx m
kp p q x L t
c
p t p L t t
p x p x x L
Page 256
2
20 0
p p
x t
pressão
cresce
perfil de pressão
côncavo para cima
pressão
decresce
perfil de pressão
côncavo para baixo
Efeito
suavizador
x
p t = t1
t = t2 > t1
• Na ausência de fontes:
2
20 0
p p
x t
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• Princípio de máximo:
• A demonstração utiliza o mesmo argumento de
contradição utilizado no caso incompressível
• Em um ponto de máximo o que é
incompatível com qm(x) < 0
• O caso qm(x) ≤ 0 é tratado com um argumento de
continuidade semelhante ao do caso incompressível
Se qm(x) ≤ 0 para a < x < b, 0 < t < T, então
00
( ) max max ( ),max ( , ), ( , )a x b t T
p x p x p a t p b t
0 e 0t xxp p
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Interpretação física: um máximo no interior
implicaria que massa estaria sendo retirada pelas
fronteiras sem expansão por compressibilidade, o
que é incompatível com retirada de massa pelas
fontes (qm(x) ≤ 0)
• Expressa a ideia intuitiva de que, ao retirar massa
(produção), a maior pressão deve estar nas fronteiras
ou no tempo inicial
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Os conceitos básicos do MVF são semelhantes aos
vistos para o caso incompressível, em particular os
termos espaciais são tratados de forma idêntica
• Estudaremos princípios de máximo discretos para
garantir estabilidade com a evolução no tempo, ou
seja, para garantir que pequenos erros (p.ex.
arredondamento) não se amplifiquem à medida que
a solução avança no tempo
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Para simplificar a discussão ignoraremos
fontes/sumidouros, ou seja, trataremos a EDP
• Consideraremos também malha uniforme de largura
h no domínio espacial (intervalo [0,L]):
0 0x 1x 2x mx 1mx L
1i ih x x
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
, 0 , 0t xxp p x L t
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• Similarmente, o tempo será dividido em uma
seqüência de intervalos [tn,tn+1]
• Δtn = tn+1 − tn é o tamanho do passo de tempo que,
por enquanto, consideraremos uniforme: Δtn = Δt
para todo n
t
x
( , )
Aproximação de em
,
n n
i i
n
i
p p x t
p
x x t t
xi
tn
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• Utilizamos a mesma aproximação de segunda ordem
para derivada pxx, utilizada nos problemas elíticos:
• Para a derivada no tempo, utilizamos a seguinte
aproximação:
1 1
2
2( , )
n n nn i i i
xx i
p p pp x t
h
1
( , )n n
n i it i
p pp x t
t
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Expansão em série de Taylor mostra que esta
aproximação é de primeira ordem
• Como anteriormente, a notação Pin irá indicar o
valor da solução exata no ponto (xi,tn)
21 * * 1
1*
( , ) ( , ),2
( , ) ( , ) ( , ) ( )2
n n n n n n n
i i t i tt i
n nn n ni i
t i tt i t i
tP P tp x t p x t t t t
P P tp x t p x t p x t O t
t
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Juntando essas duas aproximações, pt = αpxx pode
ser aproximada no ponto (xi,tn) por
• As condições iniciais e de fronteira são tratadas por
0
0( ,0), 0n n
i i mp p x p p
1
1 1
2
2n n n n n
i i i i ip p p p p
t h
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Simplificando,
• Método explícito: o valor no tempo tn+1 é calculado
diretamente (explicitamente) a partir dos valores em
tn sem necessidade de resolver um sistema linear
• O avanço no tempo se inicia com a condição inicial
conhecida
1
1 1
2
1
1 1
2
(1 2 )
n n n n n
i i i i i
n n n n
i i i i
p p p p p
t h
p p p p
2
t
h
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t
x i i+1 i1
n
n+1 1
1 1(1 2 )n n n n
i i i ip p p p
0
0( ,0), 0n n
i i mp p x p p
• Método de Euler para frente:
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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Resultados para método explícito para dois passos de tempo (=L=1, m=20)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0,0012t
t = 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
um passo de tempo
0,0013t
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50 passos de tempo
25 passos de tempo
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
p
Resultados para método explícito para dois passos de tempo (=L=1, m=20)
0,0012t 0,0013t
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• Uma pequena diferença no intervalo de tempo
fez gerar fortes oscilações na solução pelo
método explícito
• Vamos utilizar um argumento baseado no
princípio de máximo para justificar este
comportamento
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Fórmula de avanço no tempo para o método
explícito
• Para 1 2 > 0, todos os coeficientes são
positivos e somam um e, portanto,
1
1 1(1 2 )n n n n
i i i ip p p p
1
1 10 1
max{ , , } max { }n n n n n
i i i i ii m
p p p p p
• Condição suficiente para estabilidade do
esquema explícito
2
2
11 2 0
2 2
t ht
h
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• Para o exemplo em questão, = 1, h = 1/20
• Em problemas tridimensionais, a condição é
ainda mais restritiva:
10,00125
800t
2 2 2
2
1
2
Para malha uniforme, :6
t t t
x y z
hx y z h t
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• Para os problemas práticos de simulação de
reservatórios esta condição é excessivamente
restrita e levaria à execução de milhões de passo
de tempo para cobrir os intervalos de tempo de
interesse
• Valores típicos em simulação de reservatórios:
6 1
max
100 m, 1000mD, 1cp, 0,1, 7 10 psi
0,005dias
h k c
t
1.460.000 passos de tempo para 20 anos de simulação!!!!!
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• As restrições severas de estabilidade dos
métodos explícitos são superadas considerando
métodos implícitos, onde as aproximações de pt
e pxx são consideradas no tempo tn+1:
1 1 11 1 1
2
2( , )
n n nn i i i
xx i
p p pp x t
h
11( , )
n nn i i
t i
p pp x t
t
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Como anteriormente, expansão em série de Taylor
mostra que a aproximação de pt é de primeira ordem
21 1 * * 1
11 * 1
( , ) ( , ),2
( , ) ( , ) ( , ) ( )2
n n n n n n n
i i t i tt i
n nn n ni i
t i tt i t i
tP P tp x t p x t t t t
P P tp x t p x t p x t O t
t
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Juntando essas duas aproximações, pt = αpxx pode
ser aproximada no ponto (xi,tn+1) por
• O tratamento das condições iniciais e de fronteira
não se altera
0
0( ,0), 0n n
i i mp p x p p
1 1 1 1
1 1
2
2n n n n n
i i i i ip p p p p
t h
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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• Simplificando,
• No método implícito é necessário resolver um
sistema linear
• O sistema resultante tem características semelhantes
ao sistema que aparece na resolução de eqs. elíticas
1 1 1 1
1 1
2
1 1 1
1 1
2
(1 2 )
n n n n n
i i i i i
n n n n
i i i i
p p p p p
t h
p p p p
2
t
h
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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1
1 1
1
2 2
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
n n
n n
n n
i i
n n
m m
p p
p p
p p
p p
é simétrica e tridiagonal
Au b
A
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t
x i i+1 i1
n
n+1
0
0( ,0), 0n n
i i mp p x p p
• Método de Euler para trás:
1 1 1
1 1(1 2 )n n n n
i i i ip p p p
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
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Resultados para método implícito para t = 0,0013 (=L=1, m=20)
50 passos de tempo
25 passos de tempo
0,0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
0,5
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
t = 0
um passo de tempo
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• A solução numérica é suave e aproxima bem a
solução exata mesmo para valores de Δt que
geram oscilações no método explícito
• Para o método implícito, pode-se mostrar que
vale o princípio de máximo independentemente
do valor de Δt: a solução aproximada é
incondicionalmente estável
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
Page 281
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• Vale o princípio de máximo independente do valor de ν
• Expressa o fato de que, na célula j onde a pressão é
maior que as vizinhas, a retirada de massa pelas
fronteiras deve induzir uma queda na pressão, já que
haverá expansão do fluido por compressibilidade
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
(1 2 )
( ) ( )
n n n n
i i i i
n n n n n n
i i i i i i
p p p p
p p p p p p
1 1 1 1
0 1 0 1max { } 0 max { }n n n n n n n
j i j j j j ii m i m
p p p p p p p
Page 282
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• De forma similar ao caso incompressível, como
consequência do princípio de máximo, segue a
seguinte propriedade para a matriz A
• De fato, basta aplicar o princípio de máximo para
um problema com
• Dessa propriedade se deduz que A é não-singular e
monótona (A–1 ≥ 0) de forma inteiramente similar ao
caso incompressível
Se com , então Ap b b 0 p 0
MVF – Caso Pouco Compressível 1D
n
i ipb
Page 283
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Fevereiro de 2015
• Para estender a discretização para situações
mais gerais (2D, 3D, coeficientes variáveis,
malha não uniforme, etc) a aproximação
temporal não se altera e a aproximação espacial
segue inteiramente similar ao caso
incompressível
• Vamos considerar rapidamente o MVF
aplicado a um problema 2D
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 284
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Em 2D a EDP para escoamento pouco
compressível fica dada por
• Condições de fronteira similares ao caso
incompressível devem ser especificadas
• Condições iniciais precisam ser especificadas
( , ) ( , ) ( , )x y m
p p pk x y k x y q x y
t x x y y
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 285
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• Malha espacial centrada na célula
1x2x nx
1y
2y
my
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• Como no caso incompressível, o primeiro passo é
integrar a EDP na célula centrada em (xi,yj), fixando
o instante de tempo em t = tm, onde m = n para
método explícito e m = n + 1 para método implícito
1 12 2
1 12 2
1 1 1 12 2 2 2
1 1 1 12 2 2 2
1 12 2
1 12 2
( , , )
( , , ) ( , , )
j i
mj i
j i i j
mj i i j m
j i
j i
y x
y xx y t
y x x y
x yy x x y
x y t x y t
y x
my x
pdxdy
t
p pk dxdy k dydx
x x y y
q dxdy
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A primeira integral no lado esquerdo é aproximada
pela regra do ponto médio substituindo a derivada
temporal no integrando pela aproximação de
primeira ordem utilizada anteriormente
1 12 2
1 12 2
1
( , , ) ( , , )
1
j i
m mj ii j
n ny x
ij ij
i j i j ny xx y t x y t
n n
ij ij
ij n
p pp pdxdy x y x y
t t t
p pV
t
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 288
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para as demais integrais do lado esquerdo, as mesmas
aproximações do caso incompressível são utilizadas
(regra do ponto médio, média harmônica, etc),
resultando em expressões inteiramente semelhantes,
mas incorporando a dependência no tempo
1 12 2
1 12 2
1/2, 1, 1/2, 1,
( , , )
j i
mj i
y xm m m m
x i j i j ij i j ij i jy x
x y t
pk dxdy T p p T p p
x x
1 12 2
1 12 2
, 1/2 , 1 , 1/2 , 1
( , , )
i j
i j m
x ym m m m
y i j i j ij i j ij i jx y
x y t
pk dydx T p p T p p
y y
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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• Para o caso 2D com espessura constante, o termo
fonte qm corresponde à vazão mássica específica
dada em termos de vazão mássica por unidade de
área
• Assim, o termo
corresponde à vazão mássica (massa/tempo) que
iremos assumir especificada (corresponde à vazão
dos poços de injeção ou produção)
1 12 2
1 12 2
i j
iji j
x y
m mx y
Q q dxdy
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 290
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Em geral, a vazão volumétrica em condições padrão
(de superfície) Qsc é especificada
• Para o problema compressível, a densidade não é
constante e precisamos da densidade em condições
padrão para relacionar as vazões mássica e
volumétrica
• Calcular a pressão de fluxo nos poços é um
problema relevante que será tratado mais adiante
ijm sc scQ Q
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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• CF são tratadas da mesma forma que no caso
incompressível
• Juntando as aproximações para todas as integrais,
1
1/2, 1, 1/2, 1,
, 1/2 , 1 , 1/2 , 1 ij
n n
ij ij m m m m
ij i j i j ij i j ij i jn
m m m m
i j i j ij i j ij i j m
p pV T p p T p p
t
T p p T p p Q
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para m = n, método explícito:
• Não é necessário resolver um sistema linear
• As restrições no tamanho do passo de tempo para
obter uma solução estável são mais severas que no
caso 1D
1
1/2, 1, 1/2, 1, , 1/2 , 1 , 1/2 , 1
1/2, 1/2, , 1/2 , 1/2
ij
n n
ij ij
nn n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j ij ij m
ij
ij i j i j i j i j
p p
tT p T p T p T p p Q
V
T T T T
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 293
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para satisfazer o princípio de máximo:
• A condição é local e, portanto, a célula da malha
com condição mais restrita irá determinar o tamanho
do passo de tempo estável
1 0n
ijn
ij
ij ij
Vtt
V
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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• Para m = n + 1, método implícito:
• O método implícito resulta em um sistema linear
pentadiagonal com a mesma estrutura de
esparsidade do caso incompressível
1 1 1 1
1/2, 1, 1/2, 1, , 1/2 , 1 , 1/2 , 1
1
1/2, 1/2, , 1/2 , 1/2
ij
n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j
ij n n
ij ij ij mn
ij i j i j i j i j
T p T p T p T p
Vp p Q
t
T T T T
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Argumentos inteiramente similares ao caso 1D
mostram que um princípio de máximo discreto é
satisfeito e que a matriz é não-singular e monótona
• Da mesma forma, situações mais complexas (3D,
etc) resultam em sistemas com as mesmas estruturas
do caso incompressível
MVF – Caso Pouco Compressível 2D e 3D
Page 296
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
Tratamento de Poços
• Poços são tratados como fontes (injeção) ou
sumidouros (produção) pontuais, já que o raio dos
poços é da ordem de centímetros enquanto a distância
entre poços é da ordem de centenas de metros
• Nas vizinhanças dos poços o fluxo tende a ser radial e
aparece um comportamento singular para a pressão
• Para fluxo incompressível em meio horizontal e
homogêneo, a singularidade é de natureza logarítmica
Page 297
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• Equação para o escoamento incompressível em
coordenadas cilíndricas
0, ( ) , ( )
ln lnln
w w e e
e ww w
w e w w
pr p r p p r p
r r
p dr r p p rr c cdp c p p p p
r r r r r r
re
rw
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0 200 400 600 800 1000
r (m)
p (
psi)
re
rw
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• Velocidade na direção radial cresce do raio externo
para o interno:
• A vazão atravessando qualquer anel concêntrico é
constante (h é a espessura do meio)
1
ln
e wr
e w
k p k p p
r r r r
v
1 2
2ln ln
e w e wr
e w e wanel
k p p hk p pq dA rh
r r r r r
v n
Conseqüência da hipótese de
incompressibilidade
Page 299
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• Relação entre a pressão p em um raio r, a
pressão no poço pw (r = rw) e a vazão
volumétrica Q (assumindo todas as hipóteses
anteriores):
( ) ln2
w
w
Q rp r p
hk r
Tratamento de Poços
Page 300
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Tratamento de Poços
• A pressão calculada pelo simulador para a célula
contendo o poço não aproxima bem o comportamento
singular da pressão na proximidade dos poços
• Em particular, uma boa aproximação para a pressão de
fluxo nos poços é extremamente importante para
determinação das condições de elevação do fluido,
além de outras considerações de interesse prático (p.ex.
pressão de fraturamento em poços de injeção)
Page 301
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Tratamento de Poços
• Um outro aspecto a considerar é que as condições de
operação dos poços podem ser especificadas em função
da pressão e não vazão
• Além disso, para poços atravessando várias células a
vazão total é especificada, já que não há como
especificar a vazão individual em cada célula, e uma
equação adicional é introduzida e uma variável
adicional é necessária
• Essa variável é a pressão de fundo de poço (voltaremos
a esse tópico em breve)
Page 302
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Tratamento de Poços
• A forma clássica para calcular a pressão de fundo de
poço é através do modelo de poço de Peaceman, que
compara o perfil de pressão analítico (logarítmico) com
o numérico
• Além das mesmas hipóteses envolvidas na obtenção da
solução logarítmica, o modelo de Peaceman clássico
assume malha uniforme e que as células vizinhas à do
poço não sofrem influência de outras áreas do
reservatório e, portanto, têm a mesma pressão
Page 303
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
C B A
D
E
Poço produzindo com
vazão Q no centro da
célula A
0
ACABB A A C
AE ADE A A D
TTp p p p
T Tp p p p Q
Propriedades homogêneas:
AB AC AE AD
B C D E
T T T T T kh
p p p p
4 04 4
B A B A
T Q Qp p Q p p
T kh
Solução numérica
Page 304
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Fevereiro de 2015
C B A
D
E
Poço produzindo com
vazão Q no centro da
célula A
2
ln
ln2
eq
B A
xr
B A
eq
kh p pQ
Q xp p
kh r
Solução analítica
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0 200 400 600 800 1000
r (m)
p (
psi)
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Fevereiro de 2015
C B A
D
E
Poço produzindo com
vazão Q no centro da
célula A
Igualando numérico e analítico:
2
ln4 2
0.208
eq
eq
Q Q x
kh kh r
r e x x
Raio equivalente: distância ao poço
onde a pressão calculada
numericamente na célula do poço
corresponderia ao valor obtido do perfil
logarítmico de queda de pressão da
solução analítica
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2
ln w
eq
A wf
r
r
p pkhQ
• Vazão em função da diferença entre a pressão na
célula e no interior do poço
2
ln w
eq
A wf
r
r
p pkhQ
S
• Um fator de skin S pode ser adicionado para levar em
consideração dano (S > 0) ou estimulação (S < 0)
Tratamento de Poços
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2
, ln w
eq
A wf r
r
WI khQ p p WI
S
• A vazão de produção/injeção está associada à
diferença de pressão entre a célula e o poço por um
“modelo de poço” da forma
• WI é o “índice do poço” (“well index”) dependente
apenas da geometria e permeabilidade da célula, do
raio do poço e de sua localização e orientação na
célula
Tratamento de Poços
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12
11 1 2
2 2
1 14 4
2 2
2
ln
0,28
eq
w
y x
x y
y x
x y
x y
r
r
k kk k
eqk k
k k
k k hWI
S
x y
r
• Para um poço vertical em uma malha de dimensões x
e y e permeabilidades kx e ky, a fórmula de Peaceman
é a opção padrão em todos os simuladores comerciais:
Tratamento de Poços
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• Versões da fórmula de Peaceman para situações
ligeiramente mais genéricas existem (p.ex. poço não
alinhado com a malha), mas as limitações inerentes
dessa abordagem fazem com que não gere boas
aproximações quando os poços ou a malha apresentam
geometria complexa
• Nestes casos, uma abordagem descrita na literatura
envolve a comparação entre uma solução de referência
(numérica em malha fina ou semi-analítica) e uma
solução numérica (estacionária) na malha de interesse
Tratamento de Poços
Page 310
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para maiores detalhes ver
• Wolfsteiner, Durlofsky & Aziz, Calculation of well index
for nonconventional wells on arbitrary grids,
Computational Geosciences, 2003
• Palagi & Aziz, Handling of wells in reservoir simulation,
4th International Forum on Reservoir Simulation,
Salzburg, Austria, 1992
• Aavatsmark & Klausen, Well index in reservoir simulation
for slanted and slightly curved wells in 3D grids, SPE
Journal, 2003
Tratamento de Poços
Page 311
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Voltamos agora à questão de poços atravessando
várias células da malha
• Em cada uma dessas células vale o modelo de poço
• Se a vazão total é especificada, então uma equação
adicional é incluída no sistema
Tratamento de Poços
k
kk k wf
k
WIQ p p
k
w w
esp kk k wf
k I k I k
WIQ Q p p
Page 312
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• A pressão de fluxo em uma das células (“pressão de
fundo de poço”) é a variável a ser determinada e que é
alinhada com essa nova equação
• As demais pressões são determinadas por um algum
modelo (simplificado) de escoamento em tubulações
• O modelo mais simples (e mais utilizado) considera
apenas o peso da coluna hidrostática
• A dependência de com a pressão é usualmente
tratada de forma explícita
Tratamento de Poços
k refwf wf k k refp p g z z
Page 313
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
Escoamento Compressível
• Trataremos agora do problema monofásico mais geral,
considerando a dependência não linear da porosidade e
das propriedades de fluido com a pressão e o
tratamento de poços descrito anteriormente
• EDP a ser resolvida
0
( ), ( ) e ( )
kp q
t
p p p
g
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• Aplicando o formalismo do MVF com tratamento
implícito dos termos temporais, o balanço de massa em
uma célula i é dado por
11 1 1 1
1 1 1
( ) ( )( )
0
conjunto dos índices dos vértices vizinhos à
mobilidade mássica avaliada na face entre as células e
i k
n nn n n ni i
i ik ik i k ik i knk
n n n
w i i wf
i
ik ik
V T p p z zt
WI p p
i
i
densidade avaliada na face entre as células e
mobilidade mássica na face do poçoi i
ik
w w
k
i k
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Escoamento Compressível
• ik e ik são avaliados por uma média dos valores nas
células i e k
• A mobilidade no poço é avaliada de acordo com o tipo
de poço, injetor ou produtor
• As pressões nos poços são relacionadas com uma
pressão de referência
Considerando apenas forças gravitacionais (equilíbrio hidrostático)
k ref
k ref
wf wf
n
wf wf k k ref
p h p
p p g z z
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Escoamento Compressível
• Dois tipos básicos de especificação das condições de
operação dos poços (pressão ou vazão especificada)
• Pressão especificada
• Para vazão especificada, uma nova equação aparece
para determinação da variável
ref
esp
wf wp p
refwfp
1 1 11k k
w w
esp n n n
k w k k wf
k I k I sc
Q Q WI p p
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Escoamento Compressível
• A escolha do tamanho do passo de tempo tn é
geralmente feita por um procedimento simples que
procura ajustá-lo a “variações esperadas” de pressão no
passo através de extrapolação linear
• As equações de balanço de massa mais a especificação
de operação dos poços formam um conjunto de
equações algébricas não lineares que deve ser resolvido
para determinar as pressões em cada célula e pressões
de referência em cada poço (pressão de fundo de poço)
Page 318
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
Breve Descrição de Métodos de Solução
• A solução eficiente dos sistemas algébricos (lineares e
não lineares) resultantes da discretização das equações
de balanço é tarefa crucial para o sucesso de um
simulador, em particular pela demanda por malhas cada
vez mais refinadas e a modelagem de processos físicos
complexos
• Em particular, a utilização adequada do hardware
paralelo existente nas máquinas modernas deve ser
cuidadosamente considerada
Page 319
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Este é um tópico especializado de grande interesse na
literatura e na indústria, cuja descrição detalhada
exigiria um curso à parte
• Neste curso, será feita uma breve apresentação dos
métodos de solução mais utilizados, de caráter mais
informacional
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 320
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• A característica mais marcante dos sistemas lineares
resultantes da discretização de EDPs, do ponto-de-
vista da resolução eficiente, é que as matrizes são
altamente esparsas, ou seja, possuem poucos
elementos não-nulos
• Para uma malha 100 x 100, a matriz possui 108
elementos, mas menos de 50000 não nulos (menos
de 0,05%)
• Infelizmente, o processo de solução direta por
eliminação gaussiana gera uma grande quantidade
de não nulos
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 321
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxx0
xxx
xxxx
xxx0
xxx
• Primeiro passo de eliminação gaussiana: usar a primeira
linha para zerar os não nulos da primeira coluna
Page 322
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxx0
xxx00
xxx
xxx0
xxx0
xxx
• Segundo passo de eliminação gaussiana: usar a segunda
linha para zerar os não nulos da segunda coluna
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxx0
xxx
xxxx
xxx0
xxx
Page 323
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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x
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
• O processo prossegue preenchendo todos os nulos entre as
diagonais
• Este processo é equivalente a gerar uma fatoração LU com
fatores triangulares com não nulos entre as diagonais
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
x
L U
Page 324
• Para uma malha N x N, são necessários aproximadamente N3
posições de memória para armazenar os fatores LU
• Para uma malha 100 x 100, 106 ao invés das 50000 originais
• Em termos de esforço computacional, a situação é ainda pior,
já que o custo para resolver o sistema é em torno de N4
• Estes resultados são influenciados pela numeração das células
1 9 2 10
11 3 12 4
5 13 6 14
15 7 16 8
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxx
Ordenamento Red-Black
Page 325
• Para esta numeração, o número de não-nulos gerados e
o custo para resolver o sistema são da ordem de metade
da numeração natural
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
xxx
• Diversas numerações foram sugeridas para reduzir a
memória necessária e o esforço computacional do
processo de eliminação gaussiana
Page 326
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• O aparecimento de preenchimentos reduz a
aplicabilidade de métodos diretos a problemas de
pequeno porte e método iterativos são os mais
utilizados
• Em um método iterativo, parte-se de uma estimativa
inicial x0 e obtém-se aproximações xk
progressivamente melhores
• Métodos de Krylov são os mais utilizados,
especialmente GMRES e Orthomin
• Gradientes conjugados apenas para problemas simétricos
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 327
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Em cada iteração, xk é a projeção da solução no espaço
de Krylov gerado por r0, Ar0, A2r0, ...
• Em problemas não-simétricos, é necessário armazenar
uma base para o espaço de Krylov, de forma que
métodos práticos envolvem interrupção do processo
em um número pequeno de passos e restart a partir da
última aproximação obtida
• A eficiência do processo iterativo é fundamentalmente
determinada pela escolha de um pré-condicionador
apropriado
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 328
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• “Précondicionar” significa transfomar o sistema
original em outro de mais fácil resolução
• O pré-condicionador M deve ser escolhido para que
• M seja uma boa aproximação para A
• Sistemas com M sejam fáceis (“baratos”) de resolver
• A obtenção de bons pré-condicionadores é uma
questão não trivial e envolve características especiais
do problema a ser resolvido
1 1
1
(pré-condicionador à esquerda)
, (pré-condicionador à direita)
M Ax M bAx b
AM y b y Mx
Page 329
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Um pré-condicionador genérico e bastante utilizado
consiste em fatorações incompletas (ILU), onde
ignoram-se a maior parte dos preenchimentos que
aparecem no processo de eliminação gaussiana
• Outros pré-condicionadores populares utilizam a
aproximações por blocos (“nested-factorization é um
exemplo característico na área) e aproximações diretas
para a inversa de A
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 330
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Aspectos ligados a processamento paralelo são
essenciais para um bom pré-condicionador
• Como processamento paralelo melhora quanto mais
desacoplado o algoritmo, para problemas em que haja
acoplamento espacial muito forte, desenvolver bons
pré-condicionadores paralelos é um desafio
• Técnicas de decomposição de domínios são muito
utilizadas, sendo comum a introdução de um “espaço
grosseiro” para garantir que não haja muita deterioração
da convergência pelo tratamento isolado dos domínios
Breve Descrição de Métodos de Solução
Page 331
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Para resolução das equações não lineares, o método de
Newton é o mais utilizado
1 1 1
1
:
( , , )
( , , )
N N
N
N N N
x f x x
x f x x
F
1, ,1, ,
( ) jacobiano de ik
i Njj N
f
x
J x F
1 1
1
( ) ( ) escolhido tal que ( ) 0
k k k
k k k
k k k
J x x F xx L x
x x x
Aproximação linear para F: ( ) ( ) ( )k k k k L x F x J x x x
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
• Requer a solução de um sistema linear a cada
iteração
• A convergência é apenas local, mas com taxa
quadrática, ou seja, o método é muito eficiente
quando se está próximo da solução mas pode falhar
quando afastado
• Aplicação à discretização da equação da pressão:
Uma boa estimativa inicial está disponível: o valor de
pressão no passo de tempo anterior
Se o método de Newton falhar, é possível repetir o
passo de tempo reduzindo t de forma a obter uma melhor estimativa inicial
A estrutura do Jacobiano é a mesma do problema
linear, podendo ser aplicadas as mesmas técnicas
discutidas anteriormente
Page 333
Introdução à Simulação de
Reservatórios Petrolíferos Prof. José Roberto P. Rodrigues
Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
Introdução à Simulação de
Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues
(PETROBRAS/CENPES)
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Reservatórios Petrolíferos Prof. José Roberto P. Rodrigues
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• Tópicos
• Conceitos básicos
• Pressão capilar e permeabilidade relativa
• Equações para escoamento bifásico
• Análise do comportamento
• Problema de Buckley-Leverett
• Efeito do termo difusivo
Escoamento Bifásico – Formulação
Matemática
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Reservatórios Petrolíferos Prof. José Roberto P. Rodrigues
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Escoamento Multifásico: Conceitos Básicos
• Tipos de escoamento multifásico:
Deslocamento miscível: os fluidos são completamente
solúveis, não formando uma interface entre eles (uma
única fase). Ex.: injeção de água do mar (salgada) em
um reservatório com água original (doce)
Deslocamento imiscível: há uma clara interface entre os
fluidos; não há transferência de massa entre as fases.
Ex.: injeção de água em um reservatório de óleo
• Neste curso trataremos apenas de escoamentos imiscíveis
• Saturação é a fração volumétrica de uma fase no volume
poroso total
p
ff
V
VS
• Note que 1Sf
f
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Introdução à Simulação de
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• Interação molecular entre os fluidos entre si e com o sólido
geram tensão interfacial
• Devido à esta tensão interfacial, existe uma diferença de
pressão ao longo da interface entre as fases
Pressão Capilar
P1
P2
• P1 P2 é função da tensão interfacial e da curvatura da
interface
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• No escoamento bifásico (óleo-água, p.ex.) uma das fases
adere preferencialmente à rocha (fase molhante)
Pressão Capilar
M
NM
Direção de Fluxo
NM
M
Direção de Fluxo
Drenagem: fase
não-molhante
desloca a molhante
Embebição: fase
molhante desloca a
não-molhante
• Tipicamente, em escoamentos água-óleo, a água é a fase
molhante e o óleo a fase não-molhante
• Usaremos os subscritos w (água) e o (óleo) para denotar as
fases molhante e não-molhante
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• No escoamento bifásico a geometria da interface entre as fases
varia com a saturação
• A pressão capilar é uma função da saturação: Pc(Sw) = Po Pw
que é medida em laboratório
Pressão Capilar
Sw
Pc
1
drenagem
embebição
A curva de pressão capilar
apresenta dependência com
a história do deslocamento
(histerese)
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• No escoamento bifásico, as fases têm velocidades distintas e
assume-se que a lei de Darcy vale em cada uma delas
Permeabilidade Relativa
gpkk
v
gpkk
v
ooo
oo
o
oo
www
ww
w
ww
• kw e ko são as permeabilidades efetivas à água e ao óleo e
dependem não só da interação entre fluido e rocha, mas também do
impacto relativo que a presença de um fluido causa ao escoamento
do outro
• É comum normalizar as permeabilidades efetivas de cada fase pela
permeabilidade absoluta k e definir permeabilidades relativas
1k,k0,k
kk e
k
kk rorw
oro
wrw
Page 340
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• As permeabilidades relativas são consideradas funções das
saturações e medidas em laboratório
Permeabilidade Relativa
)S(kk e )(Skk wrorowrwrw
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Sw
kr
krw
kro
Swi saturação irreducível
de água
1 Sor saturação
de óleo residual
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• Tipicamente, 0,1 Swi 0,3 e 0,2 Sor 0,4
• As curvas de permeabilidade relativa também podem apresentar
histerese
• O conceito se justifica melhor em sistemas com molhabilidade
bem definida
• Apesar de controversas, as curvas de permeabilidade relativas
são universalmente utilizadas na modelagem do escoamento
bifásico em reservatórios de petróleo
Permeabilidade Relativa
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• Vamos derivar as equações governantes do escoamento bifásico
imiscível em meios porosos
• O princípio de conservação de massa é aplicado individualmente
a cada fluido
Equações para Escoamento Bifásico
0qv
t
Swwww
ww
0qv
t
Soooo
oo
Conservação de massa para água
Conservação de massa para óleo
• Exceto pelos subscritos, a única diferença em relação ao caso
monofásico é presença da saturação no termo de acumulação
• A velocidade da água só aparece na equação da água e a do
óleo só na fase óleo: conseqüência da imiscibilidade
• Se houvesse transferência de massa entre as fases, deveria se
levar em conta o escoamento da massa de cada componente
dissolvida nas duas fases
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Equações para Escoamento Bifásico
Reescrevendo a lei de Darcy para cada fase
gpkgpkk
v
Pgpkgpkk
v
oooooo
roo
cwowwww
rww
fases das smobilidade as são k
e k
o
roo
w
rww
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Equações para Escoamento Bifásico
Substituindo nas equações de balanço de massa
0qgpk
t
S
0qPgpkt
S
oooooooo
wwcwowwww
Em geral, na equação acima assumimos:
• k = k(x) é um tensor diagonal
• f = f(po), f = f(po), f = w,o, e = (po)
• krf = krf(Sw), f = w,o, e Pc = Pc(Sw)
Lembrando a relação Sw + So = 1 restam po e Sw como incógnitas
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É necessário ainda especificar condições iniciais e de fronteira:
• A condição inicial para a pressão é semelhante ao caso monofásico,
isto é, equilíbrio hidrostático
• Para a saturação é usual especificar o contato água-óleo e dividir o
reservatório em três zonas: aqüífero, transição e óleo
Datum
pDatum
profundidade
pressão
Equações para Escoamento Bifásico
Contato
água-óleo
Pc
po
pw
Sw
Aqüífero
Sw = 1
Zona de
Transição
Swi Sw 1Sor
Zona de Óleo
Sw = 1Sor
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Análise das Equações
• As equações apresentadas constituem um sistema de EDP’s não
lineares extremamente complexo
• Um exame superficial das equações levaria a supor que o
comportamento do problema é semelhante ao caso monofásico
• Veremos que isto é verdade para a pressão, mas não para a
saturação
• Para tanto analisaremos algumas situações particulares e
discutiremos algumas soluções analíticas explícitas para
problemas de interesse
• Obs.: escreveremos S = Sw (note que So = 1 Sw)
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Análise das Equações
• Ignorando efeitos gravitacionais e a presença de fontes e
sumidouros e assumindo incompressibilidade da rocha e dos
fluidos ( = cte e f = cte, f=w,o):
0pk
t
S1
0pkt
S
oo
ww
• Somando as duas equações (balanço de massa total de fluido):
0ppk
0ppk
ot
ow
t
wt
ooww
total mobilidade owt
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Análise das Equações
Gostaria de definir uma pressão média pm para transformar
0pk mt
)(,pp ot
ow
t
w
que é uma média ponderada de pw e po, em pm para que a
equação se transformasse em
Equação de Laplace
Para tanto, escrevemos () como um desvio em relação à média
aritmética de pw e po
SP2
pp2
1P
2pp
2
1
p2
p2
pp2
1
p2
1p
2
1pp
2
1pp
ct
woowc
t
woow
ot
wow
t
owow
ot
ow
t
wowo
t
ow
t
w
Page 349
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Análise das Equações
h) de (primitiva dSP2
)S(HeP2
)S(h ct
woc
t
wo
Daí,
Defina
SP2
S)S(hS)S(H)S(H ct
wo
Finalmente,
Hpp
2
1Hpp
2
1pp owowo
t
ow
t
w
A pressão média desejada é dada por pm = ½ (pw + po) + H
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Análise das Equações
• A discussão acima mostrou que, semelhante ao caso monofásico,
assumindo incompressibilidade, a pressão é governada pela equação
de Laplace (comportamento elíptico)
• Note que, devido à dependência de t em S, a equação acima é
não-linear
• Para o caso de (pequena) compressibilidade, é possível mostrar
que a pressão se comporta aproximadamente segundo uma
equação parabólica
• É interessante definir a velocidade total como
0pk mt
0v
pkv
t
mtt
Condição de
Incompressibilidade
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Análise das Equações
• Para analisar o comportamento da saturação, consideramos a
equação de conservação da água
0pkt
Sww
• Da definição de pm,
SPpSP2
SP2
1p
S)S(hP2
1pHP
2
1p
H2pHp2
1p
2
1pH2pp2p
Hp2
1p
2
1p
ct
omc
t
wocm
cmcm
oowmomw
owm
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Análise das Equações
• Substituindo na equação
0S)S(gv)S(ft
S
0SPkpkt
S
0SPpkt
S
t
ct
owmt
t
w
ct
omw
ofracionári fluxo função )S(ft
w
Termo
Advectivo
Termo
Difusivo
Equação da
Advecção-Difusão
Não-Linear
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Problema de Buckley-Leverett
• Vamos desprezar os efeitos capilares, e considerar o deslocamento
de óleo por água injetada com vazão constante em uma amostra de
área de seção constante, inicialmente preenchida com óleo
0v)S(fxt
St
0)t,x(vx
t
q
A/q)t,0(vt
0)0,x(S
1)t,0(S
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0x
fv
t
S
vA
q)t,x(v
A
q)t,0(v
0)t,x(vx
t
t
t
wiS)0,x(S
orS1)t,0(S
• Da equação da pressão,
• Problema a ser resolvido para a saturação
• A equação acima é uma lei de conservação não-linear que pode ser
escrita
0x
S)s(f
v
t
S
Problema de Buckley-Leverett
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constante 0u ,0x
Su
t
S
)x(S)0,x(S o
• Vamos simplificar mais considerando o problema de Cauchy para a
equação da advecção linear
• As curvas x = x(t) sobre as quais S(x(t),t) é constante são as
características
• As características são as retas x ut = , constante
• A interseção com o eixo X (t = 0) é dada pelo ponto (,0)
udt
dx0
x
S
dt
dx
t
S0)t),t(x(S
dt
d
)utx(S)t,x(S)(S)0,(S)t,x(S oo
Problema de Buckley-Leverett
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(x,t)
(,0) = (x ut,0)
x
t
Características
no plano xt
x
t = 0 t1 > 0 t2 > t1
u Perfis de solução: a
condição inicial é
deslocada para direita
com velocidade u, sem
alteração da forma.
Velocidade de
Propagação Finita
Problema de Buckley-Leverett
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0x
S)S(f
v
t
S
• Problema de Buckley-Leverett
wiS)0,x(S
orS1)t,0(S
• Curvas características
• As características são retas (S constante ao longo das características)
• Ao contrário do caso linear, a inclinação das retas características não
é constante
• As características podem se cruzar!!!
t)S(f
vx)S(f
v
dt
dx0
x
S
dt
dx
t
S0)t),t(x(S
dt
d
Problema de Buckley-Leverett
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0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
S
f(S
)
0
1
2
3
4
5
de
riva
da
de
f
f
derivada de f
Curva de fluxo
fracionário típica
(formato de S) e
derivada
Swi 1 Sor
Problema de Buckley-Leverett
Page 359
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Características no plano xt se
cruzam: mais de um valor de
saturação no mesmo ponto!!!!
Para superar este paradoxo,
devemos admitir soluções
com descontinuidades de
salto, denominadas choques Condição
Inicial So(x)
1 Sor
Swi
Derivada do fluxo
fracionário
A inclinação das
características no plano xt é
proporcional ao inverso da
derivada de f
S 1 Sor Swi
Page 360
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• Vamos obter a velocidade de propagação s(t) de um choque com
valores à esquerda e à direita ul e ur
• Argumento baseado em conservação de massa
x1 x1+x
t1
t1+t
rSS lSS
Caminho de
propagação do
choque w(t)
• Expansão em série de Taylor:
)t(Ot)t(sx
)t(Ot)t(sxxx
)t(Ot)t(w)t(w)tt(w
21
2111
2111
Problema de Buckley-Leverett
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rl
rl1
rlrl1
rlrl
tt
t 1
tt
t 1
xx
x 1
xx
x 1
tt
t
xx
x
SS
)S(f)S(fv)t(s
)S(f)S(fv
tSSt)t(s
)S(fv
t)S(fv
txSxS
dt))t,xx(S(fv
dt))t,x(S(fv
dx)t,x(Sdx)tt,x(S
0dxdtx
)S(fv
t
S
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
• Integrando a equação de Buckley-Leverett no retângulo
Condição de Rankine-Hugoniot
Problema de Buckley-Leverett
Page 362
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0x
S)S(f
v
t
S
• Voltando ao problema de Riemann
wiS)0,x(S
orS1)t,0(S
• À direita do choque, a saturação é Sr = Swi
• À esquerda do choque, Sl = é determinado de forma a
compatibilizar a condição de RH com o método das características
wi*w
wi*w*
wSS
)S(f)S(f)S(f
v
*wS
Problema de Buckley-Leverett
Page 363
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Swi *wS
f
S
Construção Gráfica
de Welge
Corresponde ao
envelope convexo
do gráfico de f
Características
no plano xt Swi
1 Sor
*wS
Problema de Buckley-Leverett
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t1 > 0 t2 > t1 t3 > t2
Perfis de saturação com o
tempo: avanço da frente
de saturação
• Velocidade de propagação finita
• Descontinuidades podem aparecer mesmo para dados iniciais suaves
Swi
1 Sor
*wS
Problema de Buckley-Leverett
Page 365
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• Vamos considerar o seguinte problema de valor inicial para a equação
da advecção-difusão linear
Efeito do Termo Difusivo
constante 0u, ,0x
S
x
Su
t
S2
2
212
1o SS,
0x,S
0x,S)x(S)0,x(S
• Introduzindo novas variáveis = t e y = x ut, S = S(y(x,t),(t)), temos
que
S
y
Su
t
S
t
y
y
S
t
S
2
2
2
2
y
S
x
S
y
S
x
S
x
y
y
S
x
S
Page 366
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• Substituindo na equação
Efeito do Termo Difusivo
0y
SS0
y
S
y
Su
S
y
Su
2
2
2
2
• A solução é dada por
de)(S2
1),y(S 4/y
o
2
• Substituindo a solução pode ser expressa como 2/y
2/y
0
2121 deSS
2
SS),y(S
2
Page 367
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• Definindo
Efeito do Termo Difusivo
erro função de2
)z(erfz
0
2
2
yerf
2
SS
2
SS),y(S 2121
Perfis de solução para o mesmo
e dois valores de
Quanto maior , mais “suavizada”
a solução epslon1
epslon2 > epslon1
Page 368
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Fevereiro de 2015
Efeito do Termo Difusivo
t2
utxerf
2
SS
2
SS)t,x(S 2121
• Nas coordenadas originais, a solução se move para a direita
t1 > 0
t2 > t1
• O efeito do termo difusivo é
suavizar a frente de avanço em
relação à solução da advecção pura
• Quanto maior , maior a suavização
• Em modelagem de produção de
petróleo, usualmente a difusividade
introduzida pelas forças capilares é
pequena e frentes abruptas de
saturação se formam
Page 369
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
Introdução à Simulação de
Reservatórios Petrolíferos
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(PETROBRAS/CENPES)
Programa de Verão LNCC – Fevereiro de 2015
Page 370
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Comportamento qualitativo das variáveis no
escoamento bifásico:
Pressão é governada por uma equação
parabólica (para pequenas compressibilidades
quase elíptica)
Saturação é governada por uma equação de
advecção-difusão, com termo difusivo de
pequena magnitude
Escoamento Bifásico – Formulação
Numérica
Page 371
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
• Discretizações apropriadas para problemas elípticos e
parabólicos já foram discutidas no escoamento
monofásico
• Trataremos agora de dois assuntos:
Métodos numéricos apropriados para problemas
de advecção (hiperbólicos)
Como combinar os métodos numéricos discutidos
em problemas modelo para gerar procedimentos
efetivos para solução de problemas de escoamento
bifásicos multidimensionais
Escoamento Bifásico – Formulação
Numérica
Page 372
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
• Tópicos
• Discretização para problemas de advecção
• Tratamento explícito e implícito. Estabilidade e condição de CFL
• Discretização a montante e dispersão numérica
• Métodos para escoamento bifásico
• Métodos IMPES e totalmente implícito (FIM)
Escoamento Bifásico – Formulação
Numérica
Page 373
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
Prof. José Roberto P. Rodrigues Programa de Verão LNCC
Fevereiro de 2015
• Problema de Cauchy para a equação de advecção
linear em 1D
0
0, 0
( ,0) ( )
t xS vS v
S x S x
(x,t)
(,0) = (x vt,0)
x
t
Características
no plano xt
Equação de Advecção Linear 1D
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• Discretização temporal:
1n n
j j
t n
S SS
t
• Aplicando o formalismo do MVF em uma malha de
células [xj–1/2, xj+1/2] e pontos xj e tratamento
explícito do termo advectivo
1 12 2
1 12 2
1 1 12 2 2
1 12 2
12
( , ) ( , )
1
1
0
0
0
j j
n n
j j
x x
t xx t x tx x
n n
j j n n
j j j
n nn nj jj j
n
j
S dx vS dx
S Sh v S S
t
S SS Sv
t h
Page 375
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Fevereiro de 2015
• Para discutir a avaliação de S na face da célula e a
discretização da derivada espacial, consideraremos
malha uniforme: t = intervalo de tempo, h =
largura da malha espacial
t
x
t
h
Equação de Advecção Linear 1D
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• Avaliação centrada de S na face xj+1/2
• Resulta na discretização
Equação de Advecção Linear 1D
12
1
2
n n
j j
j
S SS
1
1 10
2
n n n n
j j j jS S S Sv
t h
1 1
2
n n
j j
x
S SS
h
Diferença central
jx 1jx 12j
x
v
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Avaliação a montante (“upstream”) de S na face xj+1/2
• Resulta na discretização
Equação de Advecção Linear 1D
1
10
n n n n
j j j jS S S Sv
t h
12
jjS S
1
n n
j j
x
S SS
h
Diferença para trás
jx 1jx 12j
x
v
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• Avaliação a jusante (“downstream”) de S na face xj+1/2
• Resulta na discretização
Equação de Advecção Linear 1D
1
10
n n n n
j j j jS S S Sv
t h
12
1jjS S
1
n n
j j
x
S SS
h
Diferença para frente
jx 1jx 12j
x
v
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• Análise do erro de truncamento por série de Taylor
2 2 21
1 2 2( )
2 2j j
n n
j jn n T
j j DT
x x x xx x x x
S SS h S S h SS S h E O h
x x x h x
2 2 21
1 2 2( )
2 2j j
n n
j jn n T
j j DF
x x x xx x x x
S SS h S S h SS S h E O h
x x x h x
Equação de Advecção Linear 1D
Page 380
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Fevereiro de 2015
• Análise do erro de truncamento por série de Taylor
2 2 3 3
1 2 3
1 1 2
2 2 3 3
1 2 3
2 6
( )2
2 6
j j
j
j j
n n
j j
n nx x x x x xj j
x xn n
j j
x x x x x x
S h S h SS S h
x x xS SS
O hx hS h S h S
S S hx x x
2( )T
DCE O h
Equação de Advecção Linear 1D
Page 381
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• Com base no erro de truncamento, escolheríamos
o esquema
1
1 1 1
1 10 ,2 2 2
n n n n
j j j j n n n n
j j j j
S S S S c c v tv S S S S c
t h h
0
0( )j jS S x
Equação de Advecção Linear 1D
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t
x i i+1 i1
n
n+1
• Para mostrar que esta não é uma boa escolha,
vamos utilizar análise harmônica
• Assuma que a solução possa ser expressa como
uma soma de componentes trigonométricas
, 1
ik jhn n
j k
k
S e i
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• Substituindo na expressão para o esquema e
analisando separadamente cada componente
1 11
2 2
ik j h ik j hik jh ik jhn n n n
k k k k
c ce e e e
• Cancelando o termo comum eik(jh)
11
2 21 1 sin 1 sin ( ) 12 2
nnkikh ikhk
n n
k k
c ce e ci kh c kh
• Exceto para kh múltiplo de , os fatores de
amplificação da solução crescem em módulo de
um passo de tempo para outro
• O esquema é instável: gera soluções que podem
oscilar e crescer com o tempo
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• Resultados para dado inicial função degrau
(corresponderia a uma injeção contínua de água)
com = 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Solução Numérica
Solução Exata
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Solução Numérica
Solução Exata
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Solução Numérica
Solução Exata
n = 0 n = 1
n = 2 n = 3
Page 385
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0
0,5
1
1,5
2
2,5
Solução Numérica
Solução Exata
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
Solução Numérica
Solução Exata
n = 4 n = 11
• Após onze passos de tempo a solução é
completamente inútil!!!
Equação de Advecção Linear 1D
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• Para discutir os esquemas de diferença para frente
e para trás no espaço, vamos examinar como a
informação se propaga nestes esquemas
• Esquema para frente
1
1
1
1
0
1 ,
n n n n
j j j j
n n n
j j j
S S S Sv
t h
v tS c S cS c
h
Equação de Advecção Linear 1D
Page 387
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t
x
P
• Domínio de dependência numérico do ponto P:
conjunto dos pontos do plano (x,t) que
influenciam a solução numérica em P
Característica
passando por P
Q
A solução em P depende do valor do dado
inicial em Q, mas alterando o dado inicial
em Q a solução numérica não se altera, logo
o esquema não pode convergir para a
solução
Condição necessária para
convergência: a característica deve
estar contida no domínio de
dependência numérico
Equação de Advecção Linear 1D
Page 388
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• Esquema para trás
1
1
1
1
0
1 ,
n n n n
j j j j
n n n
j j j
S S S Sv
t h
v tS c S cS c
h
Equação de Advecção Linear 1D
Page 389
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t
x
P
Q
t
x
P
Q R R
• Se P = (xi,tn), Q = (xi vtn,0) = (xi vnt,0) e
R = (xi nh,0). Daí,
1v t
vn t nh ch
Condição de CFL
Equação de Advecção Linear 1D
Page 390
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• Note que a condição de CFL garante um princípio
de máximo, já que, para 1 c 0,
1
1 11 max , maxn n n n n n
j j j j jS c S cS S S S
Equação de Advecção Linear 1D
Page 391
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• A condição de CFL tem uma interpretação física:
o volume de fluido que entra na célula em um
passo de tempo não pode exceder o seu volume
(“throughput condition”)
• De fato, sendo A a área da seção transversal:
Equação de Advecção Linear 1D
1v t
c vA t Ah Q t Vh
Page 392
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0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Solução Numérica
Solução Exata
n = 0 n = 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Solução Numérica
Solução Exata
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Solução Numérica
Solução Exata
n = 11 n = 18
Resultados para dado inicial função degrau (corresponderia a
uma injeção contínua de água) com = 0,75
Page 393
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• A solução numérica é sempre monótona, mas
apresenta uma grande suavização da frente de
avanço
• Análise do erro de truncamento espacial
21 1 1 1 1 2
2 2
2( )
2 2 2j j
n n n n n n n
j j j j j j j
x x x x
S S S S S S Svh S vh Sv v v O h
h h h x x
Equação de Advecção Linear 1D
• Análise do erro de truncamento temporal
2 12 23 21
2 22 2n nn n
n n
j jn n
j j
t t t tt t t t
S StS S S t SS S t O t O t
t t t t t
Page 394
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Fevereiro de 2015
• Vamos expressar a derivada segunda em t em
função da derivada segunda em x
2 2
2 2 22
2 22 2
2
0
0 0
0
S Sv
t t xS S S Sv v
t x t xS Sv
x t x
1 2
22
22n
i
n n
j j
t t x x
S S S t Sv O t
t t x
Equação de Advecção Linear 1D
Page 395
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Fevereiro de 2015
1 2
21 2
21 ( )
2ni i
n n n n
j j j j
t t x x x x
S S S S S S vh v t Sv v O t O h
t h t x h x
• Juntando o erro de truncamento temporal e espacial
• O esquema explícito de diferenças para trás
funciona como uma boa aproximação para a
equação
2
20, 1
2num num
S S S vhv D D c
t x x
Termo de difusão
numérica
Equação de Advecção Linear 1D
Page 396
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• A difusão numérica é mais severa quanto maior
a velocidade de fluxo
• A difusão numérica diminui quando se refina a
malha espacial (mantendo t constante). Note
que c está limitado pela condição de
estabilidade c 1
• A difusão numérica diminui quando se aumenta
o passo de tempo (mantendo h constante), já
que o termo difusivo é multiplicado por 1 c
(note que c está limitado pela condição de
estabilidade c 1)
Equação de Advecção Linear 1D
Page 397
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• Em particular, quando c = 1 a difusão numérica
se anula e o esquema se torna de segunda
ordem no tempo e no espaço
• De fato, para c = 1, a informação se propaga
exatamente ao longo da característica e a
solução exata é obtida
• Em problemas reais, esta condição não pode ser
conseguida na prática, por causa de não-
linearidades, malha não uniforme, velocidade
variável no espaço, etc
Equação de Advecção Linear 1D
Page 398
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Em muitos casos (altas velocidades, malha fina,
etc), a condição de CFL pode levar a passos de
tempo excessivamente restritos
• Esquemas implícitos são uma alternativa:
1 1 1
1
1
1
0
1
n n n n
j j j j
n n n
j j j
S S S Sv
t h
c u cu u
Equação de Advecção Linear 1D
Page 399
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• Vamos analisar a estabilidade através do princípio
de máximo
1 1 1 1 1
1maxn n n n n n
J J J J JS S S c S S S
0
Vale um princípio de máximo para
qualquer valor de
Estabilidade Incondicional
1 maxn n n
J JS S S
Equação de Advecção Linear 1D
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• A análise do erro de truncamento temporal se
altera ligeiramente:
1 1
1 1
2 231
2
1 22
2
2
2
n n
n n
n n
j j
t t t t
n n
j j
t t t t
tS SS S t O t
t t
S S S t SO t
t t t
1
1 222
22n
i
n n
j j
t t x x
S S S t Sv O t
t t x
Equação de Advecção Linear 1D
Page 401
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
1
1 1 1
1
22 2
21 ( )
2ni i
n n n n
j j j j
t t x x x x
S S S Sv
t h
S S vh v t Sv O t O h
t x h x
• Juntando o erro de truncamento temporal e espacial
Equação de Advecção Linear 1D
• O esquema implícito de diferenças para trás
funciona como uma boa aproximação para a
equação
2
20, 1
2num num
S S S vhv D D c
t x x
Page 402
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• Para o método implícito não há restrição no
tamanho do passo de tempo para estabilidade
• A difusão numérica é maior para o método
implícito que para o explícito
• A difusão numérica para o método implícito
aumenta quando se aumenta o passo de tempo
(mantendo h constante), já que o termo difusivo
é multiplicado por 1 + c
Equação de Advecção Linear 1D
Page 403
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• Vamos estender a discussão para o problema da
equação de Buckley-Leverett
( )0
S v f S
t x
0( ,0) ( )S x S x
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 404
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• Esquema explícito para trás
1
1
1
1
( ) ( )0
( ) ( )
n n n n
j j j j
n n n n
j j j j
S S f S f Sv
t h
v tS S f S f S
h
0
0( )j jS S x
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 405
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• A análise de estabilidade pode ser estendida para
este caso, observando que
1
1 1
1
( ) 1 ,
( ), [ , ]
n n n n n n n n n
j j j j j j j j j
n n n n n
j j j j j
v tS S f S S S c S c S
h
v tc f S S S S
h
1 garante princípio de máximo (estabilidade)
Esta condição não pode ser utilizada na prática já que não é conhecido
n
j
n
j
c
S
1[ , ]
Definindo sup ( )
A condição 1 pode ser utilizada e garante o princípio de máximo
n nj j
n n n
j j jS S S
n
j
v tc f S c c
h
c
Page 406
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• Esquema implícito para trás
• Requer a resolução de um sistema de equações
algébricas não-lineares
• O método de Newton pode ser empregado
1 1 1
1( ) ( )0
n n n n
j j j jS S f S f Sv
t h
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 407
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A estabilidade pode ser analisada de forma
semelhante ao caso linear
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1
( ) ,
( ), [ , ]
n n n n n n n n n n
j j j j j j j j j j
n n n n n
j j j j j
v tS f S S S S S c S S S
h
v tc f S S S S
h
• Vale o princípio de máximo independente de :
estabilidade incondicional
• Como o método de Newton tem convergência local,
pode acontecer do método não convergir para
passos de tempo muito grandes
• Neste caso, o passo de tempo é refeito com um
incremento menor
n
jc
Page 408
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• A condição de CFL para estabilidade de esquemas
explícitos é uma condição local e, portanto, o passo
de tempo é limitado pela célula onde a condição é
mais severa
• Em problemas práticos, a condição de CFL pode
variar grandemente tanto no espaço como no
tempo, em virtude de variações na velocidade do
fluido, tamanho das malhas, etc
• Essa observação motivou a introdução de esquemas
adaptivos implícitos (AIM)
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 409
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Em um esquema AIM, o tratamento implícito é
restrito apenas às células em que a condição de CFL
exigiria tomar passos de tempo pequenos, todas as
demais sendo tratadas explicitamente
• O método AIM busca reduzir o esforço
computacional por passo de tempo ao mesmo
tempo em que utiliza passos de tempo tão grandes
quanto os do método FIM
• As células a serem tratadas implícita ou
explicitamente variam no espaço e no tempo ao
longo da simulação baseado em um critério de
estabilidade que estabeleça ou um passo de tempo
desejado ou um percentual máximo de células
implícitas dado
Page 410
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para apresentar o método vamos considerar um
caso em que as p – 1 primeiras células são
implícitas e as demais explícitas
Equação de Advecção Não-Linear 1D
1 1 1
1
1 1
1
1
1
( ) ( )0, 1,..., 1
( ) ( )0
( ) ( )0, 1,...,
n n n n
j j j j
n n n n
p p p p
n n n n
j j j j
S S f S f Svj p
t h
S S f S f Sv
t h
S S f S f Svj p N
t h
Page 411
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para este problema, é necessário resolver um
sistema algébrico não-linear para obter o valor de S
nas p – 1 primeiras células, enquanto as demais são
resolvidas explicitamente
• É possível mostrar que esse esquema satisfaz um
princípio de máximo se a condição de CFL é
atendida em todas as células explícitas
• No entanto, devido à existência de células de
fronteira onde o fluxo de entrada e saída são
calculados em tempos distintos aparece um termo
O(t/h) no erro de truncamento
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 412
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Além disso, oscilações podem aparecer quando a
fronteira IE coincide com choques ou regiões de
grande variação na solução
• Do ponto-de-vista prático, esses problemas não são
relevantes desde que as fronteiras IE estejam
afastadas dessas regiões de maior atividade e o
método tem sido empregado com sucesso
• Para uma discussão teórica ver
• Loubens, Riaz & Tchelepi, Error analysis of an adaptive
implicit scheme for hyperbolic conservation laws, SIAM
J. Sci. Comput., 2009
Equação de Advecção Não-Linear 1D
Page 413
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Vamos estender a discussão para o problema da
equação de Buckley-Leverett bidimensional
( ) 0S
f St
v
• Vamos assumir que v é um campo de velocidades
incompressível
0( , ,0) ( , )S x y S x y
0 v
Equação de Advecção Não-Linear 2D
Page 414
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• Note que se v = (vx,vy), então
0
( ) ( ) 0
yx
x y
vv
x y
Sv f S v f S
t x y
Equação de Advecção Não-Linear 2D
Page 415
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• Considere a célula centrada em (xi,yj) e malha uniforme
xi+1 xi
xi-1/2 xi+1/2
h
xi+3/2
h
xi-3/2
h
xi-1
yj+
1
yj
yj-1
/2
yj+
1/2
h
yj+
3/2
h
yj-3
/2
h
yj-1
Page 416
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• Integrando a equação da velocidade
1 1 1 12 2 2 2
1 1 1 12 2 2 2
1 12 2
1 1 1 12 2 2 21 1
2 2
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
j i i j
j i i j
j j
j j
y x x yyx
y x x y
y y
x x y yi i j jy y
vvdxdy dydx
x y
v x y v x y dy v x y v x y dx
• Aproximando as integrais pelo ponto médio
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
0
0
i j i j i j i j
i j i j i j i j
x x y y
x x y y
h v v h v v
v v v v
Page 417
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Analogamente, integrando a equação de Buckley-
Leverett e adotando tratamento explícito
1 1 1 11 1 1 1, , , ,2 2 2 22 2 2 2
1 1 11 1 1 1, , , ,2 2 22 2 2 2
1
2
, , , ,
1
, , , ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) (
i j i j i j i j
i j i j i j i j
n n
ij ij
n n n n
x x y yi j i j i j i j
n n n n n
ij ij x x y yi j i j i j i
S Sh
t
h v f S v f S h v f S v f S
tS S v f S v f S v f S v f S
h
1
2
)n
j
Equação de Advecção Não-Linear 2D
Page 418
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Avaliação à montante da saturação na interface
1i ,2
12
1i ,2
x
,
1, x
, se 0
, se 0
j
j
n
ij
n
i jn
i j
S v
SS v
vx vx
xi+1 xi xi+1 xi
12,
n n
iji jS S
1
21,,
n n
i ji jS S
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
• Para analisar a estabilidade, vamos assumir um
padrão para as velocidades nas interfaces
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
1
1, , 1( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i j
n n n n n n
ij ij x ij x i j y ij y i j
tS S v f S v f S v f S v f S
h
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Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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Fevereiro de 2015
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
1
1, , 1( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i j
n n n n n n
ij ij x ij x i j y ij y i j
tS S v f S v f S v f S v f S
h
1 1, ,2 2
1 1, ,2 2
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
1 , ,2
1
1, , 1
1
1,
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
i j i j
i j i j
i j i j i j i j
i j i j
n n n n
ij ij x ij y ij
n n
x i j y i j
n n n
ij ij ij x y x y
n n
x i j ij y
tS S v f S v f S
h
tv f S v f S
h
tS S f S v v v v
h
tv f S f S v
h
12
, 1( ) ( )n n
i j ijf S f S
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• Lembrando a condição de incompressibilidade
do campo v
1 1, ,2 2
1
1, , 1( ) ( ) ( ) ( )i j i j
n n n n n n
ij ij x i j ij y i j ij
tS S v f S f S v f S f S
h
Apenas as componentes com
fluxo entrando na célula ij
contribuem
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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• A partir daqui o argumento prossegue como no
caso unidimensional
1 1, ,2 2
1 11 1, ,2 22 2
1 1 1 12 2 2
1
1, , 1
1, , 1, ,
1,, , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
i j i j
i j i j
n n n n n n
ij ij x i j ij y i j ij
n n n n n n n
ij x i j ij y i j iji j i j
n n n n n
ij i ji j i j i j i j
tS S v f S f S v f S f S
h
t tS v f S S S v f S S S
h h
c c S c S c
2
, 1
n n
i jS
1 1 1 11 1, ,2 2 2 22 2
, , , ,( ), ( )
i j i j
n n n n
x yi j i j i j i j
t tc v f S c v f S
h h
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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1 11 1, ,2 22 21, , 1
, ,[ , ] [ , ]
sup ( ), sup ( )i j i jn n n n
i j ij ij i j
n n
x yi j i jS S S S S S
t tc v f S c v f S
h h
• Como generalizar para um padrão qualquer de
velocidades?
Equação de Advecção Não-Linear 2D
• Definindo
vale um princípio de máximo para
1 12 2, ,
1 (condição de CFL)n n
i j i jc c
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conjunto dos índices das faces onde a direção de fluxo é para fora do bloco
conjunto dos índices das faces onde a direção de fluxo é para dentro do bloco
ij
ij
F
F
1 1, ; ,
2 2
1 1, ; ,
2 2
ij
ij
F i j i j
F i j i j
1 1 1, ; , ; ,
2 2 2
1,
2
ij
ij
F i j i j i j
F i j
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1 ( ) ( )
ij ij
n n n n
ij ij ij
F F
t tS S v f S v f S
h h
• A notação é mais ou menos óbvia, mas relativamente
complexa para formalizar
1 1, se , ou ,
2 2
1 1, se , ou ,
2 2
x
y
v i j i j
v
v i j i j
Para cada face seja { ; }
o conjunto de índices dos blocos
associados a face
1Ex.: , , { ; 1, }
2
B ij
i j B ij i j
1,
Dada uma face com
{ ; },
1Ex.: , ,
2
Dada uma face
com { ; }, I [ , ]
n n
n n
i j
n n n
ij
B ij S S
i j S S
B ij S S
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1
1
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ij ij
ij ij
ij ij
ij ij ij
n n n n
ij ij ij
F F
n n n n
ij ij ij ij
F F
n n
ij
F F
n n n
ij ij ij
F F F
t tS S v f S v f S
h h
t tS S v f S v f S
h h
t tv f S v f S
h h
t tS S v v f S v
h h
( ) ( )n n
ijf S f S
= 0 pela condição de
incompressibilidade
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1 ( ) ( )
( )
ij
ij
n n n n
ij ij ij
F
n n n n
ij ij
F
tS S v f S f S
h
tS v f S S S
h
Apenas as componentes com fluxo
entrando na célula ij contribuem
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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1 1
ij ij ij
n n n n n n n n n
ij ij ij ij
F F F
S S c S S c S c S
( )n ntc v f S
h
• A partir daqui o argumento prossegue como
anteriormente
Definindo sup ( )
Vale um princípio de máximo para
1 (condição de CFL)
n
ij
n
S I
n
F
tc v f S
h
c
• Definindo
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• Esquemas implícitos podem ser generalizados
para casos multidimensionais
1 11 1, ,2 22 2
1 11 1, ,2 22 2
1 11 1, ,2 22 2
11, 22
1
2 1 1
, ,
1 1
, ,
1 1 1
, ,
1
,
( ) ( )
( ) ( ) 0
( ) ( )
( )
i j i j
i j i j
i j i j
i j
n n
ij ij n n
x xi j i j
n n
y yi j i j
n n n
ij x xi j i j
n
y i j
S Sh h v f S v f S
t
h v f S v f S
tS v f S v f S
h
v f S v
11, 22
1
,( )
i j
n n
y iji jf S S
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• Avaliação à montante da saturação na interface
1 ,2
12
1 ,2
1
1
,1
1,
, se 0
, se 0
i j
i j
n
ij x
n
i jn
i j x
S v
SS v
vx vx
xi+1 xi xi+1 xi
12,
n n
iji jS S
1
21,,
n n
i ji jS S
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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• Requer a resolução de um sistema de equações
algébricas não-lineares
• O método de Newton pode ser empregado
• A estabilidade pode ser analisada de forma
semelhante ao caso linear, mostrando que o método
implícito tem estabilidade incondicional
• Como o método de Newton tem convergência local,
pode acontecer do método não convergir para
passos de tempo muito grandes
• Neste caso, o passo de tempo é refeito com um
incremento menor
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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• Para problemas multidimensionais, a dispersão
numérica, além da suavização de frentes, introduz
um deslocamento preferencial nas direções
alinhadas com a malha, conhecido como efeito de
orientação de malha
• Para algumas situações (p.ex. deslocamento
miscível) esse problema pode ser particularmente
grave
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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• Esquemas de nove pontos (incluindo os vizinhos na
direção diagonal) foram propostos de forma a gerar
uma dispersão numérica mais isotrópica, atenuando
parcialmente este efeito
• Outras possíveis soluções são esquemas de alta
ordem e uso de malhas não-estruturadas ou
seguindo as linhas de fluxo
Equação de Advecção Não-Linear 2D
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• Equações a serem resolvidas
0
0
w w
w w o w c w w
o o
o o o o o o
Sp P q
t
Sp q
t
K g
K g
• Na equação acima assumimos:
• K = K(x) é um tensor diagonal
• f = f (po), f = f (po), f = w,o, e = (po)
• krf = krf (Sw), f = w,o, e Pc = Pc (Sw)
• Ainda se aplica a relação Sw + So = 1
Escoamento Bifásico
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• Para fixar ideias, consideraremos a situação bidimensional
• Recordando a notação de células e nós:
xi+1 xi
xi-1/2 xi+1/2
xi
xi+3/2
xi+1
xi-3/2
xi-1
xi-1
yj+
1
yj
yj-1
/2
yj+
1/2
y
j
yj+
3/2
y
j+1
yj-3
/2
yj-1
yj-1
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• Para obter a discretização, integram-se as
equações de fluxo na célula centrada em (xi,yj),
como anteriormente
• Para a derivada temporal, obtém-se
1 12 2
1 12 2
1
1
, ,
j i
j i
ij ij
n ny x
f f f f f f
i jy x
n nf f
S S Sx y
t t
M Mf w o
t
• Termo de acumulação: variação de massa do
componente f na célula ij
• O termo de acumulação é não-linear, devido à
dependência de e na pressão
Page 437
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• Para os termos de fluxo, considere o termo na
direção X (os demais são semelhantes):
1 12 2
1 12 2
12
12 1
2
12 1
2
( , ) ,
( , ) ,
j i
j i
j
j
i
j
i
y xc
f f x f fy x
yc
f f x f fyx y x y
cf f x f fy
x y x y
Pp zk dxdy
x x x x
Pp zk dy
x x x
Pp zk dy
x x x
12 ,
, , 1, 0
jy
w of w o
Escoamento Bifásico
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• As aproximações para a permeabilidade e a
mobilidade são feitas de forma diferente
• Para permeabilidade, média harmônica
• Para a mobilidade, tratamento a montante
• De acordo com a discussão dos problemas
modelo, a pressão deve ser tratada
implicitamente e a saturação pode ser tratada
implícita ou explicitamente
Escoamento Bifásico
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• Para a face (xi+1/2,yj):
12
12 1
2
1122
1 1,,2
1122
( , ) ,
1 11,,,
1,
,,
j
j
i
i j iji j
yc
f f x f fyx y x y
m n nf f i j iji ji j
m m mf i j ij f c c
m mf f iji ji j
Pp zk dy
x x x
T p p
z z P P
T
• Para m = n + 1, temos o método totalmente implícito (FIM –
“fully implicit method”)
• Para m = n, temos o método IMPES (IMplícito na Pressão
Explícito na Saturação)
Page 440
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1,
1,2
1
1
ij i j
i j
m mi f i fm
f
i i
x x
x x
Aproximação para a densidade
no termo gravitacional por
interpolação linear:
Transmissibilidade na direção X
(depende da geometria da malha e da
permeabilidade do meio, exatamente
como no caso monofásico)
1,
1,
1/2,
1
2ij i j
i j ij
j x x
i j
i x i x
y k kT
x k x k
12
m1, 1, 1, ij
m,ij
( ) ( , ), se 0
( ) ( , ), se 0
m m mm f i j f i j i j
f f m m mi jf ij f ij ij
p p S
p p S
Aproximação a montante para a mobilidade:
Escoamento Bifásico
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• Outras alternativas são possíveis, por exemplo :
Interpolar linearmente a pressão e tratar à montante
apenas a saturação
Tratar implicitamente todas as dependências da pressão
Etc...
Escoamento Bifásico
• Essa discretização resulta em um conjunto de
equações algébricas não-lineares tanto para FIM
como IMPES
• O método de Newton é usualmente empregado
Page 442
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• Conjunto de equações algébricas não-lineares (N é o número
de células da malha, BM abrevia balanço de massa):
1
1
2 2
1 1 1 1 11
1 11
1 1 1 1 111 11
1 1 1 1 1 11 1
1 1 1 11 1
:
( )
( , , , , )
( , , , , )
( , , , , )
( , , ,
N
N
N N
n n n n nn
o N N
n n n n nnw N N
n n n n n nN o N N
n n n nN w
f p S p Sp
f p S p SS
p f p S p S
S f p S
F
x F x
1 1, )n nN Np S
BM óleo – célula 1
BM água – célula 1
BM óleo – célula N
BM água – célula N
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• Recordando o método de Newton:
1
( ) ( )k k k
k k k
J x x F x
x x x
Para k = 1, ... , até convergir faça
1 11 1
1 1 1 1
1, 1,1, 1,
1, 1,1, 1,1 1
1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1,1 1
1, 1,
1, 11 1
N N
n k n kn k n ko oo o
n k n kn k n kN N
n k n k n k n kw w w w
n k n k n k n kN N
n k n ko o
n k n
f ff f
p Sp S
f f f f
p S p S
f f
p S
1,1
1,1
1, 1, 1,
1, 1,,
1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1,1 1
N N
N N N N
n k
n k
n k n k n ko o N
n k n kkN N
n k n k n k n kw w w w
n k n k n k n kN N
p
S
f f p
p S S
f f f f
p S p S
1
1
1 1, 1, 1, 1,1 1
1 1, 1, 1, 1,1 1
1 1, 1, 1, 1,1 1
1, 1 1, 1, 1,1 1
( , , , , )
( , , , , )
( , , , , )
( , , , ,
N
N
n n k n k n k n ko N N
n n k n k n k n kw N N
n n k n k n k n ko N N
n k n n k n k n kN w N
f p S p S
f p S p S
f p S p S
f p S p S
1, )n kN
Jacobiano de F
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• O jacobiano é uma matriz esparsa, já que, em
cada equação de balanço, contribuem apenas as
células vizinhas, como no caso monofásico
• Para o problema bifásico, no entanto, temos duas
equações e duas incógnitas por célula de forma
que aparece uma estrutura por blocos 2 x 2
• A estrutura do jacobiano para os métodos FIM e
IMPES é diferente e determinante na resolução
do problema e no custo por iteração do método
de Newton
Escoamento Bifásico
Page 445
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• Para o FIM, uma bloco-linha do Jacobiano tem
a estrutura abaixo (assumindo numeração
natural para as células da malha)
, 1 1, 1, , 1i j i j ij i j i j
p S p S p S p S p S
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
Escoamento Bifásico
Page 446
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x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
Matriz pentadiagonal por blocos 2 x 2
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Matriz ordenada
célula a célula p e S
intercaladas
Page 447
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• Os métodos diretos e iterativos discutidos no
caso monofásico têm extensões imediatas para
este caso, bastando substituir as operações
escalares por operações matriciais atuando nos
sub-blocos 2 x 2
• Duas observações:
Operações de divisão são substituídas pelo
produto pela inversa
Na multiplicação de matrizes a ordem é relevante
Escoamento Bifásico
Page 448
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• A eficiência é ainda mais crítica, já que multiplicar
ou inverter matrizes densas de ordem p tem custo
proporcional a p3, ou seja, para o problema bifásico
uma estimativa grosseira indica que o custo dos
algoritmos de resolução seja em torno de oito vezes
maior em relação ao caso monofásico
• Para problemas trifásicos ou composicionais o
número de incógnitas e equações por célula da
malha aumenta e o custo se torna ainda mais
elevado
Escoamento Bifásico
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• Para o IMPES, uma bloco-linha do Jacobiano
tem a estrutura abaixo (assumindo numeração
natural para as células da malha)
• A saturação e a pressão são acopladas apenas
pela diagonal principal
, 1 1, 1, , 1
0 0 0 0
0 0 0 0
i j i j ij i j i j
p S p S p S p S p S
x x x x x x
x x x x x x
Escoamento Bifásico
Page 450
Introdução à Simulação de Reservatórios Petrolíferos
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• Multiplicando pela inversa do bloco na
diagonal desacopla a pressão da saturação: a
equação alinhada com a pressão só depende de
valores de pressão, enquanto a saturação não
depende das saturações em células vizinhas
(apenas das pressões)
, 1 1, 1, , 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
i j i j ij i j i j
p S p S p S p S p S
x x x x
x x x x
Escoamento Bifásico
Page 451
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1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 0 x 0 x 0
0 1 x 0 x 0
x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 1 0 x 0
x 0 0 1 x 0
x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0
x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0
x 0 1 0 x 0
x 0 0 1 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0
x 0 x 0 1 0
x 0 x 0 0 1
Matriz ordenada
célula a célula p e S
intercaladas
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1 x x
x 1 x x
x 1 x x
x 1 x
x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x0
x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x
x 1 x
x x 1 x
x x 1 x
x x 1
x x x 1
x x x x 1
x x x x 1
x x x 1
x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x 1
x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x 1
x x x 1
x x x x 1
x x x x 1
x x x 1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Matriz ordenada com
p para todas as
células seguido de S
para todas as células
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• O sistema linear a ser resolvido em cada
iteração do método de Newton para método
IMPES pode ser escrito como
op p o
wp S w
op p o
S w wp p
J 0 x F
J I x F
J x F
x F J x
Escoamento Bifásico
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• Note que Jop, Jwp, Fo, Fw não são as matrizes
originais do Jacobiano, mas as transformadas
pela multiplicação pela inversa dos blocos da
diagonal principal
Escoamento Bifásico
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• O método IMPES envolve duas etapas:
Resolução da pressão
Obtenção da saturação utilizando as pressões
calculadas na etapa anterior
• A resolução da pressão envolve a resolução de
um sistema com estrutura exatamente igual ao
problema monofásico
• A obtenção da saturação não envolve a
resolução de nenhum sistema, já que a
saturação depende apenas das pressões e não
das saturações nas células vizinhas
Escoamento Bifásico
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• O custo de uma iteração do método IMPES é
da mesma ordem que o problema monofásico
• Como a não-linearidade do método IMPES se
apresenta apenas no termo de acumulação,
tipicamente a convergência do IMPES é mais
rápida que para o FIM
• O passo de tempo para o método IMPES, no
entanto, está restrito por uma condição de CFL,
que pode ser bastante severa em casos práticos,
de forma que algum grau de implicitude na
saturação é normalmente usado em
simuladores de reservatório
Escoamento Bifásico
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• Para o método AIM, as derivadas em relação à
saturação são nulas fora da diagonal principal nas
colunas correspondentes às células explícitas
• Estrutura de uma bloco-linha do Jacobiano
considerando tratamento explícito para as células
i + 1, j e i,j – 1 e implícito nos outros vizinhos:
Escoamento Bifásico
, 1 1, 1, , 1
0 0
0 0
i j i j ij i j i j
p S p S p S p S p S
x x x x x x x x
x x x x x x x x
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• Multiplicando pela inversa do bloco diagonal
mostra que a pressão está acoplada com as
demais pressões e as saturações implícitas
Escoamento Bifásico
, 1 1, 1, , 1
0 1 0 0
0 0 1 0
i j i j ij i j i j
p S p S p S p S p S
x x x x x x
x x x x x x
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Fevereiro de 2015
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
1 0 x x x x
0 1 x x x x
x x 1 0 x 0 x 0
x x 0 1 x 0 x 0
x x 1 0 x 0 x 0
x x 0 1 x 0 x 0
x 0 1 0 x 0
x 0 0 1 x 0
x x 1 0 x 0 x 0
x x 0 1 x 0 x 0
x x x x 1 0 x 0 x 0
x x x x 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x x
x 0 x 0 0 1 x x
x x 1 0 x 0 x 0
x x 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x 0 x 0
x 0 x 0 0 1 x 0 x 0
x 0 x 0 1 0 x x x x
x 0 x 0 0 1 x x x x
x 0 x 0 1 0 x x
x 0 x 0 0 1 x x
x 0 1 0 x 0
x 0 0 1 x 0
x 0 x 0 1 0 x x
x 0 x 0 0 1 x x
x 0 x 0 1 0 x x
x 0 x 0 0 1 x x
x x x x 1 0
x x x x 0 1
Matriz ordenada
célula a célula p e S
intercaladas
i i
i
i i
i
“i” indica célula
tratada implicitamente
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1 0 x x x x
0 1 x x x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x 1 x x
x 1 x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x x x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x0
x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x x x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x 1 x
x x 1 x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x x x 1 0
x x x x 0 1
x x x x x 1
x x x 1
x x x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x 1
x x x x x x x 1
x x x 1
x x x x x 1
Matriz ordenada com
variáveis implícitas
para todas as células
seguido de várias
explícitas para todas
as células
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
i i
i
i i
i
“i” indica célula
tratada implicitamente
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• O sistema linear a ser resolvido em cada iteração
do método de Newton para método AIM pode ser
escrito como
• Quando todas as células são tratadas
explicitamente este é o mesmo sistema do método
IMPES
ii i i
ei e e
ii i i
e e ei e
J 0 x F
J I x F
J x F
x F J x
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• Jii é uma matriz onde
aparecem blocos de
tamanhos heterogêneos:
• 2 x 2 implícito-implícito
• 2 x 1 implícito-explícito
• 1 x 2 explícito-implícito
• 1 x 1 explícito-explícito
Escoamento Bifásico
1 0 x x x x
0 1 x x x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x 1 x x
x 1 x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x x x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x
x 1 x x
x x 1 x x
x x 1 x x x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x 1 x
x x 1 x x
x x 1 0 x x
x x 0 1 x x
x x x x 1 0
x x x x 0 1
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• Note que Jii, Jie, Fi, Fe não são as matrizes
originais do Jacobiano, mas as transformadas
pela multiplicação pela inversa dos blocos da
diagonal principal
• A escolha das células explícitas e implícitas é
feita dinamicamente em critérios baseados em
análise de estabilidade tipo CFL e/ou na
variação de saturação no passo anterior
Escoamento Bifásico