ÁLGEBRA ALICADA A COMPUTÇÃO Lógica Formal ÁLGEBRA APLICADA A COMPUTAÇÃO Prof. Vianei Peixoto 1 INTRODUÇÃO Á LÓGICA PROPOSIÇÃO OPERAÇÕES LÓGICAS CONSTRUÇÃO DE TABELAS CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES LÓGICAS QUANTIFICADORES MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO ÁLGEBRA BOOLEANA
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INTRODUÇÃO Á LÓGICA PROPOSIÇÃO OPERAÇÕES LÓGICAS ... · O Estudo da Lógica é o estudo dos método s e dos princípios utilizados para distinguir o raciocín Lógica Objetivo
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ÁLGEBRA ALICADA A COMPUTÇÃO Lógica Formal
ÁLGEBRA APLICADA A COMPUTAÇÃO Prof. Vianei Peixoto 1
INTRODUÇÃO Á LÓGICA
PROPOSIÇÃO
OPERAÇÕES LÓGICAS
CONSTRUÇÃO DE TABELAS
CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES
IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES LÓGICAS
QUANTIFICADORES
MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO
ÁLGEBRA BOOLEANA
ÁLGEBRA ALICADA A COMPUTÇÃO Lógica Formal
ÁLGEBRA APLICADA A COMPUTAÇÃO Prof. Vianei Peixoto 2
O Estudo da Lógica é o estudo dos métodos e dos princípios
utilizados para distinguir o raciocín
Lógica
Objetivo Fundamental do Estudo da Lógi
io correto do incorreto.
Elaboração de critérios que per
ca
mitam analisar argumentos
para mostrar ou não sua validade.
Perído Aristotélico - iniciado com Aristóteles (Grécia)
390 a. C. a 1840 d. C.
PerDivisão hi
íodo Boolestóri
ano -ca da Lóg
1840 aica
191
0 (George Boole 1815 a 1864)
Período Atual (1910........)
com Bertand Russell (1872-1970 Inglaterra) e
Alfred North (1861-1947 Inglaterra)
Classificação Atual da Lógica
Lógica Indutiva - útil no estudo de probabilidade
Lógica Clássica - núcleo da lógica dedutiva
Lógicas Complementares da ClássicaLógica Dedutiva
Lógicas não-Classicas - caracterizada por
abolir alguns p
Fras
ricípios da lógica clássica.
PROPOSIÇÃO
é um enunciado linguístico capaz de transmitir uma ideia.
- não vem Frase Nom acompanhainal
e
da do verbo.
Exemplo: Cuidado !
- vem acompanhada do verbo.
Exemplo: a) Armstrong foi a lua.
b) Hoje é qu
Proposição
arta-feira.
é uma frase verbal de
Fra
cla
se Verbal
rativa ou sentença declarativa
na qual são válidos os seguintes princípios:
i) Princípio da Identidade:
"Uma proposição só e igual a si mesma".
ii) Principio da Não-Contradição:
"Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo".
iii) Princípio do Terceiro Excluído:
"Uma proposição ou verdadeira ou é falsa."
(Não existe uma terceira alternativa)
Exemplos: a) Recife é uma cidade
b) O livro é vermelho
c) 3 é maior que 4
d) Pedro é irmão de João
e) 7 é um número primo
f) Existem habitantes em Júpiter
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g) Ninguem foi a Lua
h) Todo homem é mortal
Designamos as proposições por letras latinas minúsculas,
p, q, r, s,.
Notação das Propo
.....
a) p: 3 é
sições:
maior que 4
b) q: Pedro é irmão de João
c) r: 5 é um número racional
d) s: 2 é maior que 5
É a propriedade fundamenata
Valor Lógico ou Valor Verda
l de uma proposição ser ver
de
-
Função Proposiciona
dadeira ou falsa.
l ou Sentença Abert
Notação: v(p)=V ou v(p)=F
Nos exemplos acima: v(p)=V, v(s)=F
Exitem proposições que são verdadeiras para alguns
valor
a
es e
2
são falsas para outros.
p(x): Pedro é inteligente
q(x): x é um número par
r(x): x é maior que 7
s(x): x é o triplo de 9
t(x): x + 7= 11
u(x): x é o triplo de -9(sendo x um número real)
v(x): x é um dia da semana
Estas poposições são verdadeiras quando x representa
determinados valores e falsas para outros. Sentenças
como essas são chamadas Sentenças Abertas ou Funções
Proposicionais.
1. Escreva 4 proposições verdadeiras e 2 falsas.
2. Escreva uma sentença aberta que seja verdadeira
somente para 3.
3. Escreva uma sentença matemática que sej
Exe
a v
rcício Propo
erda-
dei
sto 01
ra pa
ra 1, 3, 5 e falsa para 8.
4. Escreva os elementos que tornam verdadeiras as
seguintes funções proposicionais:
a) x+8=10 b) x é um mês do ano c) x é um número
natural ímpar d) x 9 e x 11 e) x 6 (sendo
x um natural).
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(
2
23
A soma do quadrado de um número
com 7 é igual a trinta e
5. Escreva na linguagem corrente do português, exempo:
x 7 = 32
5+x a) x+y 9
doi
b) x+y) 7
5(x c)
s.
-1+4) x 3
= 5 + d) + y = x - 12 2 5
6. Escreva usando a linguagem matemática
(ortografia matemática)
a) Duas vezes um número mesnos a raiz quadrada
de outro é igual a dez;
b) Três quartos de um númeto mais cinco vezes esse
mesmo número é igual a doze;
c) A raiz cúbica do quadrado da soma de dois números
é vinte;
d O inverso da raiz quarta do inverso de um número é
dois
e) O quadrado da metade da soma de dois números.
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1. Negue as proposições seguintges:
p: hoje é feriado
q: todo homem é mortal
r: ninguém foi a lua
s: 5+8=11
t: 7> 9
2. Sejam
Exercício Propo
as proposições
s
p
to
:
02
6 é
- Negação
um número primo
q: 9 é múltiplo de 3
Escreva as proposições: ~p, ~(~p), ~q e ~(~q).
Que observação você pode fazer sobre a dupla
negação ?
3. Negar as seguintes proposições
p: Há habitantes na lua
q: Existe um número primo disível por 2
r: Todos alunos são inteligentes
s: Alguém foi a Júpiter
t: todos números são primos
1. Sendo as proposições: p: 5 é diferente de 8
q: 9 é menor que 7
Exercício Proposto 03 - Con
junção e Disj
r
unção
: 1 n
ão é primo
escreva p q, p q, q r, q r, p r, p r.
Assinale as proposições verdadeiras e falsas.
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2. Sendo p, q, r as proposições do exercício 1 es-
creva: ~p q, r ~q, p ~q, q ~r
3. Mostre pela tabela-verdada que:
p q é equivalente a q p
p q é equivalente a q p
4. Dadas as proposições:
p: a terra é um planeta
q: 7 é um número primo
r: As diagonais do paralelogramo são iguais
s: Minas gerais é um estado marítimo
t: A adição em é associatiava
u: zero não é número natu
ral
Formar as proposições: a) ~r b) ~s t c) p q
d) t s e) u ~s f) ~s t g) ~p s h) ~u ~r
i) (p q) (~u t) j) ~(p q)
5. Considerando-se que somente as proposições r e u são
falsas, dê o valor lógico de cada uma das proposições
acima.
Exercício Proposto 04
1. Sejam as proposições:
p: 6 + 4 = 10
q: 8 9
r: 3 é primo
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Forme as proposiççoes:
a) p q b) r q c) r p
d) p q e) r q f) r p
2. Na questão anterior quais a proposiçoes verdadeiras e quais as falsa ?
3. Dadas as prop
osições:
p: Não chove
q: Iremos ao cinema
r: Todo triângulo é equilátero
s: Os lados de um triângulo equilátero não são iguais
t: Um quadrilátero é um retângulo
u: Os ângulos de um quadrilátero são iguais
Escrever:
a) p q b) q ~p c) r ~s d) u t
e) t u f) t ~p g) r s h) s r
4. São dadas as proposições:
p: Duas retas per
pendiculares entre si são secantes
q: O produto de dois números reais negativo é positivo
r: O Brasil foi descoberto no ano de 1.500
s: Todo número primo é da forma 2n + 1
Sabendo-se que p, q e r são proposições verdadeiras e s é falsa,
determine o valor lógico das seguintes proposições:
a) (p q) r b) p (q r) c) s p d) (p q) (r s)
e) (p q)
(r s) f) (p q) (r ) g) (p q) (r ~s)
h) (~p q) ~(r s) i) (p q) (s r) j) (~p q) (s r)
k) (p q) [(q r) (r s)] l) (p q) (q r)
s
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Podemos, construir novas proposições envolvendo as operações lógicas:
Negação(~), Conjunção( ), Disjunção( ), Condicional( ) e Bicondicional( ).
Exemplos:
a) ~[(~p) (~q)
Tabela
]
b) ~[p (~q)]
-Ve
c
r
dade
) (p q) (q r)
Do mesmo modo que construimos a tabela-verdade para a Negação, Conjunção, Disjunção,
Condicional e Bicondicional, podemos construir a tabela-verdade das proposições compostas
mostradas nos
exemplos a), b) e c).
Construção da Tabela-Verdade do exemplo a) ~[(~p) (~q)]
As proposições iniciais são p e q. Devemos considerar ainda as proposições ~p e ~q.
p q ~p ~q (~p) (~q) ~[(~p) (~q )]
p q
V V F F F V V
V F F V
~[(~p)
F
(~q)]
V
V
V F
F V V F F
V V
V F V
F F
V
V
V F V F F F
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é a proposição cuja tabela-verdade contém
somente verdade.
Exemplo: p ~p
p ~p
Tautologia, Contradição e
p ~p
V F
C
V
F
onting
Tautologi
i
a
ênc a
V V
é a proposição cuja tabela-verdade contém somente
falso
Exemplo: p ~p
p ~p p ~p
V F F
F
Contradi
V
ção
F
As proposições contém normalmente V ou F. Estas proposições são
chamadas contingências.
As Primeiras leis de
Contingência
Primeir
De Morgan estabelec
a
e
s Leis de D
os critéri
e Mor
os
gan
para se fazer a negação
da Conjunção e a negação da Disjunção.
I) ~(p q) ~ p ~ q
II) ~(p q) ~ p ~ q
Exercício: Prove as Primeiras leis de De Morgan, pela tabela-verdade.
1. Dadas duas proposições p e q mostrar com auxílio da tabela-verdade que as proposições
p q é equivalente a ~p q.
2. Mostrar através da tabela-
Exercício
verdade q
Pro
ue (
posto 1
p q) (~p q)
.0
5
é uma tautologia.
3. Mostrar com auxílio da tabela-verdade que a proposição t: (p ~ q) (r ~r) é uma contradição.
4. Verifique com auxílio da tabela-verdade que a proposição p (p q) é uma tautologia.
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Sejam p e q proposições:
Dizemos que p implica logicamente q se e somente se
q for verdadeira sempre
I
q
De
ue
finição 1: (Implicaç
p for verdadeira.
No
mpli
taçã
cação e Equivalênc
o: p q lê-se:
i
"p
a
ão)
implica q", "p infere q", "se p então q",
"p é condição suficiente para q" ou ainda
"q
Definição 2: (Equiva
é condição necessária para p".
Dizemos que p é equivalente a q se e
lência)
somente se
as sua tabelas vedades forem idênticas.
Notação: p q lê-se:
"p bi-implica q", "p é equivalente a q", "se p se e somente se q",
"p é condição necessária e suficiente para q" ou
ainda
"p se e só se q".
Seja p e q proposições
p q se e somente
Teorema(Implicação):
Teorema(Equivalenci
se p q é uma tautologia.
p q se e somente
Teor
se p q é uma
em
ta
a):
uto g
as
lo ia.
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observação: A tautologia representamos por v (minúsculo) e a contradição por f (minúsculo)
Propriedades da Operação Co
Conjunç
njunção e Dis
ão( )
junç
ã
o
Disjunção( )
Associativa p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r
Comutativa p q q p p q q p
Idempo
tente p p p p p p
Absorvente p f f p v v
Neutro p v p
p f p
Conjunção em Relação a
Propriedades Relativas as operações Conjunção e Di
Disjunção Disjunção em Relação a conjunção
Dist
sjunçã
rib
o
uitiv
a p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
Absorção p (p q) p
Propriedade da
p (p q) p
: A dupla negação equiNegaç vao lã
e a afirmação.
~(~p) p
p q ~(p ~q)
p q (~p q)
Exercício: Mostre pela tabela-verdade as propriedades da implicaçã
Propriedades da Implicação
Exercí
o.
Mostre pela tabela-ver
cio Propo
da
s
d
to 1.06
e
que
(f e v aqui neste texto representam respectivamete uma contradição e uma tautologia)
1. p (q r) (p q) r a conjunção é associativa
2. p (q r) (p q) r a disjunção é associativa
3. p (q r) (p q) (p
r) a conjunção é distribuitiva em relação a disjunção
4. p (q r) (p q) (p r) a disjunção é distribuitiva em relação a conjunção
5. p ~p f (Princípio da não contradição)
6. p ~p v (Princípio do tercei
ro excluido)
7. p p p (idempotência na conjunção)
8. p p p (idempotência na disjunção)
9. p f p ( f é o neutro na disjunção)
10. p f f ( f é o absorvente na conjunção)
11. p v v ( v é o absorven
te na disjunção)
12. p v p ( v é o neutro na conjunção)
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é uma noção primitiva, por isso, não se define.
Exemplo: A= 1,2,3,4,5
B= 2,4,6,8,10
Determinação de um conjunto:
a) Pela listagem de seus e
Noção de
lementos
Con
C
E
junt
xemp
onjunt
lo:
o
o
os conjuntos acima foram escritos ou determinados
pela listagem de seus elementos.
b) Por Compreensão - Através de uma propriedade que caracterize
todos elementos do conjunto.
Ex emplos: A= x : 1 x 5
A propriedade aqui é:
p(x): x é um número natural maior ou igual a um
e menor ou igual a 5.
B= x| x=2k, 1 k 5, k
A propriedade aqui é:
p(x): x é um número par natural maior ou igual a dois
e menor ou igual a
10.
Consideremos os conjuntos:
A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Sejam as proposições:
p(x)
Quantificador
: x é uma let
U
r
ni
a do alfabeto
v ersal
latino
q(x): x é letra do alfabeto grego
Formemos as preoposições:
a) Todo elemento de A é letra no alfabeto latino
b) Qualquer que seja o elemeto de A, este elemento é letra do alfabeto latino
c) Para todo elemento que pertença a A, este elemento é uma letra do alfabeto latino
Vemos que as proposições a), b), c) são todas equivalentes.
PARA EXPRESSARMOS SITUAÇÕES COMO ESTAS USAMOS O SÍMBOLO
CHAMADO .
lê-se: "para todo" , "qualquer que seja"
QUANTIFICADOR UNIVERSAL
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Consideremos ainda os conjuntos:
A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,
Podemos com relação ao conjunto B formar as proposiçõe
Quantificador Existen a
s
ci l
:
a) Existe elemento de B que é letra do alfabeto latino
b) Existe elemento de B que é letra do alfabeto grego
PARA EXEMPLOS COMO ESTES USAMOS O QUANTIFICADOR EXISTENCIA
representado pe
L
lo símbolo .
lê-se: "existe um" ou "existe pelo menos um"
! lê-se: "exsiste um e sòmente um"
Emprego dos Quantificadores
a) Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino.
sendo p(x): To
do elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino, temos:
x A, p(x): qualquer que seja o x pertencete A, x tem a propriedade p.
b) Existe elemento do conjunto B que é letra do alfab
eto latino.
sendo q(x): Existe elemento do conjunto B que é letra do alfabeto latino.
x B: q(x): existe x pertencente a B tal que
Segu
x
nd
tem
as L
a propri
eis de D
eda
e M
de q.
n
V
orga
imos as primeiras leis de De Morgan que se referem a negação da Conjunção e
negação da Disjunção:
1ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que duas proposições são ao mesmo tempo
verdadeira é afirmar que pelo menos uma delas é falsa".
2ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira
é a
firmar que ambas são falsas".
As segundas leis de De Morgan se referem a negação dos quantificadores universal e
existencial.
Seja E um conjunto qualque e p(x) uma propriedade do conjunto E.
1ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
"negar que toto x tem a propriedade p é afirmar que existe um x que não tem a propriedade p"
2ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)
"negar
que existe x que tem a propriedade p é afirmar que qualquer que seja o x, x não tem a propriedade p"
1.
Ex
S
ercí
ejam
cio Prop
as prop
os
os
to 1.07
ições:
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p(x): x > 5
q(x): x é par
e os conjuntos A = 6,7,9,12 , B= 2,4,8,10
a) Quais das proposções abaixo são verdadeiras e quais são falsas ?
x A: p(x)
x B: p(x)
x A: q(x)
x B: q(x)
b) Escreva por extenso as proposições do ítem a).
2. No conjunto dos reais, quais as proposições que são verdadeiras e quais
são falsas?
a) x , x x b) x : x x
2 2
c) x , x+1 = x d) x : x+1 = x
e) x , x =x f) x : x =x
3. Negar as proposições:
a) p(x): Todo homem é mortal
b) q(x): Existe um número primo par
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Na construção de uma dada teoria partimos de algumas proposiçoes iniciais que são
as noções primitivas e a partir daí construímos outras.
i) - prop
Teor
osiçAxioma o ão que a
e
cu pos eitamtu osla
m
do
a
como verdadeira sem demonstração.
Exemplos: Postulados de Euclides
a) Por uma ponto passa infinitas retas.
b) Por dois pontos passa uma e sòmente uma reta.
c) Três pontos distintos determina um plano.
ii) é a proposição que se constrói baseada em outra, isto é, a definição é
a substituição de um conceito
Defin
ant
ição
igo por um conceito novo. O novo é o conceito
definido.
Exemplo: Definição de Triângulo
Triângulo é a figura geométrica de 3 lados.
iii) é a proposição que se acTeor eiema ta c
22
2
omo verdadeira após uma demonstração
formal.
-b b - 4ac Exemplo: a) se ax bx + c = 0 então x= com a,b,c e a 0.
2a
b) seja a , se a é par então a é par.
iv) Corola
é o teoremoa que decorre imediatamente de outro.
Exemplo: Teorema: Duas retas que cortam um feixe de paralelas determina sobre este
r
io ou Cons
equên
f
cia
eixe de paralelas segmentos que são proporcionais.
Corolário: Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina
sobre os outros dois segmentos proporcionais.
v) é o teorema que serve para ajudar a demonstração de um outro teorema.
Porque as afirmações matemáticas precisam de uma prova formal ?
Pierre de Fermat, grande matemá
Lema
ticon2
francês nascido em 1601, em carta escrita
ao padre Marin Mersenne afirmara quer todo número da forma 2 + 1 era primo.
Apressado, provalvelmente, não procurou investigar mais a fundo.
De fato par n=0,1,2,3,4 sua afirmação é verdadeira. Leonard Euler, outro grande matemático,
mais tarde, provou que não era é bem assim. Se n=5 o número que se obtém é um número composto.
Isto é, admite pelo outro divisor, além, dos divisores triviais.
Por isso, toda proposição matemática (Teorema) deve ser provada. É claro que a grande maioria das
proposições matemáticas já foram provadas. O que não signific
Todo teorema é uma proposição do tipo p q o
a dizer que não precisamos mais exer-
citar as sua provas.
.
No primeiro caso(p q) devemos provar que a veracidade da proposiçao p acarreta
a veracid
u
ad d
q
a
p
e
proposição q.
No segundo caso(p q) devemos provar as duas coisas ou seja que
p q(1ª parte do teorema)
q p(2ª parte do teorema)
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No teorema p q:
p é chamado antecedente ou hipótese do teorema.
q é chamado consequente ou tese do teorema.
Existem vários métodos de demonstração os quais veremos mais a fren
Formas de se Escr
t .
r
e
eve
2
Sejam H e T proposições.
1. TEOREMA
A forma H T é o que chamamos de Teorema.
onde H é a hipótese e T a tese.
Exemplo: H: é um número par
uma Impli
T:
cação
é
a
a
2
2
par
H T: se é um número par então é par
2. RECÍPROCA
A forma T H é chamada Recíproca do Teorema ou simplesmente Recíproca.
Exemplo: T: é par
H: é um n
a a
a
a
2
2
úmero par
T H: se é par então é um número par
3. CONTRÁRIA
A Contrária ou Contrária do Teorema tem a forma ~H ~ T
Exemplo: ~H: não é um número par
~T: n
a a
a
a
2
2
ão é um número par
~H ~T: se não é um número par então não é um número par
4. CONTRA-RECÍPROCA
É a contrária da recíproca e tem a forma ~T ~H
Exemplo: ~T: não é um nú
a a
a
2
mero par
~H: não é um número par
~T ~H: se não é um
Equival
núm
ênci
ero par
a entre
então não
as Proposiçoes
é um n
TEOREMA
úmero par
, RECÍPROC ,C
.
A
a
a a
é equivalente a
H T ~ T ~H
é equivalente a
T H ~H
ONTRA-RECÍPROCA e
CONTRÁ
~ T
Exercício: a) Mostre que (H T) (~H T) (T ~ H) ( ~ T ~H)
A
a)
RI
O TEOREMA CONTRA RECÍPROCA
A RECÍPROCA CONTRÁRIA
Mostre que (T H) (~T H) (H ~ T) ( ~ H ~T)
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Destacaremos os 4 principais métodos de demonstração:
I - Método Direto
II - Método Indireto
III - Método de Redução ao Absurdo
IV - Método de Indução Fi
Métod
nita
os de Demonstr
I - Método Di
ação
reto - Consiste em partirmos da hipótese e chegarmos a conclusão da vera-
cidade da tese.
Exemplo: Provar que se e são números naturais pares, então + é um natural par.
H
a b a b
Demonst
ipótese
ração:
e são núme
a = 2.k, k se
ros naturais pares
Tese
e são números naturais pare
+ é par
s (db = 2
.q,
q
a b
a b
a b
1
ef. de número par)
somando as duas igualdades membro a membro temos:
a + b = 2k + 2q a + b = 2(k + q), como k, q k =k + q .
Logo, a + b =
1 1 2k , k e portanto a + b é um natural par.
II - Método Indireto - Neste método, aceitamos a negação da tese como proposição verda-
deira chegarmos a conclusão da veracidade da negação da tese
2
2
Hipótes
( ~T ~H).
e é n
Exemplo:
atural par
Provar que se é natural
Tes
pa
e é
r então é natura
natural par
l par.
Demonstração:
a a
a
a
2
Como queremos fazer a prova pelo método indireto, devemos provar que
não é natural par não é natura se então ou seja
l par
Hipótese
a a
2 2
2
2
2
não é natural par é natural ímpar 2k+1
Tese não é natural par
a = 2k + 1 a - 1 = 2k (a+1).(a -1) = 2k, k
é natural ímpar
a a a
a a
a - 1 e a + 1 são consecutivos pares a - 1 é o antecessor de a
oua + 1 é o sucessor de a
a - 1 e a + 1 são consecutivos ímpares pares
(a - 1).(a + 1) é pa
r a é ímpar
ou ou
(a - 1).(a + 1) é ímpar (a é par
A hípótese do nosso teorema garante que (a - 1).(a + 1) é par.
Como (a - 1) e (a +
1) são pares consecutivos então (a - 1) é par e (a + 1)
também é par logo a deve ser ímpar, como queríamos mostrar.
III - Método de Redução ao Absurdo - Neste método, aceitamos a hipótese e a negação
da tese, isto implicará numa contradição. (H ~T) contradição).
Exemplo: Provar que se 2 então é número irracional.
Hipótese 2 é núm
a a
a
ero real
Tese é número irracional ou 2 é irracional. a
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Demonstração:
Pelo método de redução ao absurdo, devemos admitir a hipótese e a negação da tese.
pNegar que 2 é irracional é afirmar que 2 é racional e assim podemos escrever: 2
q
(com p, q e q 0). Po
2 2
2 2 2
demos ainda admitir que o m.d.c.(p, q) = 1 ou seja que a fração
é irredutível e portanto p e q são primos entre si.
p2 p = q 2 p 2q (1)
q
p 2q p é par p é par p = 2k (2) , k
substituido a eq. 2
2 2 2 2 2 2 2na eq. 1 temos: (2k) 2q 4k 2q q = 2k q é par
p é parq é par. Mostramos assim que o que é uma contradição, pois, p e q não podem
q é par
ser par, uma vez que por hipótese são primos entre si
. Note que chegamos a esta contra-
dição do fato de supormos que 2 é racional. Portanto, fica provado que 2 é irracional.
IV) Método de Indução Finita - O método da indução finita se fundamenta num dos Axio-
mas de Peano.
Seja s uma função: s:
n s(n) onde s(n) é o sucessor de n
Axioma 1: A função s: é injetiva
"Dois números que tem o mesmo sucessor são iguais".
Axioma 2: O conjunto - s( ) consta de um só elemento.
"Só existe um número natural que não é sucessor de nenhum número".
Este é o número 1.
Axioma 3: (Princípio da Indução)
Se X é tal que 1 X e se x s(n) X então X = .
"Seja p uma propriedade do conjunto
se 1 tem a propriedade p e
se n tem a propriedade p s(n) tem a propriedade p
e
ntão todo número natural tem a propriedade p".
Uma demonstração na qual se aplica o Axioma 3 é uma demonstração por Indução Finita.
Exemplo: Seja a sequência 1, 2, 3, 4, ..........
2
2
n +n Provar que: A soma dos n primeiro números da seaquência acima é igual .
2
n +n Ou seja que 1+2+3+4+..........+n = .
2
Hipótese:
2
2
2
1 +1 1 tem a propriedade p: p(1) = 1 (V).
2
2 +2 2 tem a propriedade p: p(2) = 3 (V). 1+2 = 3
2
n +n n tem a propriedade p: p(n) = .
2
2
Tese:
(n+1) +(n+1) n + 1 tem a propriedade p: p(n+1)=
2
Demonstração:
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2
` ( )
2 2 2 2
n +n p(n+1) = 1+2+3+.........+n (n+1) = +(n+1)
2
n +n n +n +2(n+1) n +n +2n+2 n +2n +1 + n+1 p(n+1) = +(n+1) =
2 2 2 2
p(n+1) =
p n
2 2n +2n +1 + n+1 (n + 1) + (n +1) c.q.d.
2 2
1. Sejam a e b números naturais (a, b ).
a) Mostre pelo método direto que se a e b são naturais ímpares então a é impar e b é ímpar.
b) Mostre pe
Exercíci
lo métod
o Proposto 1
o indireto o
.09
teo
n
rema anterior..
2. Sejam a, b, c números naturais (a, b, c ).
Empregando o método direto ou indireto mostre que se a divide b e a divide c então a divide
3. Se A M (A é uma matriz quadrada de
n
n
ordem n e de números reais).
Sabemos que se A é uma matriz inversível então existe uma matriz B tal que A.B = I .
(I - matriz identidade de ordem n).
Mostre pelo método de redução ao absur
2
do que se a matriz A tem uma linha ou coluna
nula então a matriz A não é inversível.
4. Prove por Indução Finita que:
a) A soma dos n primeiros números ímpares naturais é n .
ou seja 1 + 3 2
2 2 2 2 2
+ 5 + .........+2n - 1 = n n *
n(n+1).(2n+1) b) A soma dos quadrados dos n primeios números naturais é
6
n(n+1).(2n+1) ou seja 1 + 2 + 3 + 4 +.........+n = , n *
6
c) 3 divide
3
3 3 3
n - n + 3 n *
d) 3 divide n + (n + 1) + (n + 2) n *
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1 2Seja a Estrutura <E, , , ' , , onde E é um conjunto
, aqui representam operações em E
Álgebr
a Booleana
x x
1 2
1 2
' aqui representa uma lei complementar em E
, elementos de E
Dizemos que <E, , , ' , , é
x x
x x uma álgebra booleana se e somente se:
i) as duas operações representadas por , definidas em E são leis de composição interna;
(o conjunto E é dotado de duas operações que são leis
de composição interna)
x, y E: x y E e x, y E: x y E
( x operado com y tem como resultado um elemento de E)
ii) as duas operações representadas por , tem a pr
opriedade Associativa:
x, y, z E: x (y z) = (x y) z = x y z
x, y, z E: x (y z) = (x y) z = x y z
iii) a operação representada por
é distribuitiva em relação e a operação representada por
é distribuitiva em relação
x, y, z E: x (y z) = (x y) ( x z)
x, y, z E: x
(y z) = (x y) ( x z)
iv) as duas operações representadas por , tem a propriedade Comutativa:
x, y E: x y = y x
x, y E: x y = y x
v) as duas operações representadas por , tem a propriedade do elemento neutro:
x E; y E: x y = y (neste caso x é o neutro da operação )
1 2
a E; b E: a b = b (neste caso a é o neutro da operação )
os elementos , aqui representam os neutros das operações , respectivamente.
vi) É definida em E uma lei compl
x x
1 2
e .2 1
Complementar de x em
Dizemos que x' é o complementar de x em E
x x' = x x x' = x
Lei Complemenar em E
ementar.
<E, , , ' , ,
x x
' é uma lei complementar em E
x E, x'.
Exemplos:
a) <E, +, . , ', 0, 1> com as operações definidas pelas tabela abaixo e pela lei complementar:
0 ' = 1 (complementar de zer
o é um); 1 ' = 0 (complenmatar de um é zero) é uma álgebra
booleana.
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+ 0 1 X 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1
b) <E, mmc, mdc, ' , 1, 15> onde E = {1, 3, 5, 15}
15 Lei Complementar : x ' =
x
c) < (E), , , C , , E> onde E e C a lei complementar
é uma álgebra booleana.
1. Mostre que <E, mmc, mdc, ' , 1, 10> onde E = {1, 2, 5, 10} é uma álgebra booleana.
2. Escreva a comutatividade para mdc.
3. Escreva a assoc
Exerc
iativ
ício Proposto
idade para m
1.10
mc.
4. Escreva a distribuitividade de mmc em relação ao mdc.
5. Escreva a distribuitividade de mdc em relação ao mmc.
6. Escreva as leis de De Morgan para a álgebra do ítem 1.
7. Sabemos que < ( E), , , C , , E> onde E e C a lei complementar
é uma álgebra booleana. Escreva as leis de De Morgan.
8. Resolva as equações na álgebra dos divisores de 15:
a) mdc(15,5) ' = y
b) mdc[(3, mmc(5,15)] ' = x
c) mmc(5, mdc(1,5)) = z
10. Prove que:
a) x x = x.
b) Prove as lei de De Morgan (x y ) ' = x ' y ' e (x y ) ' = x ' y '