1 Introduction to fractions. Sharing the cakes As I’m very pleased with your hard work, I have decided to have a little party. That’s why I have brought two cakes; the first one has been cut into three pieces and the second one into five pieces. The only problem is, as you can imagine, we have to solve some mathematical questions before we eat it. First of all, I want you to draw in your notebook three equal 15 x 10 rectangles. That means three rectangles with 15 squares long and 10 squares wide. We are going to label the first rectangle as “Cake 1: lemon”, the second rectangle as “Cake 2: chocolate” and the third one as “Addition”. Cake 1: Lemon. Draw in the first rectangle what I have done: the cake divided in three equal parts. Do it vertically (attending to the 15 squares) a) I am taking out one piece of cake 1 and I put it on a new dish. Draw this in the first rectangle; can we express that amount as a fraction? b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator? c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction? d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a mathematical operation what I have done? + = e) How do you add fractions with the same denominator? Cake 2: Chocolate. Draw in the second rectangle what I have done: the cake divided in five equal parts. Do it vertically (attending to the 15 squares) a) I am taking out two pieces of cake B and I put them on a new dish. Draw this in the second rectangle; can we express that amount as a fraction? b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator? c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction? d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a mathematical operation what I have done? + = e) How do you add fractions with the same denominator? Addition If I gave someone the three pieces of cake (one from cake A and two from cake B). Don’t be afraid to write your answers, we’ll have time to change it later if don’t agree a) Can you express that amount as a fraction? b) What number do we write in the numerator? c) What number do we write in the denominator? d) Are all the pieces I have given the person of the same size? Which pieces are bigger: those of the lemon cake or those of the chocolate cake? e) This is the time for you to change the previous answers if you think so Time to think: Shouldn’t we try to cut the cake so that the pieces are of the same size?
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Transcript
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Introduction to fractions. Sharing the cakes
As I’m very pleased with your hard work, I have decided to have a little party. That’s why I have
brought two cakes; the first one has been cut into three pieces and the second one into five
pieces. The only problem is, as you can imagine, we have to solve some mathematical
questions before we eat it.
First of all, I want you to draw in your notebook three equal 15 x 10 rectangles. That means
three rectangles with 15 squares long and 10 squares wide. We are going to label the first
rectangle as “Cake 1: lemon”, the second rectangle as “Cake 2: chocolate” and the third one as
“Addition”.
Cake 1: Lemon. Draw in the first rectangle what I have done: the cake divided in three equal
parts. Do it vertically (attending to the 15 squares)
a) I am taking out one piece of cake 1 and I put it on a new dish. Draw this in the first
rectangle; can we express that amount as a fraction?
b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator?
c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction?
d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a
mathematical operation what I have done? + =
e) How do you add fractions with the same denominator?
Cake 2: Chocolate. Draw in the second rectangle what I have done: the cake divided in five
equal parts. Do it vertically (attending to the 15 squares)
a) I am taking out two pieces of cake B and I put them on a new dish. Draw this in the
second rectangle; can we express that amount as a fraction?
b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator?
c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction?
d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a
mathematical operation what I have done? + =
e) How do you add fractions with the same denominator?
Addition
If I gave someone the three pieces of cake (one from cake A and two from cake B).
Don’t be afraid to write your answers, we’ll have time to change it later if don’t agree
a) Can you express that amount as a fraction?
b) What number do we write in the numerator?
c) What number do we write in the denominator?
d) Are all the pieces I have given the person of the same size?
Which pieces are bigger: those of the lemon cake or those of the chocolate cake?
e) This is the time for you to change the previous answers if you think so
Time to think: Shouldn’t we try to cut the cake so that the pieces are of the same size?
2
Remember that in a fraction the denominator is the number of equal parts the unit is
divided into
What do we have to do to have both cakes (the first one divided in three equal parts and
the second one divided in five) divided in the same number of pieces?
Meanwhile, I cut the cakes as we had agreed, do it yourself in the three rectangles (now all
of them must be divided in the same number of parts and all of the parts must be equal).
We are going to repeat the experiment
Cake A: lemon. Look at the first rectangle.
In how many pieces do we have cake A now?
How many pieces of cake A are we taking away to take away the same amount I did
before?
Express as a fraction the amount of the lemon cake we have taken
Cake B: chocolate. Look at the second rectangle.
In how many pieces do we have cake B now?
How many pieces of cake A are we taking away to take away the same amount I did
before?
Express as a fraction the amount of the lemon cake we have taken
Rectangle 3. Addition. I put all the pieces, those from cake A and those from cake B, in a
new tray
Do the same in your third rectangle.
In how many pieces is the third rectangle divided into?
How many pieces of cake am I giving to that person now?
Can you express this amount of cake as a fraction? Write the whole process and the
answer
1
3+
2
5= + =
Conclusion
a) How have we obtained the denominator when adding two fractions with different
denominators?
-
-
b) How have we obtained the numerator when adding two fractions with different
denominators?
3
Actividad de introducción a las fracciones. Hoy es mi cumple
Hoy es mi cumple, así que he traído dos “queques” rectangulares para celebrarlo. El primer
“queque” lo he cortado en tres trozos iguales y el segundo en cinco. Lamentablemente, como
supondrás, antes de comérnoslos tendremos que resolver algunas cuestiones matemáticas.
Antes de empezar, quiero que dibujes en la misma hoja (si es posible) de tu libreta tres
rectángulos iguales de dimensiones 15x 10. Esto significa tres rectángulos en los que cada uno
de ellos tenga un largo de 15 cuadritos de libreta y un ancho de 10 cuadritos. Encima del
primer triángulo escribiremos “Queque 1: Limón”, encima del segundo escribiremos “Queque
2: Chocolate” y encima del tercero escribiremos “Suma”
Queque 1: limón. Representa en el primer rectángulo lo que yo tengo en realidad; un queque
dividido en tres partes iguales. Hazlo en vertical (los 15 cuadritos).
a) Como ves, saco uno de los trozos y lo pongo en otro plato. Dibuja lo que hecho (la
parte del queque que he apartado) en el primer rectángulo. ¿Puedes expresar esa
cantidad como una fracción?
b) ¿Qué número he puesto en el numerador y cuál en el denominador?
c) ¿Puedes expresar lo que queda del queque en el primer plato como una fracción?
d) Ahora voy a devolver al plato original la fracción que había sacado, ¿puedes expresar
mediante una operación matemática lo que acabo de hacer? Hazlo
e) ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?
Queque 2: Chocolate. Representa en el primer rectángulo lo que yo tengo en realidad; un
queque dividido en cinco partes iguales. Hazlo en vertical (los 15 cuadritos).
a) Como ves, saco dos de los trozos y los pongo en otro plato. Dibuja lo que hecho (las
partes del queque que he apartado) en el segundo rectángulo. ¿Puedes expresar esa
cantidad como una fracción?
b) ¿Qué número he puesto en el numerador y cuál en el denominador?
c) ¿Puedes expresar lo que queda del queque en el primer plato como una fracción?
d) Ahora voy a devolver al plato original la fracción que había sacado, ¿puedes expresar
mediante una operación matemática lo que acabo de hacer? Hazlo + =
e) ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?
Suma
Si le doy a alguien las tres porciones de queque (una del queque de limón y dos del
queque de chocolate)
Contesta lo que creas, siempre habrá tiempo de rectificar
f) ¿Puedes expresar la cantidad que acabo de poner en el plato como una fracción?
g) ¿Qué número escribiremos en el numerador?
h) ¿Qué número escribiremos en el denominador?
i) ¿Son todas las piezas que he puesto en el plato del mismo grosor?
j) ¿Cuáles son más gordas: las del queque de limón o las del queque de chocolate?
4
k) Si lo estimas necesario puedes cambiar ahora las respuestas de las preguntas
anteriores
Reflexión: ¿No deberíamos tratar de conseguir que todas las piezas tengan el mismo
grosor?
Recuerda la definición de denominador: “Es el número de partes iguales en que dividimos
la unidad”
¿Cómo conseguimos que los dos queques (el primero cortado en tres partes iguales y el
segundo en cinco) estén divididos en el mismo número de partes?
En lo que yo corto los queques como hemos convenido, hazlo tú en los tres rectángulos
(ahora deben estar divididos en las mismas partes y éstas tienen que ser iguales). Repetiremos
ahora el experimento.
Queque 1: Limón. Observa el primer rectángulo.
¿En cuántas partes está dividido ahora? ¿Cuántas partes debo quitar para
quitar la misma cantidad de antes?
Expresa como una fracción la cantidad que nos hemos llevado
Queque 2: Chocolate. Observa el segundo rectángulo.
¿En cuántas partes está dividido ahora? ¿Cuántas partes debo quitar para
quitar la misma cantidad de antes?
Expresa como una fracción la cantidad que nos hemos llevado
Tercer rectángulo: Suma. Pongo todas las piezas que me he llevado en un nuevo plato.
Hazlo tú en tu rectángulo
¿En cuántas partes estará dividido el rectángulo ahora?
¿Cuántas hemos cogido?
¿Podemos expresar la fracción de queque que le he dado a esa persona? Escribe la
operación entera y el resultado
1
3+
2
5= + =
Conclusión
c) ¿Cómo hemos obtenido el denominador cuando hemos sumado dos fracciones con
distinto denominador?
-
-
d) ¿Cómo hemos obtenido los numeradores cuando hemos sumado dos fracciones con
distinto denominador?
5
CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE
Pedro estaba cansado. Después de haber pasado los meses de calor con su rebaño
aprovechando las últimas briznas de verde hierba en el pinar de Garafía y en la Caldera
de Taburiente, las primeras lluvias del otoño habían llegado y era la hora de volver a su
anhelado hogar. Echaba de menos su casa en Fuencaliente, a sus amigos y,
especialmente, a su madre y a sus tres hermanas. Los dos últimos días habían sido
especialmente duros. La caminata que les había conducido desde El Tablado, que había
sido su último refugio, hasta lo alto del pico Birigoyo había sido larga. Atrás quedaban
el Roque de los Muchachos, toda la Crestería y El Refugio del Pilar. Junto a su padre,
había cercado a los animales en el interior de la Caldera y se disponía a hacer noche en
un antiguo “almogarén” en lo alto de la loma. La cena había sido frugal; un poco de gofio
amasado con miel, un trocito de queso ahumado, un puñado de dátiles y un buchito de
parra para contrarrestar el relente de la noche. La lluvia había dejado paso a noches frías
pero nítidas, sin una sola nube en un cielo plagado de brillantes estrellas en el que la
luna se mostraba reluciente. El áureo satélite inquietaba a Pedro.
Pedro: - “Pa”, ¿por qué la semana pasada la Luna se veía redonda y blanca como un
queso y ahora parece que le falta un “cacho”?
Padre: - Porque esta noche hay “Cuarto Menguante” y la semana pasada había “Luna
Llena”.
Pedro: - ¿Y eso? ¿Es qué hay diferentes lunas y van saliendo según les dé?
Padre: - No, la Luna es siempre la misma. Lo que pasa es que va girando en torno a la
Tierra y hay momentos en los que, dependiendo de la posición que esté, hay partes de
su superficie que no se ven.
6
Pedro: - ¿Y cómo se llaman las lunas?
Padre: - Como ya te dije la Luna es siempre la misma aunque se nos muestra con cuatro
caras distintas: Luna Llena, Cuarto Menguante, Cuarto Creciente y Luna Nueva.
Pedro: - ¿Qué significa “cuarto”?.
Padre: - Significa cuarta parte, es decir, una parte de algo que está dividido en cuatro
trozos.
Pedro: - ¿Y por qué hay dos que se llaman “cuarto nosequé” y “cuarto nosecuánto”?
¿Es que son iguales?
Padre: - No son “cuarto nosequé” ni “cuarto nosecuánto” sino Cuarto Creciente y Cuarto
Menguante, Pedro. Creciente viene de crecer. Cuando la Luna cambia de Luna Nueva,
que es cuando no la vemos, a Cuarto Creciente “crece” una cuarta parte y por eso recibe
ese nombre. De igual manera, menguar significa hacerse más pequeño, por lo que
Cuarto Menguante es un cuarto más pequeño que Luna Llena.
En realidad, sería más correcto decir “tres cuartos de luna”.
Pedro: - Tres cuartos, ¿y eso qué es?
Padre: - “Eso”, cómo tú dices, es una fracción. Fracción significa dividir algo en partes y
coger un número determinado de porciones del total. Para expresar una fracción
siempre debes decir en cuántas partes se divide el total y cuántas de ellas se cogen. Así,
tres cuartos significa que cuando cortamos, por ejemplo, un pan en cuatro trozos,
cogemos tres y cinco octavos significa que cuando cortas el pan en ocho partes, te
comes cinco.
Pedro: - ¿Qué más fracciones hay por “ahí”?
Padre:- Las fracciones están en todos los aspectos de nuestra vida. Por ejemplo, como
sabes, se tarda tres días para llegar desde El Tablado hasta casa. Como ya hemos
caminado dos días y nos queda uno para llegar, podemos afirmar que hemos andado
los dos tercios del total y que aún nos falta un tercio.
Pedro: - ¿También se pueden hacer fracciones con el ganado?
Padre: - Por supuesto. Nosotros tenemos treinta animales de los cuales veinte son
cabras y diez son ovejas. Podemos decir que las cabras representan veinte treintavos
del total o, mejor aún, que representan dos tercios.
Pedro: - No entiendo nada, ¿cómo va a ser lo mismo veinte “no sequés” que dos
“nosécuántos” si los números son distintos?
Padre: - Veinte treintavos y dos tercios. Depende, como casi todo en la vida, del color
del cristal con que se mira. Si tú cuentas los animales de uno en uno, de los treinta que
son, veinte son cabras por lo que las cabras conforman veinte treintavos del rebaño. Sin
embargo, si juntamos los animales en grupos de diez, tendremos tres grupos, de los
cuales dos son de cabras y uno es de ovejas, por lo que los grupos de cabras representan
dos tercios del total.
Pedro: - ¡Ñoooos! ¡Esto de las fracciones parece complicado como el demonio!
Padre: - Al principio todo parece complicado pero, cuando se le coge el tranquillo, todo
sale. ¿O no te acuerdas lo difícil que te resultó al principio que el Pirata fuese capaz de
apañar las cabras él solo?
Pedro: - Eso sí es verdad. Pensé que nunca lo conseguiría pero, después de echarle un
montón de tiempo y de ganas, lo conseguí.
7
Padre: Y estoy seguro que lo mismo pasará con las fracciones. Por cierto, ya va siendo
hora que nos acostemos que mañana hay que levantarse al alba. ¡Buenas noches, Pedro!
Pedro: - ¡Buenas noches, “Pa”!
A pesar del cansancio acumulado, a Pedro le costó aquella noche quedarse dormido. Su
mente divagaba entre las proporciones, o fracciones, de su vida cotidiana; cuál era la
proporción de chicas en su clase, qué fracción de días de vacaciones había en un año,
qué fracción de cabras quedarían preñadas,…
AMPLIACIÓN DE “CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE”
Pedro y su padre ya habían regresado a su hogar. Pedro era feliz. Había pasado un gran día
compartiendo experiencias con sus hermanas, había comido como un rey, ¡cúanto había
echado de menos la comida de su mamá!, y había vuelto a ver a sus amigos del pueblo. Sin
embargo, el tema de las fracciones aún le inquietaba.
Pedro:- “Pa”
Padre:- ¿Qué?
Pedro:- He estado dándole vueltas a lo que hablamos anoche y creo que lo de las
fracciones ya lo entiendo aunque tengo una duda.
Padre:- Bien, pregunta.
Pedro:- Las fracciones son números o son otra cosa.
Padre:- Son números, ¿por qué?
Pedro:- Porque si son números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir como los
números de toda la vida.
Padre:- Tienes razón, Pedro. Las fracciones, como números que son, se pueden operar.
Pedro:- ¿Y cómo se suman? ¿Lo de arriba más lo de arriba más lo de abajo más lo de
abajo?
Padre:- No, Pedro. Al igual que no puedes sumar peras con manzanas, no puedes sumar
denominadores distintos.
Pedro:- ¿Y cómo se hace, entonces?
Padre:- Vamos a verlo con un ejemplo. Supón que queremos sumar dos tercios más un
cuarto. Fíjate aquí tengo dos tercios de queso con pimentón y un cuarto de queso duro y
quiero saber qué fracción de queso tengo
8
Padre:- ¿Son todos los trozos de queso del mismo tamaño?
Pedro:- Los de queso con pimentón no son iguales que los de queso duro.
Padre:- Muy bien. Ahora partiremos cada trozo del primer queso en cuatro trozos como
corresponde al segundo queso y cada trozo del segundo queso en tres partes como
corresponde al primer queso.
Padre:- ¿Son todos los trozos de queso del mismo tamaño?
Pedro:- ¡Sí! Ahora ya puedo sumar los ocho trozos del primer queso con los tres del
segundo porque tienen el mismo tamaño y tengo once trozos. El numerador está claro
pero, ¿el denominador es 12 o 24?
Padre:- ¿Tú qué crees?
Pedro:- Veinticuatro, pues ocho doceavos más tres doceavos debe ser once
veinticuatroavos. Lo de arriba más lo de arriba y lo de abajo más lo de abajo.
9
Padre:- Yo no te digo nada, pero mira qué pasa si juntamos los trozos de los dos quesos.
Pedro:- ¡Guau! ¡El denominador es doce! ¡Cuando conseguimos que los dos
denominadores sean iguales sólo sumamos los numeradores!
Padre:- Muy bien, Pedro. Así es.
Pedro:- Ya tengo claro que el denominador común para poder sumar se obtiene
multiplicando los dos denominadores que tenía al principio pero, ¿cómo se consiguen los
numeradores?
Padre:- La forma más fácil es multiplicando el numerador del primero por el denominador
del segundo y al revés. Fíjate, cuando teníamos 3
2+
4
1, el denominador común lo
obteníamos multiplicando los denominadores 3·4 = 12 y el numerador de la primera
fracción multiliplicando 2·4 = 8 y el de la segunda multiplicando 3·1 = 3. Así, nos queda 3
2+
4
1 =
12
8+
12
3 =
12
11.
Pedro:- Visto de esta manera, no parece tan difícil. El problema será acordarse de todos
los pasos.
Padre:- En cuanto practiques un poco, verás que es muy fácil. De todas maneras, cuando
yo fui a la escuela, me lo explicaron de otra forma. Usando el mínimo común múltiplo.
Aunque a mí me resulta más fácil así, como te lo expliqué.
Pedro:- ¿Y cómo se restan las fracciones?
Padre:- Igual que la suma pero, como es lógico, en vez de sumar, restar. Si tuviésemos que
hacer 6
7-5
4, primero multiplicamos los denominadores 6·5 = 30 y ése es el denominador
común. Luego multiplicamos el numerador del primero por el denominador del segundo,
10
es decir, 7·5 =35 y, al revés, el denominador del primero por el numerador del segundo, o
sea, 6·4 = 24. Ahora sólo queda restar. Ésta sería la operación 6
7-5
4 =
30
35-30
24=
30
2435−=
30
11.
Pedro:- Es un poco largo pero yo creo que ya sé hacerlo.
Padre:- Estoy muy contento porque ya tienes más confianza en ti mismo.
Pedro:- Es que las matemáticas con ejemplos de la vida diaria; el ganado, el queso, la luna,
… son mucho más fáciles. Por cierto, ¿qué pasa con la multiplicación de fracciones?
¿También necesito tener el mismo denominador en las dos para poder multiplicar los
numeradores?
Padre:- No, multiplicar fracciones es muy fácil. Sólo tienes que multiplicar lo de arriba por
lo de arriba y lo de abajo.
Pedro:- Ah, ¡qué fácil! Pero, ¿por qué no necesitamos que los denominadores sean iguales
como antes? ¿Es que se pueden multiplicar cosas distintas?
Padre:- Claro que sí. Para la multiplicación casi siempre operamos con cosas distintas. Por
ejemplo, tanto tú como yo tenemos seis higos en el morral. En total, tenemos seis higos
por dos morrales igual a doce higos. Como ves las “cosas” no son iguales y se pueden
multiplicar. Lo mismo pasa con la división, podemos dividir un kilo de gofio entre ocho
personas.
Pedro:- Vale. Ya tengo claro que se pueden multiplicar cosas distintas. Pero, ¿por qué es lo
de arriba por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo?
Padre:- Bien, veámoslo también con un ejemplo. Pero antes recuerda lo que vimos ayer; la
fracción de una cantidad. Cuando decíamos que dos tercios de nuestros treinta animales
eran cabras, para calcular el número de cabras multiplicábamos el numerador por la
cantidad y después dividíamos por el denominador. En nuestro caso, dos por treinta que
son sesenta dividido entre tres que es veinte. Por eso decíamos que dos tercios de treinta
es veinte.
Pedro:- De todo eso me acuerdo pero no sé que tiene que ver con la multiplicación de
fracciones.
Padre: - Supongamos que dos tercios de queso lo queremos multiplicar por tres cuartos.
Primero tomemos los dos tercios de queso. Aquí los juntamos:
11
Pedro:- Bien
Padre:- Ahora lo multiplicamos por tres. Eso significa que cogemos dos veces más dos
tercios. Pásamelos, Pedro.
Pedro:- Vale. Aquí tienes dos tercios de queso y aquí otros dos tercios.
Padre:- Ahora debemos dividirlo entre cuatro. Imagínate que lo vamos a repartir entre tus
tres hermanas y tú. Repártelo.
Pedro:- A ver. Este trozo para Juana, éste para Jacinta, éste para Clotilde, éste para mí,
éste para Juana, éste para Jacinta y,… ¡No hay más!
12
¡No es justo! A Juana y a Jacinta les toca más queso que a Cloti y a mí.
Padre:- ¡Desde luego que no es justo! Vamos a partir cada trozo a la mitad y volver a
repartir
Ahora vuelve a hacer el reparto, Pedro.
Pedro:- Vamos a ver. Este “cacho” para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para
mí. Este “cacho” para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para mí. Este “cacho”
para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para mí.
13
Está claro que a cada uno le toca tres “cachos· de queso pero, ¿cuál es la fracción? No
tengo nada claro cuál es el denominador.
Padre:- Seis. Recuerda que repartíamos dos tercios de queso, es decir, que el queso estaba
partido en tres trozos y que después cortamos cada trozo a la mitad para que el reparto
fuese justo. En total, hemos cortado el queso en seis trozos. De todas maneras, es más
fácil de ver si juntas los trozos.
Pedro:- Eso es. Nos corresponden tres sextos de queso a cada uno o, mejor aún, nos toca
la mitad de un queso por barba. ¡Ya controlo eso de las fracciones equivalentes!
Padre:- Muy bien, Pedro. Si únicamente hubiésemos hecho la operación dos tercios por
tres cuartos multiplicando lo de arriba por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo, como
te dije al principio, sería dos por tres seis y tres por cuatro doce y nos queda seis doceavos
que, como bien sabes, es lo mismo que tres sextos y lo mismo que un medio.
Pedro:- Desde luego que de esta manera es muy fácil. Mucho más sencillo que la suma o la
resta. ¿Qué pasa con la división de fracciones? ¿Es fácil como la multiplicación o difícil
como la suma y la resta?
14
Padre:- Muy fácil. Sólo tienes que multiplicar el numerador de una fracción por el
denominador de la otra y al revés. Fíjate, si dividimos dos quintos entre cuatro novenos
nos queda
5
2:9
4=
4·5
9·2=
20
18 que simplificado es
10
9.
Para no confundirnos, se dice que la multiplicación de fracciones es en línea (lo de arriba
por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo) y la división es en cruz (el de arriba de una
fracción por lo de debajo de la otra y al revés).
Pedro:- ¡Ah, qué chollo! ¡Es superfácil! ¡Eso sí no me lo expliques con el queso, que ya
tenemos al pobre mareado!
ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS: “CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE”
1) En la página 57 vuelve a leer las dos primeras intervenciones del padre y la de Pedro que está en medio:
Demuestra que has entendido el concepto de fracción rellenando el siguiente cuadro:
2) Termina de leer la página 57 y demuestra que has entendido el concepto de fracción equivalente asociando a cada uno de los textos que se presentan su fracción correspondiente y aportando también al menos una fracción equivalente.
Texto F. corres
pondiente
Fs. Equivalentes
15
De los 200 huéspedes del hotel, 150 son extranjeros
200
150
100
75,
40
30,
20
15,8
6
, 4
3
De las 10 porciones de pizza, comimos 6
De los 24 alumnos de la clase, 16 aprobaron
Matemáticas
En una encuesta a 25 personas, 10 se mostraron
satisfechos con el gobierno
2 de las 24 manzanas estaban podridas
3) Has estado trabajando las fracciones equivalentes de una forma muy intuitiva pero hay una manera mucho más fácil; multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Cuando multiplicamos diremos que estamos obteniendo fracciones equivalentes por ampliación y cuando dividimos, lo estamos haciendo por reducción.
a) Aporta 5 fracciones equivalentes por ampliación de:
a) 8
3 b)
5
2 c)
4
9 d)
5
4
b) Aporta, si se puede, 3 fracciones equivalentes por reducción de:
a) 30
18 b)
60
30 c)
20
36 d)
42
18 e)
12
48
4) Hemos visto en el ejercicio anterior que siempre hay muchísimas fracciones equivalentes a una dada. De hecho, por ampliación siempre se pueden obtener infinitas fracciones equivalentes a una dada y por reducción, frecuentemente se obtienen varias aunque en ocasiones no se encuentra ninguna. En ese caso, se dice que la fracción es irreducible. Para obtener esta fracción hay diversos métodos pero el más cómodo es dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números. Veámoslo con un ejemplo:
c) Dividiendo numerador y denominador por 15 nos queda
45
30=
3
2
Obtén tú las fracciones irreducibles correspondientes a las siguientes fracciones:
a) 25
20 b)
42
18 c)
54
36 d)
160
100 e)
5
3
5) Lee la ampliación del diálogo entre Pedro y su padre y aplica los conocimientos
aprendidos y efectúa las siguientes operaciones (sumas o restas) de fracciones:
a) 9
5+
5
4= b)
3
4-8
3= c)
15
7+
4
9= d)
3
2-2
1=
e) 4
3-9
7= f)
3
5-
5
3+
8
1= g)
3
5-
+
8
1
5
3 =
6) Ahora utiliza conjuntamente los conocimientos adquiridos en los ejercicios 5) y 4) (opera primero las fracciones y simplifica luego el resultado) y resuelve:
a) 10
3+
6
5= b)
4
9-8
5= c)
14
9-6
5= d)
10
1
35
4+ =
e) 4
3-6
5+
9
5= f)
2
1-
−
8
5
4
3= g)
8
5+
−
4
3
6
1=
7) Demuestra que sabes multiplicar y dividir fracciones:
a) 5
3·9
2= b)
3
4:8
3= c)
4
7:9
5= d)
3
2·8
1 =
e) 2
3:7
2= f)
5
3:5
3 = g)
5
3·5
3= h)
12
5·1
9=
8) Si no has simplificado los resultados del ejercicio anterior (en caso que sea posible), hazlo ahora. Recuerda que hay que dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de los dos.
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Ahora es el momento de aplicar los conocimientos adquiridos. En cada cuestión vas a
tener que decidir si hay que hacer suma, resta, multiplicación o división de fracciones.
Al principio, te aconsejo que cambies las fracciones por números naturales de tu
elección y así te resultará más sencillo decidir cuál es la operación conveniente.
PROVISIONES
Pedro y su padre necesitan controlar en todo momento la cantidad de agua y de
alimentos que disponen porque, aunque conocen muy bien la situación de pozos y
lugares donde aprovisionarse de comida, no pueden permitirse el lujo de apartarse de
su camino, con la consiguiente pérdida de tiempo que eso supone.
1) Agua
a) El Padre de Pedro, Chanito, tiene una bota con un litro y medio de capacidad,
¿podrías expresar esta cantidad mediante una fracción?
b) Si Pedro tiene una cantimplora de tres cuartos de litro de capacidad, ¿de qué
cantidad de agua disponen cuando los dos recipientes están llenos? Exprésalo
como fracción
c) Chanito ha enseñado a Pedro a economizar el agua porque se trata de una
necesidad básica imprescindible. Para ello debe dividir el contenido de su
cantimplora en cuatro tomas iguales de tal manera que consume una por la
mañana, otra a mediodía, otra por la tarde y una última por la noche, ¿qué
fracción de la cantimplora bebe Pedro en cada ocasión?
d) Supón que en estos últimos días que ha hecho más calima han decidido dosificar
su agua de distinta manera dividiendo el contenido de la cantimplora en cinco
tomas de las cuales se bebe una por la mañana, dos a mediodía, una por la tarde y
otra por la noche, ¿qué fracción de la cantimplora beberá en cada ocasión?
e) En las dos situaciones de los apartados anteriores, ¿qué cantidad de su bota
beberá Chanito en cada ocasión? Exprésalo como fracción
f) ¿Cuánta agua consumen Chanito y Pedro en una semana? Exprésalo como fracción
g) En la cueva donde pernoctan tienen un aljibe de treinta y seis litros de capacidad.
¿Para cuántos días les dará teniendo en cuenta la cantidad que consumen Chanito
y Pedro diariamente?
2) Queso
A Pedro y a su padre les acaba de regalar un pastor de Buen Lugar las tres cuartas partes de
uno de sus quesos artesanales.
a) Si quiere guardar cada uno la misma cantidad de queso en su morral. ¿Cómo lo harán? ¿Qué
cantidad de queso tendrá cada uno?
b) Si el queso debe durarles tres días comiendo lo mismo cada uno de los días. ¿Qué fracción
de queso comerá cada uno diariamente?
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IES VALSEQUILLO. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS general
EXAMEN DIVISIBILIDAD, POTENCIAS Y RAÍCES. 1 ESO C. 08/11/18