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INTRODUCTION
La Relativit gnrale est exemplaire en de nombreux aspects :
-Elle montre quel point une thorie mme rvolutionnaire napparat pas
spontanment mais est le fruit dun lent mrissement travers des
gnrations de physiciens. En ce sens la Relativit est tributaire des
premires interrogations des Grecs sur le mouvement. -La Relativit
gnrale, comme la Relativit restreinte, est construite partir dun
principe unique, ici le principe dquivalence. De plus, elle ne
laisse pas le choix de paramtres ajustables. Un seul principe
conduit un dveloppement de mathmatiques et de lois physiques
prodigieux ouvrant la possibilit de nombreux tests exprimentaux. En
ce sens, cest une thorie prenant beaucoup de risques donc fortement
falsifiable au sens du philosophe Karl Popper. Deux traits
caractristiques dune thorie fconde sont lextension et lunification.
Lextension veut dire que lon tend les thories prcdentes de
nouvelles chelles et de nouvelles situations. Tel est le cas pour
la Relativit gnrale qui tend la Gravitation newtonienne des corps
anims de vitesses proches de celle de la lumire, ou constitus de
masses tellement grandes que la thorie newtonienne ne sapplique
plus (trous noirs par exemple). Lunification veut dire que la
thorie prend en compte dune manire unifie des phnomnes qui
semblaient de prime abord ne rien avoir en commun, qui semblaient
faire partie de domaines disjoints de la physique. Tel est
principalement le cas de lunification de linertie et de la
gravitation par la Relativit gnrale. Tout ceci, alli la trs grande
cohrence interne (absence de contradictions internes, de difficults
mathmatiques comme les infinis en Electrodynamique quantique,
prcision des concepts de base), en font le prototype de ce que doit
tre une bonne thorie physique.- La Relativit restreinte et la
Relativit gnrale, montrent la puissance de la physique : en partant
dune rflexion approfondie sur le mouvement, on dbouche entre autres
sur lquivalence entre la masse et lnergie, sur la prdiction de
lexistence des antiparticules (Relativit restreinte et Mcanique
quantique) et sur le calcul de lge de lunivers. -La Relativit
gnrale est galement remarquable par le temps qui sest coul entre
beaucoup de ses prdictions et leurs vrifications exprimentales :
ainsi lexpansion de lunivers fut tout de suite dduite des quations
de la Relativit gnrale. Ce rsultat parut tellement surprenant
Einstein quil modifia ses quations en introduisant une constante
dite cosmologique qui permettait lunivers dtre statique. Une fois
la confirmation exprimentale de lexpansion faite par Hubble en 1929
(dcalage vers le rouge de la lumire reue des galaxies lointaines)
il reconnut que lintroduction de cette constante fut la plus grande
erreur de sa vie. Le rayonnement cosmologique 3 K prvu par Gamow en
1948 ne fut dcouvert fortuitement quen 1964 par Penzias et Wilson.
Leffet Einstein de dcalage vers le rouge dun rayonnement dans la
traverse dun champ de gravitation, prvu ds le dpart par Einstein
lui-mme, ne fut vrifi exprimentalement avec une grande prcision
grce leffet M ssbauer quen 1960 par Pound et Rebka. Ces dcalages
ont contribu marginaliser la Relativit gnrale qui au dbut avait peu
de vrifications exprimentales et peu dapplications. Jusquen 1960
deux vrifications seulement taient disponibles : lavance du prihlie
de Mercure et la dviation de la lumire des toiles au passage prs du
Soleil. Ainsi, la Relativit gnrale d subir une vritable traverse du
dsert jusqu ces annes 1960. Pourtant ceci est une preuve de
lextraordinaire pouvoir prdictif de cette thorie et de
-
limmense avance quont pris ce moment les concepts thoriques sur
lexprience. Le peu de vrifications exprimentales de la Relativit
gnrale tenait la difficult de ces vrifications faisant pour la
plupart appel lastrophysique qui tait une science ltat dbauche au
moment du dveloppement de cette thorie. Des moyens technologiques
perfectionns non disponibles lpoque sont galement utiliss dans
beaucoup dexpriences modernes. Insistons sur le fait que la
Relativit gnrale a une trs grande richesse de contenu. Le nombre de
rsultats prdits dans des situations varies est prodigieux.
Actuellement on assiste un vritable renouveau. Les applications en
astrophysique sont nombreuses, en liaison souvent avec la physique
des particules. Cela contribue obtenir de plus en plus de
vrifications exprimentales. Or, jusqu prsent, chaque fois quun
nouveau test exprimental est effectu, le rsultat prdit par la
Relativit gnrale se trouve confirm. La Relativit gnrale, qui fut
conue presque entirement comme une pure abstraction de pense au
dbut de ce sicle, savre donc finalement totalement juste.
Indpendamment de ce renouveau exprimental, un regain dintrt apparat
galement de la part des thoriciens. Des liens trs troits existent
en effet entre cette thorie et les thories modernes des
interactions en physique des particules. Ces thories comme la
Relativit gnrale sont des thories de jauges. Un demi-sicle lavance,
cette thorie trouvait donc une structure qui allait savrer tre la
structure gnrale de toutes les interactions. Le but ultime est bien
sr dunifier les quatre interactions (forte, faible, lectromagntique
et gravitationnelle) dans une thorie unique. Cet ouvrage sadresse
un public du niveau du DEUG ou des Classes Prparatoires aux Grandes
Ecoles scientifiques. La Relativit restreinte est reprise dans ses
grandes lignes. LElectromagntisme classique est suppos connu. Le
Calcul tensoriel ncessaire pour les dveloppements mathmatiques de
la thorie est introduit, aucune connaissance pralable ntant
ncessaire. Les connaissances de base en Algbre linaire sont
cependant supposes connues. Cet ouvrage na pas pour but dtre
exhaustif sur tous les aspects de la Relativit gnrale. Ainsi la
thorie des ondes gravitationnelles assez technique nest pas
dveloppe. Par contre, jai essay dtre complet en ce qui concerne
tous les aspects conceptuels de la Relativit gnrale. Jai rserv dans
ce livre beaucoup de place des expriences de pense. Ce sont des
expriences idalises mais faisables et que la thorie prend
compltement en compte. Cependant on ne se soucie pas de leur
ralisation pratique. Le but est par ce moyen dexplorer la cohrence
dune thorie, ses limites et les concepts nouveaux quelle introduit.
Elles ont galement un rle pdagogique. Ltude de cas particuliers
concrets permet de poser les problmes cruciaux, de faire ressortir
les paradoxes apparents et de faire avancer ainsi la thorie. Elles
permettent galement travers ces cas particuliers de mmoriser les
formules et les concepts. Ce livre tant pdagogique, les calculs ont
t compltement dvelopps. Sagissant dune initiation la Relativit
gnrale, je me suis efforc de donner des explications dtailles et
compltes. Quelques exercices et problmes sont donns la fin de
chaque chapitre. Les corrigs sont rassembls la fin du livre. Jaurai
atteint mon but si je russis mettre en lumire le cheminement des
ides, les principes de beaut, de simplicit, de cohrence et de
gnralisation qui guident le physicien dans la construction dune
thorie nouvelle. Pierre BOUTELOUP, le dimanche 17 octobre 1993
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Chapitre premier
LA MECANIQUE NEWTONIENNE
1. Les rfrentiels galilens. -Un rfrentiel est un repre (point
origine et trois directions daxes) li un corps solide suppos
stendre indfiniment. La Mcanique newtonienne (Newton : 1642-1727)
suppose lexistence dun ensemble de rfrentiels appels rfrentiels
galilens en translations rectilignes uniformes les uns par rapport
aux autres dans lesquels la loi fondamentale de la dynamique est la
plus simple :
Nous notons les vecteurs de lespace trois dimensions dont les
symboles sont des lettres latines en caractre gras. Pour une lettre
grecque, nous emploierons le mme symbole, que ce soit un scalaire
ou un vecteur. D'une manire gnrale nous utiliserons galement des
flches au dessus; ainsi lorsque le vecteur sera obtenu partir dun
bipoint comme dans lquation (1,1), nous utiliserons une flche. Le
vecteur nul sera not en caractre gras : 0. Le Rfrentiel de
Copernic, dont lorigine du repre est le centre de gravit du systme
solaire et les axes trois directions dtoiles lointaines est suppos
tre un tel rfrentiel avec une bonne approximation.
Le symbole Cte signifie un vecteur constant quelconque. Nous
obtenons la loi de linertie : une particule libre se dplace en
ligne droite vitesse constante dans un rfrentiel galilen (ou
rfrentiel non acclr).
2 La transformation de Galile, le Principe de relativit de
Galile. -A chaque rfrentiel galilen est associ un systme de
coordonnes (x,y,z,t). Nous dirons alors parfois, par abus de
language, systme au lieu de rfrentiel. La transformation de Galile
entre les deux rfrentiels R et (fig. 1.1) dont les vecteurs
unitaires sont gaux, tant sur laxe des x, sexprime alors par les
quations :
-
V est la vitesse de par rapport R, parallle et de mme sens que
laxe des x. La dernire quation exprime lexistence dun temps absolu.
La transformation de Galile correspond bien au fait que tous les
rfrentiels galilens sont en mouvement de translation rectiligne
uniforme les uns par rapport aux autres. On le voit sur la loi
reliant x , les autres coordonnes tant identiques. On obtient
ensuite :
Soit : v = + V. Cest la loi de composition des vitesses. Il
vient ensuite :
En particulier, une particule libre ayant une acclration nulle
par rapport un rfrentiel galilen a bien une acclration nulle par
rapport tous les rfrentiels galilens. Une telle particule libre, en
translation rectiligne uniforme par rapport tout rfrentiel galilen,
dfinit elle mme un rfrentiel galilen et un seul dans lequel elle
est immobile. Nous appellerons ce rfrentiel, le rfrentiel ou systme
au repos R0 (sous entendu de la particule). Par abus de language,
on peut dire que la particule est elle mme ce rfrentiel galilen R0
Puisquune particule libre obissant la loi de linertie, donc ayant
un mouvement dit inertiel, dfini un tel rfrentiel R0, et puisque
tout rfrentiel galilen peut tre considr comme un tel rfrentiel,
nous appellerons galement les rfrentiels galilens des rfrentiel ou
systmes inertiels. Ainsi, pour trouver un rfrentiel galilen, il
suffit de suivre le mouvement dune particule libre, et de prendre
le rfrentiel R0 de cette particule. Tout le problme consiste
vrifier quune particule est bien libre. Nous verrons la difficult
de cela au 7 du chapitre 6 m tant suppose invariante, on arrive
:
La force est un invariant.
Fig. 1.1
-
Deux observateurs situs dans deux rfrentiels dilirents seront
daccord quant la force applique une particule; ils trouveront la
mme valeur. Ce que traduit le principe de relativit de Galile : Les
lois de la mcanique sont les mmes dans deux rfrentiels galilens. Il
est donc impossible par des expriences de mcanique de privilgier un
rfrentiel galilen particulier dont on dirait quil est immobile.
Nous verrons dans ltude de la Relativit restreinte quaucune loi de
la physique ne permet de privilgier un rfrentiel galilen par
rapport un autre. Le mouvement a donc un caractre relatif : Si,
dans le vide interstellaire, deux objets bougent lun par rapport
lautre, il est impossible de dire lequel est immobile, lequel est
en mouvement; cest une pure affaire de convention. Il en rsulte que
la phrase : Je suis revenu au mme endroit un autre momentna pas de
sens si lon ne prcise pas le rfrentiel choisi. Cette relativit du
mouvement qui soppose la conception aristotlicienne du mouvement
considr comme absolu fut correctement comprise par Galile (Galile:
1564-1642). Cela lui permit daffirmer que le mouvement de
translation dun objet sur la surface de la Terre d la rotation de
la Terre sur elle mme est indcelable. Il en est de mme du mouvement
de la Terre (30 km/s) dans sa course autour du Soleil. Notons que
cela correspond une ncessit de simplicit : On voit mal les lois de
la mcanique sur Terre changer entre le mois de janvier et le mois
de juillet (priode pendant laquelle le mouvement de la Terre par
rapport au rfrentiel de Copernic sinverse), ou entre midi et
minuit.
3. Mesure de la masse et de la force. -Toute grandeur physique
doit tre dfinie par un procd exprimental prcis de sa mesure, au
moins dans une exprience de pense; quen est-il de F et ? Effectuons
maintenant la dmarche inverse de celle du 1. Le point de dpart est
le principe de linertie et lexistence des rfrentiels galilens. Une
particule isole a un mouvement rectiligne uniforme dans un tel
rfrentiel. Ensuite, ce principe est gnralis un ensemble de
particules. Cela correspond une exigence de simplicit et
dautocohrence de la thorie : Une particule considre comme lmentaire
(atome dhydrogne, proton ...) peut se rvler compose dun assemblage
de particules plus lmentaires (proton et lectron, quarks ...). La
thorie ne doit pas distinguer ces deux cas (lmentaire, compos)
vis--vis du comportement externe. Considrons N particules en
interaction ou non entre elles, mais sans interaction avec le reste
de lunivers (nous verrons la difficult que prsente cette dernire
notion au 13 du chapitre 6 ). On suppose alors lexistence dun point
G (centre de gravit) obissant encore au principe de linertie. On
suppose lexistence de N paramtres m1 ,...,mN lis aux N particules
de manire intrinsque tels que : Equation (1,1)
Tout ceci est susceptible de vrifications exprimentales prcises
: Pour mesurer la masse dun corps A, il suffit de le faire
interagir avec le corps B de masse unit; le point G de la droite AB
tel que GA/GB = Cte qui dcrit une ligne droite dans un rfrentiel
galilen donne la masse de A par : mA/1 = GB/GA. Les masses mi tant
ainsi dtermines, la relation (1,1) peut alors tre vrifie. Notons
que la donne fondamentale est lexistence de rfrentiels galilens;
nous reviendrons sur le problme de leur dtermination exprimentale
prcise au 13 du chapitre 6. (1,1) donne : Equation (1,2)
PG est la quantit de mouvement ou impulsion totale du systme de
particules. Ce vecteur se conserve donc. Pi est la quantit de
mouvement ou impulsion de la iem particule. En drivant (1,2)
nous
-
obtenons : Equation (1,3)
On dfinit alors les forces par : Equation (1,4)
et on a : Equation (1,5)
Ce qui est le principe de laction et de la raction. Ainsi (1,2)
(1,5) ; cest dire que le principe de laction et de la raction est
quivalent la loi de la conservation de limpulsion.
4. Addition des forces. -La loi daddition des forces est
susceptible dune vrification exprimentale. En faisant agir la
particule M, dabord avec M1 seule, puis avec M2 seule, puis avec M1
et M2, les positions de chaque particule restant les mmes. Les
forces usuelles tant de type lectromagntique, la loi daddition
correspond la linarit de cette interaction. Prenant lexemple de E
(idem avec B), nous avons :
5. Interprtation de la loi daddition des forces. -En physique
moderne (Thorie quantique relativiste), on interprte les
interactions qui se traduisent ici par des forces, comme des
changes de particules virtuelles. Le mot virtuel vient du fait que
ces particules ne sont pas dtectes. Elles correspondent des tats
quantiques intermdiaires entre les tats initiaux et finaux et
servant aux calculs de diffusions ou de dures de vies. Elles
permettent de vhiculer limpulsion change par deux particules en
interaction. Pour linteraction lectromagntique, la particule de
champ est le photon. Pour la gravitation, il sagit du graviton.
Pour linteraction faible, il y a trois bosons (un boson est une
particule de spin entier avec comme unit h/2 pi; toutes les
particules dinteraction sont des bosons): W+, W- et Z0.
Linteraction forte correspond huit gluons. Une force correspond au
dbit dimpulsion F = dP/dt , limpulsion dP tant vhicule par les
particules de champ frappant lobjet considr soumis la force. Une
force F1 agissant sur lobjet considr, correspond un dbit de
particules de type 1avec F1= dP 1 /dt. Une force F2 agissant
sur
le mme objet correspond un dbit de particules de type 2avec 2 =
d 2/dt . Supposons maintenant que les particules de type 1soient
sans interaction avec les particules de type 2(et rciproquement
cause du principe de laction et de la raction), cest dire,
intuitivement, que les deux types de particules ne se voient pas.
Lorsque les deux interactions 1et 2sont en prsence simultanment,
nous aurons :
La prsence des particules de type 2ne modifie en effet en rien
la nature et la frquence des chocs entre lobjet et les particules
de type 1(et rciproquement); ces chocs correspondent au dbit
dimpulsion d 1/dt (et rciproquement). Dautre part les dbits
dimpulsion sajoutent comme lindique la drive de lquation (1,2) qui
correspond :
-
dP est la variation dimpulsion subie par la particule matrielle;
les variations dimpulsion subies par les particules dinteraction
sont -dP1 et -dP 2 .
Ainsi, la linarit de linteraction correspond au fait que les
particules dinteraction sont sans interaction entre elles. Tel est
le cas de linteraction lectromagntique : dans linterprtation de
cette interaction en termes dchange de photons, cela correspond au
fait que le photon ne porte pas de charge lectrique. Les photons
sont donc sans action lectrique les uns sur les autres. Il faut
remarquer que, en lectrodynamique quantique, un photon peut crer
une paire virtuelle lectron-positon. Par cette intermdiaire, les
photons peuvent agir trs faiblement entre eux. Ce qui est dit
ci-dessus nest donc vrai quen premire approximation. Dans le cadre
de llectromagntisme classique, la linarit delinteraction se traduit
par la linarit des quations de Maxwell laquelle correspond le
principe de superposition des tats dquilibre. Nous voyons donc que
le lien entre une loi, mcanique : laddition des forces, et une loi
de type
gomtrique : laddition des vecteurs correspondant vient de la loi
F = dP/dt avec P= mv = m /dt. Le lien entre gomtrie et mcanique
vient ainsi de la loi dfinissant F et P partir des points M de
lespace, cest dire du principe de linertie pour le mouvement du
centre de gravit dun ensemble de corps.
EXERCICES
1.1 Une particule fait des allers et retours dans la chambre dun
piston. Les chocs contre les parois sont parfaitement lastiques. vx
= V ; V > 0; vy = 0 Le piston avance lentement vers la droite la
vitesse constante v V .
Montrez que le produit V l est constant. Cest un invariant
adiabatique.
1.2 Dviation dune particule au passage prs dun astre.
1. Ecrire lexpression de la vitesse en coordonnes polaires r et
.
2. Pour un point matriel de masse m soumis une force centrale
due lattraction gravitationnelle dun corps de masse M ( Fr =
-GmM/r2), crire la conservation de lnergie E et du moment cintique
J.
3. En dduire les expressions de dr/dt; d /dt puis d /dr.
4. Une particule arrive de linfini. La droite trajectoire est la
distance b du point 0 centre attractif
-
(paramtre dimpact b). On prend comme axe des x laxe passant par
0 parallle la droite prcdente et dirig vers lendroit do vient la
particule. Langle polaire de la particule est toujours positif.
Exprimer langle de dviation D en fonction de la valeur prise par
lorsque la distance 0 est minimale; on note cette valeur (rmin); (r
= + ; t = - ) = 0
5. Exprimer (rmin) par une intgrale en r.
6. Dans lintgrale prcdente, exprimez E et J en fonction du
paramtre dimpact b et de la vitesse linfini v .
7. Calculez lintgrale obtenue. On rappelle que :
8. En dduire cos (rmin) puis tan (rmin)
9. En dduire tan en fonction de G,M,b,v
Le calcul prcdent permet de connatre la dviation de la lumire au
passage prs du Soleil. On considre alors quelle est constitue de
particules ponctuelles : les photons, obissant la Mcanique
newtonienne et allant la vitesse de la lumire : v = C. On trouve la
moiti de la valeur exacte donne par la Relativit gnrale.
-
Chapitre Deux
DIFFICULTES DE LA MECANIQUE NEWTONIENNE
1. Vitesse des particules. -La Mecanique newtonienne implique
lexistencede vitesses aussi grandes quon veut pour les particules
de matiere. En effet,
quelle que soit la vitesse v > 0 consideree pour une
particule dans le referentielR, elle sera plus grande dans le
referentiel R : v = v + V ; or les lois de lamecanique etant les
memes dans R et dans R, une particule peut donc sedeplacer a la
vitesse v > v dans R . Cependant lexperience montre aussi bienen
ce qui concerne les accelerateurs de particules que les rayons
cosmiques
quaucune particule de matiere ne peut aller plus vite que la
vitesse de lalumiere.
2. Le probleme de lelectromagnetisme. -Les lois de la mecanique
sont
covariantes par la transformation de Galilee; cela veut dire que
les equationssont les meme dans deux referentiels differents, meme
si les variables peuventprendre des valeurs differentes. Ainsi
lequation v = cte pour une particule
libre dans R secrit v = cte dans R; v 6= v mais les deux
equations sontidentiques. Les equations de Maxwell ne sont pas
covariantes par la trans-
formation de Galilee; si elle sont vraies dans un referentiel
elles sont faussesdans un autre. Cela se voit tout de suite lorsque
lon sait quelles impliquent
lexistence dondes dont la lumiere fait partie se propageant a la
vitesse :
C =1
00
0 et 0 etant mesures par des experiences delectrostatique et de
magnetostatique.Cela implique en particulier que la vitesse de la
lumiere est la meme dans
toutes les directions. Mais si cela est vrai dans R, cela ne
peut etre vrai dansR avec C = C+V . Lexperience de Michelson et
Morley a verifie que la vitessede la lumiere est une constante
universelle et ne depend pas du referentiel. Re-
marquons que la covariance des lois de lelectromagnetisme
correspond a unenecessite de simplicite : on voit mal les appareils
electriques sur Terre fonc-
1
-
tionner differemment en janvier et en juillet, ou midi et minuit
( voir 1 duchapitre 3 ).
3. Experience des deux barres. -Pour illustrer sur un exemple
concret la
non covariance des equations de lelectromagnetisme, envisageons
lexperiencede pensee suivante (fig. 2.1) : deux barres paralleles
infinies (1) et (2) chargees
delectricite statique avec la densite lineique > 0 a la
distance r lune delautre, sont immobiles dans R. Calculons la force
subie par un element delongueur l de la barre (2) (nous notons ici
v la vitesse de R par rapport a R) :
l
FB B
FEE
v
(1)
(2)r
Fig. 2.1
Soit E le champ electrique cree par la barre (1) en un point de
la barre (2)(idem B). Le theoreme de Gauss donne :
2rlE =l
0 E =
20r
FR = FE = qE =2l
20r
FE est une force repulsive. Dans R, FE reste la meme, mais les
charges enmouvement correspondent un courant I = vS = v car = S; le
theoremedAmpere donne :
2rB = 0I B =0v
2r
FB = IBl =v0vl
2r=
02v2l
2r
FB est attractive. La force totale vaut :
FR =2l
20r 0
2v2l
2r
FR 6= FR, en contradiction avec linvariance de la force en
mecanique new-tonienne.
2
-
Ainsi, nous avons suppose que les equations de
lelectromagnetisme sont
vraies dans R et dans R et nous sommes arrive a une
contradiction avec laMecanique newtonienne.
3
-
Chapitre Trois
LA RELATIVITE RESTREINTE : CINEMATIQUE
1. Le Principe de Relativite restreinte. - Puisque les equations
deMaxwell supposees justes ne sont pas covariantes par la
transformation de
Galilee, celle-ci doit etre fausse. Nous allons donc chercher a
la modifier. Nousne nous limitons pas a lelectromagnetisme et
supposons que toutes les lois dela physique sont les meme dans tous
les referentiel galileens. Nous arrivons
ainsi au Principe de relativite restreinte dEinstein, plus
simplement appeleprincipe de relativite, qui generalise le principe
de relativite de Galilee : Les
lois de la physique sont identiques dans tous les referentiels
galileens. Aucuneexperience de physique ne permet donc de mesurer
dune maniere absolue le
mouvement puisque tous les referentiels sont equivalents. La
vitesse de lalumiere qui se deduit des lois de lelectromagnetisme
est donc la meme dans
tous les referentiels galileens. Le mot restreintvient du fait
que le Principede relativite est limite aux mouvements de
translations rectilignes uniformeset ne sapplique pas aux
mouvements acceleres, en particulier aux mouvements
de rotation. Ainsi, par exemple, un referentiel en rotation est
non galileen; ilsy developpe des forces centrifuges : une particule
libre ne sy deplace pas en
ligne droite.Nous pouvons reprendre ici la remarque de la fin du
2 du chapitre 1 et
celle de la fin du 2 du chapitre 2 en les appliquant a toutes
les lois de laphysique et en particulier aux lois de
lelectromagnetisme : il nous parat touta fait naturel que tous nos
appareils electriques et electroniques fonctionnent
exactement de la meme maniere quelle que soit la periode de
lannee ou de lajournee. Et pourtant, compte tenu des mouvements
differents de ces appareils
par rapport au referentiel de Copernic a ces differents moments,
cela supposela covariance des equations de Maxwell.
Plus encore, la constitution des corps solides est dorigine
electromagnetique.La modification des lois de lelectromagnetisme
pourrait entraner une deformation
des solides qui serait a priori variable suivant la matiere dont
ils sont con-stitues. Le changement de vitesse de la Terre suivant
les periodes de lannee
1
-
casserait, par deformations differentes des parties, les solides
non homogenes!
2. Coordonnees dun evenement. - Nous allons voir par la suite
quil
ny a pas de temps absolu. Il faut donc definir avec precision
comment le tempsest mesure. Dans chaque referentiel galileen il y
aura un reseau dhorlogesimmobiles synchronisees, aussi proches quon
veut les unes des autres, appelees
horloges etalons. Nous omettrons souvent, quand il ny aura pas
dambigute,et pour raison de simplicite, ce dernier adjectif.
Le mot etalon precise que le temps donne par lhorloge est le
temps exact,compte tenu de lunite choisie. Lhorloge etalon ne
presente ni avance ni retard
par rapport a ce temps exact. Le fonctionnement dune horloge
etalon est basesur un phenomene regulier permettant de mesurer le
temps qui secoule. Pour
plus de precision, voir 10 du chapitre 7 .Pour synchroniser ces
horloges, nous disposons de deux methodes equivalentes.
Nous pouvons transporter une horloge etalon a une vitesse faible
devant celle
de la lumiere. Nous supposons que la Mecanique newtonienne
sapplique pourde tels objets se deplacant lentement dans un
referentiel galileen. Dans ce cas,
lhorloge indique constamment le temps absolu du referentiel.
Elle permettrade mettre a lheure toutes les horloges quelle
rencontrera. Une autre methode
est dutiliser la lumiere. A linstant t(1) nous envoyons, de
lhorloge etalon (1)une impulsion lumineuse vers lhorloge (2). Elle
arrive a linstant t(2) et elle
est renvoyee par un miroir vers lhorloge (1) ou elle arrive a
linstant , t(1)
. Leprincipe de relativite restreinte implique que la lumiere va
a la meme vitessedans les deux sens. Nous avons donc :
t(2) =t(1) + t
(1)
2
Il suffit alors de retarder ou davancer lhorloge (2) du decalage
quelle avaitavec le temps theorique t(2) au moment de larrivee du
rayon lumineux sur le
miroir, pour la mettre a lheure.Nous supposons alors que les
horloges dun referentiel galileen restent syn-
chronisees; elles mesurent le temps du referentiel.
Un evenement E : desintegration dune particule etc, definit un
lieu danslespace a un moment donne. Un tel evenement est un point
de lespace-
temps; Il sera repere par les trois coordonnees x, y, z du lieu
ou il se produitet le temps t indique par lhorloge du referentiel
situee a cet endroit. Le lieu
a un instant donne est un point de lespace geometrique a trois
dimensionsappele simplement espace lorsquil ny a pas dambigute. Les
quatre nombres
2
-
notes :
t
x
y
z
=
x0
x1
x2
x3
= (x)
sont les coordonnees de levenement E dans le referentiel choisi.
Un indice ecriten lettres grecques ira de 0 a 3 et correspondra aux
variables despace-temps.un indice ecrit en lettres latines ira de 1
a 3 et correspondra aux variables
despace :
(x) =
x0
xi
3. La transformation speciale de Lorentz. - Il nous faut
maintenant
voir le lien entre les coordonnees (x) de levenement E dans R et
(x) dansR; la barre au dessus dun indice signifie que la coordonnee
correspondanteest dans R. Les referentiels R et R sont disposes
comme sur la figure 1.1 .Nous reglons les horloges de R et R de
facon a ce que lorsque 0 et 0 sontconfondus, les deux horloges
respectivement liees a 0 et 0 indiquent toutes lesdeux le temps 0 :
t = t = 0 , comme cela a ete fait implicitement au 2 duchapitre 1
.
Les variables t, x, y, z doivent etre des fonctions lineaires de
t, x, y, z,pour quune particule libre ayant un mouvement rectiligne
uniforme dans Rait egalement un mouvement rectiligne uniforme dans
R.
De plus y = y et z = z pour tout evenement, sinon on pourrait
distinguer
un sens absolu sur la droite des x : le sens de la vitesse du
referentiel quicorrespondrait a la coordonnee la plus petite par
exemple (si on avait y < y
cela impliquerait egalement z < z par symetrie de rotation
autour de laxedes x). Lespace etant suppose isotrope cela est
impossible.
Considerons un rayon lumineux emis en O au moment de la
rencontre avec
O. Levenement E est ici larrivee du rayon lumineux en un point.
Le rayonse propage a la vitesse C dans R et dans R. Sa direction
est quelconque. Lesreperes despace etant supposes orthonormes, nous
avons :
s2 = C2t2 x2 y2 z2 = 0 et s2 = C2t2 x2 y2 z2 = 0
Les symboles 2 de s2 et de s2 viennent du fait que ces nombres
seront in-terpretes comme les carres scalaires de vecteurs. Donc s2
= 0 s2 = 0;t, x, y, z etant des fonctions lineaires de t, x, y, z,
cela implique s2 = ks2 pourtout evenement qui nannule pas ces
nombres. Par raison de symetrie entreR et R, necessairement k = 1 :
s2 = s2. Il vient : C2t2 x2 = C2t2 x2.Puisque cette relation doit
etre vraie quels que soient y et z, y et z, x et t
3
-
etant fixes ainsi que x et t, cela implique que x et t sont
fonctions lineairesuniquement de x et t :
x = a x + b t
t = c x + d t
Les coordonnees de O verifient x = 0 soit :
x = bt =bt
d= vt
La vitesse de R etant ainsi maintenant notee par un petit v nous
avons pourO :
x = 0x
t= b
a= v
Il vient :
b = d v = a v a = d
x = ax + avt
t = cx + at
C2t2 x2 = C2c2x2 + 2C2caxt+C2a2t2 a2x2 2a2vxt a2v2t2 =
C2t2 x2
Il vient :
C2ca a2v = 0
c =av
C2; C2a2 a2v2 = C2 a2 = C
2
C2 v2On sait que a > 0 de facon a retrouver la transformation
de Galilee pourv C; donc :
a =1
1 v2C2
c =v
C2
1 v2C2
La transformation des coordonnees correspondant a la situation
particuliereenvisagee sappelle la transformation speciale de
Lorentz. Elle secrit donc :
x =1
1 v2C2
x +v
1 v2C2
t
t =v
C2
1 v2C2
x +1
1 v2C2
t
(3, 1)
4
-
Soit tanh la tangente hyperbolique de ; posons tanh = vC; on
sait que
cosh2 sinh2 = 1
1 tanh2 = 1cosh2
; cosh =1
1 tanh2=
1
1 v2C2
sinh = tanh cosh =v
C
1 v2C2
On arrive a
x = cosh x + sinh Ct
C t = sinh x + cosh Ct(3, 2)
Ces equations sont tres symetriques; lutilisation de C t et C t
permet cettesymetrie en ayant la meme unite pour toutes les
coordonnees.
Nous noterons desormais les coordonnees dun evenement :
C t
x
y
z
=
x0
x1
x2
x3
= (x) (3, 3)
Remarquons la grande analogie de la transformation speciale de
Lorentzavec les equations dun changement daxes par une rotation
dangle en
geometrie euclidienne :
x = cos x sin yy = sin x + cos y
Le passage des fonctions trigonometriques aux fonctions
hyperboliques vientdu fait que linvariant nest plus la distance
usuelle : x2+y2; mais lintervalle :C2t2 x2 avec lapparition dun
signe moins.
4. Relativite de la simultaneite. - Nous voyons tout de suite
que deux
evenements simultanes dans R (meme t) ne le sont pas dans R des
quils seproduisent en deux endroits differents (x different). La
Relativite restreinte
etablit ainsi une symetrie entre lespace et le temps : la phrase
Ces deuxevenements se sont produits en meme temps en deux endroits
differentsna
5
-
pas de sens si on ne precise pas le referentiel; de meme que la
phrase Ces deux
evenements se sont produits au meme endroit a deux instants
differents( voir 2 du chapitre 1 ).
5. Dilatation des temps. - Considerons une horlge etalon fixee
en O .Ses coordonnees sont : x = y = z = 0 ; la transformation de
Lorentz donne
Ct = cosh Ct ; soit :
t =1
1 v2C2
t (3, 4)
Le temps t crot donc plus vite que le temps t. Il semble donc,
vu dureferentiel R, que lhorloge fixee en 0 retarde, indiquant
ainsi un temps pluspetit que celui de R. Autrement dit, le temps de
R, vu de R, semble dilate;cest a dire quil secoule plus
lentement.
Il faut insister sur le fait que ce phenomene correspond a une
propriete
physique de lespace-temps et affecte de la meme maniere tous les
processusphysiques reguliers pouvant servir dhorloges (voir 10 du
chapitre 7 ).
Le fait que les horloges de R, vues de R, retardent semble
contredire lasymetrie parfaite qui doit exister entre tous les
referentiels galileens, comptetenu du principe de relativite. Il
semble impossible que les horloges de Rpuissent egalement retarder,
vues de R. Le paradoxe est resolu lorsquon serend compte que la
dissymetrie est introduite par le processus de mesure.
En effet, une seule horloge de R mesure le temps t, tandis quune
multitudedhorloges de R donnent le temps t, les horloges concidant
avec les differentespositions dans R de lhorloge de R etudiee.
Les instant origines etant maintenant quelconques, le point O ne
concide
pas avec O a t = 0, la relation (3,4) nest plus valable.
Cependant, nouspouvons toujours ecrire, utilisant les
differentielles :
dt =
1 v2
C2dt (3, 5)
6. Temps propre. - Considerons maintenant une horloge etalon
ayant
un mouvement quelconque, cest a dire ayant une acceleration non
nulle parrapport aux referentiels galileens. Cette acceleration
peut etre elle meme
variable.Nous faisons ici lhypothese que la relation (3,5) est
toujours valable. Ainsi,
nous supposons que lacceleration dune horloge etalon par rapport
a un
systeme inertiel na aucune influence sur le fonctionnement de
cette horloge(voir 10 du chapitre 7). Laccroissement du temps de
cette horloge donnepar lequation (3,5) est ainsi egal a
laccroissement de temps dans le referentiel
6
-
inertiel R0 dans lequel lhorloge est immobile a linstant
considere. Cet ac-croissement de temps sera appele accroissement du
temps propre de lhorlogeet note d . Nous arrivons donc a :
d =
1 v2
C2dt (3, 6)
Pour un mouvement quelconque de lhorloge entre les evenements
(1) et (2),laccroissement de temps propre de lhorloge sera alors
:
2 1 =
t2
t1
1 v2
C2dt (3, 7)
Bien sur, le mouvement complet entre les evenements (1) et (2)
doit etre repere
toujours avec le meme referentiel inertiel.Nous devons insister
sur le fait que lhypothese que nous venons de faire
a une tres grande importance et represente un saut dans
linconnu. La Rel-ativite restreinte traite des mouvements des
referentiels galileens les uns par
rapport aux autres, donc elle ne traite que les mouvements de
translation rec-tilignes uniformes. Nous venons ici de passer aux
referentiels acceleres, donc
de quitter la Relativite restreinte proprement dite. Nous
verrons dans letudede la Relativite generale, que laction dune
acceleration est la meme quuneaction gravitationnelle. Donc, avec
cette hypothese, nous venons en fait de
faire un premier pas dans la Relativite generale.
7. Contraction des longueurs. - Cherchons quelle est la longueur
l dansR dune barre rigide de longueur l dans R. Pour mesurer sa
longueur dansun referentiel, il faut considerer ses deux extremites
au meme instant suivantle temps du refentiel. Les extremites sont
par exemple x = 0 et x = l dansR; supposons que a t = t = 0 ,
lextremite gauche soit en x = 0 ; lextremitedroite est en x = cosh
x + sinh Ct avec :
0 = Ct = sinh x + cosh Ct
x = cosh l + sinh
(
sinh cosh
)
l
=(
cosh2 sinh2) l
cosh =
l
cosh< l
l =l
cosh (3, 8)
Ainsi, l < l. Dans ce phenomene de contraction des longueurs,
il sagit encoredune propriete physique, geometrique, de
lespace-temps et non pas dune
compression de la barre qui est supposee parfaitement rigide
(voir 10 du
7
-
chapitre 7) Ainsi un solide anime dune grande vitesse tient
moins de placequimmobile.
Nous faisons maintenant ici une hypothese analogue a celle du
paragrapheprecedent. Nous supposons que lacceleration dun corps na
pas deffet sur les
longueurs. Ainsi, pour connatre la longueur dun petit objet en
acceleration,il suffit de connatre la longueur quaurait le meme
objet fixe dans son systeme
dinertie R0 (donc avec la meme vitesse, mais sans acceleration)
au momentconsidere. Pour un objet etendu, la longueur sera mesuree
par integration deslongueurs elementaires obtenues grace a
lhypothese ci-dessus.
8. Les quadrivecteurs. - La transformation speciale de Lorentz
peut
secrire, avec un produit de matrices, de la maniere suivante
:
Ct
x
y
z
=
cosh sinh 0 0
sinh cosh 0 00 0 1 0
0 0 0 1
Ct
x
y
z
(3, 9)
Soit : (x) = (x)
ou
|x
|
=
|x
|
= () que nous appellerons matrice de Lorentz est la matrice
delement
general ecrite en (3,9). On ecrit :
x =
x = x
(3, 10)
avec la convention dEinstein : la sommation est sous entendue
quand le
meme indice apparat une fois en position haute, une fois en
position basse.On appelle un tel indice : indice muet, car on peut
changer sa notation sans
changer le sens de lexpression mathematique ecrite. Pour la
matrice (),lindice en position haute est un indice de ligne,
lindice en position basse estun indice de colonne. Cest egalement
le cas pour les matrices colonnes (x)
et (x); elles ont bien des indices en position haute (indices de
lignes). Nousverrons que, une fois la position haute choisie pour
lindice des composantes
dun vecteur, la convention dEinstein impose la position de tous
les indices quiinterviendront. Ce qui est remarquable, cest quil y
aura toujours une solution
et une seule pour cette position. Ainsi, nous devrons mettre les
indices desvecteurs de base de lespace en position basse de facon a
pouvoir ecrire :
V = V iei (3, 11)
8
-
pour tout vecteur V. Les nombres V i sont les composantes de V,
la base
etant notee {ei}.Lequation (3,11) peut secrire matriciellement
comme produit dune ma-
trice ligne par une matrice colonne placee a sa droite :
V = (....ei....)
|xj
|
= (ei) (xj)
Nous avons pose : ei xi = xi ei (ssi). (ssi) veut dire : sans
sommation sur
lindice i.Dans ce dernier cas, la matrice ligne a bien encore
des indices en position
basse (indices de colonnes). Nous verrons cependant au chapitre
5 (calcul
tensoriel), que cette convention de la position des indices des
lignes et descolonnes pour une matrice nest pas generale.
Si les axes de R ne sont plus paralleles aux axes de R, les
origines destemps et des coordonnees etant egalement quelconques,
la transformation des
coordonnees sappelle simplement la transformation de Lorentz.
Pour unetelle transformation, nous avons :
x = x + c (3, 12)
Les c sont des constantes quelconques. est le produit de la
matrice de latransformation speciale de Lorentz (3,9) par une
matrice de la forme (3,13) :
1 0 0 0
00
0
(3,13)
U
U est une matrice inversible quelconque. U est une matrice
orthogonale dansle cas ou les axes de R sont orthonormes.
Supposons dans ce qui suit que les axes de R soient quelconques
:Soient deux evenements A et B de coordonnes a et b dans R et a et
b
dans R :
a = a + c ; b = b
+ c
x = b a (3, 14)
= b a = (b a) = x
x = x (3, 15)
9
-
Revenons aux vecteurs du chapitre 1, le vecteur force par
exemple. Ce vecteur
etait visualise geometriquement par une fleche dans lespace a
trois dimensions,mais pour des calculs numeriques on utilise les
composantes qui sont un en-
semble de trois nombres se transformant suivant : (3,16) dans le
changementde repere defini par (3,17) :
F i = U ijFj (3, 16)
ej = Ui
jei (3, 17)
On dit quun vecteur est contravariant car la loi de
transformation (3,16)est opposee dune certaine maniere a la loi
definissant le changement de base
(3,17). Cette derniere loi est dite covariante. La matrice U
donne la nouvellebase (ej) en fonction de lancienne (ei), mais
donne les anciennes composantes
en fonction des nouvelles; de plus dans (3,16) il y a sommation
sur les colonneset dans (3,17) sur les lignes. Remarquons que la
convention dEinstein permet
decrire automatiquement les formules (3,16) et (3,17) sans
aucune ambigute.Nous noterons egalement :
F j = U j iFi et ei = U
jiej
Ainsi :
(U j i) = (Ui
j)1
(3, 18)
Les deux matrices (U j i) et (Uij) sont inverses lune de lautre.
Aucune am-
bigute nexiste avec cette notation entre U et U1. Nous pouvons
ecrire :
U ikUkj =
ij
ij est le symbole de Kronecker. Il vaut 1 lorsque i = j et 0
lorsque i 6= j.Suivant les cas, et pour avoir la meme position des
indices non muets dans lesdeux membres dune equation, nous noterons
egalement ce symbole :
ij ou ij
Remarquons que dans toutes les formules ci-dessus, nous pouvons
remplacer
sans ambigute j par i, en ayant ainsi les indices j et i (idem
par ). Nousutiliserons parfois cette notation par la suite. La
structure mathematique
representee par la loi de transformation (3,15) est la meme que
celle de la loi(3,16) sauf quil y a un nombre en plus. On peut donc
considerer lensemble
des quatre nombres x dans un referentiel muni de la loi de
transforma-tion (3,15) comme un vecteur dun espace a quatre
dimensions que nous ap-pellerons lespace de Minkowski. On dit quon
a un quadrivecteur; cest ici
le quadrivecteur deplacement. On a bien une structure despace
vectoriel. Lasomme consiste a ajouter terme a terme les
composantes, le produit externe
par un nombre consiste a multiplier toutes les composantes par
ce nombre.
10
-
Ces operations peuvent etre effectuees dans nimporte quel
referentiel. On
peut dire quun vecteur est la classe dequivalence des couples
(Referentiels,Composantes) munis de la relation dequivalence
definie par (3,15). Cette
relation dequivalence est bien stable pour laddition interne, et
la multipli-cation externe par un scalaire. La stabilite pour
laddition est detaillee dansles equations (4,1). Dorenavant tout
ensemble de quatre nombres se trans-
formant suivant (3,15) dans un changement de referentiel
representera unquadrivecteur. Les quadrivecteurs seront symbolises
par une lettre surmontee
dune fleche. Le referentiel auquel correspond les composantes
sera mis enindice lorsque nous ecrirons le quadrivecteur comme
vecteur colonne de ses
composantes; nous omettrons cet indice lorsquil ny aura pas
dambigute.On ecrit :
~x = (x)R = (x)R
Posons :
~e0 =
10
00
R
;~e1 =
01
00
R
;~e2 =
00
10
R
;~e3 =
00
01
R
; (3, 19)
Ces quatre vecteurs forment une base de lespace de Minkowski. On
a :
~x = x~e (3, 20)
Avec la meme convention pour les vecteurs de base obtenus au
moyen de R,nous avons :
~x = x~e =
x~e = x
~e
~e = ~e (3, 21)Cette derniere equation est lanalogue dans
lespace de Minkowski de (3,17).
Resumons nous : un referentiel galileen est muni dun repere
orthonorme delespace a trois dimensions et dun reseau dhorloges
donnant le temps du
referentiel. Il lui correspond un repere de lespace-temps
constitue de quatrevecteurs de base de lespace de Minkowski et dune
origine, levenement quiconsiste en lexistence du point 0 au temps t
= 0. Cet evenement est note O
9. Le produit scalaire. - Dans ce paragraphe, nous supposons les
axes
despace de R orthonormes. Posons :
~a2 = (a0)2 (a1)2 (a2)2 (a3)2 (3, 22)
Cette quantite est invariante par changement de referentiel. En
effet (3,15)
appliquee a ~a donne :a = a
(3, 23)
11
-
ce qui implique que nous avons egalement :
~a2 = (a0)2 (a1)2 (a2)2 (a3)2
En effet, la matrice de la transformation (3,23) est le produit
de la matrice
(3,13) ecrite avec U orthogonale, par la matrice ecrite en
(3,9). Les deuxtransformations correspondantes laissent dune
maniere evidente la quantite(3,22) invariante.
On a donc bien un nombre associe dune maniere intrinseque au
quadrivecteur~a. Posons maintenant :
~a ~b = 12
[
(~a +~b)2 ~a2 ~b2
]
On a bien une quantite invariante, tous les termes du membre de
droite etantinvariants. Un calcul simple montre que :
~a ~b = a0b0 a1b1 a2b2 a3b3 (3, 24)~a ~b = a0b0 ab (3, 25)
avec :
a =
a1
a2
a3
= (ai)
La relation (3,25) permet de definir le produit scalaire lorsque
le repere despacenest pas orthonorme.
Il est facile de verifier que ~a ~b verifie les axiomes dun
produit scalaire :~a (~b) = (~a) ~b = (~a ~b) (3, 26)
~a ~b = ~b ~a (3, 27)~a (~c + ~d) = ~a ~c + ~a ~d (3, 28)
La seule diference avec un espace euclidien est que ~a2 = ~a ~a
peut etre negatifou nul avec ~a 6= ~0, en particulier ~e2
i= 1 (dans un espace euclidien, un tel
nombre est strictement positif pour un vecteur non nul); on dit
quon a unespace pseudo-euclidien.
~a2 est le carre scalaire de ~a; dou la justification du symbole
2 dans s2 car :s2 = (~x)2; avec B = E et A = O. Nous appellerons,
comme dans le cas desespaces euclidiens produit scalaire des deux
vecteurs ~a et ~b le nombre ~a ~b.
La base {~e} est telle que :~e ~e = (3, 29)
Cest ce que les mathematiciens appellent une base type dans un
espace pseudo-euclidien. Cette notion generalise celle de base
orthonormee en espace eucli-
dien.
12
-
La mesure du temps dans un referentiel galileen donne
automatiquement
un axe des temps dans lespace de Minkowski de vecteur de base
norme(~e0 ~e0 = 1) et perpendiculaire aux axes despace.
10. Conclusion. - Nous avons donc construit un espace vectoriel
a quatredimensions, lespace de Minkowski muni dun produit scalaire,
et ayant ainsi
la structure despace pseudo-euclidien. A deux evenements
quelconques A etB de lespace-temps de coordonnees a et b on associe
un vecteur unique delespace de Minkowski, le vecteur deplacement
:
AB = (b a)~e (3, 30)AB = x ~e = ~x (3, 31)
Dautre part, il est facile de verifier queAB = BA et que AB + BC
= AC;
enfin, quel que soit le quadrivecteur ~V , il existe un
evenement unique M telque
OM = ~V . Ces relations correspondent aux axiomes dun espace
affinesur un espace vectoriel.
AB2
= ~x2 = s2 est appele lintervalle entre les deux evenements A
etB. Lintervalle generalise la notion de distance d entre deux
points de lespace(espace affine euclidien).
~x = (x) =
x0 = Ct
x1 = xx2 = y
x3 = z
(3, 32)
Il vient donc, lorsque le repere despace est orthonorme :
~x2 = C2t2 x2 y2 z2 (3, 33)
Si il est quelconque, on a encore :
~x2 = C2t2 d2 (3, 34)
d est la distance spatiale des deux evenements.Lorsque s2 > 0
on parle dintervalle du genre temps; lorsque s2 < 0,on
parle dintervalle du genre espace; et lorsque s2 = 0 on parle
dintervalle
du genre lumiere. Le meme language est utilise pour le carre
scalaire ~a2 :~a2 > 0 ~a quadrivecteur du genre temps. Cette
notion est intrinseque.Lorsque lintervalle est du genre espace, il
existe un referentiel galileen danslequel les deux evenements sont
simultanes en deux endroits differents. Lorsque
lintervalle est du genre temps, il existe un rerentiel galileen
dans lequel lesdeux evenements ont lieu au meme endroit a des
instants differents.
13
-
En conclusion, lespace-temps a la structure dun espace affine
sur un es-pace vectoriel pseudo-euclidien a quatre dimensions,
lespace vectoriel des
quadrivecteurs, ou espace de Minkowski . La Relativite
restreinte, qui cor-respond a cette structure, lie ainsi
physiquement lespace et le temps.
Precisons maintenant la terminologie que nous utiliserons par la
suite :Un referentiel ga1i1een, donnee dun repere despace (a priori
quelconque,
non necessairement orthonorme) et dun temps correspond a la
donnee dunrepere de lespace-temps. Les coordonnees correspondantes
sont appe1ees coor-
donnees galileennes. Lorsque le repere despace est orthonorme,
et lorsquonmesure le temps avec la coordonnee : x0 = Ct, Les
equations (3,29) sont
verifiees; on a un repere type de lespace-temps. Nous dirons
alors quon ades coordonnees galileennes type. Ceci generalise les
reperes orthonormes delespace euclidien et les coordonnees
correspondantes au cas de lespace-temps
de la Relativite restreinte.Les coordonnees galileennes sont ce
quon appelle dune maniere generale
des coordonnees rectilignes ou cartesiennes (voir 3 chapitre 9
). Les coor-donnees galileennes types sont ce quon appelle des
oordonnees rectilignes ou
cartesiennes types, ou coordonnees types. Elles ont pour
equivalent en espaceeuclidien les coordonnees orthonormees
(obtenues avec un repere orthonorme).
Notons, dapres (3,34) .ue laxe des temps est toujours orthogonal
aux axesdespace (voir egalement la derniere remarque du 8 ).
Lespace-temps de la Relativite restreinte, espace affine sur
lespace deMinkowski sera appele lespace-temps plat. ou espace-temps
plat pseudo-
euclidien. Nous verrons en effet au 8 du chapitre 11 quun tel
espace a unecourbure nulle, donc est plat, comme le plan, en
opposition a la surface dune
sphere par exemple.Ceci sera egalement en opposition avec
lespace-temps de la Relativite generale
dont nous verrons quil possede une courbure non nulle. Dans la
Theorie de
la relativite restreinte, nous avons un espace-temps plat
global. En relativitegenerale, nous verrons que nous avons des
espaces-temps plats locaux dans
des regions suffisamment petites de lespace-temps, dans
lesquelles la Rela-tivite restreinte sapplique (voir 2 chapitre
12).
EXERCICE
3.1 R est anime de la vitesse vr par rapport a R, et R est anime
de lavitesse ve par rapport a R. ve et vr sont paralleles aux axes
x, x, et x.
14
-
1. Exprimez la formule de composition de ces vitesses
colineaires en utilisant
lequation (3,2) mise sous la forme matricielle correspondant a
(3,9).2. Que donne la formule pour vr C et ve C; et pour ve '
C?
15
-
Chapitre Quatre
LA RELATIVITE RESTREINTE : MECANIQUE
1. Abandon de limpulsion newtonienne. - Maintenant que nous
avonschange la loi de transformation des coordonnees dans un
changement de
referentiel, il nous faut voir si les lois de la mecanique sont
encore covariantes.Nous allons examiner la covariance de la loi de
conservation de limpulsion(1,2) : Pi = Cte, avec lexpression
newtonienne de limpulsion P = mv ,
donnee par cette meme equation (1,2). Supposant cette loi vraie
dans R, nousallons voir si elle est vraie dans R.
Envisageons deux particules, M1 de masse m1 et M2 de masse m2.
Laparticule M1 est animee de la vitesse v C vers la droite par
rapport a R,tandis que M2 est animee de la vitesse C vers la
gauche, par rapport a R(fig. 4.1) :
M1 M2O
v CR
Fig. 4.1
Nous supposons que m1v = m2C de telle sorte que limpulsion
totale soitnulle. Une situation envisageable est donc que les deux
particules se lient en
O puis restent immobiles.Vue dans R, la situation finale
consiste en deux particules animees de la
meme vitesse V , vitesse de R par rapport a R. Nous savons quune
particuleanimee de la vitesse C dans un referentiel a cette vitesse
par rapport a tout
referentiel (nous avons construit la transformation de Lorentz
pour quil ensoit ainsi). Dautre part, les vitesses v et V etant
supposees faibles devantcelle de la lumiere, la loi newtonienne de
composition des vitesses joue pour
la particule M1. Nous pouvons maintenant examiner les impulsions
vues deR :
1
-
Avant le choc, nous avons :
Pi = m1(v + V) m2C = m1V
Apres le choc :
Pi = (m1 +m2)V
La loi de conservation de limpulsion supposee vraie dans R est
donc faussedans R! Cette loi nest pas covariante. Nous avons
maintenant le choix delabandonner ou de modifier de maniere
adequate lexpression mathematiquede limpulsion, de facon a rendre
la loi covariante.
Rappelons nous que cette loi vient directement du principe de
linertie quenous avons generalise a un ensemble de plusieurs
particules. Nous avons fait
cela de facon a ne pas distinguer les particules elementaires de
celles qui ne lesont pas vis-a-vis du comportement externe. Il
sagit dune telle exigence desimplicite et dautocoherence de la
theorie que nous allons essayer de conserver
cette loi tout en la rendant covariante.Il nous faut preciser
ici que nous ne nous servons plus de la notion de centre
de gravite, car elle nest pas intrinseque : pour determiner la
position de G, ilnous faut envisager les differents points Mi
simultanement, et cela depend du
referentiel choisi. G depend donc du referentiel et na plus
dutilite.
2. Limpulsion relativiste. - Essayons dutiliser la nouvelle
structure
decouverte en relativite : les quadrivecteurs. Supposons donc
quon arrivea definir un quadrivecteur impulsion. Une egalite entre
quadrivecteurs est
automatiquement covariante, et cela vient de lexistence meme de
lespace deMinkowski; cependant nous allons le detailler ici avec
les composantes. Nous
avons alors, pour lexemple des deux particules considere au 1,
dans R :
P1 + P2
= Q1 +Q2
~P1 et ~P2 sont les impulsions des particules M1 et M2 avant le
choc, ~Q1 et ~Q2apres le choc. Dans R :
P1 + P2
= P1 + P2
=
(
P1 + P2
)
=
(
Q1 +Q2
)
(4, 1)
= Q1 + Q2
= Q1 +Q2
La loi est donc vraie egalement dans R, donc covariante. La
suite degalitesque nous venons decrire correspond tout simplement a
lecriture a laller (Rvers R) et au retour (R vers R) de la
stabilite de la relation dequivalence(3,15) pour laddition (a la
base, avec la stabilite pour la loi externe, de
2
-
lexistence de lespace de Minkowski), et au milieu, a lecriture
dans R de laconservation de limpulsion.
Il nous reste a trouver un quadrivecteur, le plus simple
possible, redonnantlimpulsion newtonienne pour les vitesses
faibles.
m est un invariant ainsi que le temps propre ; nous avons alors
un quadrivecteurpar :
~P = md~x
d(4, 2)
Detaillons les termes de cette formule : on considere deux
evenements infin-iment proches qui sont lexistence de la particule
a deux instants voisins. Il
suffit, pour avoir une image mentale de cela, dimaginer que la
particule clig-note. Les deux evenements sont deux allumages
successifs du clignotant fixe
sur la particule. d est alors la duree separant ces deux
allumages, telle quelleest indiquee par lhorloge etalon fixee sur
la particule; cest laccroissement in-finitesimal de temps propre.
d~x est le quadrivecteur deplacement de la partic-
ule entre ces deux evenements. ~P , produit du quadrivecteur d~x
par le scalairem
dest bien egalement un quadrivecteur. Ecrivons ses composantes
:
~P =
m Cdtd
m dxd
m dyd
m dzd
=
m C cosh
m v cosh
= mC~U (4, 3)
~U =
coshvC
cosh
=
dt / d
dx / Cd
dy / Cd
dz / Cd
=1
C
(
dx
d
)
(4, 4)
~U est appellee quadrivitesse de la particule. Ses trois
composantes despaceont pour limite v
Cquand v C.
On notera egalement :
U =v
Ccosh ; ~U =
U0
U
~U2 =C2dt2 dx2 dy2 dz2
C2d 2=
1 v2C2
d2
dt2
(3,6) donne alors :~U2 = 1 (4, 5)
et nous pouvon ecrire :
ds2 = d~x2 = C2d 2 = C2dt2 dx2 dy2 dz2 (4, 6)
3
-
ds2, intervalle infinitesimal est appele element lineaire ou
element metrique.
Il generalise a lespace de Minkowski lelement de longueur de
lespace dlverifiant :
dl2 = dx2 + dy2 + dz2
Les signes moins dans lelement lineaire viennent du fait quon a
affaire a unespace pseudo-euclidien. On voit sur la formule (4,6)
que lorsque lelement
lineaire est du genre temps, il est egal au produit du carre de
la vitesse de lalumiere par laccroissement infinitesimal du temps
propre d .
Rappelons ( 6 chapitre 3 ) que cette duree d est laccroissement
du tempsdans le referentiel galileen R0 de la particule au moment
considere, referentieldans lequel les deux evenements (deux
allumages successifs, du clignotant)ont lieu au meme endroit. Ce
qui vient detre dit secrit : C 2d 2 = C2dt2 pourdx = dy = dz = 0. A
partir de la, et de linvariance de lelement lineaire, on
retrouve lexpression donnee en (4,6) de d 2, puis en divisant
(4,6) par C2dt2,on retrouve (3,6). Enfin, en divisant (4,6) par C2d
2 , on retrouve ~U2 = 1.
Pour les vitesses faibles devant C, nous avons :
~P '
mC
P
(4, 7)
Nous retrouvons bien la loi de conservation de limpulsion
newtonienne (1,2)
aux faibles vitesses, si nous supposons que le quadrivecteur ~P
total dun en-semble de particules isolees du reste de lunivers se
conserve. Nous ferons donc
cette hypothese que lexperience confirme.La loi de conservation
correspondant a la premiere composante de ~P traduit
une autre loi : la conservation de lenergie. En effet :
mC cosh ' mC
1 +2
2
' mC
1 +v2
2C2
=1
C
(
mC2 +1
2mv2
)
=E
Cavec :
E ' mC2 + 12mv2 (4, 8)
1
2mv2 est lenergie cinetique newtonienne; mais il apparat un
terme denergie
au repos lie directement a la masse, dou la celebre formule : E
= mC 2.
Cela permet denvisager, lors dun choc, la creation ou la
destruction de par-ticules, lenergie de masse mC2 etant convertie
en vitesse des autres particules.Cela a couramment lieu dans les
accelerateurs de particules; la Mecanique
newtonienne etait incapable de prendre en compte de telles
experiences.Remarquons cependant que la Mecanique newtonienne prend
en compte la
desintegration dun systeme compose comme lionisation de latome
dhydrogene
4
-
par exemple. La relativite permet de ne pas faire de distinction
entre les par-
ticules elementaires et celles qui ne le sont pas dans ce genre
de reaction; voir ace sujet le 3. Ainsi, une experience de
desintegration ne permet pas de savoirsi les particules en jeu sont
elementaires ou non. Cette idee de comportementexterieur commun
pour les particules elementaires et composees existait dejaen
Mecanique newtonienne ( 3 , chapitre 1 ). Elle est etendue grace a
larelativite au cas ou le systeme nest plus invariable
(desintegration). Cetteidee est egalement reprise en Mecanique
quantique. En Mecanique quantique
classique, on parle de letat quantique dun electron dans latome
dhydrogene;latome dhydrogene est alors decrit par les nombres
quantiques correspondant
(orbitales). En Mecanique quantique relativiste, lelectron
lui-meme, pourtantconsidere comme rigoureusement elementaire est un
etat quantique.
La Relativite restreinte nous permet dunifier deux lois
distinctes de laMecanique newtonienne, la conservation de
limpulsion et la conservation delenergie. De plus, nous avons
approfondi la connaissance de cette derniere
en decouvrant un nouveau type denergie, lenergie dun corps
immobile lieedirectement a sa masse.
Dorenavant, nous ecrirons :
~P =
E
C
P
(4, 9)
Le vecteur de lespace P est la generalisation de limpulsion
newtonienne que
nous ecrirons avec la meme lettre.
E = mC2 cosh =mC2
1 v2C2
(4, 10)
P = mv cosh =mv
1 v2C2
(4, 11)
Nous appellerons dorenavant le quadrivecteur ~P : quadrivecteur
impulsion-
energie.
~P 2 = m2C2~U2 = m2C2 =E2
C2 P2
Dou la formule :
E2 P2C2 = m2C4 (4, 12)qui remplace la formule newtonienne :
E =P2
2m
LenergieE de la particule se compose donc de deux termes : mC 2
est lenergie
de masse ou energie de repos, PC est lenergie cinetique liee au
mouvement
5
-
(P = P =
P2 est la norme de P; la norme dun vecteur note en caracteregras
sera toujours notee en caractere non gras).
3. Creation dune particule massique avec des particules de
masses
nulles. - Lorsque m 0, (4,3) montre que ~P 0 (nous verrons au 7
quenecessairement v C; v est bornee) sauf si cosh +. Envisageons
lecas limite obtenu quand m cosh a une limite finie : E
C2. Nous avons une par-
ticule de masse nulle dont le quadrivecteur impulsion-energie
est donne par
(4,9) avec E = PC. Cela correspond bien a la formule (4,12) avec
m = 0.Toute lenergie est sous forme cinetique. Il existe en effet
de telles particules.Ainsi, le photon est de masse nulle avec E =
h, donc P = h
C.
Considerons maintenant lexperience de pensee suivante : dans R,
une botede masse nulle (fig. 4.2) aux parois parfaitement
reflechissantes contient deux
photons de meme energie faisant des allers et retours le long de
laxe des y enayant toujours des vitesses opposees. Calculons le
quadrivecteur impulsion-
energie total, tout dabord avec ses composantes dans R :
y
Fig. 4.2
P =
h C
0h
C
0
+
h C
0h
C
0
=
2h C
00
0
+
mC
00
0
m = 2hC2
= EC2
; E = 2h. E est lenergie totale contenue dans la bote.
Ainsi,
lensemble se comporte comme une particule massique immobile.
Dans R, eten supposant v C :
P =
m C cosh
m C sinh00
6
-
et la seule composante non nulle de P est P x = mC sinh ' mC
vC
= mv.
On a bien encore le comportement dune particule de massem en
Mecaniquenewtonienne. Si la bote est toute petite, elle a
lapparence dune telle partic-
ule. Si la bote libere les deux photons, cela correspond a la
desintegration decette particule fictive. Le referentiel R dans
lequel le systeme constitue de labote et des deux photons verifie P
i = 0 sera appele referentiel ou systeme du
centre dinertie, et cette denomination sera utilisee pour tout
systeme com-pose, pour le referentiel dans lequel les composantes
despace de limpulsion-
energie totale sont nulles. Le referentiel du centre dinertie
est le referentielR0 dune particule elementaire qui aurait le meme
quadrivecteur impulsion-energie. Nous continuerons demployer la
notation R0. Dans le cadre delapproximation newtonienne (particules
de masses non nulles et de vitesse
faible devant C), R0 serait le referentiel dans lequel le centre
de gravite delensemble est immobile. Le referentiel R pourra etre
appele systeme du lab-oratoire.
Cet exemple que nous appellerons experience de la bote aux deux
pho-tons pourrait etre reproduit avec un systeme comportant un
nombre quel-
conque de particules. Nous arrivons a la conclusion quen ce qui
concerne lequadrivecteur impulsion-energie total, qui gouverne le
comportement mecanique
de lensemble vu de lexterieur, on peut considerer que cest celui
dune par-ticule unique de masse P
0
Cdans le referentiel ou P i = 0; cest a dire dans le
referentiel R0 de cette particule fictive. La masse de cette
particule fictiveest egale a la somme des energies dans ce
referentiel divisee par C 2. La loiE = mC2 sapplique donc pour un
ensemble de particules considere comme
un tout.La masse de lensemble est superieure a la somme des
masses des particules
constituantes a moins que celles-ci soient toutes au repos.
Ainsi, en mecaniquerelativiste la loi daddition des masses ne joue
pas.
Prolongeant ce qui a ete dit au 5 du chapitre 1, rappelons quen
Mecaniquequantique relativiste, dans lespace-temps, il ny a que des
particules, partic-ules de matiere ou particules de champ assurant
les interactions. Ce qui vient
detre dit est donc vrai pour tout systeme. Ainsi, la masse dun
systemecompose est egal a la somme des energies quil contient
divisee par C 2 dans
R0 : energie de masse des particules de matiere, energie
cinetique de cesdernieres, et energies potentielles dinteraction
correspondant aux energies des
particules de champ que contient le systeme. Si le systeme est
contenu dansun petit volume, il se comportera comme une particule
elementaire en ce
qui concerne son comportement mecanique vu de lexterieur,
comportementcaracterise par le quadrivecteur impulsion-energie
totale; et ceci tant que la
7
-
masse totale du systeme (energie dans R0 au facteur C2 pres)
restera con-stante. Aucune experience de mecanique ne permettra de
savoir si le systemeest elementaire ou compose, tant quil se
comportera comme un tout invari-able dans les experiences. Tel est
le cas du proton par exemple, qui est en
fait constitue de quarks et de gluons et dont la masse provient
pour partie delenergie cinetique de ces quarks et gluons.
Nous avons donc bien realise le programme que nous nous etions
fixe aux 1 et 2, a savoir garder en Mecanique relativiste le meme
comportementexterieur pour les particules elementaires et celles
qui ne le sont pas.
La masse m de la particule fictive, egale a EC2
, sera parfois appelee masse-
energie pour rappeler son origine (somme des energies) et son
comportement(comme la masse dune particule elementaire). On prendra
au choix, lunitedune masse, dune impulsion, ou dune energie.
Par extension, on appellera parfois masse-energie, la composante
de tempsP 0 du quadrivecteur impulsion-energie dun systeme compose,
sans que les
composantes despace P i soient nulles; ceci car nous verrons que
ce terme estdoue de la capacite dattirer gravitationnellement comme
une masse (voir 4du chapitre 6).
4. La force en Mecanique relativiste. - La force a ete definie
grace
a legalite (1,2) permettant darriver par derivation a (1,5) : Fi
= 0. Il estnaturel de vouloir conserver cette egalite. Il est alors
necessaire de deriver
lequation Pi = Cte par rapport a un parametre commun a toutes
les par-ticules. Ce ne peut etre un temps propre. Le plus simple
est de prendre le
temps du referentiel galileen considere. On pose donc :
F =dP
dt(4, 13)
Il y a la une certaine subtilite, car pour la definition de
limpulsion, on utilisaitle temps propre et non pas t (en utilisant
la notation x =
OM ) :
P = mdx
d
Essayons de nous convaincre que la formule (4,13) est la bonne
solution. Con-siderons une plaque immobile dans R (fig. 4.3),
bombardee par un flux departicules venant de la gauche dimpulsions
P1, et par un flux de particulesvenant de la droite dimpulsions P2.
La plaque absorbe les particules et reste
immobile. Il est naturel de dire quelle est soumise a deux
forces egales envaleurs absolues et opposees. Ceci correspond a
notre besoin dutiliser (1,5).
8
-
P1 P2
n1 n2
. .. . . . ..
.. . ... . . ..
. . .. .
Fig. 4.3
Soit n1 le nombre de particules arrivant par unite de temps de
la gauche,
et n2 de la droite. En comptant les impulsions qui arrivent de
la droite et dela gauche pendant le temps dt, et qui doivent etre
egales, nous arrivons a :
n1dtP1 = n2dtP2
Posons :
dP1 = n1dtP1 et dP2 = n2dtP2
dP1 = dP2 dP1
dt=dP2
dtLes particules venant de la gauche par exemple, peuvent etre
relativistes, tan-dis que celles venant de la droite ne le sont
pas. Pour P2, on peut alors prendre
lexpression classique, tandis que pour P1, on prend lexpression
relativiste.
F2 =dP2
dtsidentifie donc a la force newtonienne, tandis que F1 =
dP1
dtresulte
de notre volonte davoir F1 = F2 lorsque la plaque est en
equilibre, sans nous
preoccuper du type de particules en jeu.Prenons un exemple
concret : on peut avoir une plaque noire exposee a
la lumiere et subissant la pression de radiation des photons du
cote gauche,tandis que du cote droit elle est maintenue immobile
grace a un ressort ou au
choc mou de particules non relativistes. Lorsque la plaque est a
lequilibre, onecrit bien F1 = F2. Les egalites :
dP1
dt=dP2
dt= F2
impliquent alors :
F1 =dP1
dtRemarquons que toutes les forces usuelles autres que la
gravitation sont denature electromagnetique. Elles peuvent donc
sinterpreter comme dues a un
flux de photons virtuels relativistes; elles sont egales au flux
dimpulsion deces photons.
9
-
En conclusion, la force est donc egale au flux dimpulsion.
Lexperience montre dailleurs que cest cette force qui est
utilisee en electromagnetisme
dans la formule :
F =dP
dt= qE + qv B (4, 14)
5. Quadrivecteur force. - Le quadrivecteur :
~ =d~P
d=
1
C
dE
d
F dtd
=
1
C
dE
dtcosh
F cosh
(4, 15)
est appele le quadrivecteur force. Utilisons le pour voir quelle
est la loi de
transformation de la force dans le passage de R a R. Considerons
une particuleimmobile dans R, de masse invariable m.
0 = 0 ; = donne :
1 = F x cosh = 1 cosh = F x cosh
car 1 = F x . Il vient : F x = F x.
2 = F y cosh = 2 = F y
de meme avec laxe des z. Ainsi :
F y =F y
cosh= F y
1 v2
C2
Finalement :
FR = F,R + F,R
1 v2
C2(4, 16)
Les symboles et signifiant parallele et perpendiculaire au
mouvement dela particule. La force nest donc pas un invariant en
mecanique relativiste.
6. Travail de la force. - Considerons une particule de masse
invariablem (m peut etre nulle) et dont lenergie varie continuement
sous laction dune
force F :E2 = P2C2 +m2C4 donne E dE = P dPC2
Soit : dE =P
E
dP
dtC2 dt
or :P
E=m cosh v
mC2 cosh=
v
C2(4, 17)
dE = vC2
dP
dtdt C2
10
-
dE = F dl (4, 18)
La variation denergie est egale au produit scalaire de la force
exterieure ap-
pliquee a la particule par le vecteur deplacement elementaire,
cest a dire autravail de la force. Ainsi, lexpression newtonienne
du travail de la force estencore valable. Cela est naturel : en
effet les forces classiques de la Mecanique
newtonienne sont causees par des particules de champ pouvant
aller a la vitessede la lumiere (photons, gravitons). Si lon
suppose quil y a conservation
denergie entre les particules de matiere obeissant a la
Mecanique newtoni-enne et ces particules de champ, la formule
(4,18) doit etre retrouvee dans
le cadre de la physique relativiste. Notons que la conservation
de lenergie,ajoutee au fait que le dl subi par un systeme est egal
a celui subi par le
systeme complementaire, impose que lon doit avoir le principe de
laction etde la reaction, si lon veut que le travail soit donne
toujours par la formule(4,18). Cela justifie encore la definition
de la force du 4 :
dE1 = F2/1 dl1 = dE2 = F2/1 dl2= F1/2 dl2 F2/1 = F1/2
En conclusion, la formule (4,18) sapplique des que lon a une
particule in-variable dont lenergie varie continuement sous laction
dun flux de partic-
ules. Bien sur, elle ne sapplique plus lors des desintegrations
de particuleselementaires, la particule suivie devant garder un
certain temps son identite.(4,15) donne 0 = Fvcosh
C.
7. Vitesse limite des particules materielles. - Montrons
quaucune
particule massique ne peut depasser la vitesse de la lumiere :
(4,11) impliqueen effet que P quand v C.
Pour que v atteigne C en un temps fini, cela necessiterait que P
atteigneune valeur infinie en un temps fini, donc cela
necessiterait une force F = dP
dt
infinie, ce qui est impossible.
8. Vitesse limite de toutes les interactions. - Aucune
interaction
ayant un effet physique ne peut se propager plus vite que la
lumiere. Celaentre en effet en contradiction avec la causalite qui
implique que la cause dun
phenomene doit toujours preceder son effet.Considerons un signal
partant de O = O a t = t = 0 et arrivant en A
(x > 0) au temps t > 0 avec v = xt> C. Utilisons la
transformation de
Lorentz.
Ct = x sinh+Ct cosh < 0; a condition que soit negatif donc V
= sinh cosh
11
-
egalement, et que :sinh
cosh< C t
x= C
v
soit :|V |C
>C
v
Ce qui est possible, car Cv< 1.
Dans R le signal est emis en A avant detre recu en O, alors que
dans R,cest linverse, il est emis en O et recu en A. Notons que R
se deplace versla gauche, vu de R. La vitesse C nest donc pas
seulement la vitesse de lalumiere, mais egalement la vitesse limite
de toute interaction ayant un effetphysique. Ce resultat est
interessant, car nous avons construit la Relativiterestreinte en
faisant jouer un role particulier a la vitesse de la lumiere,
donc
a linteraction electromagnetique. Nous aurions pu construire
cette theoriesans faire jouer ce role particulier a cette
interaction, en postulant que toutes
les interactions ont une vitesse limite commune : C, la meme
dans tous lesreferentiels.
Il est important de noter que la propriete precedente de vitesse
finie Cpour toutes les interactions entre en contradiction avec la
notion de corpssolide. En effet, un ebranlement a une extremite dun
corps solide, cest a dire
un deplacement de cette extremite, doit se repercuter
instantanement danstout le solide, donc se propager a une vitesse
infinie, toutes les parties du
solide restant a distance constante les unes des autres. Or la
notion de corpssolide est pour nous fondamentale, puisque nous nous
en sommes servi au 1du chapitre 1 pour definir les referentiels
galileens. Nous pouvons sauver lasituation dans la mesure ou un
corps deformable se comporte comme un corps
solide tant quil nest soumis a aucune contrainte.Il est
interessant de remarquer que la Mecanique quantique reintroduit
la
notion de solide parfait ayant une extension spatiale precise.
Ainsi, un atome
dhydrogene dans son etat quantique fondamental a une extension
spatialedecrite par lorbital de lelectron bien precise et
invariable. De meme, dans
leffet Mossbauer, le cristal de fer recule en bloc lors de
lemission dun photon.
La contradiction avec la Relativite restreinte est levee grace
au principedincertitude qui assure le flou necessaire quant aux
positions geometriques
dun solide. Lors de la reduction du paquet donde, il y a mise en
placeinstantanee de lemplacement du solide dans son ensemble. Cela
corresponda la meme non localite que celle observee dans les
experiences de correlation
de deux photons par exemple (inegalites de Bell, experience
dAspect). Il ya correlation entre les deux bouts du solide. Mais
cette correlation ne permet
12
-
pas de transporter de linformation dun bout a un autre. Ce nest
quapres
la reduction du paquet donde effectuee, que lon peut verifier
que le solide ala bonne longueur.
9. Les antiparticules. - Lexistence des antiparticules se deduit
de la priseen compte conjointe de la Relativite restreinte et de la
Mecanique quantique.
Nous allons le montrer par un raisonnement intuitif.Nous avons
vu au 5 du chapitre 1 quen Theorie quantique des champs, les
interactions sinterpretent comme des echanges de particules
virtuelles entreles particules de matiere (diagrammes de Feynman).
On peut montrer que
ces particules virtuelles ne sont pas tenues a ne pas depasser
la vitesse dela lumiere. Intuitivement, cela vient du principe
dincertitude qui offre une
telle possibilite, compte tenu des incertitudes sur les
variables classiques, enparticulier sur la vitesse. Nous avons vu
au 8 que si x2x1
t2t1 > C dans un
referentielR, on peut avoir t2 > t1 dans R et t2 < t1 dans
R, pour une certainevitesse V de R par rapport a R. En consequence
une particule virtuelle allantde O vers A dans R, peut etre vue
comme allant de A vers O dans R. Mais si,dans R, on voit une
particule chargee positivement allant dans un sens, dansR on verra
une particule chargee negativement allant dans lautre sens. Il
fautetre en effet daccord sur le transport effectif de charge entre
O et A dans leprocessus. Nous verrons en effet au 11 que la charge
electrique est invariantedans un changement de referentiel. Tous
les observateurs doivent donc etredaccord sur le transfert de
charge observe. Si on voit une particule virtuelle
echangee dans R, dans R on voit donc son antiparticule. A toute
particule estdonc associee une antiparticule de meme masse mais de
charge opposee. Ceci
setend aux particules de matiere et aux particules neutres.
Enfin certainesparticules sont identiques a leurs
antiparticules.
Construisons par exemple le diagramme de Feynman du processus
dinteraction
faible transformant un proton en neutron, tandis quun electron
est transformeen neutrino. La particule virtuelle echangee est un
boson W + dans un cas W
dans lautre (fig. 4.4) :
13
-
e
e
W+
p
n
e
e
W
p
n
Fig. 4.4
Dune maniere generale, on peut effectuer les transformations
suivantes surun diagramme :
-On peut changer toutes les particules en leurs antiparticules,
avec change-ment de la parite donc de lhelicite. Cela correspond a
linvariance globale
sous la symetrie CP : C transformation generale de toutes les
charges enleurs opposees, ou conjuguaison de charge, donc passage
aux antiparticules,
et P changement de la parite donc de lhelicite.-On peut changer
le sens de toutes les fleches. Cela correspond a linvariance
globale sous la symetrie T , changement de sens de lecoulement
du temps.
Notons quon a decouvert quelques reactions, dont en particulier
une reactionfaisant intervenir le systeme K0 K0, nobeissant pas
separement a la symetrie
CP . Puisque la symetrie CPT est toujours verifiee, dapres le
theoreme
14
-
celebre CPT de la Theorie quantique des champs, cette reaction
nobeit pas
non plus a la symetrie T seule.-On peut inverser une fleche a la
condition de changer la particule correspon-
dante en son antiparticule, et de changer egalement la parite,
donc lhelicitede cette particule. Cela sappelle la symetrie
croisee. (crossing symmetry).Cela revient a faire subir a la
particule concernee, la symetrie locale CPT . En
utilisant ces trois procedes, des diagrammes precedents, on peut
deduire celuicorrespondant a la desintegration du neutron (fig.
4.5) :
e
e
W
p
n
Fig. 4.5
10. Le Probleme des deux barres : invariance de la force par
unite
de longueur. - Considerons une particule dune barre, soumise a
la force
appliquee par lautre barre. Cette force est perpendiculaire au
mouvement et(4,16) donne :
FR = F,R = F,R
1 v2
C2
Mais le nombre de particules chargees par unite de longueur dans
R est plusgrand que dans R dun facteur 1
1 v2C2
a cause de la contraction des longueurs.
Il en resulte que :FRl
=FRl
Nous devons donc retrouver dans les deux reperes la meme force
par unite de
longueur. Nous pouvons dailleurs donner une interpretation
imagee de cettepropriete : imaginons que les barres soient
maintenues immobiles dans R graceaux forces de pression de pistons
regulierement espaces le long des barres. Vude R, a cause de la
contraction des longueurs, lespacement de ces pistons est
15
-
reduit du facteur :
1 v2C2
; mais les phenomenes se produisant dans R sontvus dans R
ralentis de ce meme facteur; il en est ainsi du mouvement
desmolecules frappant les parois des pistons et y delivrant leurs
impulsions qui
elles, restent inchangees etant perpendiculaires au mouvement.
Leurs debits,donc finalement les forces appliquees, sont donc
reduits de ce facteur. Les
forces sont plus faibles, les longueurs plus petites, les deux
phenomenes secompensent exactement. Nous allons verifier dans le
paragraphe suivant que
les lois de lelectromagnetisme sont bien en accord avec cette
loi de transfor-mation de la force, donc que cet ensemble de la
physique est bien globalement
covariant.
11 Calcul de la force electromagnetique dans les deux
referentiels.
- Dans R :FR = FE =
2l
20r
Dans R : remarquons tout dabord la propriete fondamentale
dinvariance de lacharge electrique; la charge dune particule est la
meme vue de nimporte
quel referentiel. Ainsi la charge de lelectron de latome
dhydrogene annuleparfaitement la charge du proton quelle que soit
la vitesse de lelectron, doncquel que soit letat dexcitation de
latome.
Ajoutons a cela le fait que la charge electrique est quantifiee,
multiple decelle de lelectron, ou de celle des quarks les moins
charges (charge 1
3), si lon
tient compte de ces derniers. Ces deux faits, allies a
lexistence de chargespositives et negatives permettent bien a
linteraction electrostatique de dis-
paratre completement pour un atome neutre, vu de lexterieur,
quel que soitson etat, et de maniere generale pour toute matiere
dans lunivers, a grande
echelle, les charges positives annulant rigoureusement les
charges negatives.Ainsi seule la gravitation intervient a lechelle
de lunivers.
Il resulte de cette propriete dinvariance de la charge et de la
contraction
des longeurs que :
=
1 v2C2
FR = FE + FB =2l
20r 0
2v2l
2ror
00C2 = 1
donc :
FR =2l
20r
1 v2
C2
=2l
20r
16
-
ainsi :FRl
=FRl
comme prevu au paragraphe precedent.
EXERCICES
4.1 Les ondes de matiere de de Broglie
De Broglie suppose qua une particule ponctuelle de masse m,
immobile
dans le referentiel R0 = R, est associee une onde stationnaire
dans ce memereferentiel. Stationnaire signifie que, dans toute
letendue de londe, les vibra-
tions seront en concordance de phase. La pulsation 0 de cette
onde dans Rest supposee verifier la relation de de Broglie : h0 =
mC
2. Lexpression dela fonction donde est alors, en chaque point de
lespace :
(x, t) = Aei0t
1. Exprimez la meme fonction donde, vue dans le referentiel du
laboratoireR, ou la vitesse du corpuscule est v.
2. Montrez que dans le referentiel du laboratoire, la pulsation
vue est :
=0
1 v2C2
3. Montrez que, dans le referentiel du laboratoire, le phenomene
devient
une onde progressive ou une meme phase arrive successivement en
des pointsdifferents. Quelle est la vitesse de phase V de
londe?
4. Montrez que, dans R, on a la relation de de Broglie = hP, P
etant
limpulsion relativiste de la particule.
5. Montrez que lensemble des composantes :
~k =
C
kx
ky
kz
avec k = 2
, se transforme comme un quadrivecteur dans un changement
de referentiel. A quel autre quadrivecteur est-il
proportionnel?6. Quobtient-on pour v C, 0 0 avec 0 cosh , etant
une
limite finie?,
17
-
4.2 Etude de laberration de la lumiere
Dans R, un rayon lumineux arrive depuis les x positifs en O en
faisantlangle
2 avec laxe des x.
x
2
1. Calculez langle de ce rayon, vu de R.2. Montrez que lon
retrouve la valeur newtonienne pour v C; quelle est
la valeur de quand v = C.3. Application numerique pour la
lumiere venant des etoiles sur la Terre,
quand = 0. On donne : v = 30km/s.
4.3 Interpretez la relation : F,R = F,R en prenant lexempledune
force de pression longitudinale obtenue par le choc des molecules
dun
gaz dans la chambre dun piston.
4.4 Leffet Doppler : Un rayonnement se deplacant dans le
sens
des x positifs est vu avec la frequence dans le referentiel R.
Il est vu avecla frequence dans le referentiel R anime de la
vitesse v par rapport a R.
1. En exprimant le quadrivecteur impulsion-energie dun photon
dans R etdans R, calculez en fonction de .
2. En deduire le decalage vers le rouge z = ()
.3. .Donnez la formule approchee quand v C.4. Quelle est la
limite de z quand v C?
4.5 Le mouvement hyperbolique
Cet exercice etudie le mouvement dun objet de masse m soumis a
la force
constante F = mg a partir de linstant t = 0, instant ou lobjet
est immobile.1. Exprimez la vitesse v en fonction du temps du
referentiel fixe : t.
2. En deduire la fonction x(t).3. Montrez que la courbe x(t) est
une hyperbole.
18
-
4. Exprimez le temps propre du mobile en fonction de t.
5. Calculez le temps propre necessaire pour que lobjet
franchisse ladistance de 50 000 annees lumiere (on prendra g = 9,
81m/s2).
6. On suppose que le diametre de notre galaxie, la Voie Lactee,
fait ap-proximativement 100 000 annees lumiere.
Une fusee part de la Terre et accelere avec lacceleration
constante g = 9, 81m/s2
jusquau centre de notre galaxie. Ensuite, elle freine de la meme
maniere, apresun retournement, pour simmobiliser a lautre bout de
la galaxie.
Calculez la duree totale du voyage aller et retour pour un
observateur ter-restre, et pour un passager. Conclusion?
19
-
Chapitre Cinq
ELECTROMAGNETISME RELATIVISTE
CALCUL TENSORIEL
1. Introduction. - Nous supposons connue lalgebre lineaire au
programmedes Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles et des DEUG
scientifiques. Nousen rappellerons quelques-unes des proprietes,
ceci de facon a introduire les
tenseurs qui jouent un role capital en Relativite generale.
Lelectromagnetismeservira de premier exemple dutilisation de cette
structure en physique
2. Le tenseur electromagnetique. - Lenergie sera notee ici E ,
pour
eviter la confusion avec le champ electrique E. Les indices des
quadrivecteursseront notes : 0, 1, 2, 3; tandis que les composantes
de E et B seront notees
avec les indices x,y,z. Les equations (4,14) (4,15) et (4,18)
donnent :
0 =1
C
dE
d=
1
C
Fdl
d=q
C
Edl
d
0 = q(
ExU 1 + EyU 2 +EzU 3)
(5, 1)
1
2
3
= Fdt
d= qEU 0 + qC
U 1
U 2
U 3
Bx
By
Bz
(5, 2)
(5,1) et (5,2) se regroupent dans (5,3) :
0
1
2
3
= qC
0 Ex
CEy
CEz
CEx
C0 Bz By
Ey
CBz 0 Bx
Ez
CBy Bx 0
U 0
U 1
U 2
U 3
(5, 3)
Soit : = qCF U (5, 4)
ou : ~ = qCF (~U) (5, 5)
1
-
F est lapplication lineaire de matrice : F ; indice en position
basse a
droite etant lindice de colonne, et indice en position haute a
gauche etantlindice de ligne.
Voyons quelle est la loi de transformation des coefficients F
dans unchangement de referentiel :
= = qCF