Introduction à la percolation

Histoire de lapercolation

L’espace Ld

Espace deprobabilitéssur L

d

Phénomènescritiques

Calcul de laprobabilitécritique

Simulation defeux de forêt

Introduction à la percolation

Pablo Crotti


L’espace Ld


d




Plan de la présentation

1 Histoire de la percolation

2 L’espace Ld

3 Espace de probabilités sur Ld

4 Phénomènes critiques

5 Calcul de la probabilité critique

6 Simulation de feux de forêt


L’espace Ld


d






2 L’espace Ld






L’espace Ld


d






2 L’espace Ld






L’espace Ld


d






2 L’espace Ld






L’espace Ld


d






2 L’espace Ld






L’espace Ld


d






2 L’espace Ld






L’espace Ld


d




Histoire de la percolation

Au départ...

Hammersley et Broadbent (1957)

"Percolation" ...

Maintenant

Modèle Physique

Modèle Epidémique

Problèmes ouverts


L’espace Ld


d





Au départ...

Hammersley et Broadbent (1957)

"Percolation" ...

Maintenant

Modèle Physique

Modèle Epidémique

Problèmes ouverts


L’espace Ld


d





???


L’espace Ld

Quelques définitions

Visualisations pour

d = 1, 2, 3

Percolation par site

(site percolation) etpercolation par lien

(bond percolation)

Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)


d




L’espace Ld : Définitions

Définition

Soit Zd = x = (x1, . . . , xd) | xi ∈ Z , d ≥ 1. On définit la

distance entre x et y par

δ(x , y) :=d∑

i=1

|xi − yi | ,∀ x , y ∈ Zd .

Définition

Soit le graphe Ld obtenu à partir de Z

d en reliant chaquesommet distant d’une unité par une arête.

Ld := (Zd ,Ed)

où Ed est l’ensemble de ces arêtes.


L’espace Ld


Visualisations pour

d = 1, 2, 3



(bond percolation)



d




L’espace Ld : Visualisations pour d = 1, 2, 3

(a) L1 (b) L

2 (c) L3

Fig.: Différentes visualisations de Ld


L’espace Ld


Visualisations pour

d = 1, 2, 3



(bond percolation)



d




L’espace Ld : Percolation par site (site percolation)

et percolation par lien (bond percolation)

Percolation par site (site percolation) et percolation parlien (bond percolation)

Le but de la percolation étant de déterminer un "chemin àl’infini" on peut travailler avec :

Percolation par sites (sommet) :Le chemin est constitué de sommets.

Percolation par liens (arêtes) :Le chemin est constitué d’arrêtes.

Selon les probèmes étudiés il est préférable d’utiliser plus untype de percolation que l’autre.


L’espace Ld


Visualisations pour

d = 1, 2, 3



(bond percolation)



d




L’espace Ld : Site/Lien ouvert ou fermé

Dans Ld on a l’application :

ω : Ld → 0, 1,

qui attribue aléatoirement 0 ou 1 aux arrêtes ou aux sommets.

Ainsi

Définition

Un site ( ou un lien) e dans Ld est dit ouvert si ω(e) = 1 et

est fermé si ω(e) = 0.


L’espace Ld


Visualisations pour

d = 1, 2, 3



(bond percolation)



d




L’espace Ld : Cluster

En regroupant les liens ouverts entre eux on définit

Définition

K := e ∈ Ed | ω(e) = 1

Cette définition de K est aussi valable si on considère les sitesplutôt que les liens.Soit G = (Zd ,K ) le sous-graphe de L

d contenant tous sessommets ainsi que les liens ouverts.

Définition

Chaque composante connexe de G est appelée cluster ouvert.On note

C(x) = y ∈ Zd | y est connecté à x par un chemin ouvert


L’espace Ld


Visualisations pour

d = 1, 2, 3



(bond percolation)



d




L’espace Ld : Cluster

(a) (b)

Soient x , y ∈ Zd . On note x ↔ y s’il existe un chemin ouvert

joignant x à y . Notre cluster C(x) devient, en utilisant lanotion de chemin :

C(x) = y ∈ Zd | x ↔ y


L’espace Ld


d

Mise en place de

l’espace probabiliste




Espace de probabilités sur Ld

Une fois Ld définit, il est utile de mettre une structure

probabiliste sur cet espace.

On pose Ω = 0, 1|Ed | comme univers.

On considère F ⊂ P(Ω) la σ−algèbre des cylindres.

Définition

On dit qu’un élément ω = (ω(e) | e ∈ Ed) ∈ Ω est uneconfiguration pour L

d et que l’arête e est ouverte si ω(e) = 1et fermée si ω(e) = 0.


L’espace Ld


d

Mise en place de






Définition

Soit (Ω,F , µe). La mesure µe est appelée mesure de Bernoullisi

µe(ω(e) = 0) = 1− p , µe(ω(e) = 1) = p

Définition

Soit Ld = (Zd ,Ed). On dit qu’une arête e ∈ Ed est ouverte

avec probabilité p et est fermée avec probabilité 1− p pour0 ≤ p ≤ 1.La même terminologie est utilisée pour les sommets de Z

d .


L’espace Ld


d

Mise en place de






Définition

Soit (Ω,F , µe) un espace mesuré où µe possède une densité p.On définit la mesure produit comme

Pp :=∏

e∈Ed

µe

On note Pp pour la probabilité en fonction de p.


L’espace Ld


d

Mise en place de






Exemple

(c) p2(1− p)2 (d) Animal !


L’espace Ld


d


Clusters, Mesure de

probabilité...

Probabilité de

percolation

Probabilité critique



Phénomènes critiques

Question : "Que faire de nos clusters et de notre espaceprobabilisé ?"


L’espace Ld


d


Clusters, Mesure de

probabilité...

Probabilité de

percolation




Phénomènes critiques : Probabilité de percolation

On cherche la probabilité qu’il y ait des clusters ouverts detaille infinie, i.e, |C(x)| =∞ (ou encore x ↔∞).

On utilisera la notation C := C(0) = C(x).En effet, on peut ramener x sur 0 par automorphisme.

Définition

Il y a percolation si Ld possède un cluster de taille infinie.

Pour déterminer la percolation, on introduit la fonctionsuivante :

θ(p) : [0, 1] → [0, 1]

p 7→ Pp (|C | =∞)

comme probabilité de percolation.


L’espace Ld


d


Clusters, Mesure de

probabilité...

Probabilité de

percolation




Phénomènes critiques : Probabilité critique

On va maintenant chercher un p tel que θ(p) soit grand.

Définition

La probabilité critique pc(d) est définie comme

pc(d) := supp | θ(p) = 0 .

Remarque

Plus généralement pour n’importe quel graphe G on ometd’écrire la dimension d et on écrit pc . Ainsi on peut redéfinir laprobabilité de percolation comme suit :

θ(p) =

= 0 si p < pc

> 0 si p > pc


L’espace Ld


d



Théorème de Kesten

Théorèmed’existence

Approximation

numérique de p



Théorème

Pour la percolation par lien (sur L2) et p ≥ 1

2, on a

Pp ( il existe un cluster de taille infinie ) = 1


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p


Théorème d’existence

Définition

Soit 0 < p < 1. On définit

ψ(p) = Pp ( il existe un cluster ouvert de taille infinie)

Avec cette définition, nous pouvons maintenant donner lethéorème d’existence d’un cluster ouvert de taille infinie.

Théorème

La probabilité ψ(p) qu’il existe un cluster ouvert de taille infiniesatisfait

ψ(p) =

1 si p > pc

0 si p < pc


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p


Approximation numérique de la probabilité critique

ThéoriePour déterminer numériquement p, on regarde les variablesaléatoires

Xi(ω) := 1|C |=∞(ω) et Sn := X1 + . . .+ Xn.

La loi des grands nombres nous dit :

Sn

n→ Ep [X1] = Ep

[1|C |=∞(ω)]

= Pp (|C | =∞) .


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p



Algorithme

INPUT : Taille L du sous-graphe, p, n = nombre d’itération.OUTPUT : Probabilité de percolation θ(p).

1 Initialisation des variables : Sn = 0, k = 0.

2 Tant que k < n :

3 On place aléatoirement des sommets/arêtes sous la probap.

4 On détermine Xk = 1|C |=∞.5 Sn = Sn + Xk , k = k + 1.

6 Retour en 2©.

7 θ(p) = Sn

n


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p



On effectue un grand nombre n de simulations.Pour la taille L on prend les valeurs de θ(p) et on les interpoles.

On applique ensuite l’algorithme pour un autre L.

Au finale on prend nos interpolations et on cherchel’intersection des courbes.


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p


Approximation numérique de la probabilité de

percolation

Environ 250 jours de calculs sur cet

ordinateur ! ! !


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p



Fig.: Wanzeller W.G. Percolation of Monte Carlo Clusters, BrazilianJournal of Physics, vol 34, no. 1A, March 2004


L’espace Ld


d





Approximation

numérique de p



Graphe Site Lien

L2 0.592746 0.5

L3 0.3116 0.2488

L4 0.197 0.1601

Triangulaire 0.5 0.34729Diamand 0.43 0.388


L’espace Ld


d




Simulation de feux de forêt

Simulation de feux de forêts

Arbres placés de manière aléatoire (avec probabilité p) surL

2.

Chaque arbre est considéré comme un site.

On met le feu sur un arbe qui est choisit aléatoirement.


L’espace Ld


d




Simulation de feux de forêt

(a) p =0.3 (b) p =0.55

(c) p =0.59 (d) p =0.6

Introduction à la percolation

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