-
1
CAPITULO I
Blaise Pascal (1623-1662).
Filsofo, matemtico y fsico francs, considerado una de las mentes
privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Naci en
Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familia se estableci
en Pars en 1629. Bajo la tutela de su padre, Pascal pronto se
manifest como un prodigio en matemticas, y a la edad de 16 aos
formul uno de los teoremas bsicos de la geometra proyectiva,
conocido como el teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre
las cnicas (1639). En 1642 invent la primera mquina de calcular
mecnica. Pascal demostr mediante un experimento en 1648 que el
nivel de la columna de mercurio de un barmetro lo determina el
aumento o disminucin de la presin atmosfrica circundante. Este
descubrimiento verific la hiptesis del fsico italiano Evangelista
Torricelli respecto al efecto de la presin atmosfrica sobre el
equilibrio de los lquidos. Seis aos ms tarde, junto con el
matemtico francs Pierre de Fermat, Pascal formul la teora matemtica
de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en
estadsticas actuariales, matemticas y sociales, as como un elemento
fundamental en los clculos de la fsica terica moderna. Otras de las
contribuciones cientficas importantes de Pascal son la deduccin del
llamado principio de Pascal, que establece que los lquidos
transmiten presiones con la misma intensidad en todas las
direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades
infinitesimales. Pascal crea que el progreso humano se estimulaba
con la acumulacin de los descubrimientos cientficos. Pascal fue uno
de los ms eminentes matemticos y fsicos de su poca y uno de los ms
grandes escritores msticos de la literatura cristiana. Sus trabajos
religiosos se caracterizan por su especulacin sobre materias que
sobrepasan la comprensin humana. Se le clasifica, generalmente,
entre los ms finos polemistas franceses, especialmente en
Provinciales, un clsico de la literatura de la irona. El estilo de
la prosa de Pascal es famoso por su originalidad y, en particular,
por su total falta de artificio. Sus lectores pueden comprobar el
uso de la lgica y la apasionada fuerza de su dialctica.
La problemtica del bajo rendimiento en Clculo de Funciones de
Varias Variables de los alumnos de la Universidades de
Barquisimeto, a generado la prueba de mltiples estrategias de la
enseanzas a travs del tiempo, podemos notar que en la enseanza de
este tpico, se utilizan muy poco material didctico adecuados. La
regla, tiza y pizarrn son las herramientas didcticas mayormente
empleada por el profesor. Obviamente, esto es
-
2
insuficiente para la explotacin y exploracin de este tpico tan
importante. Adems muchas veces las graficas dibujadas por el
profesor en la pizarra no son una buena representacin de las
funciones de varias variables. Dado esto, los estudiantes son
incapaces de realizar una buena interpretacin de los datos y las
grficas.
Existen investigaciones que afirman lo anterior. Primera M.
(1996) Refleja que el Clculo en la carrera de ingeniera en
Instituciones como la Universidad Central Lisandro Alvarado,
Universidad Nacional Experimental Politcnica y la Universidad
Yacamb todas ubicadas en Barquisimeto muestra el rendimiento
acadmico obtenido por los alumnos en calculo fue muy bajo durante
los aos 1994-1995, expresado en un 75% de los mismo.
As mismo en el Decanato de Ciencias y Tecnologa de la U.C.L.A de
Barquisimeto Perdomo, M (2001) presenta un trabajo donde sugiere la
necesidad de llevar a la prctica la utilizacin del computador con
la finalidad de disminuir el ndice de aplazados en dichas
Instituciones.
Por lo anterior, junto al avance espectacular en los ltimos aos
de las nuevas tecnologas de la informacin, en particular la
computadora, ha promovido actualizar la metodologa utilizada en la
enseanza del clculo. En la ltimas dcadas han aparecidos diferentes
software que estn siendo utilizadas en diversos temas matemticos
algunos de estos son: Cabri, Derive, Mathlab, Mathematic, MAPLE V
etc.
El Software Matemtico encierra algo ms que el concepto inicial
que el
computador, cuya accin era la realizacin de grandes clculos a
gran velocidad. Un Software Matemtico debe cubrir las partes
grficas, simblicas y numricas.
Con la ayuda de los Software Matemticos, la parte complicada de
los procesos computacionales pueden ser reducidos para permitir que
el estudiante haga mayor enfoque en los anlisis de los problemas. A
dems con el programa que se describe en ste trabajo como lo es
Maple V el estudiante estar en la capacidad de hacer mayor cantidad
de
-
3
ejercicios, especialmente visualizando problemas de la vida
real. Es decir, operaciones similares a las que se llevan a cabo
por ejemplo cuando, intentando realizar una demostracin matemtica,
se despeja una variable de una expresin, se sustituye en otra
expresin matemtica, se agrupan trminos, se simplifican, se deriva
y/o se integra, etc.
Qu es Maple V? En el ao 1980, un grupo de profesores de clculo
simblico de la Universidad de
Waterloo, Ontario, Canad, desarrolla el programa Maple V. Su
nombre proviene MAthematical PLEasurc. Existen versiones para los
computadores ms corrientes del mercado que corren bajo Windows de
Microsoft.
La primera versin que se instala en el laboratorio de computacin
de la UPEL-IPB en octubre de 1997, fue la versin (Realease 4). En
el segundo trimestre del ao 2001 se instal la versin (Realease 6)
con muchas mejoras con respecto a las dos versiones anteriores y
desde el segundo trimestre del ao 2002 sali al mercado la versin
(Realease 7). Para el primer trimestre del ao 2003 se instalaron en
el laboratorio la versin (Realease 8) con la cual se trabaja hasta
estos momentos y este trabajo esta basado en esta ultima versin
esperando sea de gran utilidad para el alumnado ya que existe poca
literatura en este tema.
1.1.Justificacin
En diversos pases se ha establecido proyectos y programas para
la formacin de docentes y estudiantes de matemtica, con la mediacin
de esta herramienta computacional Rojano y Moreno (1999). Un
argumento que se esgrime habitualmente en contra del empleo de
tecnologa en la Enseanza de las matemticas es que se abandona y se
olvida lo que se hace con el lpiz y el papel y eso va en perjuicio
de la calidad en la formacin. Debemos de entender la instrumentacin
de las tecnologas como un proceso de
-
4
enriquecimiento y no como una sustitucin, tratando de mejorar
capacidades cognitivas, no de sustituirlas. Por lo cual hay que
darle a los estudiantes una nueva metodologa que les propicie,
facilite y visualice la compresin de los conceptos matemticos, en
particular los de Clculo de Funciones de Varias Variables, con el
fin de lograr una enseanza integral y de calidad en esta ctedra,
con la ayuda de un software matemtico (Software Educativo MAPLE V).
Adems la tecnologa se puede considerar desde un punto de vista
cognitivo como un organizador de la mente ms que como amplificador
de la misma y se espera que tengan implicaciones radicales tanto en
los mtodos como en los propsitos de la educacin matemtica.
Las nuevas tecnologas Educativas en el mundo acadmico actual
esta apoyado en una parte importante en el desarrollo de las teoras
constructivistas del aprendizaje y son muchos los trabajos de
investigacin en Educacin Matemtica que van en esa direccin.
Ariyanti, K (1999), Su trabajo consiste en las dificultades
presentada por los alumnos en el estudio del Clculos de Funciones
de Varias Variables especficamente en las grficas de dos
dimensiones, introduce nuevas tcnicas para visualizar los conceptos
a travs del Software Matemtico Maple V y concluye que los alumnos
pueden dominar mejor la parte abstracta de las matemticas con el
uso de las nuevas tecnologa.
Millan, Z y Gil, Y, (2002), Mostrar una manera de transformarla
enseanza terico practico del Anlisis Matemtico, lgebra y Geomtrico
con la aplicacin de nuevas tecnologa. La metodologa utilizada en el
desarrollo de esta experiencia fue primeramente la escogencia del
software y la elaboracin del material didctico. (MAPLE)
Camacho y Depool, (2002), Presenta unas series de prcticas de
Laboratorio con el computador diseadas como parte de una
investigacin que se llevo a cabo conjuntamente entre las
Universidades de Laguna (Espaa) y la U.N.E.X.P.O (Venezuela)
mediante la cual
-
5
se pretende analizar las potencialidades y dificultades que
surge con la introduccin de Software Matemtico DERIVE.
Gonzalez-Martin (2003), Realizan una investigacin acerca de las
dificultades, obstculos y errores que aparecen en los estudiantes
cuando se desarrolla una enseanza habitual del concepto de integral
impropia, trata de elaborar una didactica para la enseanza de dicho
concepto con la ayuda del software MAPLE
1.2 Ventajas del uso del Maple V en la enseanza del clculo
(matemtica):
Cambia la perspectiva del estudiante sobre la matemtica.
El estudiante determina que la materia es importante por la
cantidad de tiempo que se le dedica y se le exige soltura y
destreza en la aplicacin de procesos algortmicos, no es de extraar
que identifiquen matemtica con calcular, usando Maple V el
estudiante dedicar ms tiempo en comprender los conceptos, teoremas,
aplicaciones, dejando los clculos rutinarios al computador y con
esto el estudiante comprender que es ms importante la comprensin
del proceso y no dominar algoritmos de clculo.
Permite la concentracin en la resolucin de problemas. En la
resolucin de problemas se necesitan considerar alternativas,
experimentar, conjeturar, comprobar y analizar resultados y el
programa Maple V promueve ste tipo de actividad proporcionndole
capacidad grfica, numrica y simblica, lo que le permite al
estudiante concentrarse ms en la resolucin del problema.
Invita a experimentar.
Siendo una herramienta rpida y potente de clculo, el estudiante
se anima e intenta nuevas respuestas y variaciones sobre el
problema anterior, tomando una actitud exploradora, examinando
numerosos ejemplos y casos distintos que le permiten hacer
conjeturas y analizar los resultados.
-
6
Revitaliza lo geomtrico y visual.
La parte grfica en Maple V le permite al estudiante visualizar
grficas en dos y tres dimensiones realizando rotaciones sencillas
como tambin animaciones. Con el Maple V la geometra se ha
convertido en la fuerza impulsora del anlisis.
Motiva.
La dificulta de cmputos y el hacer muchas simplificaciones,
algoritmos largos, hace que el estudiante perciba el problema como
algo lejos de la realidad (ficticia) y cuyo nico objeto es tratar
una teora no necesaria. Con Maple V le permite trabajar con
problemas que estn ms prximos a la realidad. Esto motiva al
estudiante y le hace percibir las matemticas como una forma de
interpretar la realidad y no como una
especulacin.
Proporciona madurez. Con Maple V, el estudiante puede abordar
problemas que son difciles de visualizar y
planteada en la enseanza tradicional. En efecto, muchos
problemas necesitan grandes algoritmos matemticos para su resolucin
aunque no para comprender su planteamiento y los resultados que de
ellos se derivan. Esto junto con las tcnicas y posibilidades de
experimentar con problemas reales proporcionan al estudiante una
mayor madurez matemtica.
1.3. Funciones y comandos de MAPLE V (Realese 8) Para arrancar
Maple V desde Windows se puede usar el men Start (inicio) del
modo habitual, tambin puede arrancarse haciendo click
(cliqueando) dos veces en el icono correspondiente a la versin
Maple V que se encuentra en el papel tapiz (ventana principal de
Windows). Todos los archivos del Maple V tienen extensin *.mws por
lo tanto en cualquier archivo que termina en *.mws se puede hasesar
a Maple V. Para entender y utilizar esta herramienta, es necesario
primero conocer sus funciones y comandos.
En cualquier caso el programa arranca y aparece la ventana de
trabajo (ver Fig. 1), que es muy parecida a la de muchas otras
aplicaciones del Windows. En la primera lnea de la ventana aparecer
prompt de Maple V, cursor representado por el carcter mayor que
([>) lo que quiere decir que el programa est listo para recibir
instrucciones.
-
7
MAPLE V no es un programa fcil de manejar. Pronto se comprueba
que es bastante ms complejo que Derive, Mathab. Sin embargo puede
llegar mucho ms lejos y resolver una gama ms amplia de problemas,
en particular los basados en mtodos simblicos.
El rea de trabajo del programa es aquella que se ubica despus
del smbolo , el cual es llamado instruccin de comando; el rea de
trabajo la denominamos hoja de trabajo. Cada instruccin en la barra
de herramientas, ejecuta funciones similares a la barra de
herramientas del Microsoft Word de Windows. Rpidamente
mencionaremos algunas de estas funciones:
File (archivo), entre otras instrucciones contiene: nuevo,
abrir, grabar, grabar como, cerrar, imprimir, vista preliminar,
etc.
Edit (editar) las instrucciones ms utilizadas son: cortar,
copiar, pegar, deshacer, etc. View contiene algunas instrucciones
de comando para ejecutar el Maple por ejemplo: paletees (paletas de
smbolos, expresiones y smbolos), zoom factor (permite ver de un
determinado tamao la hoja de trabajo). Window (ventanas), permite
organizar las hojas de trabajo y muestra aquellas hojas que estamos
utilizando. Help (ayuda), esta instruccin es de gran utilidad ya
que permite conocer los contenidos del Maple V; adems se puede
utilizar para encontrar todo lo relacionado con un comando.
pront
-
8
Algunas de las instrucciones sealadas anteriormente son
representadas mediante iconos. A continuacin su funcin:
Tienen la misma funcin que el Word.
Su utilidad es idntica al editor de ecuaciones del Word.
Es para trabajar con textos dentro de una lnea de comando.
Es para crear nuevas lneas de comando cuando sea necesario.
Permite presentar en una hoja de trabajo, diferentes
niveles.
Indica si el programa se est ejecutando.
Permite colocar de un determinado tamao todo lo referente a la
hoja de trabajo (Zoom Factor).
Este comando permite visualizar si una determinada expresin est
escrita en forma correcta, sin necesidad de ejecutar el
comando.
Permite transformar una expresin en lnea de comando a texto.
Es una instruccin para ejecutar (enter).
Cuando se trabaja en una lnea comando con texto (escritura
obscura) aparece en la barra una serie de comandos que tienen la
misma funcin que el Word.
Cuando se trabaja con grficas en R2 aparece otra barra de
herramientas:
Permite presentar la grafica punteada.
Permite presentar la grafica dentro de un rectngulo, mostrando
los ejes coordenados.
-
9
Presenta la grafica sin los ejes coordenados.
Cuando se grafica en R3 aparecen otras herramientas que se
explicaran mas adelante.
1.4. Libreras
Maple dispone de ms de 2000 comandos. Slo los ms importantes se
cargan en memoria cuando el programa comienza a ejecutarse. La
mayor parte de los comandos estn agrupados en distintas libreras
temticas, que estn en el disco del ordenador. Para poder
ejecutarlos, hay que cargarlos primero. Puede optarse por cargar un
comando o funcin aislado o cargar toda una librera. Esta segunda
opcin es la ms adecuada si se van a utilizar varias funciones de a
misma a lo largo de la sesin de trabajo. Tambin el usuario puede
crear sus propias libreras.
El comando readlib (namefunc) carga en memoria la funcin
solicitada como argumento. Por su parte, el comando with (library)
carga en memoria toda la librera especificada. Con el Browser de
maple se pueden ver las libreras disponibles en MAPLE V y las
funciones de que dispone cada librera. Algunas de las que se
utilizaran son: with(plots), with(linalg), with(geometry) y
otras.
Maple dispone de funciones de libreras que se cargan
automticamente al ser llamadas (para el usuario son como las
funciones o comandos del ncleo, que estn siempre cargados). La
lista de estas funciones se puede obtener con el comando
index[external]. Las restantes funciones deben ser cargadas
explcitamente por el usuario antes de ser utilizadas. sta es una
fuente importante de dificultades para los usuarios que
comienzan
-
10
1.5. El Help de Maple
El help de Maple se parece al de las dems aplicaciones de
windows, aunque tiene tambin algunas peculiaridades que conviene
conocer. Adems de poder explorar el men Help de la ventana
principal del programa, se puede pedir ayuda sobre un comando
concreto desde la hoja de trabajo tecleando:
? comando
El mtodo anterior sobre una ventana con toda a informacin
disponible sobre dicho comando. Otra forma de abrir la misma
ventana es colocar el cursor sobre el nombre del comando y ver que
en el men Help se ha activado la opcin de pedir informacin sobre
ese comando en particular. Si se est interesado en una informacin
ms especfica, se puede utilizar los comandos siguientes:
info (comando)
usage (comando)
related (comando)
1.6. Instrucciones Bsicas
Palabras reservadas del MAPLE V. Son aquellas palabras
especificas para el lenguaje en computacin. Entre ellas
tenemos:
> sqrt(x); Significa raz cuadrada de x > exp(x); Funcin
Exponencial > Ln(x); Funcin Logartmica > sin(x); Funcin Seno
> abs(-2); Valor absoluto
-
11
> restart: :# Se utiliza para limpiar todo lo que esta en la
memoria del software sin afectar lo realizado anteriormente en
pantalla. El signo # significa que se puede escribir comentarios
sin afectar el comando utilizado.
Operaciones Aritmticas. .Al finalizar cada instruccin se debe
utilizar : ; El ; se emplea siempre al final de la instruccin y su
objetivo es ejecutar el comando. Los dos puntos : Se emplea para
que el software MAPLE V ejecute la instruccin, pero no mostrarla y
cuando se escriben varias instrucciones seguidas y se requiere su
ejecucin al final. Los operadores aritmticos son: +, -, *, /, ^,
**
> 3+4+7-23.54;
-9.54
> 45.56/34.4;
1.324418605
> 4^3;
64
> 4**3;
64
Expresiones Polinmicas.
Las siguientes instrucciones son muy tiles al manipular
expresiones polinmicas y/o
numricas.
> expand((x+1)/(x+2));
+ x
+ x 21
+ x 2
-
12
> expand(1/(x+1)/x);
1( ) + x 1 x
> factor(6*x^2+18*x-24); # Es el comando para factorizar
polinomios
6 ( ) + x 4 ( ) x 1
Resolver ecuaciones.
> solve(x^2-3*x-4, x); # Para resolver ecuaciones de segundo
grado.
,4 -1
> solve({3*x+y=4,2*x-3*y=1});
{ }, = x 1311
= y511
> fsolve(x^3-3*x+1, x);
, ,-1.879385242 0.3472963553 1.532088886
Para resolver un sistema de ecuaciones se utiliza la instruccin
solve({sistema de ecuaciones},{variables}) >
solve({x+2*y=5,2*x-3*y=4},{x,y});
{ }, = y 67
= x237
Expresiones Numricas. > ifactor(24); # Descomposicin en sus
factores primos.
( ) 2 3 ( ) 3
> 55/34;
5534
> evalf(%); # El signo de porcentaje es para utilizar el
ultimo resultado o salida. El comando evalf. Es para simplificar
expresiones numricas.
1.617647059
-
13
> simplify(16^(1/2)+3); # Tambin se utiliza para simplificar
fracciones algebraicas.
7
> simplify((x^2+5*x+6)/(x+3)); + x 2
Funciones Hay dos formas de representar funciones con los
comandos del programa una es con la instruccin flecha y la otra es
con la instruccin unapply.
Usando el operador flecha. Se define la funcin f(x)=x^2+3 >
f:=x ->x^2+3;
:= f x + x2 3
> f(sqrt(2)); # Buscando la imagen.
5
Usando el comando unapply.
> f:= unapply(x^2+3,x);
:= f x + x2 3
> f(a);
+ a2 3
Funciones a trozos o por partes.
> f:=piecewise(x
-
14
> f:=x ->piecewise(x f(3);
1
Grficas de Funciones en R2. Las instrucciones para graficar en
R2 son dos: plot (funciones explicita) e implicitplot (funciones
implcitas). Para las funciones implcitas se necesita cargar
previamente la librera de graficar with(plots). Para realizar
grficas de funciones explcitas se procede:
plot(funcin, x=a..b, y=c..d, opciones); Entre las opciones
tenemos: colores, grosor de la lnea, etc. Ver ?plot[options]. >
plot(x^2-4,x=-4..4,y=-5..10);# Podemos observar que las escalas en
los ejes no son iguales, para modificarlos hacemos doble click
sobre la grafica y se busca en la barra.
Para realizar grficas de ecuaciones implcitas.
> with(plots): # Cuando se utiliza dos puntos carga la
librera pero no la muestra, mientras que si se usa punto y coma
detalla todos los comandos de graficacin que posee.
> implicitplot(x^2-x*y+y^2-4=0,x=-3..3,y=-3..3);
-
15
> f:=x -> (x)/(1+x); # En esta grafica se pueden observar
las asintotas.
:= f x x + 1 x
> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);
-
16
Ahora se presenta una grafica donde se usan los comandos
textplot y display El primero nos permite identificar y escribir
elementos de la grafica por ejemplo: mximo, mnimo, punto de
inflexin y otros. La segunda permite mostrar varias instrucciones
previas a la vez y ejecutarla todas de una sola vez.
> with(plots): >
p:=plot(3*x^4+4*x^3,x=-1.5..0.5):delta:=0.5: >
t1:=textplot([-1,-1-delta/2,`Local Mnimo(-1,-1)`],align=BELOW):
> t2:=textplot([0,0-delta,`Punto de Inflexin(0,0)`],align=LEFT):
> t3:=textplot([-1.1,0+delta,`Punto de
Corte(-1.3,0)`],align=BELOW): >
t4:=textplot([0,0-3*delta/2,`Punto de Corte
(0,0)`],align=LEFT):
-
17
> display({p,t1,t2,t3,t4});
Graficas de funciones en R3. Para realizar grficas en tres
dimensiones, en el software MAPLE V, se utiliza la
instruccin plot3d. La secuencia para ser utilizada es:
plot3d(funcin, rango de la variable x, rango de la variable y,
opciones);
A continuacin grafiquemos la funcin f(x , y) = 2x2+ 3y2 .
-
18
Al colocar el cursor del ratn sobre la grfica y hacer click,
este activa una nueva
barra de iconos, que a continuacin se sealan:
El significado de cada uno de los iconos es el siguiente:
Estos iconos nos indica los ngulos iniciales de la grfica
respecto a: un plano horizontal y un plano vertical. Adems en
funcin de lo
anteriormente mencionado se puede realizar rotaciones a
conveniencia para visualizar
-
19
una nueva perspectiva de la grfica. Igualmente es vlido si se
usa el apuntador del
ratn.
Estos iconos nos permiten modificar la grfica: rejilla, curvas
de nivel y otros.
Estas nos permiten fijar los ejes coordenados de R3; a
conveniencia.
Nos permite trabajar con una misma escala en los ejes
coordenados
Limite. Los comando para hacer la ejecucin del lmite son Limit y
limit. La primera Limit(funcin, variable=a) con mayscula solo la
escribe. La segunda con minscula la ejecuta o calcula limit(funcin,
variable=a)
> Limit(x^2+3*x+2,x=1); lim x 1
+ + x2 3 x 2
> limit(x^2+3*x+2,x=1); 6
> Limit(x^2+3*x+2,x=1)=limit(x^2+3*x+2,x=1); = lim
x 1 + + x2 3 x 2 6
Derivadas. Las instrucciones son Diff y diff. La primera con
mayscula es solo para mostrarlo
Diff(funcion, variable) y la segunda con minscula es para
calcularlo diff(funcin, variable)
> Diff(x^2+3*x+2,x);
x
( ) + + x2 3 x 2
-
20
> diff(x^2+3*x+2,x); + 2 x 3
> Diff(x^2+3*x+2,x)=diff(x^2+3*x+2,x);
= x
( ) + + x2 3 x 2 + 2 x 3
-
21
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. - Calcular las siguientes
expresiones:
a) )75(464 42133 +
b) 33534
34453
+
+
c) ( )343 24 yx + d) ( )42 532 + xx 2.- Factorizar las
siguientes expresiones:
a) 652 + xx b) 354 23 ++ xxx
c) 2243 235 + xxxx 3.- Resolver las siguientes ecuaciones: a)
962 + xx b) 472 2 + xx
c) 583 34 + xxx d) 135 23 + xxx 4.- Resolver los siguientes
sistemas de ecuaciones:
a)
=
=+
0282
yxyx
b)
=+
=
32
26
43yxyx
c)
=+
=+
=+
52823
732
zyxzyxzyx
d)
=
=+
=+
425734232
zyzx
yx
-
22
5.- Graficar las siguientes funciones. a) 325)( 2 += xxxf b)
527)( 23 ++= xxxxf
c) 1232)(
2
+=
x
xxg
d) 34)( += xexh e) 05322 =+ yyx f) 843 22 =++ yyxx 6.- Calcular
los siguientes limites: a) )1363( 23
4lim ++
xxxx
b) 53734355
34
24
3lim
++
++
xxx
xxx
x
c) 2527
52435
3
lim++
+
xxx
xx
x
7.- Calcular las siguientes derivadas:
a) 833235)( 3247 ++= xxxxxf
b) ( )82ln)( 35 3
+=
xx
exg
xx