Introducción al Método Simplex [email protected] Introducción Forma Estándar Solución Básica Factible Introducción al Método Simplex

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Forma Estandar

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Conversion

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Solucion Basica

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Matematicas

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Simplex

Introduccion

En esta lectura daremos una introduccion al metodo Simplexdesarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de1914 - 13 de mayo de 2005) en 1947. Este metodo se basaen la conversion del problema con restricciones condesigualdades en un problema cuyas restricciones sonecuaciones lineales. Es un metodo matricial.

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Simplex

Forma Estandar

Definicion 1.1Un modelo de PL se dice que esta en su forma estandar sicada restriccion es una igualdad y las restricciones de signopara cada variable son del tipo mayor o igual que cero.Muchos de nuestros modelos recien construidos no estan ensu forma matricial. No esta en la forma estandar:

Max z = 3 x + 2 y

sujeto a2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80x ≤ 40x ≥ 0

y ≥ 0

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Simplex

Conversion

El algoritmo Simplex para resolver modelos de programacionlineal requiere que el modelo este en su forma estandar. Loque se hace es convertir el modelo a la forma estandar. Estose logra introduciendo nuevas variables, algunas de las cualesreemplazaran a las variables originales.

I Para cada restriccion del tipo ≤ se introduce una nuevavariable de holgura (slack variable) si que se suma alprimer miembro y la desigualdad se convierte enigualdad; se anade la restriccion de signo a la nuevavariable si ≥ 0.

I Para cada restriccion del tipo ≥ se introduce una nuevavariable de exceso (excess variable) ei que se resta alprimer miembro y la desigualdad se convierte enigualdad; se anade la restriccion de signo a la nuevavariable ei ≥ 0.

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Simplex

Continuando con la conversion:

I Para cada variable xi que tiene restriccion de signo deltipo ≤ 0, se cambian todas las apariciones de xi en elmodelo por la expresion −x ′

i donde x ′i es una nueva

variable con restriccion de signo x ′i ≥ 0.

I Para cada variable xi que no tiene restriccion de signose cambian todas las apariciones de ella en el modelopor la expresion x ′

i − x ′′i donde x ′

i y x ′′i son dos nuevas

variables con restriccion de signo x ′i ≥ 0 y x ′′

i ≥ 0.

Las conversion se realiza en dos fases: en la primera seconvierten las desigualdades y en la segunda se aplican lasreglas para las variables que en el modelo original tiene signono positivo o no tienen restriccion de signo.

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Correspondencia

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Simplex

Ejemplo

Convierta a la forma estandar:

Max z = 3 x + 2 y

sujeto a2 x + y ≤ 100 : R1

x + y ≥ 80 : R2

x ≤ 40 : R3

y ≤ 0 : R4

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Simplex

En la primera fase (despues de aplicar las reglas relacionadascon restricciones del tipo ≤ o ≥) queda:

Max z = 3 x + 2 y

sujeto a

2 x + y + s1 = 100x + y − e1 = 80x + s1 = 40

con x sin restriccion de signo, y ≤ 0, s1 ≥ 0, e1 ≥ 0, ys2 ≥ 0.

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Simplex

Para la segunda fase obtenemos:

Max z = 3 x ′ − 3 x ′′ − 2 y ′

sujeto a

2 x ′ − 2 x ′′ − y ′ + s1 = 100x ′ − x ′′ − y ′ − e1 = 80x ′ − x ′′ + s1 = 40

con x ′ ≥ 0, x ′′ ≥ 0, y ′ ≥ 0, s1 ≥ 0, e1 ≥ 0, y s2 ≥ 0.

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Simplex

Solucion basica

Definicion 1.2Una solucion basica (SB) a un sistema de ecuacionesA x = b con m ecuaciones y con n incognitas, es decir m× n(n ≥ m) es una solucion al sistema que se obtiene haciendocero n −m variables y que resulta en un sistema consolucion unica. A una variable de decision quedeliberadamente se hace cero se le llama variables no basica(VNB) y mientras que a aquella que se conserva dentro delnuevo sistema se le llama variable basica (VB).

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Ejemplo 1

Simplex

En terminos de Algebra Lineal, este concepto equivale aseleccionar m columnas de A y que estas formen una basepara Rm. Las columnas no seleccionadas corresponden aaquellas variables que se hacen cero deliberadamente. Unavez seleccionadas las columnas el nuevo sistema con elmismo vector de constantes debe resolverse. La solucionobtenida se llama solucion basica. En terminos de matrices,tiene el significado que las variables que no se hacen cerodeliberadamente forman una matriz invertible. El procesopara obtener una solucion factible corresponde a tomar de Acolumnas para formar una matriz cuadrada que resulteinvertible.

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Ejemplo 1

Simplex

Determine las soluciones basicas al sistema:

x1 + x2 = 3− x2 + x3 = −1

En este caso: m = 2 =numero de ecuaciones yn = 3 =numero de incognitas. Por tanto, las solucionesbasicas se obtienen haciendo cero n −m = 3− 2 = 1variable. Siendo n = 3 el numero de variables, tenemos:(

nn −m

)=

n!

m! · (n −m)!=

(31

)=

3!

1!× (3− 1)!=

1 · 2 · 31× 1 · 2

es decir, que en nuestro sistema se tienen 3 posiblessoluciones basicas. Observe que da lo mismo seleccionarque variables seran basicas (que columnas se conservaran) oque variables seran no basicas (columnas se borraran).

Revisemos cada alternativa:

I VNBs = {x1}. Haciendo x1 = 0 el sistema original queda:

+ x2 = 3− x2 + x3 = −1

dando como solucion : x1 = 0, x2 = 3 y x3 = 2.

I VNBs = {x2}. Haciendo x2 = 0 el sistema original queda:

+ x1 = 3+ x3 = −1

dando como solucion : x1 = 3, x2 = 0 y x3 = −1.

I VNBs = {x3}. Haciendo x3 = 0 el sistema original queda:

+ x1 + x2 = 3− x2 = −1

dando como solucion : x1 = 2, x2 = 1 y x3 = 0.

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Ejemplo 1

Simplex

Ejemplo 2

Determine las soluciones basicas al sistema:

x1 + 2 x2 + x3 = 12 x1 + 4 x2 + x3 = 3

En este ejemplo hay 3!/(1!× (3− 1)!) = 3 posiblessoluciones basicas.

I VNBs = {x1}. Haciendo x1 = 0 el sistema originalqueda:

+ 2 x2 + x3 = 1+ 4 x2 + x3 = 3

dando como solucion : x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −1.

I VNBs = {x2}. Haciendo x2 = 0 el sistema originalqueda:

+ x1 + x3 = 1+ 2 x1 + x3 = 3

dando como solucion : x1 = 2, x2 = 0 y x3 = −1.

I VNBs = {x3}. Haciendo x3 = 0 el sistema original queda:

x1 + 2 x2 = 12 x1 + 4 x2 = 3

este sistema es inconsistente. Por tanto, no hay solucionbasica correspondiente a VNBs = {x3}.

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Simplex

Solucion basica

Definicion 1.3Una solucion basica factible (SBF) a un sistema deecuaciones A x = b m × n (n ≥ m) es una solucion basicacon valores no negativos para las variables de decision.

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Ejemplo 1

Simplex

Determina las soluciones basicas factibles del sistemaestandar correspondiente a la region que definen lasrestricciones

x1 + x2 ≤ 402 x1 + x2 ≤ 60

y x1, x2 ≥ 0.La forma estandar es:

x1 + x2 + s1 = 402 x1 + x2 + s2 = 60

y cumpliendo x1, x2, s1, s2 ≥ 0. Y en la forma estandar n = 4(numero de variables) y m = 2 (numero de ecuacion es), ypor consiguiente el numero de posibles soluciones basicas es:(

nm

)=

4!

2! · (4− 2)!=

1 · 2 · 3 · 41 · 2 · 1 · 2

= 6

En este caso desaparecemos 4− 2 variables para obtener las SB:

I VNBs = {x1, x2} → VB = {s1 = 40, s2 = 60} A(0,0)

I VNBs = {x1, s1} → VB = {x2 = 40, s2 = 20} B(0,40)

I VNBs = {x1, s2} → VB = {x2 = 60, s1 = −20} C(0,60), noes solucion basica factible

I VNBs = {x2, s1} → VB = {x1 = 40, s2 = −20} D(40,0), noes solucion basica factible

I VNBs = {x2, s2} → VB = {x1 = 30, s1 = 10} E(30,0)

I VNBs = {s1, s2} → VB = {x1 = 20, x2 = 20} F(20,20)

A(0, 0) E(30, 0)

F (20, 20)

B(0, 40)

C(0, 60)

D(40, 0)

Figura : Relacion entre SBFs y extremos de la RF

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Ejemplo 1

Simplex

Correspondencia

Un punto clave que relaciona la parte geometrica con laparte algebraica es el siguiente resultado teorico:

TeoremaLa region factible a un modelo lineal corresponde aun conjunto convexo, y a cada extremo de laregion le corresponde una SBF de su formaestandar y a cada SBF le corresponde un extremode la region factible.

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SBF Adyacentes

Definicion 1.4Para un modelo PL con m restricciones, dos solucionesbasicas factibles se dicen ser soluciones basicas factiblesadyacentes si acaso tienen m− 1 variables basicas en comun.

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Simplex

Ejemplo

Determine las SBFs y encuentre sus relaciones de adyacenciaal siguiente PL:

Maximice z = 4 x1 + 3 x2

sujeto a:x1 + x2 + s1 = 40

2 x1 + x2 + s2 = 60

y cumpliendo x1, x2, s1, s2 ≥ 0.

Este problema tiene como FBS:

I VNBs = {x1, x2} → VB = {s1 = 40, s2 = 60} A(0,0)

I VNBs = {x1, s1} → VB = {x2 = 40, s2 = 20} B(0,40)

I VNBs = {x2, s2} → VB = {x1 = 30, s1 = 10} E(30,0)

I VNBs = {s1, s2} → VB = {x1 = 20, x2 = 20} F(20,20)

Son adyacentes: A(0,0) y B(0,40), A(0,0) y E(30,0), B(0,40) y F(20,20),y E(30,0) y F(20,20).

A(0, 0)

B(0, 40)

E(30, 0)

F (20, 20)

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Simplex

Algoritmo Simplex

El algoritmo Simplex procede de la siguiente manera:

1. Convierta el modelo PL a su forma estandar.

2. Obtenga una SBF a la forma estandar.

3. Determine si la SBF es optima: Si hay una variable nobasica cuyo aumento hace que el valor actual de lafuncion a maximizar suba, entonces la solucion actualno es optima.

4. Si la SBF no es optima, determine la variable no-basicaque deberıa convertise en basica (la de mayor impactoen la funcion objetivo) y cual variable basica deberıaconvertise en una no-basica (la que impone unarestriccion mayor a la variable de mayor impacto). Conla seleccion anterior y usando operaciones elementalesde renglon determine una SBF nueva adyacente a laanterior.

5. Reinicie con el paso 3 con la nueva SBF.