INTRODUCCION AL ALGEBRA. 3a- RELACIONES. Apuntes de la Cátedra. Alberto Serritella. Colaboraron: Vanesa Bergonzi Cristian Mascetti. Ricardo Galeazzi Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010. UNNOBA Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As. Para mensajes: [email protected]
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Los conceptos de relaciones y funciones que veremos en esta unidad permiten construir buena parte
de la Matemática. Utilizando funciones se desarrolla la teoría sobre Estructuras Algebraicas, que en
una etapa posterior desemboca en los Espacios Vectoriales, Matrices, Sistemas de ecuaciones y
Determinantes. Por medio de relaciones de distintos tipos y de funciones se pueden construir
diferentes conjuntos de números. Y el estudio de las funciones definidas entre conjuntos numéricos
nos conduce al Análisis Matemático. Igualmente relaciones y funciones abren el camino a otras
ramas de las Matemáticas.
El embrión y puente hacia todo ello es el concepto de pares ordenados.
PARES ORDENADOS:
Intuitivamente un par ordenado es un conjunto de dos elementos, pero ordenado.
O sea que un par ordenado es " algo más " que un conjunto de dos elementos:
Es un conjunto de dos elementos al que se le agrega un criterio de orden que nos dice de esos dos
elementos cual es el primero y cual el segundo.
Siempre intuitivamente: el par ordenado formado por los elementos a y b será:
1° 2° → (a ; b) = { a ; b } "+" a b criterio de orden
El signo de suma está puesto entre comillas para remarcar que no es una verdadera
suma sino sólo que se agrega " algo " al concepto de conjunto de dos elementos.
Evidentemente no es lo mismo hablar del conjunto formado por Juan y Pedro que cumple:
{ Juan ; Pedro } = { Pedro ; Juan }
cuando simplemente se reúnen a conversar.
Que el caso de cuando el que es nombrado primero de ambos recibe el único regalo disponible.
( Juan ; Pedro ) ≠ ( Pedro ; Juan )
Por única vez daremos una definición rigurosa, entre varias posibles, de par ordenado:
{ } { }{ }a;b;a)b;a( =
O sea:
el par ordenado (a ; b)
está formado por dos datos:
el conjunto de dos elementos { a ; b }
y el elemento a .
¿Donde aparece el criterio de orden?.
El elemento a del conjunto unitario es el primero
y automáticamente el otro ( b ) es considerado segundo.
Corolario 1:
(a ; b) = (c ; d) ⇔ a = c ∧ b = d
Comentario:
En Teoría de Conjuntos se cumplía:
{ a ; b } = { b ; a }
Pero no ocurre lo mismo con los pares ordenados.
El siguiente corolario caracteriza a los pares ordenados
diferenciándolos de los conjuntos de dos elementos.
Corolario 2:
a ≠ b ⇔ (a ; b) ≠ (b ; a)
Las demostraciones de ambos corolarios son muy " técnicas " y totalmente ligadas a la definición
usada para par ordenado, por tal motivo se omiten. (Si alguien quiere hacerlas ¡ adelante !, son sencillas). Pero más importante que demostrarlos son los conceptos que tales corolarios dejan:
1) Cuando dos pares ordenados son iguales. (cuando sus componentes son respectivamente iguales).
2) Si dos elementos son distintos ello es lo mismo que decir que al cambiar el orden los pares
ordenados son distintos.
TERNAS ORDENADAS:
Es muy fácil extender el concepto de par ordenado a tres elementos:
la terna formada por a , b y c será, intuitivamente:
1° 2° 3° → (a ; b ; c) = { a ; b ; c } "+" a b c criterio de orden
Formalmente podría definirse así:
{ } { } { }{ }b;a;a;c;b;a)c;b;a( =
CUATERNAS ORDENADAS - OTROS CASOS:
Es igualmente factible extender el concepto de conjuntos ordenados a más cantidad de elementos.
Por ejemplo:
(a ; b ; c ; d) será una cuaterna ordenada.
Veremos luego otra manera de extender el concepto de par ordenado a más cantidad de elementos
mediante el concepto de familia de elementos. Un caso particular de familia de elementos que
veremos son las n-uplas , o sea conjuntos ordenados de n elementos.
PRODUCTO CARTESIANO:
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Definiremos el producto cartesiano de ambos conjuntos de
la siguiente manera:
( ){ }ByAx;y;xBA ∈∧∈=×
Ejemplo:
Un grupo de amigos está formado por:
3 chicas: M = { Ana, Mara, Luz }
y 2 varones: V = { Pedro, Juan }
Cada una de las chicas en algún momento se pone de novia con cada uno de los muchachos.
Detallar todas las parejas que se forman :
La respuesta es:
M × V = {(Ana; Juan); (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro); (Luz; Juan); (Luz; Pedro)}
Si queremos representarlo gráficamente tenemos dos maneras:
Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano
Propiedades:
1) ABBABABA ×≠×⇒≠∧φ≠∧φ≠
2) φ=∨φ=⇔φ=× BABA
3) [ ]DBCADCBABA ⊂∧⊂⇔×⊂×⇒φ≠∧φ≠
4) )CB()CA(C)BA( ×∪×=×∪
5) )CB()CA(C)BA( ×∩×=×∩
6) )CB()CA(C)BA( ×−×=×−
Estas propiedades son incluidas a efectos de completar adecuadamente el tema.
No es importante recordarlas ni realizar sus demostraciones, que de todas formas son relativamente
sencillas.
Observación:
Tal como fueron dadas las definiciones estrictamente se tiene que:
)CB(AC)BA( ××≠××
(Con lo que veremos más adelante sería posible "identificarlos").
De todas maneras este problema no surgirá con el concepto, que también se verá más adelante, de
n-upla. (tampoco es importante recordar esta observación).
GRAFICAS:
Una gráfica es un subconjunto de algún producto cartesiano.
O sea una gráfica es un conjunto de pares ordenados.
G gráfica ⇔ BAG:B,A ×⊂∃
Esta definición admite los casos extremos:
φ=G , BAG ×=
que en realidad son los de menor interés: el primero por carencia de información (la respuesta es
"nada") y el segundo por sobreabundacia (la respuesta es "todo").
Por lo común los casos de interés son los intermedios.
Ejemplo:
Recordemos el ejemplo visto para producto cartesiano:
M × V = {(Ana; Juan); (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro); (Luz; Juan); (Luz; Pedro)}
Un ejemplo de gráfica posible sería el de las parejas que efectivamente se forman:
Una de las varias gráficas posibles sería:
G = (Ana; Pedro); (Mara; Juan); (Mara; Pedro)} FM ×⊂
Las gráficas se representan de manera similar a los productos cartesianos:
Gráfico con Flechas Gráfico Cartesiano
Gráfica Inversa:
Se define la gráfica G -1 de una gráfica G de la siguiente forma:
{ }G)y;x(;)x;y(G ∈=−1
Es decir es la gráfica que se forma cuando se " dan vuelta " los pares ordenados.
Propiedad 1: ABGBAG ×⊂⇔×⊂ −1
Demostración: ⇒⇒⇒⇒) Supongamos: : BAG ×⊂
Sea: : ⇒∈⇔∈ − G)y;x(G)x;y( 1por hipótesis ⇒ ⇒×∈ BA)y;x( por definición de producto
cartesiano ⇒ ⇔∈∧∈⇔∈∧∈ AxByByAx por definición de producto cartesiano⇒ AB)x;y( ×∈