INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES U N E X P O UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5) Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014) MATEMÁTICA I
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INTRODUCCIÓN ALOS NÚMEROS
REALES
UNEXPO
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALESSECCIÓN DE MATEMÁTICA
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I
UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)
Morales, E., Ríos, I. y Vargas, E. (2014)
MATEMÁTICA I
UNIDAD
11. VALOR ABSOLUTO,
2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.
3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
UNEXPO
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES
CLASE 5
TEMAS
En esta sección se desarrollará la noción de valor absoluto o módulo de un número real, el cual está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y normas en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Igualmente, abordaremos sus propiedades y la resolución de ecuaciones e inecuaciones que tengan valor absoluto.
INTRODUCCIÓN AL TEMA
UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
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MATEMÁTICA I
UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
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COMPETENCIAS A LOGRAR:
• Identifica el valor absoluto como operación básica de los números
reales.
• Conoce y resuelve ecuaciones e inecuaciones con VALOR ABSOLUTO
utilizando los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y las propiedades
de las desigualdades.
• PREREQUISITOS:
• Conoce las operaciones básicas definidas en el conjunto de los
NÚMEROS REALES y sus propiedades.
• Conoce la axiomática de orden y las propiedades de las desigualdades.
(Q)
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MATERIALES:
• Guías recomendadas por el profesor.
• Lápiz y papel.
• Apuntes personales
• Textos
UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
UNEXPO
MATEMÁTICA I
1. VALOR ABSOLUTO,
2. PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.
3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
UNEXPO
MATEMÁTICA I UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 5)
ÍNDICE:
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VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REALT
EM A1
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MATEMÁTICA I
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por el símbolo , se define por la siguiente regla:
• Si x es positivo, su valor absoluto es el mismo número x.
• Si x es negativo, su valor absoluto es el opuesto de x (-x).
• Si x es cero, su valor absoluto es cero.
Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número real es la distancia de dicho número al cero. Veamos algunos
ejemplos
Ejemplo:
EN PALABRAS, SERÍA: ESTÁ A LA MISMA DISTANCIA A LA
IZQUIERDA DE QUE A LA DERECHA DE 0.GEOMÉTRICAMENTE ESTO ES:
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0 1 2 3 4 5 6 7−6 −5 -4 -3 -2 -1
−7 8
La distancia del al es
Es por esta razón que decimos
Valor absoluto de -7 es igual a
7
La distancia del al es
RECTA NUMÉRICA
De igual maneraValor absoluto de 7
es igual a 7
Nota: es negativo, es positivo. Esto es, si , entonces, ;
Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición:Si x es un número real, su valor absoluto es:
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1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. VER DEMOSTRACIÓN
8. 9.
10. 11.12.
o
13. 14. VER DEMOSTRACIÓN
Las siguientes propiedades son consecuencia directa de la definición anterior: sean e números reales cualesquiera.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOT
EM A2
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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOT
EM A3
Las ecuaciones con valor absoluto se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo.Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
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Solución:
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Ejemplo 1: |𝟑 𝒙+𝟓|=𝟒
Aplicando la propiedad 11 de valor absoluto:
c con :
Formamos dos
EcuacionesECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2Resolvamos estas
Ecuaciones
copia en tu cuaderno y resuelve las dos ecuaciones lineales antes planteadas
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Resolviendo cada una de estas ecuaciones se obtiene:
Verifiquemos aplicando la sustitución en la ecuación dada:
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Para reemplazamos este valor de en la ecuación
y se tiene
Lo cual es una proposición verdadera, esto nos dice que el
valor de encontrado es correcto.
Ahora verificamos para la otra solución de la ecuación:
Para
luego se tiene
En conclusión: el conjunto solución de la ecuación es:
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Ejemplo 2: Solución:Aplicamos la propiedad 3 de valor absoluto
: se tiene:
Al extraer raíz cuadrada en ambos miembros:
Por la propiedad 7 de valor absoluto se obtiene la ecuación:
Cuya solución es:
Por lo tanto el conjunto solución es:
Al comprobar:
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Ejemplo 3: Solución:La solución de la ecuación dada es el conjunto , ya que el miembro de la izquierda: para cualquier en R y el miembro de la derecha es -1 es negativo, por lo que dicha igualdad no es cierta cualquiera sea el valor de x.
Ejemplo 4: Solución: Como , entonces se debe cumplir lo cual equivale a . Luego, se aplica la propiedad 11 de valor absoluto, obteniéndose: (i) ó (ii)
La solución de la ecuación (i) es: y la de (ii) es . Los números -1 y 1 no satisfacen la condición entonces, el conjunto no es la solución de la ecuación . Esto es, la ecuación no tiene solución.
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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOT
EM A4
Las inecuaciones se resuelven utilizando la definición de valor absoluto o bien aplicando las propiedades del mismo. Ejemplo 1:
Solución: Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto
resulta:
De allí que: . Luego la solución de la inecuación es:
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Ejemplo 2: Solución:Aplicando la propiedad 12 de valor absoluto, se tiene:
además
Lo cual equivale a:
Al resolver estas dos inecuaciones se obtiene:
Luego la solución de la inecuación es:
Se podría usar otro método alternativo de solución como la definición de valor absoluto, lo cual nos deberá dar el mismo resultado, veamos:
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Dado que:
Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que:
o
Al resolver estas cuatro inecuaciones resulta:
Luego,
Recuerde que ,
Así, la solución de la inecuación dada es:
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Ejemplo 3:
Solución:Aplicando la propiedad 13 de valor absoluto se tiene:
De aquí se obtienen dos inecuaciones:i)
ii)
Resolviendo (i) se obtiene la cual es verdadera por lo que su solución es Resolviendo (ii) se obtiene se obtiene la solución
Luego la solución de la inecuación es:
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Para verificar los conocimientos adquiridos realiza la actividad de evaluación sugerida para el reforzamiento de esta clase
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDAD I: NÚMEROS REALES (CLASE 1)
Morales, E., Ríos, I. y Vargas E. (2014)
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MATEMÁTICA I
•Gutiérrez, Y. (2005). Introducción a los Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.
•Morales, E. (2004). Números Reales y Geometría Analítica con estrategias heurísticas y algorítmicas de resolución de problemas. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.
•Morales, E. (2014). Uso del diagrama V de Gowin y la Trilogía CRP como estrategias heurísticas de solución de problemas. Notas didácticas para el curso de matemáticas I: Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”. Trabajo de ascenso. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.
•Núñez, L. (2007). Números Reales. UNEXPO-Vicerrectorado Puerto Ordaz.