Introducción a las redes de optimización

Introducción a las redes de

optimización

Cárcamo Núñez José Roberto

Introducción a las redes de optimización

2

Índice

0 Presentación

1 Introducción

1.1 Nomenclatura de una red

2 Modelo del tipo ruta más corta.

3 Modelo del tipo flujo máximo.

4 Modelo del tipo de flujo a costo mínimo.

5 Modelo del tipo redes de actividad.

6 Conclusiones

Introducción a las redes de optimización

3

Las redes de optimización son problemas que surgen en una gran variedad de

situaciones, en las cuales se pueden aplicar para solucionar problemas.

Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la

vida diaria y son un claro ejemplo de donde pueden ser aplicados los

problemas que veremos en este documento.

Estas redes se utilizan ampliamente en áreas tan diversas como producción,

distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones,

administración de recursos y planeación financiera, para nombrar sólo unos

ejemplos.

¿Qué es una red?

En análisis de redes una red son rutas invisibles sobre las cuales se van a

mover los “recursos” o las “entidades” de los problemas.

Para que una red cumpla con su función, debe estar unida a las “locaciones ”

por medios de “interfaces”.

Una red puede estar conformada por muchos tramos, los cuales están

separados por “nodos” y cada “nodo” debe tener su respectiva “interfaz”.

Cuando una red cambia de dirección en un punto que no esté conectado a una

“locación”, se habla de un “punto de quiebre”

0 Presentación.

Introducción a las redes de optimización

4

En este documento sólo se podrán plantear las bases de la metodología de

redes actual. Sin embargo, se dará una introducción a cuatro tipos

importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo

resolverlos.

Los problemas que veremos en este documento serán los siguientes:

Ruta más corta

Flujo Máximo

Flujo a costo Mínimo

Redes de Actividad

Con estos problemas se pueden hacer muchos ejercicios y también tratar de

modelar dado a que muchos modelos aunque suenen diferentes se podrían

plantear en los problemas antes mencionados.

Se asume que el lector sabe de las siguientes temas:

Teoría de grafos.

Optimización lineal.

Los cuáles serán importantes para entender los esquemas y los

planteamientos que veremos a continuación.

1 Introducción

Introducción a las redes de optimización

5

Red. Consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas ya sea

que no tengan una dirección o la contengan, que unen ciertos pares de

puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices y las líneas se llaman

arco o aristas.

Nodo o vértice. Es un

circulo en un diagrama de

redes que representan un

aspecto importante de un

problema, representa el

origen y destino de bienes

de un problema a resolver.

Arco o arista. Es una línea

que conecta dos nodos en

un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos

nodos, es la curva que une a dos nodos para poder establecer una

conexión

entre ellos.

1.1 Nomenclatura de una red.

Introducción a las redes de optimización

6

Flujo. Es el contenido que pasa de un nodo a otro por medio de los

arcas antes mencionados.

Algunos ejemplos de Redes en la vida diaria

Existen algunos ejemplos de la vida que mostraremos esto es para que el

lector pueda ver que en verdad la optimización de redes puede existir en

muchos casos.

Nodos Arcos Flujo

Cruceros

Aeropuertos

Estaciones de bombeo

Centros de trabajo

Caminos

Líneas aéreas

Tuberías

Rutas de manejo de

materiales

Vehículos

Aviones

Fluidos

Trabajos

Introducción a las redes de optimización

7

En este tipos de problemas consiste en encontrar la distancia mínima de un

nodo origen a un nodo destino atreves de un modelo red conexa que conecte

a ambos, en caso de empate al aplicar el algoritmo, estos se rompen en forma

arbitraria.

Usualmente los arcos no están orientados (no contienen una dirección) es

decir, son ligaduras que permiten viajar en cualquier dirección, aunque

también están permitidos los arcos que solo permiten viajar en una dirección.

EJEMPLO:

Este ejemplo trata de un segmento de las rutas mas cortas que se llaman árbol

de peso mínimo.

1.-Las distancias en millas entre ciudades de Indiana: Gary, Fort Wayne,

Evansville, Terre Haute y South Bend, se muestran en la siguiente tabla. Es

necesario construir un sistema estatal de carreteras que una todas estas

ciudades. Suponga que por razones políticas no es necesario construir una

carretera a Gary y Fort Evansville ¿Cuál es la longitud mínima de la carretera

requerida?

1.Gary 2.Fort Wayne 3.Evansville 4.Terre Haute 5.South Bend

1.Gary -- 112 213 100 158

2.Fort Wayne 112 -- 299 101 179

3.Evansville 213 299 -- 113 303

4.Terre Haute 100 101 113 -- 106

5.South Bend 158 179 303 106 --

Este lo podemos modelar de varias formas pero nos enfocaremos a que se

asume que el lector pude relacionar la tabla con un grafica de red el cual se

2 Modelo del tipo ruta mas corta.

Introducción a las redes de optimización

8

muestra en estos momentos.

Podemos observar que existen muchas rutas en este caso se utiliza un método

llamada “kruscal” también existe otro método que puede ayudar a estos

grafos que no contienen dirección se llama “PRIM” pero es un poco menos

exacto porque el algoritmo deja que el que lo esté aplicando puede tomar

caminos incorrectos

Algoritmo:

1. Se crea una lista de todos los caminos existentes y los costos que tienen

en forma ascendente.

costo Ruta

100 (1,4)

101 (2,4)

106 (4,5)

112 (1,2)

113 (3,4)

158 (1,5)

179 (2,5)

213 (3,1)

299 (2,3)

303 (5,3)

1

2

5 4

3

112

158

213

100

299

101

179

113 303

106

Introducción a las redes de optimización

9

2. Se toman las rutas de menor costo CUIDANDO que no se CREEN

circuitos dentro de la grafica

costo Ruta

100 (1,4)

101 (2,4)

106 (4,5)

112 (1,2)

113 (3,4)

158 (1,5)

179 (2,5)

213 (3,1)

299 (2,3)

303 (5,3)

Aquí podemos ver que ya existe una ruta que conecte a todos los nodos

a un costo mínimo esto quiere decir que se toman todas las rutas cortas

para crear un árbol de peso mínimo y así en nuestro ejemplo podemos

conectar las ciudades con una distancia mínima .

Introducción a las redes de optimización

10

Estos tipos de modelos se utilizan para reducir los “embotellamientos” entre

ciertos puntos de inicio y destino en una red, existe un flujo que viaja desde

un único lugar origen a un único lugar destino a través de que conectan con

nodos intermedios, también los arcos que conectan a la red contienen un

sentido y contienen una capacidad que no puede ser excedida

Ejemplo:

Se necesita que del nodo 1 llegue la cantidad de flujo máximo al nodo 7

Para este método se necesita crear una primero solución en el cual

empíricamente enviemos unidades por los arcos que salen del nodo 1 y que

todas las unidades enviadas puedan llegar al nodo 7.

3 Modelo del tipo flujo máximo.

Introducción a las redes de optimización

11

En este caso podemos observar que podamos enviar de esta forma las

unidades que enviaremos.

Como vemos en este grafo se observa que tanto los arcos que salen del nodo

1 ya están saturados es decir llegamos a el máximo de unidades que podamos

enviar por los arcos que dan un total de 6 unidades y con respecto a los arcos

que llegan al nodo 7 también están saturados por lo tanto llegamos a una

solución óptima para este problema.

Introducción a las redes de optimización

12

El objetivo de estos modelos es encontrar un flujo máximo por donde pasar

los requerimientos a un costo mínimo.

El modelo de Flujo de Costo Mínimo en una Red se plantea de la manera

siguiente

bi>0 si i es un nodo origen

bi<0 si i es un nodo destino

bi=0 si i es un nodo de transbordo

Una condición necesaria para que el modelo tenga solución factible es que

bi=0, es decir, que el flujo total generado en los nodos origen sea igual al

flujo total absorbido por los nodos destino.

Cuando esta condición no se cumple (problemas de transporte no balanceado

en los que la oferta es diferente a la demanda) se generan nodos ficticios que

generen o que absorban flujo. Los costos asociados a los arcos que parten o

llegan a estos nodos es cero.

Con frecuencia bi y uij son valores enteros. Las variables xij son variables

4 Modelo del tipo de flujo a costo minimo.

Introducción a las redes de optimización

13

enteras y no se requiere agregar esta condición al modelo (unimodularidad).

Con este modelo es posible plantear un problema de transporte, de

transbordo, de flujo máximo y de camino más corto.

Ejemplo:

3.- GrainCo abastece de maíz a tres granjas avícolas desde tres silos. Las

cantidades de oferta en los tres silos son 100, 200 y 50 mil bushels(1 bushel =

35.23 litros). GrainCo usa principalmente ferrocarril para transportar su maíz

a las granjas, a excepción de tres rutas, en las que se usan camiones. La

siguiente figura muestra las rutas disponibles entre los silos y las granjas. Los

silos se representan con los nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de suministro

son [100], [200] y [50], respectivamente. Las granjas se representan con los

nodos 4, 5 y 6, cuyas demandas son [-150], [-80] y [-120], respectivamente.

Las rutas permiten transbordos entre los silos. Los arcos (1,4), (3,4) y (4,6)

son de camiones, con capacidades mínimas y máximas Por ejemplo, la

capacidad de la ruta (1,4) es de 50 a 80 mil bushels y costo de $1. Los costos

de transporte, por bushel, se indican en sus arcos respectivos. (Capacidad

mínima, Capacidad máxima, Costo).

Teniendo la siguiente red:

Teniendo el siguiente modelo de programación lineal.

Introducción a las redes de optimización

14

Resolviendo el problema tenemos los siguientes resultados:

Por el arco (1,3) pasaran 50 mil bushels con un costo de $4

Por el arco (1,4) pasaran 50 mil bushels con un costo de $1

Por el arco (2,4) pasaran 150 mil bushels con un costo de $1

Por el arco (2,5) pasaran 50 mil bushels con un costo de $6

Por el arco (3,4) pasaran 70 mil bushels con un costo de $1

Por el arco (3,5) pasaran 30 mil bushels con un costo de $2

Por el arco (4,6) pasaran 120 mil bushels con un costo de $2

Con un costo total mínimo de $1,070.00.

Introducción a las redes de optimización

15

Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, critical

path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa,

program evaluation and review technique) se basa en redes, y tienen por

objetivo auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se

define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que

cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT

es contar con un método analítico para programar las actividades.

Ejemplo.

4.- En la siguiente tabla se muestran las actividades a realizar así como su

tiempo esperado y la desviación estándar calculados con las formulas en la

imagen de la tabla.

Esto se puede modelar con un grafo en el cual se puede mostrar mejor el

como las actividades se van desarrollando, además se puede observar grafica

5 Modelo del tipo redes de actividad.

Introducción a las redes de optimización

16

que actividad inicia cuando una actividad termine.

Revisión hacia adelante (Método de la ruta crítica) del ejemplo es:

Para la actividad A : [0, 4.2, 4.2]

Para la actividad B : [4.2, 2.3,6.5]

Para la actividad C : [4.2, 3.5, 7.7]

Para la actividad D : [4.2, 1.25, 5.45]

Para la actividad Ficticia : [7.7, 0, 7.7]

Para la actividad E : [7.7, 5.7, 13.4]

Por lo que la duración del proyecto sera de 13.4.

Revisión hacia atrás (CPM) del ejemplo es:

Para la actividad E : [7.7, 0, 13.4]

Para la actividad Ficticia : [7.7, 0, 7.7]

Para la actividad D : [12.15, 7.95, 13.4]

Para la actividad C : [4.2, 0, 7.7]

Para la actividad B : [5.4, 1.2, 7.7]

Para la actividad A : [0, 0, 4.2]

Se puede observar que las actividades que componen la ruta crítica son:

La actividad A, la actividad C y la actividad E.

El tiempo esperado para completar el proyecto es de 13.4 semanas con una

desviación de 2.33 semanas, por lo que el intervalo estimado para el proyecto

Introducción a las redes de optimización

17

es de [11.1, 15.73] semanas.

Para la obtención de los datos anteriores, para el tiempo total del proyecto se

sumó el tiempo esperado de cada actividad que compone la ruta crítica al

igual que para su desviación total se sumaron las desviaciones de las

actividades que componen la ruta crítica.

Introducción a las redes de optimización

18

Dentro de estos problemas podemos ver que existen varios métodos en los

cuales pueden ayudar a averiguar la solución óptima de cada uno de los

problemas.

Los cuatro tipos de problemas que mostramos anterior mente podemos decir

que son los problemas más generales que existen y son 4 grupos en que se

pueden clasificar.

Tipo de

problema Características Planteamientos Métodos

Ruta más corta

Obtener una ruta

que sea más

pequeña que los

demás caminos

que puedan

crearse de un

nodo origen a un

nodo final

Arboles de

peso mínimo.

Arborescencia

Entre dos

nodos

específicos

ruta segura

Producción

Remplazo

mochila

PRIM

KRUSKAL

Dijsktra

Dijsktra

generalizado

Floyd

Flujo máximo

Obtener el flujo

máximo que se

pueda enviar del

nodo inicial al

nodo final

nodos iniciales

y finales

múltiples

requerimiento

de capacidades

Algoritmo de

Ford y

Fulkerson

6 Conclusiones

6.1 Clasifica los problemas.

Introducción a las redes de optimización

19

Flujo a costo

mínimo

Obtener el flujo

máximo a un

costo minimo

para poder

optimizar costos

y flujo

Redes

marginales

Planeación de

producción

Asignación de

tareas a

empleados

Método de

eliminación de

circuitos

negativos

Ruta mas corta

Método

simplex

Redes de

actividad

Obtener un

tiempo

determinado para

la realización de

una actividad o

de algún proyecto

que requiera una

empresa

Obtención de

tiempos

Modelo lineal

Gantt

supuestos

CMP

Introducción a las redes de optimización

20

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/optimizacion-redes/optimizacion-

redes.pdf

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/optimizacion-redes/optimizacion-

redes.shtml

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

http://es.slideshare.net/adncstell/52-la-ruta-mas-corta-31401934

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

http://www.angelfire.com/ak5/bustosfarias/21_flujo_maximo.pdf

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/g-flujo-a-costo-minimo

[Documento] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/h-redes-de-actividad

[imagen] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/g-flujo-a-costo-minimo

[imagen] recuperado el 17 de octubre del 2014 link:

https://sites.google.com/site/redesdeactividaio/news/h-redes-de-actividad

7 Referencias.