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INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA
M.Sc. Samuel Canchaya Moya
CONSULTOR [email protected]
I N D I C E
Introduccin El concepto de autocorrelacin Introduccin al anlisis
variogrfico geoestadstico La varianza de estimacin o extensin
Introduccin al krigeage El concepto de Anisotropa Bibliografa.
INTRODUCCION Ya se han cumplido ms de cuatro dcadas del nacimiento
de la Geoestadstica Matheroniana (MATHERON 1962a, 1963); por lo que
estos mtodos, basados en la Teora de la Variables Regionalizadas,
estn lo suficiente difundidos en la actualidad. Es por este motivo
que la mayor parte de paquetes importantes de software que se
aplican a la minera, presentan mdulos de evaluacin por krigeage,
que es el mtodo de estimacin geoestadstico (MATHERON 1962b; DAVID
1976; DELFINER & DELHOMME 1973) superior a cualquier otro por
sus caractersticas de no sesgo y mnimo error. Sin embargo en la
actualidad todava se realizan evaluaciones con mtodos
tradicionales. Las principales razones son: la simplicidad y rpida
aplicacin de estos ltimos, en comparacin con el mayor grado de
dificultad que implica la evaluacin por krigeage; adems de la
necesidad de tener un mnimo conocimiento especializado para aplicar
el mtodo geoestadstico. En algunos pases, entre ellos Estados
Unidos de Norteamrica, se entiende por Geoestadstica a cualquier
aplicacin de la estadstica en Geologa y ramas afines, como Minera y
Petrleo; en este trabajo estamos considerando como tal slo a la
Geoestadstica Matheroniana, cuya principal herramienta es el
Variograma. Con el tiempo es posible que la estimacin de reservas
por mtodos tradicionales se circunscriba slo a una necesidad
acadmica, histrica o a ciertos casos donde se sepa de una
regionalizacin completamente aleatoria, cosa muy rara en la
naturaleza. En una encuesta estadstica realizada por CHAMPIGNY
& ARMSTRONG (1993), involucrando a las 19 empresas de oro mas
representativas del mundo, antes de la ltima dcada del presente
siglo slo el 11% de ellas no est utilizando la geoestadstica para
la estimacin de reservas. Aquellas personas que slo aplican mtodos
estadsticos tradicionales (univariables y multivariables) en el
anlisis de variables regionalizadas (geo-referenciadas en el tiempo
o el espacio) tienen y van a tener una serie de problemas, la mayor
parte de los cuales a veces no pueden explicar. La principal
restriccin de los mtodos estadsticos tradicionales es la abstraccin
que hacen de la ubicacin de las muestras en el tiempo o el espacio.
El objetivo principal es utilizar los conceptos y parmetros de la
caracterizacin variogrfica geoestadstica para minimizar las
limitaciones intrnsecas de los mtodos tradicionales. Esto no es
difcil de realizar ya que en la actualidad, prcticamente todos los
paquetes medianos y grandes de software aplicados a geologa, minera
y metalurgia tienen en sus mdulos de estimacin de reservas alguna
forma de hacer anlisis variogrfico geoestadstico.
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AUTOCORRELACION
Las denominadas variables regionalizadas son aquellas cuyos
valores (realizaciones) estn relacionados con ubicaciones precisas
en el tiempo o espacio (variables geo-referenciadas).
Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h),
separados una distancia h, estn relacionados entre s
(autocorrelacin), es decir que sus valores sean dependientes el uno
del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un
patrn de distribucin (o estructura, como se le llama en
geoestadstica), ya que nada es al azar en la naturaleza. Tambin
sabemos que debido a la complejidad de los procesos geolgicos no
habr patrones de distribucin idnticos. Lo mismo ocurre con la mayor
parte de variables involucradas en procesos de beneficio de
minerales (Mineralurgia). La estadstica clsica no puede reconocer
dichas estructuras ya que sus parmetros y funciones no toman en
cuenta la ubicacin de los datos. Por ejemplo, la altura media de
los alumnos de un saln no se modificar as stos se cambien de
asiento una y otra vez.
Para explicar esto nos referiremos a la fig. 1, en la cual hacia
el borde izquierdo se est representando dos tramos (puede ser de
galera, taladro, etc.) con las leyes que se han analizado cada
cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A
tienen un patrn de distribucin o estructura (los valores aumentan
hacia el centro y disminuyen hacia los flancos); mientras que en el
tramo B tenemos una distribucin al azar. Ntese que en ambos casos
estamos usando los mismos dgitos, por lo que no sorprende que la
media m la varianza 2 y el histograma en los dos tramos sean los
mismos; mas no as la funcin variograma (h) que en el tramo A
muestra una clara dependencia con respecto a h, que es la separacin
entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha funcin es
independiente de h, lo cual es tpico de distribuciones al azar,
prcticamente inexistentes en la naturaleza; ya que por lo general,
las variables cuantificables o semicuantificables, relacionadas con
los yacimientos, se originan por determinados procesos que les
imprimen un patrn caracterstico, es decir todo lo contrario a una
distribucin al azar. INTRODUCCION AL ANALISIS VARIOGRAFICO
GEOESTADISTICO El variograma es una de las herramientas ms
poderosas que tiene la geoestadstica. Vamos a definirla tomando el
caso de un depsito D, el cual consiste de una infinidad de puntos
xi, cada uno de ellos con un valor determinado de la variable Z(xi)
que nos interesa estudiar (puede ser ley de Au, contenido de As,
intensidad de una alteracin, peso especfico, dureza, porosidad
etc.). Estas entidades son denominadas variables regionalizadas
porque sus valores corresponden a ubicaciones precisas en el tiempo
o espacio. Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h),
separados una distancia h, estn relacionados entre s
(autocorrelacin), es decir que sus valores sean dependientes el uno
del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un
patrn de distribucin (o estructura, como se le llama en
geoestadstica), ya que nada es al azar
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en la naturaleza. Tambin sabemos que debido a la complejidad de
los procesos geolgicos no habrn patrones de distribucin
idnticos.
La estadstica clsica no puede reconocer dichas estructuras ya
que sus parmetros y funciones que no toman en cuenta la ubicacin de
los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un saln
no se modificar as stos se cambien de asiento una y otra vez. Para
explicar esto nos referiremos a la fig. 2, en la cual hacia el
borde izquierdo se est representando dos tramos (puede ser de
galera, taladros, etc.) con las leyes que se han analizado cada
cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A
tienen un patrn de distribucin o estructura (los valores aumentan
hacia el centro y disminuyen a los flancos); mientras que en el
tramo B tenemos una distribucin al azar. Ntese que en ambos casos
estamos usando los mismos dgitos, por lo que no sorprende que la
media m la varianza 2 y el histograma en los dos tramos sean los
mismos; mas no as la funcin variograma (h) que en el tramo A
muestra una clara dependencia con respecto a h, que es la separacin
entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha funcin es
independiente de h, lo cual es tpico de distribuciones al azar,
prcticamente inexistentes en la naturaleza.
El variograma puede ser estimado a partir de datos
experimentales (por ejemplo las leyes provenientes de una campaa de
muestreo) empleando la frmula general : donde: Z : es la variable
estudiada
Z(x) : es el valor de dicha variable en el punto x Z(x+h) : es
el valor de la variable en el punto (x+h) h : es el paso entre las
muestras (distancias iterativas) n : nmero de pares de valores 2
(h) : valor de la funcin variograma para un valor h. (h) : valor de
la funcin semivariograma (denominada usualmente variograma)
Todos los paquetes de software aplicados a minera utilizan esta
frmula para el clculo de los variogramas experimentales; las
respectivas facilidades grficas nos mostrarn variogramas con
apariencia similar a la que se a idealizado en la fig. 3, que nos
servir para explicar los principales parmetros de la funcin
variograma. Dentro de la distancia a (alcance), la variable es
totalmente estructurada, es decir depende, o est controlada, por la
funcin (h). Mas all de a la variable es aleatoria, o sea
independiente de la funcin variograma: la curva se
n-h Z (x i + h) - Z(x i) 2 i = 1
2 (h) = ( n - h )
( 1 )
-
transforma en una meseta (C+Co) cuyo valor tericamente debe
coincidir con la varianza estadstica de todos los datos
involucrados en el clculo del variograma, lo cual no siempre es el
caso.
Para h = 0 la funcin variograma debera dar cero y pasar por el
origen; sin embargo la funcin a veces presenta una discontinuidad
al origen simbolizada como Co (efecto pepita), que nos da cuenta de
cambio bruscos de los valores a pequea escala, lo cual generalmente
sucede cuando se sobrepasa subestructuras por debajo de la escala
de trabajo. Este valor tambin puede aparecer debido a errores
sistemticos: en el muestreo o durante el proceso de anlisis qumico.
En la fig. 3 se muestra algunos ejemplos de variogramas
experimentales (sucesin de puntos), debidamente ajustados a
variogramas tericos (curvas continuas), algunos de los mas
importantes se muestran en la fig. 4. Al ajustar un variograma
experimental a uno terico, se debe determinar los parmetros
mencionados en los prrafos anteriores. Tales parmetros y la forma
misma del variograma ajustado nos sern de ayuda para optimizar los
principales mtodos de estimacin de reservas. Los variogramas
experimentales se pueden calcular a partir de una sucesin lineal de
puntos, como por ejemplo a lo largo de un taladro de perforacin
(variograma monodimensional); tambin se pueden calcular a partir de
un conjunto de datos ubicados en
un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una
veta, un manto angosto, un banco o una seccin cualquiera. En la
actualidad existen programas que permiten el clculo de variogramas
a partir de una distribucin tridimensional (variograma 3D), lo que
antes slo se poda realizar subdividiendo en cuerpo tridimensional
en tajadas (bancos o secciones). Los detalles de clculo de los
variogramas experimentales escapan al sentido del presente trabajo.
Se puede calcular el variograma de prcticamente cualquier variable;
lo nico que necesitamos es un conjunto de datos experimentales con
su ubicacin en el tiempo o el espacio. Esto quiere decir que no slo
vamos a poder trabajar con leyes, sino que tambin podemos procesar
otras variables menos comunes como: peso especfico, porosidad,
densidad de fracturamiento, potencia de la estructura, precio del
oro, etc. Slo necesitamos una forma de cuantificarlas para luego
procesarlas con la frmula (1) de manera similar como se hace con
las leyes. En el anlisis variogrfico, la nica restriccin que se
debe atender es la hiptesis de estacionariedad, que exige que el
variograma se calcule para un dominio con un determinado patrn de
distribucin constante. Lo
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cual automticamente implica tener en cuenta las discontinuidades
geolgicas: fallas, cambios de litologa, alteracin, etc. La solucin
mas prctica es circunscribirse a dominios estacionarios, es decir
realizar el anlisis variogrfico respetando las discontinuidades
geolgicas. Es por eso que la correcta aplicacin de la geoestadstica
nos obliga a tener muy en cuenta la informacin geolgica, lo cual en
buena cuenta es lograr el tan ansiado equilibrio entre los mtodos
determinsticos y probabilsticos; siendo difcil que una aplicacin
geoestadstica se haga de espaldas a la informacin geolgica y
mineralgica. LA VARIANZA DE ESTIMACION O EXTENSION
Estamos obligados a explicar este concepto, ya que est
involucrado en cualquier estimacin de reservas, que no es otra cosa
que la extensin del valor de una o mas muestras relativamente
puntuales (volumen v), a un volumen mayor V (panel o bloque);
extensin que irremediablemente implica un error, que no es otra
cosa que la diferencia entre el valor estimado y el valor real. En
la estadstica clsica y por ende en todos los mtodos de estimacin de
reservas tradicionales, no es posible estimar tal error, ya que
primero es necesario conocer el valor real, cosa que es imposible
incluso al final de la vida de la mina. Esto es una de las
principales diferencias entre los problemas industriales, tcnicos o
cientficos puros, donde generalmente es posible conocer el valor
real y por ende el error. Para aplicaciones en ciencias naturales y
sus derivados (geologa, ingeniera forestal, batimetra, minera,
etc.) la geoestadstica tiene una alternativa para determinar este
error: la varianza de estimacin , la cual no depende de los valores
reales de la informacin v utilizada ya que se expresa en funcin del
variograma por la frmula:
donde : (V, v) : designa el valor medio de (h) = (MM) cuando los
dos puntos de apoyo M y M del vector h describen independientemente
uno del otro, los dos volmenes o conjuntos V y v. (V2) : designa el
valor medio de (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M del vector
h describen, independientemente uno del otro, el volumen V. ( v2) :
designa el valor medio de (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M
del vector h describen, independientemente uno del otro, el volumen
v.
= 2 ( V, v ) - ( v 2 ) - ( V2 )
2 E (2)
2 E
5
-
6
1 5
P4
P* = 4.0 P* =
A
B
D C
4 6+5+4+1
FIG. 6 FIG. 6
Por lo general, en configuraciones sencillas a veces es
suficiente con emplear bacos para estimar esta varianza de
dispersin y con ese conocimiento tomar decisiones a priori, tan
trascendentales que pueden comprometer los resultados de una campaa
de exploracin o la decisin de abandonar un proyecto rentable. Por
ejemplo en el baco de la fig. 5 se comparan dos configuraciones por
tramos, una con las muestras en los extremos y la otra con la
muestra en el centro del tramo. Resulta obvio que el error
involucrado al estimar (extender) la ley de un tramo desde la ley
centrada es mayor que el error que resulta al asignar la ley a
partir de puntos de muestreo en los extremos del tramo; esto es
vlido para distancias de muestreo mayores que los del alcance del
variograma respectivo. Para casos algo mas complicados debemos
utilizar la frmula (2), que slo se basa en el variograma y en las
caractersticas geomtricas de los paneles, mas no en los valores que
puedan tener los taladros. Lo cual nos permite estimar el error a
priori: antes de perforar el primer metro! INTRODUCCION AL KRIGEAGE
La forma ms simple y ms errnea de calcular valores desconocidos a
partir de valores conocidos es el promedio aritmtico simple. Es
errneo porque no se tiene consideracin alguna de la posicin
relativa de los valores conocidos con respecto al punto, panel o
bloque a estimar. Se dio un gran paso histrico cuando se consider
necesario ponderar los valores de las muestras que participan en la
asignacin de un promedio a un punto, bloque o panel; estos mtodos
se clasifican como mtodos de distancias ponderadas.
Los mtodos de ponderacin por el inverso de la n potencia de la
distancia (IPD) son los mas difundidos de todos los mtodos
tradicionales. Sin embargo, debido a que tambin involucran una
serie de suposiciones e imposiciones empricas y arbitrarias, su
aplicacin encuentra una serie de problemas, algunos de los cuales
se pueden minimizar con ayuda de la informacin que brinda el
variograma. Para ello vamos a referirnos a la fig. 6, en la cual
tenemos cuatro puntos (A, B, C y D) con sus respectivas leyes (6,
4, 1 y 5). Se trata de estimar el valor desconocido en el punto P.
La forma mas simple es sumar los cuatro datos y dividirlos entre
cuatro. En este caso a cada valor le estamos asignando
arbitrariamente en mismo peso; independiente de su cercana o lejana
al punto P.
Intuitivamente sentimos que esto no es correcto, que de alguna
manera, las muestras ms cercanas deben influir mas que las lejanas;
y que por lo tanto, debe haber una distancia mas all de la cual,
dicha influencia debe ser despreciable. Esto ltimo da origen a la
denominada rea de influencia, que se suele aplicar en todos los
mtodos IPD. En el caso de una configuracin bidimensional, dicha rea
de influencia es un crculo; mientras que en el caso de una
tridimensional es una esfera. Hay dos problemas que resultan como
consecuencia inmediata de esto; por un lado el uso de una figura
isomtrica, implica que estamos idealizando al considerar una
regionalizacin istropa; por otro lado el radio de dicha rea de
influencia es seleccionado en forma completamente arbitraria. Salta
a la vista de que manera podemos mejorar la calidad de los mtodos
IPD aplicando un rea de influencia a partir del anlisis variogrfico
realizado en varias direcciones, convenientemente seleccionadas. En
la fig. 7 se muestra paso a paso la estimacin del valor de P usando
el mtodo del Inverso del Cuadrado de la Distancia ICD; ntese que se
ha aplicado un radio de influencia (R=70); el cual arbitrariamente
ha dejado fuera de clculo al valor del punto A. Si hubiramos
escogido R=90, el punto A se incluira en los clculos; mientras
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que con R=60; slo entraran los puntos B y C. Los resultados
obviamente dependern de esta seleccin; lamentablemente el mtodo por
si mismo no cuenta con la posibilidad de resolver este problema.
Algunos variogramas experimentales como el de la fig. 3A, presentan
bajadas sbitas de su meseta, en este caso a la altura de h = 40.
Esto es lo que se denomina efecto hoyo y corresponde a
subregionalizaciones alternadas, como la alternancia de zonas ricas
y pobres. En la mina de donde proviene el ejemplo se tienen clavos
aurferos separados unos 40 metros entre si. Estas discontinuidades
tambin deberan ser consideradas al momento de la configuracin de
los paneles y bloques. Otro aspecto importante es el denominado
drift o tendencia que presentan ciertos variogramas despus de
alcanzar la meseta. Tal es el caso del variograma de la fig. 3C, en
el cual se nota una subida constante de los puntos del variograma,
a partir de h = 160. La presencia de drifts es seal de
no-estacionariedad, producto de la presencia de tendencias muy
marcadas en la distribucin de las variables. De lo nico que hay que
tener cuidado en este caso es de no configurar paneles con
dimensiones que nos comprometan con este drift; que para el caso de
la fig. 3C sera 160 metros. Si tuviramos variogramas con una
tendencia mas marcada o dominante, es preferible primero ajustar a
los datos una superficie de tendencia (trend surface) y luego
trabajar con los residuos; de lo contrario en lugar de realizar la
estimacin por krigeage simple, hacerlo por el llamado krigeage
universal (MATHERON 1969). A continuacin vamos a presentar, de
manera muy simplificada, el mtodo de krigeage. Para una explicacin
mas amplia referirse a: DAVID (1976, 1977), JOURNEL &
HUIJBREGTS (1978: 303-343) y GUIBAL & TULCANAZA (1974: 16-32).
Bsicamente el mtodo de krigeage nos da la posibilidad de asignar un
ponderador exacto i a cada valor Zi que participa en la estimacin
de un valor desconocido P* (punto, panel o bloque). De manera
similar a los mtodos IPD, el valor estimado de P se calcula de
ecuaciones lineales de la forma :
P* = i Z i
Cada valor del ponderador i se calcula de un sistema de
ecuaciones denominado sistema de Matheron; la forma general de
presentar este sistema de ecuaciones es como sigue:
( 3 )
FIG. 7 ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA
DISTANCIA:
R
P*ICD = 3.67
6
4P
51
A
B
D
C
R = 70 RADIO DE INFLUENCIA
d (1/d) (1/d)2 LeyPA 90 6
PB 20 0.050 0.0025 0.81 4
PC 50 0.020 0.0004 0.13 1
PD 65 0.015 0.0002 0.06 5
0.095 0.0031 1.00
P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67
ifuera de R
-
i ij = pi -
j =1
Donde :
i, j : 1, 2, 3 .... , n. ij : es el valor promedio del
variograma (h) = (MN) cuando M recorre
la muestra n = i y N recorre independientemente la muestra j. pi
: es el valor medio del variograma (h) = (MN) cuando M se mueve
sobre el panel P y N se mueve independientemente sobre la
muestra i. : es el parmetro de Lagrange.
Lo que se obtiene es un sistema con (n+1) ecuaciones y (n+1)
incgnitas (los n ponderadores i y el parmetro de Lagrange ), que se
resuelven para encontrar el valor de cada ponderador i , stos son
luego reemplazados en la ecuacin ( 3 ) para finalmente encontrar el
valor estimado P* de la variable en estudio. Tal sistema de
Matheron tiene a su vez la propiedad de otorgar una varianza de
estimacin mnima, cuya expresin matemtica general es :
i pj + - pp
la cual representa la medida de la precisin de la estimacin, y
que no depende de los valores reales de la informacin utilizada.
Volviendo a la fig. 6, vemos como la aplicacin de la ecuacin (4)
nos permite configurar un sistema de 5 ecuaciones con 5 incgnitas
(entre ellas los i). Para resolver este sistema slo necesitamos
calcular por computadora o estimar por bacos los variogramas i y
ip, basados en el anlisis variogrfico; para luego reemplazarlos en
el sistema de ecuaciones y resolverlo. Procediendo de esta forma se
obtuvieron los valores i que se dan en la fig. 8. Ntese que el
mayor ponderador es D, que concentra el 55% del peso; mientras que
el ms bajo es B, con slo el 10%.
n
j =1n
j =1
n
j =1
( 4 )
( 5 ) 2 k
=
FIG. 8 ESTIMACION POR KRIGEAGE:
6
4
5
1
ANISOTROPIA
P
A
B
D
C
R = 80r = 40
AAA + ABB +ACC + ADD + = APBAA + BBB +BCC + BDD + = BPCAA + CBB
+CCC + CDD + = CPDAA + DBB +DCC + DDD + = DP A + B + C + D = 1A =
0.20B = 0.10 P*K = AA + BB + CC + DDC = 0.15 P*K = 3.10D =
0.55ERROR DE ESTIMACION =
2K = iP i + PP -
-
Estos resultados podran parecer contrarios a lo que nos dicta
nuestra intuicin, sobre todo si estamos acostumbrados a los mtodos
IPD; puesto que los valores mas lejanos tienen mas peso que los mas
cercanos. Lo que pasa es que existe un marcado trend de
mineralizacin en direccin NW, por lo que es de esperar una mejor
continuidad de los valores en dicha direccin y consecuentemente una
mayor variabilidad en la direccin ortogonal. Esta caracterstica del
patrn de distribucin se refleja en el peso de los ponderadores.
Calculando el valor de PP, y reemplazndolo en la ecuacin (5), junto
con los ya conocidos y iP, se calcula la varianza de krigeage k2;
que nos permite tener una idea concreta de nuestro error de
estimacin; parmetro que no se puede calcular en ninguno de los
otros mtodos de estimacin. En la Fig. 9 se muestra cmo los
ponderadores adquieren valores diferentes dependiendo de la
estructura de cada distribucin, caracterstica que se encuentra
reflejada en su respectivo variograma. Se trata de estimar por
krigeage la ley media de la porcin entre los puntos S2 y S3. Zi es
la ley correspondiente al punto de muestreo i; y i el ponderador
respectivo. Estamos empleando una funcin variograma de la forma:
(h) = h en la cual le asignamos a diferentes valores (columna de la
izquierda de la figura en cuestin).
Vemos que el nico caso en que pueden tener validez los mtodos
empricos clsicos, es en el caso A; donde el variograma nos informa
que en tal distribucin existe plena independencia entre las leyes,
es decir una distribucin al azar (efecto de pepita puro). Los
ponderadores en este caso tiene el mismo peso o valor i = 0.25. Slo
en algunos yacimientos aluviales de oro se encuentra este tipo de
distribuciones; quizs debido a la relativa violencia con que se
deposita el material aluvional, de tal forma que la naturaleza no
tiene tiempo para imponer un patrn de distribucin, por lo que las
partculas de oro se encuentran diseminadas prcticamente al azar.
Para = , el variograma corresponde a una distribucin de regularidad
media, por lo tanto, los puntos mas cercanos al segmento estimado
tendrn mas peso (2 y 3 6 veces mayores que
h
( )hVARIOGRAMA:
EFECTO DE
PEPITA PURO
( )h h= 1 2 3 4Z1 Z2 Z4S1 S2 S3 S4
COMENTARIOS:0.25 0.25 0.25 0.25
0 0.50 0.50 0
0.07 0.43 0.43 0.07
MEJOR ESTIMADOR:
LEY MEDIA
UNICO CASO DE VALIDEZ DE LOS METODOS CLASICOS
REGULARIDAD
MEDIA
VARIOGRAMA
LINEAL
GRAN
REGULARIDAD- 0.03 0.53 0.53 - 0.03
LOS DOS PUNTOS MAS CERCANOS AL
SEGMENTO ESTIMADO TIENEN MAS PESO
NO INTERVIENEN LOS PUNTOS LEJANOS
PROPIEDAD CARACTERSTICA DEL VARIOGRAMA LINEAL
LOS PONDERADORES DE Z1Y Z4 SON NEGATIVOS
DEBIDO A LA EXTREMA CONTINUIDAD DE LA
MINERALIZACION
3/2
1/2
1
0
FIG. 9 ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3
( )h
( )h
( )h h
h
h
Z3
10 10
-
1 y 4). Los variogramas de este tipo por lo general se obtienen
en yacimientos diseminados tipo prfido, en oro diseminado en rocas
volcnicas y en algunas vetas hidrotermales de alcance epitermal.
Para = 1, el variograma es lineal; por lo tanto el peso se
concentra casi totalmente en los puntos mas cercanos (2 = 3 = 0.5);
de tal forma que los puntos mas lejanos prcticamente no intervienen
en la estimacin (1 = 4 = 0). Variogramas de este tipo son
frecuentes en vetas hidrotermales, meso- a hipotermales. Para =
3/2, el variograma corresponde a una distribucin de gran
regularidad, es decir con una continuidad extrema de la
mineralizacin, a tal punto que las muestras mas lejanas al segmento
estimado tendrn pesos negativos (1 = 4 = - 0.03). Este tipo de
variogramas se encuentran en yacimientos estratiformes o de origen
sedimentario. Tambin en le caso de mantos de carbn; o cuando se
evala la potencia de cuerpos tabulares o el peso especfico en zonas
de litologa homognea. EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA Raras veces las
distribuciones resultan istropas (Fig. 11), lo cual quiere decir
que los variogramas en todas sus direcciones son similares. Esto es
inusual, ya que casi siempre los procesos geolgicos son
direccionales, es decir, por lo general tienen una direccin o
componente preferencial, concepto relacionado principalmente al
flujo o flujos de mineralizacin.
Para aclarar esto vamos a referirnos a la fig. 10 (simplificada
a partir de CANCHAYA & BERNUY 1983), en la cual se muestra
varios tramos de muestreo a lo largo de galeras y chimeneas sobre
una veta. Como los flujos mineralizantes generalmente son
sub-verticales, el patrn de distribucin a lo largo de las chimeneas
ser diferente al de las galeras; lo cual quedar expresado en los
respectivos variogramas y principalmente en el
alcance a. Para el caso se ha obtenido ah = 10 y av = 20. Por lo
tanto tenemos una distribucin anistropa y consecuentemente debemos
definir una elipse de influencia, tomando como ejes los valores de
ah y av. Cualquier variable est estructurada dentro del alcance a
de su respectivo variograma, mas all de l, su comportamiento, por
ser al azar, ser impredecible. Por lo tanto para cubicar reservas
probadas se configura paneles con dimensiones menores o iguales que
2a, tal como se ha procedido en la Fig. 10. Si quisiramos cubicar
ms reservas probadas, deberamos disear subniveles cada 40 metros
(dos veces el alcance en av ); mientras que la separacin ideal
entre chimeneas deber ser 20 metros (dos veces el alcance en ah ).
Estos conceptos se pueden aplicar tambin para dimensionar el
reconocimiento con taladros diamantinos desde las labores
subterrneas. Hay dos tipos de anisotropa: zonal y geomtrica. Cuando
los variogramas en varias direcciones presentan diferentes alcances
tenemos anisotropa geomtrica; mientras que cuando presentan
diferentes mesetas se trata de anisotropa zonal.
En la figura 12 estamos mostrando otro ejemplo ilustrativo. Se
trata de una seccin, perpendicular al rumbo, de un manto tufceo
potente que contiene mineralizacin del tipo diseminada, la cual
aumenta paulatinamente del techo al piso. Este patrn de distribucin
queda claramente expresado en los variogramas direccionales, que se
obtuvieron a partir de muestras de este manto, los cuales estn
graficados en la mitad inferior de la fig. 12. Tal como era de
esperar, los tres variogramas son diferentes, presentando no slo
diferentes mesetas (anisotropa zonal) sino adems anisotropa
geomtrica (diferentes alcances).
FIG. 11 REGIONALIZACION ISOTROPA
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La direccin E-W corresponde a un variograma casi de efecto de
pepita puro y con la mas alta varianza; podramos percibir esta
irregularidad de la mineralizacin imaginando que recorremos el
manto, con un analizador qumico porttil, a lo largo de cualquier
lnea horizontal paralela a la direccin E-W indicada. Por el
contrario, si recorremos el manto a lo largo de una lnea
perpendicular a la hoja (N-S) notaremos una gran continuidad de los
valores y una mnima variacin estructural de los mismos; lo cual est
plenamente expresado en el variograma respectivo, que muestra la
mejor estructuracin y el mayor alcance de los tres mostrados en la
fig. 12. Un recorrido similar en direccin vertical, permite
comprender porqu el variograma en esa direccin tiene mejor
estructura y menos varianza que el de la direccin E-W.
Es una idealizacin muy peligrosa suponer que los patrones de
distribucin son istropos, ya que los millares de estudios
variogrficos de diferentes tipos de yacimientos, en la bibliografa
mundial, nos indican que la mayor parte de los patrones de
distribucin son anistropos. El concepto de anisotropa geomtrica
tiene relacin directa con el denominado radio de alcance de los
mtodos tradicionales; que como ya hemos visto slo se podr usar en
regionalizaciones istropas. Es mas apropiado hablar de elipse (para
bloques bidimensionales) o elipsoide de alcance (para bloques
tridimensionales). Consecuentemente, y salvo en justificadas
excepciones, las mallas de perforacin deberan ser rectngulos o
paraleleppedos; y no necesariamente cuadrados o cubos, como
generalmente se usa.
S. Canchaya/Dic. 2005
-
BIBLIOGRAFIA
Aqu se est consignando no slo la bibliografa citada en el
presente trabajo, sino adems, bibliografa adicional para quien
desee profundizar los temas que ms le interesan.
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