Introducción al electromagnetismo Un enfoque constructivista basado en competencias PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA Antonio Lara Barragán Gómez Universidad de Guadalajara Universidad Panamericana Héctor Núñez Trejo Universidad de Guadalajara Guillermo Cerpa Cortés Universidad de Guadalajara María Elena Rodríguez Pérez Universidad de Guadalajara
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Antonio Lara Barragán GómezUniversidad de GuadalajaraUniversidad Panamericana
Héctor Núñez TrejoUniversidad de Guadalajara
Guillermo Cerpa CortésUniversidad de Guadalajara
María Elena Rodríguez PérezUniversidad de Guadalajara
Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezDiseño de interiores: Braulio Morales Sánchez (Milcom)Diseño de portada: Ana Virginia Esparza Pruneda (Factor02)Ilustraciones: Arturo D. Ramírez (Nemesis)Fotografías: Jupiter Images Corporation
Revisión técnicaM. en C. Gustavo Pérez López Departamento de Ingeniería EléctricaInstituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México
Introducción al electromagnetismoUn enfoque constructivista basado en competencias
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-922-7
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Los efectos de las interacciones eléctricas y mag-néticas los observamos en todo nuestro entorno.
Las fuerzas resultantes de tales interacciones juegan papeles importantes en nuestra vida diaria y en la tecnología más sofisticada. Muchos somos testigos de cómo cierto plástico en rollo se utiliza para en-volver todo tipo de objetos, sobre todo en la cocina. Hemos visto funcionar una fotocopiadora, una tarjeta de crédito, un detector de metales o dispositivos de seguridad en las entradas de edificios y almacenes. En el campo de la medicina el diseño y funcionamiento del marcapasos, los electrocardiogramas y electro-encefalogramas, no serían posibles sin las interacciones
eléctricas dentro de nuestro cuerpo. En otro nivel, la interacción eléctrica es responsable de la estructura atómica y molecular y, en esencia, es por la que pue-den llevarse a cabo las reacciones químicas.
En este primer capítulo revisaremos los principios fundamentales que explican la interacción eléctrica, comenzando con la similitud que existe con la inte-racción gravitacional ya estudiada con anterioridad. El plan es construir los conceptos eléctricos con base en analogías con el caso gravitacional y de ahí seguir con el desarrollo de todos los demás conceptos siguien-do el mismo método.
(Jupiter Images Corporation)
La interacción eléctrica
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introducción aL ELEctromagnEtismo�
La interacción gravitacionaL
La definición clásica de materia: “todo aquello que ocupa un lugar en el espacio”, es lo suficientemente buena para nuestros propósitos. De ella se desprenden al-gunas de sus propiedades como la impenetrabilidad, volumen y forma (en el caso de sólidos). Asimismo, sabemos que la materia está constituida por moléculas, las moléculas por átomos, los átomos por núcleo y electrones, el núcleo por protones y neutrones, los protones y neutrones por quarks y los quarks todavía no sabemos de qué están hechos.
Hasta el momento sabemos también que la materia tiene dos propiedades intrín-secas: masa y energía. La primera, masa, tiene algunos detalles finos. La masa la entenderemos como la medida cuantitativa de la inercia y de ningún modo como la “cantidad de materia”. Este último es un concepto impreciso que conduce a error en otros campos de la física como la relatividad.
La masa, como propiedad, da lugar a la interacción gravitacional descrita por la Ley de Gravitación Universal de Newton:
F Gmm
d=
'2
(1.1)
donde m y m’ son las masas de los cuerpos en interacción, y d la distancia que sepa-ra sus centros de masa. A F se le conoce como fuerza gravitacional o simplemente, gravedad. Por ser la gravedad una fuerza de acción a distancia, históricamente se desarrolló un concepto que contiene en sí mismo tal acción a distancia: el campo gravitacional. De esta manera, de la expresión anterior, se define la intensidad del campo gravitacional como:
g Gm
d=
′2 (1.2)
por lo que la gravedad queda, en forma compacta, como:
F=mg (1.3)
ecuación que, de acuerdo con una aplicación directa de la ecuación de movimiento de la Segunda Ley de Newton, se interpreta diciendo que la fuerza gravitacional le produce, a un objeto de masa m, una aceleración cuya magnitud equivale al valor de g. Es muy importante hacer énfasis en que las ecuaciones 1.1 y 1.3 son dos ex-presiones, una compacta y la otra explícita, de la misma ley.
La ecuación 1.3 puede reescribirse de la siguiente manera:
gF
m= (1.4)
la cual tiene un significado muy particular: la intensidad del campo gravitacional representa la fuerza gravitacional aplicada por unidad de masa del objeto al que es aplicada. De aquí que se utilice el concepto de campo gravitacional para explicar la interacción a distancia. En otras palabras, lo que se quiere decir es que todo objeto, por el simple hecho de tener masa, produce a su alrededor un campo de fuerzas, el campo gravitacional, que se manifiesta en el momento en que otro objeto entra en su esfera de acción. Decimos que la fuerza gravitacional se aplica por medio del campo gravitacional.
interacción eLéctrica
Es un hecho experimental que, además de la masa, los protones y los electrones poseen otra propiedad intrínseca: la carga eléctrica. Esta propiedad es análoga a la
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capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa �
masa, en el sentido de que también es la responsable de la interacción llamada interacción eléctrica. Cuentan algunos historiadores que el filósofo Tales (624-547 a.C.) fue el pri-mero en descubrir la interacción eléctrica al observar que, si se frotaba de manera vigorosa un pedazo de ámbar (el ámbar es una resina fosilizada de color amarillo-café que se usaba como piedra de adorno en collares y brazaletes) éste adquiría la capacidad de atraer pequeños trozos de mate-ria como paja o cáscaras de granos. Tales y los pensadores de su tiempo observaron que la interacción ámbar-paja sólo ocurría si el ámbar era frotado y que la capacidad de atrac-ción que adquiría disminuía de manera gradual conforme pasaba el tiempo, sobre todo en días húmedos. Siglos des-pués, el científico renacentista William Gilbert (1544-1603) fue el primero en observar sistemáticamente los fenómenos eléctricos. Gilbert concluyó que muchos materiales, ade-más del ámbar, podían adquirir la capacidad de atraer pequeños pedazos de materia después de ser frotados; fue él quien acuñó el término “eléctrico” a partir de la palabra en griego para ámbar: elektron. Eléctrico sólo significaba po-seer propiedades similares a las del ámbar.
Alrededor de 200 años después, Benjamin Franklin (1706-1790) se interesó en los fenómenos eléctricos y co-menzó su estudio después de los 40 años de edad, cuando había logrado una for-tuna suficiente como para entregarse a los placeres de la investigación científica y la reflexión filosófica, según lo expresara él mismo. En 1743, Franklin asistió a la conferencia de un personaje inglés que sorprendía a los habitantes de las nuevas colonias americanas con demostraciones ingeniosas sobre los fenómenos eléctricos. Franklin compró al conferencista todo su equipo experimental y empezó a inves-tigar por su cuenta en 1745. Para entonces, los experimentos mostraban que al acercar dos varillas de vidrio frotadas con seda, éstas se repelían entre sí. Lo mismo sucedía entre dos varillas de plástico que habían sido frotadas con lana. Sin embar-go, se observó un efecto de atracción cuando se acercaron una varilla de plástico y una varilla de vidrio. Esto llevó a la aceptación de la existencia de dos tipos de carga eléctrica: una que se manifestaba al frotar vidrio con seda y otra que se manifestaba al frotar plástico con lana. Franklin propuso llamarlas cargas positivas y negativas, respectivamente. Esto es, un cuerpo cargado positivamente sería rechazado por una varilla de vidrio frotada con seda. De manera similar, un cuerpo cargado negativa-mente sería repelido por una varilla de plástico frotada con lana. Es importante notar que la designación de “positiva” y “negativa” para las cargas del vidrio y del plástico fue completamente arbitraria; igual pudo Franklin haber dicho lo opuesto. Los resultados no se alteran por la asignación de sus nombres.
A partir de estas observaciones, Franklin propuso un modelo para explicar la interacción eléctrica que pronto ganó terreno no sólo en América, sino en toda Eu-ropa. De acuerdo con su modelo, la carga eléctrica podía ser considerada como un fluido o efluvio, y toda la materia tenía la misma cantidad de fluido positivo que de negativo. Sin embargo, estos niveles pueden ser alterados mediante el frotamiento, de tal forma que, si se elimina una cantidad de fluido negativo, el cuerpo queda car-gado positivamente porque hay más cantidad de efluvio positivo después del frota-miento. De manera análoga, al agregar fluido positivo, el cuerpo queda cargado de manera positiva. Completando el esquema (figura 1.2), un cuerpo quedaría cargado negativamente al agregar fluido negativo o eliminar fluido positivo.
Este modelo, al ser revisado a la luz de los conocimientos actuales, es impreci-so porque la carga eléctrica no es un fluido. Sin embargo, representa una metáfora
Figura 1.1
Benjamin Franklin (Jupiter Images Corporation)
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introducción aL ELEctromagnEtismo�
original de la interacción eléctrica la cual, como metáfora, es correcta. En la terminología actual, podemos modificar el modelo de Franklin de la siguiente manera: Toda la ma-teria está conformada por átomos que, en condiciones nor-males, tienen igual número de electrones que de protones. Experimentos posteriores mostraron que el electrón tiene carga negativa y el protón tiene carga positiva (de acuerdo con la denominación de Franklin) por lo que los átomos, en condiciones normales, su carga total, o neta, es cero. Cuando en un objeto se cumple tal condición, se dice que es eléctricamente neutro. Sin embargo, se pueden “arrancar” electrones a los materiales por frotamiento y, de manera hipotética, también podrían arrancarse protones de los áto-mos, pero sabemos que esto es prácticamente imposible (¿por qué?). Así, un cuerpo queda cargado negativamen-te cuando recibe electrones y queda cargado positivamente cuando pierde electrones durante el frotamiento. Llegamos entonces a la conclusión de que el término carga eléctrica es el nombre con que designamos a una propiedad intrín-seca de la materia. Así, encontramos que la carga eléctrica en los cuerpos macroscópicos se observa cuando el núme-ro de protones y electrones que contiene su estructura ató-mico-molecular está desbalanceado.
Todo eso es fácil de entender si hablamos de átomos o moléculas; pero, ¿qué sucede si hablamos de electrones o protones individuales? Y aún más, ¿cómo es la situación eléctrica de los neutrones? En cuanto a los dos pri-meros, vale la misma definición: la carga es una propiedad intrínseca de la materia y, por consiguiente, se dice que los electrones y los protones tienen o poseen car-ga negativa y carga positiva, respectivamente. Por lo que toca a los neutrones, para nuestros fines es suficiente con afirmar que éstos no tienen carga. Aquí es impor-tante hacer énfasis en el uso del lenguaje. No es correcto hablar de la carga como si tuviera existencia por sí misma. La carga existe como propiedad de la materia. Evitaremos expresiones como “dos cargas positivas se encuentran separadas...”, o “considerar dos cargas negativas...”. La forma correcta de expresarse es: “dos obje-tos con carga positiva se encuentran separados...”, o “considerar dos cuerpos con carga negativa...”.
De acuerdo con los experimentos mencionados, es posible inferir que la interac-ción eléctrica es de la misma naturaleza que la interacción gravitacional. Dos obje-tos con carga interaccionan de igual manera en que dos cuerpos con masa lo hacen, pero hay una diferencia: sólo existe una clase de masa y, por ende, una sola clase de interacción, de atracción. Pero como hay dos tipos de carga, es de esperarse que existan dos tipos de interacción posibles: la ya mencionada atracción y la repulsión. De aquí que debe existir una ley que describa la interacción eléctrica, de la misma manera que existe la ley que describe la interacción gravitacional. Si, como afirma-mos, las interacciones gravitacional y eléctrica son de la misma naturaleza, enton-ces, por analogía, podemos inferir la ley que describe la interacción eléctrica como:
F kqq
de = 2
(1.5)
Ésta es la conocida Ley de Coulomb.Una diferencia entre las leyes de gravitación y la de Coulomb está dada por el
Nótese en primer lugar que, comparativamente, G es drásticamente más pequeña que k. En segundo lugar, que en las unidades basta cambiar las de masa por las de carga, lo cual es lo esperado, dada la analogía entre las leyes respectivas.
carácter vectoriaL de La Ley de couLomb
De las discusiones sobre vectores y cantidades vectoriales del apéndice A, podemos describir las leyes de gravitación universal y de Coulomb en su carácter vectorial esencial. Comenzaremos con la Ley de Gravitación (ecuación 1.1) por ser más fami-liar, y después generalizaremos el resultado al caso de la Ley de Coulomb.
Lo primero es describir un sistema de referencia tridimensional derecho para el que tomamos uno de los dos cuerpos como objeto de referencia; esto es, el que se sitúa en el origen del sistema de referencia y que se considera como el que le aplica la fuerza al otro. A tales cuerpos los llamaremos cuerpo fuente y cuerpo de prue-ba, respectivamente. Sea el cuerpo con masa m el cuerpo fuente (figura 1.3) y el cuerpo con masa m’ el de prueba. La distancia entre ambos se mide desde el centro de masa del cuerpo fuente, esto es, desde el origen del sistema de referencia hasta el centro de masa del cuerpo de prueba. Esta ma-nera de medir proporciona la dirección del vector asociado a la distancia entre los cuerpos, al que denotaremos por
r.
La ecuación 1.1 expresa solamente la mag-nitud de la fuerza aplicada al cuerpo de prueba, de manera que Fg está situada, geométricamente hablando, sobre este cuerpo, y su dirección es so-bre la línea que une los centros de los cuerpos, esto es, la dirección radial hacia adentro, por ser una fuerza de atracción. Si definimos un vector unitario en la forma convencional en la dirección radial, y lo denotamos por r̂, entonces la fuerza gravitacional tiene dirección opuesta a este vector y la Ley de Gravitación Universal queda escrita, en términos vectoriales, como:
F G
mm
rr
g=−
′2
ˆ
donde el signo negativo indica que la fuerza gravitacional está dirigida en dirección radial hacia el origen.
Para la Ley de Coulomb tomamos un sistema de referencia semejante al anterior (figura 1.4) y hacemos una consideración semejante para el cuerpo fuente y el de prue-ba. Siguiendo el mismo proceso analógico que condujo a la ecuación 1.5, llegamos a la conclusión de que la Ley de Coulomb en términos vectoriales se escribe como:
F k
qq
rr
e=
′2
ˆ (1.6)
donde la fuerza eléctrica tiene la misma dirección que r̂.
Los valores numé-ricos anteriores muestran que la interacción gravita-cional es drastica-mente más pequeña que la interacción eléctrica. Sin em-bargo, es un hecho que en el universo la fuerza dominante es la fuerza gravi-tacional. ¿Por qué es así?
Pregunta
z
m
r
x
m’r̂
Fg
y
Figura 1.�
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introducción aL ELEctromagnEtismo�
De la figura 1.2 y la ecuación 1.6, se explica la Ley de los Signos de las Cargas de la siguiente ma-nera. Si los cuerpos tienen cargas del mismo signo, positivo o negativo, no se altera la ecuación 1.6 y la dirección de la fuerza es hacia fuera, esto es, tene-mos una fuerza de repulsión. En cambio, si los cuer-pos tienen cargas de signos diferentes, el producto qq´ tiene signo negativo y entonces tenemos que:
F k
qq
rr
e=
′2
ˆ
lo que se interpreta como que la fuerza está en di-rección radial hacia adentro, o sea, es una fuerza de atracción, como en el caso gravitacional. De aquí que cargas de signos iguales se repelen y las de sig-nos opuestos se atraen. La carga del cuerpo fuente se denomina carga fuente, mientras que la carga del cuerpo de prueba se denomina carga de prueba.
ejemPlo 1
Dos partículas cargadas muy pequeñas están separadas por 5.0 cm y cada una tiene una carga neta de 1.5 µC. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?
SoLución:Calculamos la magnitud de la fuerza eléctrica entre las partículas cargadas con
q q F kqq
re= ′ =
′= ×
××
=−
−:
( . )
( . )2
96 2
2 29 10
1 5 10
5 0 1088 1. N
ejemPlo 2
Dos pequeñas esferas conductoras con cargas de la misma magnitud, pero de dis-tinto signo, están separadas por una distancia de 0.08 m. La magnitud de la fuerza entre ellas es de 20.0 N. ¿Qué carga tiene cada esfera?
SoLución: Para la magnitud de la carga despejamos q de la Ley de Coulomb, y como tenemos
q q qF r
ke= ′ = =
×= × −:
( . )( . ). C
2 2
9
620 0 0 08
9 103 8 10
ejemPlo 3
Dos partículas muy pequeñas tienen cargas netas negativas de 3.0 µC y la fuerza entre ellas es de 1.5 N. ¿Qué distancia las separa?
SoLución: Despejamos r
kq
Fm
e
= =× ×
=−2 9 6 29 10 3 0 10
1 50 23
( )( . )
..
r̂
r
z
x
q’
y
q
Figura 1.�
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capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa �
ejemPlo 4
Para ilustrar la diferencia en magnitudes de las fuerzas gravitacional y eléctrica consideremos dos objetos con cargas iguales de un microcoulomb separados una distancia de 3 cm. ¿Qué masa debe tener un objeto para sentir una fuerza gravita-cional de igual magnitud, si se toma como referencia a la Tierra?
SoLución:La fuerza entre los objetos cargados la encontramos de la Ley de Coulomb. Con q = q´ = 1 × 10–6 C y r = 0.03 m, tenemos:
F kq
re= = ×( )
×( )=
−2
2
9
6 2
29 10
1 10
0 0310
.N
Para encontrar la masa de un cuerpo tal que éste sienta la misma fuerza, hacemos:
F mg mF
g= ⇒ = = =
10
101
Nm
s
kg
2
Esto es, la relación masa-carga es de 1 × 10–6, que podemos interpretar como que la fuerza eléctrica es, en este caso, del orden de un millón de veces más intensa que la fuerza gravitacional.
ejemPlo 5
Una partícula α (alfa) es un núcleo de helio; tiene dos protones y una masa total de 6.6 × 10−27 kg. Comparar la fuerza eléctrica de repulsión entre dos partículas α con la fuerza de atracción gravitacional entre ellas.
SoLución:
La fuerza eléctrica es Fk e e
re =
+ +( )( )2 22
; la gravitacional FG m m
dg =
( )( )α α2
, para saber
cuántas veces es mayor una que la otra, lo calculamos como la relación:
F
F
k e
Gme
g
= =× ××
−( ) ( )( )( . )
( .
2 9 10 4 1 6 10
6 6
2
2
9 19 2
α 110 6 6 103 10
11 27 2
35
− −×= ×
)( . ). Un valor extremadamente grande,
de aquí que la gravedad no se considere en interacciones de partículas atómicas y subatómicas.
ejemPlo 6
En el modelo de Bohr para un átomo de hidrógeno, un electrón gira alrededor del núcleo (un protón) en una órbita circular de radio 5.3 × 10−11 m. Determinar la fuer-za sobre el electrón. ¿Cuál es su rapidez alrededor del núcleo?
SoLución: El electrón es atraído tanto por su masa como por su carga, pero por el ejemplo anterior sólo consideramos la fuerza eléctrica. Como q = q’ tenemos:
Fkq
re = =
× ××
=−
−
2
2
9 19 2
11 2
9 10 1 6 10
5 3 108
( )( . )
( . ).22 10 8× − N dirigida hacia el núcleo. Luego, como
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introducción aL ELEctromagnEtismo�
la órbita es circular, esta fuerza hace la función de una fuerza centrípeta. Del movi-miento circular recordamos que:
F mv
rv
F r
mcc
e
= = =× ×−2 88 2 10 5 3 10
,( . )( .
de donde−−
−×= ×
11
31
6
9 1 102 2 10
)
.. .
m
s
ejemPlo 7
En la figura 1.5a se muestran tres partículas cargadas sobre la línea horizontal (eje x). Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre la carga q.
SoLución: Si denominamos como F1 la fuerza aplicada a q por q1 y F2 la aplicada a q2,entonces
F F F= +1 2 (figura 1.5b); las magnitudes las calculamos con la Ley de
Coulomb y atractivas, F kq q
d112
96 6
29 10
4 0 10 8 10
0 254= = ×
× ×=
− −( . )( )
( . ).66 ,N
vectorialmente F i N1 4 6=− . ˆ
F kq q
d2
22
96 6
29 10
5 0 10 8 0 10
0 10= = ×
× ×=
− −( . )( . )
( . )336 362, ˆN N
F i= calculando la resul-
tante: F i i i=− + =4 6 36 31. ˆ ˆ ˆ N; por tanto, la magnitud es de 31 N y su dirección es
a la derecha, es decir, en dirección positiva de x.
ejemPlo 8
Una partícula colocada en el origen de un sistema coordenado con car-ga 8.0 µC, interacciona con otra partícula con carga −6.0 µC que se encuentra en x = 1.20 m, y = 1.40 m (figura 1.6). ¿Cuál es el vector de fuerza resultante de la atracción entre ellas?
SoLución:
Usamos la expresión vectorial de la Ley de Coulomb, recordando los vec-
tores: r i j= +1 20 1 40. ˆ . ˆ m, magnitud r x y= + = + =2 2 2 21 20 1 40. .
Aplicación tecnológica: Purificadores de aire electrostáticosPuede observarse que en algunas ocasiones, cuando un rayo de Sol entra a una habitación en penumbras, se iluminan las partículas de polvo que flotan en el ambiente. Muchas son polvo simple, mientras que otras pueden ser partículas de materiales contaminan-tes; por ejemplo, algunos tipos de alergias se asocian con estos polvos, por lo que, en conjunto, se consi-deran como contaminación ambiental. Una forma de controlar este tipo de polución es por medio del uso de dispositivos que purifican el aire por medio de in-teracción eléctrica, con los que “jalan” las partículas de polvos del aire para atraparlas y mantenerlas en depósitos. La figura 1.7 muestra de manera esquemá-tica uno de estos aparatos. Lo que hacen es electrizar negativamente cada partícula de contaminante. Tal proceso de electrización consiste, hablando de mane-ra simplificada, en que uno de los componentes del aparato baña literalmente de electrones las partículas, con lo quedan cargadas negativamente y entonces son atraídas por la placa colectora que se encuentra cargada positivamente. En el capítulo 5 volveremos a examinar este aparato a la luz de nuevos conceptos.
Electrodo
Electrodo
Problemas ProPuestos
�. Dos partículas de polvo tienen cargas netas de +20 nC y −70 nC: están separadas a una distancia de 3.0 cm. ¿Qué fuerza existe entre ellas?
2. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas se encuentran separadas a una distancia de 1 m. poseen cargas de igual magnitud pero opuestas, y la fuerza entre ellas es de F0. Si la mitad de la carga de una se transfiere a la otra, entonces la fuerza entre ellas será:
a) F0
4 b)
F0
2 c)
34 0F d)
32 0F e) 3F0
3. una partícula con carga q se halla a una distancia d de otra partícula con carga q’. ¿Cuál es
la razón F
F12
21
si q’ = 2q? a) 1 b) 2 c)
12
4. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica que existiría entre tú y tu pareja si tuvieran cada uno 1.0 C de carga de signo opuesto y se encontraran separados por una distancia de 1.0 m entre los dos? ¿aumentaría la magnitud de la fuerza al disminuir la dis-tancia de separación?
5. tres partículas cargadas se colocan sobre el eje x de la siguiente manera: q1 = +30.0 µC en el origen, q2 = +10.0 µC en x = + 2.5 m y q3 = + 50.0 µC en x = + 3.5 m.a) Determinar la fuerza eléctrica resultante (magnitud y dirección) sobre q2.b) ¿Cuál sería la fuerza resultante si la carga q2 es de −10 µC en el mismo punto?
6. Supón que tu masa es de 70 kg y que te encuentras a una distancia de 1 cm de una placa conductora, encima de ésta. ¿Qué magnitud de carga común deben tener tanto tú como la
Figura 1.�
precipitador electrostático de polvos.
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introducción aL ELEctromagnEtismo10
placa para que puedas mantenerte suspendido sobre la placa a esta distancia? ¿Deben ser cargas de diferente signo?
7. tres pequeñas esferas conductoras con carga q1, q2 y q3, consideradas como cargas pun-tuales, están sobre una línea recta con q3 entre ellas. Si q1 = +25.0 μC, q2 = +20.0 μC y q3 = −10.0 μC. ¿en qué posición, a lo largo de la recta que las une, la fuerza eléctrica resul-tante sobre q3
es cero?
8. Dos esferas con cargas positivas, A y B, se colocan de manera que sus centros se encuen-tran separados 10.0 cm. la carga de la esfera A es de 2.5 × 10−8 C y la de B es de 1.2 × 10−8 C. Dibujar un diagrama de fuerzas para cada esfera, suponiendo la presencia de soportes fijos que impidan que las esferas se aceleren. Calcular la fuerza que A aplica a B y la que B aplica a A.
9. las partículas cargadas A, B y C ocupan posiciones fijas en los vértices de un triángulo rec-tángulo como lo muestra la figura 1.8. las cargas de las partículas son de la misma magnitud y no existen otras interacciones aparte de las electrostáticas. Dibujar un diagrama de fuer-zas para cada partícula que muestre todas las fuerzas aplicadas a la partícula. Describir cada fuerza por escrito.
Problemas ComPlementarios
�. Dos pequeñas partículas con igual magnitud de carga y del mismo signo están separadas 20.0 cm, la fuerza de repulsión entre éstas es de 0.240 N de magnitud. a) ¿Qué carga tiene cada esfera? b) ¿Si una partícula posee cuatro veces más carga que la otra?
2. ¿a qué distancia del núcleo se debe encontrar el electrón del átomo de hidrógeno para que la fuerza eléctrica entre éstos sea igual al peso del electrón sobre la superficie de la tierra?
3. Dos partículas con cargas q1 = q2 = 40 μC están sobre el eje y, en y1 = 0.250 m y en y2 = −0.250 m, interaccionan con otra partícula q = 5.0 μC colocada en x = 0.400 m, y = 0. Determina la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre q.
4. De un soporte están suspendidas del mismo punto y con hilos aislantes de longitud L, dos pequeñas esferas conductoras con carga idéntica q y masa m, cada hilo forma un ángulo θ con la vertical.a) Demuestra que la carga q de las esferas está dada por:
q Lmg
k= 2
tansen θ
θ
b) Calcula q si m = 8.0 g, L = 40 cm y 0 = 12
AC
B
Figura 1.�
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capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa 11
5. Cinco pequeñas partículas con carga idéntica Q están igualmente espaciadas en el arco de un semicírculo de radio R y se coloca otra más en el centro como se indica en la figura 1.9. a) ¿es cero el valor de la fuerza resultante sobre la carga en el centro del semicírculo? b) Si es diferente de cero, ¿cuál será la magnitud y dirección de la fuerza resultante?
6. para el problema propuesto 9, encuentra la fuerza (vectorialmente) total aplicada a la carga C.
Es probable que esta actividad ya la hayas realizado en años anteriores. Consiste en tomar un objeto de plástico (peine, pluma o varilla), frotarlo en forma vigorosa contra el pelo o una prenda de vestir de algodón o lana y acercarlo a trocitos de papel previamente pre-parados. Es evidente que el plástico atrae a los papelitos. Lo mismo puede hacerse con un globo que previamente se ha llenado con aire. Debe frotarse de igual manera, y colocarse la parte frotada contra una pared. El globo se quedará pegado a la pared. ¿Por qué se pe-gan los papelitos al objeto de plástico o el globo a la pared?
aCtividad Previa
Procesos de electrizaciónHasta el momento hemos hablado de objetos cargados que interaccionan y cómo calcular la fuerza entre ellos. Sin embargo, queda pendiente la pregunta: ¿de dónde les proviene la carga a tales objetos? El propósito de esta sección es dar una res-puesta a esta pregunta.
De los experimentos de Franklin expuestos anteriormente, parece que la acción de frotar un objeto es la causa directa que en el cuerpo se pierda el balance entre electrones y protones y, en consecuencia, queda cargado. Utilizaremos el término electrizado como sinónimo de cargado eléctricamente. De esta manera, inferimos
y
Q
Q
Q
Q
Q
Q
x
R
Figura 1.�
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introducción aL ELEctromagnEtismo1�
que el primer proceso de electrización (o proceso de cargar eléctricamente) un ob-jeto es por frotamiento. Tal proceso, de acuerdo con la metáfora de Franklin, se da porque si frotamos un objeto con otro (una varilla de plástico con un pañuelo de seda, por ejemplo) uno se lleva o arrastra los electrones del otro, de la misma mane-ra en que un borrador se lleva las partículas de gis o de tinta de un pizarrón. Así, el objeto que se lleva los electrones queda con carga negativa y el que los pierde con positiva.
Una consecuencia que podemos inferir de este comportamiento es que la mag-nitud de la carga de los dos objetos es igual; en otras palabras, el número de elec-trones que pierde uno es igual al que gana el otro. Este hecho conduce a enunciar el principio de conservación de la carga, el cual puede postular de la siguiente ma-nera: en todo proceso de transferencia de carga eléctrica, la carga total permanece constante. Este enunciado es otra forma de decir que el número de electrones que pierde un objeto es igual al que gana el otro. En símbolos matemáticos, el principio de conservación de la carga se escribe de manera análoga al principio de conservación de la energía:
ΔQ = 0
donde Q es la carga total involucrada en el proceso de electrización.
ejemPlo 9
Un ejemplo interesante de la conservación de la carga es la interacción entre un electrón e– y un positrón e+, ya que después de la interacción, simplemente desa-parecen, literalmente, y en su lugar aparecen dos fotones gamma de acuerdo con la siguiente reacción: e e− ++ → 2γ . La carga neta es cero antes y después del evento, por tanto se conserva.
Problemas ProPuestos
�0. Completa de acuerdo con la conservación de la carga la desintegración radiactiva típica espontánea:
U Th He92238 234
24→ +?
��. una reacción nuclear típica es el bombardear átomos de calcio con protones acelerados en un acelerador de partículas. en la colisión se desprende un neutrón del núcleo dejando estroncio como núcleo residual de acuerdo con la siguiente reacción. ¿Cuál es el valor de la carga X?
Ca p Sc nX2044 44+ → +
�2. para tener una idea aproximada de la relación entre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la gravitacional, regresemos a la actividad inicial. al frotarlo con tu cabello, el globo adquie-re una pequeñísima cantidad de carga. Si analizas el hecho de que el globo se queda pegado a la pared durante cierto tiempo, para las cantidades de masa y carga involucradas, ¿cuál fuerza, eléctrica o gravitacional, te parece más intensa? explica tu respuesta.
�3. un electroscopio está cargado y sus hojas están separadas entre sí. Se le acerca, sin tocar-lo, un objeto cargado previamente. entonces, se observa que las láminas del electroscopio adquieren una menor separación. ¿Qué carga tiene el objeto? ¿Del mismo signo o diferen-te de la del electroscopio? ¿Se “perdió” carga del electroscopio? ¿es posible crear carga eléctrica?
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�4. las partículas A y B con carga eléctrica se atraen una a la otra. las partículas B y C se repe-len entre ellas. Si se acercan A y C, entonces: a) se atraen b) se repelen
�5. las partículas cargadas A y B se repelen una a la otra. las partículas B y C también se repe-len entre sí. Si se acercan A y C, entonces: a) se atraen b) se repelen
�6. Si un objeto de la sustancia A se frota con otro de la sustancia B el primero adquiere carga positiva y B negativa. pero si un objeto de la sustancia A se frota con otro de la sustancia C, A adquiere carga negativa. ¿Qué sucederá si un objeto de la sustancia B se frota con otro de la sustancia C? a) B y C adquieren carga positiva b) B adquiere carga positiva y C carga negativac) B y C adquieren carga negativa d) B adquiere carga negativa y C carga positiva
�7. Dos esferas completamente idénticas A y B, que tienen igual magnitud de carga, se encuen-tran fijas y separadas a una distancia grande en comparación con su tamaño. Se repelen entre ellas con una fuerza eléctrica de 100 mn. enseguida, una tercera esfera idéntica C con una varilla aislante para sujetarla e inicialmente sin carga, hace contacto con la esfera A, luego con la esfera B y se separa. Calcula la fuerza entre las esferas A y B.
�8. las esferas pequeñas idénticas A, B y C son conductoras y están aisladas. inicialmente A y B tienen carga de +3 µC mientras que C tiene una carga de −6 µC. Se permite que los objetos A y C se toquen y luego se separen. Después las esferas B y C se tocan y separan.
�. Si se acercan las esferas A y B, entonces:a) se atraen b) se repelen c) no tienen efecto
2. Si ahora se acercan las esferas A y C, entonces:a) se atraen b) se repelen c) no tienen efecto
�9. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas tienen carga neta de −2.10 nC y + 6.10 nC. a) Calcula la fuerza eléctrica sobre cada una cuando están separadas 4.00 cm.b) las dos esferas se ponen en contacto mediante un cable conductor y enseguida se se-
para de ellas. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica entre éstas después de hacer el contacto? ¿es de atracción o de repulsión?
Del proceso de electrización descrito se puede inferir un resultado más. Cuando decimos que un objeto queda cargado positiva o negativamente, nos referimos a que ha perdido o adquirido un cierto número de electrones. Entonces, la cantidad de carga adquirida siempre va a ser un múltiplo entero de la magnitud de la car-ga del electrón (en valor absoluto). Este hecho describe una característica de la carga denominada cuantización. En otras palabras, decimos que la carga está cuantizada porque existe una cantidad mínima de carga, la carga del electrón (en valor absoluto), y cualquier otra cantidad de carga es un múltiplo entero de esa cantidad mínima. A la cantidad de carga mínima se le llama también el cuanto (quantum) de carga.
ejemPlo 10
En un aparato de Milikan para medir la carga del electrón se encuentra que una gotita de aceite tiene una carga negativa de 2.083 × 10−18 C. Determinar el número de electrones en exceso que tiene la gota.
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introducción aL ELEctromagnEtismo1�
SoLución: De la relación 1e = 1.602 × 10−19 C, obtenemos el número de electrones que tiene
la gota: Ne
eee = ×
×
=
−−
2 083 101
1 602 101318
19.
. /C
C (Recuerda que no hay frac-
ciones de electrones).
ejemPlo 11
¿Cuál es la carga total en C de los electrones contenidos en un pequeño bloque de aluminio de 10.0 g?
SoLución: Es necesario calcular primero el número de electrones; para esto necesitamos como datos el número y la masa atómica del átomo de aluminio, los cuales son (en la tabla periódica) 13 y 27, respectivamente. Además, un mol de cualquier sustancia tiene un número de partículas igual al número de Avogadro ( . )NA = ×6 023 1023 .
Entonces: número de moles en 10 g de Al: 101
270 37.g
mol
gmol
= de Al. Ense-
guida: número de átomos: 0 37 6 023 10 2 223. . .molátomos
mol×
= 33 1023× átomos. Lue-
go, número total de electrones: 13 2 23 10 29 1023 23( . )electr
átomoátomos× = × elec-
trones. Finalmente, la carga total en coulombs:
29 10 1 6 1023 19× ×
=
−electrC
electr. 44 6 105. × C una cantidad enorme.
Problemas ProPuestos
20. Si la carga eléctrica está cuantizada, de manera análoga hay otras propiedades físicas que también lo están, por ejemplo la energía. Si se usa este concepto, relaciona las columnas siguientes de cuantizaciones hipotéticas:
es el cuanto de materia que posee todas sus propiedades físicas y químicas.
Ladrillo
es el cuanto de los seres vi-vos que posee sus cualidades biológicas, físicas, químicas, de estructura, etcétera.
átomo
Si consideramos la construc-ción de un muro como he-cho por unidades enteras.
célula
2�. ¿Qué valor de carga negativa en coulombs existe en una cantidad de electrones igual al número de avogadro?
22. ¿Cuántos electrones es necesario que se transfieran de una moneda de cobre, inicialmente sin carga neta, para obtener una carga neta de +4.0 µC?
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Problemas ComPlementarios
7. Cuando se saca la ropa de una secadora, es frecuente que se pegue una prenda con otra. Sin embargo, algunos calcetines idénticos se repelen. explica ambos efectos.
8. las bolas de boliche usualmente adquieren carga por fricción con la mesa. ¿por qué no se manifiesta interacción eléctrica entre éstas?
9. una descarga eléctrica en el aire como el rayo transfiere cerca de 15 C entre la nube y el suelo. ¿Cuántos electrones se transfieren?
�0. Considerar un anillo de plata de 18.000 g (masa atómica de 107.9 g
mol y número atómico
47) y calcular: a) ¿cuántos protones hay en el anillo?; b) ¿cuál es su carga positiva total?;
c) si su carga neta es cero, ¿cuántos electrones tiene?; d) si por frotamiento adquiere una carga de 3.20 nC, ¿cuántos electrones tiene en exceso?; e) ¿en qué proporción aumenta su carga con respecto a la inicial?
eLectrización por inducción y conducción
Examinemos más de cerca el experimento descri-to en la actividad previa. Con lo estudiado hasta el momento puede describirse que lo que ocurre con el objeto de plástico (peine, pluma, etc.) es que éste simplemente se electriza por fricción, mientras que los trocitos de papel se mantienen eléctricamente neutros. ¿Cómo es posible que al acercarles el objeto cargado interaccionen con éste? Supongamos que el objeto adquirió carga negativa, entonces, al acercarle el objeto, los elec-trones en exceso interaccionan con los electrones de las moléculas del papel, de manera que la re-pulsión hace que estos últimos se reacomoden dentro de la estructura molecular del papel, ale-jándose de la zona de influencia de los electrones del objeto de plástico cargado. De esta manera, la parte cercana al objeto externo queda con su estructura mo-lecular intacta, pero con menos electrones, mientras que la zona opuesta queda con más electrones que en su estado original (fi-gura 1.10a). Esta redistribución equivale a tener cada trozo de papel con cargas positivas y negati-vas en dos partes de su estructura (figura 1.10b); decimos que el trozo de papel se ha polarizado. Así, como la parte positiva del papel se encuentra directamente frente al plástico cargado negativa-mente, se produce la atracción y el papelito “vue-la” para pegarse al objeto.
El proceso por el que se polariza el papel y, por consiguiente se electriza con las dos clases de carga, se denomina electrización por inducción; decimos que las cargas en el papel se han inducido por acción de objetos cargados externos. Es im-portante notar que la inducción no implica que al papel se le hayan agregado o re-movido electrones; solamente ha sufrido un reacomodo de sus propios electrones.
Figura 1.10
a)
b)
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introducción aL ELEctromagnEtismo1�
Una vez que el papel y el plástico están en contacto ocurre otro curioso fenó-meno. Si las condiciones de humedad ambiental y cuidado para hacerlo han sido favorables, se observa que, después de transcurridos unos segundos, el papelito se desprende con violencia del plástico; esto es, pareciera que el plástico “aventara” al papelito, no solamente que éste se desprendiese y cayera. ¿Por qué sucede tal efecto? Al estar en contacto físico, electrones en exceso del plástico se transfieren al papelito de manera que las cargas entre ellos se equilibran. Así, al tener la mis-ma carga, interaccionan para repelerse. Este proceso de transferencia de electrones entre objetos con cargas diferentes en contacto se denomina conducción. Tomando en cuenta todo esto, ¿cómo explicar lo que sucede con el globo inflado que se pega a la pared?
El campo eléctricoRegresemos nuevamente al caso gravitacional. La Ley de Gravitación Universal, ecuación 1.1, da lugar a la expresión más simple de la ecuación 1.3, por medio de la ecuación 1.2 se obtiene la intensidad del campo gravitacional. ¿Podríamos hacer algo semejante con la Ley de Coulomb? Después de todo, hemos probado que am-bas leyes son análogas y de la misma naturaleza. Por consiguiente, es posible deter-minar, a partir de la ecuación 1.5, la intensidad del campo eléctrico por la relación:
E kq
r=
′2
con lo cual la Ley de Coulomb se escribe como:
Fe = qE
La ecuación que define al campo eléctrico contiene la carga fuente q’, la razón por-que recibe este nombre se debe a que es la fuente del campo eléctrico, mientras que q es la carga de prueba, esto es, con la que se prueba la existencia de un campo eléctrico en una determinada región del espacio.
Vectorialmente, las ecuaciones para las intensidades de los campos gravitacional y eléctrico se escriben de la siguiente manera:
g Gm
rr
E kq
rr
=′
=′
2
2
ˆ
ˆ
donde g Ey reciben los nombres de campo gravitacional y
campo eléctrico, respectivamente. La ley de Coulomb queda, en notación vectorial, de la siguiente manera:
F qE F k
qq
rre e= ↔ =′
2ˆ
expresiones para las que hay que notar la semejanza algebrai-ca y, por ende, conceptual, con las relacionadas con la Ley de Gravitación Universal.
La ecuación para el campo eléctrico se interpreta geomé-tricamente a partir de la figura 1.4, en la que simplemente se borra el cuerpo de prueba, con lo que queda la situación de la figura 1.11. Con esto, la primera ecuación resulta ser la magnitud (la intensidad) del campo eléctrico calculada en el punto definido por el vector de posición r̂ (o sea a la dis-
z
x
y
r
q’ r̂
Figura 1.11
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capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa 1�
tancia r̂ medida desde el origen del sistema de referencia o el centro del objeto fuen-te). A tal punto se le conoce como punto de campo.
La dirección de los vectores de campo eléctrico depende del signo de la carga fuen-te. La manera de proceder para determinarla es similar a como se procede para probar la ley de los signos. La figura 1.11 muestra que si la carga fuente es positiva, el vector de campo eléctrico tiene la misma dirección que el vector unitario r̂ ; esto es, parecería que el vector
E sale del objeto cargado positi-
vamente. La dirección es radial hacia fuera. Pero si el signo de la carga fuente es negativo, entonces la introducción del signo en la ecuación implica que
E tiene dirección exactamente opuesta a r̂ , es decir, el
campo eléctrico entra al objeto cargado en forma negativa.Por otro lado, consideramos cuerpos cargados con simetría esférica. Para otras
simetrías, ¿cómo se considera el campo eléctrico? Debe notarse que la dirección radial es perpendicular a la superficie esférica. Por consiguiente, podemos afirmar que el campo eléctrico es, desde el punto de vista geométrico, perpendicular en todo punto a la superficie del cuerpo cargado sin importar la forma (o simetría) que ten-ga. Matemáticamente decimos que el campo eléctrico es normal a la superficie del cuerpo cargado, lo cual podemos apreciar gráficamente en la figura 1.12.
Hasta el momento hemos discutido los aspectos formales del campo eléctrico, sin establecer un concepto de él. Éste tendría dos vertientes: una física y otra ma-temática. La primera la inferimos de que lo obtuvimos de la Ley de Coulomb, en magnitud F = qE. De aquí que:
EF
q=
Como tenemos un cociente, decimos que el campo eléctrico nos representa cuánta fuerza debe aplicarse a cada coulomb para acelerar la partícula cargada. En otras palabras, cuántos newtons se aplican a cada coulomb, lo que indica que sus unida-
des son N
C. Así, como lo que esencialmente estamos estudiando son interacciones
entre cargas, la importancia de conocer el campo eléctrico reside en que éste nos in-dica cómo es dicha interacción, y basta con multiplicar su magnitud por el valor de la carga de prueba para obtener la magnitud de la fuerza generada por la interacción entre los dos cuerpos cargados.
Por su parte, el concepto matemático parte de lo que es un campo. Una primera aproximación a lo que es la encontramos en el llamado campo de los números rea-les, el cual se conceptualiza de la siguiente manera. Se tiene una recta dirigida, la conocida recta numérica. Ésta es, simplemente, una recta en la que a cada punto se le asocia un número, tal como se muestra en la figura 1.13.
Así, parte de la definición del campo de los números reales consiste en asociar a cada punto de la recta un solo número. De forma análoga, un campo vectorial (como el eléctrico y el gravitacional) es aquél en el que a cada punto del espacio se le aso-cia un solo vector. Aquí comenzamos en un espacio que puede ser bidimensional o
Figura 1.1�
−3 −2 −1Figura 1.1�
1 2 30
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introducción aL ELEctromagnEtismo1�
tridimensional. Como ejemplos de campos vectoriales bidimensionales tenemos los siguientes (figura 1.14a y 1.14b):
Si consideramos un objeto esférico con carga q’, en el espacio que lo rodea ten-dremos un campo eléctrico (un campo vectorial eléctrico) que, de acuerdo con la simetría del caso dada por la ecuación para el campo eléctrico, los vectores que lo representan tienen dirección radial hacia afuera en cada punto de campo de la región. En virtud de la dependencia inversa con el cuadrado de la distancia, la mag-nitud de cada vector se representa por el tamaño de la flecha cada vez más pequeña conforme nos alejamos del objeto fuente. Podemos pensar en varias imágenes para el campo eléctrico de un objeto esférico cargado: un alfiletero, un erizo o un pez globo.
Por otro lado, es importante darse cuenta de que los vectores que representan al campo eléctrico se suman (superponen), por lo que sobre una línea radial pode-mos representar todos los vectores como un solo vector, por lo que obtenemos una imagen como la de la figura 1.15. Una línea de esa naturaleza recibe el nombre de línea de fuerza.
Debe hacerse énfasis en que las líneas de fuerza son meras representaciones geométricas de todos los vecto-res del campo eléctrico. No tienen una existencia física real. Lo que existe realmente en el espacio es el cam-po eléctrico para el que las líneas de fuerza son una re-presentación conveniente. Éstas tienen la característica de ser abiertas, es decir, comienzan en la superficie de un cuerpo cargado y se extienden hasta el infinito (¿por qué?), o bien terminan en otro cuerpo cargado (ver la siguiente sección). Nunca se cierran sobre sí mismas.
También puede apreciarse que el conjunto de ellas es una representación de la intensidad del campo eléc-
trico. La ecuación para la intensidad del campo eléctrico muestra que a menor valor de r, mayor intensidad y viceversa. En la figura 1.15 puede apreciarse que a menor valor de r las líneas están más juntas; en otras palabras, mientras mayor sea la densidad de líneas de fuerza, mayor será la intensidad del campo eléctrico. Entonces, ¿cómo representar un campo eléctrico con intensidad constante en todo punto del espacio? Con líneas de fuerza paralelas. En tal caso se dice que el cam-po eléctrico es uniforme.
y
xa) b)
Figura 1.1�
Figura 1.1�
y
x
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ejemPlo 12
Una gotita de tinta en una impresora de inyección tiene una carga neta de 1.60 × 10−10 C y es atraída hacia el papel con una fuerza de 4.8 × 10−4 N. ¿Cuál es la mag-nitud del campo eléctrico asociado con esta fuerza? SoLución: De la relación F = qE, resolvemos para:
EF
q= =
××
= ×−
−
4 8 10
1 60 103 0 10
4
10
6.
..
N
C
N
C
ejemPlo 13
Determina la magnitud y dirección del campo eléctrico creado por una pequeña esfera conductora con carga neta de +15 µC a una distancia de 0.25 m de ella.
SoLución: Por tratarse de una carga positiva, la dirección del campo eléctrico es hacia fuera de la carga y su magnitud es:
E kq
r=
′= ×
×= ×
−
2
96
2
69 1015 10
0 252 2 10( )
..
N
C
ejemPlo 14
A una partícula de polvo de cemento con carga neta de −3.1 µC se le aplica una fuerza vertical hacia abajo de 6.2 × 10−8 N. a) ¿Cuál será la magnitud del campo eléctrico en el punto en que se encuentra la partícula? b) Si se colocara una partícu-la cargada de +10 µC en el mismo punto, ¿cuál sería la magnitud y dirección de la fuerza sobre esta partícula?
SoLución: a) La magnitud del campo es:
EF
q= =
××
= ×−
−−6 2 10
3 1 102 0 10
8
6
2.
..
N
C
N
C
b) si se coloca la carga positiva en el mismo punto la fuerza será en dirección opues-ta a la ejercida sobre la negativa, hacia arriba, y su magnitud será:
F qE= = × ×
= ×− −( ) . .10 10 2 0 10 2 0 16 2C
N
C00 7− N
ejemPlo 15
Una partícula muy pequeña de masa m y carga +q se suelta desde el reposo en el espacio comprendido por dos placas paralelas que generan un campo eléctrico uniforme creado, con igual magnitud de carga y de sig-nos opuestos como se muestra en la figura 1.16. Descri-bir su movimiento dentro del campo.
De acuerdo con todo esto, suponga-mos que colocamos un objeto con carga positiva dentro de un campo eléctrico. ¿En qué dirección se moverá con res-pecto a éste? ¿Por qué? Dar una expli-cación en términos vectoriales.