1 Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng Método da Resposta da Freqüência Introdução; Gráfico de Resposta de Freqüência; Medidas de Resposta de Freqüência; Especificação de Desempenho no Domínio da Freqüência; Diagrama Logarítmicos e de Magnitude de Fases;; Métodos de Resposta de Freqüência usando MATLAB.
21
Embed
Introdução; Gráfico de Resposta de Freqüência; Medidas de ...coral.ufsm.br/gepoc/renes/Templates/arquivos/elc1031/ELC1031.L8.1.pdf · Métodos de Resposta de Freqüência usando
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Método da Resposta da Freqüência
Introdução;Gráfico de Resposta de Freqüência;Medidas de Resposta de Freqüência;Especificação de Desempenho no Domínio da Freqüência;Diagrama Logarítmicos e de Magnitude de Fases;;Métodos de Resposta de Freqüência usando MATLAB.
2Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Introdução
A resposta de freqüência de um sistema é definida co mo a resposta de estado estacionário do sistema a um sinal senoidal de entrada.
A senóide é um sinal de entrada peculiar, e o sinal d e saída resultante em um sistema linear, bem como os sinais ao longo dest e, é senoidal em
regime permanente; difere da forma de onda do sinal de entrada somente no que diz respeito a amplitude e ângulo de fase.
Exemplo, seja o sistema Y(s)=T(s)R(s) com r(t)=Asen(ωt), então
1
( ) ( )( )
( ) ( )n
ii
m s m sT s
q s s p=
=+∏
=2 2
( )A
R ss
ωω+
=
Onde pi são pólos distintos. Então, na forma da fração parcial tem-se
12 2
1
( ) n
n
k k sY s
s p s p s
α βω
+= + + ++ + +
L
11 2 2
( ) np tp tn
sy t k e k e
s
α βω
−− + = + + + + L
-1L
α e β são constantes dependentes do problema. Para um sistema estável, todos pitem parte real negativa diferente de zero.
3Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
O sinal de saída em RP depende somente da magnitude e fase de T(jω) na freqüência ω.
1
( ) ( )( )
( ) ( )n
ii
m s m sT s
q s s p=
=+∏
=2 2
( )A
R ss
ωω+
=
-12 2
lim limt t
sy(t)
s
α βω→∞ →∞
+ = + L
Uma vez que os termos exponenciais caem a zero quando t→∞, então
-12 2
1( ) ( )
( ) ( ), ( )
sy(t)
s
A T j sen t
A T j sen t onde T j
α βω
ω ω ω φω
ω ω φ φ ω
+ = +
= +
= + =
L
4Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Gráficos de Resposta de Freqüência
A função de Transferência de um sistema G(s) pode ser descrita no domínio de freqüência pela relação
( ) ( ) ( ) ( )s j
G j G s R jXωω ω ω=
= +=
[ ] [ ]( ) Re ( ) ( ) Im ( )R G j X G jω ω ω ω= =
( )( ) ( ) ( ) ( )j jG j G j e Gφ ωω ω ω φ ω==
onde
Alternativamente, a FT pode ser representada por uma magnitude |G(jω)| e por uma fase φ(jω) como
[ ] [ ]2 221 ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
Xtg G R X
R
ωφ ω ω ω ωω
−= = +onde
Plano Polar
5Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
O diagrama polar é obtido a partir da relação
2
1
( ) 1( )
( ) 1
V sG s
V s RCs= =
+
Exemplo, Resposta de Freqüência de um filtro RC.Um filtro RC da figura tem a seguinte FT
E a FT senoidal em RP é1
1
1 1 1( )
( ) 1 1G j onde
RC j RCjω ωωω
ω
= = =+ +
12
1
12 2
1 1
( ) ( ) ( )
1 ( / )
( / ) 1
1 ( / )
1 ( / ) 1 ( / )
G j R jX
j
j
ω ω ωω ω
ω ωω ω
ω ω ω ω
+−=
+
= −+ +
=
6Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Uma solução alternativa usa as partes real e imaginaria de G(jω) como
Entao, a magnitude e o ângulo de fase são escritos como
2( ) ( )
( 1)s j
K KG s G j
j j jω ωω ωτ ω ω τ=
= = =+ −
Exemplo, Diagrama Polar de uma função de TransferênciaEste é util para investigar a estabilidade do sistema.Seja a FT
1
2 4 2
1( ) , ( )
KG j e tgω φ ω
ωτω ω τ−= = −
−−
2
2 2 4 2
( )( )
( ) ( )
K K jG j
j
R jX
ω ω τωω ω τ ω ω τω ω
− −= =− +
= +
-180-135-117-90φ(ω)
0Kτ/20,54Kτ/50,5∞|G(ω)|
∞1/τ1/2τ0ω
7Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Em ω=1/τ, tem-se
O ganho logarítmico é
Exemplo, Diagrama de Bode de um filtro RCSeja a FT
22
120log 20log 10log(1 ( ) )
1 ( )G ωτ
ωτ= = − +
+
1 1( )
( ) 1 1G j onde RC
RC j jω τ
ω ωτ= = =
+ +
21
20log 10log 1 10log 2 3,01 dBG ττ
= − + = − = −
8Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
A freqüência ω=1/τ é chamada de freqfreq üêüência de cortencia de corte .
O ângulo de fase deste circuito é 1( )j tgφ ω ωτ−= −
Curva assintótica para (jω+1)-1
9Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
A maior vantagem do gráfico logarítmico é a conversão de fatores multiplicativos como (jωτ+1) em fatores aditivos 20log (jωτ+1). Onde pode ser verificado
1
2
1 1
(1 )( )
( ) (1 ) (1 (2 / ) ( / ) )k k
Q
b ii
M RN
m k n nm k
K jG j
j j j j
ωτω
ω ωτ ζ ω ω ω ω=
= =
+=
+ + +
∏
∏ ∏
A Magnitude logarítmica de G(jω) é
1 1
2
1
20log ( ) 20log 20 log 1 20log ( ) 20 log 1
20 log 1 (2 / ) ( / )k k
Q MN
b i mi m
R
k n nk
G K j j j
j j
ω ωτ ω ωτ
ζ ω ω ω ω
= =
=
= + + − − +
− + +
∑ ∑
∑
O gráfico do ângulo de fase é
1 0 1 12 2
1 1 1
2( ) (90 ) k
k
Q M Rk n
i mi m k n
tg N tg tgζ ω ω
φ ω ωτ ωτω ω
− − −
= = =
= + − − − − ∑ ∑ ∑
10Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Os 4 tipos diferentes que podem ocorrer em uma FT são:1. Ganho Constante Kb;2. Pólos (ou zeros) na origem (jω);3. Pólos (ou zeros) sobre o eixo real (jωτ+1);4. Pólos (ou zeros) conjugados complexos [1+(2ζ/ωn)jω+(jω/ωn)2;
4. P4. Póólos (ou zeros) conjugados complexos los (ou zeros) conjugados complexos [1+(2 ζζζζ/ωωωωn)jωωωω+(jωωωω/ωωωωn)2:O fator quadrático devido a um par de pólos conjugados complexos pode ser escrito na forma normalizada 2 1[1 2 ] / nj u u onde uζ ω ω−+ − =
Assim, 2 2 2 2 12
220log ( ) 10log(( ) 4 ) ( )
1
uG u u u tg
u
ζω ζ φ ω − = − − + = − −
O valor Maximo da resposta de freqüência Mpω ocorre na freqüência de ressonância ωr.
Quando ζ→0, então ωr →ωn, a freqüência natural.
Freqüência de Ressonância21 2r nω ω ζ= −
Magnitude Máxima |G(ωr)|
( ) 12( ) 2 1p rM G
ωω ζ ζ
−
= = −
13Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
O valor Maximo da resposta em freqüência Mpω, e a freqüência de ressonância, ωr versus ζ para um par de pólos complexos
14Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Um Resumo de curvas assintóticas referentes aos termos básicos de uma FT é a seguir mostrado
15Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
16Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Um sistema pode ter zeros localizados no semiplano s da direita e ainda assim ser ESTAVEL.
Uma FT é chamada de uma FT de Fase MFase Míínimanima se todos os seus zeros estiverem no semiplano s da esquerda.
É chamada de FT de fase NFT de fase N ããoo--MMíínimanima se tiver zeros no semiplano s da direita.
Se os zeros da FT forem simétricos em relação ao eixo jω, não existe mudança na magnitude da FT, e a única diferença ocorre na característica da fase.Por comparação, verifica-se que o deslocamento da fase ao longo da faixa de freqüência de zero à ∞ é MENOR para o sistema com todos os zeros no semiplano s da esquerda.
1( )s z
G ss p
+=+ 2( )
s zG s
s p
−=+
17Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Exemplo:Desenhe o Diagrama de Bode da FT
2
5(1 0,1 )( )
(1 0,5 )(1 0,6( / 50) ( / 50) )
jG j
j j j j
ωωω ω ω ω
+=+ + +
Os fatores, na ordem em que ocorrem à medida que a freqüência cresce são:1. Um Ganho constante K=5;2. Um pólo na origem;3. Um pólo em ω=2;4. Um zero em ω=10;5. Um par de pólos complexos em ω=ωn=50.Primeiramente será calculada a magnitude de cada um dos fatores individuais:1. Ganho constante 20 log 5 = 142. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à ∞ com uma inclinação de -20
dB/década
18Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
1. Ganho constante 20 log 5 = 142. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à ∞ com uma inclinação de -20
dB/década3. Aprx. Assintótica da magnitude do pólo ω=2 tem inclinação de -20 db/década
alem da freqüência de corte ω=2, e a magnitude abaixo desta é zero.4. A magnitude assintótica para o zero em ω=10 tem inclinação de +20 db/década.5. A aproximação assintótica para o par de pólos complexos em ω=ωn=50 tem
uma inclinação de -40 db/década devido as formas quadráticas.
19Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Característica de magnitude de G(jω)
20Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
A característica de fase individuais para os pólos e zeros são:1. A fase do ganho constante é 00;2. A fase do pólo na origem é uma constante -900;3. Aprx linear para a fase do pólo em ω=2, tem um deslocamento de fase de -450
em ω=2;4. Aprx linear para a fase do zero em ω=10, tem um deslocamento de fase de +450
em ω=10;5. A característica de fase real para o par de pólos complexos em ω=ωn=50 é
mostrado na figura
21Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
A característica de fase total é obtida adicionando a fase devida a cada fator.
Para qualquer freqüência pode se calcular o deslocamento de fase real por