Prof. Juliano J. Scremin Teoria das Estruturas - Aula 10 Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas (1) • Introdução às Linhas de Influência; • L.I. de Vigas Biapoiadas; • L.I. de Vigas Engastadas em Balanço; 1
Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas - Aula 10
Linhas de Influência de Estruturas Isostáticas (1) • Introdução às Linhas de Influência; • L.I. de Vigas Biapoiadas; • L.I. de Vigas Engastadas em Balanço;
1
Aula 10 - Seção 1: Introdução às Linhas de Influência
2
Tipos de Carregamentos
3
Permanentes
Acidentais
Fixas
Móveis
Atuam sempre sobre a estrutura; Ex. peso próprio, revestimentos, equipamentos ...
Eventualmente atuam sobre a estrutura;
Intensidade pode ser variável no tempo; Posição de aplicação constante no tempo; Ex. vento, ocupação, água etc.
Intensidade constante no tempo; Posição de aplicação variável no tempo; Ex. Veículos – trens, caminhões, etc..
Definição de Linha de Influência
4
• A Linha de Influência (L. I.) de um efeito elástico “E” em uma dada seção transversal “S”, é a representação gráfica ou analítica do valor deste efeito, na seção em questão, produzido por uma carga concentrada unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.
• Efeitos Elásticos: Reações de Apoio; Momentos Fletores; Esforços Cortantes; Esforços Normais; Momento Torsor; Deslocamentos
(Deformações)
*** Uma linha de influência ( de qualquer efeito elástico ) diz respeito à apenas e tão somente uma única seção transversal da estrutura
analisada.
Linhas de Estado x Linhas de Influência
5
Linha (Diagrama) de Estado de Esforços Cortantes:
Linha de Influência de Esforços Cortantes para a seção “S”:
Convenção para os Diagramas de L.I.
6
Para qualquer efeito elástico, a convenção de sinais para as linhas de influência é:
Aula 10 - Seção 2: Linhas de Influência de Vigas Biapoiadas
7
Linhas de Influência de Reações de Apoio (1)
8
(Anti-Hor.)
(Anti-Hor.)
Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0
𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
𝐿𝐿⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 = 1 ⇒ 𝑹𝑹𝑩𝑩 𝒙𝒙 =
𝒙𝒙 − 𝒂𝒂𝑳𝑳
Σ𝑀𝑀𝐵𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 = 0
𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥
𝐿𝐿⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑃𝑃 = 1 ⇒ 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝒙𝒙 =
𝑳𝑳 + 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑳𝑳
Linhas de Influência de Reações de Apoio (2)
9
Linhas de Influência de Momento Fletor para - Seções Transversais entre os Apoios (1)
10
𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 . 𝑐𝑐 − 𝑃𝑃 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥
𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =
𝒄𝒄𝑳𝑳− 𝟏𝟏 𝒂𝒂 −
𝒄𝒄𝑳𝑳− 𝟏𝟏 𝒙𝒙
𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 . 𝑐𝑐
𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 +
𝒂𝒂𝑳𝑳
𝒄𝒄 −𝒄𝒄𝑳𝑳𝒙𝒙
11
Linhas de Influência de estruturas isostáticas
são SEMPRE combinações de retas
Linhas de Influência de Momento Fletor para - Seções Transversais entre os Apoios (2)
12
𝑀𝑀𝑆𝑆 =
𝑐𝑐𝐿𝐿− 1 𝑎𝑎 −
𝑐𝑐𝐿𝐿− 1 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)
1 +𝑎𝑎𝐿𝐿𝑐𝑐 −
𝑐𝑐𝐿𝐿𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)
Linhas de Influência de Esforço Cortante - Seções Transversais entre os Apoios (1)
13
𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 (𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑎 − 𝑅𝑅𝐵𝐵 𝑥𝑥
𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =−𝒙𝒙 + 𝒂𝒂
𝑳𝑳
𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥
𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 =𝑳𝑳 + 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙
𝑳𝑳
14
Linhas de Influência de Momentos Fletores e
Esforços Cortantes são SEMPRE NULAS sobre os apoios.
Linhas de Influência de Esforço Cortante - Seções Transversais entre os Apoios (2)
15
𝑉𝑉𝑆𝑆 =
−𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝐿𝐿
𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)
𝐿𝐿 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥𝐿𝐿
𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑎𝑎 + 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)
Aula 10 - Seção 3: Linhas de Influência de Vigas Engastadas em Balanço
16
Linhas de Influência de Reações de Apoio
17
(Anti-Hor.)
(Anti-Hor.)
Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 ⇒ 𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃. 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑴𝑴𝑨𝑨 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙
Σ𝐹𝐹𝑉𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 = 0 ⇒ 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏
Linhas de Influência de Momento Fletor
18
𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟎𝟎
𝑀𝑀𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = −𝑃𝑃. (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)
𝑴𝑴𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝒄𝒄 − 𝒙𝒙
𝑀𝑀𝑆𝑆 = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
Linhas de Influência de Esforço Cortante
19
𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟎𝟎
𝑉𝑉𝑆𝑆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃
𝑽𝑽𝑺𝑺𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏
𝑉𝑉𝑆𝑆 = 0 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 1 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
Resumo das LI’s de Vigas em Balanço
20
FIM
21
Exercício 10.1
22
• Trace a linha de influência das reações de apoio da viga abaixo e em seguida, considerando uma carga móvel de 120 kN calcule: a) RA máx - máxima reação de apoio em A b) RA mín - mínima reação de apoio em A c) RB máx - máxima reação de apoio em B d) RB mín - mínima reação de apoio em B e) RA 7 m – reação de apoio em A para carga na posição x = 7 f) RB 9 m – reação de apoio em A para carga na posição x = 9
• Trace a linha de influência de momento fletor para a seção S da viga abaixo, e em seguida calcule: - Para uma carga móvel concentrada de 350 kN determinar: a) máximo momento fletor na seção S e qual a posição da carga móvel para que este ocorra; b) mínimo momento fletor na seção S e qual a posição da carga móvel para que este ocorra; - Para uma carga móvel distribuída de 50 kN/m (com comprimento indefinido), calcular: c) máximo momento fletor na seção S; d) mínimo momento fletor na seção S;
Exercício 10.2
23
• Traçar as linhas de influência de momento fletor e esforço cortante para as seções S1, S2, S3 e S4:
Exercício 10.3
24
• Traçar as linhas de influência: a) Das reações de apoio em A (VA e HA); b) De momentos fletores para as seções S1, S2 e S3;
Exercício 10.4
25