Interpretac ó i n 1) De una función f:[0,4] → R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo (a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol: y - 3= (1).(x - 1) (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? creciente en (0,4), Máximox = 4. (c)[1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f. Sol: convexa (U) en (0,1), cóncava (∩) en (1,3), convexa (U) en (3,4), punto x = 1 y x = 3 son puntos de inflexión. 2) En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (-3, 3) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas. (a) [0'75 puntos] Razona cual debe ser el valor de f(0). (b) [0'75 puntos] Completa la gráfica de f. (c) [1 punto] Halla f '(x) para los x ∈ (-3, 3) en los que dicha derivada exista. 3) Sea f :[-1,4] → R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura. (a) [ 1'5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. (b) [ 1 punto] Estudia la concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?
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Interpretaci n - Ozono Centro de Estudios · PDF fileAlgebraicas Polinómicas 1) Sea la función definida por f(x) = x2|x-3| a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de
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Interpretac ói n
1) De una función f:[0,4] → R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo
(a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol: y - 3= (1).(x - 1) (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. ¿En qué punto alcanza la función su máximo absoluto? creciente en (0,4), Máximox = 4. (c)[1 punto] Estudia la concavidad y la convexidad de f.
Sol: convexa (U) en (0,1), cóncava (∩) en (1,3), convexa (U) en (3,4), punto x = 1 y x = 3 son puntos de inflexión. 2) En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (-3, 3) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas.
(a) [0'75 puntos] Razona cual debe ser el valor de f(0). (b) [0'75 puntos] Completa la gráfica de f. (c) [1 punto] Halla f '(x) para los x ∈ (-3, 3) en los que dicha derivada exista. 3) Sea f :[-1,4] → R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura.
(a) [ 1'5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus extremos relativos. (b) [ 1 punto] Estudia la concavidad y convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?
Algebraicas Polinómicas
1) Sea la función definida por f(x) = x2|x-3| a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de f Sol: x=3 continua y no derivable(Punto anguloso) b) [1’5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan Sol: Max (2,4) Min(3,0) y (0,0) 2 ) Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2 - |x|. (a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f. Sol:derivable en R - {0} (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Decrece:(0, 1/2). Crece: (1/2, + ∞ ). decrece: (- ∞ , -1/2) crece: (- 1/2, 0) (c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Min(1/2, - 1/4), Max(0,0). 3) Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2). (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. Sol: r. tangente: y – 0 = -2.(x – 1)La r. normal: y – 0 = [-1/(-2)].(x – 1) = 1/2.(x – 1). (b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f? Sol: es cóncava (∩) en (- ∞ , 4/6), convexa (U) en ( 4/6, + ∞ ), punto inflexión:(4/6, 20/27) 4) Sea f : R → R la función definida por f(x) = 2 − x.|x| . (a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f . (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. Sol:Es derivable (c) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. Sol: x = 2 es y + 2 = (- 4)(x – 2) 5) Sea f: R → R la función dada por f(x) =|8 – x2|. (a) [1 punto] Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). Sol:Minimo x = ± √(8) Máximos x=8 (b) [1'5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = -2. Sol: y = 4x + 2 corta a la función f(x) = |8 - x2| en x = -2 y en x = 2 ± √(24)
Racionales
1) Sea la función definida por (a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. Sol: x=0, y=3x (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).Sol: Creciente :(-∞,-1) U (1, ∞) Decreciente (-1,0) U (0,1) Mínimo relativo (1,4) Máximo relativo(-1,-4)
2) (2007/m5/b/2) Sea f la función definida, para x ≠ 2 y x ≠ - 2, por f(x) = (x2 + 3)/(x2 – 4).
(a) [1 punto] Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol :x = - 2 e y= 1. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Crece en (- ∞ , -2)U(-2,0). Decrece en (0, 2)U(2,+ ∞).Máximo relativo(0,-3/4) (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.
3) Sea f la función definida por . (a) [0.75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. Sol: No tiene puntos de corte Asíntotas x=0 (b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f.Sol: Máximo relativo en (-1, -4) y un mínimo relativo en (1, 4). (c) [0.75 puntos] Esboza la gráfica de f. 4) Sea f la función definida para x ≠ 2 por f (x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 ) (a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f . Sol: x = 2 y =x – 2 (b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Sol :f(x) siempre es creciente. (c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: mínimo absoluto (0, -3/2)
5) (2005/m2/a1) Sea f la función definida para x ≠ 0 por f(x) = (a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: x = 0, y = x (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: creciente (- ∞ , -1)U(1, + ∞ ) decreciente:(-1,0)U(0, +1) mínimo relativo:(1,2) máximo relativo(-1,-2). (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f 6) Sea f la función f(x) = (9x-3)/(x2 -2x) para x ≠ 0 y x ≠ 2. (a) [ 1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f.Sol: x = 0, y = 0 (b) [ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Sol:la función siempre es decreciente. (c) [ 0'5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .
Irracionales
1)(2007/M1/A1) Sea f: (0,+∞ ) → R la función definida por . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan). Sol: mínimo relativo (1/3,2√𝟑) Crece en x > 1/3, decrece en x < 1/3 (b) [1 punto] Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.
Sol: f(x) es convexa (U) en x < 1, f(x) es cóncava (∩ ) en x > 1, PI(1,4)
Trascendentes Exponenciales
1) (2009/m6/1A)Sea f:R → R la función definida por f ( x) =x+e-x . a) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f Sol: Crece x>0, Decrece x<0, Mínimo (0,1) b) [0’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f Convexa enR c) [0’75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol:y=x(+∞) d) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f 2) (2008/m6/1A) Sea f : R → R la función definida por f(x) = (3x − 2x2)ex . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f Sol: Decreciente en (- ∞ , -1’5) U (1, +∞ ) Creciente: (-1’5, 1) (b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Mínimo relativo(-1’5, - 9.e -1’5), Máximo relativo (1,e) 3) (2008/m5/1A) Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f(x)= ex(sen x + cos x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Sol: creciente en (0, π/2) U (3π /2, 2π ), decreciente en (π/2, 3π/2) (b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f. Sol: x = π /4 es punto de inflexión. x = π + π /4 es punto de inflexión. 4) (2007/m5/1A)Sea f : R → R la función definida por f(x) = (x - 3)e x . (a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: mínimo relativo(2, -e2). (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. Sol: y – (-2e) = -e(x – 1). 5) (2007/m4/b1)Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2e -x . (a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Mínimo relativo (0,0) Máximo relativo(2, 4/(e2)) (b) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: y = 0 (+∞) 6) (2005/m6/A2)Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x – 1)2.e –x. (a) [0’5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol:decreciente en (- ∞ ,1) U(3,+ ∞ ) creciente en (1,3) Min(1,0) Max(3, 4/(e3)) (a) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f. 7) (2005/m2/A1)Sea f la función definida para x ≠ por f(x) = e x /(x – 1) (a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) [0'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) [0'75 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. (d) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.
8) (2004/m3/b1)Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f(x)= ex (cos x + sen x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Sol: Crece: (0, π/2 ) U (3π/2, 2π), Decrece: (π/2, 3π/2 ). (b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. Sol: Máximo relativo(π/2, e π /2).
9) (2004/m3/b1)Sea f : R → R la función definida por . (a) [0’75 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f . Sol: y = 0 es una asíntota horizontal (AH) de f(x) en + ∞ , y también en - ∞. (b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). Sol: crece en (- ∞ , - 1)U (0, +1) U (1, + ∞ ) decrece en (- 1, 0), x = -1 y x = + 1, son máximos relativos, x = 0 es un mínimo relativos (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f . 10) (2003/m4/a/3)Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+3).e -x (a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol: y = 0(+∞) (b) [1'5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica. Sol: creciente en (- ∞ , -2), decreciente en (-2,+ ∞ ) cóncava (∩) en (-∞ , -1) convexa (U) en (-1,+ ∞ ) (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f. 11) (2002/m6/a/1) Considera la función f :R → R definida por f(x) = x2⋅ e(x/2)
(a) [ 1 punto] Calcula f(x) y f(x) Sol:(+∞)(∞) , (-∞)(0) (b) [ 1'5 puntos] Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).Sol: Creciente:(- ∞ , -4)U(0, + ∞) Decreciente:(-4, 0) Máximo:( -4, 16/e2 ) , Minimo:(0,0)
Logarítmicas
1)(2007/M3/A1) Sea f : (0,+ ∞ ) → R la función definida por f(x)= x2 Ln(x) (Ln denota la función logaritmo neperiano). (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: mínimo relativo(e (-1/2) , - 1/2e) decrece en x < e (-1/2) , crece en x > e (-1/2) (b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa Sol:y – (1/2)e = 2. e1/2 (x – e1/2) 2) (2006/m1/A1)Sea f : R → R la función definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). Sol: f(x) decrece en x < 0, crece en x > 0 Mínimo relativo (0,0) (b) [1’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. Sol: y – Ln(2) = -1(x + 1)
Definidas a trozos 1) Se sabe que la función f : (-1,+ ∞) → R definida por
f(x) = es continua en (-1,+∞). (a) [1'25 puntos] Halla el valor de a.¿Es f derivable en x = 0? Sol: a = 3, No existe f ‘(0) (b) [1'25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. mínimo relativo(1,1/2), Sol: decreciente en –1 < x < 0, decreciente en 0 < x < 1, creciente en x > 1 2) (2004/m3/a/2)Se sabe que la función f : (− 1, 1) → R definida por
es derivable en el intervalo (− 1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. c=1. (b) [0’5 puntos] Calcula la función derivada f ‘. (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = x. Sol: y – (35/32) = (1)(x + 1/8)), y – (1/2) = (-1)(x – 3/4)
3) (2003/m5/a1)Sea la función f : R → R definida por f(x) = . (a) [1'25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1. (b) [1'25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. Sol: es creciente en [0,1] y decreciente en ( - ∞ , 0) U (1, + ∞ ), x = 0 es un mínimo relativo. 4) (2001/m6/a1)Considera la función f : (- ∞ , 10) → R definida por f(x) =
= (a) [ 1 punto] Determina el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > 0).a=3 (b) [ 0'5 puntos] Esboza la gráfica de f. (c) [ 1 punto] Estudia la derivabilidad de f. Sol:La derivada no existe no en 2 ni en 5 5) (a) [ 1'25 puntos] Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la
función f : R → R definida por f(x) = admite recta tangente en el punto (0,1).Sol:b=1. a=-1, (b) [ 1'25 puntos] ¿Existen constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g : R → R
definida por g(x) = admite recta tangente en el punto (0,1)? (justifica la respuesta) Sol:No
1.- Sea f la función definida por f(x) = para x ≠ 0. Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. Sol: y = 3x , x=0 2.- Sea f la función definida como f(x) = x3/(x2 – 1) (a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f (b) Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f . (c) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.(sin derivar) Sol: x=1, x=-1, y = x. 3.- Sea f : R → R la función definida por f (x) = (5x + 8) / (x2 + x + 1). (a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. (b) Halla las asíntotas de la gráfica de f . (c) Esboza la gráfica de f . (d) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Sol y =0; 4.- Dada la función f definida para x ≠ -1 por f(x) = x3/(1 + x)2 , determina: (a) Las asíntotas de la gráfica de f. (b) Los puntos de corte, si existen, de dicha gráfica con sus asíntotas. (c ) Dibuja la gráfica Sol:x = - 1, A= (-2/3, -8/3). 5. - Considera la función f definida para x ≠ 2 por f(x) = (2x2 + 2)/(x + 2). (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. (c ) Dibuja la gráfica. Sol: x = - 2; y= 2x – 4 , f(x) está por encima de la A.O. en + ∞ f(x) está por debajo de la A.O. en - ∞ 6.- Sea f la función definida, para x ≠ 2 y x ≠ - 2, por f(x) = (x2 + 3)/(x2 – 4). (a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. (b) Esboza la gráfica de f. (c) Determina aproximadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.(sin derivar) Sol: x=2, x=-2, y=1(AHÍ=AHD). 7. - Considera la curva de ecuación y =(x3 +2x)/(x2 - 2x - 3). (a) [ 1'5 puntos] Determina sus asíntotas. (b) [ 1 punto] ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta. Sol: a) x = - 1 y x = 3, y= x + 2 b) P= (-2/3, 4/3) 8.- Para la siguiente función determina las asíntotas de la gráfica especificando su continuidad y el dominio. Sol: y = 2x- 1/ 2
9.- Dada la función f definida, para x ≠0, por f(x) = (ex +1) /( ex − 1 )determina las asíntotas de su gráfica. Sol: x = 0; AHD y=1; AHÍ y=-1.
10.- Sea f la función definida, para x ≠ 0, por . Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol: x=0, AHI y = x+1 AHD y = x+1
11.- Sea f : (1, + ∞ ) → R la función dada por , siendo Ln la función logaritmo neperiano. Define su dominio y su continuidad. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. Sol: y=0; 12.- Sea f : R → R la función definida por f (x) = (x2 − x + 1)/(x2 + x + 1) (a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la grafica de f . (b) Esboza la gráfica de f. (c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento aproximadamente. Sol: y=1. 13.- Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x ≠ 0, por f(x) = (x2 − 1)/x , g(x)= e1/x y h(x) = Ln |x|, Siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. (b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.
14 - Considera la función f : R → R definida por f(x) =e(2x)/(x.x + 1) (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f Sol :AHÍ=AHD= y = 1 15- Considera la función f definida por f(x) =(x2 - 2x + 2)/(x - 1) para x ≠ 1 (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. (c ) Esbozala. Sol: Y= 2x + 2, f(x) está por encima de la A.O: en - ∞, f(x) está por debajo de la A.O: en + ∞ 16- Determina a, b y c para que la curva sea la siguiente Sol: a = 3, b = 2 y c = -3
17.-[2’5 puntos] Sea f la función definida, para x ≠ 0, por . Determina las asíntotas de la gráfica de f. Sol x = 0, y = x+1(AO en±∞)
Cálculo de límites 1.- Calcula lim x→0 [ (ex – esen x) /(x2) ] Sol:0 2.- Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo neperiano),
lim x → 1 [ 1/Ln(x) – 2/(x2 – 1) ] Sol:1 3. -Cálcula siendo Ln la función logaritmo neperiano.Sol: 1/ 2 4.- Se sabe que es finito. Determina el valor de α y calcula el límite.Sol:0 5.- Se sabe que es finito. Determina el valor de a y calcula el límite.Sol:-1 /2 6.- Calcula [Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x Sol:-1 /2 7.- Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula Sol:1/2
8.- Calcula Sol:-1
9-. Calcula (a) (b) x2⋅ e -3x Sol:a)1/2 , b)0
10.- Calcula [xsen(x)] / tg(x2)Sol: 1 11.− Calcula los siguientes límites: Sol :a)+∞, b) 0
[ ]1
3b)a) 2x
3
x +−
−∞→+∞→ xlímx logxlím
x
12.- Calcula [ ]xx
xxxxxxx 2
13b)325a)6
22
−
−+−−
−∞→+∞→límlím a)-∞, b) 0
13. -Calcula el siguiente límite: 11242
0 −+
−+→ x
xxlím Sol:1,
14.- Halla los siguientes límites: [ ] ( )xx
xx
x
x
1b)2a)
22 +
−−∞→+∞→
lnlímlím Sol :a)+∞, b) 0
Derivabilidad y continuidad 1.- Se sabe que la función definida por , es derivable. Determina los valores de a y b Sol: b=1, a=2. 2.- Sea f : R → R la función definida por (a) Estudia su continuidad y derivabilidad. (b) Determina sus asíntotas. (c) Esboza la gráfica de f. Sol: a)Es continua no derivable, b) AHÍ y=0. 3 .- Sea f : R → R la función continua definida por f(x) = , donde a es un número real. (a) Determina a. (b) Halla la función derivada de f. Sol: a=2 , a=3
'f(x) = 4. - Estudia la derivabilidad de la función f :R → R definida por f(x) = Sol: Es derivable en todo R 5.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función f : (0,+∞ ) → R . Calcula su derivada Sol: No es derivable en x=0 ni en x=1. 6.-Calcula a y b sabiendo que la función f: R → R definida por f(x) = sea derivable. Sol: a = -20 y b = -5. 7. Considera la función f: R → R definida por f(x) = (a) Calcula los límites laterales de f en x = 0. ¿Es continua f en x=0? NO (b) Calcula el valor de la derivada de f en x = 1. Sol:
8. Sea f : R → R la función definida . Estudia la derivabilidad de f(x)=. Sol: derivable en R - {- 2} 9.- Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f. f(x) = . Estudia su continuidad y derivabilidad Sol: no es derivable en x =0 f no es continua en x = 1
10.- Sea f(0,+∞]→R la función dada a) Sabiendo que f es continua, calcula a Sol a= 1 b) Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación. y=0 en(+∞) 11-Estudia la derivabilidad de la función f : R → R definida por
f(x) = . Sol: derivable en R - {-1,1}
12-Considera la función f :R → R la función definida por f(x) = . Determina a y b sabiendo que f es derivable. Sol: a = 1/3. b=1.
Recta tangente y normal 1.- Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = 4 – x
2
(a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa
x = 2. Sol: y = (1/4)x-(1/2)
(b) [1'5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es
perpendicular a la recta x + 2y – 2 = 0. Sol: (-1, 3).
2.- Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x
2 +3x), donde ln denota el
logaritmo neperiano.
(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta
tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0. Sol: (3, ln(18)).
(b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f
en el punto de abscisa x=3.
3.- (2010/m3/b1) [2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida como
f(x) = (x + 1).3√(
3 – x). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a
la gráfica de f en el punto de abscisa x = −5 y en el punto de abscisa x = 2.
Sol: x=-5, y – (-8) = (7/3)(x+5), y – (-8) = (-3/7)(x+5); x=2, y = 3 ,x=2
4.- (2008/m4/A1) [2’5 puntos] Dada la función f : R ® R definida por f(x) = (x +
1)/(ex), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de
inflexión.Sol: y – (2/e) = (-1/e)(x – 1)
5.-Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2).
(a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el
punto de abscisa x = 1.Sol: y – 0 = -2.(x – 1), y – 0 = 1/2.(x – 1)
(b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene
puntos de inflexión la gráfica de f? Sol: f(x) es cóncava (∩) en (- ∞ , 4/6), f(x) es convexa
(U) en ( 4/6, + ∞ ), punto inflexión (2/3, 20/27).
6.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = 2 − x.|x| .
(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f .
(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. Sol: Es derivable
(c) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 2. Sol:y + 2 = (- 4)(x – 2)
7.- (a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 que es
paralela a la recta 4x + y + 3 = 0. Sol: en x = -2 es y – 4 = -4 (x+2)
(b) [1’5 puntos] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = x2 que
pasan por el punto (2, 0). Sol: x = 0 es y =0, x= 4 es y – 16 = 8 (x– 4)
8.- [2'5 puntos] De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas,
determina las que son tangentes a la curva de ecuación y = 1/4 x2 + 4x + 4. Calcula los
puntos de tangencia correspondientes. Sol: La recta es y = 6x (4,24) ;y = 2x (-4,-8)
9.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = x3 - 5x
2 + 5x + 3 y sea r la recta de
ecuación 2x + y = 6.
(a) 1'5 puntos] Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta
tangente sea r. Sol:x = 1
(b) 1 punto ¿Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica
sea r? Justifica la respuesta. Sol: No puede ser en x=1 y x=3
Función con parámetros 1.- Sea f la función definida como f(x) = (ax
2 + b) / (a – x) para x ≠ a.
(a) [1'5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una
asíntota oblicua con pendiente - 4. Sol: a=4, b=10.
(b) [1 punto] Para el caso de a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 Sol: y – 5 = 9(x – 1).
2.- [2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por f(x) =
Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. Sol: a=0, b=4,c=0
3.- Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =
(a) 1’75 puntos Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) =
f(4), determina los valores de a, b y c. Sol: a=-3 , b=4, c=1
(b) 0’75 puntos Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f( abscisas
donde se obtienen y valores que se alcanzan). Sol: Maximo absoluto: en x = 0 y x = 4
vale 4 Mínimo absoluto: x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.
4.- Dada la función f : R → R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx2 + cx + d, determina los
valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal
en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es