Interpolacion

1

Titulación:

Asignatura:

Autor:

Ingeniero Geólogo

Análisis Numérico

César Menéndez

Planificación:

Materiales:

Conocimientos previos:

Interpolación Numérica

4 Teoría+1 Prácticas+2 LaboratorioMATLABTmas. básicos de Cálculo –Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales –

Interpolación NuméricaAnálisis Numérico por César Menéndez Fernández

2

Ejemplo

Ensayos en laboratorio que determinan la permeabilidad de un material para diferentes presionesEstimar su permeabilidad para presiones intermediasDeterminar el tipo de problema y seleccionar la base de funciones

– ¿Existencia y unicidad de solución?– Soporte {x0,x1,x2,…xn}

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0-0 .0 0 5

0

0 .0 0 5

0 .0 1

0 .0 1 5

0 .0 2

0 .0 2 5

0 .0 3

p re s ió n (a tm )

perm

eabi

lidad

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


3

Interpolación

Sustitución de una función (conocida o tabulada) por otra más simpleInterpolante como combinación de la base de un espacio funcional:

– Funciones base: polinómicas, trigonométricas, …

Función interpolante “coincide” con la inicial– Lagrange: valor de la función en algunos puntos– Taylor: valor de las derivadas en un punto– Hermite: valor de la función y la derivada– …

( ) ( )0

n

i ii

x xψ α ϕ=

=∑

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


4

Interpolación

Plantear las condiciones de existencia y unicidad de solución del problema general de interpolaciónSaber que el problema de Lagrange tiene un único polinomio de interpolación de grado mínimoConocer las diferentes formas de representar dicho polinomioConocer las ventajas e inconvenientes de las formas de Lagrange y de NewtonComprender la relación entre diferencias divididas y expansión en serie de Taylor y su uso para acotar el errorComprender las limitaciones e incertidumbres de la extrapolaciónValorar las ventajas e inconvenientes de los diferentes interpolantes segmentarios

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


5

Problema de Lagrange

– Existencia y unicidad asociadas al sistema

– Base polinónica: soporte sin puntos repetidos

– Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y comprendidos en [- π , π ]

( ) ( ) ( ) ( )0

: , 0,1,n

i i k ki

x x x f x k nψ α ϕ ψ=

= = =∑

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

0 1

n

n

n n n n n n

x x x f xx x x f x

x x x f x

ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ α

ϕ ϕ ϕ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

{ }2 31, , , , nx x x x…

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,sin ,cos , sin ,cos ,x x kx kx…

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducciónReglas simples

- Cerradas- Abiertas- Ejemplos

Reglas CompuestasCuadratura GausianaInt. RombergInt. Adaptativa

Bibliografía

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. SegmentariaInt. Multidimensional

Bibliografía


6

Problema de Hermite

– Existencia y unicidad asociadas al sistema

– Base polinónica: soporte sin puntos repetidos

– Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y comprendidos en [- π , π ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

0 1 1 2 1

0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1

0 1 1 2 1 2 1

n n n

n n n

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n n n n

x x x x xx x x x x

x x x x xx x x x x

x x x x x

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α

+ +

+ +

+ +

+ + −

+ + +

⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ⎝⎝ ⎠

( )( )

( )( )

( )

0

1

0

n

n

f xf x

f xf x

f x

⎛ ⎞⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1

0

: , 0,1,n

k ki i

i k k

x f xx x k n

x f xψ

ψ α ϕψ

+

=

=⎧⎪= =⎨ ′ ′=⎪⎩∑

{ }2 3 2 11, , , , nx x x x +…

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,sin ,cos , sin ,cos ,x x kx kx…

Descripción

Objetivos


Bibliografía


7

Problema de Taylor

– Existencia y unicidad asociados al sistema

– Series de potenciasCriterios del cociente y de la raíz

– Si L=∞, converge en x=0, si L=0, converge ∀x– Sino converge para |x|<1/L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

: , 0,1,n

k ki i

ix x a f a k nψ α ϕ ψ

=

= = =∑

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

0 1 0

0 1 1

0 1 0

n

n

n n n nnn

a a a f aa a a f a

a a a f a

ϕ ϕ ϕ αϕ ϕ ϕ α

αϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )¿ ?

0

convergekk

kx xα ψ

∞

=

⎯⎯⎯⎯→∑

1lim limk kkk k

k

L Lαα

α+

→∞ →∞= ∨ =

Descripción

Objetivos


Bibliografía


8

Ejemplos

Existencia y unicidad de– F(-π)=1,F(0)=0,F(π)=1

Base polinómica: solución única

{1,sen(x),sen(2x)}: sin solución{1,cos(x),cos(2x)}: solución múltiple

– F(x0)=y0,F(x1)=y1,F’(x2)=y2Base polinómica:

– Solución única si

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 12 2

1 12 2

1 cos 0 cos 2

0 1 cos cos 2

x x x

x x x

ψ

ψ

−

−

= + +

= + +

i

i

( ) ( )2 212 0 0P x x xπ= + +

( )10 1 2 0 12x x x x x≠ ∧ ≠ +

Descripción

Objetivos


Bibliografía


9

Problema de Lagrange

Resolución “frontal” del sistema desaconsejableÚnica solución de grado menor o igual a nFormas “más simples” de escribir el polinomio

– Forma de Lagrange

– Forma de Newton

( ) ( ) ( ) ( )00

:nn

n n ki i i

ki i kk i

x xx f x L x L xx x

ψ==≠

−= =

−∑ ∏

( )1

0 0

in

i ki k

x x xψ α−

= =

= −∑ ∏

( ) ( ) ( )0

: , 0,1,n

kn i n k k

i

P x x P x f x k nα=

= = =∑Descripción

Objetivos

TemarioIntroducciónInt. Polinomial

- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General- Int. Tchabishev.

Int. SegmentariaInt. Multidimensional

Bibliografía


10

Forma de Lagrange (I)

Grado n y ademásEjemplo

( ) ( )0

:n

n n kki i k i

k i kk i

x xL x L xx x

δ=≠

−= =

−∏

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

3 232

2 1 2 4 41 2 1 1 1 2 6x x x x x xL x+ + − + − −

= =+ + − −

( ) ( )( )( )( )( )( )

3 231

2 1 2 4 41 2 1 1 1 2 6x x x x x xL x+ − − − − +

= =− + − − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

3 233

2 1 1 2 22 2 2 1 2 1 12x x x x x xL x+ + − + − −

= =+ + −

( ) ( )( )( )( )( )( )

3 230

1 1 2 2 22 1 2 1 2 2 12x x x x x xL x+ − − − − +

= =− + − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 313 35 50 1 2 3

03 2 3 2 3 2 3 2

13 35 5

3 21 1 210 2 5

3 2

2 2 4 4 4 4 2 23 212 6 6 12

3

n

n i ii

P x f x L x L x L x L x L x

x x x x x x x x x x x x

x x x

=

= = − − − + =

− − + − − + + − − + − −= − − − +

− −= + + −

∑

3/5X3=2-2X2=1-3X1=-1-13/5X0=-2F(x)x

Descripción

Objetivos


- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General- Int. Tchabishev


Bibliografía


11

Forma de Lagrange (II)

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5funcióninterpolante

-2 0 2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

L03 (x)

L13 (x)

L23 (x)

L33 (x)

Descripción

Objetivos


- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev- Int. Tchabishev


Bibliografía


12

Forma de Lagrange (III)

Ventajas– Fácil de calcular– Independientes de la

función a interpolar

Inconvenientes– El interpolante puede

ser mucho más simple que los polinomios de Lagrange

– Si cambia el soporte los polinomios obtenidos son inútiles, es necesario repetir todo el proceso

Descripción

Objetivos




Bibliografía

Polinomio:y=2x-1– {(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

03 3 3 30 1 2 3

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2

5 3 1 3

2 2 4 45 312 64 4 2 21 3

6 120 0 2 1

n

n i ii

P x f x L x

L x L x L x L x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

=

= =

= − − + + =

− − + − − += − − +

−+ − − + − −

+ +−

= + + −

∑


13

Forma de Newton – Diferencias Divididas (I)

Origen:

Propiedades– Simetría

– Cálculo

( ) ( ) [ ] ( )1 1

0 10 00 0

, ,i in n

n i k i ki ik k

P x x x f x x x x xα− −

= == =

= − = −∑ ∑∏ ∏…

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

10

1

10

n

n n n n kk

n

n n n kk

Q x P x P x x x

P x P x x x

α

α

−

−=

−

−=

= − = −

= + −

∏

∏

[ ] ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )0 10 0 0 1 1

0

, ,k k

i ik k

i i i i i i i i ni j

jj i

f x f xf x x x

x x x x x x x xx x= = − +

=≠

= =− − − −−

∑ ∑∏

…

[ ] ( )

[ ] [ ] [ ]0 0

0 1 1 1 10 1 1

0

, , , ,, , , k k k

k kk

f x f x

f x x x f x x xf x x x x

x x− −

−

=

−=

−… …

…

Descripción

Objetivos




Bibliografía


14

Forma de Newton – Diferencias Divididas (II)

Cálculo de la tabla de Diferencias divididas

x3=2

x2=1

x1=-1

x0=-2

F(x)x

( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ]( )( ) ( )

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 0 1 1

, , ,

, ,n

n n

P x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x −

= + − + − − +

− − −

…

…

[ ] 130 5f x −=

[ ]1 3f x = −

[ ]2 2f x = −

[ ] 33 5f x =

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )

130 1 5

0 10 1

3 2,2 1 5

f x f xf x x

x x

− − −−= = = −

− − − −

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )

1 21 2

1 2

3 2 1,1 1 2

f x f xf x x

x x− − − −

= = =− − −

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )

32 3 5

2 32 3

2 13,2 1 5

f x f xf x x

x x− −−

= = =− −

[ ] [ ] [ ]0 1 1 20 1 2

0 2

, , 3, ,10

f x x f x xf x x x

x x−

= =−

[ ] [ ] [ ]1 2 2 31 2 3

1 3

, , 7, ,10

f x x f x xf x x x

x x−

= =−

[ ] [ ] [ ]0 1 2 1 2 31 2 3 4

0 3

, , , , 1, , ,10

f x x x f x x xf x x x x

x x−

= =−

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

13 32 15 5 10 10

3 13 7 15 5 10 10

2 2 1 2 1 1

2 2 1 2 1 1nP x x x x x x x

x x x x x x

− −= + + + + + + + + −

= + − + − − + − − +

Descripción

Objetivos


- Lagrange- Dif. Divididas- Acotación del error- Dif. Div. General.- Int. Tchabishev


Bibliografía

( ) 3 21 1 23 10 2 5 3P x x x x= + + −


15

Forma de Newton – Diferencias Finitas

Puntos equiespaciados xk=x0+k h– Progresivas– Regresivas

Relaciones–

–

–

–

–

( )0

1n

n ink k i

i

nf f

i−

+=

⎛ ⎞Δ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( ) 1 11 1 y n n n

k k k k k kf f x f x f f f− −+ +Δ = − Δ = Δ −Δ

( ) ( ) 1 11 1 y n n n

k k k k k kf f x f x f f f− −− −∇ = − ∇ = ∇ −∇

1 y n nk k k k nf f f f− −∇ = Δ ∇ = Δ

[ ]1! , , ,n nk k k k nf n h f x x x+ +Δ =

( )0

1n

n ink k n i

i

nf f

i−

− +=

⎛ ⎞∇ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( )0

1n

n ink k i

i

nf f

i−

+=

⎛ ⎞Δ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

[ ]1! , , ,n nk k n k kf n h f x x x− −∇ =

Descripción

Objetivos




Bibliografía


16

Error en la interpolación de Lagrange (I)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

0

max

1 !

nn

x In k

k

f xf z P z z x

n

+

∈

=

− ≤ −+ ∏

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1

min max0

,1 !

n n

n kk

ff x P x x x I x x

nξ

ξ+

=

− = − ∈ =+ ∏

[ ]( ) ( )( ) ( )0 1 min max, , ,

!

n

n

ff x x x I x x

nξ

ξ= ∈ =…

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

0

maxmax max

1 !

nn

x In kx I x I k

f xf x P x x x

n

+

∈

∈ ∈=

− ≤ −+ ∏

Descripción

Objetivos




Bibliografía


17

Error en la interpolación de Lagrange (II)

Datos provienen de

– Valor del interpolante en x=0

– Error máximo cometido en x=0

– Error máximo cometido en todo el intervalo

[ ]( ) ( )

[ ] ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

5 4 3 24

52,2 2,2 2

25 10 50 5 5max max 24 1221

122 610 0 0 2 0 1 0 1 0 24! 3

x x

n

x x x x xf xx

f P

∈ − ∈ −

+ − − + += − ≈

+

− ≤ + + − − =

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

3 3

2,2 0 0 0

2,2

max 4

122 61max 44! 3

k kx k k x

nx

x x x x

f x P x

∈ −= = =

∈ −

− = − =

− ≤ =

∏ ∏

( )3

2

51

xf xx−

=+

( ) 3 21 1 210 2 50 0 0 0 3 3nP = + + − = −

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5f(x)-Pn (x)

erro

r

Descripción

Objetivos




Bibliografía


18

Error en la interpolación de Lagrange (III)

Datos equiespaciados xk=x0+k h– Interpolación lineal

– Interpolación parabólica

– Interpolación cúbica

[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )0 0

2 21

211 4, 0

max maxmax max

2! 2!h

x I x Ikx x x x I k

f x f xf x P x x x h

+

∈ ∈

∈ ∈=

− ≤ − =∏

[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )0 0 2

3 32

322 3 3, 0

max maxmax max

3! 3!h

x I x Ikx x x x I k


+

∈ ∈

∈ ∈=

− ≤ − =∏

[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )0 0 3

4 43

43, 0

max maxmax max

4! 4!h

x I x Ikx x x x I k


+

∈ ∈

∈ ∈=

− ≤ − =∏

4.2901 104995.841964.9292 103816.90095640.601073.63144

nn [ ]( )

0, 0

maxn

s n k

s k∈

=

−∏ [ ]( )

0, 0

maxn

s n k

s k∈

=

−∏

Descripción

Objetivos




Bibliografía


19

Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (I)

El mástil de un barco construido con una nueva aleación de aluminio tiene un área transversal de 5.65 cm2. Se desarrollan pruebas para definir la relación entre esfuerzo (fuerza aplicada al material por unidad de área) y deformación (deflexión por unidad de longitud), cuyos resultados se muestran en la tabla. Utilize polinomios de varios grados para obtener la deformación del mástil debida a la fuerza del viento, evaluada en 2900Kg. . ¿Cual parece ser el más adecuado?.

0.0005126

0.0085703

0.0013365

0.006562

0.0045527

0.002506

Deforma.(m)

Esfuerzo(Kg/cm2)Descripción

Objetivos




Bibliografía


20

Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (II)

0.0045

0.002

F(x)

0.1190 10-3527

506

x

0.006 0.0429 10-3 -0.1361 10-55620.0013 0.0239 10-3 0.0117 10-5 -0.1048 10-73650.0085 0.0213 10-3 -0.0018 10-5 -0.0077 10-7 0.4930 10-107030.0005 0.0139 10-3 0.0031 10-5 -0.0011 10-7 -0.0164 10-10 0.1340 10-12126

P1(x)=0.002+ 0.1190 10-3 (x-506)

Interpolante

2.865992 10-3

P(z)

P2(x)= P1(x) - 0.1361 10-5 (x-506)(x-527) 3.001836 10-3

P3(x)= P2(x)- 0.1048 10-7 (x-506)(x-527)(x-562) 2.950845 10-3

P4(x)= P3(x) + 0.4930 10-10 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365) 2.986407 10-3

P5(x)= P4(x) + 0.1340 10-12 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365)(x-703) 2.968062 10-3

Punto de interpolación: z= 2900/5.65= 513.2743

Descripción

Objetivos




Bibliografía


21

Ejemplo 1 de Interpolación de Lagrange (III)

100 200 300 400 500 600 700 8000

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3 P1 (x)

100 200 300 400 500 600 700 8000

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10-3 P2 (x)

100 200 300 400 500 600 700 800-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10-3 P3 (x)

100 200 300 400 500 600 700 800-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01P4 (x)

100 200 300 400 500 600 700 800-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12P5 (x)

100 200 300 400 500 600 700 800-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12P1 (x)

P2 (x)

P3 (x)

P4 (x)

P5 (x)

P1(x)=0.002+ 0.1190 10-3 (x-506)

Interpolante

2.865992 10-3

P(z)

P2(x)= P1(x) - 0.1361 10-5 (x-506)(x-527) 3.001836 10-3

P3(x)= P2(x)- 0.1048 10-7 (x-506)(x-527)(x-562) 2.950845 10-3

P4(x)= P3(x) + 0.4930 10-10 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365) 2.986407 10-3

P5(x)= P4(x) + 0.1340 10-12 (x-506)(x-527)(x-562)(x-365)(x-703) 2.968062 10-3

505 510 515 520 525 5302

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10-3

P1 (x)

P2 (x)

P3 (x)

P4 (x)

P5 (x)

Descripción

Objetivos




Bibliografía


22

Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (I)

Se desea tabular la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante puntos equiespaciados.¿Cuántos puntos son necesarios para que al interpolar linealmente entre dos valores consecutivos el error entre la función y el interpolante no supere lmedia unidad?. ¿Y si se utiliza una interpolación con tres puntos consecutivos?.¿Cual es el máximo error cometido al utilizar 5 puntos equiespaciados? ¿ Y si se toman 9?

– Interpolación lineal

– Interpolación cuadrática

[ ]( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

[ ]( ) ( )

0 0

1

2

211 4,

2

,

211 4,

maxmax

2!cos 2sin max 2

2 2max 0.5 0.2940 1 23 puntos2!

h

k k

x I

x x x

x x

x

x x x

f xf x P x h

f x x e f x x e f x e

ef x P x h h Nh

π

π π

π π

+

+

∈

∈

∈ −

∈

− ≤

′′= → = − → ≤

− ≤ < → < → > + =

[ ]( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

[ ]( ) ( )

0 0 2

1

3

322 3 3,

3

,

322 3 3,

maxmax

3!2cos 2sin max 4

4 2max 0.5 0.4383 1 16 puntos3!

h

k k

x I

x x x

x x

x

x x x

f xf x P x h

f x x e x e f x e

ef x P x h h Nh

π

π π

π π

+

+

∈

∈

∈ −

∈

− ≤

′′′ = − − → ≤

− ≤ < → < → > + =

Descripción

Objetivos




Bibliografía


23

Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (II)

– Interpolación con 5 puntos

– Interpolación con 9 puntos

[ ]( ) ( )

( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )( )

[ ]( ) ( )

5

54,

5 3 8

, ,

5

4,

maxmax 3.6314

5!max max 4 sin cos 8 10

8 2max 3.6314 53.57465! 4

x I

x

x

x x

x

f xf x P x h

f x e x x e h

ef x P x

π π

π

π π π π

π

π π

π

∈

∈ −

∈ − ∈ −

∈ −

− ≤

= − ≤ ⋅

⎛ ⎞− ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]( ) ( )

( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )( )

[ ]( ) ( )

9

3 98,

9

, ,

93

8,

maxmax 4.9292 10

9!max max 16 sin cos 32

32 2max 4.9292 10 1.14389! 8

x I

x

x

x x

x

f xf x P x h

f x e x x e

ef x P x

π π

π

π π π π

π

π π

π

∈

∈ −

∈ − ∈ −

∈ −

− ≤ ⋅

= − ≤

⎛ ⎞− ≤ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Descripción

Objetivos




Bibliografía


24

Ejemplo 2 de Interpolación de Lagrange (III)

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1 6

- 1 4

- 1 2

- 1 0

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

x

c o s ( x ) e x p ( x )

f u n c i o nP 1 ( x )

P 2 ( x )

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 1 6

- 1 4

- 1 2

- 1 0

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

x

c o s ( x ) e x p ( x )

f u n c i o nP 4 ( x )

P 8 ( x )

Descripción

Objetivos




Bibliografía

– Máximo error realLineal: 0.0750 Cuadrática: 0.09235 Puntos: 0.9028 9 Puntos: 0.0160


33

Definición

Sea X={a=x0,x1,x2,…xn=b} un soporte ordenado donde se conoce f(x), se define el interpolante segmentario de grado n (splinede grado n) mediante

( ) ( ){ } [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

11 1

0 1 2 1

1

con con , ,

donde y

n n

k k k k kk k

n n

k k k k k k

S x P x x I a b I x x

a x x x x x bS x P x P x f x

−= =

−

+

= ∈ = =

= < < < < < =

= = =

∪ ∪

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducciónInt. PolinomialInt. Segmentaria

- Definición- Lineal- Splines (cúbicas)

Int. Multidimensional

Bibliografía


34

Interpolación Segmentaria Lineal

Definición– Los polinomios en cada uno de los n intervalos de la

partición son lineales, esto es, de grado 1 (dos coeficientes cada polinomio).

Condiciones (Ecuaciones): 2n– Cada polinomio coincide con la función en ambos

extremos.Coeficientes (Incógnitas): 2n

– Hay n polinomios linealesSistema compatible determinado. Se obtiene una poligonal

Descripción

Objetivos




Bibliografía


35

Interpolación Segmentaria Lineal: Ejemplo (I)

Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una poligonal utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados. Acotar el error cometido en cada caso.Interpolación con 5 puntos y polinomios

– Error de interpolación

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )1, 1,

21

1, 0

2 221 1

4 4

maxmax max max

2!

max 2 2 14.27432! 2! 4

k kk n k n

x Ik k ix x I x I i

x I

f xf x S x f x P x x x

f x eh

π π

π π

= =

∈−∈ − ∈ ∈

=

∈

− = − ≤ − =

⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

-14.7318-23.1407π

-0.63660π/2

0.636610

0.02750-π/2

-0.0432-π

F[.,.]F[.]x

0 -14.7318(x-π/2)[π/2, π]

1 -0.6366(x-0)[0 , π/2]

0+ 0.6366(x+π/2)[-π/2 ,0]

-0.0432+ 0.0275(x+π)[-π, -π/2]

PolinomioIntervalo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

f(x)S1 (x)

Datos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

2

4

6Error

Maximo:4.1056

Descripción

Objetivos




Bibliografía


36

Interpolación Segmentaria Lineal: Ejemplo (II)

Interpolación con 9 puntos y polinomios

– Error de interpolación

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )1, 1,

21

1, 0

2 221 1

4 4

maxmax max max

2!

max 2 2 3.56862! 2! 8

k kk n k n

x Ik k ix x I x I i

x I

f xf x S x f x P x x x

f x eh

π π

π π

= =

∈−∈ − ∈ ∈

=

∈

− = − ≤ − =

⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

-9.4990-7.46053π/4

0.41050.3224-π/4

0.08530-π/2

-0.0303-0.0670-3π/4

-1.97460π/2

-19.9647-23.1407π

0.70141.5509 π/4

0.862810

-0.0432-π

F[.,.]F[.]x

0+0.8628(x+π/4)[-π/4,0]

0+0.4105(x+π/2)[-π/2,-π/4]

-0.0432+0.0853(x+3π/4)[-3π/4,-π/2]

-0.0432-0.0303(x+π)[-π,-3π/4]

0-19.9647(x-3π/4)[π/2,π]

0-9.4990(x-π/2)[π/2,3π/4]

1-1.9746(x-π/4)[π/4,π/2]

1+0.7014(x-0)[0,π/4]

PolinomioIntervalo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

f(x)S1 (x)

Datos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5Error

Maximo:1.0023

Descripción

Objetivos




Bibliografía


37

Splines cúbicos: Definición

Definición– Los polinomios en cada uno de los n intervalos de la

partición son cubicos (cuatro coeficientes cada polinomio).

Condiciones– Cada polinomio coincide con la función en ambos

extremos (2n condiciones)– La derivada primera de los polinomios es continua

en los puntos del soporte (n-1 condiciones)– La derivada segunda de los polinomios es continua

en los puntos del soporte (n-1 condiciones)Incógnitas

– 4n (n intervalos con polinomios cúbicos en cada uno)

Sistema indeterminado (hay 4n incógnitas y 4n-2 ecuaciones)

Descripción

Objetivos




Bibliografía


38

Definición

Condiciones

– Sustituyendo las condiciones, se obtiene

Splines cúbicos: Planteamiento (I)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1,2,k k k k k kP x f x P x f x k n− −= ∧ = =

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

3 21 1 1

1con ,k k k k k k k k

k k k

P x a x x b x x c x x d

x I x x− − −

−

= − + − + − +

∈ =

( ) ( )1 1,2, 1k k k kP x P x k n+′ ′= = −( ) ( )1 1,2, 1k k k kP x P x k n+′′ ′′= = −

( )

[ ]

( )[ ] [ ]( ) ( )

1 1

1

11

1

1 1 1 1 2 1

1,2,3 3

2, 1,2,3

1,2,

3 , , 2 1,2,3, 1

k k k kk

k k k

k kk k k k

k k

k k k k k k k k k k k

b b b ba k nx x h

b bc f x x h k n

d f x k n

f x x f x x b h b h h b h k n

+ +

−

+−

−

+ − + + + +

− −= = =

−

+= − =

= =

− = + + + = −

Descripción

Objetivos




Bibliografía


39

Sistema

– Se necesitan 2 condiciones más para que el sistema sea compatible determinado

Splines cúbicos: Planteamiento (II)

( )( )

( )[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

1 1 2 2 1

2 2 3 2 2

1 1 1

1 2 0 1

2 3 1 2

1 2 1

2 0 0 0 00 2 0 0 0

0 0 0 0 2

, ,, ,

3

, ,

n n n n n

n n n n

h h h h bh h h h b

h h h h b

f x x f x xf x x f x x

f x x f x x

− − +

− − −

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Descripción

Objetivos




Bibliografía


40

– Aproximación parabólica en los extremos

– Aproximación cúbica en los extremos– Comportamiento periódico– …

Condiciones

Splines cúbicos: Planteamiento (III)

( )

( )

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

1 1 1 0 1

1 1 2 2 1 2 0 1

1 1 2 1

1 1

2 0 0 ,2 0 0 , ,

3 0 0 2 , ,0 0 2 ,

n n n n n n n n

n n n n n

h h b f x x Ah h h b f x x f x x

h h h b f x x f x xh h b B f x x− − − −

+ −

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )

( )( )

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

1 2 2 2 1 2 0 1

2 2 3 3 2 3 1 0

2 1 1 1 2 1 3 2

1 1 1 2 1

2 0 0 , ,2 0 0 , ,

3 0 0 2 , ,0 0 2 , ,

n n n n n n n n

n n n n n n n n

h h h b f x x f x xh h h b f x x f x x

h h h b f x x f x xh h h b f x x f x x− − − − − − − −

− − − − −

⎛ ⎞+⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1; n nS x S x S x S x−′′ ′′ ′′ ′′= =

– Spline Natural (S”(a)=S”(b)=0)– Spline Sujeta (pendiente conocida en los extremos)Descripción

Objetivos




Bibliografía


41

Spline Cúbicos: Procedimiento y Cota de error

Procedimiento– Datos de partida {(x0, f(x0)), (x1, f(x1)),…(xn, f(xn))} (derivadas en

los extremos cuando se desea una spline sujeta)– Selección de las 2 condiciones a añadir– Planteamiento y resolución del sistema– Recuperación de los coeficientes de los polinomios para cada

intervalo– Selección del intervalo al que pertenece el punto a interpolar y

uso del polinomio correspondiente

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0

0

4

4 5 310 1 2384 24 8

max , 0,1,2

con max , , ,n

n

k k kkx x x

x x x

f x S x c Mh k

M f x c c c

−

≤ ≤

≤ ≤

− ≤ =

= = = =

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]( ) ( )

1 1

0 1 1

4

2

, ,

max , 0,1,2

maxn

n n

k k kkx x x

x x x x x

f x S x c Mh k

f x S x cMh−

−

−

≤ ≤

∈

− ≤ =

− ≤∪

Acotación del error– Spline sujeta

– Spline natural

Descripción

Objetivos




Bibliografía


42

Spline Cúbicos: Ejemplo (I)

Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una spline cúbica sujeta utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados.Spline Sujeta con 5 puntos

-0.0432-π

-0.0432-π

-23.1407π

-23.1407π

0π/2

10

0-π/2

F(x),F’(x)x

0.0843(x-π/2)3-5.6182(x-π/2)2-6.1149(x-π/2)+0[π/2,π]

-1.3564x3+0.7736x2+1.4949x+1.0000[0,π/2]

0.1446(x+π/2)3+0.0920(x+π/2)2+0.1352(x+π/2)+0[-π/2,0]

0.0150(x+π)3-0.0215(x+π)2-0.0432(x+π)-0.0432[-π,-π/2]

PolinomioIntervalo

Descripción

Objetivos




Bibliografía ( ) ( )

( )0

45384

45 2384 4

max

4 7.3376nx x x

f x S x Mh

eπ π

≤ ≤− ≤

≤ ≈

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8Error

f(x)SpSuj3 (x)

Datos

Maximo:0.76909


43

Spline Cúbicos: Ejemplo (II)

Spline Sujeta con 9 puntos

-23.1407π

-0.0432-π

10

0.3224-π/4

0-π/2

-0.0670-3π/4

-0.0432-π

-23.1407π

-7.46053π/4

0π/2

1.5509 π/4

F(x),F’(x)x

-0.1052(x+π/4)3+0.3536(x+π/4)2+0.6499(x+π/4)+0.3224[-π/4,0]

0.0622(x+π/2)3+0.2071(x+π/2)2+0.2095(x+π/2)+0[-π/2,-π/4]

0.0624(x+3π/4)3+0.0600(x+3π/4)2-0.0003(x+3π/4)-0.0670[-3π/4,-π/2]

0.0277(x+π)3-0.0054(x+π)2-0.0432(x+π)-0.0432[-π,-3π/4]

2.7288(x-π/2)3-8.3302(x-π/2)2-15.1054(x-π/2)-7.4605[π/2,π]

-1.5177(x+π/2)3-4.7543(x+π/2)2-4.8288(x+π/2)+0[π/2,3π/4]

-1.4265(x+π/4)3-1.3933(x+π/4)2-0.0004(x+π/4)+1.5509[π/4,π/2]

-0.6363(x-0)3+0.1058(x-0)2+1.0108(x-0)+1.0000[0,π/4]

PolinomioIntervalo

Descripción

Objetivos




Bibliografía

( ) ( )

( )0

45384

45 2384 8

max

4 0.4586nx x x

f x S x Mh

eπ π

≤ ≤− ≤

≤ ≈

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.02

0.04

0.06

0.08Error

f(x)SpSuj3 (x)

Datos

Maximo:0.075319


44

Spline Cúbicos: Ejemplo (I)

Aproximar la función f(x)=cos(x)*exp(x) definida en [-π,π] mediante una spline cúbica natural utilizando 5 y 9 puntos equiespaciados.Spline Natural con 5 puntos

-23.1407π

0π/2

10

0-π/2

-0.0432-π

F[.]x

-1.0508(x-π/2)3 -4.4866(x-π/2)2 -5.0914 (x-π/2)+0[π/2, π]

-1.0508x3+0.4653x2+1.2254x+1.0000[0 , π/2]

0.0576(x+π/2)3+0.1939(x+π/2)2+0.1900(x+π/2)+0[-π/2 ,0]

0.0576(x+π)3-0.0775(x+π)2+0.0071(x+π)-0.0432[-π, -π/2]

PolinomioIntervalo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

f(x)SpNat3 (x)

Datos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8Error

Maximo:0.50656

Descripción

Objetivos




Bibliografía


45

Spline Cúbicos: Ejemplo (II)

Spline Natural con 9 puntos

10

0.3224-π/4

0-π/2

-0.0670-3π/4

-0.0432-π

-23.1407π

-7.46053π/4

0π/2

1.5509 π/4

F[.]x

-0.1229(x+π/4)3+ 0.3632(x+π/4)2+ 0.6533(x+π/4)+ 0.3224[-π/4,0]

0.0687(x+π/2)3+ 0.2013(x+π/2)2+ 0.2100(x+π/2)+0[-π/2,-π/4]

0.0542(x+3π/4)3- 0.0736(x+3π/4)2 -0.0059(x+3π/4) -0.0670[-3π/4,-π/2]

0.0542(x+π)3-0.0541 (x+π)2-0.0213 (x+π)-0.0432[-π,-3π/4]

-0.6203(x-π/2)3 -6.6627(x-π/2)2-14.3492 (x-π/2)+ -7.4605[π/2,π]

-0.6203(x+π/2)3 -5.2012 (x+π/2)2 -5.0314 (x+π/2)+0[π/2,3π/4]

-1.6669(x+π/4)3-1.2735 (x+π/4)2+ 0.0538(x+π/4)+ 1.5509[π/4,π/2]

-0.5717 (x-0)3+0.0735 (x-0)2+0.9963 (x-0)+1.0000[0,π/4]

PolinomioIntervalo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10Interpolacion

f(x)SpNat3 (x)

Datos

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4Error

Maximo:0.31398

Descripción

Objetivos



Int. MultidimensionalResumen

Bibliografía


46

Resumen

El problema de Lagrange tiene un único polinomio de interpolación de grado mínimo que se puede obtener mediante

– Planteamiento directo del sistema lineal– Usando los polinomios de Lagrange– Usando diferencias divididas de Newton

Los polinomios de Lagrange permiten sólo dependen de los puntos del soporte y son independientes de la función pero pueden ser más complejos que la función de partidaLas diferencias divididas de Newton dependen tanto de los puntoscomo de la función y permiten añadir o eliminar puntos del soporte aprovechando los cálculos realizadosLa fórmula de error del polinomio de interpolación es independiente de la forma en que se de éste y no siempre el error disminuye con el aumento del número de puntos del soporteLos polinomios de interpolación de grado elevado tienden a tener oscilaciones muy fuertes, lo que limita su aplicabilidadLa interpolación segmentaria permite disminuir el error con el aumento del número de puntos a consta de calcular interpolantes simples en cada subintervaloLos mejores resultados se suelen obtener con los splines cúbicos sujetos, si bien se utilizan las naturales porque los sujetos exigen conocer el valor de la derivada en los extremos

Descripción

Objetivos




Bibliografía


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Resumen (Ejemplo)

Descripción

Objetivos




Bibliografía

1.00233.58869Poligonal4.104614.27435Poligonal

0.506565Sp. Natural

0.769097.33765Sp. Sujeta

Sp. Natural

Sp. Sujeta

PolinomialPolinomialCuadráticaLinealTipo

0.313989

0.0753190.45869

0.01601.143890.0902853.574650.09230.5160.07500.523ErrorCotaPuntos

Interpolacion

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aproximar la funcin

h1 h2

h2 h3

acotacin del error

interpolacin segmentaria lineal

comprendidos en

definida en

spline cbicos