Top Banner
24

Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

May 11, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

����������� ������������������������ ��!" �#�%$&�('�����)*���,+�-/. 0123�4���"56��.7-"!

8:9<;>=@?BADCFE�GIH@HJ9LKM?MN�9LKM?PO�QSRUT�VW9LKBXYCWZ�9LVM9L[>\] GI^M_`9aKbRdc�KMQeR`=fR`^�RUT�Gag�AB9hR`iMTkjl9aRU=nm�9LHpoqmk=nTkKMm�TkQ

r�TtsvuwGI_S[yx�KM=f;ITk_UQU=fR�z{|Gq?�GIH@g}G~{�CW{|GIQ`9LH@T�QU��9LKM?P8:9LKPo>R`Ttg�9LKM=nm�9�

8#Tk�W9L_SRUj2TkKR�Gag�AB9hR`iMTkjl9aRU=nmkQAP9LQUQU9Lm�ib^MQUTtRUR`Q�c�KMQSRU=@R`^qR`T:GLg Z Tkm�iMKMGIH@GI�Lz

�WTkVM_U^W9a_Sz��<�q�F�L�I��

������������U��@���}�(�}���S�� �¡k¢����S£��¥¤¥¦ §n£�¨�©kª�¤¥���@«M¬�­��®��¡��¯��°�¬�«Fª����}�±ªJ�}£�¢t¤¥��¢h²>«F¤³�} ´©��e�µ�}¤¥¦�£��®������¨�©� ��Sªµ¤¥ª�¬S�

�} k��¤³�7�}¬U�¥� ¤®�|�����µ���e¤®�k¨������¶�S��¢·¨�¤³¸t¤¥��¹kº�»�¬e�7 �¤¥¹S ��³¡·�����µ���S¤¥�k¤®�k¹�¤¥���}�¯�}���S��§n£�¨�©�ª�²<�w�k�¯«�¦��¥¬Sªµ£k�}�¤¥ª ©k�}¬U©<¬Sªµ��¢�¼½¬S���} k�7§J£k¨�©�¦�¬S��¢k¤³�}¤¥¬U�kª�º|¾M ���¦��¥¬Sªµ£k�}�w¤®ªÀ¿��eªµ��¢#¬U���n«M¬·¨��e¤¥�:�Sªµªµ£k¨�©k�}¤¥¬U�kª�Á4ÂäÅĨ�¬SªJ�W¬S¼a�} ��¶�����¯�}¹e¡�¢k¤¥ªµªµ¤¥©��e�}��¢����W�} ��q§n£�¨�©�¹U¬��¯ª3¤¥���}¬Æ�}£k�}¿�£k�¥����¦��S²t�S��¢|Â䥤ÅÄq�} ��7�e¨�¬U£k����¬S¼a�}£k�µÇ¿k£��¥�����M�¯���¯�}¹e¡È�} ����F�pªJ���S¿��³¡�ªJ�µ�����}¤¥É���¢È°�¬�«Y¨���¡È¦¯¬U�����S¤¥��«F¤¥�} k¬U£t�W¤¥¨�¨���¢k¤®�e�}�¯�¥¡�¨�¤³¸k¤¥�k¹7¼Ê£k�µ�} k�¯�¤¥ª¶¿<¬U£���¢k��¢±¿�¡4��¨����Sªµ£t�}�À¬e¼b�} ��ƪJ�µ���e�}¤³É�¦��e�}¤¥¬U�hº7Ë3ª���¦�¬S��ªµ��Ì�£��¯��¦��ƬS¼b�} k¤®ª¶¦��¥¬Uªµ£t�}�U²Íªµ£k�}©t�}¤®ªµ¤¥�k¹¿<¬S£���¢kª��¯¨��¯�}¹U�U²�¼½¬S���¯¸k�S¨�©��¥�3¬U���} ��3�e¨�¬U£����q¬S¼a�����µ���S¤¥��¨��¯���b�} ��e�M¨���¡ ���SÎ`�3©��®�S¦¯�����M�} ��F�¥¬�¦��eÇ�}¤¥¬S�4¬S¼a�} ��>§J£�¨�©hº¾M k��ªµ�7¿<¬U£k��¢tªW�e�}�¶©k�}¬U¿��S¿k�¥¡w�e�¥¨�¬UªJ�F�e¦( k¤®�¯Ï`��¢�¿�¡� k¤¥¹U ��³¡������µ���e¤®�k¤¥��¹À¤®���}�¯�}���S�§n£�¨�©kª�²�ªµ£�¦� 4�eªM�} �¬Uªµ���®¤¥Î`�¯�¥¡��}¬�¢k��ÏU���¥¬U©w¤®��¢k�¯��ªµ��¬�¦¯���S�k¤®¦p¬�Ï`�(�µ°�¬�«Fª�º>¾M ��7ÏS�S�¥£k��ªM¬U¿t���S¤¥����¢w k�¯�}����}�p¤¥�±¹U¬�¬�¢±�e¹S�}���¯¨������W«F¤¥�} ��} ��7�¯¸t¤¥ªJ�}¤¥��¹ ¬U¿�ªµ�(�}ÏU���}¤®¬S��ª3¬S¼I�} k�7ªµ©����}¤®�S�a¢k��Ï`�¯�®¬S©�¨������W¬e¼¬�¦����e��¤¥¦¢t¬�«F��ªµ�¥¬U©<�À¦�£k�µ�}�¯���}ª�²k«F �¤¥¦� ·©��®��¡±�Ȧ¯�}£k¦�¤®�S�h�}¬U�¥� ¤¥�4�} k�p¼Ê¬S�}¨����}¤¥¬U�·¬S¼>�e¿�¡kªµª}�e��S��¢4¤¥���}�¯�}¨���¢k¤®���}�«M�e�}�¯�}ª3¤¥�4�} ���¹U�¥¬U¿��S�L¬�¦¯���S�hº

Ð ÑbÒ4Ó�ÔWÕ|Ö�×#Ø�ÓWÙ�Õ4ÒÚµÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�à3á(âÍã<ä�å<á�ß�ޯݷæÍçÍèÊé�æÍè®Ü¯ãtæháwã<äeä�æhÞ(Þ¯ÝeÛhäeÝSáÈè½ÛêÜ(âÍÝ�ß�ܯë4ã�á�ìhâÍÝeޯݷß�ÛhíîܯâÍÝdã<ä�ÝUß�Ûbï�ð¶ãtÛ�ñkÝeÛ�Ü(è½ãtÛhßtàÅà½òtóܯâÍÝeòYß�Þ¯Ý|í<ÝSÛÍã�ܯÝSí~ßká�çaãkÞ(ÝUá�ôpâÍÝSÛYÜ(âhÝeòîìÍÞ(ãkìhß�õ�ß�ܯݷèÅÛ�Ü(ã´ß�á}Ü�ß�ܯÝdàÊß�Þ¯õtÝeà½ò´ß�ÜwÞ¯ÝSá�ÜSóWß�ÛhíYßká�â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìhá�ôpâÍÝSÛ�ܯâÍÝeò�äeãtÛhá(è½á�ÜÈã�÷3ß�á}Ü�ß�Ûhí<è½ÛÍõ�í<è½á¯ä�ãkÛ�Ü(è½Û�æhè®Ü}ò#ôpèÅÜ(âÍè½ÛîßdÛÍÝSßtÞ(à½ò:á}ܯÝSßkí<ò�øhã�ô�ï�ùWúÍß�ë±ìÍà½ÝSá èÅÛܯâÍÝ|ß�ܯë4ã�á�ìhâÍÝeÞ¯Ý4ßtÞ(Ý4çLãtÞ¯ÝSá�ßtá¯á(ã�äeè½ß�Ü(ÝUí�ôpèÅÜ(âYí<ÝeÛaá�ݱè½Û�ñkÝeÞ�á�è½ãtÛ´à½ß`òkÝeÞ�áÀìhÞ(ãkìhß�õ�ß�Ü(è½ÛÍõ�ã�ñtÝSÞÀܯãtìLãtõtÞ�ß�ìhâÍè½äãkçhá}Ü�ßtäeàÅÝUádû ü`ýJïîùFú<ßtë±ìÍàÅÝUáwè½Û~ܯâÍÝdã<äeÝSß�Û2ß�Þ¯Ý|Ü(âhÝdè½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìhá�Ü(âhß�Ü4ë±è½õtâ�Ü4í<ÝSñtÝSàÅãkì~èÅÛí<ÝSÛhá(Ý·ã�ñtÝeÞ(øhã�ôÆá�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtëþã�÷pß:á�è½à½à@óMá�æaä�âêßkáeÿÈܯâÍÝ|ã�ñkÝeÞ(øhã�ô�ã�÷��:ÝUí<è®Ü¯ÝeÞ¯Þ¯ßtÛÍÝSßtÛ��êß�ܯÝeÞ�á�ã�ñtÝSÞÈÜ(âÍÝá�Ü(Þ�ß�èÅÜ·ã�÷���è½çÍÞ�ß�àÅܯßtÞ#û ���Íó���ý �pÜ(âhÝ�ã�ñkÝeÞ(øhã�ô�ã�÷��ÆÞ�ä�ܯè½ä��êß�ܯÝeÞ�á�ã�ñkÝeÞ4Ü(âhÝ��ÀÝSÛÍë·ß�Þ¯å���Ü(Þ�ß�èÅÜ��ÆßtÛhí2Ü(âÍÝã�ñkÝeÞ(øhã�ô2ãt÷��ÆÛ�ܯßtÞ¯ä�Ü(èÊä���ã�Ü(Ü(ãkë��êß�ܯÝeÞ¶Ü(âÍÞ¯ãtæhõtâ±Ü(âhÝ��WÝSë±ß±ð¶âhß�ÛhÛÍÝeàIá�ÝSìhß�Þ�ß�ܯèÅÛhõ�Ü(âÍÝ��ÆÞ¯õtÝSÛ�Ü(è½ÛÍè½ßtÛ|ß�Ûhí�����! #"%$'&)(�$�*,+-$'./.10�2!3�"�0�4�560�&878910�./. :�4);<5!5�$'&878 =3?>@:�78�! A#B�CED'&)0�2@7#FHGIGKJ�L'L'M�NOL'P'P<QR ���! #"%$'&)(�$�*K�K0�>60�(�"�0�4�560�&878910�./. :�4);!5<5S$'&T7) U3�>O:�7)�< VAHB�CED'&)0�2@7HW#XYBOJ�LOZ�[<\]Z�^<\'Q_ ���! #"%$'&)(�$�*,`�$'4)0�./ U4�"�0�4�560�&T7)910�./. :�48;!5!5�$'&878 U3�>O:�78�! A#B@CED'& 0�2O7#WHXYBOJ�L'M'['aOZ�\=b<Qc ���! #"%$'&)(�$�*dB@78 U*e0�2!9/f=0g"�0�4�560�&T7)910�./. :�4);<5!5�$'&878 =3�>@:�78�! A#B�ChD'&)0�2@7-W#XYB'J�[<\=['b'^'M'M<Q

Page 2: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

��Þ�ß��eè½à½è½ßtÛ�çhßká�è½Ûhápû ��ýJïH� ä�ܯæhß�àaâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìháWâhß`ñkÝ�çLÝeÝSÛ·èÅÛÍ÷ ÝeÞ¯Þ(ÝUíw÷ Þ¯ãtëDãtçhá(ÝeÞ¯ñ�ß�Ü(è½ãtÛaáWß�Ûhí4Û�æÍë±ÝeÞ¯è½äSß�àá(èÅë�æÍàÊß�Ü(è½ãtÛaáWãtÛÍà½ò�÷ ãkÞ¶ß�÷ ÝSôlãt÷IÜ(âÍÝUá�ÝÀíÍÝeÛhá(ÝÆã�ñtÝSÞ�øaã�ôÆá@��ë±ãtÞ¯ÝÆí<Ýeܯß�è½à½ÝSí±ãtçaá�ÝSÞ(ñ�ß�ܯèÅãkÛháMè½Û±Ü(âÍÝ ÛÍÝSßtÞW÷ æ<Ü(æhÞ(Ýá(âÍãtæhà½í#Þ¯ÝeñkÝSß�à>ôpâÍÝ�ܯâÍÝeÞÀÜ(âÍÝSò#ßtÞ(Ý�ìhÞ(ÝUá�ÝSÛkÜ èÅÛ�ßtàÅàqã�÷WÜ(âhÝeë��8��ÝSÝwß�àÊá(ã�û ���ý>÷ ãkÞ ß|äeàÅÝUß�ÞÆãkçhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛ#ã�÷Fßâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìYã�ñkÝeÞ�ß:á�ë·ßtàÅà½ÝeÞ�á¯äeßtàÅݱãtçaá}Ü�ßtä�à½Ý±ôpè®Ü¯âÍè½ÛêÜ(âÍÝdäeãtÛ�Ü(è½ÛÍÝSÛkÜ�ß�àFá(âÍÝeàÅ÷7ã�÷�� Þ(ÝSõtãkÛbï � ��Þ�ß`ñ�èÅÜ}òäeæÍÞ(Þ¯ÝeÛ�Ü�á�û Íó���`ýFßtÞ(Ý4ß�àÊá�ã�àÅè½ë±è®Ü¯èÅÛÍõ#äeßká�ÝUáÀãt÷3çLãtÞ¯ÝSáSóLè½Û�ôpâhè½ä�â�Ü(âÍݱá}Ü�ß�ܯÝ4ßtâÍÝSßkí:ã�÷FܯâÍÝ4çaãkÞ(Ý4è½á àÊß�Þ¯õtÝeà½òâÍãkë±ãtõtÝSÛÍÝeãkæháSï �<èÅë±ìÍà½ÝdÝeú�ìLÝeÞ¯è½ë4ÝSÛ�ܯá�ôpèÅÜ(â~Ü}ô¶ã���àÊß`òtÝeÞ�øhæhè½íÍá4á(âÍã�ôDܯâhß�Ü4èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�à ö æÍë±ìhá�íÍÝeñtÝSàÅãkì~ßtáÛhß�Ü(æÍÞ�ß�à½à½òwè½Ûdá}ܯޯß�Ü(è �hÝSí�øhã�ôÆá¶ßtáMܯâÍÝeò±í<ã�è½Û·÷ Þ¯ÝeÝÀá(æÍÞ(÷fßtäeÝ7øhã�ôÆáWã�÷bá(âhß�à½à½ã�ô�ótâÍãkë4ãkõtÝSÛÍÝeãkæháWá�è½ÛÍõkàÅÝÆàÊß`òtÝSÞ¯áû ���óK���`ýnï��7âhè½á7äeßtÛ|çLÝÈá(ÝeÝSÛdß�Ûaß�à½òkܯè½äSß�à½àÅò4ܯã�ãaó�Ü(âÍãkæÍõtâdÜ(âÍÝ�ë·ß�Ü(âhÝeë·ß�ܯè½äSá�ßtÛhí|ìhâ�ò<á(è½äSá3çLÝSäeãtë±ÝÈá�æÍçÍÜ(à½ÝeÞßká7ãtÛÍÝ�á(ôpè®Ü�ä�âÍÝSá�÷ Þ¯ãtë íÍè½á¯ä�Þ¯Ý�ܯÝ�àÊß`òtÝSÞ¯á¶Ü¯ã|ß4äeãtÛ�Ü(è½Û�æÍãtæaá�à½ò|á}ܯޯß�Ü(è �hÝSí�ìÍÞ¯ã��hà½Ýtï

�WÝeÞ¯ò4àÅèÅÜ�ܯàÅÝ è½á¶å�ÛÍã�ôpÛbótâhã�ô¶ÝSñtÝeÞUótßtçaãkæ<ÜFÜ(âhÝÀÛhß�Ü(æÍÞ¯ÝÀß�Ûaí·á}ܯÞ(æhä�Ü(æÍÞ¯ÝÆãt÷Iè½Û�Ü(ÝSÞ(Ûhßtàaá(âÍã<ä�å<áeïMùFñkÝeÛ±èÅÛ|Ü(âÍÝá(èÅë±ìÍà½ÝSá�ÜÈìaã�á(á(èÅçhàÅÝ4á(äeÝeÛhßtÞ(è½ã|ã�÷WÜ}ô�ã���à½ß`òkÝeÞpøaã�ôÆáeóaÜ(âÍÝ4ìÍÞ¯ãtçÍà½Ýeë Þ¯Ýeë·ß�è½Ûhá ôpè½íÍÝwãtìLÝeÛ>ï�ð¶ãkÛhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛ:ãt÷ë·ßtá¯á�ß�Ûhí�ë±ãkë4ÝSÛ�Ü(æÍë á�Ü(è½àÅà�ò�è½ÝeàÊí�Ü}ô�ã ö æÍë±ì±ä�ãtÛaí<è®Ü¯èÅãkÛháSï��Æã�ô�ÝeñkÝeÞUóSèÅ÷Íøhæhè½í�÷ Þ(ãkë�ãtÛÍݶà½ß`òkÝeÞ>èÊá�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍÝUíè½Û�Ü(ã·Ü¯âÍÝ�ã�ܯâÍÝeÞ�ß�ÜÆܯâÍÝ ö æhë4ì>óLß·ÛhÝeô�æÍÛÍå�ÛÍã�ôpÛ:ßtìÍìaÝUß�Þ�á��ÃܯâÍÝ�ßtë±ãtæÍÛ�ÜÀãt÷MÝSÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�Ü���÷ ãkÞÀôpâÍèÊä�â:ÛÍãìÍâ�ò<á(è½äSß�àMä�ãtÛaá�ÝSÞ(ñ�ß�ܯèÅãkÛ:ìÍÞ¯èÅÛhäeèÅìhàÅÝ4è½á�Þ¯ÝSßkí<èÅà½ò#ß`ñ`ßtèÅàÊß�çhàÅÝkïÈùFú<è½á�Ü(è½ÛÍõdà½èÅÜ(ÝeÞ�ß�ܯæÍÞ¯Ý�û �ó��<ó#<��ó#�Íó#Uü�ó����Íó�� �`ýäeãtÛhäeÝeÛ�Ü(Þ�ß�ܯÝSáWë±ãká�Ü(à½ò±ãt۱ܯâÍÝ äSßtá(ÝÆã�÷ ö æÍë±ìhá¶Ü¯âhß�Ü7í<ã�ÛÍãtܶè½Û�ñkãtà½ñtÝÀßtÛ�ò�ë±èÅú�è½ÛÍõaï��Wß`ôpàÊß�å4ß�Ûhí �ÀÞ(ë±èMû � �UýìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�Ü7èÅÛ�ܯÝeÞ¯ÝSá�Ü(è½ÛÍõ�Ýeú<ìaÝSÞ(è½ë±ÝeÛ�ܯßtàLô�ãtÞ¯å·ãtÛdøhæÍèÊídÝSÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜpèÅÛ#í<ã�ôpÛhá(àÅãkìaÝÀøhã�ôÆá7í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�ã�÷qßâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äSß�à½àÅò�ä�ãkÛkܯÞ(ãkàÅà½ÝSí:á(è½àÅànï��Àã�ô¶ÝSñtÝSÞSóhÜ(âÍÝSò#ßtÞ(Þ�ß�ÛhõtÝÈÜ(âhÝeè½Þ Ýeú�ìLÝeÞ¯è½ë4ÝSÛ�ܯß�àMá(Ý�Ü�ܯèÅÛhõ�á(ã|Ü(âaß�ÜÀܯâÍÝ�øhã�ôèÊápá�æhìaÝSÞ¯äeÞ(èÅÜ(èÊäeßtàIÜ(âÍÞ¯ãtæÍõkâÍãtæÍÜ�ܯâÍÝ�á(àÅãkìaÝkó�Ü(â�æhápÝeú<äeàÅæaí<èÅÛhõ±á(âÍã<ä�å<áeï

� ô�ãtÞ�í6èÊá|ßtìÍìÍÞ¯ãtìÍÞ¯è½ß�Ü(Ý�âÍÝeÞ¯Ý�ß�çLãtæÍÜ·Ü(âÍÝ�Ûaß�Ü(æhÞ(Ý#ã�÷Èë±è®ú<è½ÛÍõYè½Ûyã�äeÝSßtÛÍè½ä�øhã�ôÆáSï ÚµÛlÜ(âhÝ�çÍæÍà½å6ãt÷ܯâÍÝwõkàÅãkçhß�àbã<äeÝSß�Û>óañkÝeÞ(Ü(èÊäeß�à��fí<èÊß�ì�ò<ä�Ûhßtà��7Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü ë±èÅú<èÅÛÍõdè½á æhá(æhß�à½àÅò�ë±ã<í<Ýeà½ÝSí�ßkápçLÝeè½ÛÍõ�í<è Iæhá�è½ñtÝ�èÅÛÛhß�Ü(æÍÞ¯ÝtóUôpèÅÜ(â�ßpí<è Læaá�è½ñ�è®Ü}òÈß�çLãtæ<Ü>Ü}ô¶ãpãkÞ¯í<ÝSÞ¯áIãt÷<ë±ßtõtÛÍèÅÜ(æaí<ÝFß�çLã�ñtÝ�Ü(âhÝFë±ãtà½ÝSä�æhà½ßtÞbãtÛÍÝÆû ��ýnï��7âÍÝFÝeÛhÝeÞ¯õtòçLÝeâÍè½Ûhí�Ü(âÍèÊá Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü�íÍè! Iæhá(èÅñ�èÅÜ}ò:ã�÷ÃÜ(ÝSÛ´äeãtë±ÝSáÆ÷ Þ(ãkë á(ãtæhÞ¯äeÝSáÆôpâhè½ä�â�ßtÞ(Ý�Ý�ú�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àbܯãdܯâÍÝwìaß�Þ(Ü(èÊä�æÍàÊß�ÞàÊß`òtÝSÞ¯áÀçaÝSèÅÛÍõ�ë±è®ú<ÝUí �Ü(èÊí<ÝUá�ßtÞ(Ý4ß�Û´æÍçÍèÊékæhè®Ü¯ãtæhá�Ý�úÍßtë4ìhàÅÝ4ã�÷¶á(æhä�â�ßtÛ�Ýeú�ܯÝeÞ¯Ûhß�àMá(ãtæÍÞ�ä�Ýkï��/í<ÝUá(äeÞ(è½ì<ܯèÅãkÛãt÷3Ü(âhè½áÈÝeú�ܯÝeÞ¯Ûhß�à½à½ò��<í<Þ¯èÅñkÝeÛ�í<è Iæhá�è½ñ�è®Ü}ò�è½áÈìÍÞ¯ã�ñ�è½íÍÝSí�è½Ûêä�àÊßtá¯á�èÊäeßtàqô�ãtÞ¯å:ç�ò"�>æhÞ(ÛÍÝSÞ·û <ó��#�Uý �qá(Ýeݱß�àÊá�ãêû ��ý÷ ãkÞwß#ë±ãtޯݷÞ(ÝUä�ÝeÛ�Ü�ßtìÍìÍÞ¯ãkßkä�âbï$�Æã�ô�ÝeñkÝeÞUóbìhßtÞ�ܯè½äeæÍà½ßtÞ(à½ò�ñ�è½ãtà½ÝeÛ�Ü�ë±è®ú<è½ÛÍõ�ìÍâhÝeÛÍãkë4ÝSÛhßÍóMá(æhä�âYßtá�á�Ü(Þ¯ãtÛÍõí<ã�ôpÛaá�à½ãtìLÝ�øhã�ôÆáeókìÍÞ¯ã�ñ�èÊí<Ý�Ü(âhÝeè½Þ3ã�ôpÛ±á�ãkæÍÞ¯äeÝpã�÷IÝeÛÍÝSÞ(õkòtïqÚµÛ±Ü(âÍèÊá3äeãtÛ�Ü(Ýeú�ÜUótë±èÅú�è½ÛÍõ�èÊáWõtÝSÛÍÝeÞ�ß�à½à½ò�Ü(âÍãkæÍõtâ�Üܯã´ã<äeäeæÍÞ±Ü(âhÞ(ãkæÍõtâlá�âÍÝUß�Þ4èÅÛaá}Ü�ß�çÍè½àÅèÅÜ}ò û S�ó �%`ýJï&�7âÍèÊá±è½íÍÝSßîâhßtá4çLÝeÝSÛ2è½Ûhä�ãkÞ(ìLãtÞ�ß�ܯÝSíYè½Û�Ü(ãêàÊß�Þ¯õtÝ'�<á(äSß�à½Ýã<ä�ÝUß�Û~ë±ã<í<ÝSà½áwÜ(âÍÞ¯ãtæhõtâ~ìhßtÞ¯ßtë±Ý�Ü(ÝSÞ(è(�Sß�Ü(è½ãtÛhá�á�æaä�â6ßtá)�ÀßtàÅà½çaÝSÞ(õ+* á�û %�ýJóWôpâÍè½ä�âlá�ôpèÅܯä�â6÷ Þ(ãkë Ý�ú�Ü(ÝSÞ(ÛhßtàÅà½òá(æÍìÍìÍà½è½ÝSí6Ü(ãêá�ÝSà®÷��<í<Þ(è½ñtÝSÛ~ë±è®ú<è½ÛÍõhó¶çhßtá(ÝSí~ãtÛ2Ü(âÍÝ�àÅã<äSß�à-,pèÊä�âhß�Þ�íÍá(ãtÛ~Û�æÍë�çaÝSÞSï ��Ü(è½àÅànóFܯâÍè½á4÷ Þ�ß�ë±ÝSô¶ãkÞ(åè½ë±ìÍàÅè½ÝSá±ë±èÅú<èÅÛÍõêãkÛÍàÅò6ã�ñtÝeÞ4Þ¯ÝeàÊß�Ü(è½ñtÝSàÅòêÝeú�ܯÝeÛhíÍÝSí�á�ìaß�Ü(èÊß�àpí<ãkë·ß�è½Ûháeï.�Æã�ô�ÝeñkÝeÞUóWè®÷Èè½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à7â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìhá�íÍÝeñtÝSàÅãkì´ôpèÅÜ(âhèÅÛêí<ã�ôpÛhá(àÅãkìaÝ�øhã�ôÆáSóÜ(âhÝeò�ë�æhá}Ü�è½Û�ñtãtà½ñtÝ4ß#ä�ãtÛaá�èÊí<ÝeÞ�ß�çhàÅÝ4ßtíÍí<èÅÜ(è½ãtÛaß�àFß�ë±ãkæÍÛ�Ü�ãt÷á�Ü(Þ¯ãtÛÍõkàÅò·à½ã<äeßtàÅè(�eÝUíóÍá�ÝSà®÷��<á�æhìÍìÍà½èÅÝUí�ë±èÅú<èÅÛÍõaï

�7âÍèÊá>ìaß�ìLÝeÞb÷ ã<äeæhá�ÝUábãkÛ�âÍèÅõkâÍà½ò ÝSÛkܯޯßtèÅÛhèÅÛÍõÆá�ܯßtÛhí<è½ÛÍõÆè½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtàtâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháSó�á(æhä�â�ßtáIܯâÍãká(ÝFà½èÅåkÝeà½òܯã�ã<äeäeæÍÞ�èÅÛ�ìaÝSÞ(ë·ß�ÛhÝeÛ�Ü�í<ÝSÛhá(Ý ã�ñkÝeÞ(øhã�ôÆáeï��7âÍÝSá(Ý ßtÞ(Ý�í<è LÝSÞ(ÝSÛkÜ�÷ Þ¯ãtë/èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àIçLãtÞ¯ÝSá¶ìÍÞ(ãkìhß�õ�ß�ܯèÅÛÍõ�è½Û�Ü(ãß~á�ܯß�Ü(Ý�ß�Ü�Þ¯ÝSá�Ü´û <��ó���`ýJóÆè½ÛyÜ(âhß�ÜdܯâÍÝ´á(èÅõkÛyã�÷ÈÜ(âhÝ�ñtãkÞ�ܯè½äeè®Ü}òlß�Ü|ܯâÍÝ�è½Û�Ü(ÝSÞ�÷fßkä�Ý�çLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛyÜ(âÍÝ´àÅã�ô�ÝeÞàÊß`òtÝSÞ�ãt÷MíÍÝeÛhá(Ý�øhæÍèÊí�ßtÛhí�Ü(âÍÝ�ßtëwçÍè½ÝeÛ�ÜÆèÊápá�æaä�â�ܯâhß�ÜÆèÅÜp÷fß`ñtãkÞ¯á¶ÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍë±ÝSÛkÜÆãt÷�ßtëwçÍè½ÝeÛ�ÜpøhæÍèÊí�èÅÛ�ܯã±Ü(âÍÝà½ã�ô¶ÝSÞÀàÊß`òtÝSÞSï0/ÍãkÞ�á�Ü(Þ¯ãtÛÍõ ö æÍë±ìháSóè®ÜÈè½áÈäeãtÛ ö ÝUä�Ü(æhÞ(ÝUí:Ü(âaß�Ü�Ü(âÍèÊá�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍÝSí:øhæÍèÊí�ôpè½àÅàMçLÝ4Þ�ß�ìhè½í<à½ò#ë±è®ú<ÝSíܯâÍÞ(ãkæÍõtâhãtæ<ÜpܯâÍÝ�àÊß`òtÝeÞpç�òdÜ(âÍÝwá�Ü(Þ¯ãtÛhõ±Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝ�õtÝSÛÍÝeÞ�ß�ܯÝSí�ß�ÜÆܯâÍÝ ö æÍë±ìbóaÜ(â�æháÀÞ(ÝSÛhí<ÝSÞ(è½ÛÍõ4Ü(âÍÝ�àÅã�ô�ÝeÞàÊß`òtÝSÞ�ÛhÝSß�Þ¯à½ò·æÍÛÍèÅ÷ ãtÞ¯ë�óhçaãtÜ(â#èÅÛ:í<ÝSÛhá(è®Ü}òdßtÛhí�èÅÛ#ñkÝeà½ã�äeè®Ü}òkï

/ÍãkÞwä�ãkÛhä�Þ¯Ý�ܯÝeÛÍÝUá(áSó>âhÝeޯݷô¶Ý·ôpè½àÅà¶àÅã�ãkå�ß�Ü�ܯâÍÝdá(èÅë±ìÍà½ÝSá�Üwá(Ý�Ü�ܯèÅÛhõ:÷ ãtÞ�è½Û�Ü(ÝSÞ(ÛhßtàFâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháSÿ�ß1 ãtÛÍÝ32JßtÛhí42µß�2Jâhß�àÅ÷52nàÊß`òtÝSÞ76�øhã�ô�ï8�7âÍèÊá è½á�ß·Ü}ô�ã�2Jà½ß`òkÝeÞ7øhã�ô�äeãtÛhá�Ü(Þ�ß�è½ÛÍÝSí#ç�ò#æÍìÍìLÝeÞÈß�Ûaí:àÅã�ô�ÝeÞÀÞ(è½õtèÊí:à½è½íÍáSóè½Û·ôpâÍèÊä�â±Ü(âÍÝÆâhÝeè½õtâ�Ü3ã�÷IܯâÍÝÆæÍìÍìLÝeÞ¶à½ß`òkÝeÞWèÊáFñkÝeÞ¯òwàÊß�Þ¯õtÝtó�Ü(âÍÝÀíÍÝeÛhá(è®Ü}ò±í<è LÝSÞ(ÝSÛhä�ÝÀçaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛ±Ü(âhÝpÜ}ô¶ã�àÊß`òtÝSÞ¯áèÊá3á(ë·ß�à½à@ó�ß�Ûhí·ßtàÅàÍë±èÅú<èÅÛÍõwã�äSä�æÍÞ�áMܯâÍÞ(ãkæÍõtâ4ܯâÍÝÆÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍë±ÝSÛkܶã�÷IæÍìÍìLÝeÞFøaæÍè½í|èÅÛ�Ü(ãÈܯâÍÝÀà½ã�ô�ÝeÞWàÊß`òtÝeÞUïqù3ñtÝSÛè½Û�èÅܯáÀá(è½ë4ìhàÅèÊä�èÅÜ}òtóaÜ(âÍèÊá�á(äeÝeÛhßtÞ(è½ã·è½áÀÛÍã�Ü�æÍÛÍÞ¯ÝSßtàÅèÊá}ܯè½ä�÷ ãtÞÀë·ßtÛ�ò�øhã�ôÆápãt÷FõtÝSãtìÍâ�ò<á�èÊäeßtàbá�è½õtÛhè!�aäSß�ÛhäeÝtóLá�æhä�âßkáwí<ÝSÛhá�Ýdã�ñtÝeÞ(øhã�ôÆáÈã�ñkÝeÞwá(èÅà½àÊáeï"�7âhÝ�í<ÝSÛhá�èÅÜ}òêä�âhß�ÛÍõkÝSá�çhÞ(ãkæÍõtâ�Ü�ßtçaãkæ<Ü�ç�ò´Ü(âÍÝ�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜwìÍÞ¯ã<ä�ÝUá(áë·ß�åkÝ·í<ÝeñkÝeà½ãtìÍè½ÛÍõ:ß#ä�à½ãká(æÍÞ(Ý4÷ ãkÞ�Ü(âÍÝ ö æhë4ì~äeãtÛhíÍè®Ü¯èÅãkÛhá�ß#ÛÍãtÛ�ܯÞ(è½ñ�è½ßtàWë±ß�Ü�ܯÝeÞUï9�7âÍÝ|ä�à½ãká(æÍÞ¯Ý4ìhÞ(ãkìaã�á�ÝUí

Page 3: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

âÍÝSÞ(Ý�èÊáÆçaßtá(ÝSí#ãtÛ#ܯâÍÝ�ÝSÛÍÝeÞ¯õtÝeÜ(èÊä�ä�ãtÛaá�èÊí<ÝeÞ�ß�ܯèÅãkÛhápí<ÝUá(äeÞ(è½çaÝUí#èÅÛ´á�ÝUä�Ü(è½ãtÛaá �|ß�Ûaí aï7ÚµÛ#÷fßtä�ÜUóaô�Ýwí<ÝSñtÝSàÅãkìÜ}ô�ã|ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝSáSï �7âhÝ �hÞ�á}ÜÀãkÛÍÝ�èÊáÀßkä�Ü(æaß�à½àÅò#ß ����������� ������������� ïpÚJÜ�í<ã�ÝSáÀÛÍã�Ü�ä�ãtÛaá�èÊá}Ü Ý�úÍä�à½æhá(èÅñkÝeà½òdã�÷ ö æÍë±ìäeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaáeó�çÍæ<Üdßtà½á(ãêã�÷�ß ö æÍë±ìlè½ÛÍÝUékæaß�à½è®Ü}òkó7ßtÞ(èÊá(èÅÛÍõ´÷ Þ¯ãtë ßîçLãtæÍÛaí2ãkÛlÜ(âÍÝ�ßtë4ãkæÍÛ�Ü|ã�÷�Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÝSÛÍÝeÞ¯õtò·Ü¯âhß�ÜÀß·á�Ü(Þ�ß�ܯè!�aÝSí�øhã�ôBë±ß`òdìaã�á(á(ÝSá¯áeï��7âÍÝ�á�ÝUä�ãkÛhí�ãtÛÍÝ�èÊáÆß�� ������������������� óhãkç<ܯßtèÅÛhÝSí�ç�ò|Ü(æhÞ(ÛÍè½ÛÍõܯâÍݶçLãtæhÛhíwãkÛ�Ü(âhݶܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü�ÝSÛÍÝeÞ¯õtòÈè½Û�Ü(ãÈß�Û�ÝUékæaß�à½è®Ü}òkï��7âÍèÊá�è½á ö æhá�Ü(è �hÝSíw÷ ãtÞMâÍè½õtâhàÅò�ÝSÛkܯޯßtèÅÛhèÅÛÍõ èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháÆÜ(âhß�ÜÀß�Þ¯Ý ë·ß�ú<è½ë·ß�à½àÅò·Ü¯æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÆçaãtÜ(â#æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ß�Ûaí�í<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ë ãt÷>Ü(âhÝ ö æÍë±ìbï

� æÍÞFäeàÅã�á�æÍÞ¯Ý�â�ò�ìLã�ܯâÍÝSá(è½áMäSß�Û4çaÝpá(æÍë±ë±ßtÞ(è(�eÝUíwè½Û±ßÀ÷ ÝSô6ô�ãtÞ�íÍáSÿÜ(âhß�ÜWë4ã�á}ÜWãt÷hÜ(âhÝ�ÝSÛÍÝeÞ¯õtò�íÍè½á¯á�è½ìhß�Ü(ÝSíè½Ûyá}ܯÞ(ãkÛÍõhó¶ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍè½ÛÍõêèÅÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àpâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháSó7õtã�ÝSá±è½Û�Ü(ãêÜ(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ýkï �7âÍÝeÛ>ó�ßêçLãtæÍÛaí2ãkÛlÜ(âÍÝßtë4ãkæÍÛ�Ü�ãt÷7íÍè½á¯á�è½ìhß�Ü(è½ãtÛ�÷ ãkàÅà½ã�ôÆá�ÝSßká�è½àÅòkó>á(èÅÛhäeÝ·ß�á�Ü(Þ�ß�ܯè!�hÝUí�øaæÍè½íêäSß�Û�ãkÛÍà½ò�í<ÝeñkÝeà½ãtìîß�äeÝeÞ(ܯßtèÅÛîß�ë±ãtæÍÛ�Üãt÷qܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛhä�ÝkóÍôpèÅÜ(âÍãkæ<ÜÆçaÝSèÅÛhõ·ë4èÅú<ÝSí�÷ æÍÞ(Ü(âÍÝSÞSï ��ãtÜ(â�Ü(âÍÝ�ìaß�Þ(Ü(èÊß�àbß�ÛaídܯâÍÝÈ÷ æÍà½àqäeàÅã�á�æÍÞ¯ÝSá�ò�è½ÝeàÊí�çLãtæhÛhíÍáãkÛ�Ü(âhÝ·ñ`ßtÞ(è½ãtæaá é�æhßtÛkܯè®Ü¯èÅÝUá�èÅÛ�ñtãkàÅñkÝSí�èÅÛ´Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbï �7âÍÝUá�ݱçLãtæÍÛhíhá�ß�Þ¯Ýwè½Û´÷fßkä�Ü�é�æÍè®Ü¯Ý·á�æÍÞ¯ìÍÞ¯è½á(è½ÛÍõhÿ ô¶ÝçLãtæÍÛaí�ܯâÍÝ|ß�ë±ãkæÍÛ�ÜÈãt÷7ßtàÅà½ã�ô7ß�çÍà½ÝwÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜSóbܯâÍÝ9/ÍÞ¯ãtæaí<ݱÛ�æhëwçLÝeÞ�áÈã�÷�Ü(âÍݱøhã�ô çaÝe÷ ãtޯݷß�Ûhíîß�÷ÃܯÝeÞܯâÍÝ ö æÍë±ìbóßtÛhí�Ü(âÍÝ�âÍÝeè½õtâ�ÜÈß�Ûhí#ñkÝeà½ã�äeè®Ü}ò�Þ�ß�Ü(è½ãkáÆçaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛ:ܯâÍÝ�Ü}ô�ãdá(è½í<ÝUáÆãt÷WÜ(âÍÝ ö æÍë±ì ��çLãtæÍÛaíÍáÆôpèÅÜ(âßtÛhß�à½ãtõkæÍÝSáÈè½ÛYõkßká�í<ò�Ûhß�ë±èÊäeáSóqçÍæÍÜ�ÛÍãtÜwèÅÛYâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊäeáSï �îÝ|çaÝSàÅè½ÝeñkÝ·Ü(âaß�Ü�ܯâÍÝSá(Ý|çLãtæÍÛhíháwß�Þ¯Ý|ßtä�Ü(æhßtàÅà½òÞ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí±ç�ò±Ü¯æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ܶâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháSóÍá�æhä�â�ßtá3Ü(âÍã�á�Ý àÅè½åtÝSàÅò4Ü(ã4ß�ìÍìLÝSßtÞ¶è½Û|ã<ä�ÝUß�ÛÍèÊäÀíÍÝeÛhá(Ý ã�ñkÝeÞ(øhã�ôÆáSï

�7âÍÝ�çaãkæÍÛhíÍáÀÜ(âhß�Ü ô�Ý�÷ ãtæhÛhí�ß�Þ¯Ýwá(æÍë±ë·ß�Þ¯è �SÝSí#è½Û"�qßtçÍà½Ý tï8�7âhÝeÞ¯Ýtó���ó �êß�Ûhí"!´í<ÝSÛÍã�ܯÝ�Ü(âÍÝ�Þ¯ß�Ü(è½ãká�@í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë ã�ñtÝSÞ�æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë9�Èã�÷pܯâÍÝ�ñ�ßtàÅæÍÝUá�÷ ãkÞ�Ü(âhÝ�çÍæhã�òkß�Ûaä�òtó�ñtÝSàÅã<äeè®Ü}òêß�Ûhí~âÍÝeè½õtâ�Üwãt÷pÜ(âÍÝ�àÅã�ô�ÝeÞàÊß`òtÝSÞSó�Þ(ÝUá�ìLÝSä�Ü(è½ñtÝSàÅò%�$#&%#ß�Ûaí'#�(�ßtÞ(Ý�ܯâÍÝ"/ÍÞ¯ãtæaí<Ý:Û�æÍëwçLÝeÞ�á|æÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë ßtÛhí�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë � ß�Ûhí*)~èÊáܯâÍÝ�í<è½ë±ÝeÛhá(è½ãtÛhßtàÅèÅÜ}òêã�÷pÜ(âhÝ|Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�ÝkóFßtá¯á�æÍë±ÝUíîÜ(ã�çLÝ�ÝeèÅÜ(âÍÝSÞwÜ}ô�ã�í<è½ë±ÝeÛhá(èÅãkÛhß�à��),+ ����ãtÞwÜ(âÍÞ¯ÝeÝí<è½ë±ÝeÛhá(è½ãtÛhßtà0�-)*+ � ��ï ,ÆÝSß�à7øaã�ôÆá4á(âÍãkæÍà½í2à½èÅÝ:á(ãtë±ÝeôpâÍÝSÞ(Ý�è½ÛlçLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛ6ܯâÍÝSá(Ý�Ü}ô¶ãîÝ�ú�ܯÞ(ÝSë4ÝUáeï.�7âÍÝÛ�æÍë�çaÝSÞ¯áÈè½Ûêçaãkà½íî÷ ãkÛkÜwßtÞ(Ý4ܯâÍÝ·çaãkæÍÛhíÍá�÷ ãtæÍÛhíbóqôpâÍè½à½Ý±Ü(âÍã�á�ݱè½ÛYÞ(ÝSõtæÍàÊß�Þ�÷ ãtÛ�Ü�õkèÅñkÝ�ܯâÍÝ·ñ�ß�à½æÍÝSá�ã�÷�Ü(âÍÝÞ¯Ýeë·ß�è½ÛÍè½ÛÍõêñ�ß�Þ¯è½ßtçÍàÅÝUá·ôpâÍÝSÛ2ܯâÍÝ�çLãtæÍÛaíÍádßtÞ(Ý:ßtä�âhèÅÝSñtÝSíbï �7âÍÝ�çLãtæÍÛaíÍá|ß�Þ¯Ý�á(ìÍàÅèÅÜdè½Û�Ü(ãêÜ}ô�ã~á�ÝUä�Ü(è½ãtÛaáeóäeãtÞ¯Þ(ÝUá�ìLãtÛhíÍèÅÛÍõ�Ü(ã4ܯâÍÝ�ìhß�Þ(Ü(èÊß�àbäeàÅã�á�æhÞ(ÝÈß�Ûhí�ܯã�ܯâÍÝÈ÷ æÍà½à>ä�à½ãká(æÍÞ¯Ýtó<Þ¯ÝSá(ìaÝUä�ܯèÅñkÝeà½òtï

�7âÍÝFà½ã�ô�ÝeÞçLãtæÍÛhíhábãtÛ.�MßtÞ(ÝMìhßtÞ�ܯè½äeæÍà½ßtÞ(à½òÆÞ¯Ýeà½Ýeñ�ß�Û�ÜUóUá(èÅÛaä�ÝWܯâÍÝeò�èÅë±ìÍà½ò Ü(âhß�ÜÜ(âÍÝFñkãtà½æÍë±ÝMøhã�ôîã�÷Íí<ÝeÛaá�Ýøhæhè½íYá(âÍãtæhà½íîÞ¯ãtæÍõkâÍàÅòîí<ãtæhçÍàÅÝ|ßkä�Þ¯ãká¯á�ß:á}ܯÞ(ãkÛÍõ#èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àFâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æÍë±ìbï �7âhè½áwÞ(ÝUá�æÍàÅÜ�èÊá�ä�ãkÛhá�èÊá�Ü(ÝeÛ�ÜôpèÅÜ(â|ãkçhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛháMãt÷Ü(âÍÝ��:ÝSí<èÅÜ(ÝSÞ(Þ�ß�ÛhÝSß�Û±ãkæ<Ü�øhã�ô�ó�ôpâÍèÊä�â·Þ(ãkæÍõtâhàÅò4í<ãtæÍçhàÅÝUáFôpèÅÜ(âÍè½Û·Ü(âhÝ?��æÍàÅ÷bã�÷qð�ßtíÍè �û ���`ýJó>ßtÛhí�ãt÷FÜ(âhÝ �ÀÝSÛÍë·ß�Þ¯å���Ü(Þ�ß�èÅÜ�ã�ñtÝeÞ(øhã�ô�óLôpâÍèÊä�âîßtà½á(ã�íÍãtæÍçÍà½ÝSá�ôpèÅÜ(âÍè½ÛYß|÷ ÝSôDâ�æÍÛhíÍÞ(ÝUí�å�è½àÅãkë4ÝeÜ(ÝSÞ¯áí<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ë/ã�÷qÜ(âÍÝ�á(èÅà½àFû �küUýJïH�îÝ�ä�ãkÛ ö ÝSä�Ü(æÍÞ¯Ý Ü(âhß�Üpá(æhä�â�í<ãtæÍçhàÅè½ÛÍõ±ã�÷bܯâÍÝ�øhã�ô á(âÍãtæhà½í�ß�àÊá�ãwܯßtåtÝ�ìÍà½ßkä�Ý÷ ãkÞ��ÆÛ�ܯßtÞ¯ä�Ü(èÊä ��ã�Ü�ܯãtë �îß�Ü(ÝeÞ�áÆßtàÅãkÛÍõ±Ü(âÍÝSèÅÞÀô�ß`ò·÷ Þ¯ãtë"Ü(âhÝY�ÆÛ�ܯßtÞ¯ä�Ü(èÊä�ä�ãkÛkܯèÅÛhÝeÛ�ܯßtàbá�âÍÝSà®÷Mܯã·Ü(âÍÝwã�äeÝSßtÛøhã�ãkÞSï6ð¶æÍÞ¯Þ(ÝSÛ�Ü(à½òtóMÜ(âhÝeÞ¯Ý�ßtÞ(Ý�ÛÍã�ܱÝeÛÍãkæÍõtâ2ãtçhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛháwß`ñ�ß�è½àÊß�çÍà½Ý|ܯã´ñ�ß�à½èÊíÍß�ܯÝ|Ü(âhè½á·äeãtÛ ö ÝUä�Ü(æhÞ(ÝkóWçÍæ<ÜàÊß�Þ¯õtÝ32Já¯äeßtàÅÝ Ý�ú<ìaÝUí<èÅÜ(è½ãtÛhápßtÞ(ÝÈìÍàÊß�ÛÍÛhÝSí�÷ ãtÞ7ܯâÍÝ�ÛÍÝSßtÞ�÷ æ<Ü(æÍÞ¯ÝÈÜ(âaß�ÜÆôpè½àÅàbìhÞ(ã�ñ�èÊí<Ý�Ü(âÍÝ�ÛÍÝSÝSí<ÝUí�íhß�ܯßhï

� Û#Ü(âhÝ�ã�ܯâÍÝeÞ âhß�ÛhíbóhèÅÜÀè½áÀèÅë±ìLãtÞ(ܯßtÛkÜpܯã|ìLãtè½ÛkÜ ãtæ<ÜÆܯâhß�Ü�á�ãkë4Ýwã�÷�Ü(âÍÝ�çaãkæÍÛhíÍáÆ÷ Þ(ãkë ��ß�çÍà½Ý tóaè@ï Ýtï½óܯâÍÝ�à½ã�ô�ÝeÞ4çaãkæÍÛhíÍá�÷ ãtÞ/�yß�Ûhí~÷ ãtÞ0#1(kó3ßtÞ(Ý�ìÍÞ(ãkçhß�çhàÅòêÛÍãtÜ4ìÍâ�ò<á(è½äSß�à½àÅòêë±ÝSßtÛÍèÅÛhõ�÷ æÍànï �yâÍè½àÅÝ�÷ ãtà½à½ã�ôpèÅÛÍõ÷ Þ¯ãtë ãtæÍÞ ë·ß�Ü(âhÝeë·ß�ܯè½äSß�àb÷ ãkÞ(ë�æÍàÊß�Ü(è½ãtÛ>óÍÜ(âhÝSá(ÝwçLãtæÍÛhíhá ßtÞ(Ýwßkä�âÍè½ÝeñtÝUí�÷ ãtÞÀìaß�Þ�ß�ë±Ý�ܯÝeÞÆñ�ß�à½æÍÝUáÆôpâÍÝSÞ(ÝwÜ(âÍÝìÍâ�ò<á(è½äSß�àbßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛhá�à½ÝSßkí<èÅÛhõ�ܯã·ãtæÍÞÆäeàÅã�á�æhÞ(ÝUá�ßtÞ(Ý�æÍÛÍà½è½åtÝeà½ò|ܯã±âÍãtàÊíï

�7âÍÝ�Þ(ÝUßtá(ãtÛêôpâ�òêô¶Ý|ãkç<ܯßtèÅÛ6çaãkæÍÛhíÍá�èÅÛaá}ܯÝSßtí~ã�÷ÆìÍÞ¯ÝSäeè½á(Ý|Û�æÍëwçLÝeÞ�á�ÝeñtÝSÛY÷ ãtÞwÜ(âÍÝ�÷ æÍà½à�äeàÅã�á�æhÞ(Ýkó�èÊáܯâhß�Ü�ô¶Ý�ß�Þ¯ÝÆÛÍã�Ü�ßtá¯á�æÍë±è½ÛÍõwßtÛ�ò±å�ÛÍã�ôpà½ÝSí<õkÝÆß�çLãtæ<ܶÜ(âÍÝ�á}Ü�ß�ܯÝSá¶æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë�ãtÞ�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ãt÷Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbïÚµÛl÷fßtä�ÜSó7ãtÛaä�Ý�Ü(âÍÝ /hÞ(ãkæhí<Ý:Û�æÍë�çaÝSÞ·æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë2# % è½á·á(ìaÝUä�è �hÝSíbó�ô�Ý�äeßtÛ2ë·ßtåtÝ#ìÍÞ¯ÝSä�èÊá(Ý�ìhÞ(ÝUí<è½ä�Ü(è½ãtÛhá��ܯâÍÝSá(Ýwß�Þ¯Ý�Þ¯ÝeìLãtÞ(Ü(ÝSí#è½Û�á(ÝSä�ܯèÅãkÛ Íï �ÍóLß�Ûhí:äeãtÛhá�Ü(èÅÜ(æ<ܯÝwß�Û:èÊí<ÝUß�à>çLÝeÛaä�âÍë·ß�Þ¯ådܯã·Ü(ÝUá}ÜÀãkæÍÞÆܯâÍÝeãkÞ(ò�ß�õ�ß�è½Ûhá}ÜÝeú�ìLÝeÞ¯è½ë4ÝSÛ�ܯáSï

/�èÅÛaß�à½àÅòkó�èÅÜ7è½á¶ìÍâ�ò<á�èÊäeßtàÅà½ò·ä�à½ÝSß�Þ3Ü(âhß�Ü�Ûhãwâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æhë4ìaápá�âÍãkæÍàÊí·çaÝ�ìLãká¯á�è½çÍà½ÝÀôpèÅÜ(âÍãkæ<Ü�í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯèÅãkÛbïÚJÜ�èÊá�è½ÛkܯÝeÞ¯ÝSá�Ü(è½ÛÍõ�Ü(ã:ÛÍãtÜ(ݱܯâhß�Ü�ܯâÍè½á�Þ(ÝUá�æÍàÅÜ�÷ ãtà½à½ã�ôÆá ÝUßtá(èÅà½ò�÷ Þ¯ãtë ãtæÍÞ�ë·ß�ܯâÍÝeë·ß�Ü(èÊäeß�àF÷ ãtÞ¯ëwæÍàÊß�ܯèÅãkÛ��qá(ÝeÝá(ÝSä�Ü(è½ãtÛhá-�±ß�Ûaí�ü�÷ ãkÞpë4ãkÞ(ÝÈí<Ýeܯß�è½àÊáeï

�7âÍÝÈÞ¯ÝSá�Ü�ãt÷>Ü(âhÝ�ìaß�ìLÝeÞ7è½ápá�Ü(Þ¯æhä�Ü(æÍÞ¯ÝSí�ßtá¶÷ ãtà½àÅã�ôÆáSÿMÚµÛ�á(ÝSä�Ü(è½ãtÛ��<ó<ô�Ý è½Û�Ü(Þ¯ã�íÍæhä�Ý Ü(âÍÝÈãkÛÍÝ 2µß�Ûhí 2Jß�2nâhßtà®÷52àÊß`òtÝSÞqë±ã<í<Ýeànótí<ÝUá(äeÞ(è½çLݶܯâÍÝpä�à½ãká(æÍޯݶìÍÞ¯ãtçhàÅÝSë�ókß�Ûhí4í<èÊá(äeæhá(á�ìÍÞ¯è½ãtÞWä�à½ãká(æÍÞ¯ÝSá�èÅÛ�Ü(âhÝ�à½èÅÜ(ÝeÞ�ß�ܯæÍÞ¯Ýtï>ÚµÛ·á(ÝSä�Ü(è½ãtÛhá��ß�Ûhí hóô�Ý4èÅÛ�Ü(Þ¯ã<í<æhäeÝ�ãkæÍÞÈìhß�Þ(Ü(èÊß�àWä�à½ãká(æÍÞ¯Ýwâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�èÊáSÿ�ßtÛ�è½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò:çhßtá(ÝSí´ãtÛ´ÝeÛÍÝSÞ(õkÝ�ܯè½ä4ä�ãkÛhá�èÊí42

Page 4: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

��ß�çÍà½Ý�kÿ��¶ãkæÍÛhíÍá÷ ãtÞ���ó ��ó�!bóUÜ(âhÝFÞ¯ß�Ü(è½ãká��@í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ã�ñtÝSÞæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë �ã�÷�Ü(âÍݶñ�ß�à½æÍÝSáI÷ ãkÞbܯâÍÝFçÍæÍã�ò�ß�ÛhäeòtóñkÝeà½ã�äeè®Ü}ò~ßtÛhí2âÍÝeè½õtâ�Ü·ã�÷ÆܯâÍÝ:à½ã�ô¶ÝSÞ�àÊß`òtÝSÞSóFÞ¯ÝSá(ìLÝSä�ܯèÅñkÝeà½ò%�7ßtÛhí6÷ ãtÞ # % ßtÛhí # ( ó3ܯâÍÝ /ÍÞ¯ãtæhí<Ý�Û�æÍëwçLÝeÞ�áæÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë ß�Ûaídí<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�� )±èÊá¶Ü(âÍÝ�í<è½ë±ÝeÛhá(è½ãtÛhßtàÅèÅÜ}ò·ã�÷qÜ(âÍÝ�Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ýkó<ÝeèÅÜ(âÍÝSÞ �wãtÞ-�hï �7âhÝ�çLãtæhÛhíÍá÷ ãkæÍÛhí:ß�Þ¯Ý�è½Û:çaãkà½í�÷ ãkÛkÜ<�hܯâÍÝ�ñ�ß�à½æÍÝUápã�÷MÜ(âhÝwÞ¯Ýeë·ß�è½ÛÍè½ÛÍõ·ñ�ß�Þ¯è½ßtçÍàÅÝUá7ôpâÍÝeÛ#ܯâÍÝ�çLãtæÍÛaíÍáÀßtÞ(Ý�ßkä�âÍèÅÝSñtÝUí�ßtÞ(Ýè½Û#Þ(ÝSõtæÍàÊß�Þ�÷ ãtÛ�ÜUï

� � ! # % #�(à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � ��������� �Íï �kü�% aï ����% �Íï �kü�� �Íï %�#%÷ ãkÞ$� )/+ � ��������� �Íï/��� % hï ü�%�� ü<ï �kü� �Íï % ��

� ��, �7ÚU� à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � ��� ����� aï � kü �Íï �S� �Íï �#�tüð� �����8,Æù ÷ ãtÞ � )/+ � ��������� üÍï #%� hï/���% �Íï � ��%

æÍìÍìLÝeÞpçLãtæhÛhí )/+ � �hï �ü� �Íï/� �� ��������� hï ��% � �Íï³ü�%�ü÷ ãtÞ$! )/+ � �hï ü�#� �Íï/�S�� ��������� ü<ï/� ��� �Íï³ü�4�

à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � ��������� �Íï ��% � aï �4��� �Íï �ü � �Íï %K�÷ ãkÞ$� )/+ � ��������� �Íï �K�� üÍï % �� hï³ü��#� �Íï ���4�

à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � ��� ����� �hï ��� � �<ï �#� �Íï ,!�÷ ãtÞ � )/+ � ��� ����� aï ���K �Íï ���� �Íï �kükü

æÍìÍìLÝeÞpçLãtæhÛhí )/+ � �hï ���K �Íï �S� � ��������� �Íï³ü �� �Íï³ü�� /���� ÷ ãtÞ$! )/+ � �hï ��� �Íï/���ü ��������� hï ���� �Íï³ü ��ð� �����8,Æù æÍìÍìLÝeÞpçLãtæhÛhí )/+ � �hï 4��� �Íï �K�% aï �ü�% � � ����� �Íï � �

÷ ãtÞ # % )/+ � �hï ü�%K �Íï/�tükü hï �S�� ��� ����� �Íï K`üà½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � ��������� tï %�� �÷ ãtÞ # % )/+ � ����� ��� �<ïe3#�

æÍìÍìLÝeÞpçLãtæhÛhí )/+ � tï %�� � ���������÷ ãtÞ #�( )/+ � �<ïe3 � ���!�����

à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhí )/+ � �Íï/��4� �hï ��� � �<ï �#� ���"�����÷ ãtÞ #�( )/+ � �Íï/��� % aï ���K �Íï ���� ��� � ���

ÝSÞ¯ß�Ü(è½ãtÛhá�è½Û�ñkãtà½ñ�èÅÛÍõ�Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛkÜpøaã�ôÆáeïMÚµÛ#á�ÝUä�Ü(è½ãtÛ�üÍó<ô¶ÝÈÝ�ú<ìÍà½ãtÞ¯Ý Ü(âÍÝ�äeãtÛhá(ÝSé�æÍÝSÛhä�ÝUá¶ãt÷qܯâÍèÊá7â�ò�ìLã�ܯâÍÝSá(è½áSóßtÛhí)�hÛhí|Ü(âÍÝ Þ(ÝUá�æÍàÅÜ(è½ÛÍõ�çLãtæhÛhíÍá¶ãtÛ|ß�à½àIí<ò�Ûhß�ë±èÊäeß�àLé�æhß�Û�Ü(èÅÜ(è½ÝSáSó�èÅÛhäeàÅæaí<èÅÛhõ�Ü(âhÝ ß�ë±ãkæÍÛ�ܶã�÷ÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜSïÚµÛîá�ÝUä�Ü(è½ãtÛ ÍóIô¶Ý�Ý�ú<ìÍà½ãtÞ¯Ý�Ü(âhÝ4äeãtÛhá(ÝSé�æÍÝSÛhä�ÝUáÆã�÷�ßdá�Ü(Þ¯ãtÛÍõkÝeÞÆâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�èÊáSÿpÜ(âhß�Ü Ü¯âÍÝ�øaã�ô�è½á�ë·ß�ú<è½ë±ßtàÅà½òܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü�çaãtÜ(âYæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtëvßtÛhí´íÍã�ôpÛhá}ܯÞ(ÝUß�ëþãt÷¶Ü¯âÍÝ ö æÍë±ìbï �7âÍèÊá�â�ò�ìLã�ܯâÍÝSá(èÊá�àÅÝUßtíÍá�Ü(ã�é�æhß�Û�ܯè®Ü�ß�Ü(è½ñtÝìÍÞ¯ÝSíÍè½ä�Ü(è½ãtÛháSó�ܯâhß�ܶäSß�Û·çLÝÆñ�ß�à½è½íhß�Ü(ÝUí·ß�õ�ß�è½Ûhá}ÜFãkçhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛháWßtÛhí±Ý�ú<ìLÝeÞ¯èÅë±ÝSÛkÜ�áeï /�èÅÛaß�à½àÅòkókè½Û|á�ÝUä�ܯèÅãkÛ � ô¶Ýí<èÊá¯ä�æhá¯á�Ü(âÍÝ�ñ�ßtàÅèÊí<èÅÜ}òdß�Ûhí�Þ¯Ýeà½Ýeñ�ß�Ûaä�ÝÈã�÷qÜ(âÍÝ�Þ¯ÝSá(æÍàÅܯá7ãtçÍܯß�è½ÛÍÝUíï

# $&%('*)MÙ,+.-0/1'2)>Ó3)�'7ÓqÓMÙSÒ(4

ڵ۱ܯâÍè½á¶á�ÝUä�ܯèÅãkÛbókô�ÝÆí<ÝUá(äeÞ(è½çaÝÀôpâhß�Ü3ô�ÝpçLÝeà½èÅÝSñtÝpܯã�çaÝÆÜ(âÍÝ�á�è½ë±ìÍàÅÝUá}Ü�á(äeÝeÛhßtÞ(è½ã�Ü(âhß�Ü�äeßtì<Ü(æhÞ(ÝUáMÜ(âÍÝ ä�à½ãká(æÍÞ(ÝìÍÞ¯ãtçhàÅÝSë ÷ ãkÞ>ÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍè½ÛÍõpâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháeÿqß7Ü}ô¶ã í<èÅë±ÝSÛhá�è½ãtÛaß�ànó 1 ãtÛÍÝ ��ß�Ûaí#��ß���âhßtà®÷ 6¶à½ß`òkÝeÞbë±ã<í<ÝSà@ó`æÍÛhíÍÝeÞܯâÍÝY��ãtæhá¯á�è½ÛÍÝUá(é·ßtìÍìÍÞ¯ã`ú�è½ë·ß�ܯèÅãkÛbï

��è½Ûhä�Ý7ô�ݶÝSÛ�ñ�èÊá(èÅãkÛ�ß�ìhìÍàÅèÊäeß�Ü(è½ãtÛháqã�÷LãtæÍÞ�ô�ãtÞ¯å ܯã ã<äeÝSß�Ûhè½ä3øhã�ôÆáSó�á�ãkë4Ý�ô�ãtÞ�íÍáqßtÞ(ݶèÅÛ4ãtÞ�í<ÝSÞqÞ¯Ýeõ�ß�Þ�í<èÅÛhõܯâÍÝ�Ý IÝSä�ܯápãt÷�Þ¯ã�Ü�ß�Ü(è½ãtÛ�ãtÛ#è½Û�Ü(ÝeÞ¯ÛhßtàçÍÞ(ÝUß�å�è½ÛÍõ±ô�ß`ñkÝSáSï �7âhÝeÞ¯Ý�èÊáÆß±Þ¯ÝeàÊß�ܯèÅñkÝeà½ò|ôpè½íÍÝSá(ìÍÞ(ÝUßtí�çaÝSàÅè½Ý�÷Mè½Û#Ü(âÍÝ

Page 5: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

õkÝeãtìhâ�ò<á(è½äSß�à�ä�ãtë±ë�æÍÛÍèÅÜ}ò#Ü(âhß�ÜÈÞ¯ã�Ü�ß�ܯèÅãkÛ�èÅÛhâÍèÅçhè®Ü�á�á�âhã�ä�å�÷ ãkÞ(ë·ß�ܯèÅãkÛ&�@á�ÝSÝtóâÍã�ô�ÝeñkÝeÞUó�û ��<ó����`ý ��ï � ÛhÝ�ãt÷ܯâÍÝ�Þ¯ÝSßtá(ãtÛaápôpâ�ò�á(âÍã<ä�å<áÆß�Þ¯Ý�Þ¯ßtÞ(ÝSàÅò|Ü(âÍãkæÍõtâ�ÜÀãt÷Mè½Û�ß·õkÝeãkìÍâ�ò�á(èÊäeß�àbäeãtÛ�Ü(Ýeú�ÜÀè½á ß±ë±è½á¯á 2Jõtæhè½í<ÝUí:ß�ÛhßtàÅãkõtòôpèÅÜ(â2Ü(âÍÝ ,pã�á(á(ç�ò~ßtí ö æhá�Ü(ë±ÝSÛkܱìÍÞ¯ãtçÍà½Ýeë#óFè½ÛlôpâÍè½ä�âlß�Û2èÅÛÍèÅÜ(èÊß�àÆíÍè½á¯ä�ãkÛkܯèÅÛ�æÍèÅÜ}òêÞ(ÝUá�ÝSëwçÍà½è½ÛÍõîßîá(âÍã<ä�åîèÊáßtàÅà½ã�ô¶ÝUí�ܯã�Ýeñkãtà½ñtݱè½Û~ß#Þ(ãtܯß�ܯèÅÛhõ�ÝSÛ�ñ�è½Þ¯ãtÛÍë±ÝeÛ�ÜUó>à½ÝSßtíÍèÅÛÍõ#ܯã:Ü(âhÝ|ÝSá�ܯßtçÍàÅèÊá(âÍë±ÝeÛ�Ü�ã�÷Æß:á(ë4ã�ãtÜ(âYá}ܯÝSßkí<òá�ܯß�Ü(Ý�èÅÛ2õtÝeã�á}ܯÞ(ãkìÍâÍèÊä|çhßtà½ßtÛhä�Ýkï �7âÍèÊá4ßtìÍìLÝSß�Þ�áwÜ(ãêèÅÛaí<è½äSß�ܯÝdܯâhß�Ü·á�âhã�ä�å<á±ß�Þ¯ÝdÛhã�ܱÞ(ãkçÍæhá�Ü4ãkç ö ÝSä�ܯá4èÅÛܯâÍÝ|ìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛhäeÝ·ã�÷�÷fßtá�ÜwÞ¯ã�ܯß�Ü(è½ãtÛbï��FÝ�Ü�ܯâÍèÊá�èÊáwß#ôpÞ¯ãtÛÍõ#è½ÛkܯÝeÞ¯ìÍÞ¯Ý�ܯß�Ü(è½ãtÛYá(èÅÛhäeÝtó�ÝeñkÝeÛêôpè®Ü¯âÍãtæÍÜwÞ(ãtܯß�Ü(è½ãtÛbóܯâÍÝ ,pã�á(á(ç�ò�ßkí ö æhá�Ü(ë±ÝeÛ�ÜÈìÍÞ¯ãtçÍà½Ýeë ��ôpâÍèÊä�â�çLÝSäeãtë±ÝSáÀÜ(âÍÝ4íÍß�ë çÍÞ¯ÝSßtå�èÅÛÍõdìÍÞ(ãkçÍà½Ýeë ã�÷Fâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äSá ��èÊáí<ãkë±èÅÛhß�Ü(ÝUíêç�òêß�á�Ü(Þ¯ãtÛÍõ�Þ¯ßtÞ(Ýe÷fßtä�ܯèÅãkÛ´ô7ß`ñtÝkóqôpèÅÜ(â2ß:ëwæhä�âYô�ÝSßtåtÝSÞ�àÅÝUßtí<è½ÛÍõ�á(âÍã<ä�åIï�� ë±ãtޯݷõtÝSÛÍÝeÞ�ß�àÞ¯ÝSßká�ãkÛ�ôpâ�ò±á�âÍã<ä�å<áFßtÞ(ÝpàÊß�Þ¯õtÝSàÅò�ÛhÝeõtà½ÝSä�Ü(ÝUí±è½áFÜ(âhß�ÜFÜ(âÍÝSò4íÍã�ÛÍã�Ü�ß�ìÍìLÝSßtÞFèÅ۱ܯâÍÝÀé�æhßká�è½õtÝSãká�Ü(Þ¯ãtìÍâÍèÊä0����� �ßtìÍìÍÞ¯ã`ú�è½ë·ß�ܯèÅãkÛbóhôpâÍèÊä�â�èÊáÆ÷ Þ¯ÝSé�æÍÝSÛ�Ü(à½ò�æaá�ÝUí#Ü(ã�ë±ã�íÍÝeàqøhã�ôÆáÆôpèÅÜ(â�÷fßtá�Ü Þ¯ã�ܯß�Ü(è½ãtÛbï��Æã�ô�ÝeñkÝeÞUóhãtÛhÝwëwæaá}ÜÞ¯Ýeë±Ýeë�çaÝSÞpÜ(âaß�ÜÆܯâÍÝ�����ß�ìÍìhÞ(ã`ú<è½ë±ß�Ü(è½ãtÛ �hàÅÜ(ÝeÞ�áÆßtàÅàqõtÞ�ß`ñ�èÅÜ}ò|ô7ß`ñtÝUáeó<ç�ò#ßtá¯á�æÍë±è½ÛÍõ±Ü(âhÝ�Þ(ÝSàÅÝSñ�ß�Û�ÜÀá(äSß�à½ÝSáܯã4çLÝ�à½ãtÛÍõ·ß�ÛaídܯâÍÝ�ñtÝSàÅã<äeè®Ü¯èÅÝUá7ô¶ÝUß�åIï��ÀÝeÛhäeÝtóhá(âÍã<ä�å<ápß�Þ¯Ý ÝeúÍä�à½æhí<ÝSí�÷ Þ¯ãtë äeãtÛhá(èÊí<ÝeÞ�ß�ܯèÅãkÛ ��� ��������� ï

��ß�Ü(âÍÝSë±ß�Ü(èÊäeßtàÅà½òtóÍãkÛÍÝÈë·ß`òdß�Þ¯õtæÍÝ Ü(âaß�ÜÆÛÍãkÛ4��í<è IÝeÞ¯ÝeÛ�Ü(èÊß�ܯÝSí·Ü¯ÝeÞ¯ë·áeóhá(æhä�â#ßtá�ܯâÍÝ�ð¶ãtÞ¯èÅãkàÅèÊá7ßtäSä�Ýeà½ÝeÞ�ß�2ܯèÅãkÛbó<äeß�ÛhÛÍã�Ü7ß� IÝSä�Ü�Ü(âhÝ à½ã<äeß�àIçLÝeâhß`ñ�è½ãtÞ�ß�Üpá�âÍã<ä�å<áSï � Û|ë±ãkÞ(Ý ìÍâ�ò�á(èÊäeß�àLõtÞ¯ãtæhÛhíÍáSókãkÛÍÝ�á(âÍãkæÍà½ídä�ãtë±ìhßtÞ(ÝßtÛ~ÝSá�Ü(è½ë·ß�Ü(Ýd÷ ãtÞwÜ(âÍÝ�ôpè½í<Ü(â6ãt÷Àß:â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æhë4ì2ôpè®Ü¯â2ß�Ü}ò�ìhè½äSß�à3ñ�ßtàÅæÍÝd÷ ãtÞ�Ü(âÍÝ�èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�à�Þ¯ßkí<è½æhá�ãt÷í<Ýe÷ ãtÞ¯ë·ß�Ü(è½ãtÛ#ãt÷�ܯâÍÝwã<äeÝSß�Û>ï ��è½ÛhäeÝ�Ü(âhÝ�÷ ãtÞ¯ë±ÝeÞÆÞ�ß�ÛÍõkÝSápè½Û#Ü(âhÝwâ�æÍÛhí<Þ¯ÝSíhápã�÷Wë±Ý�ܯÝeÞ�áeóIß�Ûhí�ܯâÍÝwàÊß�Ü(Ü(ÝeÞ èÅÛܯâÍÝwܯÝeÛhá ã�÷¶å�è½à½ãtë±Ý�ܯÝeÞ�áeóLãtÛÍÝ�ë·ß`ò#á¯ß�÷ ÝSàÅò:äeãtÛhäeàÅæhíÍÝ�Ü(âaß�Ü�Ü(âÍÝ4Ý IÝSä�ܯá�ã�÷FÞ¯ã�Ü�ß�Ü(è½ãtÛ�ãtÛ:ܯâÍÝ ö æhë4ìîß�Þ¯ÝtóLè®÷ÛÍãtÜpÛÍÝeõkàÅè½õtè½çÍà½ÝtóÍä�ÝSÞ�Ü�ß�è½ÛÍà½ò±÷fß�Þ�÷ Þ(ãkë í<ãkë4è½ÛhßtÛkÜUï��7âÍèÊá7è½á7ÛÍãtÜ7Ü(ã·á(ß`òkó�ã�÷�äeãtæÍÞ�á(Ýtó�Ü(âhß�ÜpÞ(ãtܯß�ܯèÅãkÛ�í<ã�ÝUá7ÛÍã�ÜìÍàÊß`ò�ß�÷ æÍÛhíhß�ë±ÝeÛ�ܯßtàFÞ¯ãtà½Ý4è½ÛêÝSá�ܯßtçÍàÅèÊá(âÍèÅÛhõ�ܯâÍݱøhã�ô èÅÛîÜ(âhÝ|ä�ãtÛ�ܯÝ�ú�Ü�ã�÷7ôpâÍè½ä�âîܯâÍÝ ö æÍë±ìYë·ß`ò�ã<äeä�æhÞSóôpâÍèÊä�âîë±ß`òkó>æÍÛaí<ÝeÞ�á(ãtë±Ý·ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛháSóbë·ß�åkݱá(âÍã<ä�å:÷ ãkÞ(ë·ß�ܯèÅãkÛ´ë±ãkÞ(ݱí<è·äeæÍàÅÜ � çÍæÍÜ�ÛÍã�Ü�è½ë±ìaã�á(á(èÅçhàÅÝ���ïÚµÛYìhßtÞ�ܯè½äeæÍàÊß�ÞUó�í<ã�ôpÛaá�à½ãtìLݱøhã�ôÆá�è½Û6ß:Þ¯ã�Ü�ß�Ü(è½ÛÍõ:ÝSÛ�ñ�è½Þ(ãkÛÍë±ÝeÛ�Ü�Ü(ÝSÛhíêܯã�ß�Ü(ܯßtä�âîܯâÍÝeë·á(Ýeà½ñtÝSá�Ü(ã�àÊß�ܯÝeÞ�ß�àçLãtæÍÛaíÍß�Þ¯èÅÝUáeï#�Àá¶÷fßtÞ�ßkáFܯâÍÝ ö æÍë±ì#ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛhá�ß�Þ¯ÝÀä�ãkÛhä�ÝSÞ(ÛhÝSíó�âÍã�ô�ÝeñtÝSÞSótÜ(âÍÝ�Þ¯ãtà½ÝÀã�÷bÞ¯ã�Ü�ß�ܯèÅãkÛ|è½á�ä�à½ÝSßtÞ(à½òë±è½ÛÍãtÞUïÚµÛ�ãkÞ¯í<ÝSÞpÜ(ãdèÅÛ�Ü(Þ¯ã<í<æhäeÝ�Ü(âÍÝ�ë±ã�íÍÝeànóLäeãtÛhá(è½íÍÝeÞpܯâÍÝ�äeãtÛ �hõkæÍÞ�ß�Ü(è½ãtÛ:í<ÝSìÍèÊä�Ü(ÝUí:è½Û"/�èÅõkæÍÞ(ÝhkóLäeãtÛhá(èÊá}ܯèÅÛÍõ

ãt÷3ßdá�ܯß�Ûaí<èÅÛhõ�è½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtà>â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ì�ôpèÅÜ(âÍè½Ûîß|Ü}ô¶ã���àÊß`òtÝSÞ7øhã�ô�óIèÅÛîßdä�âhßtÛÍÛÍÝeà�ôpèÅÜ(â�Þ¯è½õtèÊí#Ü(ãkì�ß�ÛhíçLã�Ü(Ü(ãtë àÅèÊíÍáSóÍá�ÝSìhß�Þ�ß�ܯÝSí|ç�òdß±í<èÊá�ܯß�Ûaä�Ý��Yï��è½Ûhä�Ý�Ü(âhÝ Ü¯ãtì�à½ß`òkÝeÞ7ôpè½àÅàçLÝ�ßtá¯á�æÍë±ÝUí|ܯã4çLÝÈëwæhä�â#í<ÝSÝeìLÝeÞܯâhß�ÛîÜ(âhÝ|çaãtÜ�ܯãtë ãkÛÍÝtóMß�Ûaí�ܯâÍãtæhõtâ�Ü�ã�÷pßtá�ßtÛYß�ëwçhèÅÝSÛkÜUó>ô�Ý·ôpèÅà½à3æaá�ݱܯâÍÝ|á�æhìaÝSÞ(è½Ûhí<Ýeú � ܯã:è½í<ÝSÛ�Ü(èÅ÷ òܯâÍÝ�ä�ãtÞ¯Þ¯ÝSá(ìaãkÛhí<è½ÛÍõ�ñ�ß�Þ¯è½ßtçÍà½ÝSáSó�á(æhä�â�ßká¶Ü(âÍÝ�ñtÝSàÅã<ä�èÅÜ}ò|ß�Ûaídí<ÝSÛhá�èÅÜ}òtó�ôpâÍè½à½Ý�Ûhã4á(æÍìLÝeÞ¯èÅÛhíÍè½äeÝSá�ôpèÅà½àIçaÝÈæhá(ÝSí÷ ãkÞwܯâÍÝ�ñ�ßtÞ(èÊß�çÍà½ÝSá�Þ¯ÝeìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�Ü(è½ÛÍõ�é�æhßtÛ�Ü(èÅÜ(è½ÝSá±ßtá¯á�ã<äeè½ß�Ü(ÝSíêôpèÅÜ(â6Ü(âÍÝ#çLã�Ü(Ü(ãtë#ó3ßkä�ܯèÅñkÝdàÊß`òtÝeÞUï �7â�æaá/!>ó� ßtÛhí �YÞ¯ÝeìhÞ(ÝUá�ÝSÛkÜÈܯâÍݱâÍÝeè½õtâ�ÜSó�í<ÝeÛaá�èÅÜ}ò�ß�Ûaí´ñkÝeà½ã<ä�èÅÜ}ò:ã�÷�Ü(âÍݱçLã�Ü�ܯãtëvà½ß`òkÝeÞUóôpâÍèÅà½Ý����*!bó� ���ß�Ûhí ���Þ¯ÝeìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�Ü Ü(âÍݱá(ßtë±Ý�é�æhß�Û�ܯè®Ü¯èÅÝUáÀ÷ ãkÞÀܯâÍÝ4Ü(ãkìbóß�ëwçhèÅÝSÛkÜÈàÊß`òtÝeÞUï?�´Ý±ôpè½àÅàWí<ÝSÛÍã�ܯÝ�ç�ò��/Ü(âhÝ�ìÍÞ¯ÝSá¯á(æÍÞ(Ý4ß�ÜܯâÍÝwܯãtì´Þ(è½õtèÊí:à½è½íï �<èÅÛhäeÝ�ô�Ý4ãtÛÍà½ò:ä�ãtÛaá�èÊí<ÝeÞ�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháÈèÅÛ´ôpâÍèÊä�â´ß�à½à�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜÀÜ�ß�åkÝSá ìÍà½ßkä�Ý÷ Þ¯ãtë ܯâÍÝ|ß�ë�çÍèÅÝSÛ�Ü øhæhè½íîè½ÛkܯãdܯâÍÝ·çLã�Ü�ܯãtëþàÊß`òtÝSÞSóLܯâÍÝ·ß�ëwçhèÅÝSÛkÜ�í<ÝSÛhá(è®Ü}ò� ��·èÊáÈß#ä�ãtÛaá}Ü�ß�Û�ÜSóôpâÍè½à½Ý� :èÊáÛÍãtÜSïV�<æÍçÍè½Ûhí<èÊä�ÝSáY�ß�Ûhí��±ß�Þ¯ÝÈæhá�ÝUí�Ü(ã|í<ÝSÛÍã�Ü¯Ý Ü¯âÍÝ�ñ�ß�à½æÍÝUá7ã�÷�Ü(âÍÝ�äeãtÞ¯Þ(ÝUá�ìLãtÛhíÍèÅÛÍõ4ñ�ß�Þ¯è½ßtçÍà½ÝSá�Ü(ã±Ü¯âÍÝ�à½Ý�÷ÃÜßtÛhídÞ¯è½õtâ�Ü�ãt÷qܯâÍÝ ö æÍë±ì#Þ(ÝUá�ìLÝSä�Ü(è½ñtÝeà½ò"� Ü(âhß�ÜÆè½áSó<æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ß�Ûhí�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�ã�÷qÜ(âÍÝ ö æÍë±ì+��ï �Àápô�ÝÈôpèÅà½àá(ÝeÝ·çLÝeà½ã�ô�óqè½ÛîÜ(âÍÝdàÅè½ë±è®Üwãt÷Æß#ñtÝeÞ¯ò�í<ÝSÝeìYß�ë�çÍè½ÝeÛ�ÜSóqÜ(âÍÝ�á�ò<á�Ü(ÝeëvÞ(ÝUí<æhäeÝSáÈܯã�ß:á�è½ë±ìÍàÅÝdãtÛÍÝkó>è½Û�ñkãtà½ñ�èÅÛÍõãkÛÍàÅò�ékæaß�Û�Ü(èÅÜ(è½ÝSápßká(á(ã<ä�èÊß�Ü(ÝUídôpèÅÜ(â�ܯâÍÝ�çaãtÜ�ܯãtë àÊß`òtÝSÞSï

�7âÍÞ¯ÝeÝ�äeãtÛhá�Ü(Þ�ß�è½Û�ܯápß�Þ¯ÝÈèÅë±ë±ÝSíÍè½ß�Ü(Ý�÷ ãkÞpÜ(âÍÝ�ñ�ßtÞ(èÊß�çÍà½ÝSá7è½Û�ñtãkàÅñkÝSí�èÅÛ#ܯâÍÝ ö æÍë±ìbÿ3õkàÅãkçhß�àbäeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛãt÷¶ë·ßtá¯áeóqâÍãtÞ¯è(�eãtÛ�Ü�ß�àMë±ãtë±ÝeÛ�Ü(æhëvß�Ûaí�ñkãtà½æÍë±ÝS�qÜ(âÍÝ·àÊß�ܯÝSá�Üwá�è½Ûhä�Ý4ܯâÍݱøhã�ôDèÊá�ßká(á(æÍë±ÝSí�Ü(ã#çLÝ·èÅÛhäeãtë)2ìÍÞ¯ÝSá¯á(èÅçÍà½Ýtï3ð¶ãkÛhá�ÝSÞ(ñ�ß�Ü(è½ãtÛdãt÷�ñkãtà½æÍë±ÝÈò�è½ÝeàÊíÍá

û ! ��� ����� ! � � � ý + ��� �=���ÀÝeÞ¯Ý#ßtÛhíYܯâÍÞ¯ãtæÍõkâÍãtæ<ܱܯâÍè½á±ìaß�ìLÝeÞUóFÜ(âhÝ�çhÞ¯ßkä�åtÝ�Ü�á±á}Ü�ß�Ûhí6÷ ãtÞ4Ü(âhÝ ö æÍë±ìlãt÷ÀܯâÍÝ#ÝeÛhäeàÅã�á�ÝUí~Ý�ú<ìÍÞ¯ÝSá¯á(èÅãkÛßkä�Þ¯ãká¯áMÜ(âÍÝ�á�âhã�ä�åIó�è@ï Ýtï½ókÜ(âÍÝÈí<è LÝSÞ(ÝSÛhä�ÝÆçLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛ|èÅܯá¶ñ`ßtàÅæhÝSá�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë�ß�Ûhí|æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë#ïFð¶ãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛãt÷që·ßtá¯á7ò�èÅÝSà½íÍá

û ! ��� � �!�"� !+� � � ý + �#� �)���

ü

Page 6: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

H >> h

h

hu

u

u << u

2

1

21

ρ

ρ

ρ

2

1

1

2u

a

a

a

/�è½õtæÍÞ¯ÝEtÿ �7ô�ã���àÊß`òtÝSÞ3øaã�ô ôpèÅÜ(â#ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍè½ÛÍõ4èÅÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ì

ù¶ékæaß�Ü(è½ãtÛaá��=��7ßtÛhí �)���7äSß�Û�çaÝ�äeãtëwçhèÅÛÍÝUí�èÅÛ�Ü(ã±ãkÛÍÝ�÷ ãtÞ 1 äeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛdã�÷�çÍæÍã�ò�ß�Ûhäeò46hóû � ! �aý�+ ��� � � �

ôpâÍÝSÞ(Ý.�Àè½ápÜ(âÍÝ�Þ¯ÝSí<æaä�ÝSí�õtÞ�ß`ñ�è®Ü}ò·ãkÞ7çÍæÍã�òkßtÛhä�ò

� + � �� � � � � #�

ßtÛhí � è½á�ܯâÍÝ�ßtäSä�Ýeà½ÝeÞ�ß�ܯèÅãkÛdãt÷qõtÞ�ß`ñ�è®Ü}òkïÚµÛ�ãkÞ¯í<ÝSÞIÜ(ãÆôpÞ¯èÅÜ(Ý3í<ã�ôpÛ�ܯâÍÝFÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛÈ÷ ãkÞbõtà½ãtçhßtàtä�ãkÛhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛ�ã�÷<ë±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍë#óUô�ÝFÛÍÝSÝSí�ܯãÀä�ãkë4ìhæ<Ü(ÝܯâÍÝ|ë±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍë øhæ<úYß�ÛhíîܯâÍÝdñkÝeÞ(Ü(èÊäeß�àWè½Û�Ü(ÝSõtÞ�ß�àFãt÷�ܯâÍÝdìhÞ(ÝUá(á(æÍޯݷãtÛYçLã�Ü(â~á(èÊí<ÝSáwã�÷7Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbï �7âÍÝ÷ ãkÞ(ë±ÝeÞpèÊá7õtè½ñtÝSÛ�ç�ò

! � ( � � �!�"� ! � �� � � ( �ôpâÍè½à½ÝÈÜ(âÍÝ�àÊß�Ü(Ü(ÝeÞUó<æhá(èÅÛhõ�ܯâÍÝ�â�ò<í<Þ(ã�á}Ü�ß�ܯè½ä�ß�ìÍìhÞ(ã`ú<è½ë±ß�Ü(è½ãtÛbó�Ü�ß�åtÝUá�Ü(âÍÝÈ÷ ãkÞ(ë

� � � � ��� � �!��� ! � ( � �!��� !+��!�� � � � ! ( +

� � � � ( � � � � � � � ! ( �

�ÀÝeÛhäeÝ�õtà½ãtçhßtàIäeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛdã�÷Më±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍë ò�è½ÝeàÊíÍá� ! � ( � � �!�"� !+� � � � � ( � � � �

� � � ! (�� + �#� �nü��

�Æì6Ü(ã´âÍÝeÞ¯ÝtóMô�Ý|âhß`ñtÝdãtÛÍà½òêë±ßkí<ݷܯâÍÝd÷ ãkàÅà½ã�ôpè½ÛÍõ�ßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛháSÿ4ñtÝeÞ(Ü(èÊäeßtàÅà½òîæÍÛÍèÅ÷ ãtÞ¯ëvøaã�ô�ôpèÅÜ(âhèÅÛÝUßtä�â#à½ß`òkÝeÞUó<â�ò�íÍÞ(ã�á}Ü�ß�Ü(èÊäÈçhßtà½ßtÛhä�Ý�ß`ô7ß`ò±÷ Þ(ãkë ܯâÍÝ ö æÍë±ìbóIß�Ûaídܯâhß�Ü�ß�à½à>ÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍë±ÝSÛkÜpÜ�ß�åkÝSápìÍàÊßtäeÝÈ÷ Þ(ãkë

Page 7: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ܯâÍÝ�æhìÍìaÝSÞÀܯãdܯâÍÝ4àÅã�ô�ÝeÞÆàÊß`òtÝSÞSóLôpèÅÜ(â�ܯâÍÝ4ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍÝSí:øhæÍèÊí�Þ�ß�ìÍèÊí<à½ò�ë±èÅú�ÝUí:ܯâÍÞ(ãkæÍõtâhãtæ<Ü Ü(âÍÝ�à½ß�Ü�Ü(ÝSÞSï ��ÜܯâÍè½áÆìaãkèÅÛ�ÜSóhâÍã�ô¶ÝSñtÝSÞSó�ô¶ÝÈÛÍÝSÝSí�Ü(ã·ë·ßtåtÝÈá}ܯÞ(ãkÛÍõtÝSÞ7ßká(á(æÍë±ì<ܯèÅãkÛháeó<è½Û#ãtÞ�í<ÝeÞ�ܯã·Þ(ÝUßtä�â�äeàÅã�á�æhÞ(Ýkï

/�èÅÞ�á�Ü�ãt÷3ß�à½à@óLô¶Ý�ÛÍÝeÝUí:ܯã�ä�àÊß�Þ¯èÅ÷ òdܯâÍÝ4íÍè½á�Ü(è½Ûhä�ܯèÅãkÛ�çLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛ�ß|çLãtÞ¯Ýwß�Ûaí�ß·â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ì2û ��ó#<�UýJï�<ä�âhÝeë·ß�ܯè½ä�Þ¯ÝeìhÞ(ÝUá�ÝSÛkÜ�ß�ܯèÅãkÛhá7ã�÷WçLã�Ü(â�ßtÞ(Ý�í<ÝeìÍèÊä�ܯÝSí#è½Û"/�èÅõkæÍÞ¯Ý �<óhè½Û:÷ Þ�ß�ë±ÝSáÆã�÷WÞ(Ýe÷ ÝeÞ¯ÝeÛhäeÝ�ë±ã�ñ�è½ÛÍõ·ôpèÅÜ(âܯâÍÝ·á�âÍã<ä�å<áSï�/ÍãtÞ�ܯâÍݱçaãkÞ(ÝkóôpâÍè½ä�âîèÊá è½ÛîÞ(ÝUß�à½è®Ü}ò#ë±ã�ñ�èÅÛÍõ�Ü(ã�Ü(âhÝ4à½Ý�÷ÃÜ�è½Û�Ü(ã:ß�Ûîß�Þ¯ÝSß|ãt÷¶é�æÍè½ÝSá¯ä�ÝeÛ�ÜÈøhã�ô�óܯâÍè½á�ä�âÍãtèÊä�Ý·ãt÷7÷ Þ¯ßtë4Ýdã�÷pÞ(Ýe÷ ÝeÞ¯ÝeÛhäeÝ·èÅë±ìÍà½è½ÝSá�ܯâhß�Ü�Ü(âÍÝdñtÝeà½ã<ä�èÅÜ(è½ÝSáwæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ëvã�÷7Ü(âhÝdçLãtÞ¯Ý|ß�ޯݷÝSé�æhß�à¶èÅÛá(èÅõkÛ·ß�Ûhí±ë·ß�õkÛÍèÅÜ(æhí<Ýkï �7âÍÝeÛbó�í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë#ó�ñtãkàÅæÍë±ÝÆäeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�Ü(è½ãtÛ±è½ë±ìÍàÅè½ÝSáFÜ(âhß�ÜFÜ(âhÝÆñtÝSàÅã<ä�èÅÜ(è½ÝSá¶ß�Þ¯ÝÆá}ܯèÅà½àÝUékæaß�à�èÅÛlá�è½õtÛbóWçhæ<Ü�ܯâhß�Ü4Ü(âhÝ�ñkÝeà½ã�äeè®Ü}òîã�÷ÀÜ(âÍÝ�àÅã�ô�ÝeÞUóMÝ�ú<ìhßtÛhí<è½ÛÍõ�àÊß`òtÝSÞwèÊá�á(ë·ß�à½àÅÝSÞwܯâhß�ÛYܯâhß�ܱã�÷ÀÜ(âÍÝæÍìhìaÝSÞ�à½ß`òkÝeÞUï���ò�äeãtÛ�Ü(Þ�ßtá�ÜSóIܯâÍÝ�â�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æÍë±ìîâhßtá�ñkÝeà½ã�äeè®Ü¯èÅÝUá�ã�÷3ãkìÍìaã�á�èÅÜ(Ý·á(èÅõkÛ�è½Û�ܯâÍÝ4Ü}ô¶ã�à½ß`òkÝeÞ�áeóçLã�ܯâ�æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ßtÛhí:í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë"ãt÷�ܯâÍÝ ö æhë4ì>ï��7âÍèÊá äeãtÞ¯Þ(ÝUá�ìLãtÛaíÍáeóhèÅÛ:ܯâÍÝwõkÝeãkìÍâ�ò�á(èÊäeß�àqá�èÅÜ(æhß�Ü(è½ãtÛ:ãt÷í<ÝSÛhá(Ý·ã�ñtÝeÞ(øhã�ôÆáSóÜ(ã:à½è½õtâ�Ü�ß�ë�çÍè½ÝeÛ�Ü�ô�ß�Ü(ÝSÞ�øhã�ôpè½ÛÍõ#ÛÍÝSßtÞ�Ü(âÍÝ�á�æÍÞ(÷fßtäeÝ|ß�õ�ß�è½Ûhá}ÜÈܯâÍÝdí<ÝSÝeìYã�ñtÝSÞ�øaã�ô�óbèÅÛãkÞ¯í<ÝSÞ�Ü(ã#Þ(ÝSìÍà½ÝeÛÍèÊá�â´è®Ü�á�á(ãtæÍÞ�ä�ÝkïwÚµÛ�û !�Uýnóqè®Ü�èÊá�ß�Þ¯õtæÍÝUí:ܯâhß�ÜÈÜ(âhÝ·Þ(ÝUá�æÍàÅÜ(è½ÛÍõ#á�è½õtÛaáÈã�÷3ܯâÍݱñtãkÞ�ܯÝ�ú�á(âÍÝeÝeܯáß�ÜÀÜ(âhÝ�è½Û�Ü(ÝeÞ(÷fßtäeÝ�çLÝ�Ü}ô�ÝeÝeÛ�Ü(âÍÝwÜ}ô¶ã�à½ß`òkÝeÞ�ápèÊá�á(æhä�â:ܯâhß�Ü�è®Ü�÷fß`ñtãkÞ¯áÆÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�Ü ãt÷3ß�ë�çÍèÅÝSÛ�ÜÀøhæÍèÊí�è½Û�Ü(ãܯâÍÝ�à½ã�ô�ÝeÞÆàÊß`òtÝSÞÆ÷ ãtÞ�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æhë4ìaáeóçÍæÍÜ�ÛÍãtÜÀ÷ ãkÞ çLãtÞ¯ÝSáSï��7â�æháSóL÷ ãtÞ�â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìháSóë±ãká�Ü ã�÷3Ü(âÍÝÝSÛÍÝeÞ¯õtò:í<èÊá(á(è½ìhß�ܯèÅãkÛ�ܯßtåtÝUá ìhà½ßkä�Ý4èÅÛ´Ü(âÍÝ4à½ã�ô¶ÝSÞSóIÝ�ú<ìhßtÛhí<è½ÛÍõ�à½ß`òkÝeÞ8�:ß�á�èÅÜ(æaß�Ü(è½ãtÛêß�Ûaß�à½ãtõtãkæhápܯãdܯâhß�Ü�ãt÷Ýeú�ܯÝeÞ¯Ûhß�ànóbá(èÅÛÍõkàÅݱàÊß`òtÝSÞ ö æÍë±ìháSï$� Û�ܯâÍÝ·ã�ܯâÍÝeÞÈâhßtÛhíóܯâÍݱÝ�ú<ìhß�Ûaí<èÅÛhõ�àÊß`òtÝSÞ ë·ß`ò:ÝSñtÝeÛîÝ�ú<ìLÝeÞ¯èÅÝSÛhä�ݱß�ÛÝSÛÍÝeÞ¯õtò·è½Ûhä�Þ¯ÝSßká�Ý�ßkä�Þ¯ãká¯á3è½Û�Ü(ÝeÞ¯ÛhßtàçaãkÞ(ÝUá�û !�Uýnï

a) Internal bore. b) Internal hydraulic jump.

/�è½õtæÍÞ¯Ý �Íÿ��ÀèÊá�Ü(è½Ûhä�ܯèÅãkÛ�çLÝ�Ü}ô�ÝeÝeÛ´èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�à�çaãkÞ(ÝUá �@ß �Àß�Ûhí�â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìhá �fç+��ï��7âÍÝ4ñtÝSàÅã<äeè®Ü¯èÅÝUáeóIÞ¯Ýeì 2Þ¯ÝSá(ÝeÛ�Ü(ÝUí�ç�ò�á}ܯޯßtèÅõkâ�ÜpßtÞ(Þ¯ã�ôÆáSó�ßtÞ(Ý�íÍÞ¯ß`ôpÛ�èÅÛ�ß4÷ Þ�ß�ë±Ý�ãt÷�Þ¯Ý�÷ ÝSÞ(ÝSÛhä�Ý�è½Û#ôpâÍè½ä�â#ܯâÍÝwá(âÍã<ä�å|ô7ß`ñtÝSápíÍã·ÛÍã�Üë±ã�ñtÝkï��7âhÝ4á(Ýeë±èÊä�è½Þ¯äeæÍà½ßtÞ ßtÞ(Þ¯ã�ôÆáÆá(âÍã�ô Ü(âÍݱá(èÅõkÛ�ã�÷FܯâÍÝ4ñtãtÞ(Ü(èÊä�èÅÜ}ò#ß�Ü�Ü(âÍÝ4èÅÛ�ܯÝeÞ(÷fßtä�Ý�çaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛ�Ü(âÍÝ�Ü}ô¶ãàÊß`òtÝSÞ¯áSó�÷fß`ñtãtÞ�ß�çhàÅÝÀÜ(ã±ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�Üpã�÷Wß�ë�çÍè½ÝeÛ�Ü7øhæÍèÊí�ãkÛÍà½ò|÷ ãtÞ7ܯâÍÝ�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìbïÚµÛ±Ü(âhè½á3ìhß�ìLÝeÞUótô�ÝÆä�ãkÛhá�èÊí<ÝSÞFèÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�à<â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æhë4ìaáeï �7âÍèÊáFèÊáFä�ãkÛhá(è½á�Ü(ÝSÛkÜFôpèÅÜ(â·ãkæÍÞFâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�èÊáWãt÷

Ýeú<äeàÅæaá�è½ñtÝSàÅò�í<ã�ôpÛ�ô�ßtÞ¯í�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜUï¶ÚJÜÈß�àÊá�ã±è½ë4ìhàÅè½ÝSá�ß·ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝÈ÷ ãtÞÆܯâÍÝ�ìÍÞ¯ÝSá¯á(æÍÞ(Ý ��ß�ÜÀÜ(âÍÝwÜ(ãtì:Þ¯è½õtèÊí

Page 8: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

à½è½íbï#��è½ÛhäeÝ7Ü(âÍÝSÞ(ÝpèÊáWÛÍãkÛÍÝ7ãtÞWà½è®Ü(Ü(à½ÝÀí<èÊá(á(èÅìaß�Ü(è½ãtÛ4è½Û�ܯâÍÝÆæÍìhìaÝSÞFà½ß`òkÝeÞUó � á¯ß�ܯè½á �hÝSáSótß�ÜFàÅÝUßtá�Ü3ß�ìÍìÍÞ¯ã`ú<èÅë·ß�Ü(Ýeà½òtó��ÝeÞ¯ÛÍãkæÍàÅà½è * á7ìÍÞ¯è½Ûhä�è½ìÍà½Ýtÿ �

� � � � � � ( � � � + �#� � �

��ãkë±Ý�ô�ãtÞ�íÍá4ß�Þ¯Ýdè½Û6ãtÞ�í<ÝSÞ4ßtçaãkæ<Ü�ܯâÍèÊá·ä�à½ãká(æÍÞ(ÝkóFá�è½ÛhäeÝ�ñ�ß�Þ¯èÊß�Ü(è½ãtÛaáwãt÷Àè®Ü±âhß`ñkÝdã<äeäeæÍìÍè½ÝSí~ë±ã�á}ܱã�÷ Ü(âÍÝí<èÊá¯ä�æhá¯á�è½ãtÛ´èÅÛ´Ü(âhÝ�ܯâÍÝeãkÞ(ÝeÜ(èÊäeßtà�à½èÅÜ(ÝeÞ�ß�ܯæÍÞ¯Ý�ãkÛ´è½Û�Ü(ÝeÞ¯ÛhßtàMá(âÍã<ä�å<áÆܯã:íÍß�ܯÝtï �7âhݱßtìÍìÍÞ¯ãkßkä�âÍÝSá Þ¯ßtÛÍõtÝw÷ Þ(ãkëßtÛîßkí#��âÍã<ä±ä�à½ãká(æÍÞ¯Ý4÷ ãtÞÈÜ(âhݱ÷ ãtÞ¯ë í<Þ�ß�õ#çaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛ´Ü(âÍÝ|Ü}ô¶ã�à½ß`òkÝeÞ�á�èÅÛyû �S�`ýJóbܯã#Ü(âÍÝ·ë�æ<Ü(æhßtàÅà½ò�ÝeúÍä�à½æhá�è½ñtÝßká(á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛaáÜ(âaß�ÜqßtàÅà�ÝeÛÍÝSÞ(õkò í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯèÅãkÛÈܯßtåtÝSá>ìÍàÊßtä�Ý3èÅÛ�ÝSè®Ü¯âÍÝeÞ>Ü(âÍݶàÅã�ô�ÝeÞ¶û ���`ý�ãkÞÜ(âhÝ3æÍìÍìLÝeÞ�àÊß`òtÝeÞ�áFû <�UýJï�7âÍÝÈä�à½ãká(æÍÞ¯ÝÆìÍÞ¯ãtìLãká(ÝSí·è½Û´û <�`ýIèÊá3Ü(âÍÝ�ë±ãká�Ü7ßkí<ÝSé�æhß�Ü(ÝÆ÷ ãkÞ¶çLãtÞ¯ÝSáSï �Æã�ô�ÝeñtÝSÞSók÷ ãtÞ¶Ü(âhÝ è½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtàaâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìháwä�ãtÛaá�èÊí<ÝeÞ¯ÝSí�èÅÛ´Ü(âhè½áÈìhßtìaÝSÞSó>ãtÛÍÝ·á(âÍãtæÍàÊí´ÝeÛ<÷ ãkÞ¯äeÝ4ß#ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛîá�è½ë±èÅàÊß�ÞÈܯã�ܯâÍݱãtÛÍݱìÍÞ¯ãtìLãká(ÝSí�èÅÛû ���`ýJó�ܯâÍãtæhõtâ±ôpè®Ü¯âÍãtæÍÜWÜ(âÍÝpè½Ûhä�ãkÛhá(è½á�Ü(ÝSÛhä�è½ÝSáWçhÞ(ãkæÍõtâ�ÜFß�çLãtæ<ÜMܯâÍÝeÞ¯Ýpç�ò�Ü(âhÝpà½ßkä�å�ã�÷ß�í<èÊá}ܯèÅÛhä�Ü(è½ãtÛ±çLÝ�Ü}ô�ÝeÝeÛçLãtÞ¯ÝSáÆßtÛhí:â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æhë4ìaáeóIß�Ûhí:Ü(âÍÝ�ÛhÝeõtà½ÝSä�ÜÀã�÷WܯâÍÝ�Ý3 LÝUä�ܯá ã�÷Wë±èÅú�è½ÛÍõ�ãtÛ#Ü(âhÝwí<ÝeÛaá�èÅÜ}ò#ã�÷MÜ(âÍÝ�àÅã�ô�ÝeÞàÊß`òtÝSÞSï�ÆÝeú�ÜSó�ô�ݶôpè½à½à�ë·ßtåtݶÜ(âÍÝ7ß�ìÍìhÞ(ã`ú<è½ë±ß�Ü(è½ãtÛ�ܯâhß�Ü�Ü(âhÝ7ßtëwçÍè½ÝeÛ�Ü�à½ß`òkÝeÞ�è½á�ëwæaä�â�í<ÝSÝeìLÝeÞ�Ü(âhßtÛ�ܯâÍÝ7çaãtÜ�Ü(ãkë

ãkÛÍÝtï8�7âhè½á�ß�ìÍìhÞ(ã`ú<è½ë±ß�Ü(è½ãtÛ:á(èÅë±ìÍà½è!�aÝSáÀÜ(âÍÝ4ë·ß�Ü(âhÝeë·ß�ܯè½äSáÀãt÷�ܯâÍÝ4ìÍÞ(ãkçÍà½Ýeë á�è½õtÛÍè �aäSß�Û�Ü(à½òtóIß�Ûhí�è®Ü�è½á�ß�àÊá�ãé�æÍèÅÜ(Ý�Þ(ÝUß�à½è½á�Ü(èÊäÀ÷ ãtÞ7ë±ãká�Ü�è½Ûhá�ܯß�Ûaä�ÝSá¶ã�÷�õtÝSãtìÍâ�ò<á�èÊäeßtàaí<ÝSÛhá(Ý ã�ñkÝeÞ(øhã�ôÆáeï�ù3é�æhß�Ü(è½ãtÛ"�=��¶äeß�Û�çaÝÈè½Û�Ü(ÝeõkÞ¯ß�Ü(ÝUíè½Û�Ü(ã

! ��� �!�"�,! � � � +�� � � ���ôpâÍÝSÞ(Ý�� èÊá�Ü(âÍÝ�ñkãtà½æÍë±Ý�øhã�ô ܯâÍÞ(ãkæÍõtâ�Ü(âhÝwá�âhã�ä�åIï /ÍãkÞÆâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháSó�� è½ápßtÞ(õkæhß�çhàÅò|á(ë·ß�à½à@óÍãkÞÆß�Üà½ÝSßká}ÜÆçLãtæÍÛaí<ÝSíóaÝeñkÝeÛ:ßtá�� õkÝ�ܯáÆñtÝeÞ¯ò|àÊß�Þ¯õtÝkï3ÚµÛ�Ü(âÍÝ�ä�ãtÛ�ܯÝ�ú�ÜÆã�÷Wí<ÝeÛaá�Ý�ã�ñkÝeÞ(øhã�ôÆáSó ��� Þ¯ÝeìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�Ü�á�Ü(âÍÝßtë4ãkæÍÛ�ÜÆã�÷Wô7ß�Ü(ÝSÞÆß�ÜÆܯâÍÝ�á(ãtæÍÞ�ä�Ý�ãt÷qܯâÍÝ�ã�ñtÝSÞ�øaã�ô àÅã�á}Ü�í<æÍÝ�ܯã·Ýeñ�ß�ìLãtÞ�ß�ܯèÅãkÛbóhßtá7è½Û#Ü(âhÝ �:ÝSíÍè®Ü¯ÝeÞ¯Þ¯ßtÛÍÝSßtÛßtÛhí ,pÝSí�á�ÝUßtáSóhãtÞÆÜ(ã|÷ Þ¯ÝeÝ��eè½ÛÍõhóLßtáÀèÅÛ#ܯâÍÝ �ÀÛkÜ�ß�Þ�ä�ܯè½ä�äeãtÛ�Ü(è½ÛÍÝSÛkÜ�ß�à�á�âÍÝSà®÷}ï��ÆÝeÛaä�Ýtóa÷ ãtÞ â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ìháSóܯâÍÝdßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛêܯâhß�Ü������ !Yè½ë±ìÍà½èÅÝUá�Ü(âaß�Ü � �� ���� ��¥ï �7âÍèÊáwßtàÅà½ã�ôÆáÈæhá�ܯã�ÛÍÝSõtà½ÝSä�ÜwÜ(âÍÝ�á�ÝUä�ãtÛaíܯÝeÞ¯ë èÅÛ �nü���óaß�Ûhíóhæhá�è½ÛÍõ � #��óhßtà½á(ã�Ü(âÍÝÈܯâÍèÅÞ�í�Ü(ÝSÞ(ë#ïÚµÛ:ãtÞ�í<ÝSÞpÜ(ã|á(èÅë±ìÍà½èÅ÷ ò�ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛ �nü��7ÝSñtÝSÛ�÷ æhÞ�ܯâÍÝeÞUóhô�Ý�ÛÍã�ܯè½äeÝ�Ü(âaß�ÜSóaèÅÛ:ë±ã�á}ÜÀã<äeÝSß�Ûhè½ä�ßtìÍìÍà½è½äSß�Ü(è½ãtÛaáeó

:ß�Ûaí� ��·ß�Þ¯ÝwñkÝeÞ¯ò�äeàÅã�á�ÝwÜ(ã�ÝSßtä�â�ã�Ü(âhÝeÞUï��7â�æaáeóIô�Ý4äSß�Û�ë·ß�åkÝ�ܯâÍÝh�¶ãkæhá¯á�è½ÛÍÝSá¯é�ß�ìÍìÍÞ¯ã`ú<èÅë·ß�Ü(è½ãtÛbóIß�ÛhíÞ¯ÝeìÍàÊßtäeÝ �è½Û#Ü(âhÝ��hÞ�á}ÜÀÜ(ÝeÞ¯ë ã�÷8�@ü �7ç�ò ���ï8�7âÍèÊáÆà½ÝSßkíÍápܯã·Ü(âhÝ�÷ ãtà½à½ã�ôpèÅÛÍõaóhë�æhä�â:Þ(ÝUí<æhäeÝSíóh÷ ãtÞ¯ë"ãt÷WÜ(âÍÝë±ãtë±ÝSÛkܯæÍë ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛbÿ �

! � ( � �� ! ( � + �#� � % �

ÚµÛ~äSßtá(ÝSá�ôpâhÝeޯݱÜ(âÍÝ�çÍæÍã�òkßtÛhä�ò �±í<ã�ÝSáwÛÍã�Ü�ä�âaß�ÛÍõkÝ|ßtä�Þ¯ãká¯áÈܯâÍÝ|â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æhë4ì>óWè@ï Ýtï½óMè®÷pܯâÍÝeÞ¯Ý|èÊá�ÛÍãá(èÅõkÛÍè �aäeßtÛkÜ·ÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜSó3ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛhá � �#�±ß�Ûhí � %#�4ìÍÞ(ã�ñ�èÊí<Ý�Ü(âÍÝ:ÛÍÝUä�ÝUá(á¯ß�Þ¯òYìhß�è½Þ·ã�÷ ö æÍë±ìyä�ãtÛaí<è®Ü¯èÅãkÛhá÷ ãkÞ�Ü(âhÝ·Ü}ô¶ã´í<ò�Ûhß�ë±èÊäeß�à¶ñ�ß�Þ¯è½ßtçÍàÅÝUá �2ßtÛhí,!>ï �7âÍÝSá(Ý ö æÍë±ì6äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaáwß�ޯݷè½ÛY÷fßtä�Ü�Ü(âÍÝ�á(ßtë±Ýdßtá�Ü(âÍÝá�ܯßtÛhíÍß�Þ�ílãtÛÍÝUá±÷ ãtÞ�Ý�ú�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àÆâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æhë4ìaáeóÆôpèÅÜ(â Þ(ÝUí<æhä�ÝUílõtÞ�ß`ñ�èÅÜ}ò �`ï ù¶á(á(ÝeÛ�ܯè½ßtàÅà½òtó¶Ü(âÍèÊá�è½á|Ü(âÍÝßtìÍìÍÞ¯ãkßtä�â�Ü�ß�åtÝSÛ:èÅÛ�Þ(Ýe÷ ÝeÞ¯ÝeÛhäeÝSáwû <�<ó%���<ó �S�`ýJóaôpèÅÜ(âîé�æhß�à½è!�Läeß�ܯèÅãkÛháÆõkèÅñkÝeÛ:ç�ò�Ü(âÍÝSèÅÞ�ñ�ß�Þ¯èÅãkæháÀäeàÅã�á�æÍÞ¯ÝSáp÷ ãtÞܯâÍÝÀìÍÞ¯ÝSá¯á(æÍÞ(ÝÆßtÛhí4Ü(âhÝeè½Þ¶ä�ãkÛhá(è½í<ÝSÞ¯ß�Ü(è½ãtÛ±ã�÷IܯâÍÝ äSßtá(ÝÆôpè®Ü¯â �hÛÍèÅÜ(Ý�ß�ë�çÍèÅÝSÛ�ܶí<ÝeìÍÜ(âbï �7âÍèÊá¶ßtìÍìÍÞ¯ãkßkä�â�ë·ß�åkÝSáá(ÝeÛhá(ÝÈ÷ ãtÞpçLãtÞ¯ÝSáSóÍôpâÍÝSÞ(ÝÈܯâÍÝwá(èÅõkÛ#ã�÷MèÅÛ�Ü(ÝSÞ�÷fßkä�èÊß�àñkãtÞ(Ü(èÊä�èÅÜ}òdí<ã�ÝSápÛhã�ÜÆ÷fß`ñkãtÞ7ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜUï��Æã�ô�ÝeñkÝeÞUó�÷ ãtÞè½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtàtâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìhá�ã�÷<Ü(âhÝ3å�èÅÛaíwá�Ü(æhí<è½ÝSíwâÍÝeÞ¯Ýtó`ÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�Ü�ß�ÜqÜ(âÍÝ ö æÍë±ì4äeãtæÍàÊí�çLݶäeãtÛhá(è½íÍÝeÞ�ß�çÍà½Ýtóß� LÝUä�Ü(è½ÛÍõ�á(èÅõkÛÍè �aäeßtÛkܯàÅò�Ü(âÍÝpçÍæhã�òkß�Ûaä�ò�ã�÷LÜ(âhÝ7øhæÍèÊíï �ÆÝeÛaä�Ýpô�ÝÆß�Þ¯Ý7á(âÍãkÞ�ÜWç�òwãkÛÍÝ7ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ��wãkÞSótÞ¯ß�Ü(âÍÝSÞSóç�ò|ãkÛÍÝÈìÍâ�ò�á(èÊäeß�àìhÞ(è½Ûhä�è½ìÍà½Ý��±÷ Þ¯ãtë"ä�à½ãká(æÍÞ(Ýkï � ìÍÞ(ãkìaã�á(ßtàIãtÛ�âÍã�ôyÜ(ã �aàÅàܯâÍèÊá7õkß�ì>óÍß�Ûhí�ß�Û�Ý�ú<ìÍà½ãtÞ�ß�ܯèÅãkÛãt÷qèÅܯáÆäeãtÛhá(ÝSé�æÍÝSÛhä�ÝUáeóÍäeãtÛhá�Ü(èÅÜ(æ<ܯÝSá�ܯâÍÝ�Þ(ÝUá}Üpãt÷qܯâÍè½áÆìhß�ìLÝeÞUï

%

Page 9: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

� �BÒ('ÆÔ 4 '7ÓMÙeØ ØpÕ�Ò()MÙ�Ö0'ÀÔ���ÓMÙ�Õ4Ò()

�yâÍÝSÞ(Ý#á(âÍãtæÍàÊí~ô�Ýdà½ã�ãtåê÷ ãkÞ�ܯâÍÝ�ë4èÊá¯á�è½ÛÍõîìÍâ�ò�á(èÊäeß�à�ìÍÞ¯èÅÛaä�è½ìÍàÅÝ�ÛÍÝSÝSí<ÝUíYÜ(ãêä�à½ãká(Ý�Ü(âÍÝ#á�ò<á�Ü(ÝSë ã�÷ ö æÍë±ìäeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaá�÷ ãkÞ4è½Û�Ü(ÝSÞ(Ûhßtà¶â�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æÍë±ìhá��þÚJܱèÊáwÜ}ò�ìÍèÊäeßtà7èÅÛ2ë4ÝUä�âhß�Ûhè½äSá�ܯâhß�ÜUó3ãtÛaä�Ýdë·ßká(á±ß�Ûaí~ë±ã�2ë±ÝeÛ�ܯæÍë âhß`ñtÝ:âhßkílÜ(âÍÝSèÅÞ�á(ß`òkó7ãtÛÍÝ�á(ÝSßtÞ¯ä�âhÝSá±÷ ãkÞ|ë±è½á¯á�è½ÛÍõ6äeàÅæhÝSá|è½ÛyܯâÍÝ�ìÍÞ¯èÅÛaä�è½ìÍàÅÝUá|ãt÷�äeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛãt÷pßtÛÍõtæhà½ßtÞ�ë4ãkë±ÝeÛ�Ü(æÍë ß�ÛaíêÝeÛÍÝSÞ(õkòtï ��ãtÜ(âêìÍÞ¯èÅÛhäeèÅìhàÅÝUá�ìÍàÊß`ò�è½ë±ìaãkÞ�Ü�ß�Û�ÜwÞ¯ãtà½ÝSá�ß�Ü�èÅÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àFâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìháSÿ�Ü(âÍÝw÷ ãtÞ¯ë±ÝeÞUóÍèÅÛ´á�ÝeÜ�Ü(è½ÛÍõ·Ü¯âÍÝwñkãtÞ(Ü(èÊä�èÅÜ}òdãt÷�ܯâÍÝ ö æhë4ì * á ë·ß�è½Û:Þ(ãkàÅànóLßkápô�Ýeà½àqßtáÆÜ(âÍÝwÜ(ãkÞ¯é�æÍÝ�ãt÷WÜ(âÍÝÛÍãkÛ 2Jâ�ò<í<Þ¯ãká�ܯß�Ü(èÊä7ä�ãtë±ìLãtÛÍÝSÛ�ÜFã�÷LÜ(âÍÝÆìhÞ(ÝUá(á(æÍÞ¯Ýtï �7âÍÝpà½ß�Ü�ܯÝeÞUótè½Û|í<Ý�ܯÝeÞ¯ë4è½ÛÍè½ÛÍõ�ܯâÍÝ ö æÍë±ì * áFè½Þ(Þ¯ÝeñkÝeÞ�á�è½çÍè½àÅèÅÜ}òtóܯâÍÞ(ãkæÍõtâ:ÝSÛÍÝeÞ¯õtò�Ü(Þ�ß�Ûaá}÷ ÝSÞÆ÷ Þ¯ãtë Ü(âÍÝ�ô¶ÝSàÅà 2JãtÞ�í<ÝeÞ¯ÝSí�ë±ÝSßtÛ:øhã�ô�óaÜ(ãdâhèÅõkâÍàÅò#æÍÛhãtÞ¯õkß�Ûhè �SÝSí�Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛkÜÈß�ÛhíÝSñtÝeÛ�ܯæhß�à½àÅò�Ü(âÍÝSÞ(ë·ß�à3ë4ãtÜ(è½ãtÛbï �7âÍÝ|èÊá(á(æÍÝUá�ß�Þ¯è½á(èÅÛhõ�÷ Þ¯ãtë ä�ãkÛhá�èÊí<ÝSÞ¯ß�Ü(è½ãtÛháÈãt÷7ßtÛÍõtæÍàÊß�Þ�ë±ãkë4ÝSÛ�Ü(æÍë ôpèÅà½àçLÝ�í<ÝUá(äeÞ(è½çLÝSí#è½Û�ß|í<è LÝSÞ(ÝSÛ�Ü ìÍæÍçhàÅèÊäeß�Ü(è½ãtÛ��á(ÝeÝwßtà½á(ã�û ��%`ýJï8�ÆÝSÞ(Ýkóaô�ÝwäeãtÛhäeÝeÛ�Ü(Þ�ß�ܯÝ�ãtÛ:ÝSÛÍÝeÞ¯õtÝeÜ(èÊä�ä�ãkÛhá�èÊí42ÝSÞ¯ß�Ü(è½ãtÛháSóIôpâÍè½ä�â´ô¶Ý�çaÝSàÅè½ÝeñkÝ4ßtÞ(Ý4ä�Þ¯æhä�èÊß�àMè½Û´í<ÝeÜ(ÝSÞ(ë±è½ÛÍèÅÛhõdܯâÍÝ�ë·ßtèÅÛ´ìÍÞ(ãkìaÝSÞ�ܯèÅÝUáÀãt÷¶è½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtàqâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìháSïùFÛhÝeÞ¯õtòÈä�ãtÛaá�èÊí<ÝeÞ�ß�ܯèÅãkÛhá>ßtÞ(Ý3ÛÍã�ÜMÛÍÝeô7ä�ãkë±ÝeÞ�áIÜ(ã ö æÍë±ì�äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaá>è½Û�øhæÍèÊíwá(ò<á}ܯÝeë·áSï>ÚJÜMè½áqèÅÛaá}ܯÞ(æhä�Ü(è½ñtÝ

ܯãYÛÍã�ܯè½äeÝ:âÍã�ô"í<è IÝeÞ¯ÝeÛ�ÜdßêÞ(ãkàÅÝ�ܯâÍÝeò2ìÍà½ß`ò6èÅÛ�Þ¯Ýeõtæhà½ßtÞ·â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeá4ñtÝSÞ¯á(æhá±õ�ßtá·í<ò�Ûhßtë4èÊäeáSïyÚµÛyçLã�Ü(âá(ò<á}ܯÝeë·áeóaë·ßtá¯áÆß�Ûhí#ë±ãkë4ÝSÛ�Ü(æÍë ä�ãkÛhá(ÝeÞ¯ñ`ß�Ü(è½ãtÛ�÷ ãtÞ�á}Ü�ß�Ûhí<è½ÛÍõdá(âÍã<ä�å<á7ܯßtåtÝ�ß±÷ ãkÞ(ë ÛÍÝUß�Þ¯àÅò�è½í<ÝSÛ�Ü(èÊäeß�à>Ü(ãܯâhß�ÜÆè½Û � � ��ßtÛhí � % ��ïWÚµÛ#â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeáSó

û ! �aý2+ �,�� ! � ( ��� + � �

ôpâÍÝSÞ(Ý��´èÊá Ü(âÍݱâ�ò<í<Þ¯ãká�ܯß�ܯè½äwìÍÞ¯ÝSá¯á�æÍÞ¯ÝtóLè½ÛkܯÝeõkÞ¯ß�Ü(ÝSí�ñtÝeÞ(Ü(èÊäeßtàÅà½ò#ã�ñtÝSÞÆÜ(âhÝ4ô7ß�ܯÝeÞ�âÍÝeè½õtâ�Ü.!bóbßtÛhí� #èÊá Ü(âÍÝäeãtÛhá�ܯßtÛkÜÆí<ÝSÛhá(è®Ü}ò|ãt÷�ô7ß�ܯÝeÞUïMÚµÛ�õ�ßtápí<ò�Ûhßtë4èÊäeáSó

û �hý2+ �K�� � ( ��� + � �

ôpâÍÝSÞ(Ý��#èÊá�Ü(âÍÝÈøhæhè½í�ñtÝSàÅã<äeè®Ü}òkó ·èÊá�Ü(âhÝ9� ñ�ß�Þ¯è½ßtçÍà½Ý���í<ÝeÛaá�èÅÜ}òtóÍßtÛhí��#èÊá�Ü(âÍÝ�ìhÞ(ÝUá(á(æÍÞ¯Ýtï�ÚµÛ�çLã�ܯâ#äSßtá(ÝSáSó�ô¶ÝäSß�Û#ßtíÍí�ß�Û#ÝeÛhÝeÞ¯õtò·ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛbó<ènï Ýtï½ó �

� �� ��� ��� ��� � + �

÷ ãkÞpõkßtá7í<ò�Ûhßtë±è½äSáeóhßtÛhí � � ! �� �

� � ! ( �����$��� ! ��� � + � � � �

÷ ãkÞ·â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æhë4ìaáeï �7âÍÝ:á(àÅè½õtâ�Ü|í<è LÝSÞ(ÝSÛhä�Ý:ßtÞ(èÊá�ÝUá�÷ Þ(ãkë Ü(âÍÝ:Ýeú<è½á�Ü(ÝSÛhä�Ý#ã�÷ÈßîìaãtÜ(ÝeÛ�ܯè½ßtàÆÝeÛÍÝSÞ(õkòYèÅÛâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äSáeóqôpâÍèÊä�âYâhßtá�Ûhã:õkßtá 2µí<ò�Ûhß�ë±èÊäeß�àFßtÛhß�à½ãtõkæÍÝtï �7âÍÝ|ÛÍÝSô�ñ�ßtÞ(èÊß�çÍà½Ý��|Þ¯ÝeìhÞ(ÝUá�ÝSÛkÜ�á�Ü(âÍÝ�èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àÝSÛÍÝeÞ¯õtòÆãt÷�Ü(âÍÝFõ�ßtáßtÛhíó`èÅÛÈâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äSáeó`ß�à½à�÷ ãkÞ(ë·áãt÷�ÝSÛÍÝeÞ¯õtò ÛÍã�ÜqßkäeäeãtæÍÛ�Ü(ÝUíÆ÷ ãkÞbç�òÀܯâÍÝFë±ÝSßtÛ�øhã�ô�ï �7âÍÝUá�ÝßtÞ(Ý�æhá(æhß�à½àÅò�äeãtÛhäeÝeì<ܯæhß�à½è(�eÝSí�ßtá�ë±ãká�Ü(à½ò�Ü(âhÝeÞ¯ë±ßtà@ótçÍæ<ÜSótèÅÛ4Þ(ÝUß�à½è®Ü}òkó�âhß`ñtÝ7ß�á}ܯÞ(ãkÛÍõÀܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜFä�ãtë±ìLãtÛÍÝSÛ�ÜSóè½Û�ßkíÍí<èÅÜ(è½ãt۷ܯã�Ü(âhÝ�á(æÍÞ(÷fßtä�Ý�ß�Ûhí|õtÞ�ß`ñ�èÅܯß�Ü(è½ãtÛhßtàÍÝeÛhÝeÞ¯õtò4Þ(ÝUá�èÊí<è½ÛÍõwè½Û·Ü(âhÝ�ßtèÅÞ�çÍæÍçÍçhàÅÝUá¶ÝSÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍÝSí±è½Û�Ü(ã�Ü(âÍÝøhã�ô�ï /ÍãkÞFæÍÛhíÍæÍà½ßtÞ3â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æhë4ìaáeó�Ü(âhÝeÞ¯Ýpè½á¶ß�àÊá�ã�ß�ô7ß`ñtÝ7Þ�ßtí<èÊß�ܯèÅãkÛ·ä�ãtë±ìLãtÛÍÝSÛ�ÜFÜ(ã�ܯâÍÝÆÝSÛÍÝeÞ¯õtòkï��7âÍèÊáô7ß`ñtÝ ��ÝeÛhÝeÞ¯õtòdèÊá�ÛÍã�Ü�ë±ã<í<Ýeà½ÝSí�ô¶ÝSàÅàWç�ò:ÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ � �#��óbá(èÅÛhäeݱè®Ü�èÊá Ûhã�Ü�ßtá¯á�ã<äeè½ß�Ü(ÝSí�ôpè®Ü¯â´ô7ß�ܯÝeÞ�ìhß�Þ�ä�ÝSà½áßtÛhí|ܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ý�í<ã�ÝUá7ÛÍã�Üpܯޯß`ñkÝeàß�Ü7Ü(âhÝ�ë4ÝUß�Û:á(ìaÝSÝSí�ã�÷qÜ(âÍÝÈøhæhè½íï

�7âÍÝSÞ(Ýîè½á#ß6÷fß�Þ�ë±ãtޯݴá(èÅõkÛÍè!�Läeß�Û�Ü:í<è LÝSÞ(ÝSÛhä�ÝîçaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛPâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeá�ß�Ûhí õkßkádí<ò�Ûhßtë4èÊäeáSï�ÚµÛPÜ(âÍÝ÷ ãkÞ(ë±ÝeÞUóbܯâÍÝ·è½ÛkܯÝeõkÞ¯ß�Ü(ÝSí´ìÍÞ¯ÝSá¯á�æhÞ(Ý��YèÊáwß�÷ æÍÛhä�Ü(è½ãtÛYã�÷�Ü(âhÝ|âÍÝeè½õtâ�Ü !>ï �ÀÝeÛhäeݱÜ(âÍÝ|ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛhá�÷ ãtÞ�ë·ßká(áßtÛhí·ë±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍë�ä�ãtÛaá}ܯè®Ü¯æ<Ü(ÝÈßwäeàÅã�á�ÝUí·á�ò<á�Ü(Ýeë#ó<ß�Ûaí±Ü(âÍÝ ÝeÛÍÝSÞ(õkò�ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛdäeßtÛ|çaÝ�æhá(ÝSí|ßká3ß�í<è½ßtõtÛÍã�á}ܯè½ä

Page 10: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

÷ ãkÞÈÜ(âÍÝdßtë±ãtæÍÛ�Ü�ã�÷7ÝeÛÍÝSÞ(õkò�í<èÊá(á(è½ìhß�ܯÝSíï·ÚµÛYõ�ßtáÈí<ò�Ûhß�ë±èÊäeáSó>ãk۴ܯâÍÝ·ã�ܯâÍÝeÞwâhß�ÛhíbóbÜ(âhÝ·ìÍÞ(ÝUá(á(æÍÞ¯Ý��Yè½á�ß÷ æÍÛaä�Ü(è½ãtÛYãt÷pÜ(âÍÝ�í<ÝeÛhá(èÅÜ}ò � � � ܯâÍÝdè½Û�Ü(ÝSÞ(ÛhßtàFÝeÛhÝeÞ¯õtò ��óqÜ(âÍÞ¯ãtæhõtâêÜ(âhÝ|ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛYã�÷Æá�ܯß�Ü(Ýtï �7â�æhá�Ü(âÍÝÝSÛÍÝeÞ¯õtò ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ�è½áqá}ܯÞ(èÊä�ܯàÅò�Þ¯ÝSé�æÍè½Þ(ÝUíÀܯãÀä�à½ãká(ÝWܯâÍÝ3á(ò�á�Ü(ÝSë#ï � æÍÞqìÍÞ(ãkìaã�á(ßtà�÷ ãtÞ>èÅÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�àtâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æÍë±ìháà½èÅÝUá�á(ãtë±ÝeôpâÍÝSÞ(ݱè½ÛYçaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛîÜ(âhÝSá(ݱÜ}ô¶ã:Ýeú�ܯÞ(ÝSë±Ý|äeßtá(ÝSáSïh�îÝ|Þ(ÝSà½ß�Ü(Ý �~ßtÛhí �·Ü(âhÞ(ãkæÍõtâêß�Ûêè½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}òè½Ûhá�Ü(ÝSßkí#ã�÷Fß�Û�ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ#ã�÷3á�ܯß�ܯÝtóLß�Ûhí:æaá�Ý�èÅÜ�ßkáÀß|íÍè½ßtõtÛÍã�á}ܯè½ä�ܯã�ãkà@ï /hãtÞ âÍèÅõkâÍà½ò�ÝSÛkܯޯßtèÅÛhèÅÛÍõ±øaã�ôÆáeóaô¶ÝܯæÍÞ(Û�ܯâÍè½á7è½ÛÍÝUékæaß�à½è®Ü}ò�èÅÛ�Ü(ã·ßtÛ�ÝUékæaß�à½è®Ü}òkó�Ü(â�æhápãkç<ܯßtèÅÛÍè½ÛÍõ·ß�÷ æÍà½à>ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝtïÚµÛ�ãtÞ�í<ÝeÞ�Ü(ã�÷ ã<ä�æhá�ܯâÍÝ�í<èÊá(äeæhá(á(è½ãtÛbó<ô�Ý ôpÞ¯èÅÜ(Ý�Ü(âÍÝ�á(ò<á}ܯÝeë�ã�÷�ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛhá0� �#��ß�Ûhí � % ��ó<Ü(ãkõtÝeÜ(âÍÝSÞ¶ôpèÅÜ(â

ßtÛ�ÝSÛÍÝeÞ¯õtò|ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛ�è½Û�ñtãtà½ñ�èÅÛhõwܯâÍÝ�òtÝeÜ7æhÛhá�ìLÝSäeè!�aÝSí 1 è½Û�Ü(ÝeÞ¯ÛhßtàÝeÛÍÝSÞ(õkò464í<ÝSÛhá�èÅÜ}ò ��ÿû � ! �hý + � �U<� ��

! � ( � �� ! (�� + � �U ��

� �! �� � � ! ( ��� ! ��� � + �#� �U!���

�7âÍÝ4í<ÝeÞ¯è½ñ`ß�Ü(è½ãtÛ:ãt÷FÜ(âÍÝ�ÝeÛÍÝSÞ(õkò�ÝUé�æhß�ܯèÅãkÛ �U!����÷ ãkàÅà½ã�ôÆápܯâÍÝ4á¯ß�ë±Ý�ìaß�Ü�ܯÝeÞ¯Û�ßtáÀÜ(âaß�Ü ãt÷WÜ(âÍÝ4ë±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍëÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ>ó3æÍÛhíÍÝe޷ܯâÍÝ:ßtá¯á�æÍë±ì<ܯèÅãkÛ6ܯâhß�ܷܯâÍÝ:è½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�àpÝSÛÍÝeÞ¯õtò ��ó7ä�ãkÛhá�èÊá�Ü(è½ÛÍõ´ãt÷ÈßtàÅà7÷ ãkÞ(ë·á±ãt÷ ÝeÛhÝeÞ¯õtòÛÍãtÜdßtäSä�ãtæhÛkܯÝSí2÷ ãtÞdç�ò6Ü(âÍÝ�ë4ÝUß�Ûløhã�ô ãtÞ·ç�ò~ܯâÍÝ�ìLã�ܯÝeÛ�Ü(èÊß�à ÝeÛÍÝSÞ(õkòtó�è½á±Ü¯Þ¯ßtÛhá(ìaãkÞ�ܯÝSí2ç�ò2Ü(âhÝ#øhæÍèÊíï�7âÍèÊáÆÝeúÍä�à½æhí<ÝSáÀ÷ Þ¯ãtë ãtæÍÞ�í<è½á¯ä�æaá(á(èÅãkÛ�Ü(âÍÝ�æÍÛhí<æÍàÊß�Þ ö æÍë±ìháSóaôpâhÝeÞ¯Ý�Þ¯ßkí<èÊß�Ü(è½ãtÛ:ãt÷Wô�ß`ñkÝ�ÝeÛÍÝSÞ(õkò�ìÍàÊß`ò<áÆß�Ûè½ë±ìaãkÞ�Ü�ß�Û�ÜÆÞ(ãkàÅÝkï3ÚJÜ ßtà½á(ã·Ý�úÍäeàÅæhíÍÝSá7ܯâÍÝ0��ÛÍÝUä�ÝUá(á¯ß�Þ¯èÅà½ò|ô�ÝSßtå � ö æÍë±ìháÀôpâÍÝeÞ¯Ý�ëwæhä�â:ãt÷qܯâÍÝ�ÝSÛÍÝeÞ¯õtò�õtã�ÝSáè½Û�Ü(ã�ãkÞ(õ�ß�ÛÍè(�eÝUíótßtá3ãtìÍìLãká(ÝSí4ܯã�Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛkÜUó<á�âÍÝUß�ÞUï � æÍÞ�ä�ãkÛkܯÝeÛ�Ü(è½ãtÛ·èÊáWܯâhß�ÜUót÷ ãkÞ¶á�Ü(Þ¯ãtÛÍõ�ÝSÛÍãtæhõtâ ö æÍë±ìháSóܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü7ë±èÅú<èÅÛÍõ±âÍãkë±ãtõtÝSÛÍè(�eÝSá3Ü(âhÝÈøhã�ô�ó<í<ÝSá�Ü(Þ¯ã�ò�èÅÛÍõ4ë±ãká�ÜpãtÞ¯õkß�Ûhè �SÝSí|á(âÍÝSßtÞSó<ßká¶ô�Ýeà½àbßtá7á(æÍìÍìÍÞ¯ÝSá¯á(èÅÛÍõë±ãká�ÜpÞ¯ßkí<èÊß�Ü(è½ÛÍõ±ô7ß`ñtÝSáSïH�´Ý�Þ¯ÝSá�Ü(Þ¯è½ä�Ü�ãkæÍÞÆí<èÊá(äeæhá¯á�è½ãtÛ�Ü(ã ö æÍë±ìháÀá(ß�Ü(èÊá}÷ ò�è½ÛÍõ4Ü(âÍèÊáÆä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛbï

�7âÍÝ:á(ò�á�Ü(ÝSë è½Û �=����%<� ��ä�ãkæÍàÊí6çLÝ:ä�à½ãká(ÝSí~ç�ò~á(ìaÝUä�èÅ÷ ò�èÅÛÍõYßtÛ 1 ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ~ã�÷Èá}Ü�ß�ܯÝ�6´Þ(ÝSà½ß�Ü(è½ÛÍõ ��ó !ßtÛhí �kóMèÅ÷7Ü(âÍèÊá�ë·ßtíÍÝ·ìÍâ�ò�á(èÊäeß�à¶á�ÝSÛhá�Ýkï ��Ýe÷ ãtޯݷõtãtè½ÛÍõ:è½ÛêÜ(âÍèÊáwíÍèÅÞ¯ÝSä�Ü(è½ãtÛbó�ô¶Ý·Ýeú<ìÍàÅãkÞ(Ý·âhã�ôDܯâÍÝ|ÝeÛhÝeÞ¯õtòÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ�äSß�Û�âÍÝSàÅìÈܯãÀä�à½ãká(ÝWܯâÍݶá(ò<á}ܯÝeë#ó`ç�òÈä�ãkÛhá(è½í<ÝSÞ(è½ÛÍõ �hÞ�á�ÜbÜ(âÍÝ�äeßká�ÝWôpèÅÜ(â�ÛhãÆÝeÛÍÝSÞ(õkò í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯèÅãkÛbó`è@ï Ýtï½óû ! ���eý + �Íï �îÝ�Ýeú�ìLÝSä�Ü ÛÍãdâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ì�ܯã|çaÝwìaã�á(á(èÅçhàÅÝ�æhÛhí<ÝeÞÈá(æhä�â�ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛháSóaá(èÅÛaä�Ý�â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äö æÍë±ìhá7í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯÝÀÝSÛÍÝeÞ¯õtòkï��3Þ(ã�ñ�è½ÛÍõÈÜ(âÍèÊá7á}Ü�ß�ܯÝeë±ÝeÛ�ܶâaßtá¶èÅÛhíÍÝeìLÝeÛhí<ÝSÛ�Ü7è½Û�Ü(ÝSÞ(ÝUá}ÜUókìÍà½æhá�èÅܶôpè½àÅàIâÍÝSàÅì�æhá3õkÝ�Üá(ãtë±Ý�âÍãtàÊí�ãt÷hÜ(âhÝ�ßtàÅõkÝeçÍÞ�ßÆè½Û�ñtãtà½ñtÝUí�è½Û�Ýeú�ܯޯßkä�ܯèÅÛÍõ ë±ÝSß�ÛhèÅÛÍõt÷ æÍà<è½Û<÷ ãtÞ¯ë·ß�Ü(è½ãtÛw÷ Þ(ãkë Ü(âÍÝ7âÍè½õtâhàÅò�ÛÍãkÛÍà½èÅÛÍÝUß�Þá(ò<á}ܯÝeë �=����%<� ��ï

�îÝpèÅÛhíÍÝ�ú�ܯâÍÝ7ñ`ßtÞ(èÊß�çhàÅÝUáqæhìhá}ܯÞ(ÝUß�ë ãt÷hܯâÍÝ ö æÍë±ì4ôpèÅÜ(â�kó�Ü(âÍã�á�Ý7í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�ôpè®Ü¯â �<ó�ß�Ûaíwè½Û�Ü(Þ¯ã�íÍæhä�ÝܯâÍÝ�ÛÍãtÛaí<èÅë±ÝSÛhá�è½ãtÛaß�àÞ�ß�Ü(è½ãká

� +� (� %� ! +

!�(! %� � +

��(� %� �U�� �

ßtÛhí|ܯâÍÝ�/ÍÞ¯ãtæaí<ÝÈÛ�æhëwçLÝeÞ�á# � +

� � � � � ! �

� �U�#�

�îÝ�ß�àÊá�ã4ÛÍãtÜ(ÝÈÜ(âaß�ÜÆâ�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìháÆë�æhá�Üpá¯ß�ܯè½á�÷ ò·Ü¯âÍÝ 1 ÝSÛkܯÞ(ãkì�ò464ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛhá��� � !�� � ßtÛhí ��� �� �U`ü��

�7âÍÝ à½ß�Ü�ܯÝeÞ3ãt÷Ü(âÍÝUá�ÝÀ÷ ãtà½àÅã�ôÆáF÷ Þ(ãkë�Ü(âÍÝÀ÷fßtä�ܶÜ(âhß�Ü3ܯâÍÝÆøhæhè½íÍá7äSß�Û·ãtÛhàÅò±ë±è®úó�ÛÍã�Ü 1 æÍÛhë4èÅú 6Íó�ß�ܶÜ(âÍÝ ö æÍë±ìbï�7âÍÝ�ãtÜ(âÍÝSÞpÜ}ô�ã±ßtÞ(Ý�á�ܯßtÛhíÍß�Þ�í�èÅÛ#Þ¯Ýeõtæhà½ßtÞpâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeáSÿ�Ü(âhß�ÜÆÜ(âÍÝÈøaã�ôBí<ÝUä�ÝSàÅÝSÞ¯ß�Ü(ÝSápßtÛhí�Ý�ú<ìhß�ÛaíÍáÆßtäeÞ(ã�á(áܯâÍÝ ö æÍë±ì:÷ ãkàÅà½ã�ôÆá7÷ Þ¯ãtë"Ü(âÍÝ�ܯâÍÝwäeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛ#ܯâhß�ÜÀÜ(âÍÝwøhã�ôPÛhÝeÝSíhápÜ(ã�á�ôpèÅܯä�â�÷ Þ¯ãtë ß·á�æÍìLÝeÞ�ä�Þ¯èÅÜ(èÊäeß�à>Ü(ã|ßá(æÍçIä�Þ¯è®Ü¯è½äSß�àÞ¯Ýeõtè½ë±Ýtï

��

Page 11: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

�ÆãtÜ(èÊä�Ý Ü(âhß�Üpô¶Ý æhá�Ý Ü(âhÝÀ÷ ãkàÅà½ã�ôpèÅÛhõwÛÍãtܯß�ܯèÅãkÛhß�àIä�ãkÛ�ñtÝeÛ�ܯèÅãkÛbótܯâhß�Üpá(âÍãtæÍàÊí|Ûhã�Ü7èÅÛ�Ü(Þ¯ã<í<æhäeÝ ä�ãkÛ<÷ æhá(èÅãkÛbÿ�yèÅÜ(âÍè½Û´Ü(âÍݱä�ãkÛkܯÝ�ú�ÜÈã�÷¶í<èÊá¯ä�æhá¯á�è½ÛÍõ�ä�ãtÛaí<è®Ü¯èÅãkÛhá�ß�ÜÈâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìháSó ��ó !bóbßtÛhí �wß�à½ô�ß`ò<áÀíÍÝeÛÍãtÜ(Ý�Ü(âÍÝÛÍãkÛhí<è½ë±ÝeÛhá(èÅãkÛhß�àaÞ¯ß�Ü(è½ãká¶ß�çLã�ñtÝtïH�yâÍÝSÛ�í<èÊá(äeæhá¯á�è½ÛÍõwõkÝeÛÍÝSÞ¯ßtàhÝUékæaß�Ü(è½ãtÛaá3ß�ìhìÍàÅò�è½ÛÍõ�ܯã�ܯâÍÝÀøaã�ô�ó ��ó !>ó<ß�Ûhí�Àí<ÝeÛÍãtÜ(Ýkó�Þ¯ÝSá(ìLÝSä�ܯèÅñkÝeà½òtó�Ü(âhÝÀøhã�ô ñtÝeà½ã<ä�èÅÜ}ò±èÅÛdÜ(âÍÝÈçLã�Ü�ܯãtë�àÊß`òtÝSÞSókÜ(âÍÝ�âÍÝSèÅõkâkÜ7ã�÷>Ü(âÍÝÈçLã�Ü�ܯãtë�àÊß`òtÝSÞSó�ß�ÛhíܯâÍÝ�çÍæÍã�ò�ß�Ûhäeòtó<ßtápí<Ý3�hÛÍÝUí�è½Û � 4��ï

�7âÍÝ ö æÍë±ì�äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaá �U����I!����ó�ܯãtõtÝeÜ(âÍÝSÞ7ôpè®Ü¯âêû ! ���Sý�+ �hóÍäeß�Û�çLÝ�Þ(ÝSôpÞ(èÅÜ�ܯÝeÛ:ßtá� ! � + �

� �# (%

+ ! � ( � �!�

# (%

� �# (%

+ ! �� � ! �# (%�

�7âÍÝ�àÊßtá�Ü7Ü}ô¶ã±ÝUékæaß�Ü(è½ãtÛaá�äSß�Û#çLÝ�ä�ãtë�çÍè½ÛÍÝSídÜ(ã±Ýeà½è½ë4è½Ûhß�Ü(Ý.#&%�ÿ��� � ! � !

���� � !�� ( � �

�! ( � ( �

�! �� $+ �#� �U� �

�7âÍÝ�á�ܯß�Ü(ÝSë4ÝSÛ�Ü�ܯâhß�ÜÆÛhã4â�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æhë4ì#èÊápìLãká¯á�è½çÍà½Ý�ôpèÅÜ(âhãtæ<ÜÆÝSÛÍÝeÞ¯õtòdíÍè½á¯á�è½ìhß�Ü(è½ãtÛ�è½á7ÝUékæhèÅñ�ß�à½ÝeÛ�Ü7Ü(ãaÿ/hãtÞ$!�� �ß�Ûhí � � tó�Ü(âhÝ�ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ �=�#��âhßtá7ÛÍã·á(ãtà½æ<Ü(è½ãtÛ�ã�ܯâÍÝeÞ7ܯâhß�Û"! + � + tï

�qã:ìÍÞ¯ã�ñtÝ4Ü(âÍèÊáSó�ô�Ý·ÛÍãtÜ(ݷܯâhß�Ü�ܯâÍÝdá¯ß�ë±Ý·Þ¯ÝSá(æÍà®Üwá(âÍãkæÍà½íêâhãtàÊí´è½Û�ñtÝSÞ�ܯèÅÛÍõ !>ó��qóMß�Ûhí � �@ß�÷ÃÜ(ÝSÞwß�à½ànóqôpèÅÜ(âÛÍã�í<è½á¯á(èÅìhß�Ü(è½ãtÛbóhÜ(âÍÝSÞ(Ý�èÊáÆÛhã�Ü(âhèÅÛÍõdìhß�Þ(Ü(èÊä�æÍàÊß�Þ ß�çLãtæ<ÜÀæhì�ñtÝSÞ¯á(æhápí<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë9��ï7ÚµÛ�Ü(Þ¯ã�íÍæhä�è½ÛÍõ±Ü(âhÝwá�ò�ë)2ë±Ý�ܯÞ(è(�eÝUídñ�ßtÞ(èÊß�çÍà½ÝSá

� + � � �+ ! � �

!�����/+ ���

��

ô�Ý�äeß�Û�Þ¯ÝSäeßká}Ü��=� ��ßká�+� � � ��� � ����� � � ( + � �

/hÞ(ãkë�Ü(âÍÝSèÅÞ í<Ý �hÛhè®Ü¯èÅãkÛháeó � ��� � �<óÍßtÛhí�Ü(âÍÝSÞ(Ýe÷ ãtÞ¯Ý � +�� + �<óÍä�ãkÞ(Þ¯ÝSá(ìLãtÛhí<è½ÛÍõ�Ü(ã � + ! + � + tï �7âÍèÊáäeãtÛhäeàÅæhíÍÝSá�Ü(âhÝ�ìÍÞ(ã�ãt÷}ïÚµÛ#á�ÝUä�Ü(è½ãtÛ#ü<ó�ô�Ý ôpè½àÅàbá(âÍã�ôyܯâhß�Ü7ÛÍãtÜ7ãkÛÍà½ò�û ! ���Sý��+ �w÷ ãtÞ7è½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à ö æÍë±ìháSó<çÍæ<ÜÆè½Û|÷fßkä�Ü�û ! ���Sý � �Íï

ÚµÛ#ã�ܯâÍÝeÞÀô¶ãkÞ¯íÍáSó<è½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�àÝSÛÍÝeÞ¯õtòdëwæhá�ÜÀçLÝ�õtÝeÛhÝeÞ�ß�Ü(ÝUí�ß�ÜÀß±â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ìbóaßkápãtÛhÝ�ô¶ãkæÍà½í�Ý�ú<ìLÝSä�ÜÀèÅÛßtÛ�ò�í<è½á¯á(èÅìhß�Ü(è½ñtÝ�ìÍÞ¯ã�äeÝSá¯áeï

- ��Ô�ÓMÙ � /6Ø2/eÕ )M×#Ô '���Õ�Ô Ó�%(' 'ÀÒ('ÀÔ 4� ÚµÛ:ãkÞ¯í<ÝSÞ7Ü(ã|í<ÝSñtÝSàÅãkì#ß·äeàÅã�á�æhÞ(ÝkóÍô¶ÝwÛÍÝeÝUídܯã|ë·ß�åkÝ�á�ãkë4Ý�ßká(á(æÍë±ì<ܯèÅãkÛhá7ãtÛ#ܯâÍÝ�Ûhß�Ü(æÍÞ¯Ý�ã�÷MÜ(âhÝ�èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àÝSÛÍÝeÞ¯õtò ��ï#�yâhß�ÜpèÊá3ܯâÍèÊá¶ÝSÛÍÝeÞ¯õtò·äeãtë±ìaã�á�ÝUí|ãt÷ � ��ò±Ü¯ßtå�è½ÛÍõwÜ(âÍÝ�Ü}ô�ã�øhæÍèÊíÍá�ܯã�çLÝÈë4èÊá¯ä�è½çÍàÅÝkó<ßtá�è®Ü7èÊá�Ü(âÍÝäSßtá(Ý4è½Ûêë±ãká�Ü�õtÝeãkìÍâ�ò<á�èÊäeßtàFß�ìÍìÍà½èÊäeß�ܯèÅãkÛháSóbô¶Ý·ÝeúÍä�à½æhí<Ý|ß�Û�ò�ÝSÛÍÝeÞ¯õtò�÷ Þ(ãkë õtãkèÅÛhõ�è½Û�Ü(ã�á(æÍÞ(÷fßtä�Ý4ܯÝeÛhá(èÅãkÛbï�îÝ�âhß`ñkÝ�ß�à½Þ(ÝUßtí<ò|ÝeúÍä�à½æhí<ÝSí#ô7ß`ñtÝ�ßtÛhí#ãtÞ¯õkßtÛÍè �SÝSí�á�âhÝSß�ÞÀÝeÛÍÝSÞ(õkòtóÍç�ò�ßká(á(æÍë±è½ÛÍõ±Ü(âÍÝwøhã�ôBèÅë±ë±ÝSí<èÊß�ܯÝeà½òí<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ë ãt÷aܯâÍÝ ö æÍë±ì±Ü(ã�çLÝÆâÍè½õtâhàÅòwÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü3ß�Ûaí�âhÝeÛhäeÝÆô¶ÝSàÅà!��ë±èÅú<ÝSíó�çLã�ܯâ·ñtÝSÞ�ܯè½äSß�à½àÅò$�@á�æhìÍìÍÞ¯ÝSá¯á 2è½ÛÍõ±á�âÍÝUß�Þ'�FßtÛhí|âÍãkÞ(è(�eãkÛ�ܯß�à½à½ò �@ß`ñtÝSÞ¯ßtõtè½ÛÍõ�ãtæ<Ü7ô7ß`ñtÝSá���ï �7âÍÝ Ü}ô¶ã4ë·ß�è½ÛdÞ¯Ýeë·ß�è½ÛÍè½ÛÍõ�÷ ãkÞ(ë·á�ã�÷qÝeÛÍÝSÞ(õkò±ßtÞ(ÝܯâÍÝeÞ¯ë·ß�àaßtÛhí4Ü(âhÝÆå�èÅÛÍÝeÜ(èÊäÆÝSÛÍÝeÞ¯õtò�ã�÷IÜ(âÍÝÀÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛaä�ÝÆèÅܯá(ÝeàÅ÷}ï �´ÝÀÛÍã�ôyß�Þ¯õtæÍÝ7ܯâhß�ÜUókè½Û±Ü(âÍÝ ÛÍÝeè½õtâ�çLãtÞ¯âÍã�ã<íãt÷á�Ü(Þ¯ãtÛhõ�â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìháSótܯâÍÝÀàÊß�Ü(Ü(ÝSÞ¶í<ãkë4è½Ûhß�Ü(ÝSá3ã�ñtÝSÞWÜ(âÍÝÆ÷ ãtÞ¯ë4ÝSÞ��@á�ÝSÝwû ���ýL÷ ãtÞ¶ßwä�àÊßtá¯á�èÊäeßtàÍßtäeäeãtæÍÛ�Ü'��ï��è½ñtÝSÛ�ܯâÍÝÆá(ë±ßtàÅàhñ�èÊá¯ä�ãká(èÅÜ}ò�ã�÷Iô�ß�Ü(ÝSÞSó�è½Û·ãtÞ�í<ÝSÞM÷ ãtÞMÜ(âhÝÆë±ÝSä�âhßtÛÍè½äSß�à<ÝSÛÍÝeÞ¯õtò�ãt÷aܯâÍÝÆè½Ûhä�ãkë±èÅÛÍõÈøaã�ô~Ü(ã�õkÝ�Ü

S

Page 12: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯÝSí#è½Û�Ü(ã|âÍÝUß�ÜUóhèÅÜ ÛÍÝSÝSíÍáÆÜ(ãdäSßtá¯äeßtíÍÝÈÜ(âÍÞ¯ãtæÍõkâ:ß·àÅãkÛÍõ·è½ÛÍÝeÞ(Ü(èÊß�àqÞ¯ßtÛÍõtÝ�ãt÷Wá¯äeßtàÅÝUáeï7ÚµÛ#ܯâÍè½áÀèÅÛhÝeÞ(Ü(èÊß�àÞ�ß�ÛÍõkÝtó�ܯâÍÝ�øhã�ôPè½ápÝUá(á(ÝeÛ�ܯè½ßtàÅà½òdè½Û�ñ�èÊá¯ä�èÊíóhß�Ûaí�äSß�Û#çLÝSá�ÜÆçaÝwíÍÝSá¯ä�Þ¯èÅçLÝSí#ßtápÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜSï�ùFñkÝeÛ�Ü(æhßtàÅà½òtó<ë±ã�á}Üãt÷Ü(âÍÝÀÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ܶÝSÛÍÝeÞ¯õtò±äeßká(äSßtí<ÝUáFí<ã�ôp۷ܯã�Ü(âhÝ�í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯèÅãkÛ·Þ¯ßtÛÍõtÝkókßtÛhí·çLÝSä�ãkë±ÝSáWܯâÍÝeÞ¯ë·ß�ànï �Æã�ô�ÝeñtÝSÞSóܯâÍè½ápܯß�åkÝSá¶÷fß�Þpë±ãkÞ(Ý�Ü(è½ë±ÝÈÜ(âhßtÛ�Ü(âÍÝÈøhæhè½í#á(ìaÝSÛhíÍápè½Û:ß�ÛhÝeè½õtâ�çaãkÞ(âhã�ã<ídã�÷�Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbï

�7â�æhá¶ô¶Ý�ßtá¯á�æÍë±ÝÀÜ(âhß�Ü ��èÊá¶äeãtë±ìaã�á�ÝUí|ß�à½ë±ãká�Ü3Ý�úÍäeàÅæhá(è½ñtÝeà½ò±ã�÷ܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü�ÝSÛÍÝeÞ¯õtòkï�/hæÍÞ�ܯâÍÝeÞ¯ë±ãtÞ¯Ýtókô¶Ýôpè½àÅàbßká(á(æÍë±Ý Ü(âhß�Ü�ܯâÍÝÈÜ(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�ÝÈèÊá7Þ(ãkæÍõtâÍà½ò±è½á(ã�ܯÞ(ãkìÍèÊä�ï��ÆãtÜ(èÊä�Ý�Ü(âhß�Üpè®ÜpèÊá7ÛÍã�ÜÆß�ìÍÞ(è½ãtÞ¯èä�à½ÝSßtÞ�ôpâhÝ�Ü(âhÝeÞܯâÍÝ�Û�æÍëwçLÝeÞÆãt÷MíÍèÅë±ÝeÛaá�è½ãtÛhá7ã�ñkÝeÞ7ôpâÍèÊä�â�Ü(âÍÝÈܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�ÜÀÝeÛÍÝSÞ(õkò·è½áÆìhß�Þ(Ü(èÅÜ(è½ãtÛÍÝUí#á�âÍãkæÍàÊídçLÝÈܯßtåtÝeÛ�ܯã·çaÝÜ}ô�ã�ãtÞwÜ(âÍÞ¯ÝeÝkï�ÚJÜ�èÊá4ä�ãtÛaä�Ýeè½ñ�ß�çÍà½Ý·Ü¯âhß�Ü�Ü(âÍÝSÞ(Ý�è½á4ß#Ü}ô�ã�2µí<èÅë±ÝSÛhá�è½ãtÛaß�à3äeãtë±ìaãkÛÍÝeÛ�Ü�Ü(ã�ܯâÍÝ|ܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝtóßká(á(ã<ä�èÊß�Ü(ÝUí#ôpè®Ü¯â�ܯâÍÝwë·ß�è½Û�ñkãtÞ(Ü(Ýeú�ã�÷3Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbóbß�Ûhí�ßdä�ãkë±ìhß�Þ�ß�çÍà½Ý�ܯâÍÞ(ÝSÝ 2µí<è½ë4ÝSÛhá(èÅãkÛhß�à�ä�ãtë±ìLãtÛÍÝSÛ�ÜSóÞ¯ÝSá(æÍàÅÜ(è½ÛÍõÆ÷ Þ¯ãtë ÝeÛhÝeÞ¯õtòÈÝSé�æÍè½ìhß�Þ(Ü(èÅÜ(è½ãtÛ�ß�ÜWá�ë·ß�à½à½ÝeÞMá(äSß�à½ÝSáSï �7â�æhá�ô¶Ý¶ôpèÅà½à�àÅÝUß`ñtÝFܯâÍÝ7í<èÅë±ÝSÛhá�è½ãtÛaß�à½è®Ü}òÈã�÷hÜ(âÍÝܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛhä�Ý ãtìLÝeÛ��<èÅܶèÊá�àÅè½åtÝSàÅò�Ü(âaß�Üpß�Û|è½Û�Ü(ÝeÞ¯ë±ÝSí<èÊß�ܯÝÀÛ�æÍë�çaÝSÞ¶çLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛ|Ü}ô�ãwß�Ûhí·Ü(âÍÞ¯ÝeÝ�çaÝUá}Ü�Þ(ÝSìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�ܯáÞ¯ÝSßtàIøhã�ôÆáeï � á7è®ÜpܯæÍÞ(Ûaápãtæ<ÜUó�Ü(âÍÝ�á(ÝeÛaá�èÅÜ(è½ñ�è®Ü}ò�ã�÷qãkæÍÞpìÍÞ¯ÝSí<èÊä�ܯèÅãkÛhá�Ü(ã·í<è½ë±ÝeÛhá(è½ãtÛhßtàÅèÅÜ}ò|èÊá7÷fß�è½Þ(à½òdá(ë·ß�à½à@ïÚµÛ�á(âÍãtÞ(ÜSóaô¶Ý�ßká(á(æÍë±ÝÈÜ(âhß�ÜÆÜ(âhÝwè½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à>ÝeÛÍÝSÞ(õkò�í<ÝSÛhá�èÅÜ}ò �fìaÝSÞÀæÍÛhè®Ü�ë±ßká(áÀß�Ûhí�æÍÛÍèÅÜ âhÝeè½õtâ�Ü��7ãt÷MÜ(âÍÝ

øhæhè½í�âhßká�Ü(âÍÝÈ÷ ãkÞ(ë� + )��

!����� ��� (�� )� �� � �U����

ô�ÝeÞ¯Ý )�èÊá�Ü(âÍÝîÛ�æÍëwçLÝeÞ#ã�÷±í<è½ë4ÝSÛhá(èÅãkÛhá �fá(ãtë±ÝeôpâÍÝSÞ(Ý´çaÝeÜ}ô¶ÝSÝeÛ Ü}ô¶ã�ß�Ûhí Ü(âÍÞ¯ÝeÝ���ó èÊá�Ü(âÍÝîñtÝSÞ�ܯè½äSß�àäeãtë±ìaãkÛÍÝeÛ�ÜFãt÷aܯâÍÝpñtÝSàÅã<ä�èÅÜ}òtó� �è½áWÜ(âÍÝpñkÝeÞ(Ü(èÊäeß�àÍäeã�ãtÞ�í<èÅÛaß�Ü(Ýkótß�Ûaí � ( � è½Ûhí<èÊäeß�Ü(ÝUáMÜ(âÍÝÆß`ñkÝeÞ�ß�õkݶãt÷ ( ã�ñtÝeÞܯâÍÝÈÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛaä�Ý�á(ìhßtäeÝ�ßtÛhí�Ü(è½ë4Ý�á¯äeßtàÅÝUáeï�îÝwá�âaß�à½à>ÛÍã�ô á�âhã�ô ܯâhß�ÜÀá(èÅë±ìÍà½Ý�ìÍâ�ò<á(è½äSß�à>ßtÞ(õkæÍë±ÝeÛ�ܯápßtàÅà½ã�ôPæaápÜ(ã·çLãtæhÛhí�Ü(âÍèÊápܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÀÝeÛhÝeÞ¯õtò

��ç�òdßtÛ#Ý�ú<ìÍÞ¯ÝSá¯á�è½ãtÛ�ã�÷>ܯâÍÝÈ÷ ãtÞ¯ë� � � � )

� ! � �U�% �

�7âÍèÊápä�ãkÛhá�Ü(èÅÜ(æ<ܯÝSá7ãtæhÞ7Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Üpìhß�Þ(Ü(èÊß�àbäeàÅã�á�æhÞ(Ýkÿ�ß4çLãtæÍÛhí�ãkÛdܯâÍÝ�ß�ë±ãtæÍÛ�Üpã�÷qÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÆÝSÛÍÝeÞ¯õtò±Ü¯âhß�Üß·àÊß`òtÝSÞÀãt÷�øaæÍè½í�ë·ß`ò�äeãtÛ�ܯßtèÅÛ:ôpèÅÜ(âÍãkæ<ÜÈèÅë±ë±ÝSí<èÊß�ܯÝeà½ò#ë4èÅú<èÅÛhõ|÷ æÍÞ(Ü(âÍÝSÞSï��Dô7ß`ò|ܯã�á(ÝeÝ�ܯâÍèÊáÀèÊáÆܯâÍÞ¯ãtæÍõkâß�Ü(âhãtæÍõkâkÜ�Ýeú<ìaÝSÞ(è½ë±ÝeÛ�Ü4ð¶ãtÛhá(èÊí<ÝeÞ�ß#çÍæaä�åtÝ�Ü�ôpèÅÜ(â~ß�âÍãkë4ãkõtÝSÛÍÝeãkæhá øhæÍèÊíó�ßtÛhíêßtá¯á�æhë4Ý4ܯâhß�Üwô�ݱâhß`ñtÝí<ÝSñ�è½äeÝSá�Ü(ã#Ýeú<äeè®Ü¯Ý±Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü�ë±ã�ܯèÅãkÛ´è½ÛîÜ(âÍݱøaæÍè½íîè½Û�Ü(ÝeÞ¯è½ãtÞUï � æÍÞ�äeãtÛ�Ü(ÝSÛ�Ü(è½ãtÛîè½á�ܯâhß�Ü�ܯâÍÝ|ß�ë±ãtæhÛkÜ�ãt÷ܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛhä�Ý|ß�Üwß�õtè½ñtÝeÛêí<ÝSì<Ü(â� :äSß�ÛÍÛÍãtÜ�çaÝ·ë·ßtíÍÝ|ß�Þ¯çÍè®Ü¯Þ¯ßtÞ(è½à½ò:à½ßtÞ(õkÝ�ôpèÅÜ(âÍãkæ<Ü�ܯâÍݱøhæÍèÊíêá�ìÍè½à½àÅè½ÛÍõ:ãtæÍÜSï�7âÍèÊá�è½á çLÝSäeßtæhá(ÝwܯâÍÝ�ìhÞ(ÝUá(á(æÍÞ¯ÝwôpèÅÜ(âÍè½Û�ܯâÍÝ4Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÈÞ(ÝSõtè½ãtÛ:ã�÷3Ü(âÍÝ�øhæÍèÊí�ë·ß`ò#Ý�úÍäeÝeÝSí�Ü(âÍÝ4ô�Ýeè½õtâ�Ü ãt÷ܯâÍÝÈøhæÍèÊí#ß�çLã�ñtÝ�è®ÜUï��>ã|á(ÝeÝ�Ü(âhè½áSóhä�ãkÛhá(è½í<ÝSÞpß±âÍãtÞ¯è �SãtÛ�ܯßtàIìÍà½ßtÛÍÝ�ä�æ<Ü(Ü(è½ÛÍõ±Ü(âhÞ(ãkæÍõtâ�Ü(âÍÝÈøaæÍè½í#ß�ÜpíÍÝeì<ܯâ� hï�7âÍÝÈìÍÞ¯ÝSá¯á(æÍÞ(Ý ãtÛ�Ü(âÍèÊá7ìÍàÊß�ÛÍÝÈÛÍÝSÝSíÍá�ܯã�çaß�àÊß�ÛhäeÝ�ÝeúÍßtä�ܯàÅò±Ü¯âÍÝÈô¶ÝSèÅõkâ�Ü�ãt÷>øhæÍèÊí#ß�çLã�ñtÝkókÝSà½á(Ý�Ü(âÍÝ�øhæÍèÊí�ôpèÅà½àßkäeä�ÝSàÅÝSÞ¯ß�Ü(Ýkï �7âÍÝwìÍâ�ò�á(èÊäeß�à>ãtÞ¯èÅõkèÅÛ#ã�÷MܯâÍè½á ìÍÞ¯ÝSá¯á�æhÞ(Ý�à½èÅÝUáÆè½Û#Ü(âÍÞ¯ÝeÝ�í<è½á�Ü(è½Ûhä�Ü�á(ãtæÍÞ�ä�ÝUáeÿFè½Û�Ü(ÝSÞ(ë±ãtà½ÝSäeæÍàÊß�ÞÆÞ¯Ý 2ìÍæhà½á(èÅñkÝ3÷ ãkÞ¯äeÝSáSó�ôpâÍèÊä�â�ãkìÍìaã�á�Ý7ä�ãkë±ìÍÞ(ÝUá(á(è½ãtÛ���ë±ãtë±ÝSÛkܯæÍë�ܯޯßtÛhá}÷ ÝSÞMç�ò�Ü(âÍÝSÞ(ë·ß�à�ë±ãtà½ÝSäeæÍàÊß�ÞMë±ã�Ü(è½ãtÛ��tß�Ûhíë·ßtäeÞ(ã�á(äeãtìÍèÊäÈë±ãtë±ÝeÛ�ܯæÍë Ü(Þ�ß�Ûhá�÷ ÝeÞ�ç�ò:ìhß�Þ�ä�ÝSà½áÀã�÷FøaæÍè½í�èÅÛ�Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÈë±ã�Ü(è½ãtÛ>ï0�7âhè½á à½ß�Ü�ܯÝeÞ�Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Üäeãtë±ìaãkÛÍÝeÛ�Ü7Ü(ã±Ü¯âÍÝ�ìÍÞ¯ÝSá¯á�æhÞ(Ýkó����¶ó<è½ápõkèÅñkÝeÛ�ç�ò

� � + � ( � � �U�� �

�7âÍèÊá�è½á¶ÝeÛ�ܯèÅÞ¯Ýeà½ò|ß�ÛhßtàÅãkõtãkæháMÜ(ã�Ü(âhÝ�äeãtÛhäeÝeì<ܯæhß�à½è �Uß�ܯèÅãkÛ|ã�÷>ìhÞ(ÝUá(á(æÍÞ¯ÝÀè½Ûdå�èÅÛhÝ�Ü(èÊäÀÜ(âÍÝSãtÞ¯ò4ãt÷>õkßká(á(ÝSáSókßká¶Ü(âÍÝë±ãtë±ÝSÛkܯæÍë/Ü(Þ�ß�Ûaá}÷ ÝSÞ¶ç�ò·ë±ãtà½ÝSäeæÍà½ßtÞFܯâÍÝeÞ¯ë·ß�àIë±ã�Ü(è½ãtÛ>ï�ÚµÛ�ãtæÍÞ7äeßká�Ýkó�Ü(âÍÝ�ë±ãtë±ÝeÛ�Ü(æhë/øhæ<ú·Ü(âhÞ(ãkæÍõtâdÜ(âÍÝìÍàÊß�ÛhÝ�ôpèÅà½à>çLÝwõkèÅñkÝeÛ:ç�ò�Ü(âÍÝ�ë±ãkë4ÝSÛ�Ü(æÍë èÅܯá(ÝeàÅ÷� ܯèÅë±ÝSá èÅܯápܯޯßtÛhá�÷ ÝeÞÀÞ�ß�Ü¯Ý óIõtè½ñ�èÅÛÍõ·Þ¯èÊá�Ý�ܯã"�U�� ��ïpÚJ÷� � á(âÍãtæÍàÊí�Ý�úÍä�ÝSÝSí�Ü(âÍÝpô�Ýeè½õtâ�Ü � � �ãt÷aøhæhè½í·ßtçaã�ñkݶܯâÍÝpìÍàÊß�ÛÍÝkó�ܯâÍè½áWøhæÍèÊí±ôpèÅà½àhßtäSä�ÝSàÅÝSÞ¯ß�Ü(Ý�æÍì|ß�Ûhí4í<Ýeܯßtä�â÷ Þ¯ãtë�Ü(âhÝÀøhæhè½ídçaÝSàÅã�ô�ó<á(èÅÛhäeÝÆܯâÍÝÈã�Ü(âhÝeÞ¶Ü}ô¶ãwäeãtë±ìLãtÛÍÝSÛkÜ�á�ã�÷Ü(âhÝ ìÍÞ¯ÝSá¯á(æÍÞ(Ý äeß�ÛhÛÍã�Ü7çaÝ�ÛÍÝSõkß�ܯèÅñkÝtï �ÆÝSÛhä�Ýô�ÝÈÛÍÝeÝUídܯã±âhß`ñtÝ � ( � � � #� �8�S� �

<�

Page 13: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

�yâÍÝSÛ�ܯâÍÝ4Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÈøhæÍèÊí�àÊß`òtÝSÞ è½Û´Ü(âÍݱçÍæhä�åkÝ�ÜÈæÍÛhí<ÝSÞ(à½è½ÝSáÈß�ÛÍãtÜ(âÍÝSÞÈà½ß`òkÝeÞ�ôpè®Ü¯â´à½èÅõkâ�Ü(ÝeÞ øhæÍèÊíó>Ü(âÍÝßtÞ(õkæÍë±ÝeÛ�Ü�àÅÝUßtí<è½ÛÍõ:ܯã&�)��� ��Þ(ÝSë±ßtèÅÛaá�ñ�ß�à½è½í~è®÷ÆãkÛÍÝ|Þ¯ÝeìÍàÊßtäeÝSáÈܯâÍÝdõkÞ¯ß`ñ�èÅÜ}ò´ä�ãkÛhá�ܯß�Û�Ü � ç�ò�ܯâÍÝdÞ¯ÝSí<æaä�ÝSíõkÞ¯ß`ñ�èÅÜ}ò � + ��� �� Lï �ÆÝeÛaä�Ý9�8�S� �¶çLÝSä�ãkë±ÝSá

� ( � �*� � �8�K��

,pÝSìÍàÊßtä�è½ÛÍõ �8�K��¶è½Ûkܯã �U�����óÍô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½ÛdܯâÍÝ�è½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò"�U�% ��ï�7âÍݶçaãkæÍÛhí�è½Û$�U�% �>á�ÝSÝeë·áܯã ß�õkÞ(ÝSÝWÞ¯ß�Ü(âÍÝSÞ>ô�Ýeà½àtôpèÅÜ(âwÜ(âÍÝ�ß`ñ`ßtèÅàÊß�çhàÅÝWÝeú�ìLÝeÞ¯è½ë4ÝSÛ�ܯß�àkÝeñ�èÊí<ÝeÛhäeÝtï /�èÅõkæÍÞ(Ý

�Èã�÷ �Wß`ôpà½ßtåwß�ÛhíE�ÀÞ(ë±è * á3ìhß�ìLÝeÞFãkÛ±ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜFè½Û|á}ܯޯß�Ü(è �hÝSí±ä�æhÞ(Þ¯ÝeÛ�ܯáÀû � �UýLí<ÝSìÍèÊä�ܯá¶ß 1 ,�� � /hÞ(ãkæhí<ÝÛ�æÍë�çaÝSÞ764ôpâÍèÊä�âbó<è½Û�ãkæÍÞpÛÍãtܯß�ܯèÅãkÛbó<èÊáÆí<Ý �aÛÍÝSí�ç�ò

#����� + �-��� � � (

� !� �8� ���

ôpâÍÝSÞ(Ý|Ü(âÍÝ�çhß�Þ�á�è½Ûhí<èÊäeß�Ü(Ý�ß`ñtÝeÞ�ß�õkÝSáÈè½ÛYÜ(âhÝ�á¯ß�ë±Ý�á(ÝeÛhá(Ý|æhá(ÝSí~èÅÛ2ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛ �U����'�¶è@ï Ýtï´çaãtÜ(â~ã�ñkÝeÞwÜ(âÍÝܯâÍè½ä�å�ÛÍÝUá(ábã�÷�Ü(âÍÝFàÊß`òtÝSÞbß�Ûhí�ã�ñkÝeÞIÜ(âhÝMÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝ3á¯äeß�à½ÝSáSï�� á�è½ÛÍõpãtæhÞ>ßtá¯á�æhë4ìÍÜ(è½ãtÛÈã�÷�Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛaä�ÝWèÊá�ãtÜ(Þ¯ãtì�òtóܯâÍÝ�í<Ý �aÛÍè®Ü¯èÅãkÛ#èÅÛ �U�����óÍß�ÛhídÜ(âÍÝ�çLãtæhÛhí�èÅÛ �U�% ��óÍô¶ÝÈãkç<ܯßtèÅÛ

# ����� + (� ! +� ���) � ! ��

��� � � � �� �8��� �

�7âÍèÊá�æÍìÍìLÝeÞ±çaãkæÍÛhí2ß�õtÞ¯ÝeÝUá�é�æÍèÅÜ(Ý�ô¶ÝSàÅà�ôpè®Ü¯â~ܯâÍÝ�ë±ÝUßtá(æÍÞ(ÝUíYñ�ß�à½æÍÝSáw÷ ãtÞ0#������±è½Û~ܯâÍÝdÞ¯ÝeõkèÅãkÛ~ã�÷ÆâÍè½õtâÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�Ü7Þ�ß�ܯÝtó ö æaá}Ü íÍã�ôpÛhá}ܯÞ(ÝUß�ë�ãt÷qܯâÍÝ�Ý�ú<ìLÝeÞ¯èÅë±ÝSÛkÜ�ß�àbá(èÅà½ànï�/ÍæhÞ�ܯâÍÝeÞÆí<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ë#ó<èÅÛ�ß4Þ¯ÝeõkèÅãkÛ�ãt÷âÍè½õtâhàÅò�Þ¯ÝSíÍæhä�ÝUíwÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜSó�ܯâÍè½áMñ�ßtàÅæÍÝpõkÝ�Ü�á�íÍÝSä�Þ¯ÝSßká�ÝUíwÞ¯ãtæhõtâÍà½ò�ç�òwß ÷fßtä�ܯãtÞMã�÷aÜ}ô¶ãaó�Ü(ã #������ � � � ��ü<ïÚJÜ3á(ÝeÝeë·áMà½èÅåkÝeà½ò�Ü(âaß�ÜSókèÅÛ�Ü(âhÝpÛÍÝeè½õtâ�çLãtÞ¯âÍã�ã�íwã�÷ß�ñtÝeÞ¯ò�á�Ü(Þ¯ãtÛÍõ�â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ìbó�ܯâÍÝpÞ¯èÅõkâkÜMè½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò

è½Û"�U�% �Wá(âÍãkæÍà½í±çLÝSäeãtë±ÝÀßtÛ·ÝSé�æhß�à½èÅÜ}òtï �7âÍÝÆÞ¯ÝSßká�ãkÛháFß�Þ¯ÝÆí<è LÝSÞ(ÝSÛ�Ü3÷ ãtÞ3Ü(âÍÝÆøhã�ôÆáFè½ë±ë4ÝUí<èÊß�Ü(ÝSàÅò4æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtëßtÛhí#èÅë±ë±ÝSíÍè½ß�Ü(Ýeà½ò:í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ã�÷MܯâÍÝ ö æÍë±ìbï��7âÍÝ�÷ ãkÞ(ë±ÝeÞUóaá(æÍìLÝeÞ�ä�Þ¯è®Ü¯è½äSß�ànóÍÜ}ò�ìÍèÊäeßtàÅà½ò�íÍã�ôpÛhá�à½ãtìLÝtóLß�ÛhíâÍè½õtâhàÅò�ܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜSó�ô�ãtæhà½í�âhß`ñtÝ�çLÝeÝeÛ±ÝSÛkܯޯßtèÅÛhèÅÛÍõÈß�ë�çÍè½ÝeÛ�ÜMøhæÍèÊíwçLÝ�÷ ãkÞ(Ý7ÝeÛaä�ãtæhÛkܯÝeÞ¯èÅÛhõÀܯâÍÝ ö æÍë±ìbï �ÆÝSÛhä�ÝèÅÜ�ô�ãtæhà½íyá(è®Ü#è½Û ß6á�ܯß�Ü(Ý�Þ¯è½õtâ�Ü�ß�Ü�ßYܯâÍÝêä�Þ¯è®Ü¯è½äSß�àÀñ�ßtàÅæÍÝ´÷ ãtÞdÜ(âÍÝ´Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ýîí<è½á¯ä�æaá(á(ÝSíyÝUß�Þ¯àÅè½ÝeÞ�ß�Ûhíà½ÝSßkí<èÅÛhõ�Ü(ã �U�% ��ï�� ÛdÜ(âÍÝÈãtÜ(âÍÝSÞ¶âhßtÛhíó�ܯâÍÝ à½ÝeñkÝeàIã�÷>Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝ è½Û|ܯâÍÝ�øhã�ôyè½ë4ë±ÝUí<è½ß�Ü(ÝSàÅò|í<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ëèÊá�íÍÝ�Ü(ÝSÞ(ë±è½ÛÍÝSí~ç�ò´Ü(âhÝ ö æÍë±ìbóWôpâhè½ä�â~ìhÞ(ÝUá�æÍë·ßtçÍàÅòîô�ãtæÍàÊíêÜ(ÝSÛhíêܯã�ë·ß�ú<è½ë4è(�eÝdÜ(âÍÝ�ä�ãkÛ�ñkÝeÞ�á�è½ãtÛêãt÷pÜ(âÍÝå�è½ÛÍÝ�ܯè½ä�ÝeÛÍÝSÞ(õkòêã�÷ÆܯâÍÝ#æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë øhã�ô èÅÛ�Ü(ã´Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ý#ß�Ûhí6ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜUï �´Ý�ôpèÅà½àpìLãká�Ü(ìLãtÛÍÝ#ß�Û�òäeãtÛhá(è½íÍÝeÞ�ß�Ü(è½ãtÛ#ãt÷�ܯâÍèÊá á¯ä�ÝSÛhß�Þ¯èÅã·ãt÷Wë±ß�ú<èÅë·ß�à½à½òdܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�ÜÀøhã�ôBÜ(ã�á�ÝUä�Ü(è½ãtÛ hóLß�÷ÃÜ(ÝSÞÆ÷ æÍà½àÅò#Ýeú�ìhàÅãkÞ(è½ÛÍõhóaèÅÛá(ÝSä�Ü(è½ãtÛ:ü<ó�Ü(âhÝ�ä�ãtÛaá�ÝUékæhÝeÛhäeÝSá7ã�÷qÜ(âÍÝ�è½ÛÍÝUékæaß�à½è®Ü}ò|è½Û �U�% ��ï

� � Õ�×:Ò#Ö0) ��Õ / /�Õ�� ÙeÒ(4 ��ÔWÕ + Ó %(' - ��Ô�ÓMÙ � /6Ø2/eÕ )M×#Ô '/hãtÞqÜ(âÍÝ7Þ¯ÝSßtíÍÝeÞ>ë±ãkÞ(ݶèÅÛ�Ü(ÝSÞ(ÝUá}ܯÝSíwèÅÛwÜ(âÍÝ7ìÍâ�ò<á�èÊäeáqã�÷aèÅÛ�Ü(ÝSÞ(Ûaß�à�â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìhá�ܯâhß�Û�èÅÛwÜ(âÍÝSèÅÞMë·ß�ܯâÍÝeë·ß�Ü 2èÊäeßtàbß�ÛhßtàÅò<á(è½áSó<ô¶ÝÈÝSë4ìhâhßtá(è �SÝÈÜ(âhß�ÜÀß�à½àbã�÷�ãtæÍÞpë±ã<í<ÝSàÅè½ÛÍõ|ßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛhá7âaß`ñtÝÈçaÝSÝeÛ#ë·ßtí<Ý�ß�ÜpÜ(âÍèÊápìLãtè½Û�ÜSï�7âÍݱë·ß�ÛhèÅìÍæhà½ß�Ü(è½ãtÛháÈè½ÛîÜ(âÍèÊá�á�ÝUä�ܯèÅãkÛbó>à½ÝSßkí<èÅÛhõd÷ Þ¯ãtë ܯâÍÝSá(Ý|ßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛhá ܯã�ܯâÍÝ·çLãtæÍÛhíhá�á�æhë4ë·ßtÞ(è(�eÝUíè½Û �qßtçÍàÅÝ�4÷ Þ¯ãtë á(ÝSä�Ü(è½ãtÛ tóqßtÞ(Ý4ìÍæÍÞ¯Ýeà½ò�ßtàÅõkÝeçÍÞ�ß�èÊä�óbßtÛhíêí<ã#ÛÍã�ÜwäeãtÛ�ܯßtèÅÛîß�Û�ò�âÍèÊíÍí<ÝSÛîÝeú�Ü(Þ�ß�ìhâ�ò<á(è½äSß�àâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�ÝUáeï

�yèÅÜ(â:ܯâÍÝ�ìhßtÞ�ܯè½ßtàbä�à½ãká(æÍÞ(Ý �=�% �pèÅÛ#âhßtÛhíóhô�Ý�äeßtÛ#Þ(ÝSñ�èÊá(è®ÜpܯâÍÝ ö æÍë±ì�ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛháSï�îÝ�Þ¯ÝSäSß�à½àIÜ(âhß�Ü �`ó��óÍß�Ûhí !#ßtÞ(ÝÈÛÍãkÛhí<è½ë4ÝSÛhá(èÅãkÛhß�àÞ�ß�ܯèÅã�á@�<á(ÝeÝ �U�� ��ïFù¶é�æhß�ܯèÅãkÛ �U!����çLÝSäeãtë±ÝSá

�! (��� ( � ��( ! (( � ( � ! (�� ( ��( +

�! % �� % � ��%�! ( % � % � ! % � % � % �

��

Page 14: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

� èÅñ�èÊí<è½ÛÍõ·ç�ò %( ! % � % óaß�Ûhí�æhá(èÅÛÍõ4ܯâÍÝÈ÷fßtä�ÜpÜ(âhß�Ü � ( ! ( � ( + � % ! % � % óÍô�Ý�ãkç<ܯßtèÅÛ�# (%

�-!�� �� ��� ! �� (� ( %

+ #� !�� ���� %� ( %

âÍÝSÞ(Ýkó�# % è½ápÜ(âÍÝ /hÞ(ãkæhí<Ý�Û�æÍë�çaÝSÞÆæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�ï ��è½ë4è½àÊß�Þ¯àÅòkóÍô¶Ý�íÍèÅñ�èÊí<Ý�çLã�Ü(â�á(èÊí<ÝSápãt÷qܯâÍÝ ö æÍë±ì�äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛ�=S��¶ç�ò ! % � ( % ï��7âÍÝÈ÷ æhàÅà>á(Ý�ÜÆãt÷ ö æÍë±ì�äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaá7çaÝUä�ãtë±ÝUá

� ! � + S���� !� � ��

# (%� ! � ( � + �K�

�# (%

�! � �� � �� ( %

�! ��� ( � � % � + #� ! �� �

��ãkàÅñ�è½ÛÍõ�÷ ãkÞ # (% è½Û|ܯâÍÝ�á�ÝUä�ãtÛaí·ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛ�ßtÛhí·÷ ãkÞ3ܯâÍÝÈÝeÛÍÝSÞ(õkò4Ü(ÝeÞ¯ë·á�èÅÛdÜ(âÍÝ Ü(âÍè½Þ�ídÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ>ó�ô�ÝÀãkç<ܯßtèÅÛ� ! � + S� �8��#�

# (% + ! � ���� �U � !�� ( � + #� ��� (

��� ( �-� � ��� � �8�kü�� # (%� ( %

�-� � ����� � (�� � %�� + � ���

�� ��� ( � � � � �

�� �� � �8�� �

�7âÍÝ7ìhßtÞ�ܯè½ßtà�äeàÅã�á�æhÞ(ݶèÅÛÍÝUé�æhß�à½è®Ü}ò9�=�%#�>ßtìÍìÍà½èÅÝUí�ܯãÀܯâÍÝ�øhã�ô6í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ã�÷ÍܯâÍÝ ö æÍë±ì±äSß�Û�çaÝ7ôpÞ¯è®Ü(Ü(ÝeÛßká

� � # (%� ( %

��� ( � ) � �8�#���

��è½ÛhäeÝ � % � �Íó�ܯâÍÝ�àÅÝe÷ÃÜÀâhßtÛhí�á(èÊí<Ý�ã�÷ �8��#�7äeßtÛ�çLÝ�çaãkæÍÛhí<ÝUíóÍæhá(è½ÛÍõ �8� ����óÍßká�÷ ãtà½àÅã�ôÆá # (%� ( %

�� � � � � � (� � � % � � # (%� ( %

� � ��

� ( � ) � � ����

+ ) � � � �� � �8��% �

/hÞ(ãkë �8�� ��ß�Ûhí �)��% ��ó<ô¶ÝÈãkç<ܯßtèÅÛ

� � � �� �� ( � � � � �

�� ��� � ) � � �

�� �

ôpâÍèÊä�â#äeß�Û:ßtà½á(ã�çLÝ�ôpÞ¯è®Ü(Ü(ÝeÛ:ßkáeÿ� � � )�� �

�� ��� ) �

�� � ( �

� (� �8��� �

� á�è½ÛÍõ·Ü¯âÍÝ�÷fßkä�ÜÀܯâhß�Ü � � � � 4ß�Ûhí�ܯâÍÝwè½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò �8���#��óLè®Ü ÷ ãtà½àÅã�ôÆáÆÜ(âhß�Ü � � �`óIá(èÅÛhäeÝ�Ü(âhÝwÞ¯èÅõkâkÜ âhß�Ûhíá(è½íÍÝÀã�÷ �)���#�FäeßtÛ|çLÝÀçLãtæÍÛhíÍÝSí·÷ Þ¯ãtë/ß�çLã�ñtÝÀç�ò � ���&�) �"�#�����qï �7â�æháSótܯâÍÝ�èÅë±ìÍà½è½äeè®Üpä�ãkÛhá�Ü(Þ�ß�è½ÛkܶèÅÛ"�)�tü ��óènï ÝkïÅó�� �'�qó<èÊáÆá¯ß�ܯè½á �hÝSí�á(ã4à½ãtÛhõ±ßká7èÅÛhÝSé�æhß�à½èÅÜ}ò"�8��� �¶âÍãtàÊíÍáSï

�îÝ�ß�àÊá�ã±âhß`ñkÝÀܯã·èÅë±ìLãká(Ý Ü¯âÍÝ�ÝeÛ�ܯÞ(ãkì�ò�ä�ãtÛaí<è®Ü¯èÅãkÛhá �U`ü���ó<è@ï Ýtï½ó��� � !�� � � � � � � � �

3

Page 15: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

�îÝ ä�ãkÛhä�à½æhí<ÝÆÜ(âhß�Ü�ß�à½àÍܯâÍÝ äeãtÛhíÍè®Ü¯èÅãkÛhá3í<ÝSÞ(è½ñ�èÅÛhõ�÷ Þ(ãkëDܯâÍÝÀäeãtÛhá(ÝeÞ¯ñ�ß�Ü(è½ãtÛ±ÝUékæaß�Ü(è½ãtÛaá3ß�Ûaí±ãtæÍÞ¶ìhß�Þ(Ü(èÊß�àäeàÅã�á�æÍÞ¯Ý Ü(âhß�Ü �`ó ��óÍß�Ûhí !#âhß`ñkÝÀܯã|á(ß�Ü(èÊá}÷ òdßtÞ(Ý �8��#��ó �8�kü���ó �)���#��óÍß�Ûaí � �S�#��ï

� ÛÍÝ �hÛhß�à�Þ¯Ýeë·ß�Þ¯åIÿ3èÅÜ�èÊáÆÝUßtá(òdܯã�á(ÝeÝtóa÷ Þ¯ãtë Ü(âÍÝ ö æÍë±ì�ä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛháSóaÜ(âhß�Ü Ü¯âÍÝwè½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtà>ÝeÛhÝeÞ¯õtò�øhã�ôßkä�Þ¯ãká¯á¶ß±â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ì�äeßtÛ�ãkÛÍà½ò|èÅÛaä�Þ¯ÝSßtá(Ýtó<ènï Ýtï½ó�Ü(âhß�Ü

û ! � �eý � � ��7âÍèÊáW÷ ãkàÅà½ã�ôÆáFç�ò4ÛÍã�ܯè½äeèÅÛhõ�Ü(âhß�ÜFÜ(âhÝÀÞ¯èÅõkâkܶâhß�Ûhí·á(èÊí<ÝÆã�÷ �)��#�Mè½á3ìaã�á�èÅÜ(è½ñtÝÀè®÷>ß ö æhë4ìdÝ�ú<è½á�ܯáSó�è@ï Ýtï½ókèÅ÷ � � tó� � kï��7âÍÝeÛ>ó � (

�� � % � � �

/hÞ(ãkë �8��#��ó<èÅÜÆÞ¯ÝSá(æÍà®Ü�á�Ü(âhß�Ü��(�� � % + � ! � ( � � % +

û ! ���eý� % ! %

�ßtÛhí|ܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ý·û ! ���eý � �Íï

����� ����� ���������������� ���

�7âÍÝ�è½ÛÍÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò �8��� �FÜ(æÍÞ¯Ûhá�ãtæ<Ü�Ü(ã4çLÝ�ñkÝeÞ¯ò±èÅë±ìLãtÞ(ܯß�Û�Ü7èÅÛ�ÝSá�ܯßtçÍàÅèÊá(âÍèÅÛhõ�Þ¯Ýeà½Ýeñ�ß�Û�Ü7çaãkæÍÛhíÍá¶÷ ãkÞ ��ó ��ó<ß�Ûhí!>óaènï Ýtï½óLà½ã�ô�ÝeÞÆçLãtæÍÛaíÍáÆ÷ ãkÞ �ÈßtÛhí �´ßtÛhí�ßtÛ:æÍìÍìLÝeÞ�çaãkæÍÛhí#÷ ãkÞ !>ï8�>ãd÷ æÍÞ(Ü(âÍÝSÞ ß�Ûaß�à½ò#�SÝ�Ü(âhÝwÞ¯èÅõkâkÜ âhß�Ûhíá(è½íÍÝ�ãt÷ �)���#��ó<ô�Ý�è½Û�Ü(Þ¯ã<í<æhä�ÝÈܯâÍÝÈ÷ æÍÛhä�Ü(è½ãtÛ

� ÿ �T� �@eý���� � � ���� + ��� ) � �� � ( �

� (�

� Û´Ü(âÍÝ·è½Û�Ü(ÝSÞ(ñ�ß�à �8� ���ýJó � è½á�äeãtÛhäSß`ñtݱß�Ûhí´âhßkáÈãtÛÍݱõtà½ãtçaß�àMë·ß�ú<èÅë�æÍë#óqí<ÝSÛÍã�ܯÝSí´ç�ò! �ï �7âÍÝeÛbó>÷ Þ(ãkë�)��� ��ó<è®Üp÷ ãkàÅà½ã�ôÆá�Ü(âaß�Ü

� � � ) � ��

�" � � �,��

��è½ÛhäeÝÈÜ(âÍÝ�à½Ý�÷ÃÜ 2nâhßtÛhí#á�èÊí<Ý�ãt÷ � �K��¶èÊáÆß·í<ÝUä�Þ¯ÝSßtá(è½ÛÍõw÷ æhÛhä�ܯèÅãkÛ�ãt÷&� ãkÛdܯâÍÝ�èÅÛ�ܯÝeÞ¯ñ`ßtà �T� �@eýnó�ܯâÍÝ�ë±èÅÛÍè½ëwæhëìLãká¯á�è½çÍà½Ý#ñ`ßtàÅæhÝ�ãt÷��dè½á·ßkä�âÍè½ÝeñtÝUí~ôpâÍÝSÛ2ÝUé�æhß�à½è®Ü}ò6è½á±Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí~è½Û � �K���ï � á�è½ÛÍõ �ÆÝSô7Ü(ãkÛ * á±ë±ÝeÜ(âÍã<í2Ü(ãäeãtë±ìÍæ<Ü¯Ý �ókß�Ûaí4Ü(âÍÝSÛ|á�ãkàÅñ�è½ÛÍõ�Ü(âÍÝÀé�æhßkí<Þ�ß�Ü(èÊä�ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛ·ßtá¯á�ã<äeè½ß�Ü(ÝSí�ôpèÅÜ(â � �,���ótô�Ý �hÛhí4Ü(âhÝÆë±èÅÛÍè½ëwæhëñ�ß�à½æÍÝÈã�÷ �`ï /ÍãkÞ )/+ �<óÍô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û

� � � � ü�%�% �ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò#èÊá Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí#÷ ãtÞ�� + � � ��ü�%|ßtÛhí ! + � ����%hï��ÀÝeÞ¯Ýtóbß�Ûaí:Ü(âhÞ(ãkæÍõtâÍãkæ<ÜÀܯâÍݱÞ(ÝUá}ÜÈã�÷3Ü(âÍÝ4ìhß�ìLÝeÞUóܯâÍÝ�Û�æÍë±ÝeÞ¯è½äSß�àÞ¯ÝSá(æÍà®Ü�ápß�Þ¯ÝÀܯÞ(æhÛhäeß�Ü(ÝSí#ß�÷ÃÜ(ÝeÞ7ܯâÍÝÈÜ(âhèÅÞ�í#í<ÝSäeèÅë·ß�àbíÍèÅõkè®ÜUï�/ÍãtÞ )/+ �hó<ô¶ÝÈãtçÍܯß�è½Û

� � � � üS��% �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ � + � � ����%4ß�Ûhí ! + �³ü�%��hï

�îÝ|ÛÍã�ô ܯæÍÞ¯ÛîãkæÍÞ�ß�Ü(Ü(ÝSÛkܯèÅãkÛ�ܯã �hÛhí<è½ÛÍõ�ß�à½ã�ô¶ÝSÞ�çLãtæhÛhíîãtÛ �qï9�7âhÝ·àÅÝe÷ÃÜ 2Jâhß�Ûhíêá(è½íÍÝ·ã�÷��)���#��è½á�ßí<ÝUä�Þ¯ÝSßká�è½ÛÍõ�÷ æÍÛhä�ܯèÅãkÛ#ã�÷ �ÆãkÛ �8� �@eýnï �7âÍÝSÞ(Ýe÷ ãtÞ¯Ýtó

) � � � � � � �� Û:ܯâÍÝwè½Û�Ü(ÝSÞ(ñ�ß�à �T� �@eýnóaÜ(âÍÝ�÷ æÍÛhä�Ü(è½ãtÛ � � � �pè½ÛhäeÞ(ÝUßtá(ÝSáp÷ Þ¯ãtë ��# Ü(ã$ ßtÛhí#ܯâÍÝeÛîí<ÝSäeÞ(ÝUßtá(ÝSá7ܯã ) �&Íï�7âÍÝwë4è½ÛÍè½ëwæÍë ñ�ß�à½æÍÝ�ãt÷&�´äeßtÛ:çaÝ�ãtç<Ü�ß�è½ÛÍÝSí#ç�ò#á�ãkàÅñ�è½ÛÍõ � � � � + ) �&|ß�Ûhí#ÝSàÅè½ë±èÅÛaß�Ü(è½ÛÍõ·Ü¯âÍÝwá(ãtà½æ<Ü(è½ãtÛ� + tï � á�è½ÛÍõ �ÆÝSô7Ü(ãtÛ * á7ë±Ý�ܯâÍã<íóhô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Ûbó�÷ ãtÞ )0+ �Íó�Ü(âhß�Ü

� � � �/�S��� �

Page 16: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò·èÊápÞ¯ÝSß�à½è(�eÝSíd÷ ãtÞ$� + ÈßtÛhí ! + � � küÍï�/hãtÞ ) + �Íó<ô�Ý�ãtç<Ü�ß�è½Û� � � �e�% � �

ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ$� + �ß�Ûhí ! +Pü�� %�hï�qã·ÝSá�ܯß�çhàÅèÊá�â#ß�Û�æÍìÍìLÝeÞÀçaãkæÍÛhí�ãtÛ !bóhô¶ÝÈæhá(Ý�Ü(âÍÝÈ÷fßkä�ÜpÜ(âaß�Ü � + ��� !�ßtÛhí�Þ(ÝSôpÞ(èÅÜ(Ý �)��� ��ßká

! ( � �)�� �#� � ! � ��� )�� �� � ( �

� ( � � ��� � � � � ���

ÚµÛ#ã�ܯâÍÝeÞpô�ãtÞ�íÍá! � ë·ß�ú

����� ��� %�� ! ( �ôpâÍÝSÞ(Ý�!�(Àè½á3Ü(âhÝ àÊß�Þ¯õtÝUá}Ü3ãt÷Ü(âÍÝ Ü}ô�ãwá�ãkàÅæÍÜ(è½ãtÛhá¶ã�÷ܯâÍÝ�é�æhßkí<Þ�ß�Ü(èÊäpÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ�ßtá¯á�ã<ä�èÊß�ܯÝSí�Ü(ã � � ����ï-�îÝ æaá�ÝãkÛhä�Ý�ß�õ�ß�è½Û �ÀÝeô7Ü(ãkÛ * ápë±Ý�Ü(âhã�í#ßtÛhídãkç<ܯßtèÅÛ>ó<÷ ãtÞ ) + �<ó�ܯâhß�Ü

! � ü��³ü ��� �ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò·èÊápÞ¯ÝSß�à½è(�eÝSíd÷ ãtÞ$� + � � kü�±ß�Ûaí � + � �/� ��hï /ÍãtÞ )0+ �hóÍô¶ÝÈãkç<ܯßtèÅÛ

! � ��� ����� �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ$� + � �³ü�4��ßtÛhí � + � �/�S��Íï

�t×0/,/6Ø2/�Õ )�×#Ô ' ��ÕwÔ Ó %(' 'ÀÒ('ÆÔ 4 ÚµÛ�Ü(âÍèÊáWá(ÝSä�ܯèÅãkÛbó�ô�Ý�íÍÝeñtÝSàÅãkì4ß�ä�à½ãká(æÍÞ¯Ý3÷ ãkÞWá}ܯÞ(ãkÛÍõ â�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä ö æÍë±ìháFçhßtá(ÝSíwãtÛ�Ü(âÍÝpßtá¯á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛwÜ(âhß�ÜWÜ(âÍÝæÍìhìaÝSÞWçaãkæÍÛhí4èÅÛ �=�% �>èÊáWèÅÛ�÷fßtä�Ü3ß�Û4ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}òtïH�ÀáMë±ÝeÛ�Ü(è½ãtÛhÝSí4èÅÛ±á(ÝSä�ܯèÅãkÛ aó�÷ ãtÞFá�Ü(Þ¯ãtÛhõ â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháSóܯâÍÝ3øaã�ôÆá>çLã�ܯâwæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ß�Ûhíwí<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë ãt÷<Ü(âÍÝ ö æÍë±ì�á(âÍãkæÍà½íwçaÝ�ë·ß�ú<è½ë±ßtàÅà½ò�Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜUï �Àìhá}ܯÞ(ÝUß�ë#óܯâÍÝpøhã�ô�èÊáFâÍè½õtâÍà½ò±á�æÍìLÝeÞ�ä�Þ¯èÅÜ(èÊäeß�ànótôpâhè½ä�â·ôpè½àÅàLõtÝSÛÍÝeÞ�ß�ܯÝ7Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛaä�ÝÀí<æhÝpÜ(ãwá(âÍÝUß�Þ3è½Ûhá�ܯßtçÍèÅà½èÅÜ(è½ÝSáFôpèÅÜ(â|Ü(âÍÝçLã�Ü(Ü(ãtë à½è½í2ß�ÛhíYÜ(âÍÝ�æÍìÍìLÝeÞ4øhæÍèÊíYàÊß`òtÝeÞUï�� ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë#ó�Ü(âhÝdøhã�ô/èÊáwë·ß�ú�è½ë·ß�à½àÅòîܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü4á(ã´ßtá�Ü(ãë·ß�ú<è½ë±è �SÝ�ܯâÍÝ·è½Þ(Þ¯ÝeñkÝeÞ�á�è½çÍè½àÅèÅÜ}ò:ã�÷¶Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbï �7âÍè½áÈâ�ò�ìLã�Ü(âhÝSá(è½á�á(ÝeÝSë±á�ܯã�ß�õkÞ(ÝSÝ�Þ�ß�ܯâÍÝeÞÈô�Ýeà½àFôpè®Ü¯âîÜ(âÍÝãkçhá�ÝSÞ(ñ�ß�Ü(è½ãtÛhá4Þ¯ÝeìLãtÞ(Ü(ÝSílè½Û�û � �UýÆ÷ ãtÞ|Ü(âÍÝ:è½ÛÍèÅÜ(èÊß�àÆâÍè½õtâhàÅò2ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍè½ÛÍõêÞ(ÝSõtè½ãtÛlã�÷�ßYí<ÝeÛhá(Ý:ã�ñtÝSÞ�øaã�ô ��á(ÝeÝܯâÍÝ:í<è½á¯ä�æaá(á(èÅãkÛlß�Ü�ܯâÍÝ:ÝeÛaí6ãt÷�á(ÝSä�ܯèÅãkÛ&aï��îÝ:ÛÍã�ô ìÍÞ¯ã<ä�ÝSÝSí6Ü(ãêÝ�ú<ìÍà½ãtÞ¯Ý|ܯâÍÝ�ä�ãkÛhá�ÝUé�æÍÝeÛhäeÝSá4ã�÷ Ü(âÍèÊáäeàÅã�á�æÍÞ¯ÝÆâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�èÊá % ïWÚJܯá3÷ æÍà½àLñ�ßtàÅèÊíÍß�ܯèÅãkÛbó�ã�÷>ä�ãkæÍÞ�á�Ýkóká(âÍãtæÍàÊí|äeãtë±ÝÆ÷ Þ¯ãtë/í<Ý�Ü�ß�è½àÅÝUí·ãtçaá�ÝSÞ(ñ�ß�ܯèÅãkÛháFãt÷bÞ(ÝUß�àã�ñkÝeÞ(øhã�ôÆáeókã�÷bܯâÍÝ�å�è½Ûhí|Ü(âhß�Ü7á�ܯß�Ü(Ý�ã�÷bܯâÍÝ�ß�Þ(ܶã<ä�ÝUß�ÛÍãkõtÞ�ß�ìÍâ�ò�ßtìÍìLÝSß�Þ�á3Ü(ã4çaÝÈÞ¯ÝSßtíÍò�ܯãwãkç<ܯßtèÅÛbïWÚµÛd÷fßtä�ÜSóß4ë±ã�ܯèÅñ�ß�ܯèÅãkÛ�÷ ãtÞÆìÍæhÞ¯á(æÍè½ÛÍõ·ß4÷ æÍàÅàqä�à½ãká(æÍÞ(ÝÈèÊá7Ü(âaß�ÜÆèÅÜÀß�à½àÅã�ôÆá7æhápÜ(ã·ë·ß�åkÝÈé�æhßtÛ�Ü(èÅܯß�ܯèÅñkÝÈìÍÞ(ÝUí<èÊä�Ü(è½ãtÛaá�÷ ãtÞܯâÍÝdÞ¯ÝeàÊß�ܯèÅãkÛhá�âhèÅì~çLÝ�Ü}ô�ÝeÝSÛYÜ(âhÝdñ�ß�Þ¯èÅãkæhá�ñ�ßtÞ(èÊß�çÍà½ÝSáwèÅÛ�ñkãtà½ñtÝSíêè½Û6ßtÛ~èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�à�â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ìbï �7âÍÝUá�ÝìÍÞ¯ÝSíÍè½ä�Ü(è½ãtÛháSó<í<ÝeñkÝeà½ãtìLÝSí·è½Û�á(ÝSä�Ü(è½ãtÛ hï �hó�ßtÞ(Ý è½íÍÝSß�à½à½ò|á�æÍèÅÜ(ÝUí·Ü¯ãwܯÝSá�Ü�ãkæÍÞ3ܯâÍÝeãkÞ(ò·çLã�ܯâdè½Û|ܯâÍÝÈÞ(ÝUß�àLã�äeÝSßtÛßtÛhídè½Û�Ü(âÍÝ�àÊß�çLãtÞ�ß�ܯãtÞ¯òtï

�7âÍÞ¯ãtæÍõkâÍãtæÍÜÆÜ(âÍèÊá�á�ÝUä�Ü(è½ãtÛ>óaô�Ý�ßká(á(æÍë±Ý�Ü(âhÝ�÷ ãtà½à½ã�ôpèÅÛÍõ|÷ ãtÞ¯ë ÷ ãkÞÀܯâÍÝwè½Û�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtà>ÝeÛhÝeÞ¯õtò�èÅë±ë±ÝSí<èÊß�ܯÝeà½òæÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë ßtÛhí�íÍã�ôpÛhá}ܯÞ(ÝUß�ë ãt÷>ܯâÍÝ ö æÍë±ìbÿ

� % +) � % ! % ß�Ûhí � ( +

) � ( ! ( � � � � �

�� *� �0 78�! � �0 7)9/f=0�.�>� =0�;<7 : 0�2!3 fU$� 560�f 782! U4)4#9/4�7)$�>� 7 0�(' U2 0�4#0 489/D'2?7)�!0 7H78�! g;!2<3! U&). :�9/2!D 5!�O:<489/f]0�.�78�! U$'&8:?�!$'./3!44)$� 3< =D'&8 U �$�*�78&);<78���e0�4g9 7 �!0�4g4)$?$�* 78 U2 >� U =2 7)�! �f=0�4) 78�!&)$';<D'� 7)�< ��<9/4878$'&8: $�*�4)fU9/ U2!fU ����,7)�< =2 " �!$'5� 7)�60 778�! &) =0�3! U& "-9/./.I0�D'&) U "�9 7)� ;!4��,0 * 7) U&&) =0�3!9/2!D�78�!9/44) Uf 7)9/$'2��,78�60 7V$';!&�@:�5�$�7)�! U489/4� �0=: 2!$�7V>� fU$� 5!./ 7) U. : 0 7g$@3!3!4"�9 7)�&) =0�./9 7 :OQ

Page 17: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ù¶ékæaß�Ü(è½ãtÛ � � � �7äeßtÛ�çLÝ�Þ¯ÝSäeßká}Üpßtá # (%� ( %

� % + ) ßtÛhí # (%� ( %

� ( +)��

�:ãkÞ(ÝSã�ñtÝSÞSó # (%� ( %

�� � � � � � (�� � % � + �-� � ��� � )

� �� ) � + ) � ���

�� � �

�� �

�7âÍÝSÛbó<ܯâÍÝ�ÝeÛÍÝSÞ(õkò·ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛ �8��#�¶çaÝUä�ãtë±ÝUá

) � ��� �� � �

�� + � ���

�� ��� ( � � � � �

�� �� � � ��#�

ù3ë4ìhàÅã�ò�è½ÛÍõ�ãkÛhä�Ý�ßtõkß�è½Û�Ü(âÍÝ�ÛÍãtܯß�Ü(è½ãtÛ � + � � � �Àß�Ûhí �/+ ��� ���qó�ô�Ý�äeß�Û�Þ¯ÝSäeßká}Ü � ��#�7ßká)+� ��� � �*+ ����� ��� ( � � � � � ��� � � ��ü��

��è½Ûhä�Ý � � � � ÀßtÛhí � � �ÍókèÅÜF÷ ãkàÅà½ã�ôÆáW÷ Þ¯ãtë � ��ü���ܯâhß�Ü � � � ß�Ûhí4ܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ý$� �'�qï�ÚµÛ·ã�ܯâÍÝeÞ¶ô¶ãkÞ¯íháeóܯâÍÝÀè½ë±ìÍàÅèÊä�èÅÜ�äeãtÛhá�Ü(Þ�ß�è½Û�ÜWÜ(âhß�Ü ��� ��� �È÷ Þ(ãkë �)�tü �Mè½á¶á(ß�Ü(èÊá �aÝSíï �7â�æhá �`ó ��ó�ßtÛhí !·ãkÛÍàÅò4âhß`ñkÝ7Ü(ãwá¯ß�ܯè½á�÷ ò�)��#��ó �8�kü���óaß�Ûhí � � � ��ó<è½Û:ßtíÍíÍè®Ü¯èÅãkÛ�ܯã � ��4��ï

����� ����� ���������������� ���

�îݱÛÍã�ô í<ÝeÞ¯è½ñtÝ4Þ(ÝSàÅÝSñ`ßtÛ�Ü�çLãtæÍÛaíÍá ÷ ãtÞ.�`ó ��óbß�Ûhí !bï �ÀæÍÝ4ܯãdܯâÍÝ·á�è½ë±ìÍàÅè �hÝUí�÷ ãkÞ(ë � �kü��Àã�÷3Ü(âÍݱÝeÛhÝeÞ¯õtòÝUékæaß�Ü(è½ãtÛ>ótèÅÜ3è½áFìaã�á(á(èÅçhàÅÝ7ܯãwä�ãkë4ìhæ<Ü(ÝpܯâÍÝÆà½ã�ô¶ÝSÞWçaãkæÍÛhíÍáW÷ ãtÞ �7ßtÛhí/�|ôpè®Ü¯âÍãtæÍÜ3ë·ß�å�èÅÛhõ�æhá�Ýpãt÷ �ÆÝeô7ܯãtÛ * áë±Ý�ܯâÍã<íï��ãkàÅñ�è½ÛÍõ4÷ ãtÞ � è½Û � �kü ��óÍô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û

� +��� �)�� 4� ��� � (

) � � � � � �

�7âÍÝ�íÍÝeÛÍãkë4è½Ûhß�Ü(ãtÞ7ãt÷qܯâÍÝ�Þ(è½õtâ�Ü 2nâhßtÛhídá(èÊí<Ý�ã�÷ � ��#�¶Þ(ÝUßtä�âÍÝUá¶èÅܯáÆë±ß�ú<èÅë�æÍë ß�Ü � + �-) � #���S�<óÍá(ã� � � � ) (

+�-) � � � �

�îÝ�Þ(ÝUäeßtàÅàLÜ(âaß�Ü � + ��� � �`ï �7âÍÝeÛ>ó<÷ ãtÞ ) + �<ó<ô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û� � � � �, �

ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ � + � � � % ��ß�Ûhí ! + � �#���hï�/hãtÞ ) + �Íó<ô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û� � � � ü�4� �

ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ � + � � �,��4ß�Ûhí ! +Pü�� % ��aï��è½Ûhä�Ý � � �<óhè®Üp÷ ãkàÅà½ã�ôÆá¶÷ Þ(ãkë � � �¶Ü(âaß�Ü

� ( �.�)�� 4� ��� � ) � + ����� � � ����� � � )4� � � ���

Page 18: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ßtÛhí|ܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ý�ܯâhß�Ü� + ���

�� ) � ���

>Ý�Ü � �����|çLÝÈÜ(âhÝ�ãtÛÍà½ò�á(ãtà½æ<Ü(è½ãtÛ�ã�÷���� ��� + ) � �<óÍá(ã4Ü(âhß�Ü � ����� � tï /ÍãkÞ )/+ �<óÍô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û� � � ����� + � �/��#���

ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò·èÊápÞ¯ÝSß�à½è(�eÝSíd÷ ãtÞ$� + ÈßtÛhí ! + � � ��� �Íï�/hãtÞ ) + �Íó<ô�Ý�ãtç<Ü�ß�è½Û� � � ����� + � �/����% �

ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò·èÊápÞ¯ÝSß�à½è(�eÝSíd÷ ãtÞ$� + ÈßtÛhí ! + � ���Kkï�7âÍÝwíÍÝeÞ¯èÅñ�ß�ܯèÅãkÛ#ã�÷MÜ(âÍÝwæÍìÍìLÝeÞÀçLãtæhÛhí#÷ ãtÞ !:èÊápë±ãtÞ¯Ý�ä�ãtë±ìÍà½èÊäeß�ܯÝSíï-,pÝSìÍàÊßtä�è½ÛÍõ � ç�ò � !��:èÅÛ � ��4��ó

ô�ÝÈãtç<Ü�ß�è½Û�ß·é�æhßkí<Þ¯ß�Ü(èÊäÀÝUé�æhß�ܯèÅãkÛ�è½Û"!bÿ

! ( ��� !) � � �#�-) � #� � ���

�� � � ( �

� (� �

�+ � � � �4���

ÚµÛ#ã�ܯâÍÝeÞpô�ãtÞ�íÍáSó! � ë·ß�ú

����� ��� %�� ! ( �ôpâÍÝSÞ(Ý ! ( èÊápÜ(âhÝ�à½ßtÞ(õkÝSá�Üpã�÷�Ü(âÍÝ�Ü}ô�ã·á�ãkàÅæÍÜ(è½ãtÛhápãt÷MÜ(âÍÝ�é�æhßkí<Þ¯ß�Ü(èÊäÈÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛ:ßtá¯á�ã<äeè½ß�Ü(ÝSídÜ(ã � �#����ï � á�è½ÛÍõ�ÀÝeô7Ü(ãkÛ * á7ë4ÝeÜ(âÍã<íóaô¶ÝÈãkç<ܯßtèÅÛbó�÷ ãkÞ ) + �<ó�Ü(âaß�Ü

! � � �6�kü �ù¶ékæaß�à½è®Ü}ò·èÊápÞ¯ÝSß�à½è(�eÝSíd÷ ãtÞ � + � � �S� ��ßtÛhí � + � � �6�,tï /ÍãtÞ )0+ �hóÍô¶ÝÈãkç<ܯßtèÅÛ

! � � ��#� �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ � + � � ���ü�ß�Ûhí � + � � S� �Íï

����� �� ��� �� ��� ��������� � � ��� � ���������� �� ��� ��� � ��� �ÚµÛ�Ü(âÍèÊáÆá(ÝSä�Ü(è½ãtÛbó<ô�Ý�í<ÝeÞ¯èÅñkÝ æhìÍìaÝSÞÀß�Ûaídà½ã�ô¶ÝSÞ¶çLãtæhÛhíÍá7÷ ãkÞ7Ü(âÍÝ /ÍÞ¯ãtæaí<ÝÈÛ�æhëwçLÝeÞ�á7æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë"ß�Ûhí�í<ã�ôpÛ 2á�Ü(Þ¯ÝSßtë�ãt÷bÜ(âhÝ ö æÍë±ìbï �PÛÍãtÜ(Ý�âÍÝeÞ¯ÝÀèÊá7ß�ìÍìÍÞ¯ãtìhÞ(èÊß�ܯÝÀß�çLãtæ<Ü�Ü(âhÝ ë±ÝSßtÛÍè½ÛÍõwãt÷bÜ(âÍÝUá�Ý�Û�æÍëwçLÝeÞ�áSï�ÚµÛ�Þ(ÝSõtæÍàÊß�Þâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½äSáeó�Ü(âÍÝ8/hÞ(ãkæhí<ÝÆÛ�æÍë�çaÝSÞFèÊáWÜ(âhÝÀé�æÍã�ܯèÅÝSÛkÜFãt÷IÜ(âÍÝÆë±ÝUß�Û|á(ìaÝSÝSí4ã�÷IÜ(âhÝpøhã�ô2Ü(ã�ܯâÍÝÀä�âhßtÞ¯ßkä�Ü(ÝSÞ(èÊá�Ü(èÊäñkÝeà½ã�äeè®Ü}ò·ß�Ü�ôpâÍèÊä�âdè½Û<÷ ãkÞ(ë·ß�ܯèÅãkÛ|ìÍÞ¯ãtìhßtõkß�Ü(ÝSáSï �7âÍÝÀøaã�ôyæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë�ãt÷qß ö æÍë±ì�á(âÍãtæÍàÊí|çLÝ�á�æhìaÝSÞ¯äeÞ(èÅÜ(èÊäeßtà@óènï ÝkïÅóLèÅÜ�ë�æhá}Ü âhß`ñtÝ # % � kóLßtÛhí�Ü(âÍÝwøhã�ô í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë"á(âÍãtæhà½í#çLÝ4á(æÍçIä�Þ¯è®Ü¯è½äSß�ànóaôpèÅÜ(â # ( � kóLá(ã·Ü¯âhß�ÜܯâÍÝ Þ¯è½õtâ�Ü7ßtë±ãtæÍÛ�ܶãt÷qè½Û<÷ ãtÞ¯ë·ß�ܯèÅãkÛ|Þ(ÝUßtä�âÍÝUáFܯâÍÝ ö æÍë±ìdܯâÍÞ(ãkæÍõtâ�ä�âhß�Þ�ßtä�Ü(ÝSÞ(èÊá}ܯè½äSáW÷ Þ¯ãtë/çLã�Ü(â#á(è½í<ÝUáeï �7âÍèÊáÛÍÝSÝSíÍá�ÛÍãtÜWçaÝ�Ü(âhÝ7äSßtá(Ýtó�âÍã�ô�ÝeñkÝeÞUóU÷ ãtÞ�Ü}ô¶ã���àÊß`òtÝSÞ>ë±è½á¯ä�è½çÍà½Ý�øhã�ôÆáeï��7âÍÝ�Þ(ÝUßtá(ãtÛ�èÊá�Ü(âhß�ÜMÜ(âÍÝpä�âhßtÞ¯ßkä�Ü(ÝSÞ(èÊá�Ü(èÊäá(ìaÝSÝSí±÷ ãkÞFøhã�ôÆá3èÅÛ�ñkãtà½ñ�è½ÛÍõ�ë±èÅú�è½ÛÍõ�è½á3ÛÍã�Ü�ÛÍÝSäeÝSá¯á(ßtÞ(è½àÅò�õtè½ñtÝSÛ·ç�ò"! ��!bï�ÚµÛdãtÞ�í<ÝeÞ3Ü(ãwäeãtë±ìÍæ<Ü¯Ý ä�âhßtÞ¯ßkä�Ü(ÝSÞ 2èÊá}ܯè½ä�á(ìaÝSÝSíÍáSó�ô�Ý3ÛÍÝSÝSíwÜ(ã�å�Ûhã�ôêÜ(âÍÝ7ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛhá�í<ÝUá(äeÞ(è½çÍè½ÛÍõÆܯâÍÝ7ìÍâ�ò�á(èÊäeá�ß`ô�ß`ò ÷ Þ(ãkë Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbókß�Ûhí�Ü(âÍÝUá�Ýí<ÝSìaÝSÛhí�ãtÛ4âÍã�ôYÜ(âhÝpë4èÅú<èÅÛhõ ìÍÞ¯ã<ä�ÝUá(á�èÊáWí<ÝSá¯ä�Þ¯èÅçLÝSíbï � ÛÍà½ò�æÍÛhíÍÝeÞMÜ(âhÝ7ßká(á(æÍë±ì<ܯèÅãkÛ�Ü(âaß�ÜFÛÍã�ë±è®ú<è½ÛÍõ�ܯß�åkÝSáìÍàÊßtäeÝ4ß`ô7ß`ò�÷ Þ(ãkë ö æÍë±ìháeó>ôpèÅà½à�Ü(âÍÝ /ÍÞ¯ãtæaí<ÝwÛ�æÍë�çaÝSÞ¯áÈí<Ý3�hÛÍÝSí´è½Û&�U�#�Àâhß`ñtÝwÜ(âÍÝ·á¯ß�ë±Ýwë±ÝUß�ÛÍè½ÛÍõ#ßtá�èÅÛÞ¯ÝeõkæÍà½ßtÞMâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeáSïqÚµÛ4ܯâÍè½á3ìhß�ìLÝeÞUó�ô�ÝpãtÛÍà½ò�äeãtÛhäeÝeÞ¯Û±ãtæÍÞ�á�ÝSàÅñkÝSá�ôpèÅÜ(â±Ü(âhÝ ö æÍë±ìdä�ãkÛhí<èÅÜ(è½ãtÛháWß�Ü3èÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháSó<ÛÍã�ÜpôpèÅÜ(â�Ü(âhÝ�ìaß�Þ(Ü(èÊß�àí<è LÝSÞ(ÝSÛkܯè½ßtàIÝSé�æhß�ܯèÅãkÛhá7ß`ô�ß`ò4÷ Þ¯ãtë�ܯâÍÝeë#óÍßtÛhí�á(ã4ô¶ÝÈâhß`ñkÝÀÛÍãäeãtÛ�Ü(Þ¯ãtàIã�ñtÝSÞ�Ü(âÍÝ�ä�âhßtÞ¯ßkä�ܯÝeÞ¯è½á�Ü(èÊä á(ìLÝeÝSíhápãtÛ�ÝeèÅÜ(âÍÝSÞÀá(è½í<ÝÈãt÷qܯâÍÝ ö æÍë±ìbï �Àã�ô¶ÝSñtÝeÞUó�Ü(âÍÝ�/hÞ(ãkæhí<ÝÈÛ�æÍëwçLÝeÞ�á

�%

Page 19: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ßtÞ(ÝÈá}ܯèÅà½àè½ë4ìLãtÞ(ܯßtÛ�Ü�Þ¯Ý�÷ ÝSÞ(ÝSÛhä�Ý�ñ�ß�à½æÍÝSá�è½Û�è½Û�Ü(ÝeÞ¯ÛhßtàLâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊäeáSó�ßtÛhídá(ã4ô¶ÝÈìÍÞ¯ã<ä�ÝeÝUí·Ü¯ã4í<ÝeÜ(ÝSÞ(ë±è½ÛÍÝÈôpâhß�ÜãkæÍÞÀä�à½ãká(æÍÞ¯ÝÈèÅë±ìÍà½èÅÝUáp÷ ãkÞpÜ(âÍÝSë#ï �<æÍÞ(ìhÞ(èÊá�è½ÛÍõkàÅòkóÍãtÛÍÝ�ãt÷MÜ(âÍÝUá�Ý�è½ë±ìÍàÅèÊäeß�Ü(è½ãtÛháÀè½ápÜ(âhß�ÜÀèÅÛaí<ÝeÝUí # % � tó ö æhá�Üßká¶è½Û#Þ(ÝSõtæÍàÊß�Þ�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½äSáeó<ÝSñtÝeÛdÜ(âÍãkæÍõtâ�Ü(âhÝ�ÝSé�æhß�ܯèÅãkÛhá7í<ÝSá¯ä�Þ¯è½çÍèÅÛhõ�ܯâÍÝ�øhã�ôPß`ô7ß`ò4÷ Þ(ãkë�Ü(âhÝ ö æÍë±ì#ßtÞ(Ýá�Ü(è½àÅà>Ü(ã|çLÝwí<ÝeÜ(ÝSÞ(ë±è½ÛÍÝSíï � Û#Ü(âhÝ�ã�ܯâÍÝeÞÆâaß�Ûhíó�#1(wè½áÆÛÍã�ÜÀÛhÝSä�ÝUá(á¯ß�Þ¯è½àÅò|çLãtæhÛhí<ÝSí�÷ Þ¯ãtë ß�çLã�ñtÝÈç�ò tïg�´Ýôpè½àÅàqí<ÝeÞ¯èÅñkÝ�ßkä�âÍè½Ýeñ�ß�çÍà½ÝÈæÍìÍìLÝeÞÀßtÛhí�àÅã�ô�ÝeÞ7çLãtæÍÛhíhá7÷ ãtÞpçLã�ܯâ #&%�ß�Ûaí #�(�ï

��Ü �hÞ�á}ÜUó¶èÅÜ|ë·ß`ò~ß�ìÍìLÝSßtÞ|ßîçÍè®Ü|ìhæ �3�SàÅè½ÛÍõîÜ(âhß�Ü|çaãkæÍÛhíÍá±ãkÛ6ܯâÍÝ /ÍÞ¯ãtæaí<Ý#Û�æhëwçLÝeÞ�á±Ý�ú<è½á�ÜSÿ�ܯãYãtæÍÞå�ÛÍã�ôpà½ÝSí<õkÝtó�ܯâÍÝeò4âhß`ñkÝpÛÍã�ß�ÛhßtàÅãkõtæÍÝUáMèÅÛ·ÝSè®Ü¯âÍÝeÞ3ãtìLÝeÛ|ä�âhßtÛÍÛÍÝeàhâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊäeáWãkÞFõkßkáWí<ò�Ûhß�ë±èÊäeáSïMÚµÛ4ìhÞ(è½Ûhä�è 2ìÍà½Ýtó<èÅÜÆäeßtÛ�çLÝ�ß�Þ¯õtæÍÝUí·Ü(âaß�ÜÆß�Û�Ý�ú<ìLÝeÞ¯èÅë±ÝeÛ�Ü�ß�à½è½á�Ü�âaßtá7ß�çhá(ãtà½æ<Ü¯Ý ÷ Þ¯ÝeÝUí<ãtë/ܯã·á�ÝSàÅÝUä�Ü7Ü(âÍÝ /hÞ(ãkæhí<Ý�Û�æhëwçLÝeÞæÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë#óqôpâhè½ä�âêܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ý|äSß�ÛÍÛÍãtÜ�ìaã�á(á(è½çÍàÅòîâhß`ñkݱßtÛYæÍìÍìLÝeÞ�çaãkæÍÛhíï �Æã�ô�ÝeñkÝeÞUób÷ ãkÞwß�Û~ßtÞ(çÍèÅÜ(Þ�ß�Þ¯è½àÅòá(Ý�ÜÆæÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë /hÞ(ãkæhí<ÝÈÛ�æÍëwçLÝeÞUóaß±á�ܯßtÛhí<è½ÛÍõ·â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ì:ÛÍÝeÝUíÍápÛÍãtÜÀÝ�ú<èÊá}ÜUï �7âÍÝ�çLãtæÍÛaí#ô¶Ý�í<ÝSÞ(è½ñtÝçLÝeà½ã�ô á�æhõtõtÝUá}Ü�áMÜ(âaß�ÜSó�èÅ÷qß�ÛdæÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë /ÍÞ¯ãtæaí<ÝÀÛ�æÍë�çaÝSÞ¶èÊá¶á(ìLÝSä�è �hÝUí|ß�çLã�ñtÝpܯâÍÝÀçLãtæhÛhíó<ß�Û�ò ö æÍë±ì|ܯâhß�Üí<ÝSñtÝSàÅãkìhá�ôpèÅà½àbçLÝ�á�ô�Ýeì<ÜÀíÍã�ôpÛhá}ܯÞ(ÝUß�ë�ç�ò·Ü¯âÍÝÈøhã�ô�ó<ènï ÝkïÅóÍèÅÜÆôpè½àÅàbÛhã�ÜpçaÝ�á�Ü(ÝUßtí<òkïÚµÛ�ãtÞ�í<ÝeÞ�Ü(ã·í<ÝSÞ(è½ñtÝ Ü(âhÝÈß�÷ ãtÞ¯Ýeë±ÝeÛ�ܯèÅãkÛÍÝSí·çLãtæhÛhíÍáSóÍô¶Ý�Þ¯ÝSäeßtàÅàLܯâÍÝÈÝ�ú<ìÍÞ¯ÝSá¯á�è½ãtÛ �8�tü �W÷ ãkÞ # % ó<ãtç<Ü�ß�è½ÛÍÝSí

÷ Þ¯ãtë�ܯâÍÝ�Þ¯ÝSí<æhäeÝSíd÷ ãtÞ¯ë ãt÷>Ü(âhÝ�ë4ãkë±ÝeÛ�Ü(æÍë"ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛbÿ

# (% + #� � � (� � ( �-� � � � �

�7âÍÝ�ÝSé�æhß�Ü(è½ãtÛ$� ��4�bèÊáqé�æhßkí<Þ�ß�Ü(èÊäFè½Û/��ï >Ý�Ü�� � � �bçLݶÜ(âÍÝ7á�ë·ßtàÅà½ÝeÞ�ã�÷hèÅܯáqÜ}ô�ã á(ãtà½æ<Ü(è½ãtÛaá>ènï ÝkïÅó � +�� � � � � tï�7âÍÝSÛ # % äSß�Û�çaÝ�Þ¯Ýeõ�ß�Þ�í<ÝSí�ßtápß�÷ æÍÛhä�Ü(è½ãtÛ#ã�÷ �qó<õkèÅñkÝeÛ�ç�ò

# % � � �'+ #��� � � � � (��� ( ��� � � � � ��� � � � % �

� Û#Ü(âhÝ�èÅÛ�ܯÝeÞ¯ñ`ßtà¶û � ����� �@eýnóhÜ(âÍÝ�÷ æhÛhä�ܯèÅãkÛ"# % � � �7âhßkápÝ�úÍßtä�Ü(à½ò�ãkÛÍÝ�ë·ß�ú<è½ëwæÍë ìaãkèÅÛ�ÜUóhôpâÍèÊä�â�äeßtÛ:çaÝ÷ ãkæÍÛhí|æaá�è½ÛÍõ �ÆÝeô7ܯãtÛ * á�ë±Ý�Ü(âhã�íbï��7âÍÝÀ÷ ãkàÅà½ã�ôpè½ÛÍõwæÍìhìaÝSÞpçaãkæÍÛhíÍá¶÷ ãtÞ # % ß�Þ¯ÝÆÜ(â�æhá�ãkç<ܯßtèÅÛÍÝUíÿ�÷ ãtÞ )/+ �<ó

#&% � � �³ü���ü �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}òdßkä�âÍèÅÝSñtÝUí·÷ ãtÞ$� + � � #���Íó � + � � �,�%hó�ßtÛhí ! + � �ü�%,��ßtÛhíó<÷ ãkÞ ) + �hó

#&% � � ��üK �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}òdßkä�âÍèÅÝSñtÝUí·÷ ãtÞ$� + � �³ü�%,tó � + � � �kütüÍó�ßtÛhí ! + � �S��kï

�:ãkÞ(ÝSã�ñtÝeÞUóLÜ(âÍݱë±è½ÛÍèÅë·ßtàFñ�ß�à½æÍݱã�÷ # % �����èÊá�ßtä�âhèÅÝSñtÝSí�èÅÛ´Ü(âhÝ4à½è½ë4èÅÜwßtá���� tó>ßtÛhíóܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(Ýkó>ßtá� � ! � tï��7âhÝeÛbó

# % � àÅè½ë��� %

# % � � �'+ � ) ����� � ) �)��&� ��

� %�� ( �/hãtÞ ) + �<ó

# % � �� %�� � �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}òdßkä�âÍèÅÝSñtÝUí|è½Û�ܯâÍÝ�à½èÅë±èÅÜÀßtá � � � � ! � tï�/hãtÞ ) + �Íó

# % � ���e3#� �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|ãkÛhä�Ý�ß�õ�ß�è½Û�ßkä�âÍèÅÝSñtÝUídè½Û�Ü(âÍÝ�à½èÅë±èÅÜÀßtá � � � � ! � tï

��

Page 20: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ù3á�ܯßtçÍà½è½á(âÍè½ÛÍõ6çLãtæÍÛaíÍá�÷ ãtÞ # ( äeßtÛ çLÝîíÍãtÛÍÝêá�è½ë±èÅàÊß�Þ¯à½òtï /ÍÞ¯ãtë �U�#��ß�Ûhí �8�kü���ó ô¶Ý´ãtç<Ü�ß�è½Û ܯâhß�Ü# (( + � # (% óÍßtÛhí�Ü(âÍÝSÞ(Ýe÷ ãtÞ¯Ýtó�÷ Þ¯ãtë � ��% ��ó<è®Üp÷ ãkàÅà½ã�ôÆá�Ü(âaß�Ü

#1( � � �'+ � �U � ��� � � � ( �

� � � ���� � � � � � � � �

�7âÍÝ�÷ æÍÛhä�ܯèÅãkÛ #�(�� � �pèÊáÆè½ÛhäeÞ(ÝUßtá(èÅÛÍõ±ãkÛ#Ü(âÍÝ�èÅÛ�Ü(ÝSÞ(ñ�ßtà3û � ����� ���ýJï-�7â�æaáeóaÜ(âÍÝ�á�ë·ß�à½à½ÝSá�ÜÀìaã�á(á(è½çÍàÅÝ�ñ�ßtàÅæÍÝ�÷ ãtÞ# ( ä�ãkÞ(Þ¯ÝSá(ìaãkÛhíÍá¶Ü(ã0� + � �����Iï�/ÍãkÞ ) + �<ó

# ( � � � ,!� �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ$� + tó�� + � �/��4��ó<ß�Ûhí ! + � � ��� �<ï /ÍãtÞ )0+ �hó

# ( � � � �kükü �ôpèÅÜ(â#ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò|Þ¯ÝSßtàÅè(�eÝUí|÷ ãkÞ$� + tó�� + � �/��� %Íó<ß�Ûhí ! + � ���,tï

�7âÍÝ7àÊß�Þ¯õtÝSá�Üqñ�ßtàÅæÍݶ÷ ãtÞ&#�(7ä�ãtÞ¯Þ¯ÝSá(ìaãkÛhíÍáqãtÛhäeÝ�ßtõkß�è½Û�ܯãÀܯâÍÝ7àÅè½ë±è®ÜFäeßká�Ý�ôpâÍÝSÛ �$� kó�ß�Ûhí�èÊá>ܯâÍÝeÞ¯Ý�÷ ãkÞ(ÝÝUékæaß�àIÜ(ã4ܯâÍÝ�á�ë·ßtàÅà½ÝSá�ÜÆñ�ß�à½æÍÝSá�÷ ãkÞ # % óÍè@ï Ýtï½ó

# ( � àÅè½ë��� %

# % � � �'+ � ) ����� � ) �)��&� ��

� %�� ( �/hãtÞ ) + �<ó #�( � �� %�� �<óLß�ÛhíóL÷ ãkÞ ) + �Íó #1( � ���e3#�ÍóhôpèÅÜ(â´ÝSé�æhßtàÅèÅÜ}ò�è½Û�çLã�ܯâ´äeßká�ÝUáÀßkä�âÍèÅÝSñtÝUí#èÅÛ�Ü(âÍÝà½èÅë±èÅÜÀßtá � � � � ! � tï

����� � ���� ��� ��� ����� �� ��� ���� ��� � ��yèÅÜ(âÍè½ÛêãtæÍÞ�÷ æÍà½à3äeàÅã�á�æÍÞ¯Ý�÷ ãtÞÈèÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àWâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháSó>èÅÜ�è½áÈìLãká¯á�è½çÍà½Ý4Ü(ã#ìÍÞ¯ÝSí<èÊä�Ü�ñ�ß�à½æÍÝSá ÷ ãkÞ�ß�à½àMÜ(âÍÝøhã�ô2Þ¯ß�Ü(è½ãká���ó ��ß�Ûhí0!·ßtäeÞ(ã�á(á>Ü(âhÝ ö æÍë±ìbó�ßkáMô¶ÝSàÅàÍßká�Ü(âÍÝ /hÞ(ãkæhí<Ý7Û�æÍëwçLÝeÞ #1(pí<ã�ôpÛaá}ܯÞ(ÝUß�ë�ã�÷LÜ(âhÝ ö æÍë±ìbóßká3÷ æhÛhä�ܯèÅãkÛhápã�÷qÜ(âÍÝ�æhìhá}ܯÞ(ÝUß�ë /hÞ(ãkæhí<Ý�Û�æÍëwçLÝeÞ$#&%`ï�<æhä�â�ìhÞ(ÝUí<è½ä�Ü(è½ãtÛháSóÍí<ÝUá(äeÞ(è½çaÝUídè½Û�Ü(âÍèÊápá(æÍçhá(ÝSä�ܯèÅãkÛbóìÍÞ¯ã�ñ�è½íÍÝÀèÊí<ÝSßtàaܯÝSá�Ü(è½ÛÍõ±õtÞ¯ãtæÍÛaí±÷ ãtÞ7Ý�ú<ìLÝeÞ¯èÅë±ÝSÛkÜ�ß�àß�Ûaí|ãtçaá�ÝSÞ(ñ�ß�ܯèÅãkÛhß�àLä�âÍÝSä�å<á0�fßtÛhí|Þ¯Ý �aÛÍÝeë±ÝeÛ�Ü�á7�3ã�÷�ãtæÍÞäeàÅã�á�æÍÞ¯ÝÈßtá¯á�æÍë±ì<ܯèÅãkÛháSï

�7âÍÝwíÍÝeÞ¯èÅñ�ß�ܯèÅãkÛ�ãt÷qܯâÍÝSá(Ý�ñ�ß�à½æÍÝUá�÷ ãtà½àÅã�ôÆá7ܯâÍÝÈ÷ ãtà½à½ã�ôpèÅÛÍõ±ìhß�Ü(âbï /�èÅÞ�á}ÜUóÍô�Ý�æhá�Ý9� ��%#�¶Ü(ã|ä�ãkë±ìÍæ<Ü(Ý�Ü(âÍÝñkÝeà½ã�äeè®Ü}òÈÞ�ß�ܯèÅã �·ßtáMßÆ÷ æhÛhä�ܯèÅãkÛ�ãt÷ÍÜ(âÍÝ7æÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ë /ÍÞ¯ãtæaí<ݶÛ�æÍë�çaÝSÞ&# % ï �ÀÝ�ú�ÜWô¶Ý7ä�ãkë4ìhæ<Ü(Ý�Ü(âhÝ�çhæÍã�òkßtÛhä�òÞ�ß�ܯèÅã �¶÷ Þ¯ãtë � +���� � ��ó�ôpâÍÝeÞ¯Ý � �����ó�èÅÛ�Ü(Þ¯ã<í<æhäeÝSí·ß�çLã�ñtÝkótèÊáFܯâÍÝ á(ë·ß�à½àÅÝUá}Ü�ã�÷IÜ(âhÝÀÜ}ô�ãwá(ãtà½æ<Ü(è½ãtÛháFÜ(ã$� ��4��ï�7âÍÝdâÍÝeè½õtâYÞ�ß�ܯèÅã !Y÷ ãtà½àÅã�ôÆá�÷ Þ(ãkë !'+ � ���qï /�èÅÛhßtàÅà½òtó�÷ Þ¯ãtë � � � ��óMô�Ý|ãtçÍܯß�è½ÛêÜ(âhÝdñ�ß�à½æÍÝ|ãt÷$# ( ßtá�ß÷ æÍÛaä�Ü(è½ãtÛ#ãt÷ # % ï��7âÍÝUá�ÝÈÞ¯ÝSá(æÍàÅܯáÆßtÞ(Ý�õtÞ�ß�ìÍâhè½äSß�à½àÅò·Þ¯ÝeìÍÞ¯ÝSá(ÝeÛ�ܯÝSí|è½Û /�èÅõkæÍÞ(Ý �hó�÷ ãtÞÆçLã�ܯâ )/+ �±ß�Ûaí ) + �Íï

�îÝ|âhß`ñtÝ·í<ãtÜ�ܯÝSíîÜ(âhÝ|çÍÞ�ß�Ûhä�âêã�÷�Ü(âhÝSá(Ý·ìÍÞ(ÝUí<èÊä�Ü(è½ãtÛaá�á}Ü�ß�Þ(Ü(è½ÛÍõ�ß�Ü�ܯâÍÝ|ë·ß�ú<è½ëwæÍëvñ�ß�à½æÍÝ|ã�÷ # % ß�ÛhíÝSÛhí<è½ÛÍõ�ß�Üwß ö æÍë±ìYôpèÅÜ(â �hÛÍèÅÜ(Ý�á}ܯÞ(ÝSÛÍõ�ܯâ´çÍæÍÜwÛÍã:ë±è®ú<è½ÛÍõ,�Mènï Ýkï �0+ tï|ù3ñtÝS۴ܯâÍãtæhõtâ´Ü(âÍèÊá�çÍÞ�ß�Ûaä�â´ãt÷Þ¯ÝSá(æÍàÅܯá�÷ ãtà½à½ã�ôÆá�÷ ãtÞ¯ë±ßtàÅà½ò�÷ Þ¯ãtë ãkæÍÞM÷ æÍà½àhä�à½ãká(æÍÞ¯Ýtó�èÅÜFèÊáWìÍÞ¯ãtçhßtçÍàÅò�Ûhã�ÜFÝeÛ�ܯèÅÞ¯Ýeà½òwä�ãkÛhá(è½á�Ü(ÝSÛkÜWôpèÅÜ(â±èÅܯáFá�Ü(Þ¯ãtÛÍõâ�ò�ìaãtÜ(âÍÝUá�ÝUáeï6ÚµÛ2ìhßtÞ�ܯè½äeæÍàÊß�ÞUóFãtæÍÞ·ßká(á(æÍë±ì<Ü(è½ãtÛ2ã�÷�ë±ß�ú<èÅë·ß�à�ܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛhä�Ý:äeãtÞ¯Þ(ÝUá�ìLãtÛhíhá�Ü(ãYßîá�èÅÜ(æaß�Ü(è½ãtÛôpâÍÝSÞ(Ý�ßtàÅàbÝeúÍä�ÝSá¯á�Ü(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛkÜÆÝSÛÍÝeÞ¯õtòdâhßtá7çLÝeÝSÛ:æhá�ÝUí|÷ ãkÞÆÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍè½ÛÍõ±æÍìÍìLÝeÞÆøhæÍèÊíïFÚJÜÆèÊáÆä�à½ÝSßtÞ(à½ò|âhßtÞ¯ídÜ(ãÞ¯ÝSäeãtÛhäeèÅà½Ý4Ü(âÍèÊá�ìÍèÊä�ܯæÍÞ(ݱôpèÅÜ(âêܯâÍÝ·ÛÍãtÛ 2nÝSÛkܯޯßtèÅÛhèÅÛÍõaóbòtÝeÜ�á}ܯÞ(ãkÛÍõ ö æÍë±ìîà½ò�èÅÛhõ�ß�Ü�Ü(âhÝ·ÝeÛhíîã�÷¶Ü(âÍÝ�í<ã�Ü(Ü(ÝSíà½èÅÛhÝ�èÅÛ /�èÅõkæÍÞ¯Ý0�hïWÚµÛ#ã�Ü(âhÝeÞpô�ãtÞ�íÍáeó�ô�Ý�Ý�ú<ìLÝSä�Üpܯâhß�ÜpܯâÍèÊápè½ápß·á(ìÍæÍÞ¯è½ãtæhá�ë·ß�ܯâÍÝeë·ß�ܯè½äSß�à>á(ãtà½æ<ܯèÅãkÛdܯã±Ü(âÍÝÝUékæaß�Ü(è½ãtÛaáeï

�îÝdß�ޯݱÛÍã�Üwá(ã#ëwæhä�âYä�ãkÛhä�ÝSÞ(ÛhÝSíêß�çLãtæ<Ü�ܯâÍÝ·ã�ܯâÍÝeÞwÝeÛhíîã�÷�Ü(âhÝ·Þ¯ßtÛÍõtݱã�÷7ìÍÞ¯ÝSí<èÊä�ܯèÅãkÛháSó>ènï ÝkïÅó�ôpâÍÝeÛ�$+ ! + �"+ tóIä�ãkÞ(Þ¯ÝSá(ìaãkÛhí<è½ÛÍõ4Ü(ã|Ûhã ö æÍë±ìbïÆùFñkÝeÛ�Ü(âhãtæÍõkâ#Ü(âÍÝ ö æÍë±ìháÀè½Û#Ü(âhÝwÛÍÝSèÅõkâ�çLãtÞ¯âÍã�ã<í�ã�÷MÜ(âÍèÊá

���

Page 21: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ìLãtè½Û�ÜpßtÞ(Ý ÛÍÝSäeÝSá¯á(ßtÞ(è½à½ò·ô¶ÝUß�åIótܯâÍÝeò�á}ܯèÅà½àbä�ãkÞ(Þ¯ÝSá(ìaãkÛhí±Ü¯ã±ß�âÍè½õtâÍà½ò·Ü¯æÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Üpá(èÅÜ(æhß�Ü(è½ãtÛbï �Æã�ô�ÝeñkÝeÞUókë±ã�á}Üãt÷FÜ(âÍèÊá Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛaä�Ý4ô�ßká ßtàÅÞ¯ÝSßkí<ò�ìhÞ(ÝUá�ÝSÛkÜÈè½Û�Ü(âhÝ4äeãtÛhí<èÅÜ(è½ãtÛaáÀæÍìaá}ܯÞ(ÝUß�ëþß�Ûaí�èÊáÀÛÍãtÜ�õkÝeÛÍÝSÞ¯ß�Ü(ÝUí:ç�ò#Ü(âÍÝö æÍë±ìbïwÚµÛ�÷fßkä�ÜSóIܯâÍèÊá âhèÅõkâÍàÅò#ܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Ü�ß�Ûhí�ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍè½ÛÍõ�ä�âhßtÞ¯ßkä�ܯÝeÞÀãt÷FÜ(âhÝ�øaã�ô�è½áÈÞ¯ÝSá(ìaãkÛhá(èÅçÍà½Ý�÷ ãkÞ�Ü(âÍÝ÷fßkä�ÜÆܯâhß�Ü Ü(âÍÝ4ä�æÍÞ¯ñtÝ�õkèÅñ�è½ÛÍõ±Ü(âhÝ�í<ÝSìaÝSÛhí<ÝeÛaä�Ýwãt÷ #1(wãtÛ"#&%�í<ã�ÝUáÆÛÍãtÜ�á�ܯß�Þ(Ü ß�Ü # %�+ #�(.+ tóLçÍæ<ÜÈß�Ü ßë�æhä�â�âhèÅõkâÍÝeÞpñ�ß�à½æÍÝkï

/�è½õtæÍÞ¯Ý �Íÿ � ÝeìLÝeÛhíÍÝeÛhäeÝwã�÷ ��ó �`ó !>óß�Ûhí # ( ãtÛ"# % ÷ ãkÞSÿ0� è5�$) + �±æÍìÍìLÝeÞ�Þ(ã�ô�ßtÛhí � è½è5� ) + �dçaãtÜ�Ü(ãkëÞ¯ã�ô

1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u

b

Froude number for upstream flow F1

Dependence of u and b on F1 for d=2

1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

h

F2

Froude number for upstream flow F1

Dependence of F2 and h on F

1 for d=2

2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u

b

Froude number for upstream flow F1

Dependence of u and b on F1 for d=3

2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

h

F2

Froude number for upstream flow F1

Dependence of F2 and h on F

1 for d=3

� � Ù,)qØÆ×() )�ÙeÕ�ÒÚµÛîÜ(âhè½áwìhß�ìLÝeÞUó>ô�Ý·ìÍÞ¯ãtìLãká(Ý�Ü}ô�ã�ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝSá�÷ ãkÞwá}ܯÞ(ãkÛÍõhó>âÍèÅõkâÍà½ò�ÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍè½ÛÍõaó>è½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à3â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìháè½ÛYÜ}ô�ã�àÊß`òtÝeÞ�øhã�ôÆáeï �7âÍÝ9�aÞ¯á�Ü�èÊáwãkÛÍà½òêß�ìhß�Þ(Ü(èÊß�à�ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝtóMÞ(ÝUá�æhà®Ü¯èÅÛÍõ�÷ Þ(ãkë ß�Û~æÍìhìaÝSÞ�çLãtæÍÛaí~ãtÛ~Ü(âÍÝ

��

Page 22: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

ßtë4ãkæÍÛ�ÜFã�÷LÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜFÝSÛÍÝeÞ¯õtò�ܯâhß�Ü3Ü(âÍÝ7øhã�ô�äeßtÛ4ßkí<ë±è®ÜUï �7âÍÝÆá�ÝUä�ãkÛhíókß�÷ æhàÅàhäeàÅã�á�æhÞ(Ýkótß�ìÍìhàÅè½ÝSáMܯã�âÍè½õtâÍà½òܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü�øhã�ôÆáSóqôpâÍÝSÞ(ݱܯâÍÝdæhìÍìaÝSÞwçLãtæÍÛaíêãtÛêÜ(âhÝ|ÝeÛÍÝSÞ(õkò´äSß�ÛYçLÝ|ë·ßtí<Ý|è½Û�Ü(ã�ßtÛYÝSé�æhß�à½èÅÜ}òtï#ÚµÛêÜ(âÍèÊáô�ãtÞ¯å·ô¶ÝÈë·ß�åkÝ�Ü(âÍÝÈ÷ ãkàÅà½ã�ôpèÅÛhõ±ßká(á(æÍë±ì<ܯèÅãkÛháeÿ

kï-�7âÍÝÈøhã�ô ß`ô�ß`ò4÷ Þ¯ãtë ܯâÍÝ ö æÍë±ì:èÊápô¶ÝSàÅàbíÍÝSá¯ä�Þ¯èÅçLÝSí�ç�òdß4Ü}ô�ã���àÊß`òtÝSÞ�á(âhßtàÅà½ã�ô ô7ß�Ü(ÝSÞ7Ü(âÍÝSãtÞ¯òtï��7âÍèÊáÝeÛ�ܯßtèÅàÊápÜ}ô�ã·ë·ß�è½Û�ßtá¯á�æÍë±ì<ܯèÅãkÛháSï �7âhÝ �hÞ�á}ÜÀèÊápܯâhß�ÜÀÜ(âÍÝwøhã�ôBß`ô7ß`ò·÷ Þ¯ãtë"Ü(âÍÝ ö æÍë±ì�è½áÀèÅÛ:â�ò<í<Þ¯ã�2á}Ü�ß�Ü(èÊä�çhß�àÊß�Ûaä�Ýtï��7âÍÝeÞ¯Ý7è½áMà½èÅÜ�Ü(à½ÝÆé�æÍÝSá�Ü(è½ãtÛwÜ(âhß�ÜSókèÅÛ4ë±ãká�ÜMõkÝeãkìÍâ�ò�á(èÊäeß�à�ß�ìhìÍàÅèÊäeß�Ü(è½ãtÛháSó`Ü(âhè½áMèÊáWß�õtã�ã<íß�ìÍìÍÞ¯ã`ú<èÅë·ß�Ü(è½ãtÛbï��7âÍÝ4á(ÝSäeãtÛhí�ßtá¯á�æÍë±ì<ܯèÅãkÛ�èÊáÆܯâhß�ÜÈçaãtÜ(â�Ü(âÍÝ4ñtÝSàÅã<ä�èÅÜ}ò:ß�Ûhí:Ü(âÍݱí<ÝeÛaá�èÅÜ}ò:Þ(ÝSë·ß�è½ÛÛÍÝSßtÞ(à½ò±æÍÛÍèÅ÷ ãtÞ¯ë�èÅÛ�çaãtÜ(â�à½ß`òkÝeÞ�á3í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë ãt÷bÜ(âhÝ ö æÍë±ìbï��7âÍÝ ìhâ�ò<á(è½äSß�àLèÅÛ�ܯæÍè®Ü¯èÅãkÛdçLÝeâÍè½ÛhídÜ(âÍèÊáè½áÀÜ(âhß�ÜÆÜ(âhÝwæÍìÍìLÝeÞ à½ß`òkÝeÞpèÊáÀÛhã�ÜÀõkÞ(ÝUß�Ü(à½ò�ß� LÝUä�ܯÝSí#ç�òdܯâÍÝ ö æhë4ì>óaôpâÍè½à½Ý�Ü(âhÝ�àÅã�ô�ÝeÞÀãtÛÍÝ�èÊáÆÞ�ß�ìhè½í<à½òâÍãtë±ãtõkÝeÛÍè(�eÝUídç�ò·Ü¯æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÆë±è®ú<è½ÛÍõhï

�Íï7ÚµÛ±Ü(âÍÝ ÛÍÝeè½õtâ�çLãtÞ¯âÍã�ã�í�ã�÷IܯâÍÝ ö æÍë±ìbó�ë±ãká�ÜFã�÷IÜ(âhÝÆÝeÛÍÝSÞ(õkò�í<èÊá¯á�è½ìhß�ܯÝSí±ç�ò�ܯâÍÝÆë±ÝSßtÛ±øhã�ôlõtã�ÝSáWè½Û�Ü(ãè½á(ã�ܯÞ(ãkìÍè½ä¶Ü¯æÍÞ(çhæÍàÅÝSÛhä�Ýkóká(èÅÛaä�Ýtÿ � è5��÷ ãtÞWë±èÊá(äeèÅçhàÅÝ7øhæhè½íÍáSó�ܯâÍÝeÞ¯Ý7è½áFÛÍã�á�æÍÞ(÷fßtäeÝ�Ü(ÝeÛaá�è½ãtÛ±ÝeÛhÝeÞ¯õtò%� � è½è5�q÷ ãtÞá}ܯÞ(ãkÛÍõhókâÍèÅõkâÍà½òwܯæÍÞ(çhæÍàÅÝSÛ�Ü3â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ìháSótܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝpÜ(ÝSÛhíÍáWܯãwß`ñtÝSÞ¯ßtõtÝ7ß`ô�ß`òwçaãtÜ(â·Þ�ßtí<èÊß�ܯèÅÛÍõô�ß`ñkÝSápß�Ûaí#ãtÞ¯õkß�Ûhè �SÝSí�á�âÍÝUß�Þ<�hß�Ûaí �fèÅè½è5�7Ü(âhÝ�Ü(è½ë±Ýwá(äSß�à½ÝÈ÷ ãtÞpܯâÍÝwäeãtÛ�ñtÝSÞ¯á(èÅãkÛdãt÷�ܯæÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÀÝeÛhÝeÞ¯õtòèÅÛ�Ü(ã·âhÝSß�ÜÆèÊápë�æhä�â�à½ãtÛhõtÝeÞ7ܯâhß�Û�ܯâÍÝÈÜ(è½ë±Ýwá�ìLÝeÛ�ÜÆç�ò|ë±ãká�ÜpøhæÍèÊí#ìhßtÞ�ܯè½äeàÅÝUá7èÅÛ:ß4ÛÍÝeè½õtâ�çLãtÞ¯âÍã�ã<ídãt÷Ü(âÍÝ ö æÍë±ìbï �ÆãtÜ(ÝÀÜ(âhß�ܶç�ò±ÛÍÝeè½õtâ�çLãtÞ¯âÍã�ã�í±âhÝeÞ¯ÝÀô�ÝÆë±ÝSß�Û�í<è½á�ܯßtÛhä�ÝUá3ãt÷Ü(âÍÝ ãtÞ�í<ÝeÞ¶ã�÷ܯÝeÛhá¶ã�÷ ö æÍë±ìôpè½í�ܯâháSï

�hï-�7âÍÝ�ßtë±ãtæÍÛ�ܶãt÷bÜ(æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ý èÅÛ�â�ò<í<Þ¯ãká�ܯß�Ü(èÊäÆá�Ü(Þ�ß�Ü(è �hÝUí±øhã�ôÆá¶è½á¶àÅè½ë±è®Ü¯ÝSí�ç�ò�ܯâÍÝ�çÍæÍã�òkßtÛhä�òkïqÚJ÷>Ü(âÍÝÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝ�çLÝSä�ãkë±ÝSá7ܯã�ã±âÍè½õtâ>óÍÜ(âhÝ�ñ`ßtÞ(è½ãtæaá�øhæÍèÊí#à½ß`òkÝeÞ�á¶ôpè½à½àqä�ãkë±ìÍàÅÝeÜ(ÝSàÅò�ë4èÅúï �7â�æháSóÍÜ(âhÝ�ñtÝeÞ¯òÝ�ú<è½á�Ü(ÝSÛhä�Ý�ãt÷�í<èÊá�Ü(è½Ûhä�ÜÀàÊß`òtÝSÞ¯á¶ÝeÛaá�æÍÞ¯ÝSá�ܯâhß�ÜÀß±äeÞ(èÅÜ(èÊäeßtàñ`ßtàÅæhÝ�èÊápÛÍãtÜÆá�æÍÞ¯ìhßká(á(ÝSíï

aï-/ÍãtÞÆÜ(âÍÝÈ÷ æÍà½à>ñkÝeÞ�á�è½ãtÛ�ã�÷�Ü(âÍÝ�äeàÅã�á�æhÞ(ÝÈô�Ý ÷ æhÞ�ܯâÍÝeÞÀßká(á(æÍë±Ý�Ü(âhß�ÜÆÜ(âhÝ�çaãkæÍÛhí�ãtÛ�Ü(âhÝÈÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛhäeÝ�è½áSóèÅÛ�÷fßtä�ÜSóhßkä�âÍè½ÝeñtÝUídçLã�ܯâ#æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSß�ë"ß�Ûhí#í<ã�ôpÛhá�Ü(Þ¯ÝSßtë�ã�÷�Ü(âÍÝ ö æhë4ì>ïFÚµÛ#ã�Ü(âhÝeÞpô�ãtÞ�íÍáeó�ô�Ý�ßtá¯á�æhë4ÝÜ(âhß�ÜpÜ(âÍÝÈøhã�ôPè½áÆë±ß�ú<èÅë·ß�à½à½ò·Ü(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜÆÛÍÝUß�Þ�Ü(âhÝ ö æÍë±ìbï

� æ<ÜÈã�÷WܯâÍÝSá(Ý�äeàÅã�á�æÍÞ¯Ýwâ�ò�ìLã�Ü(âhÝSá(ÝSáSóLá(æÍÞ¯ìÍÞ(èÊá(èÅÛÍõdçaãkæÍÛhíÍá Ýeë±ÝeÞ¯õtÝw÷ ãtÞ Ü(âÍÝ�ñtÝSàÅã<ä�èÅÜ}òtóLܯâÍÝwâÍÝSèÅõkâ�ÜSóß�Ûhí�fë4ãkÞ(Ý�á�è½õtÛhè!�aäSß�Û�Ü(à½ò �LÜ(âhݶçÍæhã�òkß�Ûaä�òÀÞ�ß�ܯèÅã�á>ßkä�Þ¯ãká¯áIÜ(âÍÝ ö æÍë±ìbï#�ÀÝSìaÝSÛhí<è½ÛÍõ�ãtÛ�ܯâÍݶí<ÝeܯßtèÅàÊá>ãt÷<Ü(âÍÝ7ä�à½ãká(æÍÞ¯ÝtóܯâÍÝwàÊß�ܯÝeÞÀçLãtæhÛhí:Þ�ß�ÛÍõkÝSá7÷ Þ¯ãtë � �³ü � � � �Ü(ã � � � � � � kï���Ü(Þ¯ãtÛÍõdâ�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä ö æÍë±ìhá�á�âhãtæÍàÊí:ò�èÅÝSà½íñ�ß�à½æÍÝUáWã�÷ �7ä�à½ãká(Ý7Ü(ã�Ü(âÍÝÆà½ã�ô�ÝeÞFçLãtæÍÛaíÍáeó�á(ã�ô¶ÝpìÍÞ¯ÝSíÍè½ä�ÜFÜ(âÍÝ ñtãkàÅæÍë±Ý7øhã�ôlè½Û±Ü(âÍÝ àÅã�ô�ÝeÞWàÊß`òtÝSÞMÜ(ã�è½Ûhä�Þ¯ÝSßká�Ýç�ò �Í÷ÃÜ}ò�Ü(ã�ßdâ�æÍÛhí<Þ¯ÝSí#ìLÝeÞ�ä�ÝSÛkÜÈßtäeÞ(ã�á(á�ܯâÍÝeë#ï0�7âÍè½áÀè½á�ä�ãkÛhá(è½á�Ü(ÝSÛkÜ ôpè®Ü¯â:øhã�ô�ë±ÝSßká�æÍÞ¯Ýeë±ÝSÛkÜ�á7÷ ãtÞ�çLã�Ü(âܯâÍÝ��:ÝUí<èÅÜ(ÝeÞ¯Þ�ß�ÛÍÝUß�Û·ãtæÍÜ�øhã�ôyß�Ûaí±Ü(âÍÝ?�ÀÝSÛÍë·ß�Þ¯åE��Ü(Þ�ß�èÅܶã�ñtÝSÞ�øaã�ô�ó�ôpâÍèÊä�â|Þ(ãkæÍõtâhàÅò±í<ãtæhçÍàÅÝ ôpè®Ü¯âÍè½Ûdß�÷ ÝSôâ�æÍÛhíÍÞ(ÝUí�å�è½àÅãkë±Ý�Ü(ÝSÞ¯áMãt÷aܯâÍÝÆá�Ü(Þ�ß�èÅܯá�� ôpèÅÜ(â|á(ãtë±Ý7Ýeñ�èÊí<ÝeÛhäeÝ7Ü(âhß�ÜWÜ(âÍÝUá�Ýpñkãtà½æÍë±Ý7èÅÛhäeÞ(ÝUßtá(ÝSáMã<äeäeæÍÞFßtäeÞ(ã�á(áñkÝeÞ¯ò·àÅã<äeßtàÅè(�eÝUí�ßtÞ(ÝUßtá�ã�÷Wá�Ü(Þ¯ãtÛÍõ4ë±è®ú<è½ÛÍõ�û �S�<ó,�tü`ýnï

�ÆÛhã�Ü(âhÝeÞÈä�ãtÛaá�ÝUékæhÝeÛhäeÝwã�÷WܯâÍÝ�÷ æÍàÅàWäeàÅã�á�æÍÞ¯ÝtóLß�Ü�àÅÝUßtá�ÜÀ÷ Þ¯ãtë ߷ܯâÍÝeãkÞ(ÝeÜ(èÊäeß�àqìaãkèÅÛ�ÜÈã�÷Fñ�è½Ýeô�óIè½áÀÜ(âaß�ÜÈè®Üè½ë±ìÍàÅè½ÝSá�ܯâÍݱÝ�ú<èÊá}ܯÝeÛhäeÝ�ãt÷3æÍìÍìLÝeÞ�ßtÛhí�à½ã�ô�ÝeÞ�çaãkæÍÛhíÍá ÷ ãtÞ�ܯâÍÝ /ÍÞ¯ãtæhí<Ý4Û�æÍëwçLÝeÞ�á�æÍìhá�Ü(Þ¯ÝSßtëþß�Ûhíîí<ã�ôpÛ 2á�Ü(Þ¯ÝSßtë�ã�÷>ܯâÍÝ ö æÍë±ìbóÍÞ¯ÝSá(ìLÝSä�ܯèÅñkÝeà½òtï �7âÍèÊá7è½á7è½Û�Ü(ÝSÞ(ÝUá}ܯèÅÛÍõ±çLÝSäSß�æhá(ÝÈÛÍã·á�æhä�â�çLãtæÍÛhíhá7Ý�ú<è½á�Ü7÷ ãtÞ 1 Þ(ÝSõtæÍàÊß�Þ�6â�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìháÀèÅÛ:ß±á�è½ÛÍõkàÅÝ�øhæÍèÊí�à½ß`òkÝeÞUï

�îÝpÝSß�õkÝeÞ¯àÅò�ß`ô7ß�èÅÜ�Ü(âÍÝ7ñ�ß�à½è½íhß�Ü(è½ãtÛ4ã�÷LãtæÍÞMܯâÍÝeãkÞ(ò�çLã�ܯâ±ç�òwà½ßtçaãkÞ¯ß�Ü(ãtÞ¯òÈÝ�ú<ìLÝeÞ¯èÅë±ÝeÛ�Ü�á�ßtÛhí4ç�ò�ã�äeÝSßtÛÍã�2õkÞ¯ßtìÍâÍèÊä ßtÛhí#ß�Ü(ë±ã�á�ìÍâhÝeÞ¯è½ä ãtçhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛháeÿ

1 ��Þ¯ßtæbó�Ü(ÝSæÍÞ(ÝSÞ /ÍÞ¯ÝeæÍÛaíó<è½á�ÜÀß�à½à½Ý0�7âhÝeãtÞ¯è½Ýtó<æÍÛhí�õkÞ��æÍÛ#í<ÝUá bÝeçLÝeÛaápõtãkà½í<ÛhÝeÞ��7ß�æÍë#ï 62û �Sý

�S�

Page 23: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

� ' � 'ÆÔ 'ÀÒ#Ø '2)û �ý �ÀÞ(ë±ènó Fï½ó��� %�hÿ 1 �7âÍÝdâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊäeá�ã�÷pÜ}ô�ã�øhã�ôpè½ÛÍõ�àÊß`òtÝSÞ¯áwôpè®Ü¯â2í<è IÝeÞ¯ÝeÛ�ܱíÍÝeÛhá(è®Ü¯èÅÝUá 6hó������ � ���!�

� � �� �½ó ��� �bó,�#���<ü�%Íïû �`ý �7ßtèÅÛÍÝUáeó �Mï½ó��� �küÍÿ� ��������������������������� �"!#��$%!&�'�����'��(���)%*+��,#!kó.- ��/10����!�&2 �43 ���65���� � ���87:9 ����� �û ��ý �7ßtàÅë4÷ ãtÞ(Ü(â>ó ��ï<;aïÅó �>Ýeô�Ýeà½àÅò�Û �<ë4èÅÜ(â>ó �IïS�4ï½ókßtÛhí �FãtæÍÛÍõaóS��ï�,�ïÅóK���� %Íÿ 1 �Àò�Ûhßtë4èÊäeáMãt÷aè½Û�Ü(ÝeÞ(÷fßtäeÝSáßtÛhí�à½ß`òkÝeÞ�á¶è½Û#ß·á}ܯޯß�Ü(è �hÝSídÜ(æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�Üpøhæhè½í 6hó=���=� � ���!� � � �>� �½ó�� ��� ó � ����� �kü�%hï

û �ý ��ÝSÛ ö ß�ë±è½Ûbó �Èï ��ïÅó���� %Íÿ 1 ��Þ�ß`ñ�è®Ü}òêä�æÍÞ¯Þ¯ÝeÛ�ܯá4ß�Ûhí6Þ(ÝSà½ß�Ü(ÝUíYìÍâÍÝSÛÍãtë±ÝeÛaß�6Íó����?� � ���!� � � �� �½ó � � ó�S��������#%Íï

û ü`ý � ãtçhÞ(è½Ûhá(å�ènó �MïÅó�/�àÊß�ë·ß�Û�ÜUó¶ð ïÅó � æhá(ÝeåIó�;aï�ßtÛhí �MÝeà½ãtÛ>ó+;aï½ó���S�,tÿ 1 � çhá(ÝeÞ¯ñ�ß�ܯèÅãkÛhß�àFÝSñ�è½í<ÝSÛhä�Ý�ß�Ûhíë±ã<í<ÝSàÅè½ÛÍõ�ãt÷Àß�ÛYè½ÛkܯÝeÞ¯Ûhß�à�â�ò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ìlß�ÜwܯâÍÝ�ß�Ü(ë±ãká(ìÍâÍÝSÞ(èÊä·çLãtæÍÛaíÍß�Þ¯ò ��àÊß`òtÝeÞ�ܯãtì6í<æhÞ(è½ÛÍõ�ßܯޯßtë±ãtÛ�ܯßtÛÍÝ ÝSñtÝSÛkÜ�6Íó�@ ����� � �BA ��7 ��� � ��� � ��� �½ó ��� ó �#���<üKUü<ï

û �ýwù3àÅà½èÊá�ãkÛbó��Èï �wïÅó�ß�Ûhí �qæÍÞ¯ÛÍÝeÞUó<;aï �Iï½ó,��kü��Íÿ 1 �>æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜFÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜFèÅÛ|á�Ü(Þ�ß�ܯè!�hÝUí�øhã�ôÆá 6hó������ � ���!�� � �� �½ó ��� ó �����# %Íï

û �Uý ��ã�ÝeÜ(âÍÝkóC;aï���ï�ñtãkÛbó<DE�GFE!'�tó�è½ÛIHJ�B�C�"�E��!LKM���ON��QP=R:��$E)TSOSOS�ó�ìbï �ÍóB- ����� ���-�� �VU �W2"X ���1Y �������&2 ó��kü�hï

û %�ý � ß�à½àÅçLÝeÞ¯õhó ,�ï-��ïÅó ��� �S�hÿ 1 �7è½ë±Ý|èÅÛ�ܯÝeõtÞ�ß�ܯèÅãkÛêã�÷Æí<èÊß�ì�ò<ä�Ûhßtà3í<è Læhá(è½ãtÛ6ßtÛhí ,pèÊä�âhß�Þ�íÍá(ãtÛîÛ�æhëwçLÝeÞíÍÝeìLÝeÛhí<ÝSÛ�ÜMë±èÅú<èÅÛÍõÈè½Û�èÊá(ãtì�ò<ä�Ûhßtà�äeã�ãkÞ¯íÍèÅÛhß�Ü(Ý�ã<ä�ÝSßtÛwë±ã<í<ÝeàÊá76Íó�� � � � U � � ��Z �&5 �½ó � ��� ó�� � ���I�,��hï

û ��ý �Àãtõkõhó���ï �4ï½ó��� %��Íÿ 1 �Æò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä�ä�ãkÛkܯÞ(ãkà¶ßtÛhíêøhã�ô á(ÝeìhßtÞ¯ß�Ü(è½ãtÛYè½Û2ß�ëwæÍàÅÜ(è 2nàÊß`òtÝSÞ(ÝUíîøhæÍèÊí~ôpèÅÜ(âßtìÍìÍà½è½äSß�ܯèÅãkÛhá¶Ü(ã±Ü(âhÝ �WÝeë·ß±ä�âhß�ÛÍÛhÝeà�6Íó=��� 9.��7�� �?[ � � � � �½ó � �>ó ���ü�� �6��%hï

û ���ý �ÀãtæÍõkâ�Ü(ãtÛ>ó���ï��wï½ó ��� �Íÿ 1 ù IÝSä�Ü�ádãt÷�Þ¯ã�Ü�ß�Ü(è½ãtÛ ãtÛ Ü¯âÍÝî÷ ãtÞ¯ë·ß�Ü(è½ãtÛ ã�÷wâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ìhá76Íó#���\ � � ����7�� �=Z ��� �½ó ��� ó ��küK'�I��� �Íï

û Seý �Àã�ô�ßtÞ¯íbó�3ï ��ï½ó��� Kkÿ 1 �Æã�ܯÝÈãtÛ:ß4ìhß�ìLÝeÞpãt÷+;kãtâÍÛ ��ï,�:è½à½ÝSá76Íó=���=� � ���!� � � �>� �½ó ��� óLü������<üK<�<ïû <��ý^]Èà½Ýeë±ìbó�;hïI� ï½ó ,pãtÜ(æÍÛhÛÍãhó ,�ïÅóLß�Ûhí��<å`ßtë·ß�Þ¯ã�ä�åIó���ïð ïÅó-����4��ÿ 1 � Û�ܯâÍÝ�ìÍÞ¯ãtìaß�õkß�Ü(è½ãtÛ�ã�÷WèÅÛ�ܯÝeÞ¯Ûhß�àçLãtÞ¯ÝSá76Íó_���=� � ���!� � � �� �½ó���� � ó %,'�I<��hï

û ���ý qß�ÛÍÝ32 �<ÝeÞ �ó �4ï /�ïÅó�ß�ÛaíE�´ã�ã<í<ô7ß�Þ�íó �Yï ��ïÅó���� �Ktÿ 1 ÚµÛ�Ü(ÝSÞ(ÛhßtàÍçLãtÞ¯ÝSáFè½Û±Ü}ô�ã���àÊß`òtÝSÞMÝ�úÍä�âhß�ÛhõtÝ7øhã�ôÆáã�ñkÝeÞ7á�è½à½à½á76Íó�` � � �ba c � � Z ��� �½ó ��� ó ���� ��%Íï

û 3tý qß`ôpÞ(ÝSÛhä�Ýkó��4ï��wïÅó ����S�hÿ 1 � Û Ü(âÍÝFâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½èÊäeáãt÷ ��ãtæaá(á(èÅÛhÝSá¯éÆß�ÛhíÈÛhãtÛ4���¶ãkæhá¯á�è½ÛÍÝSá¯é�����à½ß`òkÝeÞLøhã�ôÆá76Íó���_� � ���!� � � �� �½ó ��� � ó �ü ���# % �Íï

û Uü�ý qß`ôpÞ(ÝSÛhä�ÝkóH�4ïH��ï½óg���� �Íÿ 1 �7âÍÝ·â�ò�íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊäeá�ã�÷Æá}ܯÝSßkí<ò ����àÊß`òtÝeÞÈøaã�ô ã�ñkÝeÞ�ß �Íú<ÝUíêãtçhá�ܯßkä�à½Ý�6Íó ���� � ���!� � � �� �½ó ����� ó S�kü��4 ���Íï

û ��ý >ÝSí<ô�Ýeà½ànób;aï�,�ïÅó���ãtÛ�Ü(õkãtë±ÝeÞ¯òtóIùÆï �Èï½ó��Mãkà �SèÅÛ>ób]±ï�Fï½ó���Ü >ßtæÍÞ(ÝSÛ�ÜSó�Fï>ð ï½ó��<ä�âÍë±è®Ü(ÜSó ,�ï%��ï½óbß�Ûhí�qã�ãtà½Ýtó=;aï �YïÅóH���S� �Íÿ 1 ùFñ�èÊí<ÝeÛhäeÝw÷ ãkÞÈÝeÛÍâhßtÛhä�ÝUí�ë±èÅú�è½ÛÍõ#ã�ñtÝSÞÀÞ¯ãtæÍõkâ�ܯãtìLãtõtÞ�ß�ìhâ�ò#è½Û�ܯâÍÝ·ß�ç�ò<á(á¯ß�àã<äeÝSß�Û+6ÍóGd � �-����� ó ��� �>ó ������I�% �Íï

û ��`ý >ãtÛÍõaó ,�ï ,�ïÅó ��kü�hÿ 1 ��ãkë±Ý�ßtá(ìLÝSä�Ü�áwãt÷pÜ(âÍÝ�øhã�ô�ãt÷Àá}ܯޯß�Ü(è �hÝSíêøaæÍè½íhá�Ú(Ú�ÿWùWú<ìaÝSÞ(è½ë±ÝeÛ�ܯáwôpè®Ü¯â2ßÜ}ô�ã�2nøhæÍèÊídá(ò<á}ܯÝeë 6Íó�e ����� � � ó � ó �����%S`ü<ï

���

Page 24: Internal hydraulic jumps and mixing in two-layer flows

û �%�ý ��èÅà½ÝSáSó�;aï#��ïÅó?�� Ktÿ 1 � Û~ܯâÍÝ:á}Ü�ß�çÍè½à½è®Ü}ò~ãt÷ÀâÍÝeÜ(ÝeÞ¯ãtõkÝeÛÍÝSãtæhá4á(âÍÝSßtÞ�øaã�ôÆá 6hó ��� � � ���!� � � �� �½ó ��� ó#����<ü�� %Íï

û ���ý�� ßtá(âbó<;aïS��ïkß�Ûaí ��ãtæÍë#óC;aï �wïÅó ���S�,tÿ 1 ÚµÛ�Ü(ÝeÞ¯Ûhßtà<â�ò<í<Þ�ß�æhàÅèÊä¶øhã�ôÆáMãtÛ4Ü(âhÝÀä�ãkÛkܯèÅÛhÝeÛ�ܯßtàÍá�âÍÝSà®÷}ÿ �Æè½õtâíÍÞ¯ßtõ4á�ܯß�Ü(ÝSá7ã�ñkÝeÞpß±á�ë·ßtàÅàçhßtÛÍå 6Íó=��� \ � � �G��7�� �BZ ��� � a [ � � � � � ó ����� ó �ü������# ,Skï

û ����ý � * �ÆÝSèÅà#�7ß�Þ¯èÅÛhõtÝeÞUó%�YïÅóbßtÛhí �3Þ(èÊä�Ýkób;aï�/¶ï½ó �� �#�<ÿ 1 �:èÅú�è½ÛÍõ�ß�Ûhí´á�ìÍÞ¯ÝSßkí<è½ÛÍõ|ã�÷3Ü(âÍÝE�:ÝSíÍè®Ü¯ÝeÞ¯Þ¯ßtÛÍÝSßtÛ� æÍÜ�øhã�ô 6hób��� 9.��7�� �?[ � � � � �½ó ��� ó �kü���I�#� ��ï

û ��eý � * �ÆÝSèÅà �7ß�Þ¯èÅÛhõtÝeÞUó!�YïÅókß�Ûhí��3Þ(èÊä�Ýkó�;hï�/�ïÅó�����4��ÿ 1 ��ãtë±ÝeÛ�Ü(æhë ßtÛhí�ÝSÛÍÝeÞ¯õtòÈçhßtà½ßtÛhä�ݶã�÷<Ü(âhÝg�:ÝUí<èÅÜ(ÝeÞ 2Þ�ß�ÛhÝSß�Û � æ<Ü�øaã�ô 6Íó_��� 9.��7�� �?[ � � � � �½ó ��� ó �4��%��%� � �<ï

û �S��ý �Wß`ôpàÊß�åIó �4ï �Mïß�Ûhí �ÆÞ¯ë±è@ó�3ïÅó��S�S� �Íÿ 1 �:è®ú<è½ÛÍõ#ß�Ûhí´ÝeÛ�Ü(Þ�ß�è½ÛÍë±ÝeÛ�ÜÈèÅÛêí<ÝSñtÝeà½ãtìhèÅÛÍõ�á}ܯޯß�Ü(è �hÝSíîä�æhÞ 2Þ¯ÝeÛ�Ü�á 6hób���=� � ���!� � � �� �½ó ����� ó#�ü�� ���Íï

û ����ý �3Þ¯ß�Ü�ÜUó Fï.;aïÅó �ÆÝSà®÷ Þ¯èÊä�âbó�]±ï�,�ï¶ß�Ûhíyð¶âhßtá¯á(èÅõkÛÍÝ�ÜUó3ùÆï��Mï½óg�S�S�S�hÿ 1 �Æò<í<Þ�ß�æÍà½èÊä�ßkí ö æhá�Ü(ë±ÝeÛ�ܱÜ(ãYß�Ûãkçhá�ܯßtäeàÅÝ�è½Û#ß4Þ¯ã�Ü�ß�Ü(è½ÛÍõ·ä�âhßtÛÍÛÍÝeà�6Íó_���=� � ���!� � � �� �½ó ����� ó ����I3#�Íï

û ��tý ,Æãtæhá(Ýtó���ï½ó#��èÊß�ãaó �Èï��Èïqß�Ûhí �ÀßtõkßtÞ¯ß�Ü(Ûhßtë�óH�IïÅóV���ü��Íÿ 1 �>æhÞ(çÍæhàÅÝSÛhä�Ý·ä�âhßtÞ¯ßkä�Ü(ÝSÞ(èÊá�Ü(èÊäeá�ã�÷�Ü(âÍÝdâ�ò#2íÍÞ¯ßtæÍàÅèÊä ö æÍë±ì 6Íó e ��� � � � � / ��� � c � � �?- �65 ��� ��2 �½ó ����� ó � ���2 � �hï

û �tü�ýY�Íß�æÍÛhíÍÝeÞ�áeó �MïI�YïÅó%��� �Ktÿ 1 �7âÍÝ�í<ÝeÛaá�Ý�ÛÍãkÞ�ܯâÍÝeÞ¯Û#ã�ñtÝSÞ�øhã�ôÆá76Íó�è½Û��1�<���G$�� �����<F�����"���Q$ �G$�)����� �� ���'�Ló�ÝSí<èÅÜ(ÝUí�ç�ò �4ïd��è½ÝSí<à½ÝeÞUó�;aïað¶â�æhÞ¯ä�â#ß�ÛhíJ;aïd��ãtæÍàÊíó � � ��� � //�� 9 ����� � ï

û ���ýY�<èÅë±ìhá(ãtÛbó_;aïùÆï½óH����4��ÿ H �����=�������:FB�O����$b�'!���$ �'�����L$��=������$ � ��$b� �G$�) �'�����������������'�����Wóð�ßtëwçÍÞ¯èÊí<õtÝ �ÆÛÍè½ñtÝSÞ¯á(èÅÜ}ò9�FÞ¯ÝSá¯áeóað�ßtëwçÍÞ¯è½íÍõtÝtï

û � �`ý �qæÍÞ¯ÛÍÝeÞUó ;aïS�IïÅó,���% Íÿ 1 �>æÍÞ¯çÍæÍà½ÝeÛ�ÜWÝeÛ�ܯޯßtèÅÛÍë±ÝSÛkÜ�� �7âÍÝpí<ÝeñkÝeà½ãtìÍë±ÝSÛkÜMã�÷aÜ(âÍÝ7ÝSÛkܯޯßtèÅÛhë4ÝSÛ�ÜWßká(á(æÍë±ì 2ܯèÅãkÛbóÍß�Ûaí�èÅܯápßtìÍìÍà½è½äSß�ܯèÅãkÛdܯã·õtÝeãkìÍâ�ò<á�èÊäeßtàhøhã�ôÆá76Íó=���=� � ���!� � � �� �½ó ��� �bó #�K �#4��tï

û ��%�ý��FßtàÅèÊß�Ûhè@ó ��ï½ó��� �#��ÿ 1 bè½ÛÍÝSßtÞ|ß�Ûhí�ßtÛÍõtæÍàÊß�Þ·ë±ãkë4ÝSÛ�Ü(æÍë ä�ãkÛhá�ÝSÞ(ñ�ß�Ü(è½ãtÛlèÅÛyâ�ò<í<Þ�ß�æÍà½è½ä ö æÍë±ì 6hó ���� 7������ ��� �� Z ��� �½ó�� � ó � �����4��ü�aï

û ����ý��îã�ã<íó<Ú�ï ,�ï½óhß�Ûaí��<èÅë±ìhá(ãtÛbóG;aïhùÀïÅó ���%�aÿ 1 ;tæhë4ìaá7èÅÛ#àÊß`òtÝeÞ¯ÝSídë±è½á¯ä�è½çÍà½ÝÈøhæÍèÊíÍá 6hó=���=� � ���!� � � �>� �½ó����� ó � ����� �� �Íï

û �S��ý ��èÅâ>ó�ð ï �ïÅó�ß�Ûhíh��æÍâaßÍóÍð ï�,�ï½ód��kütüÍÿ 1 �Àò<í<Þ¯ßtæÍà½è½ä ö æÍë±ì|è½Û|ß�øhæÍèÊí·á�ò<á�Ü(ÝSëDã�÷IÜ}ô�ãÈà½ß`òkÝeÞ�á 6hóEe ����� � � ó� ó �kü�%�� ���hï

��