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68
2 INTERACCINELCTRICA
La interaccin elctrica junto con la gravitatoria son las dos
interacciones fundamentales que se utilizan paraexplicar el
comportamiento de los sistemas materiales si exceptuamos el
comportamiento de los ncleos atmicos.
Los fenmenos elctricos estn relacionados con la propiedad de la
materia llamada carga elctrica, magnitudcuya unidad en el SI es el
culombio.
En el estudio de la interaccin elctrica acostumbra a
distinguirse lo que ocurre entre cargas elctricas en
reposo(electrosttica) de los fenmenos relacionados con las cargas
elctricas en movimiento (electrocintica y magnetismo).
En esta unidad trataremos la ley de Coulomb de la interaccin
electrosttica y haremos una introduccin delcampo electrosttico.
Haremos tambin un anlisis energtico de situaciones sencillas en las
que participen cuerpospuntuales con carga elctrica neta.
Ley de Coulomb
Permitividad o constantedielctrica
Campo elctrico
Intensidad de campoelctrico
Polarizacin
Energa potencial electros-ttica
Potencial elctrico
IDEAS PRINCIPALES
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69
A finales del siglo XVIII comienza el desarrollo de una rama de
la fsica, la elec-tricidad, en la que se introdujo una nueva
interaccin entre los cuerpos debido a lapropiedad llamada carga
elctrica.
1 INTERACCIN ELCTRICALa interaccin elctrica se produce entre
cuerpos que estn electrizados, es
decir, que poseen la propiedad llamada carga1 elctrica.
A.1.- a) Indica las hiptesis principales del modelo de carga
elctrica.b) Explica los distintas formas de electrizar un
cuerpo.
Influidos por el xito que haban tenido las ideas de Newton
algunos cientficosdel s. XVIII pensaron que las fuerzas atractivas
y repulsivas entre los cuerpos con cargaelctrica neta podran seguir
una ley semejante a la de la Gravitacin Universal. Elfrancs Charles
Coulomb public en 1785 lo que se conoce como Ley de Coulomb:
Entre dos cuerpos cargados elctricamente cuyas cargas sean q1
yq2, existen dos fuerzas iguales, que pueden ser atractivas o
repulsivas,aplicadas sobre cada uno de los cuerpos y cuyo valor es
directamenteproporcional al producto de las cargas de ambos e
inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que los
separa. En el valor de las fuerzasinfluye el medio en el que se
encuentran inmersos ambos cuerpos.
El mdulo de estas fuerzas es: = 1 22
q qF K
d
La constante K no es universal. Su valor depende del medio en el
que se encuen-tren los cuerpos con carga elctrica neta. As, en el
vaco o en el aire el valor de K en elSistema Internacional es de
9109 N m2/C2, mientras que en el agua es de 0,11109
Nm2/C2.
Las fuerzas electrostticas pueden ser atractivas o repulsivas,
son centrales ytambin conservativas, es decir, que el trabajo que
realizan no depende de la trayec-toria escogida, tan slo depende de
los puntos inicial y final.
A.2.- a) Calcula la fuerza entre dos cuerpos que se encuentran
en el aire sepa-rados 20 cm, si uno tiene una carga de 3 mC y el
otro de 5 C.
b) Repite el clculo suponiendo que estn en el agua y que una
carga es positi-va y la otra negativa.
c) Determina el valor de la fuerza atractiva entre un electrn y
un protnseparados 1 Angstrm. Comprala con la fuerza gravitatoria
entre ambos.
a) F = 3375 N (repulsin); b) F = 41,25 N (atraccin); c) F =
2,3108 N
d
dq1
q1
q2
q2
1 La carga elctrica no es un ente real sino una propiedad de la
materia. A pesar de ello, muchas veces, porcomodidad, hablamos de
cargas en movimiento, cargas que interaccionan, etc., aunque sera
ms preciso referirse a loscuerpos o partculas que presentan dicha
propiedad, por ejemplo electrones o iones.
9 1 2
2
9 1 2
2
9 10
0,11 10
q qen el aire F
d
q qen el agua F
d
=
=
-
70
En relacin a la interaccin elctrica se cumplen los siguientes
principios:
a) Principio de conservacin de la carga: la carga total
permanece constante.
b) Principio de cuantizacin de la carga: no se han encontrado
cargas mspequeas de un valor lmite, la del electrn. A sta se le da
el valor de la unidadatmica de carga.
c) Principio de superposicin: la interaccin elctrica entre dos
cargas es inde-pendiente de la presencia de una tercera carga.
EJEMPLOTenemos tres cuerpos que pueden considerarse puntuales
cuyas cargas y posiciones son las siguientes: q1 = 6 mC,
r1 = (3,4); q2 = 3 mC, r2 = (2,2); q3 = 4 mC, r3 = (0,3).
Calcula la suma de las fuerzas que ejercen sobre un cuerpopuntual
cuya carga es 2 C colocado en el origen de coordenadas. Las
distancias estn en centmetros.
Conviene hacer un dibujo que represente la situacin.
Calcularemos pri-mero la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre el que
est en el origen y luegosumaremos todas las fuerzas.
Para poder calcular la fuerza que ejerce cada cuerpo sobre el
que est en elorigen es necesario conocer la distancia entre ellos.
Esas distancias son:
( )= + =
= + =
=
2 21
2 22
3
3 4 5 cm = 0,05 m
2 2 2,8 cm = 0,028 m
3 cm = 0,03 m
d
d
d
El mdulo de la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el que est en
el origende coordenadas se calcula con la ley de Coulomb:
( ) ( ) = =
3 6
9 41 2
6 10 2 109 10 4,32 10 N
0,05F
Anlogamente calcularamos las fuerzas que ejercen los otros
cuerpos cargados:
F2 = 6,75 104 N
F3 = 8 104 N
Ahora se trata de sumar vectorialmente las tres fuerzas, para lo
cual debemos expresar cada fuerza en funcin desus componentes. Si
llamamos , , a los ngulos que forman cada uno de los vectores
anteriores con el eje positivo delas X, podemos escribir:
= =4 3
sen ; cos5 5
Segn podemos observar en el dibujo
F1x = F1cos = 2,59104 N; F1y = F1sen = 3,4610
4 N
F1 = 2,59 104 i + 3,46 104 j N
De la misma manera, para F2:
= =2 2
sen ; cos8 8
F2 = 4,8 104 i 4,8 104 j N
Para la fuerza F3 slo tiene valor la componente en el eje Y:
F3 = 8 104 j N
La suma de las tres fuerzas es:
F = 7,39 104 i 9,34 104 j N
q1
q3
q =- 2 C
F1
F2
F3
q2
q =- 2 C
F1y
F2y
F2x F1x
F2
F1
Se considera que losquarks tienen carga elctrica de1/3 o 2/3 de
la del electrn. Detodas formas seguira siendovlida la cuantizacin
de la car-ga.
-
71
A.3.- Tres cuerpos que pueden considerarse puntuales y tienen
una carga netade + 100 nanoculombios cada uno, estn situados en el
vaco en los puntos A(0,0),B(0,4) y C(3,0). Calcula la suma de las
fuerzas que los dos primeros ejercen sobre eltercero. (Las
distancias estn en metros).
F = 12,2 106 i 2,9 106 j N
Permitividad del medio o constante dielctrica
Para algunas aplicaciones es aconsejable introducir algunas
variaciones en laexpresin de la Ley de Coulomb. Introducimos una
nueva constante, , llamada cons-tante dielctrica o permitividad del
medio, relacionada con K de la forma K = 1/(4).Por lo tanto, la ley
de Coulomb puede escribirse
= 1 2
2
1
4
q qF
d
La constante dielctrica del vaco, y la del aire, es
= = =
212
0 9 2
1 1 C8,84 10
4 4 9 10 NmK
La permitividad de cualquier otro medio que no sea el vaco, o el
aire, es siempremayor que la del vaco. Puede expresarse como un
valor absoluto (mediante un nme-ro y la correspondiente unidad) o
como un valor relativo: el nmero por el que hay quemultiplicar la
permitividad del vaco para obtener la permitividad del medio =
r0.
A.4.- Cuerpos puntuales cuyas cargas son 1, 2, 3 y 4 C estn
situados en losvrtices de un rectngulo cuyos lados verticales miden
3 cm y los horizontales 4 cm.Cunto vale la fuerza ejercida sobre el
cuerpo de carga 4 C, si estn en un mediode constante dielctrica
relativa 5? Los cuerpos estn situados en el sentido de lasagujas
del reloj empezando por el que tiene una carga de 1 microculombio
situado enel vrtice superior izquierdo.
F = 8,9 i + 4,5 j N
A.5.- En los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado
se encuentrantres cuerpos cuyas cargas elctricas son de 2, 4 y 1 C.
Calcula la fuerza que ejercenlos dos primeros cuerpos sobre el
tercero. (Considera que los dos primeros cuerposestn situados en
los vrtices de la base del tringulo).
F = 2,7 i 1,56 j N
K Permitividad Permitividad
Nm2/C2 C2/Nm2 relativa rvaco 9 109 0,88 1011 1
aire 9 109 0,88 1011 1
aceite 4 109 1,94 1011 2,2
papel 3 109 2,65 1011 3
porcelana 1,5 109 5,30 1011 6
mica 1,3 109 6,19 1011 7
alcohol 0,35 109 22,7 1011 25,7
agua 0,11 109 70,7 1011 80
-
72
Determinacin de la constante K
La constante K de la ley de Coulomb puede medirse de idntica
manera a comose hizo con la constante de la gravitacin universal,
utilizando la balanza de Cavendish(1798), que es una balanza de
torsin.
A.6.- Cmo funcionaba la balanza de Cavendish? Cmo se debera
procederpara medir la constante K?
2 CAMPO ELCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPODe igual manera que un
cuerpo crea a su alrededor un campo gravitatorio, un
cuerpo con carga neta crea a su alrededor un campo elctrico.
Las ideas de Faraday abrieron una nueva poca en el desarrollo de
la Fsica.Las misteriosas fuerzas que actuaban a largas distancias
entre los cuerpos fueronsustituidas por algo distribuido
continuamente por todo el espacio entre y en tornoa ellos, algo a
lo que poda atribuirse un determinado valor en cualquier punto.
Estasideas introdujeron las nociones de campo de fuerzas o
simplemente campo, yafuese de interacciones elctricas, magnticas o
gravitatorias. Las fuerzas entre objetosseparados por espacios
vacos se podan considerar como el resultado de interaccionesentre
los cuerpos y los campos en los que estaban esos cuerpos
inmersos.
Cuando en diferentes puntos colocamos un cuerpo cargado, y se
observa quesobre l acta una fuerza elctrica en cada punto decimos
que en esa zona del espa-cio hay un campo elctrico.
La idea de campo no es slo una ayuda matemtica para resolver un
determi-nado tipo de problemas. Supone un cambio drstico en la
concepcin de cmo sesupone constituido el mundo fsico. La fsica
newtoniana supona la existencia de lamateria actuando en el
interior de un espacio vaco desprovisto de propiedades. Laidea de
campo supone asignar al espacio una serie de propiedades que le
permitenactuar sobre lo que llamamos materia. Podemos decir que los
campos tienen unaexistencia tan real como la misma materia.
Intensidad de campo elctrico
Sea un cuerpo con una pequea carga q sobre el que se ejerce en
un punto delespacio una fuerza elctrica F. Llamaremos intensidad de
campo elctrico en ese punto,que notaremos E, al cociente:
=q
FE
La carga q debe ser pequea (se le llama carga de prueba) para
que no perturbe elcampo en el que se coloca.
Por convenio, la direccin y sentido de la intensidad de campo
elctrico coin-cide con la de la fuerza que se ejerce sobre una
carga de prueba positiva. Si se colocaun cuerpo con carga negativa
en un punto donde haya un campo elctrico, la fuerzaque se ejerce
sobre el cuerpo tendr la misma direccin que la del campo en ese
puntopero su sentido ser contrario al del campo.
-
73
A.7.- Indica las unidades en el SI de la intensidad del campo
elctrico. De quinforma el valor de la intensidad de un campo
elctrico? Un cuerpo cuya cargaelctrica neta es de 5 C se coloca en
un campo elctrico cuya intensidad es de20 000 N/C. Qu fuerza
ejercer el campo sobre l?
F = 0,1 N
EJEMPLOUna bola de 100 g cuelga de una cuerda de 50 cm que
podemos considerar
que no tiene masa. Se coloca en un campo elctrico horizontal y
uniforme dirigi-do hacia la derecha (la intensidad de campo es la
misma en todos los puntos),de valor 105 N/C, observndose que se
desva 30 de la vertical. Calcula la cargaelctrica que debe tener la
bola.
Sobre la bola actan las fuerzas dibujadas en la fig. 1:
Fp = mg, fuerza de atraccin de la Tierra
Fe = qE, fuerza elctrica
Fh, fuerza con la que el hilo tira de la bola
Puesto que la bola est en equilibrio, la suma de las tres
fuerzas debe sernula. Para realizar la suma de todas las fuerzas
podemos descomponer la fuer-za que hace el hilo sobre la bola, tal
como se seala en la figura 2. La quehemos sealado como Fhy se
compensa exactamente con la fuerza que ejercela Tierra, mientras
que la que hemos sealado como Fhx es compensada por lafuerza
elctrica.
+ = + = =
+ = =
= = =
6
5
0 cos 120 0tg120
0 sen 120 0
0,1 9,85,66 10 C
tg120 10 tg120
hx e h
hy p h
F qE mg
F mg qE
mgq
E
F F
F F
El resultado es razonable si tenemos en cuenta lo siguiente:
- El signo positivo de la carga es coherente con el que la
fuerza elctricatenga la misma direccin que la intensidad de campo
elctrico, tal como seseal en la figura 1.
- Aunque una carga del orden de los microculombios ya supone un
valorgrande, es un valor concebible en un cuerpo macroscpico.
A.8.- Supongamos que entre los electrodos sumergidos en una
disolucin dePbCl2 en agua hay un campo elctrico, que suponemos
uniforme, cuya intensidades 20 N/C.
a) Calcula la aceleracin con la que se movern los iones cloruro
y los ionesplomo.
b) Calcula el tiempo que tardar cada ion en recorrer 2 cm, si
suponemos queinicialmente estaban en reposo. Analiza los resultados
indicando si parecen razo-nables.datos: mCl= 5,9410
26 kg; mPb= 3,471025 kg; e= 1,61019 C.
aCl= 5,39107 m/s2; aPb= 1,8410
7 m/s2; tCl= 2,72105 s; tPb= 4,6610
5 s
A.9.- En una zona determinada existe un campo elctrico dirigido
verticalmentehacia arriba cuyo valor es de 20 000 N/C.
a) Calcula la carga elctrica que debe tener una bola de 100 g
para que est enequilibrio en esa zona.
= 30
Fh
Fp
Fe
E i= 10 N/C5
= 30
= 120
Fh y
Fe
Fh
Fh x
Fp
Figura 1
Figura 2
-
74
b) Qu rapidez llevar esa bola despus de haber recorrido un
metro, si en unmomento determinado el campo elctrico disminuye a la
mitad del inicial? (Suponerque g = 10 N/kg).
q = 5105 C; v = 3,16 m/s
La teora de campos tuvo un desarrollo muy amplio y supone una
gran ayudapara el estudio de estos temas. Al principio los campos
eran slo una forma de repre-sentar la interaccin entre dos cuerpos
lejanos sin tener que suponer que se producela interaccin a
distancia. Luego fue una potente herramienta matemtica que
sirvipara predecir fenmenos tan importantes como las ondas
electromagnticas (a partirde las famosas leyes de Maxwell) que no
se haban observado nunca. En la actuali-dad, los cientficos
atribuyen al concepto de campo una existencia tan real como a loque
comnmente llamamos materia.
Representaciones de los campos vectoriales
Los campos como el gravitatorio o el elctrico que estn definidos
en cadapunto del espacio por una magnitud vectorial se denominan
campos vectoriales.Estos campos pueden representarse mediante lneas
de fuerza. Una lnea de fuerzatiene la caracterstica de ser tangente
en todos sus puntos a la direccin del campo enese punto y su
sentido ser el mismo que tenga el campo. Para dibujar e
interpretarlas lneas de fuerza debemos tener en cuenta los
siguientes criterios:
a) Las lneas de fuerza nacen en las cargas positivas (se les
llama manantialesdel campo) y terminan en las cargas negativas (se
les llama sumideros del campo).
b) Cuando queremos que la representacin sea til para adquirir
una idea delos valores de la intensidad de campo, se dibujan las
lneas de fuerza ms juntasdonde es mayor la intensidad de campo y ms
separadas donde la intensidad decampo es menor.
c) Las lneas de fuerza no pueden cortarse nunca.
A.10.- En un punto determinado, cuntos valores y direcciones
puede tener laintensidad de campo? Si se cortaran dos lneas de
fuerza, cuntas direcciones ten-dra la intensidad de campo en el
punto en el que se cortasen? Por lo tanto, esposiblen que se corten
dos lneas de fuerza?
Lneas de fuerza en un campo elctrico creado por doscargas
iguales positivas.
Lneas de fuerza en un campo elctrico creado por doscargas
iguales de signo contrario.
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75
2.1 Clculo del campo elctrico
Si queremos determinar el valor de la intensidad del campo
elctrico en cual-quier punto del espacio, podremos hacerlo de
varias maneras.
A) Experimentalmente
Colocando en un punto un cuerpo con una pequea carga positiva de
prueba,midiendo el valor de la fuerza que acta sobre ella y
calculando la intensidad decampo por la expresin que sirve para su
definicin. La ejecucin de este procedi-miento es una operacin
realmente complicada en la prctica.
B) Tericamente
Podemos usar la ley de Coulomb, pero slo es vlida para cargas
puntuales;para cuerpos que no se pueden considerar puntuales ser
necesario el desarrollo deotros mtodos* que se estudiarn en cursos
posteriores. De todas formas, aunque enlos libros es muy frecuente
la realizacin de clculos tericos, debemos ser conscientesque slo
pueden aplicarse a situaciones relativamente simples y que para una
situacincompleja hay que recurrir a la medida experimental.
Hay que tener en cuenta que la intensidad de campo elctrico es
una magnitudvectorial, y por lo tanto hay que indicar su direccin y
sentido. La direccin es la de larecta que une la carga con el punto
en el que queremos calcular la intensidad de campoy el sentido es
alejndose de la carga en el caso de que la misma sea positiva, y
hacia lacarga en el caso de que sta sea negativa.
Clculo de la intensidad de campo usando la ley de Coulomb
El cuerpo 1, que tiene una carga neta positiva Q, ejerce una
fuerza elctricasobre el cuerpo de prueba con carga neta positiva q,
colocado en el punto A, a unadistancia r del cuerpo 1. Esa fuerza
elctrica puede calcularse bien por la ley deCoulomb o bien,
conociendo el campo elctrico en el punto donde se ha colocado
elcuerpo de prueba.
= = =
=
2A A2 2
A
QqK Q q Q
K q Krr r
q
F rr E E r
F E
Q
cuerpo 1
punto A
cuerpo deprueba
qr
r
F
E
r^ es un vector de mdulo 1, que tiene la direccin y sentido de
la lnea que une el cuerpo 1 quetiene la carga Q con el punto en el
que queremos calcular el campo elctrico.
*En las actividades complemen-tarias se introduce el teorema
deGauss que permite el clculoterico de la intensidad de cam-po
elctrico en algunos casos.
-
76
El mdulo del campo ser EA = KQ/r2, su direccin la de la recta
que une ambos
cuerpos cargados y sentido alejndose del cuerpo 1. Si en lugar
de un cuerpo puntualcargado, tenemos varios, haremos uso del
principio de superposicin: calcularemos elcampo creado por cada
cuerpo en el punto en cuestin y los sumaremos todos paraconocer el
campo total.
EA = EiA
A.11.- En el origen de un sistema de coordenadas se sita un
cuerpo puntualque tiene una carga neta de 5108 C, y en el punto de
coordenadas (0,2) metros sesita otro cuerpo puntual cuya carga es
3108 C. Calcula la intensidad de campoelctrico en los puntos A
(4,0) y B (8,2).
= + = +A B16 6 N C; 2,2 1,6 N CE i j E i j
A.12.- Dos cuerpos puntuales cuyas cargas son negativas y de
valor absoluto100 C se encuentran en dos puntos A y B separados 12
cm. Calcula:
a) La intensidad de campo elctrico en el punto medio O del
segmento AB.b) La intensidad de campo elctrico en el punto D
situado en la mediatriz de AB
a 6 cm por encima del punto O.8
O D0; 1,810 N C= = E E j
A.13.- Tres cuerpos puntuales cuyas cargas son iguales, de +5 C,
estn entres vrtices de un cuadrado de 20 cm de lado. Halla el mdulo
de la intensidad decampo en el cuarto vrtice. Cmo variara la
solucin si las cargas fuesen negativas?
E = 2,15106 N/C
2.2 Campo electrosttico en la materia
Una de las diferencias ms importantes que existen entre los
campos elctricosy gravitatorios es que los primeros dependen del
medio material en que se hallen.Hemos introducido la constante
dielctrica del medio en que se produce la interaccinelectrosttica
para cuantificar estas diferencias.
En general, los sistemas materiales pueden comportarse de dos
formas distin-tas al introducirlos en un campo elctrico, lo que nos
permite clasificarlos en con-ductores y aislantes segn la movilidad
de sus cargas elctricas. La teora del enlacequmico interpreta los
conductores como sustancias cuyos electrones tienen facili-dad para
moverse (se dice que estn deslocalizados); son las sustancias
metlicaslas que as se comportan. En cambio los aislantes, tambin
llamados dielctricos,poseen cargas con poca movilidad, sus
electrones estn localizados pues permane-cen ligados a los ncleos
de los tomos. Estas sustancias tienen enlaces covalentes oinicos
entre sus tomos.
Campo elctrico en un conductor en equilibrio. Jaula de
Faraday
Los electrones de conduccin en los conductores metlicos se
distribuyen ensu superficie. Esto se debe a que por tener todos la
misma clase de carga, se repelen yal tener mucha movilidad tienden
a ocupar las posiciones ms lejanas unos de otros.En el interior de
los conductores el campo elctrico es nulo, ya que si no fuese as,
loselectrones se desplazaran por la accin del campo hasta que su
redistribucin anularael campo elctrico en el interior del
conductor.
q1 = 510 C8
q2 = 310 C8
x
y
A
B
q1 = -100 C q2 = -100 C
A
O
D
6 cm
12 cm B
-
77
As pues, en el interior de cualquier superficie metlica cerrada
el valor delcampo elctrico es nulo, y como para establecer esa
conclusin no se ha tenido encuenta ninguna condicin referida al
campo exterior, podemos decir que al campo en elinterior de un
conductor no le afectan las variaciones producidas en las
distribucionesde las cargas elctricas exteriores. Esto se conoce
como jaula de Faraday.
El interior de los pisos construidos con estructura de hormign
armado, puedeconsiderarse como casi una jaula de Faraday. Esto
provoca que la recepcin de laondas electromagnticas, tanto de radio
como de TV, que consisten en campos elc-tricos y magnticos
variables, sea defectuosa, siendo la causa de la mala audicin delos
receptores de radio en el interior de estos pisos.
Si quieres comprobar lo que acabamos de decir puedes coger un
transistor ymeterlo en el interior de una jaula metlica. Como jaula
metlica te puede servir unatela metlica cuya malla est tupida o un
papel de aluminio.
A.14.- Por qu en los coches no se escucha bien la radio si no
est conectadoa una antena? Por qu no se escucha la radio cuando
atravesamos un tnel?
Campo elctrico en un dielctrico. Polarizacin
Normalmente la materia es elctricamente neutra en su conjunto
existiendo unnmero equivalente de partculas elementales con carga
positiva y negativa. Al situarun dielctrico en un campo elctrico,
las nubes electrnicas de los tomos o molculasse orientan de una
determinada forma, sin que se llegue a producir un
desplazamientolibre de los electrones capaz de anular el campo
elctrico en el interior, como ocurre enlos metales. De esta manera
aparecen dipolos elctricos si las molculas del dielctricoson
apolares o se orientan los dipolos existentes si las molculas son
polares.
Llamamos polarizacin de una sustancia al desplazamiento de
cargas debido a laaccin de un campo elctrico. La carga neta en el
interior de un dielctrico polarizadosigue siendo nula.
Como se observa en la figura, los dipolos orientados crea un
campo elctricointerior Ei que se opone al campo exterior E0. El
campo elctrico total E en el interiordel dielctrico es menor que en
el exterior de la sustancia. Podemos escribir:
E = E0 Ei
El valor de la intensidad de campo total E en un dielctrico
es:
= 0
r
EE
donde E es el mdulo del campo total en el interior del
dielctrico, E0 el mdulo delcampo en el vaco y r la constante
dielctrica o permitividad relativa del dielctrico.
A.15.- Se crea un campo elctrico de 10000 i N/C en el aire.
Calcula el campoelctrico en una placa de mica colocada en ese campo
elctrico. Cul sera el campoelctrico creado por la orientacin de los
dipolos del dielctrico?
E = 1429 i N/C; Ei = 8571 i N/C
A.16.- Dos cuerpos con carga de 40 C estn situados a un metro de
distancia.a) Calcula la fuerza con que se repelen en el aire y en
el agua.b) Explica por qu la fuerza de repulsin es menor en el agua
que en el aire.
Faire = 14,4 N; Fagua = 0,18 N
E0
Ei
E
-
78
3 ENERGA POTENCIAL ELECTROSTTICAEl campo electrosttico es
conservativo por lo que podemos definir una funcin
llamada energa potencial electrosttica, que cumpla la
condicin:
El trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre un cuerpo
cuando ste sedesplaza entre dos puntos A y B sea igual a menos la
diferencia del valor de esa funcinentre los dos puntos.
= = = B
A BA
BBA p pA
r
prW F dr E E E
Podr ocurrir que en un proceso:
- El trabajo realizado por las fuerzas del campo sea positivo;
la variacin deenerga potencial del sistema ser negativa y eso
supone que al final tiene menosenerga potencial que al principio.
El sistema puede ceder energa a otro sistema oaumentar l mismo otro
tipo de energa; por ejemplo, aumentar su energa cintica.
- El trabajo realizado por las fuerzas del campo sea negativo;
la variacin deenerga potencial del sistema ser positiva y eso
supone que al final tiene msenerga potencial que al principio. El
sistema puede ganar energa de otro sistemao disminuir l mismo otro
tipo de energa; por ejemplo, disminuir su energacintica.
A.17.- Supongamos un sistema formado por dos cuerpos con cargas
elctricasdel mismo signo separados 20 cm. Si dejamos que los
cuerpos se separen hasta unadistancia de 40 cm, el trabajo
realizado por las fuerzas del campo elctrico serpositivo o
negativo? la energa potencial elctrica cuando los cuerpos estn a 40
cmser mayor, igual o menor que cuando estaban a 20 cm? Si suponemos
que el sistemaestaba aislado, habr aumentado o disminuido la energa
cintica del sistema?
A.18.- Supongamos un cuerpo de 2 kg cuya carga es 8106 C que en
un instan-te dado tiene una velocidad horizontal de 6 i m/s y se
encuentra en un campoelctrico uniforme cuya intensidad de campo es
E = 5106 i N/C.
a) Calcula el trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre
el cuerpo cuandohaya recorrido 20 cm.
b) Calcula la variacin de energa potencial elctrica del sistema
formado por elcuerpo y el campo elctrico en ese trayecto.
c) Calcula la velocidad final del cuerpo si suponemos que es el
nico quecambia de velocidad.
W = 8 J; Ep = 8 J; v = 5,3 i m/s
Cuando se separan dos cuerpos cuyas cargas elctricas sean de
distinta clase lafuerzas internas elctricas realizan trabajo
negativo, lo que supone un aumento de laenerga potencial de ese
sistema.
B
A
E
rB
rA
W < 0 Ep > 0
Ff
rr
FiFi Ff
Situacin finalSituacin inicial
En el proceso
-
79
Si los cuerpos que se separan tienen cargas del mismo tipo, el
trabajo realizadopor las fuerzas internas es positivo, por lo que
disminuye la energa potencial delsistema.
A.19.- a) Cmo vara la energa potencial del sistema si se acercan
dos cuerposcon cargas del mismo tipo? Y si se acercan cuerpos con
cargas de distinto tipo?
b) Puede que aumente la energa potencial elctrica de un sistema
y no lohaga la energa total del mismo? Explica la respuesta con la
ayuda de algn ejemplo.
3.1 Potencial elctrico
Si tenemos en cuenta que la fuerza que un campo elctrico ejerce
sobre un cuer-po de carga q es: F = q E, se puede escribir:
A B
B BBA p pA A
= = = W d q d E EF r E r
Si dividimos la expresin anterior por q obtenemos la diferencia
de energa po-tencial por unidad de carga, magnitud que se denomina
diferencia de potencial elctri-co entre los puntos A y B: VA
VB.
A BB p p
A BA= = E E
d V Vq q
E r
La unidad de diferencia de potencial elctrico en el SI es el
voltio. Decimos queentre dos puntos hay una diferencia de potencial
de 1 voltio, cuando la diferencia deenerga potencial elctrica de un
cuerpo de carga 1 culombio, colocado en esos dospuntos, es de 1
julio.
A.20.- Un cuerpo de carga 2 C pasa de un punto A a otro B entre
los que existeuna diferencia de potencial de 400 V, siendo mayor el
potencial en A que en B.Calcula la variacin de energa potencial
elctrica que ha experimentado.
a) Ha aumentado o disminuido su energa potencial elctrica? Y la
energatotal?
b) Responde a las preguntas anteriores suponiendo que el cuerpo
tiene unacarga de 3 mC.
a) Ep = 8104 J; ha disminuido; depende de las fuerzas
exteriores
b) Ep = 1,2 J; ha aumentado; depende de las fuerzas
exteriores
Tal como hemos definido la energa potencial y el potencial, slo
podemos cono-cer diferencias de esas magnitudes pero nunca su valor
absoluto. Ahora bien, si fija-mos mediante un convenio un punto
como referencia y, a ese punto, le asignamos unvalor del potencial
nulo, a los dems puntos se les puede asignar un valor de
esamagnitud, no siendo ya necesario hablar de una diferencia. Pero
siempre hay que tenermuy claro que nosotros hemos asignado
arbitrariamente el valor 0 a un punto.
W > 0 Ep < 0
Ff
rr
Fi Fi Ff
Situacin finalSituacin inicial
En el proceso
-
80
Si utilizamos el convenio de asignar el valor cero a la energa
potencial y alpotencial elctrico en un punto situado en el
infinito, podemos definir el potencialelctrico como:
El potencial elctrico en un punto es el trabajo elctrico
realizadopor el sistema para llevar un cuerpo cargado con la unidad
de carga posi-tiva desde ese punto hasta el infinito, o bien, el
trabajo exterior realizadopara llevar un cuerpo cargado con la
unidad de carga positiva desde elinfinito hasta ese punto.
A partir de las ecuaciones anteriores, pueden obtenerse las dos
siguientes:
B
A= BA =Wd VA q V( AVB VB)E r
La primera permite pasar de la descripcin vectorial a la
descripcin escalar delcampo si conocemos la intensidad de campo a
lo largo de la trayectoria AB. La segundapermite calcular el
trabajo realizado por la fuerza del campo sobre un cuerpo de carga
qde una forma muy sencilla si conocemos la diferencia de potencial
entre los puntos Ay B. Estas ecuaciones son siempre vlidas y son
posibles porque el campo elctrico esconservativo.
A.21.- Entre las lminas de un condensador separadas 1 mm, hay
una diferenciade potencial de 500 V. Cul es el valor de la
intensidad de campo elctrico en elinterior del condensador
suponiendo que es constante y uniforme).
E = 500000 V/m = 500000 N/C
A.22.- En un cuerpo conductor en equilibrio la carga elctrica
neta se coloca enla superficie, de forma que el campo elctrico en
su interior es nulo. Por lo tanto,qu podemos decir del valor del
potencial elctrico en el interior de un conductorcargado?
Dada la relacin que hay entre la diferencia de potencial y la
intensidad de cam-po elctrico, podemos utilizar como unidad de la
intensidad de campo elctrico elvoltio/metro, adems de la que
podramos llamar su unidad propia (la que se deriva desu definicin),
que es el newton/culombio. En la prctica se emplea con frecuencia
elV/m, ya que existen aparatos, los voltmetros, que permiten medir
con relativa facilidadla diferencia de potencial elctrico entre dos
puntos.
Procesos forzados y espontneos
Los sistemas evolucionan espontneamente hacia las situaciones en
las que laenerga potencial se hace mnima. Por ejemplo, si un cuerpo
cargado puede moverselibremente, se alejar espontneamente de otro
cuerpo fijo que tenga carga del mis-mo tipo. Teniendo en cuenta que
en este caso el trabajo que realizan las fuerzas delcampo es
positivo, la variacin de energa potencial es negativa, es decir que
en lasituacin final la energa potencial es menor que en la
inicial.
Es posible que un sistema evolucione aumentando su energa
potencialelectrosttica. En ese caso calificamos al proceso de
forzado. Pero para que eso puedaocurrir es necesario que suceda
alguna de las dos cosas siguientes:
EL ELECTRONVOLTIO (eV)UNIDAD DE ENERGA EN FSI-CA ATMICA
Cuando un electrn (1 e =1,61019 C) pasa de un punto aotro cuya
ddp es de un voltio, laenerga cambiar en 1,6 1019 J.Esa cantidad de
energa tan pe-quea se utiliza como unidadcuando se trata de
estudiar los fe-nmenos a nivel atmico y se lellama electronvoltio
(eV).
Un mltiplo es el mega-electronvoltio (MeV) que equiva-le a 1
milln de eV.
-
81
- Que se aporte energa desde el exterior.
- Que disminuya otro tipo de energa del sistema, por ejemplo
energa cintica.
Por el contrario, cuando el desplazamiento es espontneo, el
sistema puede ce-der energa al exterior o aumentar su energa
cintica.
A.23.- Calcula el trabajo realizado por las fuerzas del sistema
e indica si lastransformaciones son forzadas o espontneas, as como
si aumenta o disminuye suenerga potencial cuando:
a) Un cuerpo de carga +3 C pasa de un punto en el que el
potencial es 2 V aotro cuyo potencial es 10 V.
b) El mismo cuerpo pasa de un punto cuyo potencial es 8 V a otro
cuyo poten-cial es 4 V.
c) Un cuerpo de carga 3 C pasa de un punto de 2 V a otro punto
de 10 V.a) W = 24 J: forzada, aumenta Ep b) W = 12 J: espontnea,
disminuye Ep
c) W = 24 J: espontnea, disminuye Ep.
Superficies equipotenciales
Superficie equipotencial es la formada por todos aquellos puntos
que tienen elmismo potencial. Un cuerpo cargado tiene la misma
energa potencial elctrica en cual-quier punto que se encuentre de
una superficie equipotencial.
Las figuras representan el corte de las superficies
equipotenciales con el papel(lneas equipotenciales discontinuas) y
las lneas de fuerza (lneas continuas) del cam-po elctrico creado
por una carga puntual (figura de la izquierda) y de un campo
elctri-co uniforme (figura de la derecha). En todos los casos hay
una diferencia de potencialconstante entre superficies
equipotenciales adyacentes. As, dada la relacin que existeentre el
campo y la diferencia de potencial, E es relativamente grande
cuando las lneasequipotenciales estn relativamente cercanas, y
relativamente pequeo cuando estnseparadas. En forma semejante, las
lneas de fuerza estn relativamente cercanas entres donde E es
grande y separadas donde E es pequeo. En realidad ambas
representa-ciones estn relacionadas ya que la intensidad del campo
elctrico y la variacin delpotencial tambin lo estn. As, la direccin
y sentido de las lneas del campo (que sonlos de E) ser siempre la
de los potenciales decrecientes.
Las lneas de fuerza que representan a laintensidad del campo
elctrico son en cadapunto perpendiculares a la
superficieequipotencial que contiene a dicho punto.
Lneas equipotenciales (corte de la su-perficies equipotenciales
con el papel) ylneas de fuerza en un campo elctricouniforme.
-
82
C
B
Q
A
90E
E
dr
dr
rA
rB
A.24.- Si un cuerpo con carga neta pasa de un punto a otro de
una superficieequipotencial su energa potencial elctrica no cambia,
es decir Ep = 0.
a) Qu trabajo realizan las fuerzas elctricas que actan sobre el
cuerpo cuandose traslada entre dos puntos de una misma superficie
potencial?
b) Qu ngulo debe formar la direccin del vector intensidad de
campo elctri-co con la superficie equipotencial? Explica por
qu.
c) Un hilo conductor cargado crea un campo elctrico en el que
las superficiesequipotenciales son superficies cilndricas
concntricas en el que el eje de esos cilin-dros sera el hilo
cargado. Cul ser la direccin del vector intensidad de campoelctrico
en este caso?
3.2 Potencial en un punto de un campo elctricocreado por un
cuerpo puntual
Pretendemos obtener una expresin que permita calcular el
potencial encualquier punto del campo creado por un cuerpo puntual
cuya carga elctrica es Q(tambin es vlido para cuerpos esfricos con
distribucin isotrpica de carga).
Para ello supongamos que se traslada desde el punto A al B otro
cuerpopuntual que tiene una carga neta q. El campo elctrico creado
por el cuerpo concarga Q, acta en cada momento sobre el otro cuerpo
cargado en su desplaza-miento desde el punto A al B, ejerciendo
sobre el mismo una fuerza elctrica cuyovalor, en cada punto, ser el
producto de su carga por el valor del campo elctricoen ese
punto.
F = q E
El trabajo realizado por esa fuerza sobre el cuerpo no depende
de la trayec-toria (el campo elctrico es conservativo), por lo que
se puede suponer que se hadesplazado desde A hasta B segn una
trayectoria recta (camino 1 en el dibujo), opor cualquier otra
trayectoria. Ya que el resultado ser el mismo por
cualquiertrayectoria, podemos escoger aquella que permita un clculo
ms sencillo. Porejemplo, supongamos que se ha escogido el camino 2,
constituido por el tramorecto AC y el arco circular CB con centro
en el cuerpo de carga Q. Por esa trayecto-ria slo se realiza
trabajo durante el tramo AC, ya que en el tramo CB la
fuerzaelctrica (que tiene la misma direccin que la intensidad del
campo) es en todomomento perpendicular al desplazamiento.
Teniendo en cuenta que el mdulo de la intensidad de campo creado
poruna carga puntual es E = KQ/r2, y que durante el tramo AC la
intensidad decampo y el vector desplazamiento son paralelos (forman
un ngulo de 0 ), elcoseno del ngulo que forman sus direcciones es
igual a 1, por lo que podemosescribir:
= = + =
= =
= =
B C BBA
A A C
C CBA 2
A A
CBA
A B*A
0
1 1 1
W d d d
QW q d qK dr
r
W qKQ qKQ qKQr r r
F r F r F r
E r
*Hemos escrito rB en lugar de rC ya que son iguales.
A
C
B
Q
trayectoria 2
trayec
toria
1
cualquiertrayectoria
dr
E
-
83
Si comparamos el valor obtenido con la relacin entre el trabajo
entre dos puntosy la diferencia de potencial entre esos dos
puntos:
( )
= +=
= +=
B AA A
A B
BBA A B
B
constante
constante
QQ Q V K
W q K K rr r
QV KW q V V
r
Si adoptamos el convenio de que VA = 0 cuando rA = , se obtiene
que laconstante = 0. Por lo tanto, el potencial en cualquier punto
cuya distancia al cuerpopuntual que crea la carga sea r, se puede
calcular con la expresin:
=Q
V Kr
Cuando queremos calcular el potencial creado por varios cuerpos
puntuales concargas netas Q1, Q2, ..., se calcula el potencial
creado por cada uno y se suman paraobtener el potencial total. Esa
suma es fcil pues el potencial es una magnitud escalar yel
potencial total ser la suma algebraica de los potenciales creados
por cada cuerpocargado.
= + +1 2
1 2
...Q Q
V K Kr r
Si tenemos un cuerpo puntual con una carga Q, al colocar en sus
inmediacionesotro cuerpo puntual con una carga q, el sistema de
ambos cuerpos adquiere una energapotencial que viene dada por la
expresin:
= =pqQ
E q V Kr
V representa el potencial elctrico creado por el primer cuerpo
en el punto dondecolocamos al otro cuerpo. Seguimos usando el
convenio: Ep= 0 para r = .
A.25.- Un ncleo atmico tiene una carga 50 veces la del protn.
Halla el poten-cial en un punto situado a 1012 m de dicho ncleo y
la energa potencial de unprotn en ese mismo punto.
V = 7,2104 V; Ep = 1,151014 J
A.26.- a) Se tienen dos cargas puntuales de 2 y 5 C separadas 10
cm (coloca-da la positivia a la izquierda). Calcula el campo y el
potencial en los siguientespuntos: A (20 cm de la + y 30 cm de la ,
en la recta que las une) y B (20 cm de la y 30 cm de la +, en la
recta que las une).
b) En qu punto de dicha recta el potencial es nulo? Y el
campo?a) EA = 510
4 i N/C; VA = 6104 V; EB = 9,310
5 i N/C; VB = 16,5104 V
b) V es cero a 0,029 m de la carga (+), por un lado y a 0,067
por el otro; E escero a 0,17 m de la carga (+)
A.27.- En los vrtices de un cuadrado de 1 m de lado se colocan
cargas elctri-cas de 1, 2, 3 y 2 C. Halla el potencial y el campo
elctrico en el centro delcuadrado. (Coloca la primera carga en el
vrtice superior izquierdo y las otras suce-sivamente segn giran las
agujas del reloj).
V = 50912 V; E = 2,5104 i + 7,6104 j N/C
-
84
EJEMPLOa) Explica cmo es el movimiento de dos cuerpos
considerados puntuales de masas m1 y m2 y cargas elctricas
netas q1 y q2 debido exclusivamente a la existencia de una
fuerza elctrica entre ellos. Aplcalo al caso de que fuesen:cuerpo
1: m1 = 100 g, q1 = 2 C; cuerpo 2: m2 = 200 g, q2 = +5 C.
Cada uno de los cuerpos est sometido a una fuerza cuyo
valorviene dado por:
6 691 2
2 2 2
2 10 5 10 0,09=9 10 = N
q qF K
r r r
=
La fuerza no es constante sino que depende de la distancia.
Mien-tras ms alejados estn los cuerpos cargados menor ser la fuerza
deatraccin entre ellos. Que la fuerza no sea constante provocar el
quetampoco sea constante la aceleracin. El signo de ambas cargas
slo lotenemos en cuenta para indicar que, en este caso, las fuerzas
son atrac-tivas, es decir, tienden a mover a cada cuerpo hacia el
otro.
La aceleracin de cada cuerpo ser:
1 22 2 2 21 2
0,09 0,9 0,09 0,45= = ; = =
0,1 0, 2
F Fa a
m r r m r r
= =
Ambos cuerpos se movern uno hacia el otro con velocidades
crecientes en un movimiento acelerado, pero nouniformemente
acelerado, ya que sus aceleraciones irn aumentando conforme se
acerquen al ir disminuyendo r.
b) Si fijamos al cuerpo 1 y dejamos que el cuerpo 2 se acerque
desde la distancia inicial de 40 cm a la distancia finalde 20 cm,
qu velocidad tendr el cuerpo 2 en ese momento?
Sobre el cuerpo 2 se realiza un trabajo que se puede calcularpor
la expresin: W = q2 (V40 V20) siendo
1 140 20;
0, 4 0, 2
q qV K V K= =
Aplicando el teorema del trabajo-energa, se puede escribir:
=
21 12
1= 0,2 0
0,4 0,2 2
m1,53
s
q qq K K v
v
A.28.- Con la ayuda de los conceptos de potencial y de energa
potencial, calcu-la el trabajo necesario para colocar tres cuerpos
cuyas cargas son de 1 C en losvrtices de un tringulo equiltero de
10 cm de lado. Segn el criterio de signosadoptado el trabajo
realizado por las fuerzas del campo ser positivo o negativo?Calcula
la energa potencial del sistema.
|W| = 0,27 J
A.29.- Calcular la rapidez de un electrn que inicialmente est en
reposo, cuan-do haya recorrido 1 cm en el interior de un campo
elctrico uniforme cuyaintensidad de campo sea de 10 000 N/C.
v = 5,93106 m/s
Situacin inicial
Situacin final
FeFe
Fe Fe
v1 v2
v1 = 0 v2 = 0
Situacin inicial
Situacin final
Fijo
FijoFe
v1 = 0
Fe
v1 = 0
Fe Fe
v2
v2 = 0
-
85
Representacin grfica de la fuerza elctrica enfuncin de la
distancia
Sabemos que la fuerza elctrica entre dos cargas es directamente
proporcional alproducto de ambas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre ellas.Podemos escribir
1 2
2 2
q q cteF K
d d= =
Si representamos el mdulo de esa fuerza en funcin de la
distancia entre losdos cuerpos cargados obtenemos una rama de una
hiprbola.
Supongamos que en un caso concreto, cte = 10 Nm2. Si obtenemos
los valoresde F para algunos valores de d, podemos escribir:
El valor de la fuerza tiende a cero cuando la distancia tiende a
infinito. Por otrolado, el valor de la fuerza tiende a infinito
cuando la distancia entre los dos cuerposcargados tiende a cero.
Como d, distancia entre los centros de los cuerpos, no puedeser
nula, la fuerza elctrica siempre tendr un valor finito.
Grfica de la intensidad del campo elctrico creado por un cuerpo
puntual.
La forma de la grfica es la misma que en el caso de la fuerza,
pues el valor de laintensidad de campo en un punto que se encuentra
a una distancia d del cuerpo quecrea que campo, tambin es
inversamente porporcional al cuadrado de la distancia.
De igual manera puede representarse el valor de la intensidad de
campo gravitatorioy el valor de la fuerza de atraccin gravitatoria
entre dos cuerpos en funcin de ladistancia que los separe.
A.30.- a) Cmo afectara a las grficas anteriores el que ambas
cargas tuviesenel mismo signo o tuviesen signo diferente?
b) Dibuja la grfica E-d para el caso del campo creado por una
carga puntualpositiva y para el caso de una carga puntual
negativa.
Fuerza elctrica F (N) 40 10 2,5 1,1 0,6 0,04
Distancia d (m) 0,5 1 2 3 4 5
F (N)
10
15
25
30
5
20
35
40
d (m)3 4 51 2
-
86
Representacin grfica de la energa potencial odel potencial
elctrico
Supongamos que se quiere representar el valor de la energa
potencial del siste-ma formado por dos cuerpos cargados. Si se
trata de dos cuerpos puntuales, la energapotencial elctrica es
inversamente proporcional a la distancia entre ambos, tal como
serecoge en la ecuacin:
1 2p
q q cteE K
d d= =
Si suponemos que el valor de la constante es 10 J/m, los valores
que se debenrepresentar son:
Hemos utilizado el criterio de que la energa potencial del
sistema es nula cuan-do las dos cargas estn separadas una distancia
infinita. Si ambas cargas son del mismosigno, al acercarse
aumentara la energa potencial elctrica del sistema mientras que
sison de distinto signo, al acercarse disminuira la energa
potencial.
La energa potencial tiende a infinito cuando la distancia entre
ambas cargastiende a cero. Como d, distancia entre los centros de
los cuerpos, no puede ser nula, laenerga potencial elctrica tendr
siempre un valor finito.
A.31.- a) Cmo sera la grfica del potencial elctrico en funcin de
la distanciaen un campo elctrico creado por unaq carga puntual
positiva? Y si fuese negativa?
b) Dibuja una grfica que represente la energa potencial
gravitatoria de un sis-tema formado por dos cuerpos que se pueden
considerar puntuales? Qu analogasy diferencias se pueden encontrar
con las grficas correspondientes a dos cuerposcargados?
Energa potencial Ep (J) 40 20 10 5 3,3 2,5 2,0
Distancia d (m) 0,25 0,5 1 2 3 4 5
La energa potencial depende deotros factores adems de la car-ga
elctrica. As, es importantela geometra del sistema enten-diendo por
ello la distribucin delas cargas que crean el campoelctrico.
Ep (J)
40
30
10
0
50
20
10
20
30
40
50
d (m)3 4 51 2
-
87
ANALOGAS Y DIFERENCIAS ENTRELA INTERACCIN GRAVITATORIA Y LA
ELCTRICA
Las analogas formales de las leyes de Newton y Coulomb son
evidentes, ambasfuerzas dependen de los productos de las masas o de
las cargas y de la inversa delcuadrado de la distancia que las
separa. (No resulta extrao, ya que cuando Coulombpropuso su
expresin para la fuerza elctrica, la mecnica newtoniana gozaba de
ungran prestigio y en cierto sentido haba una tendencia a reducir
toda la fsica a lamecnica). Las dos fuerzas son centrales y
conservativas.
Entre las diferencias sealaremos:
a) Las fuerzas gravitatorias son nicamente atractivas; las
fuerzas elctricas pue-den ser tambin repulsivas cuando ambas cargas
sean del mismo tipo.
b) La constante de la gravitacin G tiene un valor universal. Eso
significa que nodepende de nada. La constante de la ley de Coulomb
K depende del medio en el que seencuentren situados los cuerpos
cargados.
c) El orden de magnitud de las fuerzas elctricas es muy superior
al de las fuer-zas gravitatorias. Estas ltimas slo tienen valores
importantes cuando al menos unode los cuerpos que sufre la
interaccin tiene una masa muy grande: la Tierra, el Sol, etc.
d) El campo gravitatorio que crea un cuerpo siempre se dirige
hacia l. El campoelctrico puede dirigirse en sentidos distintos
segn el tipo de carga que posea uncuerpo.
e) Cuando existen partculas cargadas en movimiento aparece una
interaccinmagntica adems de la elctrica (se estudia en una unidad
posterior). Debido al movi-miento de un cuerpo con una determinada
masa, no se crea una nueva interaccin, obien, la debilidad de las
fuerzas gravitatorias no permite su deteccin.
ACTIVIDADES DE RECAPITULACINA.1.- Dos cuerpos esfricos cuyas
cargas son q1= 310
8 C y q2= 6108 C estn separados una distancia de 50 cm.
En que posicin hemos de colocar una carga elctrica arbitraria q
para que est en equilibrio bajo la accin de las fuerzasejercidas
por las dos esferas? Cunto vale el campo elctrico en ese punto?
Entre ambas cargas a 20,7 cm de q1; E = 0
A.2.- Un cuerpo cuya masa es de 5 kg tiene una carga elctrica de
4 C. Se lanza con una velocidad horizontal de2 m/s en el interior
de un campo elctrico vertical, dirigido hacia arriba, cuya
intensidad de campo es 15106 N/C.
a) Explica cmo ser el movimiento de ese cuerpo.b) Cul ser su
posicin vertical cuando haya recorrido 2 metros horizontalmente?
Cul ser su rapidez en ese
momento? Dibuja la trayectoria que seguir.c) Si cuando ha
recorrido los 2 metros horizontalmente deja de actuar el campo
elctrico, cmo ser el movimiento
del cuerpo a partir de ese momento? Cmo ser la forma de la
trayectoria a partir de ese momento? Dibjala, aunqueslo sea
cualitativamente.
ha subido 1 metro; v = 2,8 m/s
A.3.- Calcula el valor de la intensidad de campo elctrico en el
centro de un rectngulo cuyo lado horizontal mide6 cm y el vertical
mide 8 cm, suponiendo que en los vrtices del lado superior hay dos
cuerpos puntuales cuyas cargasson de +2 C y en los vrtices del lado
inferior hay otros dos cuerpos puntuales cuyas cargas son de 2
C.
E = 2,3107 j N/C
A.4.- Una pequea esfera cuelga por medio de un hilo entre dos
lminas paralelas entre las que existe un campo
4
-
88
elctrico de 5,65106 N/C. La carga de la esfera es de 6 nC y el
ngulo que forma el hilo con la vertical es de 10 . Calculala masa
de la esfera para que el sistema est en equilibrio. (g = 9,8
N/kg).
m = 19,6 g
A.5.- Entre dos placas metlicas distantes 1 m existe un campo
uniforme y una diferencia de potencial de 100 V.Calcula la
velocidad de un electrn liberado en la placa negativa cuando se
encuentre en el punto medio entre ambasplacas y la que tiene cuando
llegue a la placa positiva.
v = 4,2106 m/s; v = 5,9106 m/s
A.6.- a) Un cuerpo cuya carga es de +2 C pasa de un punto cuyo
potencial es 100 V a otro cuyo potencial es+100 V. Podr hacerlo
espontneamente o necesitar que se le d energa? Explica la
respuesta.
b) Si la carga del cuerpo anterior es de 2 C y pasa de un punto
cuyo potencial es de 100 V a otro cuyo potenciales 100 V ser
necesario darle energa o nos la dar? Calcula la cantidad de energa
intercambiada.
E = 4104 J
A.7.- El dibujo representa algunas lneas equipotenciales de un
campo elc-trico.
a) Dibuja la direccin del campo elctrico en los puntos A, B y
C.b) Un cuerpo cuya carga es de 2 culombios puede pasar del punto D
al E
siguiendo tres caminos diferentes, a travs de cul de ellos
cambiar menos laenerga potencial elctrica?
c) Calcula la variacin de energa potencial elctrica cuando ese
cuerpo pasadel punto A al E.
d) Cul ser la variacin de energa potencial elctrica si pasa del
punto Bal D?
EAE = 200 J; EBD = 0
A.8.- a) Pueden cortarse en un punto las lneas de fuerza que
representan a un campo gravitatorio o elctrico? Porqu? b) Pueden
cortarse dos superficies equipotenciales? Por qu?
A.9.- Si en un punto de un campo elctrico la intensidad de campo
es igual a cero, es siempre cero el valor delpotencial elctrico en
ese punto? Explica tu respuesta poniendo algn ejemplo.
b) Si en un punto de un campo elctrico el potencial elctrico es
igual a cero, es siempre cero el valor de laintensidad de campo en
ese punto? Explica tu respuesta poniendo algn ejemplo.
c) Qu relacin existe entre la intensidad de campo elctrico y el
potencial elctrico en una regin del espacio?
A.10.- Escribe la ecuacin que relaciona el valor de la
intensidad de campo elctrico y la diferencia de potencialentre dos
puntos para:
a) Un caso particular en el que la intensidad de campo es
constante en todos los puntos y tiene la misma direccinque la lnea
que une los dos puntos.
b) Un caso particular en el que la intensidad de campo es
constante en todos los puntos y su direccin forma unngulo de 30 con
la direccin de la lnea que une los dos puntos.
c) El caso general en el que la intensidad de campo cambie de un
punto a otro tanto en magnitud como en direcciny sentido.
A.11.- En cada vrtice de un cuadrado hay un cuerpo puntual cuya
carga elctrica es de 0,17 nC. Calcula el campoelctrico y el
potencial en el punto de interseccin de las dos diagonales,
sabiendo que el lado mide 2,8 cm.
E = 0 N/C; V = 309 voltios
A.12.- Dos cabezas de alfiler se encuentran cargadas. La carga
de una de ellas es de 2 mC mientras que la de la otraes de 4 mC.
Inicialmente se encuentran separadas 1 cm. Qu energa ser necesaria
para aumentar su separacin hastauna distancia de 20 cm?
E = 6,84106 J
-
89
1 EL CAMPO ELCTRICO TERRESTREEn condiciones de estabilidad
atmosfrica existe una campo elctrico en las
proximidades de la superficie terrestre de unos 130 V/m,
teniendo la Tierra carga nega-tiva y la atmsfera positiva. Si lo
anterior es cierto por qu no notamos entre nuestracabeza y pies una
diferencia de potencial de 200 a 300 voltios?
La figura nos explica por qu no notamos la diferencia de
potencial. Como elcuerpo humano es un conductor relativamente
bueno, tiende a estar al mismo poten-cial que el suelo (recuerda
que el potencial en toda la superficie de un conductor enequilibrio
es constante) distorsionando las superficies equipotenciales del
aire que lorodea; de este modo, la cabeza no se encuentra a un
potencial 200 o 300 voltios supe-rior al de los pies.
La figura explica tambin por qu los rayos tienden a caer sobre
los rboles yedificios altos. Los rboles o los edificios son buenos
conductores, comparados con elaire, y la copa del rbol est
prcticamente al mismo potencial que el suelo al que estunido. Dada
la deformacin que produce en las lneas equipotenciales, se produce
unasituacin en la que se genera un campo elctrico grande entre la
copa del rbol y el aireque lo rodea. Si el valor del campo elctrico
es suficientemente elevado, el campoarrancar electrones de los
tomos de gas, e ionizar al aire, que en estas condiciones sehace
mejor conductor y proporciona un camino adecuado para que se
produzca ladescarga. De la misma forma se puede explicar el
fundamento de los pararrayos.Estos estn formados por tubos de
hierro terminados en punta, que ocasionan unadistorsin del campo
terrestre de la forma sealada en la figura anterior. Se le
estofreciendo un camino al rayo para que circule a travs del
pararrayos y llegue a la tierrasin ocasionar daos.
La carga de la Tierra
La carga negativa de la Tierra se ha estimado en 500.000
culombios. La atmsferano es completamente aislante. Contiene iones
positivos y negativos, producidos por laradiactividad natural y por
la radiacin csmica. Estos iones se desplazan, dirigin-
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
0
100
200
300
400
500
600
Tierra
E
E
-
90
dose los iones positivos hacia la Tierra y los negativos hacia
la atmsfera superior. Porqu no se descarga la Tierra si
continuamente estn llegando cargas positivas, quepodran neutralizar
la carga negativa terrestre? Las tormentas son las causante de
quela Tierra no se descargue, aunque mejor sera decir, que las
tormentas son las causantesde que la Tierra se vaya recargando, ya
que los rayos traen a la Tierra carga negativa delas nubes. Los
clculos y estimaciones realizadas del nmero de tormentas
diariassobre la Tierra estn de acuerdo con la explicacin
anterior.
Hay que distinguir lo que ocurre cuando la atmsfera est en
situacin normal alo que ocurre cuando se forma una nube tormentosa.
En los das normales, parte iz-quierda de la figura, existe una
diferencia de potencial entre la parte alta de la atmsferay la
superficie de la Tierra de aproximadamente 400.000 voltios, estando
positiva laparte alta de la atmsfera en relacin a la superficie
terrestre. Esa diferencia de potencialprovoca un flujo de carga
negativa hacia la parte alta de la atmsfera y un flujo de
cargapositiva hacia la superficie terrestre. Como consecuencia de
ese movimiento de cargas,la Tierra perdera su carga neta negativa
en un tiempo aproximado de media hora.
Cuando se forma una tormenta, y ms concretamente en la formacin
de unanube tormentosa, se produce una separacin de carga en la nube
de manera que la parteinferior de la nube se carga negativamente
hasta valores muy altos (20, 30 y hasta 100millones de voltios).
Ese potencial negativo tan grande respecto a la Tierra hace
quepuedan producirse descargas desde esa zona de la nube a la
Tierra, los llamados rayos.Tambin se producen descargas internas en
la propia nube, los llamados relmpagos.El proceso que da origen a
la separacin de cargas en la nube no est totalmente expli-cado,
pero en l tiene especial importancia el movimiento de las gotitas
de agua. Estasgotas son al principio muy pequeas, y se mueven hacia
arriba arrastradas por corrien-tes de aire caliente, llegando un
momento en el que empiezan a caer, dado que se hanenfriado y las
gotas se han hecho ms grandes. Ese movimiento de las gotas y el
roza-miento con el aire parece que tiene un protagonismo especial
en la separacin de cargasen la nube.
El rayo consiste en una serie de descargas entre la parte baja
de la nube y elsuelo, descargas que ocurren en un tiempo muy pequeo
(centsimas de segundo).Dado que en un rayo la carga transportada
puede ser del orden de 20 culombios,siendo la diferencia de
potencial del orden de 30000000 de voltios, la energa que sepuede
ceder es de 600000000 de julios. Adems de ser un valor apreciable
de energa(equivale a la combustin de unos 20kg de gasolina), es
mucho ms im-portante el hecho de que ocurre encentsimas de segundo,
por lo que lapotencia puesta en juego en esa trans-formacin es muy
alta (del orden demillones de caballos de vapor), dan-do lugar a
una elevacin de tempera-turas en el aire prximo al rayo (quellega a
alcanzar los 20000 C), lo queproduce una elevacin de la presindel
aire y por lo tanto un sonido oruido intenso, el trueno, que se
oyedespus de cada rayo o relmpago.
Potencial en lo altode la atmsfera endas normales:
+ 400 000 V
El rayo traslada carganegativa desde la nubehasta el suelo y
positivadesde el suelo a la nube
Potencial = 30 000 000 V
Potencial en la superficie terrestre = 0 V
-
91
2 TEOREMA DE GAUSS2.1 Concepto de flujo
Una superficie S en un campo vectorial es atravesada por lneas
de fuerza. Cun-to mayor sea la superficie o mayor sea la intensidad
de campo, mayor ser el nmero delneas de fuerza que la atravesarn
segn el convenio que usamos para dibujar laslneas de fuerza. Por
tanto, el producto de la superficie por el campo ser un ndicepara
calcular el nmero de lneas que atraviesen la superficie. A este
producto se ledenomina flujo de campo . Si la superficie no es
normal al campo pasarn por ellamenos lneas; por ello calculamos el
flujo usando el producto escalar:
= A S = A S cos
A representa la intensidad de campo, S es un pseudovector que
representa lasuperficie, cuyo mdulo es proporcional al rea de la
superficie y cuya direccin es,por convenio, perpendicular a la
superficie y , es el ngulo que forman ambos vectores.
En el caso ms general, en el que el valor de la intensidad de
campo no seaconstante, o que la superficie no sea plana, ser
necesario descomponer la superficie eninfinitas superficies
infinitesimales, de manera que podamos suponer que el campo
nocambia en esa superficie tan pequea; de esta manera tendramos el
flujo elemental atravs de esa superficie.
= A dS
El flujo total ser la suma de esos infinitos trminos, que
obtendremos medianteel clculo integral.
= A1 dS1 + A2 dS2 + A3 dS3 + ... = S A dS
A.1.- Calcula el flujo gravitatorio a travs de un rectngulo de
20 x 40 cm colo-cado paralelo a la superficie de la Tierra y a 1
metro de distancia de la misma. dempara cuando la superficie est
inclinada 30 repecto a la superficie terrestre. dempara cuando est
colocada perpendicular a la superficie terrestre.
= 0,784 Nm2/kg; = 0,7 Nm2/kg; = 0
A.2.- Escribe las expresiones generales para los flujos elctrico
y gravitatorio.
2.2 Teorema de Gauss
Se trata de un teorema matemtico que tiene una demostracin
general, rigurosay algo complicada, que no vamos a estudiar.
Establece lo siguiente:
El flujo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al
co-ciente entre la suma algebraica de las cargas elctricas que
contiene y lapermitividad del medio.
4q
K q
= =
S
A
dS1
dS2
A1
A2
-
92
Como veremos a continuacin, el teorema de Gauss es muy til para
calcular laintensidad de campo en muchas situaciones.
A.3.- Una de las ventajas de la teora de campos es que se puede
utilizar loestudiado en un determinado campo para otro que tenga
una estructura semejante.En este sentido, formula el teorema de
Gauss para el campo gravitatorio. Para hacerloten en cuenta las
analogas que existen entre la interaccin elctrica y la
gravitatoria.
A.4.- La demostracin rigurosa del teorema de Gauss es bastante
difcil. Sinembargo, pueden hacerse demostraciones parciales ms
simples, como la que tepedimos que hagas. Comprueba que el teorema
de Gauss se cumple para el caso deuna carga positiva puntual
colocada en el centro de una esfera de radio r.
2.3 Clculo de la intensidad de campo usando elteorema de
Gauss.
La ley de Coulomb tiene aplicacin nicamente en el caso de
cuerpos puntualeso cuerpos esfricos con distribucin homognea de
carga. En otros casos es convenien-te aplicar el teorema de Gauss.
Veamos algunos ejemplos.
Campo creado por una carga Q distribuida uniformemente en la
superficie de una esfera
Calcularemos la intensidad de campo elctrico como sigue:
a) En un punto lejano, trazamos una esfera concntrica con la que
almacena lacarga que pase por el punto en cuestin. Por razones de
simetra el campo ser elmismo en todos los puntos de la esfera y por
lo tanto:
= = = =
> =
0
20
cos0
si4
QES ES
Qr R E
r
ES
b) En un punto de la superficie se puede aplicar el clculo
anterior:
= =
20
si4
Qr R E
R
c) En un punto de su interior se puede hacer una construccin
anloga slo queahora la carga encerrada es nula, pues la carga est
distribuida en la superficie. As:
si r < R E = 0
A.5.- Calcula la intensidad de campo, en los mismos casos
sealados anterior-mente, para el caso de una esfera maciza de radio
R, en la que la carga est distribui-da uniformemente en todo el
volumen de la esfera. El resultado debes expresarlo enfuncin de la
carga total de la esfera, del radio de la misma y de la distancia
entre elcentro de la esfera y el punto en el que se est calculando
el campo.
Nota: Puedes utilizar el hecho de que al estar la carga
distribuida uniformemen-te se puede definir una densidad de carga
que sera la misma en todos los puntos.
S
S
S
S
EE
E
E
Q
R
r
-
93
Clculo del campo elctrico creado por una placa conductora
cargada
La ley de Coulomb es complicada de aplicar cuando queremos
calcular el campoelctrico en un punto cercano a una placa
conductora plana en la que hay repartida unadeterminada carga Q, ya
que la carga no es puntual. Aplicando el teorema de Gauss elclculo
es bastante ms fcil.
Para hacer el clculo del campo elctrico tendremos en cuenta que,
al estar distri-buida uniformemente la carga Q, podemos definir una
densidad superficial de cargacomo la carga que hay en cada unidad
de superficie:
placa
Q
A =
En puntos lejanos a los bordes podemos suponer que el campo
elctrico tendrdireccin perpendicular a la placa. Esa suposicin es
tanto ms correcta cuanto mayorsea el tamao de la placa, comparado
con la distancia a los bordes de los puntos queestemos
considerando; as como, cuanto ms cercano est el punto en cuestin a
laplaca. Suponer que el campo elctrico no fuese perpendicular
supondra que conside-ramos ms importante el efecto de un lado de la
placa que el del otro lado.
Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie cilndrica que
corte la placa de laforma representada en la figura. El flujo
elctrico a travs de esa superficie cilndricaser slo el que
atraviesa las bases superior e inferior, ya que a travs de la
superficielateral el flujo es nulo, puesto que el campo elctrico es
perpendicular al vector super-ficie, siendo por lo tanto nulo el
producto escalar. La carga encerrada por esa superficiecilndrica
ser igual al producto de la densidad superficial por el rea de la
superficierayada en la figura.
+ =
= = =
=0
0 0
22 2
qES ES S
E KS
q S
Por lo tanto, la intensidad de campo elctrico creada por una
placa plana con-ductora con una distribucin uniforme de carga
es:
= =
0
22
E K
S
S
S
E
E
E
E
E
E
EE
E
E
E
E
EE
E
Campo elctrico creado por una placa conductora con carga neta
positiva (izquierda) y con carga neta negativa (derecha)
-
94
EA B
Campo creado por un condensador
Un condensador est formado por dos lminas metlicas paralelas
(llamadasarmaduras) cargadas con la misma cantidad carga, pero de
signos contrarios.
La intensidad de campo elctrico total ser la suma de los campos
creados porcada armadura. Teniendo en cuenta que en el interior del
condensador, la intensidaddel campo creado por cada placa tiene el
mismo valor, la misma direccin y el mismosentido, el valor total de
la intensidad de campo elctrico ser:
42 2
E E E K
+
+ = + = + =
En puntos alejados de los bordes de las armaduras, el campo es
perpendicular ala superficie de las armaduras y su valor es el
mismo en cualquier punto del interiordel condensador.
En el exterior del condensador, la intensidad de campo debido a
la armadurapositiva tiene el mismo valor, pero sentido contrario al
creado por la armadura negati-va. La intensidad de campo total es
nula.
Campo creado por un hilo rectilneo cargado uniformemente
Suponemos que el hilo conductor est cargado uniformemente. Si es
Q la cargatotal y L la longitud total del hilo, definimos la
densidad lineal de carga, , como lacarga por unidad de longitud del
hilo. Se calcula:
=Q
L
Consideremos como superficie un cilindro cuyo eje coincida con
el hilo cargado.Por razones de simetra podemos pensar que la
intensidad de campo es perpendiculara la superficie lateral del
cilindro (es decir, tiene la misma direccin que el
vectorsuperficie). Adems, como todos los puntos estn a la misma
distancia del hilo, pode-mos suponer que el valor de la intensidad
de campo ser el mismo en todos los puntosde la superficie del
cilindro. Aplicando el teorema de Gauss, teniendo en cuenta que
lacarga q encerrada en la superficie es l
= =
= = =
= =
l
ll
cos0 2
2
2
q
ES ES E r
KE
r
E S
A.6.- a) Calcula la intensidad de campo creado por una
superficie plana en laque hay una distribucin uniforme de carga,
siendo la densidad superficial de cargade 3 microculombios/m2.
b) Calcula la carga que debe tener cada una de las lminas de un
condensador,suponiendo que crea un campo de 105 N/C. Las lminas son
de 3 x 2 cm y el medioentre ambas tiene una constante dielctrica
relativa igual a 5.
c) Cunto vale el campo elctrico creado por un condensador en
puntos que seencuentran fuera de las placas del mismo, tales como
los puntos A y B del dibujoanterior? Explica por qu.
a) E = 1,7105 N/C; b) q = 2,6109 C; c) EA = EB = 0
SE