Integrali tripli - Esercizi svolti Integrali tripli Si calcolino gli integrali tripli seguenti riducendo per strati e per fili in coordinate cartesiane. Eventualmente fare cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi risultanti. 1. D (x 2 + y 2 )dx dy dz, ove D ` e il cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]; 2. D xy(y + z)dx dy dz ove D ` e il tetraedro di vertici (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 3. D x 2 dx dy dz ove D ` e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0). 4. D xyz dx dy dz con D = {(x,y,z) | z 2 ≤ x 2 + y 2 , z ≥ x 2 + y 2 }. Cambiamento di coordinate 5. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche, D x 2 dx dy dz ove D ` e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0). 6. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche, D 1 1+ x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz ove D = {(x,y,z) | x 2 + y 2 + z 2 - z ≤ 0 , 0 ≤ y ≤ √ 3x/3} ; 7. Si calcoli E x 2 +4y 2 z 2 8y 3 dx dy dz, dove E = {(x,y,z) ∈ R 3 | x 2 +4y 2 (y 2 + z 2 - 1) ≤ 0,y ≥ √ 3 2 }, utilizzando il cambiamento di variabili x = 2uv y = v z = w. 1
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Transcript
Integrali tripli - Esercizi svolti
Integrali tripli
Si calcolino gli integrali tripli seguenti riducendo per strati e per fili in coordinate cartesiane.
Eventualmente fare cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi risultanti.
1.
∫
D(x2 + y2) dx dy dz, ove D e il cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1];
2.
∫
Dxy(y + z) dx dy dz ove D e il tetraedro di vertici (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);
3.
∫
Dx2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0).
4.
∫
Dxyz dx dy dz con D = {(x, y, z) | z2 ≤ x2 + y2 , z ≥ x2 + y2}.
Cambiamento di coordinate
5. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche,
∫
Dx2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro
(0, 0, 0).
6. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche,
∫
D
1
1 +√
x2 + y2 + z2dx dy dz ove
D = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 − z ≤ 0 , 0 ≤ y ≤√3x/3} ;
7. Si calcoli∫
E
x2 + 4y2z2
8y3dxdy dz,
dove E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + 4y2(y2 + z2 − 1) ≤ 0, y ≥
√32 }, utilizzando il cambiamento di
variabili
x = 2uvy = vz = w.
1
Ulteriori integrali tripli
8.
∫
Dx2y dx dy dz con D = {(x, y, z) ∈ R
3 | x2 + z2 ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1};
9.
∫
D
1
3− zdx dy dz,
D = {(x, y, z) | 9z ≤ 1 + y2 + 9x2 , 0 ≤ z ≤√
9− (y2 + 9x2)} ;
10.
∫
Dxdx dy dz, ove D e l’insieme {(x, y, z) | 2x ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1};
Applicazioni
11. Calcolare il volume delle regioni seguenti:
(a) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 − 2 ≤ z ≤ 4− x− y};
(b) B = {(x, y, z) ∈ R3 | 1− z ≤ x2 + y2 ≤ 1− z2
9 , 0 ≤ z ≤ 2};
(c) C = {(x, y, z) ∈ R3 | 1− z ≤ x2 + y2 ≤ 1, z ≤ 3x2 − y2};
(d) D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1
5
√
x2 + y2 ≤ z ≤ e−√
x2+y2};
12. Si consideri il tetraedro di vertici A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3), O = (0, 0, 0) e lo
si suddivida in due mediante il piano di equazione x = k. Determinare k ∈ R in modo che i
due solidi ottenuti abbiano volumi uguali.
13. Calcolare i volumi dei seguenti solidi ottenuti ruotando il grafico della funzione y = f(x)
attorno all’asse delle ascisse:
(a) y = 1x , x0 < x < x1;
(b) y = (1− x2/3)3/2, −1 ≤ x ≤ 1 (asteroide );
(c) y = x3, 0 < x < a;
(d) y = e x, 0 < x < a;
(e) y = cosh x, 0 < x < a.
14. Calcolare il volume degli insiemi delimitati dalle superfici:
(a) z = sinx, x = 0, x = π, y = 0, y = 1, z = 0;
(b) z = sinx, x = −π, x = π, y = 0, y = 1, z = 0.
15. I due paraboloidi z + 10 = 5(x2 + y2) e z − 103 = x2 + y2 individuano una regione E che si
suppone omogenea. Verificare che il baricentro di E cade nell’origine.
16. Calcolare i momenti di inerzia (rispetto all’asse di rotazione) dei corpi seguenti, supposti
omogenei, con densita 1 e ruotanti rispetto alla retta indicata.
(a) una sfera, ruotante intorno ad una retta tangente;
(b) il volume interno all’ellissoide x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1, ruotante intorno all’asse delle ascisse;
(c) un guscio sferico, di raggio interno r ed esterno R, ruotante intorno ad un diametro.
Integrali tripli
1.
∫
D(x2 + y2) dx dy dz, D = {(x, y, z) ∈ R
3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}.
Per fili: si proietta D su uno dei piani coordinati, per esempio sul piano z = 0, ottenendo il
quadrato Q = [0, 1] × [0, 1], e
∫
D(x2 + y2) dxdy dz =
∫
Q
[
∫
Sxy
(x2 + y2) dz
]
dxdy,
con Sxy = {(z | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1]. Dunque
∫
D(x2 + y2) dxdy dz =
∫
Q
[∫ 1
0(x2 + y2) dz
]
dxdy =
∫
Q(x2 + y2)
[
z|10]
dxdy =
=
∫
Q(x2 + y2) dxdy =
∫ 1
0
[∫ 1
0(x2 + y2) dy
]
dx =
=
∫ 1
0
(
x2 +1
3
)
dx =2
3.
Per strati: si proietta D su un asse, per esempio sull’asse z. Si ha
∫
D(x2 + y2) dxdy dz =
∫ 1
0
[∫
Sz
(x2 + y2) dxdy
]
dz,
con Sz = {(x, y) | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1] × [0, 1].
Quindi, dal calcolo gia fatto,
∫
Sz
(x2 + y2) dxdy =2
3⇒
∫
D(x2 + y2) dxdy dz =
2
3.
2.
∫
Dxy(y + z) dxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R
3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+ y + z ≤ 1}.
x
y
z
O
pianox+ y + z = 1
Per fili: la proiezione di D sul piano z = 0 e il triangolo T delimitato dalla retta x+ y = 1 e
contenuto nel primo quadrante:
∫
Dxy(y + z) dxdy dz =
∫
T
[
∫
Sxy
xy(y + z) dz
]
dxdy,
con Sxy = {z | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1− x− y].
x
y
z
Ob
b
Sxy
Quindi
∫
Dxy(y + z) dxdy dz =
∫
Txy
[∫ 1−x−y
0(y + z) dz
]
dxdy =
∫
Txy
[
yz +1
2z2∣
∣
∣
∣
z=1−x−y
z=0
]
dxdy =
=
∫
Txy
[
y(1− x− y) +1
2(1− x− y)2
]
dxdy =
=
∫
Txy
[
y − xy − y2 +1
2(1 + x2 + y2 − 2x− 2y − 2xy)
]
dxdy =
=
∫
Txy
[
y − xy − y2 +1
2+
1
2x2 +
1
2y2 − x− y − xy
]
dxdy =
=
∫
Txy
[
−2xy − 1
2y2 +
1
2+
1
2x2 − x
]
dxdy =
=
∫ 1
0
[
−∫ 1−x
0
(
2x2y2 +1
2xy3 − 1
2xy − 1
2x3y + x2y
)
dy
]
dx =
= −∫ 1
0
{
2
3x2(1− x)3 +
1
8x(1− x)4 − 1
4x(1− x)2 − 1
4x3(1− x)2 +
1
2x2(1− x)2
}
dx
si omette il calcolo dell’integrale semplice.
Per strati: si proietta sull’asse z ottenendo il segmento [0, 1] e quindi
∫
Dxy(y + z) dxdy dz =
∫ 1
0
[∫
Sz
xy(y + z) dxdy
]
dz,
con Sz = {(x, y) | (x, y, z) ∈ D} = {(x, y) | x+ y ≤ 1− z, x ≥ 0, y ≥ 0}.
x
y
z
O
Sz
Quindi∫
Dxy(y + z) dxdy dz =
∫ 1
0
[∫ 1−z
0
(∫ 1−z−x
0xy(y + z) dy
)
dx
]
dz
si omette il calcolo degli integrali semplici.
3.
∫
Dx2 dxdy dz, D = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Per fili: si proietti su z = 0 ottenendo il disco E = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}. Quindi
∫
Dx2 dxdy dz =
∫
E
(
∫
Sxy
x2 dz
)
dxdy, Sxy = [−√
1− x2 − y2,√
1− x2 − y2]
=
∫
E2x2
√
1− x2 − y2 dxdy.
Conviene calcolare quest’integrale doppio passando a coordinate polari e integrando sul do-
minio R = {(ρ, θ) ∈ R2 | 0 < ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}. Quindi
∫
E2x2
√
1− x2 − y2 dxdy =
∫
R2ρ2 cos2 θ
√
1− ρ2ρdρdθ =∫ 2π
02 cos2 θ dθ ·
∫ 1
0ρ3√
1− ρ2 dρ = 2π
∫ 1
0ρ3√
1− ρ2 dρ.
Si sostituisce prima ρ2 = u e quindi 1− u = s2:
2π
∫ 1
0ρ3√
1− ρ2 dρ = 2π
∫ 1
0ρ2√
1− ρ2 d
(
ρ2
2
)
= π
∫ 1
0u√1− udu = 2π
∫ 1
0(1− s2)s2 ds.
Si omette il calcolo dell’integrale semplice.
Per strati:∫
Dx2 dxdy dz = 2
∫
D0
x2 dxdy dz, con D0 = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1}
= 2
∫ 1
0
[∫
Sz
x2 dxdy
]
dz con Sz = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1− z2}.
Passo a coordinate polari
{
x = ρ cos θy = ρ sin θ
0 ≤ θ ≤ 2π, 0 < ρ ≤√
1− z2
da cui
2
∫ 1
0
[∫
Sz
x2 dxdy
]
dz = 2
∫ 1
0
{
∫ 2π
0
[
∫
√1−z2
0(ρ2 cos2 θ)ρdρ
]
dθ
}
dz
= 2 ·∫ 2π
0cos2 θ dθ
∫ 1
0
(
∫
√1−z2
0ρ3 dρ
)
dz = 2π
∫ 1
0
1
4ρ4∣
∣
∣
∣
√1−z2
0dz =
π
2
∫ 1
0(1− z2)2 dz.
Si omette il calcolo dell’integrale semplice.
4.
∫
Dxyz dxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R
3 | z2 ≤ x2 + y2, z > x2 + y2}.
xy
zγ
Cono e paraboloide si intersecano in (0, 0, 0) e nella circonferenza γ di equazione
{
x2 + y2 = 1z = 1.
Dunque la proiezione di D sul piano z = 0 e il disco
D0 = {(x, y, 0) | x2 + y2 ≤ 1}.
Per fili:∫
D0
[
∫
√x2+y2
x2+y2xyz dz
]
dxdy =1
2
∫
D0
xy
[
z2∣
∣
∣
√x2+y2
x2+y2
]
dxdy
= 12
∫
D0
xy[x2 + y2 − (x2 + y2)2] dxdy
passando a coordinate polari otteniamo
12
∫ 1
0
∫ 2π
0ρ{
(ρ cos θ)(ρ sin θ)[
ρ2 − ρ4]}
dρdθ =
= 12
[∫ 1
0
(
ρ5 − ρ7)
dρ
]
·[∫ 2π
0cos θ sin θ dθ
]
= 0.
Si spieghi il risultato studiando le simmetrie del problema.