AC/DC Integrales FIUNA Octubre 2009 Tabla de integrales inmediatas 1. x k dx = + C ,(k -1). 2. = ln |x |+C. 3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C 5. = (1 + tg 2 x) dx = tg x + C. 6. = -cotg x + C. 7. tg x dx = -ln |cos x| + C. 8. cotg x dx = ln |sen x| + C. 9. e x dx = e x + C. 10. a x dx = + C. 11. = arctg x + C = -arccotg x + C 12. = + C, a . 13. 14. 15. = arcsen x + C = - arccos x + C 16. = arcsen + C, a>0.
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Tabla de integrales inmediatas
1. xkdx = + C ,(k -1). 2. = ln |x |+C.
3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C
5. = (1 + tg2x) dx = tg x + C. 6. = -cotg x + C.
7. tg x dx = -ln |cos x| + C. 8. cotg x dx = ln |sen x| + C.
9. ex dx = ex + C. 10. ax dx = + C.
11. = arctg x + C = -arccotg x + C 12. = + C, a .
13. 14.
15. = arcsen x + C = - arccos x + C 16. = arcsen + C, a>0.
17. 18. senh dx = cosh x + C
19. cosh x dx = senh x + C 20.
21. 21.
23. 24. sen ax = - cos ax
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Integral de Riemann
Integral Indefinida PrimitivasNos ocupamos ahora del problema inverso de la derivación: dada una función f(x),
obtener una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir:
F´(x) = f(x).
Sea f: I R , siendo I un intervalo cualquiera.
Decimos que una función F: I R, es una primitiva de f, si existe F´en I, y se verifica
F´(x) = f(x) para todo x I.
Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que son todas
las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un número real cualquiera, ya que se tiene
(F(x)+k)´= F´(x)+k´= f(x)+0 = f(x).
El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se escribe
f(x) dx = F(x) + C,
siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.
El símbolo se llama signo integral, f(x) integrando y f(x) dx elemento de
integración.
No toda función admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifican los siguientes teoremas.
TeoremaToda función continua f en el intervalo [a, b] tiene una función primitiva y, por
consiguiente integral indefinida.Es importante resaltar que mientras que la derivada de una función elemental es una
función elemental, la primitiva de una función elemental puede no ser una función elemental, es decir, no se puede expresar operando un número finito de veces funciones elementales.
Así, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones elementales:
, , , .
Integrales inmediatasConsecuencia inmediata de esta definición es
( f(x) dx)´= f(x).
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Propiedades
La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes, donde f y
g son dos funciones que admiten primitivas y k R:
a) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.
b) kf(x) = k f(x) dx.
Estudiemos ahora algunos métodos que permiten transformar integrales difíciles en
otras más sencillas. Cuando la integración no es inmediata se utiliza uno de estas métodos,
según la característica de cada ejercicio, a los efectos de conseguir la forma de una de las
integrales inmediatas que se encuentran en la tabal de integración.
Cálculo de Primitivas
Integración por cambio de variable o sustitución.
Cuando se trata de una expresión irracional, generalmente se iguala a una variable auxiliar, solamente la expresión subradical. Si la función es potencial, con frecuencia se sustituye por la variable auxiliar solamente la base.
Si se quiere calcular la integral f(x) dx, se puede realizar el cambio de variable x = (t), suponiendo que f y son funciones continuas, verificándose entonces la igualdad:
f(x) dx = f( (t)) dt.Entendiéndose que al variable t será sustituida después de la integración del segundo
miembro de la igualdad por su expresión en función de x.A veces, es mas práctico elegir la sustitución de la variable en la forma t = (x) y no
en x = (t). Aclaremos esto con un ejemplo:
Supongamos que se quiere calcular la integral: Haciendo el cambio x3 + x2 = t, se tiene (3x2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte en
= ln |t| + C = ln |x3 + x2| + C.
Otro ejemplo: , haciendo el cambio x = at, dx = a dt, sustituyendo queda
= = arctg t + C = arctg + C.
Integración por partes (Bernoulli)
Por lo general se usa cuando hay:
Diferenciales que contienen productos de funciones. Diferenciales que contienen funciones logarítmicas. Diferenciales que contienen funciones trigonométricas.
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Hay 2 reglas generales: La parte escogida como f´(x) ha de ser fácil de integrar.
g´(x)f(x no debe ser mas complicada que f´(x) g(x)
Si f y g son dos funciones derivables se verifica
f´(x) g(x) dx = f(x)g(x) - g´(x)f(x) dx.
Este método convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por
calcular, tendrá éxito si esta última integral es mas facil de calcular que la inicial.
Veamos algunos ejemplos:
a) I = x2 log x dx
Haciendo f´= x2, y g = log x f = , g´= ; sustituyendo en la fórmula
queda I = - dx = - + C
b) I = arcsen x dx =
Haciendo f´= 1, y g = arcsen x f = x, g´= ; sustituyendo en la fórmula
queda I = x arcsen x - dx = x arcsen x + + C.
Integración de funciones racionales
Tiene lugar si la función subintegral es una fracción cuyo denominador es un polinomio racional de segundo grado o mas.
Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de
polinomios. Cualquier función racional se puede expresar como suma de un polinomio mas
una función racional propia (grado del numerador menor que el grado del denominador) sin
mas que realizar la división entre el numerador y el denominador; luego la integración de
una función racional se reduce a la integración de un polinomio (que es inmediata) mas la
integración de una función racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integración de
funciones racionales propias.
El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposición en
fracciones simples.
Descomposición en fracciones simples.
Si el numerador de la fracción es un polinomio de grado mayor o igual al polinomio
denominador, se efectúa la división teniendo en cuenta que:
Donde:
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Caso I: Factores Lineales Distintos:
A cada factor lineal ax+b que aparezca una sola vez en el denominador de una función
racional propia le corresponde una sola fracción simple de la forma , donde A es una
constante que habrá que determinar.
Caso II: Factores Lineales Repetidos:
A cada factor lineal ax+b que aparezca n veces en el denominador de una función
racional propia le corresponde una suma de n fracciones simples de la forma
, donde A es una constante que habrá que determinar.
Caso III: Factores Cuadráticos Distintos:
A cada factor cuadrático irreducible que aparezca una sola vez en el
denominador de una función racional propia le corresponde una sola fracción simple de la
forma , donde A y B son constantes a determinar.
Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos:
A cada factor cuadrático irreducible que aparezca n veces en el
denominador de una función racional propia le corresponde una suma de n fracciones
simples de la forma , donde A y B son
constantes a determinar.
Integración de funciones racionales
Distinguimos dos casos fundamentales:
El denominador solo tiene raíces reales.
En este caso descomponemos la función racional en tantas fracciones simples como
indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que tienen la
forma o , donde A es un número por determinar y a es una de las raíces del
denominador.
Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I = dx :
Como la fracción a integrar no es propia efectuamos la división de x3+1 entre x3-x
obteniéndose 1 de cociente y x+1 de resto.
Luego I = (1 + )dx = x + dx
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Descompongamos la fracción , que es propia, en fracciones simples, para lo cual
descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus raíces:
x3-x = x(x2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposición es:
= , luego se debe cumplir la identidad:
A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x R.
Las incógnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cómodo es dar a x los
Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvasf(x) = g(x) x3 - x2 - 2x + 2 = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2 x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = 0
y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2
y = x3 – x2 - 2x + 2
Gráficas de las funciones
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x(x3 – 5x2 + 2x + 8) = 0 x = 0, o x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0 x = -1,2, 4.Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a = -
1, b = 4. Como en la fórmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g en
cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante en cada uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto interior de cada subintevalo
Volumen de un cuerpo de revolución: el volumen engendrado por la región encerrada
por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x [a, b], con f(x) g(x), al girar dicha región
alrededor del eje OX es:
V = .
Si se tratase del volumen generado por la región determinada por la curva y = g(x), el
eje OX, para x [a, b], con g 0, su valor se obtendría poniendo f(x) = 0 en la fórmula
anterior, pues la ecuación de eje x es y = 0
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V = .
EjemploObtener el volumen de cuerpo de revolución que genera el circulo de centro C(0, 2), y
radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina “toro”).La ecuación de la circunferencia que delimita el círculo es: x2 + (y-2)2 = 1
y – 2 = y = 2 . Luego en este caso se tiene:
g(x) = 2 + , f(x) = 2 - , con lo que el volumen pedido será:
V = = dxResolvemos la última integral con el cambio x = sen t dx = cos t dt
x =1 t = ; x = -1 t = ; = = |cos t|,
luego = = - = =
= = .
Integral Impropia: Introducción
Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos donde
el intervalo de integración no es acotado o bien la función a integrar no está acotada.
En definitiva diremos que la integral es impropia si se da al menos una de las
siguientes hipótesis:
1. El intervalo [a, b] no está acotado.
2. La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b].
Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras áreas científicas: Física,
Economía, …, etc.
Ejemplos
1) , el intervalo [0, +∞] no está acotado.
2) , no está acotada en cualquier entorno de x = 0.
3) , el intervalo (-∞, 5] no está acotado y, no está acotada en cualquier entorno de x = 0.
Integrales impropias en intervalos no acotados (o con límites de integración infinitos)
También se les suele llamar de primera especie
Por ejemplo serían de la forma:
-xy=e
1
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, .
Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado: .
La integral , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este) y
podemos calcular:
= = = -[e-b-e0] = .
Se tiene = 1, luego parece lógico definir:
= 1.
Interpretación geométrica
Se puede interpretar geométricamente diciendo que el área de la región (no acotada)
determinada por y = e-x, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.
Definición
Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definición general:
1) Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la
forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b a.
2) = Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la
forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b a.Si los límites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las
correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se dice que la integral diverge.
3) = ,donde c es un número real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente
si existen y son finitos los dos límites, y su valor es la suma de estos límites. En otro caso la integral se dice divergente.
Ejemplo
Estudiar la siguiente integral calculándola en su caso:
Se puede interpretar este resultado diciendo que el área determinada por la curva
, y el eje OX vale .
Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I = .
I = , como este límite no existe se concluye que I diverge.
Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX, coincide con el valor de la integral.
Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.
a b
y = g(x)
+
aJ= g(x) dx
y
x
I f(x) dx
y = f(x)
y
x
Si I es convergente, entonces el área de la región(no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincidecon el valor de la integral.
2
1y =
x
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Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)
También se le suele llamar de segunda especie
Consideremos la integral I = , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene
I = , pero este resultado es absurdo, pues el área determinada por una función positiva, por
encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido está en la aplicación de la
regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la función no está acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de integral impropia con integrando no acotado.
y = f(x)
a b
b
aI f(x) dx
y
x
y = g(x)
a b
b
aJ g(x) dx
y
x
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Definición
Suponemos que f(x) no está acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los siguientes casos:
1) f(x) no está acotada en el límite superior b solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define
Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.En otro caso se dice divergente.2) f(x) no está acotada en el límite inferior a solamente, y es integrable en todo
intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define
Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente.En otro caso se dice divergente.3) f(x) no está acotada en un solo punto interior c, a < c< b.Definimos
.Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una de
estas integrales es convergente se dice que es convergente y su valor es la
suma del segundo miembro. En otro caso se dice que es divergente.
Interpretación geométrica
Si I es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = a,y = f(x), la asíntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral
Si J es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = b,y = f(x), la asíntota x = a y el eje OX
c
aI= f(x) dx
b
cJ= f(x) dx
1 2
y
xa c b
π
2
5
1y=
x
5 45 3
4
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Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I = .
Calculemos =
Luego I = = arcsen 1 = , por tanto I es convergente con valor .
Ejemplo
Estudiar la convergencia de la integral I = .Se tiene:
Luego la integral es convergente con valor .
Si I y J son convergentes entonces las sumas de las áreas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asíntotax = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J
I representa el área de la región (no acotada)definida por:
y x = 0, la asíntota x = 2, y el eje OX
1y=
x
1
3
-2
3y=x
1
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Ejemplo
Calcular, si es posible, I =
Por definición, se tiene I=
Luego la integral es divergente.
Ejemplo
Obtener el área de la región del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3 y, a la izquierda de x = 1.
Hagamos un pequeño estudio de la curva:
, para x>0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es decreciente en el primer cuadrante.
Además , por tanto x = 0 es una asuntota vertical.El área pedida viene dada por la integral:
=
Ejercicio
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Obtener el área de la región definida por la curva , el eje OX y las rectas
x = 0 y x = 3.
Ejercicio
Estudiar la convergencia de la integral , calculándola en su caso y dando
una interpretación geométrica del resultado obtenido
Integral Impropia: De tercera especie
También se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un número
finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman integrales impropias de tercera
especie.
Para estudiar este tipo de integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del
intervalo para descomponerlas en suma de varias integrales de primera y segunda
especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada, son
convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso contrario se
dice divergente.
Ejemplo
I = , que está definida en el intervalo no acotado [0, ∞) y el integrando no está acotado para x = 0.
Siguiendo la idea señalada disponemos: I = + .
Calculemos I1= , mediante el cambio x = t2 dx = 2tdt
I1 =
=
= =
Por lo tanto:
I = La integral calculada tiene la siguiente interpretación geométrica:Representa el área de la región definida, en el primer cuadrante, por la curva
y los ejes coordenados.
1y=
x(x+1)
π
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EjerciciosContenidos:
5. Integrales Definidas5.1. Definición de Integrales Definidas. Existencia. Propiedades.5.2. Cálculo de la Integral Definida. Teoremas fundamentales.5.3. Integrales impropias. Definición. Existencia. Integral convergente y divergente. 5.4. Cálculo de áreas y longitudes de figuras planas, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Cambio de variables.5.5. Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos de revolución, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Cambio de Variables. 5.6. Integración numérica. Fundamentos. Fórmula de los trapecios de Simpson, de Gregory. Integrales singulares. Algoritmos computacionales.
INTEGRALES DEFINIDAS. PROPIEDADES. APLICACIÓN DE TEOREMAS
1. Encontrar el valor de la constante c, tal quec
x
f ( t )dt=cos x−12 para todo x real.
2. Determinar el valor de c, cuya existencia garantiza el Teorema del valor medio para
las integrales para la funciónf ( x )=6 x2 en el intervalo [−3,4 ] .
3. Hallar, utilizando el teorema conveniente, un intervalo cerrado que contenga el
valor de la integral definida 1
4
|x−2|dx.
4. Encuentre una función f y un número a tales que 6+
a
xf ( t )t2
dt=2√x
INTEGRALES IMPROPIAS
5. Establecer si son convergentes o divergentes las integrales definidas dadas y hallar
su valor en los casos posibles.
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a.−1
2dx
x2
b.0
1xdx
√1−x2
c.−∞
∞ dx
x2+2x+2
d.1
∞ dx
x √x2−1
CALCULO DE ÁREAS, LONGITUD DE CURVAS, VOLUMENES DE
REVOLUCIÓN
6. Construir la gráfica y calcular:
a. El área de las regiones limitadas por la curva de ecuacióny=1
x , el eje x, la
recta de ecuación y=x , y la recta x=2 .
b. La superficie limitada por la curva y=ln x , el eje de las x, y las rectasx=1 y
x=e .
c. El área común entre las curvas ρ=1 yρ=(1+cosθ )
d. El área del triángulo de vértices (0 ;0 ),(a ;0 )y (b ;c )
e. La superficie limitada por la curva y3=x y las rectas de ecuación y=1 y
x=8
7. Encontrar la longitud del arco de la curva y=1
3( x2+2 )
32
, del punto donde x=0 al
punto donde x=3 .
8. Calcular la longitud total de la curva ρ=3 cos4 θ
4
9. Calcular el área acotada por la curva: x=3+cos t ; y=4 sen t
10. Determinar el volumen de la región limitada por la curva f ( x )= tan x , la recta
x=π3 y el eje x, se gira alrededor del eje x.
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11. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta
x = 1, la región limitada por la curva ( x−1)2=20−4 y , y las rectas x=1 ,y=1 ,
y=3 y a la derecha de x=1 .
12. Hallar el volumen del sólido generado al girar en torno al eje y, el área entre el
primer arco de la curva x=θ−sen θ ; y=1−cosθ , y el eje x.
13. Un cilindro de radio R está cortado por un plano que pasa por un diámetro de la
base bajo el ángulo respecto al plano de la base. Cuál es el volumen de la parte
separada?
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
14. Calcular los valores aproximados de las integrales dadas por las formulas de los
trapecios y Simpson
a.1
10
log10 xdx, con n=10
b.0
1
√1−x3 dx, con n=6
c.
π2
3 π2
senxx
dx
, con n=6
15. Calcular el valor de π partiendo de la igualdad
π4=
0
1dx
1+x2aplicando Simpson
para n=10 .
Contenidos: 6.Series Numéricas y de Funciones
6.1. Series numéricas de términos positivos. Definición. Clasificación. “Suma”. Criterios de convergencia: Comparación ; D’Alembert ; Cauchy; Integral. Teoremas.6.2. Serie alternada. Definición. Criterio de Leibniz. Teoremas.6.3. Serie de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional.6.4. Series de funciones. Definición. Convergencia uniforme.6.5. Integración y derivación de las series de funciones. Teoremas.6.6. Series de potencias. Definición. Intervalo de convergencia. Series de Taylor y Maclaurin.
SERIES DE TERMINOS POSITIVOS
Estudiar el carácter de las siguientes series
16.
17.
18.
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19.
Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no.
20.an=
n2−1n2+1
21. {√n+2−√n }
22.{ln (2+en )
3 n }23.
an=sen ( nπ2 )SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
24.∑n=2
∞ 1
n( log n )2
25.∑n=1
∞ sen n
n2+1
26.∑n=1
∞
(−1 )n (√n+1−√n )
27.∑n=1
∞sen ( 1
n )Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no
convergen:
28.∑n=1
∞ nn
n !
29.
30.∑n=1
∞(−1 )n n3
3n
31.
32.
1⋅43⋅5
+ 1⋅4⋅73⋅5⋅7
+ 1⋅4⋅7⋅103⋅5⋅7⋅9
+¿⋅¿+1⋅4⋅7⋅ ⋅¿⋅ ⋅(3 n−2 )3⋅5⋅7⋅ ⋅¿⋅ ⋅(2n+1)
33.∑n=1
∞ 1
( log n )n
SERIES DE FUNCIONES
Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series.