integrales(guerreiro)

La derivad¿ de una función es oualbncion:

(cos r)' = - ser x

Guerreiro,¡Ríos indeñnidas Teoria .doc Facultad de Ingenieria UCV

IxIEGRALE, S IXUEFII\IDAS1.1 Primitiva de una función

En el primer curso de cálculo se aprende a obtener. r'iadefinición y regla de derivación. la función deril'ada de una

función. Adernás se prueba que es única. es decir. una funcióntiene una sola funcion derivada.

Consideremos ahora el problema inverso de la derivación:

Dada uncr Jitrtción .fk), deÍenninat' ot¡':l Jimción Fk) tcrl

que F'(x1=./'(x).

Si la función f es alguna de las contenidas en una tabla de

derivadas. la obtención de F debe ser inmediata, simplemente

leyendo la tabla al revés:

rG) F(r)

En base a io anterior damos la siguiente:

Definici&n 1.1

Lina función F(x) es la primitiva de una función f1r) en

interv'alo I si y sólo si F'(x) = f (x), para cada x e I.

Ejemplo 1.1

F(x) = arcsen x es la primitiva

en el inten'alo (- t, i) ya

un

La de

que

función

1

f1x; =

1

F'(x) = + = t(x) Para cada * e (- i, t).rj1 - r-

1.2 Integral indefinida

Decíamos antes que una función tiene una única derivada;

2 11312002

La liurción derÍr ada es única;'I

(]os x )r Lnlt)

Grallco de la iarnilie de

inx=C:funciones

t

l

lnr-+c

j: ¡

--J

La clasificación de indefinida es

obvia. F1s) -rC no es una funcióndefinida sino corno dijimos una familiade ftrnciones.

sin embarqo Ia primitiva no es única. por ejemplo las funcionest

F de la siguiente tabla son primitivas de la función f (x) = '\F(x) = Ln xF(x)=Lnx:lF(x)=Lnx=2En general siendo C unaconstante arbitrariaF(x)=Lnx*C.

F'1x) = f1"1= 1

x

Generalizando lo anterior: si F(x) es primitiva de f(x) en

el inten'alo I entonces la expresión F(r)+C describe toclas ias

prinritivas de f(x) y es llarnadaprimitiva genet'cl de f(x),Asi tenemos. del ejemplo. que F(x)=Ln x r-C es la

primitiva qeneral de f(r)=l. )i representa una familia dex

funciones que dependen de la constante C v slls gráficas guardan

entre si una relación geométrica de traslación vertical.

La "foruilict de .fimciones" o conjunto de todas lasprimitivas de (r). recibe el nombre de integral indefinida de fv tiene una notación muv especial que fue introducida por elnotable nlatemático alemán Gottlñied Leibniz ( I 646- 1 7 1 6) :

a

I f(x) dx-a

El sir¡bolo de integral J (sigma) pror.iene del griego 1'

significa suma- cuando tratemos la integral definida veremos elporqué de ello.

En lo suce.ivo omitiremos el inten'alo de definición cle iapnmltl\'a

Definición 1.2 (inteeral indefinida)

si .v sólo si F'(x) = f(x)

La función (x) recibe el nombre de integrande" dx indica que lavariable de la integración es x -y C se llama constante deintegración.

1.3 Cálculo de nrimitivas

Como usted tal vez ha podido obsen'ar. los siguientes

enunciados:

Jr,"; dr = F(x) = c

---.,

Si usted maneja adecn¿rdamente la tablade derivadas le será ruás fácil d¿rrespuesta a la preguta P.

Verilique que:

F'(x) = f 15¡

I .:. '. t. ^:. a.

Guerreiro/Ríos Indefimdas Teoría .doc Facultad de Ingeniería UCV 2L/3/2002

- Calcular la familia de primitivas, de (x).- Integrar la función (x).- Resolver la integral Jf(")a",son equivalentes y, repetimos, se relacionan directamente con [asiguiente pregunta:

P.- ¿;Cuat es la.función [.(x) cttya tlerivada esJft)'?

Ejemplo 1.2

La fórmula [*"0* = d1* a indica que la familia deJ n+l

primitivas de f(x) = ¡n es el conjunto descrito porn+1

F(x) = ] + C donde C es una constante arbitraria.\ / n+I

Con poco más que invertir las columnas de una tabla de

derivadas podemos construir la siguiente:

1.4 Tablat.l: Férmulas de integración inmediata

[x*dx= Ll *c conc.É_-[J cr,+t

l.e*dx = e. +CI

, [a*clx = o* + c-t Ln (a)

fa o" = Lnl*l+ c

, J*"., (x) dx = -- cos(x) 'i C

, Jcos(x) dx = sen(x) +C

, Jr""'x dx = tg(x)+C

. [.r.'x dx = -ctg(x) + C,l

. Jsec(x¡

tg(x) dx = sec(x) + C

, Jcsc(x) ctg(x) dx = -csc(x) +-o

frlT-; dx = arcsen (x) +CJ ','[ - x"

|., ' , dx=arcrg(x)+cJl+x

Veri{icación: La derivada tarnbién es

lineal

fr3=Jt)r,7,*, -c,=-1 v- i

_ 1,.,, , i - ,' lo ..37; _ I. * 1C),-\-\ /=,T'. ;.,

-(i\- -5t'/- - -:

\,

) [- 1- dr = arcsec (x)'Jr \: -1it |.-!0. = senh-ir : C

Jr'-: --1

f-:Ldr=cosh-rx-CJ*/tt -t

I |.l= o. - l'relt-l t = c sr :

J t-rj lcotgh-lr*C sr

1.5 Proniedades de la inteeral

El proceso de integracion es lineal respecto de la suma

algebraica 1'multiplicación por una constante. esto significa:

t tt(r) dx .k = iiJtr(xtdr=k,

frt't = s(x)lo* = Jrt,r a* t

Js{'.) a,

Ejemplo 1.3

I(u'' ,s*tr*) dx = 6

J.' o. *,

J*',' dr -2 I.-' o"

\.i a,. l/:+l t *--i-l-.L:L--' _ Ía

3 y"-l -3=l

= 2x-3 -19*t,'t *l*c

.-C

a,

=Lni x-\'x-=11*f\l/

-\=Lnlx+{x'-l i-C\i

't- i'1*.r-Ln - "'.C-\r <I ¡2 ,, 1--x

;r' >r 'lar,,=.r,*all I r-l r

si ;xi<l

si irj> I

3x'

1.6 Técnicas de.inteeración

Integrar es buscar una respuesta a la pregunta (P)- no

obstante no siempre 1a respuesta es inmediata como en ios

ejemplos dados, existen rutinas para integrar con éxito.

1.6.1 Cambio de variable o sustitución

Es uno de los procedimientos más usuales en integración,v

su finalidad es reducir la integral dada a una de integración

inmediata.

"L-.ónto se cletecta la pertinencia cle un cambio de variable?

Cuando se obsen'a que el integrando tiene la forma:

Recuerde:

Si F'(x) =f(x) entonces

[fiet.)t -r- C] = F' ig(r'))' g' (:r)

= f(g(x)) 'g'(x)

Cambio tie r¿rri¿ble:

u=senx = du=cosxd-t

Cambio de variable:

u=.3+9=du=3xldr

C¡r¡errei¡o,'Rios Indefinidas Teoria.doc Facuhad de Ingenieria UCV

r(sG)'s'(x);

Coii e1 eambio de variable u=g(x), de ,Jonde * = S'(*) o seadx

du = g'(x) dx se reduce la integral a una más sencilla:

Ejemplo 1.4. fcosx flJ"otg (x) cix = Jffi * = Ji

ciu = Lnlul * c

R.egresanCc a la ''ariable oi igiilal (devc1"'ienCo el cambio),

tenemo§:

[.o,n (:r) d:r = Lnlseirr"l'C .

J""'-'Ejemplo 1.5

[*rJ*, *s ¿*: [.69 =!**c:]],,% *cJ J 5 53,2 33

Regresando a la variable original:

[.'.F;6* = ?1*' *o¡)'' *,J

1.6.2 Inteeració-n nor nartq,s

otra técnica de integración se basa en la derivación de un

producto de funciones:

' (u'v)'(x) = u'(x)'v(x) + u(x)'v'(x)'

integrandc a at-rrbos laCos tenelncs

{(u' ,)'(*) ¿;r = Ju'{x)' v(*) dx +

Ju(x)'v'(x) dx = u(x)'v(x)

de donde:

Írt.l v'(x) dx = ,r(*)'rG)- I"'(.)'v(x) ax

.r-int e gra i origniai int e gra i ar»iiliar

Para el éxito de esta tecnica debe tener en cuenta lo siguiente:

a.- Elegir v, entre los factores de la integral original, de forma

que se obtenga v sin dificultad.

Seanv'=\ v tt=f,ltx

entonces1s-lv---- \' u=-2x

Cambio de variable:x=4senz-dx=4coszdz

+ C'onsidcrando el coseno positivo.

\Ñ

Cambio de vtriable:

b.- La integral auxiliar clebe ser tácil de calcular.

Ejemplo 1.6

Con la elecciÓn de u y v' como se indica a la izquierda tetlefilos:

J* rn* d* =. {Ln

"- 1, I ¿*

2 ,--* Lnr-11*¿*

a olL ./-¿

22= * Ln*:a-+C.24

1.6.3 Sustituciones trisonométricas

Algunas integrales cLlyo integrando contiene expresiones como

.r2to2 o o2xu2,se pueden simplificar usando cambios trigonométrictls que

involucran respectivamente las identidades :

l+tg2x:sec2x

Ejemplos 1.7

y ser",2*+cos2x=1

Idr=ld#+4coszdz: l'{_r",r, * r- l- f**n,, ,=J-o*:dz'J z dz

= J,*' z dz =J(*""' , -t)d,

= Jr""2 zAz * !dz = tgz - z + C .

Ahora se debe regresar & la variable original. Para ellocorrsideremos el triángulo rectángulo de ángulo agudo z , a la

izquierda, tal que senz = f , norlotanto tgz-- Jt¿: *;.

Luego,

e\ =ltgo

-_ .tdr=lsecladu

- + Cousrdcraudo: secü >(,

Del e-jercicio resuelto l l-l se tiene:F

I secrdz =Lusecz - tgz - CJ

Completacion de cuadrados:

rl --lx -3 = xl -t {x -4 - -l -3=(.r=:f _l

C¿mbio de r-ariable.sr-2=SCCü

ds = secq tgu dcr

x Suponiendo tgrr > L)

Gu"'r-'iro Ríos Indefinidas Teone.do¡ Facultad de Ingeniería L.C\ 21t3i2002

= m ¿o= J"to

do = Lnlseco+ tgul+ c

Devolvamos la variable (use la identidad respectiva):

to z =L. Ir.no sec 0, = f rlG. - .^

Luego:- \ l. \' /

l--l-¿* =t_n1¡++el\ ia *C = senh-liJnl4*"4- rf ' 2, \

^r)i- l+C,rl

1.6.4 Integrales gue contienen el término ax2 + bx + c

Trataremos ahora integrales en cu!'o integrando aparece el

término cuadrático axl -r-bx*c conb *0 y que no sea un

cuadrado perfecto: para b:0 se aplica el apartado anterior.

Se completa cuadrado para reducir el término a la forma

u2 t u2 o bien a2 + u: y luego se hace un cambio de variabletrigonométrico.

Ejemplo 1.9

l.-:§=.r]-0.= l- §¿-*J *t-=4xt3 J (x+2\=-l

f secu= l---::::--sec0" tqq. düJr1se.2o - I

e?*F

= lsec-ü tgü du= lsec:u doJ ttgai J

r rtga*C.

Regresando a la variable original:

tg3 cr = sect cr -1 = (x + z)2 -ttgc =,G-2)L1de donde

Por lo tanto

[ +--3. dx = 1* *z¡= l *cJ *'-.4x +-3

1.6.5 Descomoosición en fracciones simnles

Si el integrando es una función racional, es decir, tiene laforma

Raíces de multiplicid¿d uno.

Q(rl=(r-lN-rr2[s-3)Raices: \1 = -1. \2 = -2. \3 = -1 . que

son Reales r distintas. se dice que tienenrmrltiplicidad ulo.

No sierlpre Qtsi aparccefactorizado corno r'i ejemplo.

donde At. A:, .. .-A,, son constantes a determinar.

Ejemplo 1.10F

Resolr er la sieuiente integrat J ,a_ , tr- 2X*- )

d*

''¡'Se buscará una descomposición de la tbrma siguiente:

r*r

-

\. -:'1r-*

A, * A,r ' (r-l[r=2[r*3) -\-:-l x+2 x-3

Debemos encontrar las constantes A1 , Au y A3 que satisfacen

R(x) = ¡.¿Q(r)

donde P. Q son polinomios, se buscará una descomposición deR en fracciones simples. Deberán ser considerados varios casos:

I) El gp'ado cle P es merrct'que el g'ado tle O.

a.- Si el grado de Q es n v tiene n raices reales distintas,\r,\f ,...,X1l, se descompone R(r) en la forma.

P(§¿ = Aj_ -' 1, -...+ j,, _ .

Q(x) X-xr x-\: X_X,,

la igualdad

.\(r-lX*-3Xx-3)

de donde

(**) r =.A,(x * 2[x - 3)" A.(x -r iX* -:)- er(r - i]x - ?):

daremos dos técnicas de cálculo:

i) Desarrollando e igualando los coeficientes de los términos de

igual potencia (método de los coeficientes indeterminados).

, = ^q,(*' - * - o)+ lr("' - 2x -:)+ a.(r: +:* * 2)

= (Ar -:A., +A3) ": +(-Ar -2A: *3Ar)x -6Ar -3A: +2A.

la ecuación conduce al sistema

iAr-Ar+A_1 =s

1- A, - ?A: -:3A-3 = i ,

.-UO, -3A: +?A3 = 0

_ Ar(x * 2Xr - 3)+ A:(r + lXx- * 3)+ A:(r +1.)(.'. + 2)

(x+l[x+2[x-3)

Atención: Esta tecnica de sustittrir tasraíces pudiera parec€r errónea porque elintegrando no está definido en _.1 , -2 y3. La ecuación (*) es válida para cadavalor de x diferente de los mencionados,es una identidad. por lo tanto parax*-l:

1;F*:r.Ar'n'i*'*'*-*v

, ( -{+l -t+t\-l'l'1, 6;P¡' "t9,|.'t"

n,;á' n, ;;Jde donde A, = 1.'4En ii) reemplazarnos cl ptrso al lirnitcpol' urn sustitución directa.

Raíces con multiplicid¿rd m>1.

Factorie¿rción de Q(x):

Q(x) = *4 - 2*3 'l- *2

= *'(t' - z* + r)

= ,2(* - tfRaices:

.\l =0 . connrulúplicidad2.

x2=l , r¿ !' 2,

Gucneirr/Rios Indefinid¿s'I'eorí¿ .doc Eacult¿d de Ingeniería UCV 2t/3i2002

cuyas soluciones son: A1 = 1, A. = -? y A¡ = *-r4'-520

ii) Sustituyenclo clirectamente las raices en (**)

x=--1:

-t = Ar(- I +2[-l *3)=+ -1 = -4Ar > At = V4x=-'2:

-z = Az?2 +1[- 24)=] -2 =. 5A2 =] Az = *215

x=3:: = A:(3 + l[: + 2)> 3= -2oA¡ = A: :3120

Así tenemos

f-----¡- , í tl4 zls 3¡20 )J¡;.6;rFr*= J[«ó a;a*f-:ij d.

= lLnl* + rl - l-r-nl* + zl +]Lnlx - :l + c4r15''20r

b.- Si la descomposición de Q tiene un término de la fbrma

(x - xr )"', se dice que x¡ €s una raiz con multiplicidad m,

entonces la descomposición en fiacciones simplescorrespondiente a esta raíz tendrá la siguiente tbrma:

Br *_ ", _ _l-...+_q-r"--x-xk (*-*r)' (*-*r)"'

Ejemplo t.1l

Resorver [,:1 _I:,ii,.] o.Jx

Las raíces tienen multiplicidad dos por lo tantocorresponde una descomposición como sigue:

4x:l *4x2 +x+.1 4x3 -4x2 +.t+l A1 A2 81 R2

- -r¡-¡ = *'(*Ll =;*J*.--r*¡*;

Se debe encontrar los valores de las constantes A.¡ , ,A2,

I3r, y Bz que satisfagan la igualdad:

4x3 -4x2 +x-rl - A1x(x-.l)2 tA2(x.-1)2 +B1x2(x-l)+B2x2-7ñ-t'-- --

"'?^ J\':

de donde

l0

Al§lg¡Sli La ecrmción es verdadera paracualquieyvalor de x diferente de 0 y l.

Término cu¿rdrático con multi¡llicidadm.

4x3 -- 4x2 +x *-1 = A,x(x -1)' + Ar(, -t)2 +8,x2(x -- l) +Brxz

_ Usted puede desarrollar, agrupando términos de igualpotencia y luego igualar los coeficientes de potencia de igualgrado. Pero, tal vez requiere menos trabajo de cálculo una"variación" del método (ii) aplicado en el ejercicio anterior.

Sustituimos las raices en la ecuación anterior:

x=0 ::¡ A:=1X=l :+ BZ=2

Ahora sustituimos los valores de A, y B, encontrados y dos

valores diferentes de x:

x = ..'1 conduce a 24, + B1 == 7

x=2 conducea Ar+2Bl=5 ;

la solución de este sistema es Ar = 3 y Br = IAsí tenemos:

f4x'¡--4x2+x+1J -;rf-;'; a* = -4x2+-x+1 --....."""...-...'..':-'dx

*:1* - t¡2r{-l¡i '{**.ú,] dx

=, I*0" - Ilo*, Jl];0.*2 IAh.d.

= rlnlxl-++.hlx- rl-- ¿ -*6

c.- Si en la tbctorización de Q(x) aparece un término cuadrático

ax' -f bx * c irreducible (b2 - 4ac > 0 ) con rnultiplicidad m,

entonces para éste térrnino se buscará una descomposición de lafbrma

A¡x +.B1 A2x + 82 Elr,,x +Cn,

u*tu**-6ilTt"'r6.d;I"Ejernplo 1.12

Resorver I_¡#;t d*

De acuerdo a la factorización de a corresponde ladescomposición:

Factorización de Q(x):

Q(x)="6+2*4+*2

= *'(*u + zx? + r)

= *'(t' * rl ,

x = 0 es una raíz con multiplicidad 2

y, x2+l es un término cuadráticoirreducible con multiplicidad 2.

Ahorraremos cálculos. en este ejemplodebido a la cantidad de ecuacioneshornogéneas que se deriban. sidesarrollamos e igualamos loscoeficientes de los términos de igualpoteucia.

Cambio de variable:x=tgu

dx = sec2c d«

Devolución del carnbio:

Gumeiro,/Ría:; Indefi nidas 1'eoria . doc Facult¿d de Ingeniería UCV 21t3/20$2

It

x6 + ?x4 + x2 *r(*, * rf_ Ar -A, -Btx+Cr *Bzx+Ce*--7- l*r - 6,*ry '

que conduce a la ecuación

t = Ar*(x2 *rf *or(t'+tf +1n1*+c1¡*2(*2 +t)+1e2x+Cz)*2

Determinemos las constantes :

I = xs(Ar + B,)+ *o(A, + c,)+ *'(2A, + B, + Br)

+ x' (z.Ar+ cr + cr)* xA, + A,

de donde se obtiene el sistema,A, +Br = 0

Ar*C, =Q

2A., +8, +8, = Q

2Ar+ C, +C, = 0

At=oAz =l

cuya solución es

Ar = 0, Az = l, Bt = 0, Bz = 0' Cr = -1,C2 * -1

dx=jffi*r{r ,___J

"lo.= JL; -.-*l

(x" rt)'I=-i-arctg"-ffi*

Itima integral:

Id;hao= J"o.zud.^FI§4do -- 1o *f ,.n za +cJ2241u."r** *-l--:-! +c2 2J*'+tJx2+l

Asi tenemos:

f_1J*u * 2x4 +x2

Resolución de la ú

[-1--- o* =I r*2 r t\2

J\^ I LI

:

12

-K1

xcosü=_[1-.-.--'seno

{x" +l

Recuerde que:

l=c*RaadondeCyRsoncociente y el resto.

Identidades de ángulo medio:

)ü. l-cosc¿sell- - =

-1u l+cosu

COS- - = ---*

l'r"rr,r, xcos.x dxJ

= ' a"n2m+l**62nr+l

I=:J*2 *t

Poi lo tanto

frt__J*u * 2x4 +x2

1lx=larctsx*- :'- *C', " 1---!,L L

^ -l

dx = -l-larctsx+--]-+C .x 2 2(xr+1)

ff) Si el gyado de P es n ayor o igual que el grado de Q se reduceal coso ilrlerior ditidiendo.

Ejemplo l.13

I$}o* = (* "",1)0. = ; -tsh-l(x) +c

si lxl < t.

1.6.6 Intesrandos trieonométricos

En esta sección evaluaremos integrales cuyos integrandosson potencias o productos de potencias de funcionestrigonométricas.

1.6.6.I Potencias de seno y coseno

Veamos como resolver las integrales

Isenkxdx y J"otoxdx,donde k es un entero positivo mayor que uno.

- Si la potencia es par use las identidades dadas a la izquierdapara bajar el grado de la potencia.

Ejemplo l.L4

J*..,0x dx = I(,*,*f o* = ('-Tt'";'o-= t [|,, -2cos2x *' (t *.or+*ld*4J[ 2' ')

3 1 t2x +!."rr 4x + c= -x - -Sef 32

-Si la potencia es impar usar la identidad sen2 * + cos2 = I para

obtener integrandos de la fortna

"or2"' x sen x o bien ,an2"' aos* que se integran fácilmente.

I ;os-"t r serr r drJ

I .,,,_,s-"'\*Llrtt * I

1atg"Cl - 1= Sec-Cr.

Cotg-ü-1=CSC-C¡

Gu.'neiro Riu in{¿r-uids T e.rir . J.rt Fasuhad de lngenierir 1. C\-

t3

Ejemplo 1.1;5

J.o.'r dx = J.ort xcosx a* = J(1- sen: r)cosr

:-senr-fsen3r-C3

1.6.é.II.- Potencias de la tangente y cotangente

Para las integrales:

con k >l y' entero. se usan las

obtener integrandos de la

cotg"'x csc: x.

Ejemplo 1.16

J.otg'- ¿s = jcotst* (9sc'*-r)a* =..! =

= J(.ots'* csc? x - ct-qx csc2 x - .o,gr)d*lri- --cotg*x + lcotg:x + Ln sen x + C.i"a+L

1.6.6.If[.- Potencias de la secante y cosecante

tsect r dx " [aoraakr dx) , J

- Si n es par se usan las identidades trigonométricas anteriores.

Ejemplo 1.17

Jr".tx dx = j(J*,st *)r..'¿* = ir..tdx -{tg: x sec:x cix

= tgx = 1tgt. * cJ

- Si n es impar se combinan las identidades con integración porpartes.

Ejemplo 1.18

f.or."" ¿x = jcose.* (t*"otg'*)d*

= [.or..* d* -. [cosecx cotgx cotgx dx

Esra última ,. ,.rr.,.,. .on in**roción por partes:

II cotg*x dr.J

identidades de la izquierda para

tbrma tgn'x rec2 * o bien

Jts* " o* ),

1+

'= CoSeCx cotgx \: = -CoSecx

u = cotgx u'= -cosec2x

Se aplica la formula tle integración por partes I' se despeja la

integral:

i.or.." o. = I (Ln cosec* - cotgx - cosecx cotgx)* c .

Fórmulas de reducción

Otra ria alternativa para integrar potencias de funcionestrigonornétricas es a traves de las tórmulas de reducción que se

deducen usando integración por partes, véase a titulo de ejemploel ejercicio resuelto 1.23 donde se deduce la correspondiente

fformula para lsec'' xdx .

J

1.6.6.1Y.- Productos de senos y cosenos de igual argumento

Trataremos ahora las integrales de la forma:

|.r"rr'n xcos" x dxJ

- Si una de las potencias es impar digamos m = 2k + 1:

i r"n t'*t x cos" r dr = J (s"r' x) cos" x sen x d.x

fii -.or'..I.or" " . senx dxt.\ ,

t Potcnciasdr'l cos eno ucnvada lllt enl¿t

= J(.ort x - 2cos+ x + cosu.)sen. d.

= -1.or' r -lcos5 * -l"ort x + c3s7- Si ambas potencias son pares se usan las identidades de

ángulo medio para bajar la potencia:

Ir.n" * coss'' x dr = Í6""'

*)'(.or=|'a*

lf I - cos2x)"/I + cos2x \"' .=Jl = i l, 2 i o*

Ejemplo 1.20

Ejemplo l.l9

_[-.r' r coi xdr =

Jtr -.ort x): cos2 x sen x dx

Identid¡dts:

iclrü, senl-l ={[.o.k -p )- cos{u -§ )]

coso. cosg = ]f.ortu -B ¡- ¡65(¿ *¡t)]

scnrru'osp =][..n{o -p)-sen@ +B}]

j".. k ,. -... :s tg rdx = 1f r..k=l r - c

Gue¡retrRíos I¡rdc1-i¡rjd¿sTer.rir.do.' Fec.uhadde Ingaled¡ LC\: 21 '3 ?002

15

i,*n, \ cos: r dx = Ifl=jr=T= l."

=-1*-lr.n4x*c.8321.6.6.\.'.- Productos de senos y cosenos de argumentos

diferentes

Las integrales de la forma siguiente:

Jt.no* senpx dx ; J..no,, cospx dx : J.oro* cosBx dr

se resuelven pasando a una suma de senos ío cosenos con lasformulas de la izquierda.

Ejemplo 1.21

[r.r1i*¡ sen(6x) = i Jt ".,3x)-cos(er¡]dsJ

= l-sen(3s)

- -! senlsr¡ * 66 18

1.6.6.\1.- Producto de potencias de tangente y secante

i,=** sec" x dx

-Si la potencia de la tangente es impar el integrando se reduce

a suma de términos de la forma seck * secx tgx, en efecto:

Siendo m:2k-1.

l',,t*-' x sec" r ds = fi,*= .I sec'-l x sec x tg x drf - l\- tJA

' = [(s".t * - t] sec"-lx . secxtg\ dx

- P."r"* ..1. *. r* ¡eri,«u i[rnu

Ejemplo 1.22

Jtgt rec'x dx = I(*..'* - r..*)r"cx tgx dx

=1r..**-1se.'+c-Si la potencia de la tangente es par el integrando se reduce apotencias de la secante, en efecto:

Siendo m:2k

f ,-n'* rsec" xdx = I(,*'* -tf secn xdx.

1b

f."t *,i\ : lsec \ tg \ *lt-npec s =tg

Canrbio universal:

u = ts(s/2)

Ejemplo 1.23

[,*t = secx dx = [(r.."- l)secx dx

1 1_= lsecx tgx - it"secx

+tgx] = C .

1.6.6.\itr.- Integrandos racionales,en §eno§ y co§enos. Cambíouniversol

Si el integrando es una función racional de senos

cosenos, este se puede reducir a una función racional con

cambio universal.

ve1

de donde

- 1 rX l( 1i \ r

du = -sec- dx - -: ts- 1+t l¿* = 1{u'+t[x2 2 2q- 2 ) 2'

lue_qo

i. 2 ,lrdX = -;-OUri u'+1 I

Deducimos además que:

^xsec''-=u--l .lue-so2

de donde

! t-u'I:cosx--- .i: l+u-l

z r \if 1 "¿ Iy sen:x=l-i '-i,i luego(l + u'j

r------r;-lisenx:;_:iI l+uJ

Ejemplo 1.24

1." 2u *t-"''"1*rrl ' l+u2

)5dul-rU

1 + cosx rx 1

=cos--=--,2 u'+l

Idx-1* 2senx + cosx

l"l

=Í#*,= itrlt+2ul+c

Carnbio de variable:

t3 =x+9=3t2dt=dx

21t312002

= 1r-nh + z tsrl -u c2 I "21

1.6.7 Intesrales irracionales

Denominamos con este título los itrtegrandos que

contienen radicales. Con un cambio de variable adecuado se

puede convertir los radicales en potencias enteras

Ejemplo 1.25

J" V;-* s a* = J(,' -s),' 3t2 dt = |t' -?;7 t * c

= iG +slis -']G+ e)+r: *. .

7' ' 4'

En un mundo que va tan a prisa y donde las especializaciones se imponen sobre la cultur¿t

general, un instrumento de cálculo que permite obtener un resultado con poco más que presionar un¿l

iecla no deja de ser algo valioso, al menos para los interesados en acompañar al mundo cientifico en su

veloz carrera. Sin embargo desde el punto de vista educativo estos instrumentos de cálculo,

(calculadoras, computadoras y paquetes de calculo) pueden resultar un verdadero espejismo para el

aprendizaje en especial para la adquisición de destrezas de cálculo. Los autores de estas notas

entendemos la necesidad de Que el estudiante sepa manejar con eficiencia estas herramientas, pero a la

vez queremos alertar clue solamente serán útiles para el aprendizaje si el estudiante no intenta.eemplarar las técnicas de resolución de problemas y la adquisición de destrezas por un simple

ciíüculo. Use estos instrumentos como un recurso auxiliar y tenga en cuenta que la habilidad de cálculo

sélo se adquiere con una práctica persistente.

Maple es un poderoso paquete de cálculo que le permitirá comprobar sus cálculos manuales y

obtener comparacionés gráficas en una tbrma rápida y sencilla. Seguidamente presentamos las

instrucciones propias de este capítulo. Se agradece darle un uso educacional eficiente.

TNSTRUCCIONES DE CALCULO EN MAPLE

olntegral indefinida: comandos int e fnt

>int((x),x);(r) : función, x: variabledeintegración.Con el comando Int, Maple escribirá la integral.

Ejemplo:>Int(x^2,x);

Guen'eirolRios hrdefinidas Teoría .doo Facultad de Ingerrieria UCV