Integrales iteradas (1ra parte)

¿?

EN ESTA PRESENTACION SE HABLARA DE INTEGRALES ITERADAS PERO EN INTEGRALES DOBLES, COMO ASÍ

SUS APLICACIONES EN FUNCIONES Y ENCONTRANDO SUS ÁREAS…

PARA ENCONTRAR LA SOLUCION EN UNA INTEGRAL DOBLE, PRIMERO INTEGRAMOS LA INTEGRAL QUE ESTA

EN EL CENTRO CON SU DIFERENCIAL, UTILIZAR LAS FORMULAS DE INTEGRACION DIRECTA, SI LA INTEGRAL

ES DEFINIDA, EVALUARLO CON SUS RESPECTIVOS LIMITES

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

SOLUCION:

INTEGRAMOS PRIMERO CON RESPECTO A “DX” Y LUEGO CON RESPECTO A “DY”:

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦𝑥2

2𝑑𝑦 =

𝑥2

2𝑦 𝑑𝑦 =

𝑥2

2

𝑦2

2+ 𝐶 =

𝑥2𝑦2

4+ 𝐶

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =𝑥2𝑦2

4+ 𝐶

𝑥3𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

SOLUCION:

REALIZAREMOS EL MISMO PROCEDIMIENTO DEL EJEMPLO ANTERIOR:

𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥3 −COS𝑦 𝑑𝑥

= − COS𝑦 𝑥3𝑑𝑥 = −COS𝑦𝑥4

4+ 𝐶 = −

𝑥4 COS 𝑦

4+ 𝐶

𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −𝑥4 COS 𝑦

4+ 𝐶

𝑥2 − 1 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥

SOLUCION:

PARA ESTE TIPO DE CASOS, “Z” YA NO SE DERIVA DEBIDO A QUE NO HAY NINGUNA INTEGRAL QUE SE EVALUE:

𝑥2 − 1 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑧 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑧 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑧 𝑦 𝑥2 − 1 𝑑𝑥

= 𝑧 𝑦 𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑦𝑧 𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑦𝑧𝑥3

3− 𝑥 + 𝐶

𝑥2 − 1 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑧𝑥3

3− 𝑥 + 𝐶

𝑧2𝑙𝑛 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧

SOLUCION:

𝑧2 𝑙𝑛 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑧2 𝑙𝑛 3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑧2 𝑙𝑛 3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑧2 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 − 𝑦𝑑𝑦

3𝑦𝑑𝑧

= 𝑧2 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 − 𝑑𝑦

3𝑑𝑧 = 𝑧2 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 −

𝑦

3𝑑𝑧 = 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 −

𝑦

3 𝑧2𝑑𝑧 = 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 −

𝑦

3

𝑧3

3+ 𝐶

𝑧2 𝑙𝑛 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑦 𝑙𝑛 3𝑦 −𝑦

3

𝑧3

3+ 𝐶

0

1

0

2

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

SOLUCION:

0

1

0

2

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

1

𝑥𝑦 +𝑦2

2

2

0𝑑𝑥 =

0

1

2𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥1

0= 1 + 2 = 3

∴ 0

1

0

2

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 3

0

𝜋

0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥

SOLUCION:

0

𝜋

0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0

𝜋

𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥

0𝑑𝑥 =

0

𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =

= −𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝑠𝑒𝑛2𝑥

2]𝜋

0= −𝑐𝑜𝑠 𝜋 +

𝑠𝑒𝑛2𝜋

2− −𝑐𝑜𝑠 0 +

𝑠𝑒𝑛20

2= − −1 + 0 − −1 + 0

= 1 + 1 = 2

∴ 0

𝜋

0

𝑠𝑒𝑛 𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2

−4

4

0

𝑥2

64 − 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑥SOLUCION:

−4

4

0

𝑥2

64 − 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑥 = −4

4

𝑦 64 − 𝑥3𝑥2

0𝑑𝑥 =

−4

4

𝑥2 64 − 𝑥3 𝑑𝑥

= −1

3 −4

4

64 − 𝑥3 −3𝑥2𝑑𝑥 = −1

3 −4

4

64 − 𝑥312 −3𝑥2𝑑𝑥 = −

1

3

64 − 𝑥332

32

4

−4

= −2

964 − 𝑥3

324

−4= −2

964 − 43

32 − 64 − −4 3

32 = −

2

90 − 128

32 =2

9128

32

−4

4

0

𝑥2

64 − 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑥 =2

9128

32

0

2

0

4−𝑦2 2

4 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦

SOLUCION:

0

2

0

4−𝑦2 2

4 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 =

0

2 2

4 − 𝑦2𝑥4 − 𝑦2

0𝑑𝑦 =

0

2 2

4 − 𝑦24 − 𝑦2 𝑑𝑦

= 0

2

2𝑑𝑦 = 2 0

2

𝑑𝑦 = 2𝑦2

0= 2 2 − 0 = 2 2 = 4

∴ 0

2

0

4−𝑦2 2

4 − 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 4

RECORDANDO LAS INTEGRALES IMPROPIAS

𝑎

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = LIM𝑚→∞ 𝑎

𝑚

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

−∞

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = LIM𝑛→−∞

𝑛

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

−∞

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = LIM𝑚→∞

LIM𝑛→−∞

𝑛

𝑚

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

1

∞

0

1𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

SOLUCION:

1

∞

0

1𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =

1

∞ 𝑦2

2

1𝑥0𝑑𝑥 =

1

∞1

2

1

𝑥2− 0 𝑑𝑥 =

1

2 1

∞ 1

𝑥2𝑑𝑥 =

1

2LIM𝑚→∞ 1

𝑚 1

𝑥2𝑑𝑥

=1

2LIM𝑚→∞ 1

𝑚

𝑥−2𝑑𝑥 =1

2LIM𝑚→∞

−𝑥−1𝑚

1=1

2LIM𝑚→∞

−𝑚−1 + 1−1 =1

2LIM𝑚→∞

−1

𝑚+ 1 =

1

2−1

∞+ 1

=

1

20 + 2 =

1

2= 𝐸𝑆 𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸𝑁𝑇𝐸

∴ 1

∞

0

1𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =

1

2= 𝐸𝑆 𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸𝑁𝑇𝐸

1

∞

1

∞ 1

𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

SOLUCION:

1

∞

1

∞ 1

𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 =

1

∞

LIM𝑚→∞ 1

𝑚 1

𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 =

1

∞

LIM𝑚→∞

1

𝑦𝑙𝑛 𝑥𝑚

1𝑑𝑦

= 1

∞

LIM𝑚→∞

1

𝑦𝑙𝑛 𝑚 − 𝑙𝑛 1 𝑑𝑦 =

1

∞ 1

𝑦𝑙𝑛 ∞ − 𝑙𝑛 1 𝑑𝑦 =

1

∞ 1

𝑦∞ − 0 𝑑𝑦

= 1

∞ 1

𝑦∞ 𝑑𝑦 = ∞

1

∞

1

∞ 1

𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∞ = 𝐸𝑆 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸𝑁𝑇𝐸

BIBLIOGRAFIAS

• LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS, “CALCULO DE VARIAS VARIABLES-MATEMATICAS 3”, EDITORIAL MC

GRAW HILL, 2009, 352 PAGS.

• W. SWOKOWSKI, EARL, “CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”, SEGUNDA EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.