Integrales

La Integral de Riemann

Facilitadora:Ing. Formocina Rivero

Punto Fijo; Abril de 2010

Universidad Nacional Experimental Francisco de MirandaÁrea de Tecnología. Departamento de Física y Matemática

UUNNEEFFMM

Coro Edo. Coro Edo. FalcónFalcón

Universidad Nacional Experimental Francisco de MirandaÁrea de Tecnología. Departamento de Física y Matemática

UUNNEEFFMM

Coro Edo. Coro Edo. FalcónFalcón

Objetivo Didáctico:

Al finalizar la unidad el estudiante será capaz de resolver problemas matemáticos en donde use como herramienta la integral definida.

Contenidos

Integral de RiemannPropiedades de la Integral de Riemann Teorema Fundamental del CálculoTécnicas de Integración La Integral como límiteIntegrales Impropias

Departamento de Física y Matemática

Introducción

UUNNEEFFMM

PropiedadesPropiedades

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

Teorema Fundamental

Teorema Fundamental

Técnicas de Integración


La Integral Como LímitesLa Integral

Como Límites

Integral de Riemann

Integral de Riemann

Integrales Impropias Integrales Impropias

Por los cursos tomados en Física de Bachillerato: La parte correspondiente a CINEMÁTICA

taVotV )( 2

2

1tatVod

22s

ma smVo 1

ttV 21)(

Tiempo (t) Distancia (d) Área

1 2 2

2 6 6

3 12 12

4 20 20

h

BB menorMayortrapecio .

2)(

2ttd

BM

Bm

h


Integral de Riemann

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Integral de Integral de RiemannRiemannIntegral de Integral de RiemannRiemann

Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites

IntroducciónIntroducción


Definición: Si I: [a,b] es un intervalo cerrado acotado en R, entonces una partición de I se escribe:

Definición: Si I: [a,b] es un intervalo cerrado acotado en R, entonces una partición de I se escribe:

nxxxxP ,....,,: 210

bxxxxxa nn 1210 ....

10 , xx 21, xx ,....,,1 kk xx nn xx ,1

Un conjunto finito y ordenado tal que:Un conjunto finito y ordenado tal que:

0xa 1x 2x 1kx kx 1nx bxn

Subintervalos no traslapados:Subintervalos no traslapados:


Integral de Riemann

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Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



Si es una función acotada, y si P es una partición cualquiera de I, para k = 1, 2, 3, …, nSi es una función acotada, y si P es una partición cualquiera de I, para k = 1, 2, 3, …, n

RIf :

kkk xxxxfInfm ,, 1 kkk xxxxfSupM ,, 1

n

k kkk xxmfPL1 1,

n

k kkk xxMfPU1 1,

Se define:

Por otra parte, se define:


Integral de Riemann

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Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



La función f es positiva: La función f es positiva:

fPUfPL ,,

Suma InferiorSuma Inferior fPL , Suma Superior

Suma Superior

fPU ,

Área de unión de los rectángulos de baseÁrea de unión de los rectángulos de base )( 1 kk xx

Y altura Y altura km

Área de unión de los rectángulos de baseÁrea de unión de los rectángulos de base )( 1 kk xx

Y altura Y altura kM


Integral de Riemann

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Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



Definición: Se dice que Q es un refinamiento de la partición P, cuando Q tiene todos los puntos de P y otros más.

Si Q es refinamiento de P, se cumple las siguientes afirmaciones:

Definición: Se dice que Q es un refinamiento de la partición P, cuando Q tiene todos los puntos de P y otros más.

Si Q es refinamiento de P, se cumple las siguientes afirmaciones:

fPUfQU ,,


Integral de Riemann

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Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



Lema: Si Q es un refinamiento de P, entoncesLema: Si Q es un refinamiento de P, entonces

),(),(

,,

fPUfQU

fQLfPL

fQLfPL ,,


Integral de Riemann

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Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



Definición de Integral de Riemann:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Se dice que f es Riemann integrable en I si: L(f) = U(f). En este caso se dice que la integral de Riemann toma el valor: L(f) = U(f), y este número por lo general, se representa por:

Definición de Integral de Riemann:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Se dice que f es Riemann integrable en I si: L(f) = U(f). En este caso se dice que la integral de Riemann toma el valor: L(f) = U(f), y este número por lo general, se representa por:

b

a

b

a

dxxff )(

Se tiene además que:Se tiene además que:

a

b

b

a

ff 0a

a

f

La función constante es IntegrableLa función constante es Integrable

EJEMPLO 1:

Definición:Sea I:= [a,b] y sea f: I→ R acotada en I. Entonces la integral inferior de f en I es el número:

)(),,()( IpPfPLSupfL La integral superior de f en I es el número: )(),,()( IpPfPUInffU

y


Propiedades de la Integral de Riemann

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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Propiedades Propiedades Propiedades Propiedades

Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



TEOREMA 1:Sea I: [a,b] y sea f,g: I → R integrables en I, sea , entonces, las funciones: y son integrables en I con:

TEOREMA 1:Sea I: [a,b] y sea f,g: I → R integrables en I, sea , entonces, las funciones: y son integrables en I con:

Rkfk gf

b

a

b

a

fkkfi) b

a

b

a

b

a

gfgfii)

TEOREMA 2:Sea I: [a,b] y sea f: I → R integrable en I, si entonces

TEOREMA 2:Sea I: [a,b] y sea f: I → R integrable en I, si entonces

Ixxf 0)(

Ixfb

a

0


Propiedades de la Integral de Riemann

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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Propiedades Propiedades Propiedades Propiedades

Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Como Límites



Corolario:Sea I: [a,b] y sea f y g: I → R integrables en I, si entonces:

Corolario:Sea I: [a,b] y sea f y g: I → R integrables en I, si entonces:Ixxgxf )()(

Ixgfb

a

b

a

DEMOSTRACIÓN


Teorema Fundamental del Cálculo

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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Teorema Teorema FundamentalFundamental






Como Límites



Teorema Fundamental del Cálculo TFC

Evaluar Integrales Definidas

EvaluarSin usar

Riemann

Para lo cual

Antiderivada y EVALUAR

ANTIDERIVADALa función F se le llama ANTIDERIVADA (primitiva) de una función f en un intervalo I, se si cumple que:

)()(' xfxF TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOSi f es continua en todos los puntos de [a,b] y F cualquier ANTIDERIVADA de f en [a,b], entonces:

b

a

aFbFdxxf )()()(

EJEMPLO 2

Resolvamos las siguientes integrales. Resolvamos las siguientes integrales.

0

cos) xdxa

1

0

2) dxxb

EJEMPLO 3

(Determinemos el área usando antiderivadas)Calcular el área acotada por el eje X y la parábola (Determinemos el área usando antiderivadas)Calcular el área acotada por el eje X y la parábola

24 xy

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Integral de Riemann

Integral de Riemann







Como Límites





Área entre curvas (A)Área entre curvas (A)

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Integral de Riemann

Integral de Riemann







Como Límites





b

a

b

a

b

a

gfgfA )(

b

a

c

b

hfgfA )()(



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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Técnicas de Técnicas de IntegraciónIntegraciónTécnicas de Técnicas de IntegraciónIntegración


Teorema Fundamental

Teorema Fundamental


Como Límites




Procedimientos para cambiar integrales no conocidaspor integrales que podemos reconocer en una tabla o

evaluar por computadora

Sustitución oCambio de variables

Integración Por

Partes

Sustitución Trigonométrica

Fracciones Parciales

Se agrupan en 4 técnicas

duufdxxgxgf )()('))(( vduuvudv



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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Técnicas de Técnicas de IntegraciónIntegraciónTécnicas de Técnicas de IntegraciónIntegración


Teorema Fundamental

Teorema Fundamental


Como Límites



EJEMPLO 4

Resolvamos las siguientes integrales

dxxxa102 )1)(2()

dxxeb x)


La Integral Como Límites

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Integral de Riemann

Integral de Riemann

La IntegralLa Integral Como LímitesComo Límites



Teorema Fundamental

Teorema Fundamental

Técnicas de IntegraciónTécnicas de Integración



Sumas de Riemann

Definición:Sea I:=[a,b] y sea acotada en I, si es una partición cualquiera de I y si son números tales que para K= 1,2,….,nEntonces la suma: Se conoce como Suma de Riemann de f correspondientes a una partición P y puntos intermedios

RIf : nxxxP ,.....,, 10

n ,....,, 10

kkk xx 1

n

kkkk xxffPS

11))((),(

3

3f

x

k



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Integral de Riemann

Integral de Riemann




Teorema Fundamental

Teorema Fundamental




Definición:Integral Definida

Sea f una función que ha sido definida en un intervalo cerrado [a,b]. Si existe

Se dice que f es integrable en [a,b]. Además la llamada integral definida (o integral de Riemann) de f entre a y b es el valor

n

kkkk

PxxfLim

11

0))((

n

kkkk

P

b

a

xxfLimdxxf1

10

))(()(


Integrales Impropias

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Integral de Riemann

Integral de Riemann

Integrales Integrales ImpropiasImpropiasIntegrales Integrales ImpropiasImpropias


Teorema Fundamental

Teorema Fundamental





i) El dominio de integrando en [a,b] debe ser finito ii) El rango del integrando sea finito en este dominio

<< Si estas condiciones no se cumplen, entonces la integral es impropia>>

Resolvamos la siguiente integral:

1

12

1dx

xSe podría pensar que la soluciòn es:

2111

1

1

1111

1

1

12

xdx

x

Por lo tanto:



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Integral de Riemann

Integral de Riemann



Teorema Fundamental

Teorema Fundamental





CASO 1: (Límites de Integración Infinitos)Definición:

-Si f(x) es continua en , entonces:



Dónde c es cualquier número real

),[ a

b

ab

dxxfLimdxxf )()(0

],( b

b

a

b

adxxfLimdxxf )()(

),(

0

0

)()()( dxxfdxxfdxxf

Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropia

CONVERGE y que el límite es el valor de la integralImpropia. Si el límite no existe, la integral impropia

DIVERGE



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Integral de Riemann

Integral de Riemann



Teorema Fundamental

Teorema Fundamental





Resolvamos la siguiente integral

0

) dxea x

EJEMPLO 5



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Integral de Riemann

Integral de Riemann



Teorema Fundamental

Teorema Fundamental





CASO 2: Integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto Dentro del intervalo de integración



-Si f(x) es discontinua en C dónde a < c < b y continua en -, entonces:

],( ba

b

c

b

aac

dxxfLimdxxf )()(

),[ ba

c

a

b

abc

dxxfLimdxxf )()(

],(),[ bcca

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Si el Límite es “finito” decimos que la integral impropiaCONVERGE y que el límite es el valor de la integral

Impropia. Si el límite no existe, la integral impropia DIVERGE



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Integral de Riemann

Integral de Riemann



Teorema Fundamental

Teorema Fundamental





1

02

)x

dxa

EJEMPLO 6

Departamento de Física y Matemá[email protected]

TODO A SU TIEMPO

• Hay un tiempo para cada cosa, y un momento para hacerla bajo el cielo.• Hay tiempo de nacer y tiempo para morir; tiempo para plantar y tiempo para arrancar lo plantado.• Un tiempo para llorar y otro para reir, un tiempo para los lamentos y otros para las danzas-• Un tiempo para buscar y otro para perder, un tiempo para callarse y otro para hablar.• Me puse a considerar los varios centros de interés que Dios presenta a los hombres, y noté lo siguiente:

“EL HACE QUE CADA COSA LLEGUE A SU TIEMPO, PERO TAMBIÉN INVITA A MIRAR EL CONJUNTO, Y NOSOTROS NO SOMOS

CAPACES DE DESCUBRIR EL SENTIDO GLOBAL DE LA OBRA DE DIOS, DESDE EL COMIENZO HASTA EL FIN”

Eclesiastés 3:1-11

Gracias Dios

Departamento de Física y Matemá[email protected]

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