INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

INTEGRALEINDEFINITODIUNAFUNZIONECOMPOSTA

1

Integrale di:

Funzione Composta*Derivata[argomento]

Metodo di sostituzione

2

FunzioneComposta*Derivata[argomento]

[ f (x)]n i f ' (x)dx∫ =[ f (x)]n+1

n +1+ c

f '(x)f (x)

dx∫ = ln | f (x) | +c

cos f (x)i f ' (x)dx∫ = senf (x) + c e f (x )i f ' (x)dx∫ = e f (x ) + c

senf (x)dx∫ i f ' (x)dx = − cos f (x) + c

g[ f (x)]• f '(x)dx∫ = G( f (x)) + c

L’integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento] è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna

FunzComposta Derivata[funzInterna] PrimitivaFunzEsterna

argomento g=funzEsterna

3

D[FunzInterna] Primitiva FunzEsterna

Integraledi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”

[ f (x)]n • f '(x)dx∫ =[ f (x)]n+1n+1 + c

(7x +1)3 ⋅ 7dx∫ =

(7x +1)3 ⋅ 7dx∫ = =(7x +1)4

4+ c

f f’

f’ f

(2x + 4)5 ⋅2dx∫ =

(2x + 4)5 ⋅2dx∫ = =(2x + 4)6

6+ c

funzInterna f=7x+1 calcolo f’=7*1+0=7

funzInterna f=2x+4 calcolo f’=2*1+0=2

1) Primitiva f.Esterna Potenza

Primitiva f.Esterna Potenza

C’E’

C’E’

2)

1-Funzione Esterna

POTENZA argomento

(8x + 3)5 dx∫ =

=18(8x + 3)5 ⋅8dx∫ =

18(8x + 3)5 ⋅8dx∫ =

18(8x + 3)6

6=(8x + 3)6

48+ c

4

Se la derivata dell’argomento f’ non c’è nel testo devo inserirla moltiplicando e dividendo per un numero opportuno.

f’ divido e moltiplico per 8

funzInterna f=8x+3 --> f ‘= 8*1+0=8 : 3) NON C’E’

C’è x Manca 2 (x2 +1)3 ⋅ xdx∫ =

=12(x2 +1)3 ⋅2xdx∫ ==

12(x2 +1)3 ⋅2xdx∫ ==

12(x2 +1)4

4=(x2 +1)4

8+ c

4) funzInterna f =x2+1 --> f ‘= 2x

f’ divido e moltiplico per 2


1-Funzione Esterna

POTENZA

argomento

argomento

5

DerivataFunzInterna PrimitivafunzEsterna


88x −1

⋅dx∫

=1

8x −1⋅8dx∫ = = ln | 8x −1 | +c

6x3x2 +1

⋅dx∫

=1

3x2 +1⋅6xdx∫ = = ln | 3x2 +1 | +c

f '(x)f (x)

dx∫ =1f (x)

• f '(x)dx∫ = ln | f (x) | +c2- Funzione esterna 1/f(x)

1/f f’

1/f

1)

2)

f =8x-1 --> f ‘= 8*1+0=8 :

Primitiva funzEsterna

1/f(x)

f =3x2+1 --> f ‘= 3*2x+0=6x :

f’


1/f(x)

C’E’

C’E’

argomento

6

Integralidi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”

xx2 + 3

dx∫ =

=12

2xx2 + 3

idx =∫12⋅

1x2 + 3

i2xdx =∫ =12⋅ ln(x2 + 3) + c

x2 +1x3 + 3x

dx∫

=133(x2 +1)x3 + 3x

idx =∫13

1x3 + 3x

i(3x2 + 3)dx =∫ =13ln | x3 + 3x | +c

f '(x)f (x)

dx∫ =1f (x)

• f '(x)dx∫ = ln | f (x) | +c

Negli esempi seguenti la derivata dell’argomento f’ non è presente nel testo: devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno

1/f f’

3)

4)

f’ 1/f

f interna f=x2+3 --> f’= 2*x+0=2x :


1/f(x)

f.interna =x3+3x --> f ‘= 3x2+3 =3(x2+1)

2- Funzione esterna 1/f(x)

Divido e moltiplico per 2

Divido e moltiplico per 3 Primitiva fEsterna

1/f(x)

C’E’ la x manca 2

manca 3

7

e− x ⋅dx∫ =

= − e− x ⋅ (−1) ⋅dx∫ = − e− x ⋅ (−1) ⋅dx∫ = −e− x + c

x ⋅ ex2

⋅dx∫ =

=12

ex2

⋅2x ⋅dx∫ =12

ex2

⋅2x ⋅dx∫ =12ex

2

+ c

DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna


3-Funzione esterna Esponenziale

3 ⋅ e3x dx∫ = e3x ⋅ 3dx∫ = = e3x + cf f’

Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna ( in questo caso è l’esponente) f’ non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare/dividere per un numero opportuno

e f (x )i f '(x)dx∫ = e f (x ) + c

argomento

f interna=esponente f=-x --> f ‘= -1 :

NON C’E’

Divido/moltiplico per -1

f interna=esponente f=x2 --> f ‘= 2x :

C’E’ la x manca 2

Divido/moltiplico per 2

f’

f’

8

DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna


3cos(3x − 4)dx∫ = cos(3x − 4)i3dx =∫ = sen(3x − 4) + c

cos4x ⋅dx∫ = =14cos4xi4dx =∫

14cos4xi4dx∫ =

14sen4x + c

cos(2x + 3) ⋅dx∫ = =12cos(2x + 3)i2dx∫ ==

12sen(2x + 3) + c

cos f (x)• f '(x)dx∫ = senf (x) + c4-Funzione esterna coseno

Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna f’ non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno

f f’

Molt/div per 4

Molt/div per 2

Calcolo integrale Primitiva della funzEsterna coseno

argomento

f’

f’

f’=4 non c’è

f’=2 non c’è

f’=3 c’è

9

METODO DI SOSTITUZIONE

g[ f (x)]dx∫

(*) DIFFERENZIALE dx è una operazione che si svolge: calcolando la derivata prima e moltiplicando per dt • Esempi: se x=3t+5 Differenziale : dx=(3*1+0)dt dx=3dt se x=t2-3 Differenziale : dx=(2t-0)dt dx=2tdt se x=5t2+7t Differenziale : dx=(10t+7)dt

Pongo argomento=t cioè f(x)=t --> ricavo x e calcolo differenziale dx. (*) Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo. Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t.

g=funzioneEsterna f= funzInterna o argomento

funzioni composte

10

1 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE

(t)4 15dt = 1

5t 4 dt =∫∫

= 15t 5

5 = t 5

25

= (5x + 2)5

25+ c

(5x + 2)4 ⋅dx∫ =

RI-sostituisco f(x) al posto di t

Ricavo x

Calcolo Differenziale

Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli

Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo

Pongo f(x)=t 5x + 2 = t

5x = t − 2→ x = 15t − 25

dx = 15⋅1+ 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1

5dt

Funzione esterna Potenza

11


cos ti13dt = 1

3cos t dt =∫∫

= 13sent =

= 13sen(3x −1)+ c

cos(3x −1) ⋅dx∫ =Ricavo x



3x −1= t

3x = t +1→ x = 13t + 13

dx = 13⋅1+ 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1

3dt

Pongo f(x)=t



Funzione esterna Coseno

12


2t⋅ 17dt = 2

71tdt =∫∫

= 27ln | t | =

= 27ln | 7x − 3 | +c

27x + 3

⋅dx∫ =Ricavo x



Pongo f(x)=t 7x + 3 = t

7x = t − 3→ x = 17t − 37

dx = 17⋅1+ 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1

7dt

Ottengo un integrale immediato1/t nella variabile t : lo calcolo


Funzione esterna 1/f(x)

13


(t)3 ⋅(12t + 12) ⋅ 12dt = (1

2t 4 + 1

2t 3 ) ⋅ 1

2dt =∫∫

= 14t 4 + 1

4t 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ dt =∫

= 14it 5

5+ 14t 4

4= t 5

20+ t

4

16=

= (2x −1)5

20+ (2x −1)

4

16+ c

(2x −1)3 ⋅ x ⋅dx∫ =


Differenziale

Ricavo x

f(x)=t 2x −1 = t

2x = t +1 → x =t2+12

→ x =12⋅ t +

12

→ dx =12⋅1+ 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟dt→ dx =

12dt

integrale immediato in t: lo calcolo


Funzione esterna Potenza

14


t ⋅ 29t dt = 2

9t 2 dt =∫∫

= 29⋅ t3

3 = 2t 3

27=

= 2( 9x + 7)3

27=2 (9x + 7)3

27+ c

(9x + 7) ⋅dx∫ = Conviene porre =t tutta la radice!

9x + 7 = t → 9x + 7 = t 2

x = t2

9− 79x = 1

9t 2 − 7

9

dx = 19⋅2t − 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅dt dx = 2

9t ⋅dt


Differenziale

Ricavo x

f(x)=t



Funzione esterna Radice Quadrata

RegoladiintegrazionePERPARTI

Si applica per calcolare l’integrale del prodotto fra due funzioni

16

f (x) ⋅ g '(x) ⋅dx∫ = f (x) ⋅ g(x) − f '(x)∫ ig(x)dx

x ⋅ ex ⋅dx∫ = x ⋅ ex − 1 ⋅∫ ex idx = xex − ex + c

REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo: •  Una funzione si chiama FattorFinito f(x) à si deve derivare trovando f’(x) •  L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx àsi deve integrare: trovo primitiva g(x)

NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare

xnex dx∫ xn ⋅cos x ⋅dx∫ xn ln x ⋅dx∫ =

ff fd

ff fd

ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)

ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)

17

f (x) ⋅g'(x) ⋅dx∫ = f (x) ⋅g(x)− f '(x)∫ !g(x)dx

x ⋅ cos x ⋅dx∫ = xisenx − 1 ⋅ senx ⋅dx∫ = xisenx − (− cos x) = xisenx + cos x + c

ln x ⋅dx∫ = ln x ⋅1 ⋅dx∫ = ln xix − 1x∫ ix ⋅dx = x ln x − 1∫ ⋅dx = x ln x − x + c

x ln x ⋅dx∫ = ln x ⋅ x ⋅dx∫ = ln xi x2

2−

1x∫ ix2

2⋅dx =

x2

2ln x − x∫ dx =

x2

2ln x − x2

2+ c

REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI

ff

ff

fd

fd

fd

ff fd ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)

ff

Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito

INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

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