El proceso de integración LA INTEGRAL DEFINIDA Area bajo la curva Discusión #3 Jonathan L.
Integral definida 01_2014
Oct 19, 2014
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Transcript
El proceso de
integración
LA INTEGRAL DEFINIDA
Area bajo la curva
Discusión #3 Jonathan L.
AREA BAJO LA CURVA DE
UNA FUNCIÓN
Considérese una función f(x) finita, continua y positiva en todo punto de algún intervalo [a,b].
Sea R la región limitada por la curva de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.
¿Cuál es el valor del área de la Región R [área bajo la curva de la función f(x)]?
AREA BAJO LA CURVA
Restringiendo a f(x) como una función
creciente:
AREA BAJO LA CURVA...
Es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el valor del área del rectángulo de altura f(a) y base dada por (b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región R).
También es posible aproximar el valor del área de la región R mediante el área del rectángulo de altura f(b) y base dada por (b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la región R).
AREA BAJO LA CURVA...
][*)]([
1
abaf
AAR
][*)]([
1
abbf
AAR
][*)]([
1
abaf
AAR
][*)]([
1
abbf
AAR
A1
A1
AREA BAJO LA CURVA...
Podemos mejorar la aproximación
dada en el proceso anterior,
considerando en lugar de uno, ahora
DOS rectángulos de igual base
inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
2
1
21
*))1((
]2
[*)]2
([]2
[*)]([
i
ii
R
xxiaf
ababaf
abaf
AAA
A1 A2
AREA BAJO LA CURVA...
Podemos mejorar aún más la
aproximación dada en el proceso
anterior, considerando en lugar de
dos, ahora TRES rectángulos de igual
base inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
A1 A2 A3
3
1
321
*))1((
]3
[*)]3
2([]3
[*)]3
([]3
[*)]([
i
ii
R
xxiaf
ababaf
ababaf
abaf
AAAA
AREA BAJO LA CURVA...
Considerando un gran número (n) de
rectángulos inscritos en la región R es
posible mejorar aún más la
aproximación del área de la región R
y esto nos conduce a lo siguiente:
AREA BAJO LA CURVA...
][*)])1(([
*))1((
][*)]2([][*)]([][*)]([
1
321
n
ab
n
abnaf
xxiaf
n
ab
n
abaf
n
ab
n
abaf
n
abaf
AAAAA
n
i
ii
nR
A1 . . . An
AREA BAJO LA CURVA...
Es claro que esta aproximación puede
ser cada vez mejor entre mayor sea el
número de rectángulos considerados
pero será igual sólo considerando el
valor límite cuando el número de
rectángulos sea infinito. Así:
n
i
iiR xfn
LimA
1
)(
AREA BAJO LA CURVA...
¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar rectángulos INSCRITOS a la región consideramos rectángulos CIRCUNSCRITOS?
¿De qué manera cambia lo descrito hasta ahora si en lugar de considerar una función CRECIENTE consideramos una función DECRECIENTE?
Aplicaciones de la
integral definida
AREA ENTRE CURVAS
Discusión #3 Jonathan L.
INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función definida en un
intervalo cerrado [a,b]. Entonces la
integral definida de f desde un valor a
hasta un valor b, denotada por
se define como:
dxxf
b
a
)(
k
n
k
k
b
a
xxfP
Limdxxf
)(0
)(1
*
TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
Sea f continua en [a,b] y F cualquier
función para la cual F´(x)=f(x).
Entonces:
)()()( aFbFdxxf
b
a
AREA BAJO LA CURVA Y
AREA ENTRE CURVAS
Si f es una función
continua no
negativa en [a,b],
entonces, como ya
se ha visto, el área
bajo la gráfica de f
en el intervalo es:
dxxfA
b
a
R )(
AREA ENTRE CURVAS…
Supóngase ahora que f(x)<0 para toda x en
[a,b], como se muestra en la figura.
AREA ENTRE CURVAS…
Como –f(x)>0, se
define que el área
limitada por la
gráfica de y=f(x) y
el eje x, desde x=a
hasta x=b es igual
al área limitada por
la gráfica de y=-f(x),
el eje x desde x=a
hasta x=b.
b
a
b
a
dxxfdxxfA )()(
AREA ENTRE CURVAS…
Lo anterior nos conduce a lo siguiente:
Si y = f(x) es continua en [a,b], entonces el
área limitada por su gráfica en el intervalo y
el eje x está dado por:
b
a
dxxfA )(
AREA ENTRE CURVAS…
Lo expuesto anteriormente es un caso particular del problema más general de determinar en área de la región comprendida entre dos gráficas.
El área bajo la gráfica de una función no negativa continua y=f(x) en [a,b], es el área de la región comprendida entre su propia gráfica y la de la función y=0 (eje x) de x=a a x=b.
AREA ENTRE CURVAS…
Supóngase que y=f(x) y y=g(x) son
continuas en [a,b] y que f(x)>g(x) para
toda x en el intervalo
AREA ENTRE CURVAS…
En general se tiene la siguiente
definición:
Sean f(x) y g(x) dos funciones
continuas en un intervalo [a,b].
Entonces, el área de la región
comprendida entre sus gráficas en el
intervalo está dada por:
b
a
dxxgxfA )]()([
PROBLEMAS
Obtener el valor del área limitada por las
gráficas de:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
2xyyxy
4
5,
4
)cos()(
en
xyyxseny
2212 xyyxy
]3,0[
)3)(2)(1( xxxy
63 2 xyyx
)1()1(4 22 xyyxy
PROBLEMAS
Determinar el valor del área limitada
por la gráfica de la función, el eje x y
las rectas indicadas usando para ello la
suma de las áreas de los rectángulos
indicados:
1)(.1 2 xxf x=2, x=3, Rectángulos inscritos
310)(.2 xxf x=1, x=2, Rectángulos circunscritos
22)(.3 xxf x=3, x=6, Rectángulos circunscritos
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