Integración por sustitución e integración por series

Andrea Noemí Villalobos Camacho

Andrea Jerónimo Fraga

María Alejandra Morales Martínez

Integración por sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dostérminos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo:

1.

Cambios de variables usuales

1.

2.

3.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un

mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado almínimo común múltiplo de los índices.

6. Si es par:

4.

7. Si no es par:

2.

3.

4.

5.

Integración por partes El método de integración por partes está basado en la derivada de un

producto de funciones como se muestra a continuaciónd(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funcionesque se multiplican entre si.∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du (se integra en ambos lados de la fórmula)

(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de la integración porpartes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dospartes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar laoperación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y sedebe realizar de la siguiente manera

1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil deintegrar,

2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa(funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar lasfunciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Lasfunciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas detrabajar.

Una de las reglas para saber si el procedimiento realizado es correcto la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad.

Ejemplo

Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.

Ejemplo 2

La siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partesdirectamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Alobservar que la función exponencial en su exponente genera unaderivada y que esta debe estar dentro de la integral.

El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puestoque reaparece la original y debe despejarse como se demuestraa continuación:

3.

4.

5.