INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Mediante el recurso de la descomposición en fracciones simples, el proceso de integración de funciones racionales se puede simplificar notablemente. EJERCICIOS DESARROLLADOS 7.1.-Encontrar: 2 9 dx x − ∫ Solución.- Descomponiendo el denominador en factores: 2 9 ( 3)( 3) x x x − = + − , Como los factores son ambos lineales y diferentes se tiene: 2 1 9 3 3 A B x x x = + − + − , de donde: 2 1 9 x − 3 A x = + 3 B x + − 1 ( 3) ( 3)( ) 1 ( ) (3 3 ) A x Bx A Bx A B ⇒ = − + + ∗⇒ = + +− + Para calcular las constantes A y B, se pueden identificar los coeficientes de igual potencia x en la última expresión, y se resuelve el sistema de ecuaciones dado; obteniendo así los valores de las constantes en referencia (método general) luego: 0 3 3 0 1 6 1 6 3 3 1 3 3 1 A B A B B B A B A B + = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + = − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , además: 1 0 6 A B A B A + = ⇒ =− =⇒ =− También es frecuente usar otro mecanismo, que consiste en la expresión () ∗ Sustituyendo a x por los valores que anulen los denominadores de las fracciones: 1 3 1 6 6 x B B = ⇒ = ⇒ = 1 3 1 6 6 x A A =− ⇒ =− ⇒ =− Usando cualquier método de los señalados anteriormente, se establece que: 2 1 1 1 6 6 9 3 3 x x x − = + − + − , Luego se tiene: 2 1 1 1 1 3 3 9 6 3 6 3 6 6 dx dx dx x x c x x x η η =− + =− + + − + − + − ∫ ∫ ∫ A A ( ) 1 3 3 6 x x c η η = − − + + A A
34
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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Mediante el recurso de la descomposición en fracciones simples, el proceso de integración de funciones racionales se puede simplificar notablemente.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
7.1.-Encontrar: 2 9dx
x −∫Solución.- Descomponiendo el denominador en factores: 2 9 ( 3)( 3)x x x− = + − , Como los factores son ambos lineales y diferentes se tiene:
2
19 3 3
A Bx x x
= +− + −
, de donde:
2
19x − 3
Ax
=+ 3
Bx
+−
1 ( 3) ( 3)( ) 1 ( ) ( 3 3 )A x B x A B x A B⇒ = − + + ∗ ⇒ = + + − +
Para calcular las constantes A y B, se pueden identificar los coeficientes de igual potencia x en la última expresión, y se resuelve el sistema de ecuaciones dado; obteniendo así los valores de las constantes en referencia (método general) luego:
0 3 3 0 16 1 63 3 1 3 3 1A B A B
B BA B A B+ = + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = − + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , además:
10 6A B A B A+ = ⇒ = − =⇒ = −
También es frecuente usar otro mecanismo, que consiste en la expresión ( )∗ Sustituyendo a x por los valores que anulen los denominadores de las fracciones:
13 1 6 6x B B= ⇒ = ⇒ =
13 1 6 6x A A= − ⇒ = − ⇒ = −
Usando cualquier método de los señalados anteriormente, se establece que:
2
1 11 6 69 3 3x x x
−= +
− + −, Luego se tiene:
2
1 1 1 13 39 6 3 6 3 6 6
dx dx dx x x cx x x
η η= − + = − + + − +− + −∫ ∫ ∫
( )1 3 36
x x cη η= − − + +
Respuesta: 2
1 39 6 3
dx x cx x
η −= +
− +∫
7.2.-Encontrar: 2 7 6dx
x x+ −∫Solución.- Sea: 2 7 6 ( 6)( 1)x x x x+ + = + + , factores lineales y diferentes; luego:
2
17 6 6 1
A Bx x x x
= ++ + + +
,
De donde: 1 ( 1) ( 6)( ) 1 ( ) ( 6 )A x B x A B x A B= + + + ∗ ⇒ = + + + , calculando las constantes A y Bpor el método general, se tiene:1 ( ) ( 6 )A B x A B= + + +
0 0 15 1 56 1 6 1A B A B
B BA B A B+ = − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , además:
10 5A B A B A+ = ⇒ = − =⇒ = −
Ahora utilizando el método abreviado se tiene:
11 1 5 5x B B= − ⇒ = ⇒ =
16 1 5 5x A A= − ⇒ = − ⇒ = −
Usando cualquier método se puede establecer:
2
1 11 5 57 6 6 1x x x x
−= +
+ + + +, Luego se tiene:
2
1 1 1 16 17 6 5 6 5 1 5 5dx dx dx x x c
x x x xη η= − + = − + + + +
+ + + +∫ ∫ ∫
( )1 1 65
x x cη η= + − + +
Respuesta: 2
1 17 6 5 6dx x c
x x xη +
= ++ + +∫
7.3.-Encontrar: 2 4 4xdx
x x− +∫Solución.- Sea: 2 24 4 ( 2)x x x− + = − , factores lineales con repetición; luego:
2 2 24 2 ( 2) 4x A B x
x x x x x x= + ⇒
− + − − − + 2
( 2)( 2)
A x Bx− +
=−
,
De donde: ( 2) ( )x A x B= − + ∗ , calculando las constantes A y B por el método general, se
tiene: ( 2 )x Ax A B= + − + , luego: 1
2 2(1) 22 0
AB A B B
A B=⎛ ⎞
⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟− + =⎝ ⎠
Usando el método abreviado, se sustituye en x , el valor que anula el denominador(o los denominadores), y si este no es suficiente se usan para sustituir cualquier valor conveniente de x , esto es: 0, 1x x= = − ; luego en ( )∗
2 2 2
0 0 2 2 12
x B BBx A B A B A A
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = − + ⇒ + ⇒ = ⇒ =
Usando cualquier método se establece:
2 2
22 24 4 2 ( 2) 2
xdx dx dx x cx x x x x
η= + = − − +− + − − −∫ ∫ ∫
Respuesta: 2
224 4 2
xdx x cx x x
η= − − +− + −∫
7.4.-Encontrar:2
3 2
(2 3)2
x dxx x x
+− +∫
Solución.- Sea: 3 2 2 22 ( 2 1) ( 1)x x x x x x x x− + = − + = − , factores lineales: , 1x x − ; donde este último es con repetición; luego:
2 2
3 2 2 3 2
2 3 2 32 ( 1) ( 1) 2
x A B C xx x x x x x x x x
+ += + + ⇒
− + − − − +
2
2
( 1) ( 1)( 1)
A x Bx x Cxx x
− + − +=
−De donde:
2 22 3 ( 1) ( 1) ( )x A x Bx x Cx+ = − + − + ∗ , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 2 22 3 ( ) ( 2 )x A B x A B C x A+ = + + − − + + , de donde identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones:
22 0 2 2 3 1
3
A BA B C B A B BA
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟− − + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
, tomando la segunda ecuación
del sistema: 2 2(3) 1 5C A B C C= + ⇒ = − ⇒ = ,también es posible usar el método abreviado, utilizando para ello la expresión ( )∗ en la cual:
1 2(1) 3 50 3 3
x C Cx A A= ⇒ + = ⇒ == ⇒ = ⇒ =
Usando un valor arbitrario para x , sea este 1x = − : 2 21 2( 1) 3 ( 2) ( 1)( 2) ( 1) 5 4 2x A B C A B C= − ⇒ − + = − + − − + − ⇒ = + − , luego:
2 5 4 2 5 4(3) 5 2 2 1B A C B B B= − + ⇒ = − + ⇒ = − ⇒ = − , S, e establece que: 2
3 2 2
2 3 3 1 52 1 ( 1)
xx x x x x x
+= − +
− + − −, entonces:
2
3 2 2
2 3 53 5 3 12 1 ( 1) 1
x dx dx dx x x cx x x x x x x
η η+= − + = − − − +
− + − − −∫ ∫ ∫
Respuesta:2 3
3 2
(2 3) 52 1 1
x dx x cx x x x x
η+= − +
− + − −∫
7.5.-Encontrar: 3 22dx
x x x− +∫Solución.- 3 2 22 ( 1)x x x x x− + = − ,factores lineales:
, 1x x − ; donde este último es con repetición; luego:
3 2 2 3 2
1 12 ( 1) ( 1) 2
A B Cx x x x x x x x x
= + + ⇒− + − − − +
2
2
( 1) ( 1)( 1)
A x Bx x Cxx x
− + − +=
−De donde:
21 ( 1) ( 1) ( )A x Bx x Cx= − + − + ∗ , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 21 ( ) ( 2 )A B x A B C x A= + + − − + + , de donde identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones:
02 0 1
1
A BA B C B A BA
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟− − + = ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠
, tomando la segunda ecuación del
sistema: 2 2(1) 1 1C A B C C= + ⇒ = − ⇒ = , a partir de lo cual se tiene:
3 2 2
1 1 1 12 1 ( 1)x x x x x x
= − +− + − −
3 2 2
112 1 ( 1) 1dx dx dx dx x x c
x x x x x x xη η= − + = − − − +
− + − − −∫ ∫ ∫ ∫
Respuesta: 3 2
12 1 1dx x c
x x x x xη= − +
− + − −∫
7.6.-Encontrar:4 3 2
3 2
6 12 66 12 8
x x x dxx x x− + +− + −∫
Solución.- Se sabe que si el grado del polinomio dividendo, es igual o superior al grado del polinomio divisor, previamente conviene efectuar la división de tales polinomios.
4 3 2 3 2
4 3 2
6 12 0 6 6 12 86 12 8
8 6
x x x x x x xx x x x x
x
− + + + − + −
− + − +
+
Luego se tiene:4 3 2
3 2 3 2
6 12 6 (8 6)6 12 8 6 12 8
x x x x dxdx xdxx x x x x x− + + +
= +− + − − + −∫ ∫ ∫
La descomposición de: 3 26 12 8x x x− + − : 1 6 12 8
2 2 8 8
1 4 4 0
− −−
− 2 ( 2)x x= ⇒ −
2 2
3 2 3
4 4 ( 2)6 12 8 ( 2)
x x xx x x x− + = −
− + − = −
Esto es factores lineales:[ ]( 2)x − con repetición por tanto:
3 2 2 3
8 66 12 8 2 ( 2) ( 2)
x A B Cx x x x x x
+= + +
− + − − − −
3 2
8 66 12 8
xx x x
+
− + −
2
3
( 2) (( 2)( 2)
A x B x Cx
− + − +=
−Luego:
2 28 6 ( 2) ( 2) 8 6 ( 4 4) ( 2)x A x B x C x A x x B x C+ = − + − + ⇒ + = − + + − +28 6 ( 4 ) (4 2 )x Ax A B x A B C+ = + − + + − +
Calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 0
4 8 8 4 8 4(0) 84 2 6
AA B B A B BA B C
=⎛ ⎞⎜ ⎟− + = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + =⎝ ⎠
,
Resolviendo el sistema: 6 4 2 6 4(0) 2(8) 22C A B C C= − + ⇒ = − + ⇒ = , luego:
3 2
8 6 06 12 8 2
xx x x x
+=
− + − −
0
2 3
8 22( 1) ( 1)x x
+ +− −
, de donde:
3 2 2 3
(8 6) 8 226 12 8 ( 2) ( 2)x dx dx dx
x x x x x+
= +− + − − −∫ ∫ ∫ , o sea:
2 32 38 22 8 ( 2) 22 ( 2)
( 2) ( 2)dx dxxdx xdx x dx x dx
x x− −= + + = + − + −
− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
8 112 2 ( 2)x c
x x− − +
− −
Respuesta:4 3 2 2
3 2 2
6 12 6 8 116 12 8 2 2 ( 2)
x x x xdx cx x x x x− + +
= − − +− + − − −∫
7.7.-Encontrar:3 2
4 2
34 3
x x x dxx x+ + ++ +∫
Solución.- 4 2 2 24 3 ( 3)( 1)x x x x+ + = + + , la descomposición es en factores cuadráticos sin repetición, por lo tanto:
3 2
4 2 2 2
34 3 3 1
x x x Ax B Cx Dx x x x+ + + + +
= ++ + + +
3 2
4 2
34 3
x x xx x+ + +
+ +
2 2
2 2
( )( 1) ( )( 3)( 3)( 1)
Ax B x Cx D xx x
+ + + + +=
+ +3 2 3 2 3 23 ( ) ( 1) ( 3 ) ( 3)x x x A x x B x C x x D x+ + + = + + + + + + + 3 2 3 23 ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 )x x x A C x B D x A C x B D+ + + = + + + + + + + , luego:
(1) 1(2) 1(3) 3 1(4) 3 3
A CB D
A CB D
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ =⎜ ⎟
+ =⎝ ⎠
Con (1) y (3), se tiene:1
1, 03 1
A CA C
A C+ =⎛ ⎞
⇒ = =⎜ ⎟+ =⎝ ⎠
Con (2) y (4), se tiene: 1
0, 13 3
B DB D
B D+ =⎛ ⎞
⇒ = =⎜ ⎟+ =⎝ ⎠
Por lo tanto: 3 2
4 2 2
3 14 3 3 1
x x x xx x x x+ + +
= ++ + + +
, o sea:
3 2
4 2 2
34 3 3 1
x x x xdx dxdxx x x x+ + +
= ++ + + +∫ ∫ ∫ , sea: 2 3, 2u x du xdx= + = , luego:
4 3 2 2 2 22 2 ( 2) ( )( 1)( 2) ( )( 1)x x x x A x Bx C x x Dx E x− + − + = + + + − + + + − 4 2 3 2 2( 4 4) ( )( 2 2)A x x Bx C x x x Dx Dx Ex E= + + + + + − − + − + −
4 2 4 2 3 3 2
2
4 4 2 2 2 2Ax Ax A Bx Bx Bx Bx Cx Cx Cx CDx Dx Ex E
= + + + + − − + + − −
⇒ + − + −4 3 2( ) ( ) (4 2 ) ( 2 2 ) (4 2 )A B x C B x A C B D x B C D E x A C E= + + − + − + + + − + − + + − −
Igualando coeficientes, se tiene: 1
14 2 2
2 2 14 2 2
A BB C
A B C DB C D E
A C E
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟− + = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + =⎜ ⎟
− + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟− − =⎝ ⎠
1 2 1, , , 1, 03 3 3A B C D E∴ = = = − = − =
( )∗ 2 2 2
2 1( )1 3 33 1 ( 2) ( 2)
x dxdx xdxx x x
−= + −
− + +∫ ∫ ∫
2 2 2 2
1 1 2 1 1 23 1 3 ( 2) 3 ( 2) 2 ( 2)
dx xdx dx xdxx x x x
= + − −− + + +∫ ∫ ∫ ∫
22
1 1 2 1 11 2 arc3 3 6 2 22
xx x g cx
η η τ= − + + − + ++
22
1 2 1( 1)( 2) arc3 6 2( 2)2
xx x g cx
η τ= − + − + ++
7.31.-2
3 2
2 7 11
x x dxx x x
− −+ − −∫
Solución.- 2 2
3 2 2 2
2 7 1 2 7 11 ( 1)( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x x Adx Bdx Cdxdx dxx x x x x x x x
− − − −= = + +
+ − − − + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2
3 2 2
2 7 1( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x A B Cx x x x x x
− −= + +
+ − − − + +2 22 7 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)x x A x B x x C x− − = + + − + + −
1 8 2 431 6 4 2
70 1 2
x C C
x A A
x A B C B
⎧ = − ⇒ = − ⇒ = −⎪⎪∴ = ⇒ − = ⇒ = −⎨⎪
= ⇒ − = − − ⇒ =⎪⎩
( )∗ 2
3 7 3 7 44 1 12 1 2 1 ( 1) 2 2 1
dx dx dx x x cx x x x
η η= − + − = − − + + + +− + + +∫ ∫ ∫
7
3
1 ( 1) 42 ( 1) 1
x cx x
η += − + +
− +
7.32.-2
3 2
3 3 12 2 1
x x dxx x x
+ ++ + +∫
Solución.- 2 2
3 2 2 2
3 3 1 (3 3 1) ( )2 2 1 ( 1)( 1) 1 ( 1)
x x x x dx Adx Bx C dxdxx x x x x x x x x
+ + + + += = +
+ + + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2
2 2
3 3 1( 1)( 1) 1 ( 1)
x x A Bx Cx x x x x x
+ + += +
+ + + + + +2 23 3 1 ( 1) ( )( 1)x x A x x Bx C x+ + = + + + + +
1 10 1 01 7 3 ( )(2) 2
x Ax A C Cx A B C B
= − ⇒ =⎧⎪∴ = ⇒ = + ⇒ =⎨⎪ = ⇒ = + + ⇒ =⎩
( )∗ 2 2
2 (2 1) 111 ( 1) ( 1)
dx xdx xx dxx x x x x
η + −= + = + +
+ + + + +∫ ∫ ∫
2 2
(2 1)1( 1) ( 1)
x dx dxxx x x x
η += + + −
+ + + +∫ ∫2
2 21 1
31( ) ( )4 2
dxx x xx x
η η= + + + + −+ + +
∫
211 21 1 arc
3 32 2
xx x x g cη η τ
+= + + + + − +
2 2 3 2 1( 1)( 1) arc3 3
xx x x g cη τ += + + + − +
7.33.-3 2
2 2
7 5 5( 1) ( 1)
x x x dxx x+ − +− +∫
Solución.-
3 2
2 3 2 2 3
7 5 5( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x x Adx Bdx Cdx Ddx Edxdxx x x x x x x+ − +
= + + + +− + − − + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
3 2
2 3 2 2 3
7 5 5( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x A B C D Ex x x x x x x+ − +
= + + + +− + − − + + +
3 2 3 3 2 2
2 2
7 5 5 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
x x x A x x B x C x xD x x E x
+ − + = − + + + + − +
⇒ + − + + −4 3 3 2 4 2
3 2 2
2 2 3 3 22
Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx CDx Dx Dx D Ex Ex E
= + − − + + + + + − +
⇒ + − − + + − +4 3 2( ) (2 ) (3 2 )
( 2 3 2 ) ( )A C x A B D x B C D E x
A B D E x A B C D E= + + + + + − − +⇒ + − + − − + − + + + +Igualando coeficientes, se tiene:
02 1
3 2 72 3 2 5
2
A CA B D
B C D EA B D EA B C D E
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ − − + =⎜ ⎟− + − − = −⎜ ⎟
⎜ ⎟− + + + + =⎝ ⎠
0, 1, 0, 0, 4A B C D E∴ = = = = =
( )∗2
2 3 2 2
1 2 4 14( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1)
dx dx x xc cx x x x x x
− −= + = − − + = − +
− + − + − +∫ ∫
7.34.- 2 2
2( 1)
xdxx x+ +∫
Solución.-
2 2 2 2 2
2 ( ) ( )( 1) 1 ( 1)
xdx Ax B dx Cx D dxx x x x x x
+ += +
+ + + + + +∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2 2 2 2 2
2( 1) 1 ( 1)
x Ax B Cx Dx x x x x x
+ += +
+ + + + + +2 3 2 22 ( )( 1) 2x Ax B x x Cx D x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx D= + + + + + ⇒ = + + + + + + +
3 2( ) ( )Ax A B x A B C x B D= + + + + + + + , igualando coeficientes se tiene: 0020
AA BA B C
D
=⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟
+ =⎝ ⎠0, 0, 2, 0A B C D∴ = = = =
( )∗ 2
2( 1)
xdxx x
=+ +∫ , de donde el método sugerido pierde aplicabilidad; tal como se
había planteado la técnica trabajada debe ser sustituida por otra:
2 2 2 2
2 (2 1)( 1) ( 1) ( 1)
xdx x dx dxx x x x x x
+= −
+ + + + + +∫ ∫ ∫
2 2
(2 1) 16 ( )( 1) 9 2 1( ) 123
x dx dxx x
x
+= − ∗∗
+ + ⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤+ +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫
sea: 32 1( ),2 23u x dx du= + = , entonces:
( )∗∗ 2 2 2
1 16 31 9 2 ( 1)
dux x u
− −+ + +∫ , trabajando la integral sustituyendo
trigonométricamente: 2
2 4
1 8 3 sec1 9 sec
dx x
θ θθ
= − −+ + ∫ , ya que: 2, secu g du dτ θ θ θ= =
2 2
1 8 3 1 1arc1 9 2 2 ( 1)
ugux x u
τ⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
2 2
2 1( )21 8 3 1 2 31arc ( )2 4 11 9 2 3 2 ( ) 13 2
xg x c
x x xτ
⎧ ⎫+⎪ ⎪= − − + + +⎨ ⎬+ + ⎡ ⎤+ +⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
2 2
11 8 3 1 2 21arc ( )2 4 11 9 2 3 3 ( ) 13 2
xg x c
x x xτ
⎧ ⎫+⎪ ⎪= − − + + +⎨ ⎬+ + ⎡ ⎤+ +⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
2 2
1( )1 4 3 2 8 21arc ( )2 4 11 9 93 ( ) 13 2
xg x c
x x xτ
+= − − + − +
+ + ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
7.35.-2
3
2 3x x dxx x+ +−∫
Solución.- 2 2
3
2 3 2 3( 1)( 1) ( 1) ( 1)
x x x x Adx Bdx Cdxdx dxx x x x x x x x+ + + +
= = + +− − + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2 2 3( 1)( 1) ( 1) ( 1)x x A B C
x x x x x x+ +
= + +− + − +
2 2 3 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)x x A x x Bx x Cx x+ + = − + + + + −0 3 3
1 2 2 11 6 2 3
x A Ax C Cx B B
= ⇒ = − ⇒ = −⎧⎪∴ =− ⇒ = ⇒ =⎨⎪ = ⇒ = ⇒ =⎩
( )∗ 3 3 3 3 1 1( 1) ( 1)
dx dx dx x x x cx x x
η η η= − + + = − + − + + +− +∫ ∫ ∫
3
3
( 1) ( 1)x x cx
η − += +
7.36.-2(2 3 5)
( 2)( 1)( 3)x x dx
x x x− +
+ − −∫Solución.-
22 3 5( 2)( 1)( 3) ( 2) ( 1) ( 3)
x x Adx Bdx Cdxdxx x x x x x
− += + +
+ − − + − −∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
22 3 5( 2)( 1)( 3) 2 1 3
x x A B Cx x x x x x
− += + +
+ − − + − −22 3 5 ( 1)( 3) ( 2)( 3) ( 2)( 1)x x A x x B x x C x x− + = − − + + − + + −
21 4 6 373 14 10 5192 19 15 15
x B B
x C C
x A A
⎧ = ⇒ = − ⇒ = −⎪⎪∴ = ⇒ = ⇒ =⎨⎪
= − ⇒ = ⇒ =⎪⎩
( )∗ 19 2 7 19 2 72 1 315 2 3 1 5 3 15 3 5
dx dx dx x x x cx x x
η η η= − + = + − − + − ++ − −∫ ∫ ∫
7.37.-2
2
3 2( 1)( 1)
x x dxx x
+ −− +∫
Solución.- 2
2 2
3 2 ( )( 1)( 1) ( 1) ( 1)
x x Adx Bx C dxdxx x x x
+ − += +
− + − +∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2
2 2
3 2( 1)( 1) 1 1
x x A Bx Cx x x x
+ − += +
− + − +2 23 2 ( 1) ( )( 1)x x A x Bx C x+ − = + + + −
1 2 2 10 2 32 12 5 2 2
x A Ax A C Cx A B C B
= ⇒ = ⇒ =⎧⎪∴ = ⇒ − = − ⇒ =⎨⎪ = ⇒ = + + ⇒ =⎩
( )∗ 2 2 2
(2 3) 2 31 1 1 1 1
dx x dx dx xdx dxx x x x x
+= + = + +
− + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 21 1 3arc ( 1)( 1) 3arcx x gx c x x gx cη η τ η τ= − + + + + = − + + +
7.38.- 3
( 5)3 2
x dxx x
+− +∫
Solución.-
3 2 2
( 5) ( 5)3 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
x dx x dx Adx Bdx Cdxx x x x x x x
+ += = + +
− + − + − − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
3 2
53 2 1 ( 1) ( 2)
x A B Cx x x x x
+= + +
− + − − +25 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)x A x x B x C x+ = − + + + + −
1 6 3 212 3 9 3
10 5 2 3
x B B
x C C
x A B C A
⎧ = ⇒ = ⇒ =⎪⎪∴ =− ⇒ = ⇒ =⎨⎪
= ⇒ = − + + ⇒ = −⎪⎩
( )∗ 2
1 1 1 2 12 1 23 ( 1) ( 1) 3 ( 2) 3 1 3
dx dx dx x x cx x x x
η η= − + + = − − − + + +− − + −∫ ∫ ∫
1 2 23 1 1
x cx x
η += − +
− −
7.39.-3 2
2 2
2 3 1( 1)( 2 2)
x x x dxx x x
+ + −+ + +∫
Solución.- 3 2
2 2 2 2 2
(2 3 1) ( ) ( )( 1)( 2 2) 1 ( 2 2) ( 2 2)
x x x dx Adx Bx C dx Dx E dxx x x x x x x x
+ + − + += + +
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
3 2
2 2 2 2 2
2 3 1( 1)( 2 2) 1 ( 2 2) ( 2 2)
x x x A Bx C Dx Ex x x x x x x x
+ + − + += + +
+ + + + + + + +3 2 2 2 22 3 1 ( 2 2) ( )( 2 2)( 1) ( )( 1)x x x A x x Bx C x x x Dx E x+ + − = + + + + + + + + + +
4 3 2 4 3 2 3 2
2
4 8 8 4 3 4 2 3 42
Ax Ax Ax Ax A Bx Bx Bx Bx Cx Cx CxC Dx Dx Ex E
= + + + + + + + + + + +
⇒ + + + + +4 3 2( ) (4 3 ) ( 8 4 3 )
(8 2 4 ) (4 2 )A B x A B C x A B C D x
A B C D E x A C E= + + + + + + + + +⇒ + + + + + + + +Igualando coeficientes, se tiene:
04 3 28 4 3 38 2 4 14 2 1
A BA B CA B C DA B C D EA C E
+ =⎛ ⎞⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + =⎜ ⎟
+ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + =−⎝ ⎠
1, 1, 3, 2, 3A B C D E∴ = − = = = − = −
( )∗ 2 2 2
( 3) (2 3)1 ( 2 2) ( 2 2)
dx x dx x dxx x x x x
+ += − + −
+ + + + +∫ ∫ ∫
2 2 2
1 (2 6) (2 2) 112 ( 2 2) ( 2 2)
x dx x dxxx x x x
η + + += − − + −
+ + + +∫ ∫
2 2 2 2 2
1 (2 2) 4 (2 2)12 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
x x dx dxx dxx x x x x x
η + + += − − + − −
+ + + + + +∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 2
1 (2 2) (2 2)1 22 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
x dx dx x dx dxxx x x x x x x x
η + += − − + + − −
+ + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫2
22 2 2
1 1 11 2 2 22 ( 1) 1 2 2 2 ( 1) 1
dx dxx x xx x x x
η η= − − + + + + + −+ + + + ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
∫ ∫
2
2 2
11 2 2 2arc ( 1)2
1 1 1 1 1 arc ( 1)2 2 2 2 2 2 2
x x x g x
x g x cx x x x
η η τ
τ
= − − + + + + +
+⇒ + − − + +
+ + + +2
2
2 2 3 1arc ( 1)1 2 2 2 2
x x xg x cx x x
η τ+ += + + − +
+ + +
7.40.-2
3 2
(2 3 1)2 4 2
x x dxx x x
+ −+ + +∫
Solución.- 2 2
3 2 2 2
(2 3 1) (2 3 1) ( )2 4 2 ( 1)( 2 2) ( 1) ( 2 2)
x x dx x x dx Adx Bx C dxx x x x x x x x x
+ − + − += = +
+ + + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
2
2 2
(2 3 1) ( )( 1)( 2 2) ( 1) ( 2 2)
x x A Bx Cx x x x x x
+ − += +
+ + + + + +2 22 3 1 ( 2 2) ( )( 1)x x A x x Bx C x+ − = + + + + +
1 2 20 1 2 31 4 5 ( )(2) 4
x A Ax A C Cx A B C B
= − ⇒ − = ⇒ = −⎧⎪∴ = ⇒ − = + ⇒ =⎨⎪ = ⇒ = + + ⇒ =⎩
( )∗ 2 2
(4 3) (2 2) 12 2 1 2( 1) 2 2 2 2
dx x dx xx dxx x x x x
η+ + −= − + = − + +
+ + + + +∫ ∫ ∫
2 2
(2 2)2 1 2 22 2 2 2
x dx dxxx x x x
η += − + + −
+ + + +∫ ∫22 1 2 2 2 2arc ( 1)x x x g x cη η τ= − + + + + − + +
7.41.- 3
(2 1)3 2 1
x dxx x
++ −∫
Solución.-
3 2 2
(2 1) (2 1) ( )3 2 1 ( 1)(3 3 1) ( 1) (3 3 1)
x dx x dx Adx Bx C dxx x x x x x x x
+ + += = +
− − − + + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )∗ , luego:
3 2
(2 1) ( )(3 2 1) ( 1) (3 3 1)
x A Bx Cx x x x x
+ += +
− − − + +22 1 (3 3 1) ( )( 1)x A x x Bx C x+ = + + + + −