INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN. ANÁLISIS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y FUERZAS DE UN MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO DE WHITWORTH TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA PRESENTA ING. JONATHAN RUIZ HIDALGO DIRECTOR: M. en C. CANDIDO PALACIOS MONTUFAR DIRECTOR: DR. JUAN ALEJANDRO FLORES CAMPOS México D.F. Octubre 2012
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL · 2017. 9. 2. · 4.6. Síntesis cinemática del mecanismo de Whitworth 159 4.6.1 Manivela-Biela-Corredera 161 4.6.2 Ventaja mecánica 163 4.6.3 Modelo
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN.
ANÁLISIS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y FUERZAS DE UN
MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO DE WHITWORTH
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN
INGENIERÍA MECÁNICA
PRESENTA
ING. JONATHAN RUIZ HIDALGO
DIRECTOR: M. en C. CANDIDO PALACIOS MONTUFAR
DIRECTOR: DR. JUAN ALEJANDRO FLORES CAMPOS
México D.F. Octubre 2012
RESUMEN
En este trabajo de investigación se muestran distintos métodos para la
formulación de modelos para describir a los mecanismos de lazo cerrado, y
como pueden estos métodos facilitar su implementación
computacional.Con la intención de que los modelos obtenidos permitan
una implementación sencilla de los esquemas de control. Se plantea
además que al utilizar técnicas de balanceo con un enfoque de diseño
mecánico basado en el control se pueden eliminar o reducir efectos de
algunos términos del modelo matemático, ayudando aún más a facilitar el
algoritmo de control.
Este trabajo inicia desde un enfoque de control y termina en un enfoque
mecánico. Esto es, se parte de estudios realizados en el área de control y
computación para presentar los modelos que pueden facilitar el
planteamiento de los sistemas mecánicos, para después presentar
técnicas que reduzcan dichos modelos y por tanto facilitar la
implementación de algoritmos de control.
Los métodos planteados en la formulación de los modelos de sistemas
mecánicos se utilizan para describir un mecanismo de lazo cerrado de
retorno rápido, que tiene la cualidad de presentar una no linealidad
debido a la aceleración de coriolis entre sus eslabones. El modelo es
validado utilizando un software de simulación y programando cada una
de las ecuaciones.
RESUMEN
RESUMEN
ABSTRACT
This research work shows different methods for the formulation of models to
describe the closed-loop mechanisms, and how can these methods
provide aneasier way for a computational implementation. With the
intention that the models founded allow a simple implementation of control
schemes.It also raises that by using balancing techniques with a focus on
mechanical design based on control, it could be posible to eliminate or
reduce the effects of some terms of the mathematical model, further
helping to facilitate the control algorithm.
This work starts from the viewpoint of control and ends in a mechanical
approach. That is, it starts from studies in the area of computer and control
and shows the models that can facilitate the approach of mechanical
systems, then it proposes techniques that could reduce these models and
thus facilitate the implementation of control algorithms.
The methods outlined in the formulation of models of mechanical systems
are used to describe a closed loop quick return mechanism, which has the
quality to have a nonlinearity due to the Coriolis acceleration between the
links. The model is validated using simulation software and programming
each one of the equations.
ABSTRACT
ABSTRACT
SEÑOR, te doy las gracias de todo mi corazón, de toda mi alma, de todo
mi ser. Porque día a día cambias mi mundo, lo haces florecer. Gracias
Papito hermoso porque me buscaste y no dejaste que me apartara.
Porque en mis días de cansancio me levantabas, me platicabas, me
instruías. Creaste un espacio y un tiempo para nosotros. Te agradezco
porque puedo confiar en ti. Porque conozco tu amor. Porque las veces
que mi corazón se rendía tú me animabas. Me sacaste de la locura y me
diste un corazón entendido. Porque veo a los que tú me diste y me siento
muy feliz al verlos sonreír. Gracias por ese regalo. Te doy gracias por estar
ahí siempre. TE AMO SEÑOR. Y en este trabajo quiero decirte que eres el
motor de mis días y cada objetivo que alcanzo veo tus manos que me
guían. GRACIAS SEÑOR.
Princesa hermosa, mi gran tesoro, sin ti no hubiera llegado tan lejos. Mi
compañera, mi amada. Gracias corazón por creer en mí, por dar tu
tiempo, tu amor, tu esfuerzo, tu valentía y tu enorme corazón por nosotros.
Gracias porque cuando veo las cosas perdidas siempre encuentro un
apoyo incondicional en ti. Apostaste por mí en las condiciones más
adversas con una sonrisa sabiendo que lo íbamos a lograr. Este triunfo es
nuestro princesa y gracias a DIOS vamos a tener muchos más. Es hermoso
saber que al enfrentar al peor enemigo hay alguien especial que ira
contigo hasta el final aun sabiendo que en tal proeza la vida vaya de por
medio. TE AMO corazón por lo que eres, mi mejor amiga, mi esposa, mi
dulce hogar.
A mis padres y mi hermano, mis héroes de mil batallas. Gracias porque
siempre han tenido un oído cerca, un abrazo fuerte y palabras para
vencer a ejércitos. Gracias por su amor, por su dedicación por sus
cimientos, por cuidar a la semilla, cuidarla y alegrarse por verla florecer.
Gracias por su esfuerzo, por sus días de desvelo, por sus preocupaciones,
por hacerme el hombre que soy. Anhelo que mis hijos tengan tanta dicha
como la tengo yo de tenerlos cerca. LOS AMO.
A mis suegros y familia Sánchez Colín
Gracias, por adoptarme en sus corazones y tenderme su mano para
caminar, por su confianza, apoyo y amor. Porque he encontrado un lugar
seguro a donde querer volver con alegría. Gracias por su paciencia y
atención. Este triunfo también es suyo, mi familia. LOS AMO.
AGRADECIMIENTOS
A mis profesores, quiero agradecerles su pasión por enseñar, su animó y sus
exigencias para verme crecer. Los días que pase en esta institución fue un
reto impresionante. Gracias por forjar mi carácter y ayudar a derrotar mis
propias limitaciones.
AGRADECIMIENTOS
i
ÍNDICE
ÍNDICE GENERAL i
Índice de Tablas y Figuras v
Simbología xiii
Objetivo xxxiii
Justificación xxxv
I ESTADO DEL ARTE 1
1.1. Evolución de la Mecánica 3
1.2. Breve historia del control automático 7
1.3. Mecatrónica 11
1.4. Mecanismos desde un punto de vista mecatrónico 15
II ANÁLISIS CINEMÁTICO 21
2.1. Grados de Libertad 23
2.2. Sistema de Coordenadas 27
2.3. Restricciones cinemáticas 31
2.4. Uniones en sistema multicuerpo 33
2.5. Cinemática Directa 43
2.5.1 Análisis de Posición 43
2.5.1.1 Restricciones de Unión 43
2.5.1.2 Restricciones de Conducción 53
2.5.1.3 Restricciones Holónomas 59
2.5.2 Análisis de Velocidad 61
2.5.3 Análisis de Aceleración 67
2.5.4 Cinemática de los CM 73
2.6. Coeficientes de Velocidad y Aceleración 79
ÍNDICE
ii
III ANÁLISIS DINÁMICO 83
3.1. Energía Cinética 85
3.2. Energía Potencial 89
3.3. Ecuación de Lagrange 91
3.4. Formulación de Coordenadas 93
3.5. Fuerzas de restricción 95
3.6. Parámetros reducidos EKSERGIAN 97
3.7. Método de los multiplicadores de Lagrange (DAEs) 101
3.7.1 Método utilizando coeficientes de velocidad 113
3.7.2 Método utilizando ecuación cinemática 115
3.8. Trabajo virtual 117
3.9. Fuerzas externas 119
3.10. Cálculo de reacciones 123
IV SÍNTESIS CINEMÁTICA 139
4.1. Máquina Herramienta: Cepillo 141
4.2. Especificaciones de diseño 147
4.3. Síntesis cinemática 149
4.4. Clasificación de la síntesis cinemática 151
4.5. Condiciones de diseño en la síntesis cinemática 155
4.6. Síntesis cinemática del mecanismo de Whitworth 159
4.6.1 Manivela-Biela-Corredera 161
4.6.2 Ventaja mecánica 163
4.6.3 Modelo cinemático 165
4.6.4 Inversión cinemática 169
4.6.5 Mecanismo de retorno rápido 171
4.6.6 Dimensionamiento del mecanismo de retorno rápido 173
V DISEÑO PARA CONTROL 183
5.1. Diseño Mecatrónico 185
5.2. Diseño para control 189
5.3. Balanceo en los mecanismos 191
5.4. Fuerzas y momentos de inercia 195
5.5. Fuerzas de inercia en un rotor 199
5.6. Fuerzas y momentos de sacudimiento en un rotor 201
5.7. Balanceo en un rotor 203
5.8. Fuerzas y momentos de sacudimiento en un mecanismo 207
5.9. Balanceo en un mecanismo 209
5.10. Balanceo en un mecanismo manivela-biela-corredera 211
ÍNDICE
iii
CONCLUSIONES xxxvii
Trabajo a futuro xxxix
REFERENCIAS.
ANEXOS
BIBLIOGRAFÍA
ÍNDICE
iv
ÍNDICE
v
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 2
CAPÍTULO 2
TABLAS
2.1 Pares Inferiores
FIGURAS
2.1 Mecanismo de Retorno rápido de Whitworth 2.2 Coordenadas Relativas 2.3 Coordenadas de punto de referencia 2.4 Coordenadas Naturales. 2.5 Restricciones de Base Coordenadas Punto de Referencia 2.6 Restricciones de Revoluta Coordenadas Punto de Referencia 2.7 Restricciones prismáticas Coordenadas Punto de Referencia 2.8 Sólido con dos puntos básicos Coordenadas Naturales 2.9 Sólido con tres puntos básicos Coordenadas Naturales 2.10 Sólido con tres puntos básicos co-lineales Coordenadas Naturales 2.11 Sólido con cuatro puntos básicos Coordenadas Naturales 2.12 Restricción prismática Coordenadas Naturales 2.13 Restricción prismática especial Coordenadas Naturales 2.14 Restricción de ángulo Coordenadas Mixtas 2.15 Restricción de distancia coordenadas Mixtas 2.16 Mecanismo de Whitworth 2.17 Restricción Sólido BB1 2.18 Restricción Sólido DD1 2.19 Restricción Sólido EF 2.20 Mecanismo de Whitworth 2.21 Lazo I 2.22 Lazo II 2.23 Biela Manivela 2.24 Mecanismo de Whitworth 2.25 Superficie de restricción I 2.26 Superficie de restricción II 2.27 Elemento BB1 CM 2.28 Elemento DD1 CM 2.29 Elemento EF CM 2.30 Elemento F CM 2.31 Elemento C CM
vi
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 2
vii
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 3
FIGURAS
3.1 Energía Cinética 3.2 Mecanismo de Whitworth con CM 3.3 Energía Potencial Gravitatoria 3.4 Fuerzas Externas 3.5 Reacciones en BB1 3.6 Reacciones en C 3.7 Reacciones en DD1 3.8 Reacciones en EF 3.9 Reacciones en F
viii
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 3
ix
CAPÍTULO 4
TABLAS
4.1 Velocidad de corte 4.2 Velocidades para desbaste y acabado 4.3 Dimensiones Manivela-Biela-Corredera 4.4 Valores de ángulos en el mecanismo Manivela-Biela-Corredera (R/L)=0.3 4.5 Dimensiones Inversión mecanismo Manivela-Biela-Corredera
FIGURAS
4.1 Posición de agarrotamiento 4.2 Mecanismo de retorno rápido de Whitworth 4.3 Mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.4 Inversión del mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.5 Mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.6 Aceleración corredera R/L 0.2 4.7 Aceleración corredera R/L 0.3 4.8 Aceleración corredera R/L 0.7 4.9 Ángulo de Transmisión 4.10 Mecanismo Manivela-Biela Corredera Inversiones 4.11 Inversión #2 Mecanismo de Manivela-Biela-Corredera 4.12 Ángulo de cambio de velocidad 4.13 Posiciones límite de eslabón AD 4.14 Trayectoria BC inscrita en AD 4.15 Ángulo gama 4.16 Trayectoria BC inicio 4.17 Trayectoria AD 4.18 Trayectoria AD inicio 4.19 Mecanismo retorno rápido de Whitworth 4.20 Simulación 1 4.21 Simulación 2 4.22 Simulación 3 4.23 Dimensiones del mecanismo de retorno rápido
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 4
x
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 4
xi
CAPÍTULO 5
FIGURAS
5.1 Balanceo estático 5.2 Fuerza centrípeta 5.3 Fuerza centrífuga 5.4 Fuerzas de inercia en un rotor 5.5 Momentos de inercia en un rotor 5.6 Balanceo en un rotor con masas en un solo plano 5.7 Balanceo en un rotor con masas. Caso general 5.8 Centro de masa en un rotor balanceado 5.9 Rotor desbalanceado 5.10 Rotor balanceado 5.11 Fuerzas y Momentos de inercia en un mecanismo de 4 barras 5.12 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera. 5.13 Masas Equivalentes 5.14 Masa de Balanceo 5.15 Diagrama de cuerpo libre y aceleraciones 5.16 Mecanismo Manivela Biela Corredera MBC Simulación 5.17 Fuerzas de Sacudimiento MBC Simulación 5.18 Mecanismo Manivela Biela Corredera MBC Simulación Balanceado 5.19 Fuerzas de Sacudimiento MBC Simulación Balanceado 5.20 Mecanismo Manivela Biela Corredera con Manivela Rueda 5.21 Mecanismo MBC Simulación Balanceado Manivela Rueda 5.22 Fuerzas de sacudimiento MBC Simulación Balanceado Manivela Rueda
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 5
xii
TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 5
xiii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 2
Ángulo entre el sistema de coordenadas inercial y el eslabón “2”
Ángulo entre un sistema de coordenadas local ubicado en el punto A
y el eslabón “4”
Ángulo entre un sistema de coordenadas local ubicado en el punto E
y el eslabón “5”
P Distancia Horizontal, entre los puntos A y B
H Distancia Vertical, entre los puntos A y B
m Distancia Vertical, entre los puntos B y la base del efector final.
1BB Se refiere al Eslabón 2
C Se refiere al Eslabón 3
1DD Se refiere al Eslabón 4
EF Se refiere al Eslabón 5
F Se refiere al Eslabón 6
),( BB yx Coordenadas del Punto B
),( 11 BB yx Coordenadas del Punto B1
),( CC yx Coordenadas del Punto C
),( DD yx Coordenadas del Punto D
),( 11 DD yx Coordenadas del Punto D1
),( EE yx Coordenadas del Punto E
),( FF yx Coordenadas del Punto F
)( 1BBL Longitud del elemento BB1
xiv
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
)( 1DDL Longitud del elemento DD1
)( EFL Longitud del elemento EF
)( EFL Longitud del elemento EF
)( 1CBL Distancia del punto C a B1
)( 1EDL Distancia del punto E a D1
)( 1ADL Distancia del punto A al punto D1
1BBR Vector Posición del Punto B al B1
BCR Vector Posición del Punto B al C
ACR Vector Posición del Punto A al C
ADR Vector Posición del Punto A al D
1ADR Vector Posición del Punto A al D1
AER Vector Posición del Punto A al E
EFR Vector Posición del Punto E al F
BFR Vector Posición del Punto B al F
BAR Vector Posición del Punto B al A
1BBL Distancia entre puntos B, B1
BCL Distancia entre puntos B, C
ACL Distancia entre puntos A, C
ADL Distancia entre puntos A, D
xv
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
1ADL Distancia entre puntos A, D1
AEL Distancia entre puntos A, E
EFL Distancia entre puntos E, F
r Longitud manivela
l Longitud biela Ángulo manivela
Ángulo biela
p Superficie de restricción
q Variable(s) generalizada(s)
f Ecuación de la posición
g Ecuación de la velocidad
Q Matriz Jacobiana
q Velocidad variables generalizadas
t Matriz con los elementos restantes
XPBBXBB RR 11
Coordenada de Velocidad x del punto B1, desde el punto de
referencia B
YPBBYBB RR 11
Coordenada de Velocidad y del punto B1, desde el punto de
referencia B
BCXPBCX RR
Coordenada de Velocidad x del punto C, desde el punto de
referencia B
BCYPBCY RR
Coordenada de Velocidad y del punto C, desde el punto de
referencia B
xvi
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
ACXPACX RR
Coordenada de Velocidad x del punto C, desde el punto de
referencia A
ACYPACY RR
Coordenada de Velocidad y del punto C, desde el punto de
referencia A
ADXPACX RR
Coordenada de Velocidad x del punto D, desde el punto de
referencia A
ADYPACY RR
Coordenada de Velocidad y del punto D, desde el punto de
referencia A
XPADXAD RR 11
Coordenada de Velocidad x del punto D1, desde el punto de
referencia A
YPADYAD RR 11
Coordenada de Velocidad y del punto D1, desde el punto de
referencia A
AEXPAEX RR
Coordenada de Velocidad x del punto E, desde el punto de
referencia A
AEYPAEY RR
Coordenada de Velocidad y del punto E, desde el punto de
referencia A
EFXPEFX RR
Coordenada de Velocidad x del punto F, desde el punto de
referencia E
EFYPEFY RR
Coordenada de Velocidad y del punto F, desde el punto de
referencia E
BFXPBFX RR
Coordenada de Velocidad x del punto F, desde el punto de
referencia B
ACPAC LL
Derivada con respecto del tiempo de la distancia ACL
XPPBBXBB RR 11
Coordenada de Aceleración x del punto B1, desde el punto de
referencia B
YPPBBYBB RR 11
Coordenada de Aceleración y del punto B1, desde el punto de
referencia B
BCXPPBCX RR
Coordenada de Aceleración x del punto C, desde el punto de
referencia B
BCYPPBCY RR
Coordenada de Aceleración y del punto C, desde el punto de
referencia B
xvii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
ACXPPACX RR
Coordenada de Aceleración x del punto C, desde el punto de
referencia A
ACYPPACY RR
Coordenada de Aceleración y del punto C, desde el punto de
referencia A
ADXPPACX RR
Coordenada de Aceleración x del punto D, desde el punto de
referencia A
ADYPPACY RR
Coordenada de Aceleración y del punto D, desde el punto de
referencia A
XPPADXAD RR 11
Coordenada de Aceleración x del punto D1, desde el punto de
referencia A
YPPADYAD RR 11
Coordenada de Aceleración y del punto D1, desde el punto de
referencia A
AEXPPAEX RR
Coordenada de Aceleración x del punto E, desde el punto de
referencia A
AEYPPAEY RR
Coordenada de Aceleración y del punto E, desde el punto de
referencia A
EFXPPEFX RR
Coordenada de Aceleración x del punto F, desde el punto de
referencia E
EFYPPEFY RR
Coordenada de Aceleración y del punto F, desde el punto de
referencia E
BFXPPBFX RR
Coordenada de Aceleración x del punto F, desde el punto de
referencia B
ACPPAC LL
Segunda Derivada con respecto del tiempo de la distancia ACL
CMBBR 1 Posición del CM del elemento BB1, desde el punto de
referencia B
CMDDR 1 Posición del CM del elemento DD1, desde el punto de
referencia B
EFCMR Posición del CM del elemento EF, desde el punto de
referencia B
FCMR ´ Posición del CM del elemento F, desde el punto de referencia
B
xviii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
CCMR Posición del CM del elemento C, desde el punto de referencia
B
CMBBR 1 Velocidad del CM del elemento BB1, desde el punto de
referencia B
CMDDR 1 Velocidad del CM del elemento DD1, desde el punto de
referencia B
EFCMR Velocidad del CM del elemento EF, desde el punto de
referencia B
FCMR Velocidad del CM del elemento F, desde el punto de referencia
B
CCMR Velocidad del CM del elemento C, desde el punto de
referencia B
CMBBR 1 Aceleración del CM del elemento BB1, desde el punto de
referencia B
CMDDR 1 Aceleración del CM del elemento DD1, desde el punto de
referencia B
EFCMR Aceleración del CM del elemento EF, desde el punto de
referencia B
FCMR Aceleración del CM del elemento F, desde el punto de
referencia B
CCMR Aceleración del CM del elemento C, desde el punto de
referencia B
xix
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
K Coeficiente de Velocidad de
ACKL Coeficiente de Velocidad de ACL
K Coeficiente de Velocidad de
BFXKR Coeficiente de Velocidad de BFXR
L Coeficiente de Aceleración de
ACLL Coeficiente de Aceleración de ACL
L Coeficiente de Aceleración de
BFXLR Coeficiente de Aceleración de BFXR
xx
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2
xxi
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 3
T Energía Cinética
m Masa
v Velocidad lineal
I Inercia
w Velocidad angular
TBB1 Energía Cinética del centro de masa del elemento BB1
mBB1 masa del elemento BB1
RBB1CMX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento BB1
RBB1CMY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento BB1
RBB1CMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento BB1
RBB1CMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento BB1
IBB1 Inercia del elemento BB1
TDD1 Energía Cinética del centro de masa del elemento DD1
mDD1 masa del elemento DD1
RDD1CMX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento DD1
RDD1CMY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento DD1
RDD1CMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento DD1
RDD1CMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento DD1
IDD1 Inercia del elemento DD1
TEF Energía Cinética del centro de masa del elemento EF
mEF masa del elemento EF
REFX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento EF
xxii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
REFY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento EF
REFCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento EF
REFCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento EF
IEF Inercia del elemento EF
TF Energía Cinética del centro de masa del elemento F
mF masa del elemento F
RFX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento F
RFY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento F
RFCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento F
RFCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento F
IF Inercia del elemento F
TC Energía Cinética del centro de masa del elemento C
mC masa del elemento C
RCX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento C
RCY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento C
RCCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento C
RCCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento C
IC Inercia del elemento C
(u2,v2) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento BB1,
medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par B.
(u3,v3) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento C,
medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par C
(u4,v4) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento DD1,
medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par A.
(u5,v5) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento EF,
medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par E
xxiii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
(u6,v6) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento F, medida
desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par F
U Energía Potencial
Vg Energía Potencial debida a la gravedad
g Aceleración de la gravedad
h Altura medida desde un plano de referencia arbitrario
VgBB1 Energía potencial del elemento BB1 medida en su centro de masa,
desde el sistema de coordenadas inercial.
VgDD1 Energía potencial del elemento DD1 medida en su centro de masa,
desde el sistema de coordenadas inercial.
VgEF Energía potencial del elemento EF medida en su centro de masa,
desde el sistema de coordenadas inercial.
VgF Energía potencial del elemento F medida en su centro de masa,
desde el sistema de coordenadas inercial.
VgC Energía potencial del elemento C medida en su centro de masa,
desde el sistema de coordenadas inercial.
L Función Lagrangiana.
QEXT Fuerzas externas generalizadas
ΦQ Matriz Jacobiana
λ Multiplicadores de Lagrange
ΦQ λ Fuerzas de restricción
Inercia generalizada
q Coordenadas generalizadas
QNC Fuerzas no conservativas.
M Matriz Masa
NC Matriz de fuerzas de coriolis y centrípeta
xxiv
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
NG Matriz de gravedad
MTC Matriz de masa, cuyos componentes tienen que ver con la energía
cinética del elemento C
NCTC Matriz de fuerzas de coriolis y centrípeta, cuyos componentes tienen
que ver con la energía cinética del elemento C
δW Trabajo Virtual
δs Desplazamiento Virtual
F Fuerza aplicada
ri Desplazamiento lineal virtual
Ai Desplazamiento angular virtual
δɸ Desplazamiento angular virtual en ɸ
δβ Desplazamiento angular virtual en β
δθ Desplazamiento angular virtual en θ
),( YX Sistema de coordenadas inercial
),( 22 VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el par B.
),( 22 YX Sistema de coordenadas con la misma orientación que el inercial,
ubicado en el centro de masa del elemento “2” ó “BB1”.
)( 2,2 CMCM VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el centro
de masa del elemento “2” ó “BB1”.
),( 22 vu Distancias medidas desde el sistema de coordenadas ),( 22 VU
BCL Distancia del punto B a C.
1BBW Peso del elemento “2” ó “BB1”, concentrado en el CM.
1CBBf Fuerza ejercida por el elemento “3” ó “C” sobre el elemento “2” ó
“BB1”.
11BBf Fuerza ejercida por el elemento “1” sobre el elemento “2” ó “BB1”
xxv
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
CMBBR 1 Aceleración del CM del elemento BB1, que se refiere a la segunda
derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el
sistema inercial.
BCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par B, utilizando
el sistema de coordenadas ),( 22 YX
CCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par C, utilizando
el sistema de coordenadas ),( 22 YX
CCMR Aceleración del CM del elemento C, que se refiere a la segunda
derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el
sistema inercial.
CMCCR Posición medida desde el CM del elemento C al par C, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 33 YX.
CMCNCR Posición medida desde el CM del elemento C al punto de aplicación
de la fuerza normal al elemento C, ejercida por el elemento DD1
utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 YX.
CCMCR Posición medida desde el punto C al CM del elemento C, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 33 VU
CNCR Posición medida desde el punto C al punto de aplicación de la fuerza
normal al elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 VU
CMDDR 1 Aceleración del CM del elemento DD1, que se refiere a la segunda
derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el
sistema inercial.
ACMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par A, utilizando
el sistema de coordenadas ),( 44 YX.
ECMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par E, utilizando
el sistema de coordenadas ),( 44 YX
xxvi
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
NCCMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al punto de
aplicación de la fuerza normal al elemento DD1, ejercida por el
elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 YX.
1ACMDDR Posición medida desde el punto A al CM del elemento DD1,
utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 VU
AER Posición medida desde el punto A al punto E, utilizando el sistema de
coordenadas ),( 44 VU
ANCR Posición medida desde el punto A al punto de aplicación de la fuerza
normal al elemento DD1 utilizando el sistema de coordenadas
),( 44 VU
EFCMR Aceleración del CM del elemento EF, que se refiere a la segunda
derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el
sistema inercial.
CMEFER Posición medida desde el CM del elemento EF al par E, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 55 YX.
CMEFFR Posición medida desde el CM del elemento EF al par F, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 55 YX
ECMEFR Posición medida desde el punto E al CM del elemento EF, utilizando
el sistema de coordenadas ),( 55 VU
EFR Posición medida desde el punto E al punto F, utilizando el sistema de
coordenadas ),( 55 VU
FCMR Aceleración del CM del elemento F, que se refiere a la segunda
derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el
sistema inercial.
CMFFR Posición medida desde el CM del elemento F al par F, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 66 YX.
xxvii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
CMFNFR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación
de la fuerza normal al elemento F, utilizando el sistema de
coordenadas ),( 66 YX
CMFfcorteR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación
de la fuerza de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 YX
FCMFR Posición medida desde el punto F al CM del elemento F, utilizando el
sistema de coordenadas ),( 66 VU
FfcorteR Posición medida desde el punto F al punto de aplicación de la fuerza
de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 VU
xxviii
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 3
xxix
SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 4
N Número de carreras por minuto
Vc Velocidad de corte del metal
L Longitud de la carrera
Ti Tiempo de la carrera de trabajo
Tt Tiempo total de las dos carreras
shortr Longitud del eslabón más corto de un mecanismo de 4 barras
longr Longitud del eslabón más largo de un mecanismo de 4 barras
ba rr , Longitudes de los eslabones restantes de un mecanismo de 4 barras
m Distancia vertical entre el eje de referencia fijo y el par del eslabón F
h Distancia vertical entre el eje de referencia fijo y el par A
Stroke Carrera de la corredera
Crank Manivela
R Longitud Manivela
L Longitud Biela
Ángulo de Transmisión
x Posición de la corredera
Ángulo de la manivela con respecto a la horizontal
Ángulo de la biela con respecto a la horizontal
Velocidad angular de la manivela
Velocidad angular de la biela
x Velocidad de la corredera
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 4
xxx
Aceleración angular de la manivela
Aceleración angular de la biela
x Aceleración de la corredera
Ángulo de la manivela con respecto a la vertical
Ángulo de la biela con respecto a la vertical
Q Relación de velocidades de avance y retroceso
Ángulo de avance en la manivela
Ángulo de retroceso en la manivela
Periodo del motor
Ángulo de referencia en la manivela con respecto a la horizontal, que se
utiliza como indicador de los tiempos de avance y retroceso, en la síntesis cinemática
ABL Longitud del eslabón AB
ADL Longitud del eslabón AD
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 4
xxxi
SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 5 F Fuerza
M Momento
m masa
GA Aceleración del centro de masa
I Segundo momento de inercia
Aceleración angular
CENTRÍPETAF Fuerza centrípeta
R Radio de círculo
, w Velocidad angular
a,b Distancia entre masas en un rotor
W Peso
INERCIAF Fuerza de inercia
INERCIAM Momento de inercia
ijF Fuerza que ejerce i sobre j
ijR Vector desde i hasta j
EBielam Masa concentrada de la Biela en el par E
FBielam Masa concentrada de la Biela en el par F
EFm Masa del eslabón EF
e Distancia del centro de masa del eslabón EF al punto e
f Distancia del centro de masa del eslabón EF al punto f
EFI Segundo momento de inercia del elemento EF
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 5
xxxii
L Longitud del eslabón EF
AEL Longitud del eslabón AE
AEm Masa del elemento AE
Balanceom Masa agregada para balancear parcialmente el mecanismo
BalanceoL Longitud medida desde el par A, hasta el punto donde se ubica la
masa de balanceo
AFXR Posición horizontal del eslabón F, medida desde el par A
Ángulo de la horizontal hacia la manivela
AFXR Aceleración horizontal del eslabón F, obtenida al derivar dos veces la
posición del eslabón F, me
SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 5
xxxiii
El objetivo principal de esta tesis, es el análisis de posición, velocidad y
fuerzas de un mecanismo de configuración cerrada, como el de retorno
rápido de Whitworth
Derivados del objetivo general se plantean los siguientes objetivos
específicos:
Realizar una investigación de los modelos utilizados para describir el
movimiento de los mecanismos de lazo cerrado, para definir sus
ventajas y diferencias.
Encontrar el modelo cinemático y dinámico que rige a un
mecanismo de retorno rápido que presenta una no linealidad en la
aceleración de coriolis.
Programar todas las ecuaciones planteadas, para tomarse como
base en una futura implementación de algún algoritmo de control.
Realizar la síntesis del mecanismo, para encontrar las dimensiones
que permitan utilizarlo en una máquina herramienta
Proponer métodos de balanceo, para facilitar la implementación de
algoritmos de control.
OBJETIVO
xxxiv
OBJETIVO
xxxv
En las últimas décadas el estudio de los mecanismos considerados como
de lazo abierto, en específico los robots, ha tenido muchos avances. De tal
manera que existe un modelo común para este tipo de mecanismos, que
facilita la implementación de algoritmos de control. Sin embargo, debido a
su propia constitución, estos mecanismos presentan ciertas deficiencias en
la precisión, velocidad y rigidez del efector final, por lo que su función
principal, aunque no única, es la denominada “pick and place”.
Los estudios recientes se han enfocado a los mecanismos de lazo cerrado
como un método para solventar esta deficiencia del efector final. Para tal
fin se ha tomado como punto de partida, encontrar un modelo semejante
al planteado para los mecanismos de lazo abierto en el entendido de
aprovechar toda la información que pueda facilitar la implementación de
algoritmos de control.
Se han propuesto diferentes métodos que tienen en común, el hecho de
que un mecanismo de lazo abierto presenta un actuador por cada par
cinemático, a diferencia de un mecanismo de lazo cerrado cuyo número
de pares cinemáticos supera al número de actuadores. Lo que lleva a
tener un número distinto de ecuaciones diferenciales que describen el
sistema y las variables involucradas. Para lidiar con este inconveniente se
agregan las llamadas coordenadas generalizadas dependientes y el uso
de los multiplicadores de Lagrange.
Además, los modelos planteados se implementan en software como
modelos generalizados, en donde es muy importante que su estructura no
complique el procesamiento de la información. Una de las claves para
lograr este objetivo es la selección de las coordenadas y puntos de
referencia más adecuados. Esto ha llevado a la construcción de modelos
basados en coordenadas naturales, de punto de referencia, relativos y
mixtos.
La información heredada de los mecanismos de lazo abierto, ha servido
para implementar algoritmos de control en los mecanismos de lazo
cerrado utilizando estos modelos planteados. Se presentan buenos
resultados principalmente en simulaciones y prototipos de laboratorio. Esto
a causa de la simplificación del modelo y la imposición de restricciones
ideales.
JUSTIFICACIÓN
xxxvi
El término mecatrónica, y en específico el diseño mecánico basado en el
control, ha surgido como una propuesta para facilitar la implementación
de algoritmos de control en los mecanismos. La idea consiste en simplificar
el modelo del sistema por medio del diseño mecánico. El balanceo se
plantea como una forma de lograr tal fin, puesto que un mecanismo bien
balanceado mantiene su centro de gravedad estático o casi estático, que
tiene como consecuencia la cancelación o disminución de los efectos de
algunos términos en el modelo del sistema.
El presente trabajo, hace un recorrido a través de los estudios antes
mencionados, aplicándolos a un mecanismo de retorno rápido, que tiene
la característica que presente una no-linealidad debido a la aceleración
de coriolis. Esta característica aunque complica el modelo del sistema, es
muy valorada en el estudio de los esquemas de control. Además, el
modelo resultante se planteó de tal manera que pueda describir diferentes
geometrías en los eslabones.
JUSTIFICACIÓN
1
INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1
El estado del arte es el recorrido que
se realiza -a través de una
investigación de carácter
bibliográfico- con el objeto de conocer
y sistematizar la producción científica
en determinada área del
conocimiento.
Cuando leemos acerca de un
inventor, científico o alguien
importante en la historia, no es fácil
entender su trabajo sin antes estudiar
las razones que lo llevaron a
desarrollarlo, es decir; qué
conocimientos existían y qué hacía
falta cuando se hizo manifiesto.
Un ejemplo, sería Isaac Newton,
quien estudio a Galileo, Kepler, Tycho
Brahe, Copérnico, Aristóteles,
Euclides, etc., para entender que era
necesario encontrar una forma de
describir los cuerpos en movimiento
que fuera simple y eficaz.
Cuando usamos alguna herramienta
o máquina, generalmente no nos
preguntamos quien la inventó, o
desde cuando existe, o aún más,
como vivían las personas sin ella. Al
entenderlo nos damos cuenta del
progreso y el trabajo que se ha
desarrollado a través de los siglos
para contar con ella. Y aún más si
queremos mejorarla, siempre es
valioso saber que se ha hecho antes
y que existe ahora para hacerla más
eficiente.
Tuvieron que pasar muchos siglos en
la historia del hombre, para que
finalmente en el siglo XX, surgieran
las computadoras que son tan
comunes de conseguir y usar en
nuestros días, desde el
descubrimiento de la energía eléctrica
y magnética, además plantear la ley
que rige estos fenómenos, el camino
que se siguió para el desarrollo de la
electrónica, y toda la evolución del
mundo digital.
Este capítulo describe un breve
recorrido a través de la historia y los
fundamentos de la mecánica, el
control, la mecatrónica y la aplicación
de ella en el diseño de los
mecanismos.
Índice.
1.1 Evolución de la mecánica
1.2 Breve historia del control
automático
1.3 Mecatrónica
1.4 Mecanismos desde un punto
de vista mecatrónico
Estado del Arte
2
INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1
3
La inquietud intrínseca del ser humano, lo ha llevado siempre a la búsqueda de la
verdad. La observación, el análisis y la imaginación han sido herramientas
fundamentales para encontrarla.
No es raro encontrar grandes descubrimientos y desarrollos en la antigüedad,
pues los hombres de ese entonces tenían la misma capacidad que los que
habitamos actualmente la tierra, la diferencia se basa sólo en las herramientas
empleadas.
El interés de saber cuál es el principio que rige un fenómeno y poderlo describir y
manipular ha sido siempre el motor propulsor para los hombres de ciencia. Así el
nacimiento de la mecánica fue un paso lógico en la historia de la humanidad.
La mecánica es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo
de los cuerpos y su evolución en el tiempo.
La construcción de los conceptos que hoy conocemos de la mecánica, se lo
debemos a grandes hombres, que a través de la historia han aportado su tiempo y
trabajo.
Grandes griegos como Pitágoras, Aristóteles, Arquímedes, Strato, Ctsibius entre
otras grandes mentes, contribuyeron a formar las bases del entendimiento
Los griegos estudiaron los movimientos de los objetos terrestres y espaciales,
también la teoría de números, trigonometría y geometría, además desarrollaron la
idea del concepto de fricción, impacto y resistencia de las vigas, entre otras
muchas aportaciones.
Con la ayuda de la palanca, la cuña, la polea, el engrane y el tornillo, los griegos
pudieron construir máquinas como la catapulta, proyectiles, además de barcos y
edificios, que después perfeccionaron los romanos.
En el siglo XV, Leonardo Da Vinci, hizo observaciones de las leyes de la dinámica
y estática. Da Vinci sólo se enfocó en máquinas específicas y no a los principios
generales.
En el mismo siglo, Copérnico, Tycho Brahe y Kepler cambiaron el paradigma
aristotélico con sus aportaciones del estudio de los astros.
EVOLUCIÓN DE LA MECÁNICA CAPÍTULO 1
4
En el siglo XVI, Galileo Galilei estudió el movimiento del plano inclinado, realizó
importantes observaciones acerca del movimiento del péndulo.
Muchas veces la dinámica de las máquinas eran bien entendidas antes que
existiera un profundo entendimiento teórico de la dinámica, ese fue el caso del
péndulo de Galileo, que fue descrito antes que Newton y Euler nacieran.
En el mismo año que murió Galileo en 1642, nació en Inglaterra Isaac Newton,
quien en 1686 publicara su trabajo “Principia”, que fue un tratado de la dinámica
de las partículas y su comportamiento bajo el influjo gravitacional. Planteándose
un tiempo absoluto, un espacio homogéneo, en donde no hay puntos o lugares
privilegiados (el metro es igual en la tierra que en el espacio), y un espacio
isotrópico en donde no hay direcciones privilegiadas
Las tres leyes enunciadas por Newton, revolucionaron el mundo científico. Sin
embargo fue hasta 1760, cuando el suizo Leonard Euler público su obra “Theoria
motus corporum solidorum sea rigidorum”, cuando se empezó a entender la
dinámica de los cuerpos rígidos. Euler hizo grandes aportaciones a las
matemáticas, su nombre aparece en casi todas las ramas de las matemáticas.
Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), en su obra “Mecanique Analytique”,
aporto una nueva manera de entender la mecánica, analizando los problemas
desde un punto de vista energético, estudió problemas dinámicos con
restricciones, y problemas de optimización.
El trabajo de Lagrange fue publicado durante el monopolio de Watt y Boulton de la
máquina de vapor.
D’Alembert, fue contemporáneo de Euler y Lagrange, publicó su obra “Tratado de
dinámica” que enuncia el teorema que lleva su nombre “principio de D’Alembert o
principio de los trabajos Virtuales”.
James Watt, ingeniero, matemático e inventor escoces, aportó importantes
conocimientos para la creación de la máquina de vapor, principal eje en la
revolución industrial y principios de la teoría de control clásico, entre sus muchas
obras se encuentra el mecanismo de Watt, que convierte el movimiento circular en
un movimiento casi rectilíneo. Watt se asoció con el industrial Boulton y juntos
instalaron la primera máquina de vapor rotativa en 1786.
Julius Weisbach en 1848 con su tratado “Principios de maquinaria e ingeniería”
presentó de manera general la dinámica de cuerpos rígidos, estabilidad y teoría de
oscilaciones.
EVOLUCIÓN DE LA MECÁNICA CAPÍTULO 1
5
Borgins en 1818 y Haton años mas tarde, publicaron tratados que abarcan los más
importantes mecanismos de una manera descriptiva, el primero clasificándolos en
6 grandes familias, receptores, comunicadores, modificadores, de soporte,
reguladores y operadores. Mientras que Haton describió más de 250 mecanismos.
Más tarde en Alemania Franz Reuleux (1859), conocido como el padre de la
cinemática, desarrolló una notación para describir la topología de los mecanismos,
diseñó y construyó más de 300 piezas de mecanismos, en los cuales se incluyen
el mecanismo de cuatro barras. Sus teorías se basaron en ideas geométricas no
precisamente en los principios dinámicos. También realizó trabajos con la fuerza
centrífuga y los momentos de inercia rotatorios.
Joseph Withworth, ingeniero inglés, que en el siglo XIX, contribuyó con la
introducción de nuevos estándares de precisión en la manufactura a un grado no
visto antes, ya que gracias a su trabajo, fue común utilizar una precisión de una
diez milésima de pulgada. Inventor del mecanismo de retorno rápido utilizado en
las máquinas de cepillo que ayudó a ahorrar tiempo de maquinado.
William Rowan Hamilton, matemático, físico y astrónomo irlandés, quien hizo su
mayor contribución durante el siglo XIX, trabajó con óptica, dinámica y álgebra. Su
trabajo en dinámica y el descubrimiento del cuaternión son sus obras más
representativas. Las ecuaciones de Hamilton, son ecuaciones diferenciales de
primer grado. Los trabajos de Hamilton, Jacobi, Caughy, Navier y Poincaré no
fueron incorporados en el diseño de máquinas hasta mediados del siglo XX.
En el Siglo XX, los problemas dinámicos tuvieron gran importancia debido
principalmente a la invención y la expansión del uso del automóvil. Al tratar estos
problemas se reconocía a los elementos mecánicos como componentes elásticos
y eran tratados usualmente de acuerdo a la teoría de vibraciones, que es un
método matemático que surgió en el siglo XIX con los trabajos de Rayleigh en su
teoría del sonido.
En 1928, Stephen Timoshenko, considerado el padre de la ingeniería mecánica
moderna, divulgó en América importantes trabajos de Europa y Rusia,
combinándolo con su experiencia para resolver problemas industriales. Su primer
libro publicado en 1922, “Vibration Problems in Engineering”, abarcó problemas
lineales y de vibraciones no armónicas. Timoshenko trabajó con la teoría de
elasticidad y Resistencia de los Materiales, además de desarrollar metodologías
para tratar con problemas dinámicos con ayuda de D.H Young, trabajando ambos
en la universidad de Stanford.
EVOLUCIÓN DE LA MECÁNICA CAPÍTULO 1
6
EVOLUCIÓN DE LA MECÁNICA CAPÍTULO 1
7
La idea del control por retroalimentación que ha revolucionado nuestra manera de
vivir y de concebir nuestro mundo, tiene un principio básico, el cual consiste en
obtener la respuesta de nuestro sistema, compararla con la respuesta deseada,
una vez que se sabe cuánto difiere una de la otra y en qué manera, entonces se
modifican los parámetros de entrada con el objeto de que la respuesta del sistema
se asemeje en lo mejor posible a la respuesta deseada.
Esta idea pudo haber sido concebida por griegos o árabes del antiguo mundo,
plasmada en sus máquinas, p. ej. En los relojes de agua, lámparas de aceite,
dispensadores de vino, niveladores de agua, etc.
En la era moderna, los dispositivos de regulación de temperatura en calderas o de
posicionamiento de molinos de viento fueron los precursores del control en los
siglos XVII y XVIII
La forma de obtener información del sistema en estos siglos, era a través de
dispositivos mecánicos, un ejemplo muy ilustrativo es el famoso gobernador
utilizado en la máquina de vapor de James Watt, quien obtuvo la idea de Thomas
Mead, que lo utilizaba como sensor de velocidad. Mejorar el funcionamiento del
gobernador fue uno de los principales retos del control en el siglo XIX, ya que a
menudo se encontraban problemas de inestabilidad.
En 1868, el inglés, James Clerk Maxwell analizó la dinámica del gobernador
obteniendo las condiciones de estabilidad para un sistema de tercer orden en
términos de la ecuación característica y fue su compatriota Edward James Routh
quien obtuvo la solución para un sistema de quinto orden. Haciendo un trabajo
independiente en Alemania, Adolf Hurwitz, quien siguió los pasos de
Vyshnegradskii llegó a la misma conclusión de Routh, por lo que el criterio de
estabilidad se conoce como Routh-Hurwitz
A finales del siglo XIX y principios del siglo XX se presentaron aplicaciones de
control en la industria naval, aeronáutica y militar, los cuales ya usaban sistemas
sofisticados de retroalimentación. El giroscopio tuvo un papel muy importante en el
desarrollo de estabilizadores de aviones y barcos.
BREVE HISTORIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO CAPÍTULO 1
8
Nicholas Minorsky en 1922, quien nació en Rusia, y emigró a los Estados Unidos,
realizando estudios importantes en la conducción de barcos recomendó, aunque
no en los mismos términos que lo conocemos ahora, una combinación de una
acción proporcional, derivativa e integral en los sistemas retroalimentados. Y a
finales de la década de 1930, ya existían controladores de tipo proporcional,
derivativo e integral, PID.
En las tres primeras décadas del siglo XX, hubo importantes análisis en los
circuitos electrónicos y diseño de filtros.
Harry Nyquist en 1932, analizó el problema de estabilidad de circuitos
retroalimentados utilizados en la transmisión de señales telegráficas. Nyquist
demostró usando los resultados de Cauchy Euler que la clave de estabilidad está
en si la respuesta frecuencial del sistema de lazo abierto se encuentra o no en el
plano complejo rodeando el punto 1+i0.
Una de las grandes ventajas del criterio de Nyquist es que no se requiere la forma
analítica de la respuesta frecuencial del sistema en lazo abierto. Un arreglo de
puntos muestra, pueden ser graficados sin la necesidad del modelo matemático,
otra ventaja consiste en que a diferencia del criterio de Routh-Hurwitz una
valoración de la respuesta transitoria puede ser hecha directamente desde las
gráficas de Nyquist en términos de los márgenes de la ganancia y la fase.
Hendrik Bode a mediados de 1930 introdujo las nociones de márgenes de
ganancia y fase, además de redibujar las gráficas de Nyquist a su forma
actualmente conocida con el punto crítico en -1+0i. También introdujo las
aproximaciones con líneas rectas a las curvas de respuesta frecuencial de
sistemas lineales graficándolas en escala logarítmica.
En la segunda guerra mundial, se presentaron importantes avances en la teoría de
control. Ingenieros de distintas disciplinas trabajaron juntos para implementar
sistemas militares de alto desempeño. Los laboratorios que participaron en dichos
proyectos como el MIT y los laboratorios Bell, al terminar la guerra, elaboraron y
dieron a conocer las técnicas que llegaron a formar lo que conocemos como el
control clásico.
BREVE HISTORIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO CAPÍTULO 1
9
El control moderno fue en esencia originado con los trabajos de Poincaré y
Lyapunov a principios del siglo XIX quienes trabajaron con la linealización analítica
de un campo vectorial en un entorno de un punto de equilibrio, a través de la
existencia de soluciones analíticas de ecuaciones en derivadas parciales casi
lineales de primer orden, la dinámica de sistemas no lineales y estabilidad de
sistemas variantes en el tiempo.
Lagrange en su “Mecanique analytique” desarrolló un importante avance en el
entendimiento de la estabilidad de sistemas mecánicos. Su teorema expresa que
el equilibrio es estable en los puntos donde la energía potencial tiene un mínimo.
Lyapunov, tomó el trabajo de Lagrange e introdujo su propia definición en su
monografía “Problema general de la estabilidad del movimiento”, en donde se
encuentra por primera vez una definición con rigor matemático y que va más allá
del concepto de estabilidad utilizado en la mecánica, ya que analiza la estabilidad
de una ecuación diferencial y no nada más en sus puntos de equilibrio sino en
cualquier solución de la ecuación.
Los científicos rusos continuaron las líneas de estos grandes genios, pero no se
dieron a conocer al mundo, hasta después de la segunda guerra mundial.
La guerra fría trajo consigo nuevos retos en materia de control en aplicaciones
militares tanto en sistemas lineales como no-lineales. Los ingenieros siguieron el
ejemplo de Poincaré que formulaba las ecuaciones diferenciales generales en
términos de un juego de ecuaciones de primer orden, variables de estado, que
permitían una representación más sofisticada del comportamiento dinámico,
además que se podía trabajar con problemas multi-variable.
La computadora digital revolucionó el desarrollo de la teoría de control, ya que
pudieron desarrollarse métodos de aproximación confiables, además que permitió
el desarrollo de técnicas de control avanzadas que se desarrollaron en la década
de los 60 y 70s del siglo XX, como son: El control Adaptativo, el control robusto y
óptimo, el control difuso entre otros.
BREVE HISTORIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO CAPÍTULO 1
10
BREVE HISTORIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO CAPÍTULO 1
11
MECATRÓNICA CAPÍTULO 1
En 1969, el ingeniero japonés Yasakawa definió la mecatrónica como: “La palabra
mecatrónica está compuesta por “meca” referida a mecanismo y “trónica” referida
a electrónica. En otras palabras, tecnologías y productos de desarrollo
incorporarán la electrónica más y más dentro de los mecanismos de forma íntima
y orgánica, de tal manera que será imposible definir cuando termine una y
comience la otra”.
Desde entonces se han sugerido otras definiciones, aquí presentamos algunas de
ellas.
Tomizuka y Fukada en 1996, “La integración sinérgica de la ingeniería mecánica,
con la electrónica y el control computacional inteligente, en el diseño y
manufactura de productos y procesos industriales”.
Auslander y Kempf, “La mecatrónica es la aplicación de hacer decisiones
complejas para la operación de los sistemas”.
Shetty y Kolk en 1997, “Mecatrónica es una metodología usada para el diseño
óptimo de sistemas electromecánicos”.
W. Bolton, “Un sistema mecatrónico no es solamente la unión de los sistemas
mecánicos y eléctricos y ni sólo un sistema de control, es una completa
integración de ellos”.
Para muchos ingenieros de diseño, la mecatrónica no es algo nuevo, sino sólo un
paso evolutivo, pues se han hecho productos con estas características hace más
de 25 años.
La mecatrónica brinda un mecanismo para entender el proceso de diseño para
definir, clasificar, organizar e integrar muchos aspectos del diseño en un solo
paquete. No es, por tanto, una nueva rama de la ingeniería, sino un concepto que
enfatiza la necesidad de integración e interacción de distintas disciplinas de la
ingeniería.
En los años 60s del siglo XX, la mecatrónica dio un gran paso, con la ayuda del
desarrollo del microprocesador, y sus primeros frutos se dieron a conocer en las
máquinas de control numérico.
12
MECATRÓNICA CAPÍTULO 1
La evolución de la mecatrónica ha estado plasmada en el diseño y funcionamiento
del automóvil, ya que para los años 60’s la radio era el único dispositivo
electrónico dentro del coche. En los 70’s el automóvil ya constaba con el sistema
de ignición electrónico al igual que el sistema antibloqueo de frenos (ABS) para
eliminar el deslizamiento de las llantas al frenado. A mitad de los años 90s, el
sistema de control de tracción (TCS) ya estaba incluido en los automóviles, el cual
asegura el mejor comportamiento de la aceleración.
Hoy en día microprocesadores de 8, 16 o 32 bits son usados en la implementación
de sistemas de control dentro del vehículo.
Los microprocesadores de 32 bits son usados para la administración del motor, el
control de la transmisión y las bolsas de aire, el de 16 bits es usado para los
sistemas ABS, TCS, VDC y aire acondicionado, mientras que el de 8 bits, es
usado para los asientos y el control de los espejos. En palabras sencillas, el
automóvil ha sido transformado en un sistema mecatrónico.
En el diseño mecatrónico, la interconexión entre los sistemas mecánicos y
electrónicos es de vital importancia, ya que los sistemas electrónicos pueden
simplificar u optimizar los sistemas mecánicos. Al añadir un control de lazo
cerrado, ya sea de posición, velocidad o fuerza no sólo obtenemos información
detallada de estas variables, sino que podemos aproximar el sistema mecánico a
un sistema lineal, aun cuando este sea en naturaleza no lineal, además que
podemos aumentar la precisión del sistema.
El diseño de un sistema mecatrónico requiere de un desarrollo sistemático y
herramientas de desarrollo modernas.
El desarrollo sistemático de una máquina o un vehículo, empezaría por entender el
modelo que lo rige, implementar un sistema mecánico, adicionar los sensores y
actuadores y proponer un modelo de control. Una vez que vemos las posibles
mejoras y ventajas, se hace un rediseño de cada una de las etapas para
finalmente hacer una buena integración de todos los sistemas.
En la fase de modelado, existen dos maneras de obtener un buen resultado, la
primera es mediante un modelo teórico y la segunda por medio de datos
experimentales. Para la verificación de estos modelos, Los métodos la respuesta
frecuencial, así como el análisis espectral de Fourier son utilizados.
La tecnología de nuestra época, permite al ingeniero de diseño, simular los
sistemas, para tratar de evitar tantos errores como sea posible antes de su
implementación física.
13
MECATRÓNICA CAPÍTULO 1
Se puede simular todo el sistema mecánico, eléctrico (motores), sensores y
actuadores y la implementación del modelo de control. Existen tres etapas
importantes en la simulación, En la primera se analiza el sistema mecánico, su
resistencia a la flexión, torsión, tensión, fatiga, etc., debidos principalmente a las
cargas y a las vibraciones mecánicas. También hay análisis de fluidos y análisis
térmicos, así como de contacto y fractura. La segunda consiste en implementar el
modelo dinámico así como sus condiciones iniciales en software, entonces
analizar, modificar y mejorar el comportamiento del sistema mediante una ley de
control. Finalmente La tercera etapa consiste en analizar el modelo dinámico
implementado en software que interactúe con sensores y actuadores reales.
Existen en el mercado actual, programas de diseño con un perfil mecatrónico, los
cuales aceleran el desarrollo de productos que involucran distintas disciplinas:
mecánica, eléctrica y control haciendo un trabajo en paralelo. El software permite
crear elementos en tercera dimensión, simular su modelo dinámico y hacer un
análisis de elemento finito. Además permite seleccionar y posicionar sensores y
actuadores, configurando sus parámetros. Finalmente permite implementar una
ley de control que puede ser transportada a un PLC. Tal es el caso del software
de siemens NX.
14
MECATRÓNICA CAPÍTULO 1
15
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
Los mecanismos forman parte de la historia de la creatividad humana, con su
ayuda se han construido máquinas que facilitan nuestras vidas, tal fue el caso de
los molinos o relojes inventados en la antigüedad, y los utilizados en los aviones,
helicópteros y naves espaciales de nuestros días.
En los últimos 10 años se han presentado varios trabajos acerca de ellos, ya sea
acerca de su diseño u optimización o como bases para probar modelos de control,
ya que los mecanismos proporcionan características atractivas en sus modelos
dinámicos para ser controladas.
Los servomotores son una parte muy importante en el desarrollo de estos trabajos,
pues es básicamente el actuador a controlar en el mecanismo, ya que muchos de
estos presentan un solo grado de libertad.
En 1996, J.S. Park estudió la eficiencia de los servomotores en los casos en que
una máquina tenga que moverse entre dos puntos repetitivamente ya sea en
forma de rotación o traslación. En su estudio propone un perfil de movimiento con
una máxima eficiencia de energía. A pesar de que ya existían perfiles que
trabajaban bien en la industria, como son el perfil trapezoidal, exponencial,
polinomial, sinusoidal, cosenoidal, entre otros, estos no tenían una eficiente
conversión de energía, ya que mucha de la energía de entrada se desperdiciaba
en forma de calor, por lo que el sistema requería grandes cantidades de energía
de entrada. [12]
J.S. Park propone estudiar la transferencia de energía en el sistema en el
movimiento de punto a punto, además de analizar como un perfil dado interviene
o afecta en dicha transferencia y determinar un perfil de aceleración que presente
mejor eficiencia de energía. Park, considera el motor como un convertidor de
energía eléctrica a energía mecánica (trabajo mecánico). Con la premisa que al
disminuir el calor disipado, se incrementa la eficiencia de conversión de energía y
se necesita menos energía en la entrada, Park, finalmente construye su perfil
parabólico de aceleración para un motor de corriente DC.
La dinámica de los sistemas multi-cuerpos ha tomado un gran interés en los
últimos años. Estos sistemas consisten de un conjunto de cuerpos rígidos que son
restringidos a tener un movimiento relativo uno del otro, por una conexión
cinemática entre ellos.
16
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
En un trabajo presentado en 1997 por la universidad Chung Yuan Christian en la
República de China, se presentó la forma de calcular la posición, velocidad y
aceleración de un mecanismo de cambio (toggle) empleando una técnica de
restricción de multi-cuerpo. [13]
El mecanismo de cambio (toggle) es por lo general una combinación de un
mecanismo de cuatro barras y mecanismo de biela-manivela.
Se habían realizado ya trabajos acerca de cómo modelar la dinámica de este
mecanismo sin utilizar restricciones no ideales. Los trabajos previos que utilizaron
multiplicadores de lagrange resolvían las ecuaciones dinámicas utilizando un
método numérico.
En el trabajo presentado por la universidad Chung Yuan, presentan un mecanismo
de cambio (toggle), formado por dos mecanismos de biela-manivela. Las
posiciones fueron obtenidas utilizando trigonometría y las velocidades y
aceleraciones por un proceso derivativo de las primeras. La dinámica se basó en
las ecuaciones de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange obteniendo
ecuaciones diferenciales algebraicas que describen el movimiento del mecanismo.
Es difícil obtener soluciones directas para las ecuaciones planteadas, por lo cual
se plantea método de reordenamiento y partición de las ecuaciones de
movimiento, obteniendo un arreglo de ecuaciones diferenciales en términos de
una sola componente de las coordenadas generalizadas, que son consistentes
con las restricciones de posición y velocidad que actúan en el sistema. Al resolver
este sistema de ecuaciones diferenciales, obtenemos el comportamiento del
sistema.
En 1997, en la universidad de Gaziantep, Turquía, se presentó el modelado,
simulación y control de un mecanismo de cuatro barras con un servo-motor sin
escobillas [14]
El trabajo plantea que los motores con conmutador y escobillas de corriente
directa, imponen ciertas limitaciones de desempeño en servo-sistemas, además
que pueden ser la causa de problemas de mantenimiento. En cambio un motor sin
escobillas donde no existe una interface conmutador-escobillas y el conmutador
mecánico es reemplazado por uno electrónico resulta en un rotor de altas
velocidades y bajas inercias y tiene un gran potencial de confiabilidad comparado
con el motor DC convencional.
17
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
El modelo no lineal del motor sin escobillas en un mecanismo de cuatro barras es
representado por un conjunto de ecuaciones acopladas que se resuelven
utilizando métodos numéricos programados en Turbo Pascal.
Este servo-sistema se plantea experimentalmente, obteniendo resultados muy
parecidos con aquellos hechos en simulación.
Rong-Fong Fung con la ayuda de Rong-Jong Wai continuaron con el trabajo
realizado en el mecanismo de cambio (toggle), presentando en 1998, un trabajo
acerca de dos esquemas de control diseñados para este mecanismo. Control por
modos deslizante y Control por medio de una red neuronal difusa. [15]
El control por modos deslizantes es un medio efectivo para trabajar con
incertidumbres. Este tipo de implementación tiene una buena aceptación en la
comunidad científica, y su aplicación en sistemas dinámicos ha sido posible
gracias a los avances en la electrónica de potencia, siendo su único inconveniente
el fenómeno llamado chattering que se presenta cuando el control conmuta entre
las estructuras(superficies) de control definidas.
Las redes neuronales difusas combinan la capacidad de razonamiento difuso para
manejar incertidumbres y la capacidad de las redes neuronales para aprender
durante el proceso. El control que ocupa esta técnica puede ser aplicado en lazo
cerrado para sistemas no lineales sin usar el complejo modelo matemático que
describe al sistema.
En los trabajos anteriores, no se tomó en cuenta la dinámica del motor y ningún
esquema de control fue implementado en el mecanismo de cambio (toggle), para
controlar su posición, velocidad o trayectoria.
Por tanto se plantean los dos esquemas de control antes mencionados en un
motor de CD de imán permanente. Fung y Wai, muestran que la dificultad de
trabajar con un control por modos deslizantes en sistemas mecánicos, consiste en
encontrar el modelo matemático exacto del sistema y la frontera de incertidumbre
en aplicaciones prácticas; por tal motivo también implementan un control con una
red neuronal difusa.
El trabajo concluye que los datos obtenidos en la simulación y experimentalmente
muestran que los dos esquemas de control resultaron ser muy eficientes y
robustos en el posicionamiento del mecanismo de cambio (toggle)
18
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
En el mismo año, 1998, se publicó un trabajo acerca del control de un mecanismo
biela-manivela usando un control de Torque adaptativo por F.-J. Lin, Y.-S. Lin y S.-
L. Chiu. [16]
El objetivo de este trabajo, consistió en controlar la posición del mecanismo biela-
manivela utilizando un motor síncrono de imán permanente. La metodología que
siguieron fue obtener el modelo dinámico del mecanismo usando las ecuaciones
de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange, después plantearon el esquema de
control de Torque adaptativo considerando incertidumbres en el sistema. El control
fue implementado en un DSP y probado experimentalmente.
El control de Torque es utilizado para linealizar la ecuación no lineal del
mecanismo al cancelar algunos o todos los términos no-lineales, sin embargo esta
técnica presenta una desventaja cuando se aplica en sistemas que trabajan en
tiempo real debido a la falta de conocimiento de las incertidumbres. Por otro lado
el control adaptativo es una técnica que brinda estabilidad a aplicaciones
inherentemente no-lineales.
El resultado de implementar el Control de Torque adaptativo en el mecanismo de
biela-manivela, con el objetivo de controlar su posición, mostró ser un control
robusto con grandes resultados tanto en la simulación, como experimentalmente.
En 1999, el mismo problema lo resolvieron: Rong-Fong Fung, Ken-Wang Chen,
Jia-Yush al implementar un control por modos deslizantes difuso. [17]
La metodología del diseño mecatrónico fue planteada en el trabajo de W.J Zhang,
Q. Li, y L.S. Guo en la publicación de su trabajo “Diseño Integral de la estructura
mecánica y el algoritmo de control de un mecanismo de cuatro barras” presentado
en 1999. [18]
La metodología de diseño implementada sugiere un esquema de re-distribución de
masa negativa con el objetivo de obtener un modelo dinámico simple que facilite
el esquema de control. En consecuencia obtener buen desempeño en el
seguimiento de trayectoria y en el comportamiento ante vibraciones mecánicas.
El seguimiento de trayectoria en eslabones de lazo cerrado no es tan común como
aquellos con lazo abierto como los manipuladores. Sin embargo la dinámica del
primer tipo de eslabonamiento es altamente no-lineal debido principalmente a la
asimetría de la estructura geométrica.
19
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
Una metodología de diseño secuencial, crea en la mayoría de las veces
problemas para la implementación del sistema de control, ya que una de las
principales limitaciones del sistema de control es el sistema mecánico. El diseño
mecatrónico planteado, llamado “Diseño para control” trata de solventar este
problema al pensar en el diseño de los componentes para facilitar el esquema de
control.
Para la obtención de un modelo dinámico general para un eslabonamiento de
cuatro barras, se adapta un resorte torsional y un amortiguador al seguidor del
mecanismo.
Finalmente, con la ayuda de la distribución de masa se elimina el término
gravitacional de las ecuaciones de Lagrange. El controlador implementado es un
PD, proporcional-derivativo el cual logra un buen desempeño en el control de
movimiento del mecanismo.
“Modelar e implementar un control en mecanismos de cadena cerrada”, fue el
título del trabajo de Fathi H. Ghorbel, Olivier Chételat, Ruvina Gunawardana y
Roland Longchamp en el año 2000. El trabajo plantea modelar los mecanismos de
cadena cerrada en términos de sus coordenadas generalizadas e implementa un
control tipo PD, proporcional-derivativo, con compensador de gravedad que
garantiza una estabilidad asintótica. Los experimentos los realizaron con la
construcción de un robot delta. [19]
En la actualidad los robots que realizan la función de maquinar, son robots de
cadena cerrada, ya que ofrecen una mayor rigidez con lo cual pueden trabajar con
materiales más duros.
A diferencia de los mecanismos de cadena abierta, la obtención de las ecuaciones
de movimiento para mecanismos de cadena cerrada que permitan la
implementación de un control más eficiente, es todavía un tema de investigación.
Es común derivar las ecuaciones de movimiento en términos de las variables
actuadas, que generalmente es en número igual a los grados de libertad del
sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar con la técnica de
Uicker, la cual consiste en generar tantas ecuaciones diferenciales de segundo
orden no lineales como grados de libertad se presenten en el sistema.
Se toma la idea de Uicker refiriéndose a ella como el “modelo reducido”, que
muestra la ventaja de permitir extender las leyes de control avanzadas que se
tienen para cadenas cinemáticas abiertas a cadenas cinemáticas cerradas.
20
MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1
El método del “modelo reducido” muestra dos características importantes en los
mecanismos de cadena cerrada. La primera consiste que el sistema está definido
localmente en las coordenadas generalizadas en un dominio compacto con
fronteras que no son fácilmente caracterizadas y la segunda indica que las
ecuaciones dinámicas de estos sistemas son en naturaleza implícitas, lo que
genera un reto en el diseño de un esquema de control. La implementación y el
análisis de estabilidad como la parte implícita del modelo dinámico necesitan un
control basado en el modelo que pueda ejecutarse en línea usando iteraciones
numéricas, forzando a que la operación de cómputo requiera ser casi instantánea
para garantizar la convergencia.
El trabajo muestra que un simple controlador PD, con compensador de gravedad
evade el cómputo en línea y garantiza una estabilidad asintótica según Lyapunov.
Obteniendo buenos resultados en la implementación utilizando un procesado DSP
(Digital Signal Processor) en un “pick and place delta robot”.
En el año 2005, la universidad de Atatürk en Turquía, presentó un trabajo llamado
“Control difuso de un motor de CD conductor de un mecanismo de cuatro barras”,
el cual demuestra que la velocidad angular de entrada de un mecanismo de biela-
manivela, no es constante, presentando fluctuaciones de velocidad a voltajes
constantes ocasionados por los efectos de inercia, por lo cual se diseña un
controlador difuso que regule dicha velocidad y compara los resultados con un
controlador PID presentado en trabajos anteriores. [20]
Las simulaciones muestran los resultados obtenidos, siendo estos muy superiores
en la reducción de fluctuaciones y el porcentaje de sobretiro, así como también en
la estructura del controlador de la señal de salida, lo que facilita la implementación
en hardware.
21
INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2
Se inicia el análisis cinemático, con
un fragmento del libro de “Mecánica
sin Talachas”, escrito por el Doctor
Fermín Viniegra Heberlein, puesto
que muestra como un problema que
parece muy sencillo, se convierte en
complejo al agregar todas las
variables que intervienen en él.
“Los problemas realmente complejos
son los que se observan aquí, en la
Tierra: el vuelo de una flecha a través
del aire es uno de ellos. Para
comprenderlo es necesario entender
no sólo el fenómeno gravitacional de
la Tierra que atrae hacia su centro a
la flecha. También hay que saber que
el aire es un fluido viscoso y que
ejerce fuerzas aerodinámicas sobre la
superficie de control de la flecha,
obligándola a seguir una trayectoria
fija, sin desviarse hacia un lado o el
otro. También es necesario tener un
claro conocimiento sobre los efectos
de la resistencia del aire sobre la
flecha, para poder diseñarla de
manera que vuele mejor, surcando el
espacio libremente. Son muchos los
factores que habrá que tomar en
cuenta para hacer un detallado
análisis del movimiento de la flecha.
Aquellos hechos que por ser
cotidianos parecían simples a la luz
de una razón superficial,
considerados sobre las bases de la
mecánica clásica resultan
sumamente complicados. Se puede
afirmar que, así como la mecánica de
los cielos está al alcance de la mano,
la de los hechos terrenales es una
mecánica de todos los diablos,
debido a las grandes dificultades que
plantea”. [1]
El análisis cinemático estudia el
movimiento de los cuerpos sin
considerar la fuerza que produce
dicho movimiento. Su objetivo es
determinar las posiciones,
velocidades y aceleraciones como
resultado de conocer los movimientos
de entrada pre-escritos. [2]
Índice.
2.1 Grados de Libertad
2.2 Sistemas de Coordenadas
2.3 Restricciones cinemáticas
2.4 Uniones, en sistemas multicuerpo
2.5 Cinemática Directa
2.5.1 Análisis de Posición
2.5.2 Análisis de Velocidad
2.5.3 Análisis de Aceleración
2.5.4 Cinemática de los CM
2.6 Coeficientes de Velocidad y
Aceleración.
ANÁLISIS CINEMÁTICO
22
INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2
23
Tabla 2.1 Pares Inferiores
Nombre Letra DOF Contiene
Revoluta ( R ) 1 R
Prismatico ( P ) 1 P
Helicoidal ( H ) 1 RP
Cilindrico ( C ) 2 RP
Esferico ( S ) 3 RRR
Planar ( F ) 3 RPP
Pares Inferiores
Cualquier sistema mecánico puede ser clasificado de acuerdo al número de
grados de libertad que posee.
Los grados de libertad de un sistema es igual al número de parámetros
independientes, que son necesarios para definir de forma única su posición en el
espacio en cualquier instante de tiempo.
“Eslabón”
Un eslabón es un cuerpo rígido que posee al menos dos nodos que son los puntos
de unión con otros eslabones.
“Par cinemático (junta ó articulación)”
La junta es una conexión entre dos o más eslabones (en sus nodos), los cuales
permiten un movimiento relativo.
“Pares inferiores y superiores”
Reuleux, definió el término de par inferior para describir las juntas con contacto
superficial, como un perno rodeado por un agujero. Y el término par superior para
describir juntas con un punto o línea de contacto. [3]
GRADOS DE LIBERTAD CAPÍTULO 2
24
Para determinar el grado de libertad del mecanismo, es necesario tomar en cuenta
el número de eslabones y pares cinemáticos, así como su interacción.
El grado de libertad de un ensamble de eslabones puede ser descrito usando la
condición de Gruebler. Un eslabón en un espacio tridimensional, tiene 3 grados de
libertad; por tanto un sistema de L eslabones no conectados tendrá un total de 3L
grados de libertad. Como ejemplo, supongamos tener 2 eslabones sin conectar en
un espacio tridimensional, los cuales tendrán 6 grados de libertad; cuando estos
eslabones se conectan por un par cinemático completo, se reduce su número a 4
grados de libertad, en cambio, si fueran conectados por un par cinemático
intermedio, sólo se reduciría en 1, el número de grados de libertad, pues este tipo
de par posee dos grados de libertad, a diferencia del completo que posee sólo
uno. Por otra parte, si un eslabón está sujeto al marco de referencia, se eliminan
sus tres grados de libertad.
Ecuación de Gruebler:
GJLM 323 1.2
M Grados de libertad L Número de Eslabones
J Número de Juntas
G Número de eslabones sujetos al marco de referencia
En un mecanismo, aun cuando más de un eslabón este fijo, este se toma como un
plano fijo, por tanto el número de eslabones sujetos al marco de referencia G=1;
JLM 2)1(3 2.2
El valor J, debe reflejar todos los pares cinemáticos en el mecanismo, es decir
tanto los completos, con un grado de libertad, como los intermedios, con dos
grados de libertad. Por tanto con la modificación de Kutzbach, la ecuación de
Gruebler es:
21 22)1(3 JJLM 3.2
M Grados de libertad L Número de Eslabones
1J Número de Juntas completas
2J Número de Juntas intermedias
GRADOS DE LIBERTAD CAPÍTULO 2
25
Fig. 2.1 Mecanismo de retorno rápido de
Whitworth
2.1.1 MECANISMO DE WHITWORTH
El mecanismo que inventó el inglés Joseph Whitworth, transforma un movimiento
de entrada giratorio continuo en movimiento rectilíneo alternativo. El mecanismo
realiza el movimiento de retorno en menor tiempo, en comparación con su
movimiento de ida. Este mecanismo se clasifica como: RRPRRRP
A continuación se describen los elementos que conforman a este mecanismo.
NOTA:
Los puntos B’ y D’ se agregaron para representar que el eslabón BB’ y DD’
pueden ser más largos en un elemento real. Aunque en este trabajo se seguirá
utilizando la misma nomenclatura, es claro que no sigue la representación
convencional.
“Eslabón 1”
Es la carcasa, sobre la cual van montados el resto de los eslabones
“Eslabón 2 ó BB1 ó BB’ ”
Este eslabón, manivela, está unido al eslabón fijo, eslabón 1, por medio de un par
giratorio “B”, por la que se introduce el movimiento giratorio proveniente de un
motor eléctrico.
GRADOS DE LIBERTAD CAPÍTULO 2
26
“Eslabón 3 ó C”
Es una corredera conectada con un par giratorio al extremo de la manivela y por
medio de un par prismático al eslabón oscilador. Mediante esta corredera se
trasmite y transforma el movimiento continuo de la manivela a movimiento giratorio
oscilante del eslabón oscilador.
“Eslabón 4 ó DD1”
Es un eslabón oscilante, unido al eslabón fijo por medio de un par giratorio “A”
“Eslabón 5 ó EF”
Como el eslabón de salida realiza un movimiento rectilíneo y el extremo del
eslabón oscilador realiza un movimiento curvilíneo, se introduce el eslabón
acoplador “5”, con pares giratorios en sus extremos que transmite el movimiento
del eslabón oscilador al eslabón de salida o pistón.
“Eslabón 6 ó F”
El eslabón de salida, está conectado al eslabón fijo por medio de un par prismático
que le obliga a realizar un movimiento rectilíneo.
En este mecanismo, el punto de articulación “A” del eslabón oscilante “4” con el
eslabón fijo se encuentra entre la corredera “3” y el par giratorio “E” de unión con
el eslabón acoplador “5”.
Este es el diseño original que ideó Joseph Whitworth en el siglo XIX.
En nuestro caso, el mecanismo de Whitworth, tiene 5 eslabones y uno fijo,
además de 7 juntas o pares cinemáticos completos.
GDLM 1)7(2)16(3 4.2
Por tanto, sólo se requiere definir un solo parámetro independiente, para conocer
la posición en cualquier unidad de tiempo del mecanismo.
GRADOS DE LIBERTAD CAPÍTULO 2
27
2.2 SISTEMA DE COORDENADAS
SISTEMA MULTICUERPO
Se define un sistema multicuerpo como un ensamble de dos o más cuerpos
rígidos, imperfectamente unidos, teniendo la posibilidad de moverse relativamente
uno del otro. [4]
COORDENADAS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Al describir un sistema multicuerpo, lo primero que debemos seleccionar son las
coordenadas generalizadas que definirán inequívocamente su posición, velocidad
y aceleración.
En el caso de usar coordenadas independientes, éstas coincidirán en número con
los grados de libertad del sistema. En el caso del mecanismo de retorno rápido,
con un solo grado de libertad, existe sólo una coordenada independiente para
definir al sistema.
Las coordenadas dependientes, son en número mayor que los grados de libertad,
y permiten describir fácilmente el sistema. Al no ser independientes se encuentran
inter-relacionadas a través de las ecuaciones de restricción.
El número de restricciones es igual a la diferencia entre el número de coordenadas dependientes y los grados de libertad. Las restricciones son
generalmente no lineales y son muy importantes en el análisis cinemático y
dinámico de los sistemas.
TIPOS DE COORDENADAS DEPENDIENTES
a) Coordenadas Relativas
b) Coordenadas de punto de referencia o cartesianas.
c) Coordenadas Naturales o cartesianas completas
d) Coordenadas Mixtas
SISTEMA DE COORDENADAS CAPÍTULO 2
28
Fig. 2.2 Coordenadas Relativas
a) “Coordenadas Relativas”
Estas coordenadas definen la posición de cada elemento en relación al elemento
anterior de la cadena cinemática al usar los parámetros o coordenadas
correspondientes a los grados de libertad relativos permitidos por el par que une
estos elementos. Por ejemplo, si dos elementos están unidos por medio de un par
de revolución, su posición relativa está definida por medio de un ángulo, por otro
lado, si la unión es por medio de un par prismático, su posición relativa está
definida por medio de una distancia.
Ventajas
1. Presenta un número reducido de coordenadas dependientes.
2. Son muy adecuadas para configuraciones de cadena abierta.
3. Permite implementar de forma clara un esquema de control, ya que los
motores coinciden con las coordenadas relativas.
Dificultades
1. La formulación matemática puede estar muy entrelazada, porque la posición
absoluta de un elemento depende de las posiciones de los elementos previos
en la cadena cinemática.
2. Conducen a ecuaciones de movimiento con matrices, que a pesar de ser
pequeñas, contienen pocos ceros y algunas veces son complicadas de
evaluar.
3. Se requiere un trabajo previo para determinar las ecuaciones de restricción
independientes, además de un trabajo posterior para determinar el movimiento
absoluto de cada punto y elemento. [4]
SISTEMAS DE COORDENADAS CAPÍTULO 2
29
Fig. 2.3 Coordenadas Punto Referencia
b) “Coordenadas de punto de Referencia”
Estas coordenadas tratan de remediar las complicaciones de las coordenadas
relativas, al definir directamente la posición absoluta de cada uno de los elementos
del sistema, usando tres coordenadas o parámetros.
Se determina la posición de un punto de referencia (el cual a menudo es el centro
de gravedad) con dos coordenadas cartesianas y un ángulo para definir la
orientación del cuerpo en relación a un sistema de ejes inerciales.
Ventajas
1. La posición de cada elemento es determinada directamente, por lo que la
formulación es sencilla y con menos requerimientos previos y posteriores.
2. Las matrices que aparecen en las ecuaciones de movimientos contienen
pocos elementos diferente de cero
Desventajas
1. Presentan un mayor número de variables, que las coordenadas relativas
2. A demás de la dificultad de ser adaptadas a configuraciones particulares como
las cadenas abiertas. [4]
SISTEMAS DE COORDENADAS CAPÍTULO 2
30
Fig. 2.4 Coordenadas Naturales
c) “Coordenadas naturales”
Estas coordenadas pueden ser consideradas como una evolución de las
coordenadas de punto de referencia, puesto que los puntos en lugar de
presentarse en el centro de gravedad, se mueven a las uniones de los elementos,
por lo que cada uno de ellos tiene dos puntos de referencia.
Ya que cada cuerpo tiene dos puntos de referencia, su posición y ángulo de
referencia son determinadas por las coordenadas cartesianas de estos puntos por
lo que las variables angulares ya no son necesarias.
Es importante, al utilizar estas coordenadas, tener en cuenta las siguientes reglas:
1. Cada elemento debe tener al menos dos puntos de referencia (base) para
definir su movimiento.
2. Debe existir un punto base en cada par de revolución, el cual es compartido
por dos elementos
3. Un par prismático une dos cuerpos, y los dos puntos básico de uno de estos
determina la dirección del movimiento relativo, aunque uno de los dos puntos
básicos del otro cuerpo pueda estar localizado en el segmento determinado
por los dos puntos básicos del primero
4. Además de los dos puntos base requeridos, otro punto puede ser
seleccionado.
Finalmente la ventaja más importante de estas coordenadas, reside en que
permite una fácil formulación e implementación desde un punto de vista
computacional. [4]
SISTEMAS DE COORDENADAS CAPÍTULO 2
31
RESTRICCIONES CINEMÁTICAS CAPÍTULO 2
Al utilizar coordenadas dependientes, que son en número mayor que los grados
de libertad del sistema, estas se encuentran inter-relacionadas a través de las
ecuaciones de restricción.
Las restricciones cinemáticas (de ligadura) imponen límites al movimiento relativo
entre cuerpos en los sistemas mecánicos.
Se pueden clasificar en:
a) Restricciones de conducción.
b) Restricciones de Unión.
a) “Restricciones de conducción”
Estas restricciones describen una trayectoria de movimiento especificada y por
tanto, dependen del sistema de coordenadas generalizadas, así como del tiempo.
Por ejemplo, las trayectorias en el análisis de manipuladores robóticos y máquinas
de control numérico. [2]
Un ejemplo lo encontramos, en el artículo publicado por Chun-Yi su, Tin-Pui Leung
y Qi-Jie Zhou, “Force/Motion of Constrained Robots Using Sliding Mode”. En el
que se muestra un esquema de control por modos deslizantes, aplicado a un
sistema multicuerpo de dos eslabones que tiene que seguir una trayectoria
circular. [5]
b) “Restricciones de Unión”
Son el resultado de las restricciones impuestas por las uniones mecánicas como
son las uniones de revolución prismática, cilíndrica y esférica. Estas restricciones
describen la conectividad entre los componentes del sistema multicuerpo y por
tanto definen la estructura topológica del sistema. [5]
Las restricciones de unión, son formuladas de acuerdo con el tipo de coordenadas
seleccionadas para definir el sistema, como ejemplo esta el trabajo de Isidro
Zabalza, Valentin Benitez. “Síntesis Dimensional Óptima de una variante del
mecanismo de retorno rápido” [6]
32
RESTRICCIONES CINEMÁTICAS CAPÍTULO 2
33
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
Fig. 2.5 Restricciones de base
Coordenadas Punto de
Referencia
La manera de modelar las restricciones de unión, depende del sistema de
coordenadas dependientes seleccionado. A continuación, se presenta la
formulación en coordenadas de punto de referencia, coordenadas naturales y
coordenadas mixtas.
COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA
a) Restricción de Base
b) Restricción de Revoluta
c) Restricción prismática.
“Restricción de Base”
Un cuerpo que tiene cero grados de libertad es llamado elemento fijo; implicando
que no tiene movimiento de rotación ni traslación.
0
0
0
3
2
1
c
cR
cR
i
i
y
i
x
)5.2(
321 ,, ccc , son constantes [2]
34
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
Fig. 2.6 Restricciones de revoluta
Coordenadas Punto de Referencia
“Restricción de Revoluta”
Cuando dos cuerpos son conectados por una unión de revolución, sólo se permite
un movimiento relativo de rotación entre ellos.
Los cuerpos i y j, coinciden en el punto P, por lo cual la definición del punto P, del
cuerpo i, debe de coincidir con la definición del punto P, del cuerpo j.
ji rprp )6.2(
0 jjjiii upARupAR )7.2(
Donde
RyRxR , Vector del sistema inercial al punto de referencia.
A Matriz de transformación, desde las coordenadas locales al sistema inercial.
upyupxup , Vector del sistema de referencia local, al punto P. [2]
“Restricción de prismática”
Esta restricción, también llamada unión de traslación, y sólo permite una traslación
relativa entre dos cuerpos a lo largo de un eje de unión.
La ecuación de restricción que elimina la rotación relativa entre los cuerpos es:
0 cji )8.2(
35
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
Fig. 2.7 Restricciones prismáticas
Coordenadas Punto de Referencia
Donde jic 00 constante
ji
00 , Condiciones iniciales de los ángulos.
Una segunda restricción es necesaria para eliminar la traslación perpendicular al
eje de unión, de los cuerpos.
Se define ijrp como un vector que conecta a los puntos iP y jP que se encuentran
en el eje de la unión prismática, iP está definido de acuerdo a las coordenadas
del cuerpo i, mientras que, jP está definido de acuerdo a las coordenadas del
cuerpo j.
Se define también el vector , el cual une a los puntos iP y iQ , perpendicular al
eje de unión de los cuerpos.
Los vectores ijrp y pueden ser definidos en términos de las coordenadas del
cuerpo i y j.
)( i
Q
i
p
ii
j
p
jji
p
iiij
uuAh
uARuARrp
)9.2(
Si no hay traslación relativa de los cuerpos en sentido perpendicular al eje de
unión, entonces
0ijTi rph )10.2(
Por tanto las ecuaciones que definen una restricción prismática pueden escribirse
como: [2]
0
0ijTi
ji
rph
c )11.2(
ih
ih
36
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
Fig. 2.8 Sólido con dos puntos básicos
Coordenadas Naturales
COORDENADAS NATURALES
a) Sólido modelado con dos puntos básicos
b) Sólido modelado con tres puntos básicos
c) Sólido modelado con cuatro puntos básicos
d) Restricción de Revoluta
e) Restricción prismática
f) Restricción prismática especial
“Sólido modelado con dos puntos básicos”
Se define como una restricción de distancia 12L , entre dos puntos, 1 y 2. También
definido como la ecuación de la recta. [7]
02
12
2
12
2
12 Lyyxx )12.2(
37
Fig. 2.10 Sólido con tres puntos básicos co-lineales
Coordenadas Naturales
Fig. 2.9 Sólido con tres puntos
básicos Coordenadas Naturales
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
“Sólido modelado con tres puntos básicos”
Siguiendo el mismo principio se generan tres restricciones de distancia.
0
0
0
2
23
2
23
2
23
2
13
2
13
2
13
2
12
2
12
2
12
Lyyxx
Lyyxx
Lyyxx
)13.2(
En el caso de que los tres puntos se encuentren alineados, entonces la
formulación es la siguiente. Que puede obtenerse por triángulos semejantes. [7]
0
0
0
12
12
13
13
12
12
13
13
2
12
2
12
2
12
yyL
Lyy
xxL
Lxx
Lyyxx
)14.2(
38
Fig. 2.11 Sólido con cuatro puntos
básicos Coordenadas Naturales
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
“Sólido modelado con cuatro puntos básicos”
La técnica que se emplea para determinar las restricciones consiste en elegir tres
puntos básicos no alineados, entre los cuales se establecen las ecuaciones de
restricción de distancia. El resto de puntos básicos se expresarán como
combinación lineal de los vectores que definen esa base.
Estas ecuaciones aseguran el comportamiento rígido del triángulo formado por los
puntos 1, 2 y 3.
0
0
0
2
23
2
23
2
23
2
13
2
13
2
13
2
12
2
12
2
12
Lyyxx
Lyyxx
Lyyxx
)15.2(
Si, tomamos como origen del sólido al punto 2, entonces la base estará formada
por los vectores r2-1 y r2-3. Las ecuaciones 2.15 indican que el vector r2-4 puede
expresarse como una combinación lineal de los vectores base. Siendo y
constantes. [7]
0
0
232124
232124
yyyyyy
xxxxxx
)16.2(
39
Fig. 2.12 Restricción prismática
Coordenadas Naturales
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
“Restricción de revoluta”
Se recomienda utilizar una coordenada en las articulaciones del eslabonamiento.
Cada elemento del eslabonamiento con movimiento relativo de rotación, está
definido por dos puntos básicos. El eslabonamiento hace que un punto básico sea
compartido por ambos cuerpos. Es decir, si se comparte un punto básico en la
definición de los dos elementos vecinos, implícitamente se está obligando a que
los dos elementos viajen con ese punto en común.
Así que no es necesario establecer alguna ecuación de restricción. [7]
“Restricción de prismática”
Es necesario formular dos ecuaciones de restricción, que impidan el movimiento
relativo que restringe el par
La primera restricción, es una ecuación del producto vectorial nulo entre los
vectores r1-2 y r1-3, que asegura que el punto 3 se encuentre siempre alineado
con los puntos 1 y 2.
La segunda restricción, tiene como fin impedir que se produzca un giro relativo
entre los dos elementos. Siendo c una constante que depende del ángulo que
forma el vector r1-2 con r3-4. [7]
013121312 xxyyyyxx
)17.2(
034123412 cyyyyxxxx
40
Fig. 2.13 Restricción prismática especial
Coordenadas Naturales
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
)18.2(
Restricción de prismática Especial”
En esta restricción se presenta un par prismático y un par revolución integrados.
Por tanto sólo se necesita una ecuación de restricción que limite al punto 3 estar
alineado con los puntos 1 y 2.
013121312 xxyyyyxx
Siendo entonces la diferencia que este tipo de restricción permite el giro relativo
entre los dos elementos. [7]
41
Fig. 2.14 Restricción de ángulo
Coordenadas Mixtas
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
COORDENADAS MIXTAS
Las coordenadas mixtas, indican una modelación en la que además de las
coordenadas naturales, se han utilizado algunas coordenadas relativas ya sean
ángulos, distancias o ambas.
a) Restricción de ángulo
b) Restricción de distancia.
“Restricción de ángulo”
Se define un ángulo, entre dos elementos unidos por una articulación.
La ecuación que liga el ángulo con las tres coordenadas que describen los tres
puntos básicos, puede ser representada como un producto escalar conocido como
la ecuación del coseno, o como un producto vectorial conocido como la ecuación
del seno.
0cos231223212321 LLyyyyxxxx
)19.2(
0231223212321 senLLxxyyyyxx
El uso de alguna de éstas dos ecuaciones, no es indiferente; puesto que al
acercarse su valor a 0, en el caso de la ecuación del coseno y 90 en el caso de la
ecuación seno, estas se vuelven inválidas. Por lo cual su correcta implementación
requiere una conmutación dependiendo del ángulo. [7]
42
Fig. 2.15 Restricción de
distancia Coordenadas Mixtas
UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2
“Restricción de distancia”
Si se pretende plantear una restricción en la cual dos puntos conserven su
distancia, es necesario formular una ecuación de restricción como se mostró con
tres puntos básicos co-lineales. Estando dicha distancia involucrada en el factor de
proporcionalidad. Condición que cumples las dos siguientes ecuaciones.
012
12
13 xxL
sxx )20.2(
012
12
13 yyL
syy
Las cuales, tampoco pueden utilizarse indistintamente, por lo que tienen que
conmutar, mientras que el elemento que une a los puntos 1 y 2, se encuentre a
menos de 45 o 45 grados de la horizontal, se ocupará la formulación en x, en caso
contrario se opta por la formulación en y.
Siendo también opción formular la restricción de la manera siguiente, si el signo de
la distancia s, no es importante. [7]
022
13
2
13 syyxx )21.2(
43
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
Fig. 2.16 Mecanismo de Whitworth
COORDENADAS NATURALES
En este apartado, se presenta la formulación de las ecuaciones de restricción de unión, para el análisis de posición del mecanismo de Whitworth, utilizando coordenadas naturales.
La restricción de la barra BC, puede modelarse ya sea como un Sólido modelado
con dos puntos básicos, o como dos ecuaciones que relacionan Longitud y ángulo.
“Sólido modelado con dos puntos básicos”
02
1
2
1
2
1 BBBBBB Lyyxx )22.2(
“Tres puntos co-lineales” B, C, B’ (Figura 2.17)
01111 CBBBBBCB yyxxyyxx
)23.2(
44
Fig. 2.17 Restricción Sólido BB1
CINEMÁTICA DIRECTA, ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
“Relación de distancia”
01
1
11 BB
BB
CBCB yy
L
Lyy
)24.2(
01
1
11 BB
BB
CBCB xx
L
Lxx
“Relación de Longitud- ángulo”
0sin11 BBB Lx )25.2(
0cos11 BBB Ly
0sin11 CBBBC LLx )26.2(
0cos11 CBBBC LLy
Se modeló agregando un punto B1 ó B’ con el fin de aclarar que el punto C, no es
la terminación del elemento 2. Se propone un disco con radio 1BBL , al cual se
integra un perno, a una distancia 1CBL de su circunferencia.
Las ecuaciones (2.22) y (2.23), son dos opciones por las cuales podemos modelar
el punto B1.
Las ecuaciones (2.24), (2.25) plantean como integrar el punto B1, si se ocupa la
“Relación de Longitud- ángulo”
45
Fig. 2.18 Restricción Solido DD1
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
El eslabón 4, aunque es un solo elemento, se trata con dos longitudes, La longitud
ADL nos indica el factor de rapidez del retorno; Mientras que la longitud 1ADL nos
ayuda a establecer la distancia que recorre el efector final.
“Sólido modelado con dos puntos básicos”
02
1
2
1
2
1 DDDDDD Lyyxx )27.2(
“Tres puntos co-lineales” A, C, D’
0 CDADADCD yyxxyyxx
)28.2(
“Tres puntos co-lineales” A, C, D’
011 EADADAEA yyxxyyxx )29.2(
“Relación de distancia”
01
1
11 DA
ED
ADDE yy
L
Lyy
)30.2(
01
1
11 DA
ED
ADDE xx
L
Lxx
46
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
Fig. 2.19 Restricción Solido EF
011
11
EA
EDAD
EDDDED yy
LL
LLyy
)30.2(
011
11
EA
EDAD
EDDDED xx
LL
LLxx
0 pxA )31.2(
0 hyA )32.2(
Se modeló agregando un punto D1 con el fin de aclarar que el punto E, no es la
terminación del elemento 4. El punto E, es ajustable de acuerdo a la distancia del
recorrido
Las ecuaciones (2.28) y (2.29), son dos opciones por las cuales podemos modelar
el punto E.
El centro de masa de este eslabón 4, depende de la distribución de masa y las
longitudes LAD y LAD1.
Modelamos el eslabón 5 como un sólido con dos puntos básicos
“Sólido modelado con dos puntos básicos”
0222 EFFEFE Lyyxx )33.2(
0myF )34.2(
47
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
Las ecuaciones cinemáticas para el mecanismo de retorno rápido son:
Ecuaciones
02
1
2
11
2
11 BBBBBB Lyyxxf 0222
2 EFFEFE Lyyxxf 0
222
3 ADADAD Lyyxxf Relación de distancia
01
1
1
14 BB
BB
CB
CB xxL
Lxxf
01
1
1
15 BB
BB
CB
CB yyL
Lyyf
011
116
EA
EDAD
EDDDED xx
LL
LLxxf 0
11
117
EA
EDAD
EDDDED yy
LL
LLyyf
01
1
118 DA
ED
ADDE xx
L
Lxxf
01
1
119 DA
ED
ADDE yy
L
Lyyf
Tres puntos co-lineales
010 CDADADCD yyxxyyxxf
Ecuaciones de diseño
011 myf F
Ecuaciones Auxiliares
0 pxA
0 hyA
0sin11 BBB Lx
0cos11 BBB Ly
0sin11 CBBBC LLx
0cos11 CBBBC LLy
Incógnitas:
FFEEDDDD yxyxyxyx ,,,,,,, 11
48
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
El sistema se resuelve para un ángulo de entrada, obteniendo la posición de
todos los puntos del mecanismo.
Esta metodología es muy intuitiva, por lo que ofrece una gran ventaja en su
implementación en software.
En el Anexo A, se encuentra un programa en Matlab, para la solución de la
posición del mecanismo de Whitworth utilizando coordenadas naturales.
49
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
Fig. 2.20 Mecanismo de Whitworth
Fig. 2.21 Lazo I
COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA: Método de Lazos
En este apartado, se presenta la formulación de las ecuaciones de restricción de unión, para el análisis de posición del mecanismo de whitworth, utilizando Coordenadas de punto de referencia Como se menciono antes, este tipo de coordenadas se basa en describir los pares de un eslabón respecto a un punto fijo, que generalmente es el CM; Sin embargo, el punto fijo puede ser también, un par. Para la descripción de la posición del mecanismo, utilizaremos la metodología de lazos. “Lazo I”
BCACBA RRR )35.2(
50
Fig. 2.22 Lazo II
CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2
2GR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 2G
3GR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 3G
24OGR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 4G
2I , Segundo momento de Inercia del eslabón 2
3I , Segundo momento de Inercia del eslabón 3
4I , Segundo momento de Inercia del eslabón 4
2 , Velocidad angular del eslabón 2
3 , Velocidad angular del eslabón 3
4 , Velocidad angular del eslabón 4
FUERZAS Y MOMENTOS DE SACUDIMIENTO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5
209
Como se ha presentado, la resultante de todas las fuerzas que actúan en un
cuerpo debido a las fuerzas de inercia es conocida como fuerzas de desbalanceo
o de sacudimiento “shaking”.
Se utiliza el término de balanceo pasivo para describir la atenuación de las fuerzas
y momentos de sacudimiento al añadir o quitar masa de varias porciones de los
eslabones de movimiento. Este tipo de balanceo es por mucho la solución más
simple y menos costosa del problema.
Es importante tener en mente que aun cuando las fuerzas de inercia en un
mecanismo estén balanceadas, aún existen momentos de inercia presentes.
Aunque en muchas aplicaciones el balanceo de las fuerzas de inercia solamente
es aceptable, se debe reconocer que la suma de los contrapesos tiende a
incrementar el momento de inercia, las fuerzas en los cojinetes y el torque
requerido.
Para evitar un gran incremento en las reacciones de los cojinetes, puede que sea
deseable reducir el tamaño de los contrapesos, aunque sólo se tenga un balanceo
parcial de la fuerza. [11]
Si se imagina una máquina como si estuviera compuesta de varios mecanismos,
se podría considerar el balanceo de la misma, balanceando cada mecanismo por
separado. Sin embargo, pudiera ser que esto no conduzca al mejor balanceo para
la máquina, debido a que la adición de un gran número de contrapesos puede
hacer que el momento de torsión de inercia sea completamente inaceptable. Es
más, el desbalanceo de un mecanismo puede contrarrestar el balanceo de otro,
eliminando en primera instancia la necesidad de algunos contrapesos. [6]
Sin embargo, para tratar con el mecanismo de Whitworth planteado, se analizará
primeramente el balanceo del mecanismo Biela-manivela-corredera y como afecta
dicho balanceo en las ecuaciones dinámicas de éste. Entonces se planteará un
método de balanceo para el mecanismo completo.
BALANCEO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5
210
BALANCEO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5
211
Fig. 5.12 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera
Con el objeto de balancear las fuerzas de inercia en un mecanismo Manivela-
Biela-Corredera, se añaden masas de balanceo. Tomando en cuenta que resulta a
veces impráctico balancear completamente el mecanismo debido a los efectos que
puede tener en el torque, en los cojinetes y en los momentos de inercia.
En el mecanismo se presentan las fuerzas derivadas del movimiento, pues aunque
las fuerzas estáticas siguen existiendo, estas son pequeñas en comparación con
las primeras.
NOTA:
90
90
Constante
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
212
El eslabón AE, “4” del mecanismo general, mantiene una velocidad angular
constante, sin embargo el eslabón EF, “5” del mecanismo general, presenta dos
movimientos: Traslación y rotación. Para dar una aproximación de balanceo al
mecanismo, el eslabón EF se modela como una barra que tiene dos masas
concentradas en cada lado. Para mantener la misma dinámica se agregan las
siguientes ecuaciones:
EFFBielaEBiela mmm (5.17)
fmem FBielaEBiela (5.18)
EFGFBielaEBiela IIfmem 5
22 (5.19)
Estas ecuaciones representan las 3 condiciones que deben cumplirse para realizar
la aproximación de balanceo.
La suma de las masas concentradas EBielam y FBielam deben ser igual a la masa
total de la biela.
El centro de gravedad debe encontrarse en 5G
Los momentos de inercia de las masas concentradas en 5G , deben ser igual al
momento EFI
Donde EFG II 5 , es el segundo momento de inercia del eslabón EF.
Así mismo se derivan las siguientes ecuaciones:
L
fm
fe
fmm EFEF
EBiela
(5.20)
L
em
fe
emm EFEF
FBiela
(5.21)
L, indica la longitud total de la biela.
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
213
Fig. 5.13 Masas Equivalentes
Fig. 5.14 Masa de Balanceo
El mecanismo con las masas equivalentes se muestra a continuación.
Como el eslabón AE gira a velocidad constante, la fuerza dinámica en el par A
causada por las dos masas AEm , EBielam es sólo la componente normal de la
aceleración. Por tanto, la fuerza dinámica 2amRm AEEBiela puede ser
balanceada simplemente al añadir una masa de balanceo Balanceom , en una
dirección opuesta de la manivela.
BalanceoBalanceoAEAEEBiela LmamLm (5.22)
FFBielaFTotal mmm (5.23)
NOTA: La FTotalm causará una fuerza en dirección del eje del pistón. Esta
fuerza es la que se debe determinar para balancear el mecanismo
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
214
Se definen las ecuaciones de posición del pistón, para después derivarlas 2 veces
y obtener la aceleración necesaria para determinar la fuerza FTotalm
)coscos( EFAEAFX RRR (5.24)
sinsin EFAE LL (5.25)
Donde: LLEF
Ahora, si tomamos la identidad.
2
2
2 sin1sin1cos
EF
AE
L
L (5.26)
Esta expresión se sustituye en (5.24), y se deriva 2 veces para obtener la
aceleración
AFXR .
Sin embargo, el resultado es muy complicado, y dado el hecho de que se
comenzó con la premisa de obtener una aproximación al balanceo del mecanismo
mediante masas concentradas en cada lado de la biela. Entonces también
aproximaremos la ecuación (5.26).
...128
5
16821)1(
432
ssss
s Para 12 s
Siendo
2
2
2 sinsin
EF
AE
R
Rs
La cual cumple con la serie, puesto que EFAE RR y 1sin
La serie se puede detener en el segundo término, pues desde el tercero los
valores son muy pequeños en comparación con sus antecesores.
2
2
sin11cos
EF
AE
R
Rs (5.27)
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
215
Fig. 5.15 Diagrama de cuerpo libre y aceleraciones
Se usa la siguiente identidad
2cos2
1
2
1sin 2
Que se sustituye en (5.27) y ambas en (5.24).
)2cos44
cos(
22
EF
AE
EF
AEEFAEAFX
L
L
L
LLLR (5.28)
La cual se deriva dos veces, para obtener la aceleración
iL
LLR
EF
AEAEAFX )2cos(cos2
(5.29)
NOTA: En el estudio se descartan las fuerzas estáticas (Pesos) y se asume que
las fuerzas debidas a la aceleración normal de la manivela y la porción de la biela
EBielam han sido balanceadas al agregar una masa Balanceom a una distancia BalanceoR
del par A. Además se agrega un Par AT , que mantiene a la velocidad angular
constante.
Al agregar la masa Balanceom se atenúa la fuerza de sacudimiento. Sin embargo
debido a que sólo funciona en el movimiento de rotación y no el reciprocante, el
mecanismo está parcialmente balanceado. La única masa que falta balancear es
la masa FTotalm .
A continuación se presentan los diagramas de cuerpo libre y de aceleración de
masas.
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
216
Al hacer la sumatoria de momentos desde el par A, se obtiene:
x
TR A (5.30)
Y debido a que no hay aceleración en “y”
x
TRF A1 (5.31)
Las aceleraciones de las masas AEm , EBielam y Balanceom no se muestran, ya que se
cancelan cuando se aplica la segunda ley de Newton. Sin embargo, es importante
notar que estas fuerzas se encuentran en el mecanismo.
Al hacer la sumatoria de fuerzas en dirección x, se obtiene:
xX maF
AFXFTotalR RmF
)2cos(cos2 EF
AEAEFTotalR
L
LLmF (5.32)
La fuerza RF , es la fuerza que aplica el perno del par A a la manivela. De la misma
forma la manivela aplica una fuerza al perno del par A que es de la misma
magnitud pero de sentido contrario.
)2cos(cos2 EF
AEAEFTotalRS
L
LLmFF (5.32)
Esta fuerza es propiamente la fuerza que transmite el mecanismo a la base,
también llamada “Fuerza de sacudimiento”.
La magnitud de la fuerza como su dirección, cambian con respecto al ángulo ,
pero la línea de acción permanece en el eje del pistón.
En este ejemplo, no se muestra el balanceo de la masa reciprocante FTotalm , sin
embargo, se muestra que la fuerza de sacudimiento generada se restringe en la
línea de acción del eje del pistón.
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
217
Fig. 5.16 Mecanismo MBC Simulación
Fig. 5.17 Fuerzas de Sacudimiento MBC
Simulación
A continuación se ejemplifica las fuerzas de sacudimiento mediante una
simulación en Working Model.
La gráfica de las reacciones está comparada con los grados que gira el
mecanismo teniendo una velocidad 100 constante.
Datos:
kgmAE 1
kgmEF 1
kgmF 0
mLAE 1
mLEF 4
kgmBALANCEO 1
g=0
Las reacciones de este mecanismo en el par A.
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
218
Fig. 5.18 Mecanismo MBC Simulación
Balanceado
Fig. 5.19 Fuerzas de Sacudimiento MBC
Simulación Balanceado
Obtenemos la distancia a la masa de balanceo desde el par A
EF
EFEFEFEBiela
L
fm
L
fm
fe
fmm
EF
EFEFEFFBiela
L
em
L
em
fe
emm
BALANCEOBALANCEOAEAEEBiela LmamLm
Por tanto:
kgmEBiela 5.0
kgmFBiela 5.0
mLBALANCEO 1
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
219
Fig. 5.20 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera
con Manivela-Rueda
El objetivo ahora, consiste en agregar una rueda en lugar de la manivela y utilizar
el mismo método de balanceo.
Nota: El Centro de masa de la manivela se ubica en el par A.
90
90
Constante
Las ecuaciones (5.17) a (5.32) son las mismas excepto que el valor de 0a
La ecuación (5.22) muestra el cambio de utilizar una rueda en lugar de una barra.
BalanceoBalanceoAEAEEBiela LmamLm (5.22)
BalanceoBalanceoAEEBiela LmLm (5.33)
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
220
Fig. 5.21 Mecanismo MBC Simulación
Balanceado Manivela Rueda
Fig. 5.22 Fuerzas de Sacudimiento MBC
Simulación Balanceado Manivela Rueda
Utilizando los mismos datos del ejemplo anterior, se obtienen las fuerzas de
sacudimiento generadas por las masas del mecanismo.
Datos
kgmAE 1
kgmEF 1
kgmF 0
mLAE 1
mLEF 4
kgmBALANCEO 1
g=0
Ecuaciones
EF
EFEFEFEBiela
L
fm
L
fm
fe
fmm
EF
EFEFEFFBiela
L
em
L
em
fe
emm
BALANCEOBALANCEOAEEBiela LmLm
Por tanto:
kgmEBiela 5.0
kgmFBiela 5.0
mLBALANCEO 5.0
BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5
xxxvii
CONCLUSIONES
1. Se han desarrollado distintos trabajos que engloban la
conceptualización de cómo formular el modelo matemático de un
mecanismo de lazo cerrado, e incluso de la forma en cómo construir
dicho modelo en un programa de computadora.
2. Los modelos en coordenadas naturales y coordenadas de punto de
referencia con su origen en el centro de masa de los eslabones,
ofrecen la posibilidad de englobar en una representación sencilla la
cinemática, dinámica (Fuerzas externas y de reacción) de los
mecanismos.
3. Se ha formuladoun modelo matemático que se asemeje al modelo
utilizado en mecanismos de lazo abierto como los robots, permite
probar con algoritmos de control bien estudiados en los mecanismos de
lazo cerrado. Sin embargo, hay que tomar en consideración que para
asemejar los modelos es necesario utilizar multiplicadores de Lagrange;
ya que las ecuaciones para los mecanismos de lazo cerrado presentan
coordenadas dependientes debido a que un solo actuador genera
movimiento en muchos eslabones.
4. Los métodos planteados en el mecanismo de retorno rápido de
Whitworth pueden generalizarse para mecanismos de cuatro, seis
barras, así como a distintas configuraciones de pares cinemáticos.
5. Los trabajos que se enuncian como referencia, muestran sus resultados
en mecanismos con muchos parámetros idealizados, esto es, simplifican
las variables para obtener un modelo sencillo que facilite la
comprobación de los algoritmos de control. Este no es el caso de este
trabajo, por lo tanto las ecuaciones muestran eslabones cuyo centro de
masa no necesariamente se encuentra en la línea que une a los pares
cinemáticos. Esta característica ocasiona ecuaciones más complicadas
y laboriosas.
CONCLUSIONES
xxxviii
Por tanto se propone el balanceo de los mecanismos como una forma
de simplificar el modelo sin idealizar el sistema.
6. El balanceo de los mecanismos es un tema muy extenso y no existe una
metodología a seguir de forma generalizada, como existe en el
balanceo de ejes. De manera que solo se han realizado estudios de
balanceo en mecanismos muy específicos, siendo el mecanismo de
manivela-biela y pistón el más mencionado. El propósito de balancear
el mecanismo es fijar el centro de masa general del mecanismo, lo que
elimina o disminuye los efectos de algunas variables en el modelo.
7. En este trabajó se proponen dimensiones de un mecanismo de retorno
rápido que opere como máquina herramienta, por consiguiente se
agregan características de corte, velocidad de maquinado, avances,
materiales, etc. El dimensionamiento se basa en las curvas de
aceleración de los eslabones y la proporción de velocidades del
retorno rápido.
CONCLUSIONES
xxxix
TRABAJO FUTURO
Los alcances de este trabajo contemplan únicamente el estudio
cinemático y dinámico de mecanismos de lazo cerrado. Así como diversas
metodologías de modelado e implementación en software. También, la
síntesis dimensional de un mecanismo de retorno rápido y la propuesta de
simplificar el modelo encontrado en base al balanceo de los eslabones.
Con el fin de poder aplicar algoritmos de control originalmente planteados
para mecanismos de lazo abierto.
Tomando como base la información presentada en este trabajo, se
proponen como trabajos futuros a esta investigación los siguientes temas.
Balanceo de los mecanismos
El balanceo de los mecanismos es un tema de investigación muy extenso,
ya que los modelos generalmente dependen de la topología de cada
mecanismo. Ahora, el mecanismo de retorno rápido planteado consiste en
dos configuraciones o inversiones del mecanismo manivela-biela-
corredera. Por una parte la inversión utilizada como pistón es de las más
estudiadas, por otro lado la segunda inversión, que es la encargada de la
variación de velocidades de la ida y retorno del mecanismo, presenta una
aceleración de coriolis, lo que genera un reto en su balanceo.
Modelado de eslabones flexibles
En este trabajo, se presentan los métodos utilizados para formular las
ecuaciones cinemáticas y dinámicas de los mecanismos de lazo cerrado,
partiendo de la idealización de eslabones indeformables. El estudio de
eslabones flexibles lleva a una metodología más cercana a la realidad.
Siendo una de cualidades, una mejor descripción de los mecanismos que
se someten a altas velocidades. Además que el modelo permite el análisis
por elementos finitos del mecanismo, lo que ayuda a determinar de forma
más exacta los esfuerzos y deformaciones que sufre cada uno de los
eslabones en movimiento.
TRABAJO FUTURO
xl
Manufactura de los mecanismos
Las dimensiones obtenidas en este trabajo, sirven como base para un
estudio detallado de la manufactura necesaria y correcta de los
mecanismos. Es decir, debido a que el enfoque involucra el control del
mecanismo, es necesario proponer e implementar materiales adecuados
para un correcto desempeño. Un ejemplo sería el usar en una máquina de
fresado un tornillo acme y un tornillo de bolas, ambos cumplirían el mismo
fin de mover la mesa de la máquina pero con diferentes precisiones;
Siendo el segundo más fácil de controlar ya que presenta menos
perturbaciones.
Optimización dimensional de los mecanismos
El modelo matemático planteado, sirve como referencia para aplicar
metodologías de optimización cinemática y dinámica de los mecanismos.
Como referencia, se encuentran los trabajos de García de Jalón y Ahmed
A. Shabana.
Mecánica Computacional
El trabajo presenta la metodología para obtener la formulación
matemática de los mecanismos de lazo cerrado, está metodología es
aplicable a implementarse en software para el análisis de movimiento de
diversos mecanismos. Así como, existe un software capaz de generar
información de esfuerzos, deformaciones, transferencia de calor, etc.
Implementar la metodología planteada para realizar análisis de
mecanismos por medio de software.
Implementación de control
Todas las ecuaciones necesarias para describir la cinemática y dinámica
del mecanismo de retorno rápido, se encuentran explicadas y validadas
por algoritmos en matlab y simulaciones en Working model en este trabajo.
De manera que pueden tomarse como base para probar nuevos
algoritmos de control, o plantear algoritmos ya existentes y comparar los
resultados con las mejoras añadidas del diseño mecánico.
TRABAJO FUTURO
BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 1
BIBLIOGRAFÍA: CAPÍTULO 1
1. International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Chapter 1, History of Dynamics of Machines and Mechanisms from Leonardo to Timoshenko by Francis C. Moon, Chapter 3, Some Origins of TMM Arisen from Pseudo-Aristotle and Hero of Alexandria by Agamenon R.E. Oliveira.
2. Una mecánica sin Talachas by Fermin Viniegra Heberlein. 3. http://www.pittdixon.go-plus.net/whitworth/whitworth.htm, Sir Joseph
Whitworth 4. http://www.wikipedia.org/ 5. Handbook of Automation, Chapter 4, Christopher Bissell. 6. Estabilidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias y de las ecuaciones
funcionales, Abel R. Castro Figueroa 7. Criterio de Estabilidad de Nyquist- Aplicación al análisis de la Estabilidad de
Sistemas de Control continuos, lineales e invariantes en el tiempo, UTN/FRBA
8. Poincaré, creador de los métodos todavía modernos en las ecuaciones diferenciales y en la mecánica celeste, Amadeu Delshams.
9. Mechatronics Handbook (2002), Robert H. Bishop, Chapters 1 and 10. http://www.meca.cinvestav.mx/quees.html 11. http://www.graphit.hu/NX/prospektus/CAD/NX-Mechatronics-Concept
Designer.pdf 12. Motion profile planning of repetitive point to point control for maximum energy
conversion efficiency under acceleration conditions, Mechatronics Vol.6, pp. 649-663,1996
13. Inverse Dynamics of a toggle mechanism, Computer & Structures Vol.63, No I, pp. 91-99, 1997
14. Modeling, simulation and control of a four-bar mechanism with a Brushless Servo Motor, Mechatronics Vol.7, No.4, pp.369-383,1997
15. Comparison of Sliding-Mode and Fuzzy Neural Network Control for Motor-Toggle Servomechanism, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol.3, No.4, 1998
16. Slider-crank mechanism control using adaptive computed torque technique, IEEE Proc. Control Theory Appl. Vol.145, No.3, 1998.
17. Fuzzy sliding mode controlled slider-crank mechanism using a PM synchronous servo motor drive, International Journal of Mechanical Sciences 41, 1999.
18. Integrated Design of Mechanical Structure and control Algorithm for a Programmable Four-Bar Linkage, IEEE/ASME Transactions on mechatronics, Vol.4, No.4, 1999.
19. Modeling and set point control of closed chain mechanisms: Theory and Experiment, IEEE Transactions on control systems technology Vol.8, No.5, 2000.
20. Fuzzy control of a dc motor driven four-bar mechanism, mechatronics 15
(2005)
BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 2
BIBLIOGRAFÍA: CAPÍTULO 2
1. Una mecánica sin Talachas, Fermín Viniegra Heberlein. Año y editorial 2. Computational Dynamics Second Edition, Ahmed A. Shabana 3. Design of Machinery, Robert Norton 2nd Edition 4. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems, Garcia de Jalon,
Bayo. 5. Force/Motion Control of Constrained Robots Using Sliding Mode, IEEE
transactions on automatic control, Vol. 37, No 5, May 1992. 6. Síntesis Dimensional optima de una variante del mecanismo de retorno
rápido de Whitworth, Universidad Pública de Navarra. 7. http://es.scribd.com/doc/56605020/10/Coordenadas-naturales-caso-plano,
Apuntes Mecanismos Nuevas Metodologías de análisis cinemático de mecanismos planos y espaciales, Profesor: Alejandro Gutiérrez S.
2. The Role of Control in Mechatronics, Job van Amerongen. Cornelis J.
Drebbel Insitute for Systems Engineering and Control Laboratory, Faculty of
Electrical Engineering University of Twente.
3. Mechatronic Design Approach, Rolf Isermann, Darmstadt University of
Technology.
4. Integrated Design of Mechanical Structure and Control Algorithm for a
Programmable Four-Bar Linkage. W.J. Zhang, Q. Li, and L.S. Guo,
IEEE/ASME Transactions on mecatronics, VOL 4, No. 4, DECEMBER 1999
5. Shaking Force and Shaking Moment Balancing of Mechanisms: A Historical
Review with new examples, Vigen H. Arakelian Professor, INSA-Rennes,
Department “GMA” and M. R. Smith Department of Mechanical, Materials and
manufacturing Engineering, University of Newcastle. Journal of Mechanical
Design March 2005, Vol. 127
6. Teoría de máquinas y mecanismos. Joseph Shigley
7. Mecanismos y dinámica de maquinaria, Mabie Reinholtz.
8. Design of Machinery. Robert Norton 2nd Edition
9. Advanced Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Volume 2. George N.
Sandor / Arthur G. Erdman
10. Wikipedia. Momento de Inercia
11. KINEMATICS & DYNAMICS OF PLANAR MACHINERY. Burton Paul
12. Mec E 362 Mechanics of Machines, 7 Balancing Reciprocating Masses,
Alberta University Canada
BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 5
BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 5
ANEXOS ANEXO A
En este ANEXO se incluyen 2 archivos:
Solucion Coord Naturales.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas naturales se muestran las ecuaciones que definen la posición de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.
Solucion Coord Naturales.m
clear all %clears all variables and functions clc %clears the command window and homes the cursor close all %closes all the open figure windows
contador=0; inc=10;
for t=0:inc:360 contador=contador+1; Theta=t*pi/180;
%Magnitudes de los eslabones LBB1=10; LEF=30; LCB1=2; LED1=2; LAD=20; LAD1=10; LDD1=(LAD+LAD1);
%Magnitudes de las variables de diseño m=-5; p=0; h=-2;
%Magnitudes de Constantes KA=LCB1/LBB1; KB=(LDD1-LED1)/(LAD1-LED1); KC=LED1/LAD1;
axis([-20 40 -20 20]); plot([xB1,xB],[yB1,yB],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xC,xB],[yC,yB],'r-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xB],[yA,yB],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xD,xA],[yD,yA],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xE],[yA,yE],'r-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xD1],[yA,yD1],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xE,xF],[yE,yF],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([20,40],[-5,-5],'b-o','LineWidth',1.5) hold off
Cinematica_Matlab_4.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.
Cinemática_Matlab_4.m
% Este programa, muestra la cinemática de un mecanismo de whitworth de % retorno rápido, utilizando la matriz Jacobiano, para la obtención de la % velocidad y aceleracion. % Nota: Estas ecuaciones, tienen 4 incógnitas dependientes de Theta.
clear all %clears al variables and functions clc %clears the command window and homes the curso close all %closes all the open figure windows
% La variable contador, es importante en el ciclo for, para ubicar en que % ciclo, se presentan los datos. Se utilizo principalmente para que % pudieramos comparar los resultados con el programa en Mathematica.
% La variable inc, nos dice como se va a incrementar la variable de
entrada % Theta.
contador=0; inc=10;
% Los siguientes vectores, se definen, puesto que van a guardar cada uno
% Magnitudes de las variables de diseño P =- 3; H = -3; m = 2;
% Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;
% Aceleracion ángular de entrada ThetaPP=0*pi/180;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta.
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))-H)<0 Phi=pi+Phi;
end
ANEXOS ANEXO B
if -(-LBC*sin(Theta)-P)<0 && ((LBC*cos(Theta))-H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi; % Phi=-(2*pi-Phi); end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); % Phi=2*pi+Phi;
%*********************************************************** %************ RECOPILACIÓN DE DATOS ******************** %***********************************************************
%*********************************************************** %************ MECANISMO EN MOVIMIENTO ****************** %***********************************************************
axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RACx+P],[H,RACy+H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RADx+P],[H,RADy+H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RAD1x+P],[H,RAD1y+H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([+P,RAEx+P],[H,RAEy+H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P+RAEx,P+ REFx+RAEx],[RAEy+H,REFy+RAEy+H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on hold off
% Este pause, se pone, para visualizar el mecanismo en movimiento.
pause(0.1);
end close all;
ANEXOS ANEXO B
%*********************************************************** %************ GRAFICAS DE LAS VARIABLES ****************** %************ CON RESPECTO A THETA ****************** %***********************************************************
Cinematica_Matlab_2.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.
Cinemática_Matlab_2.m
% Este programa, muestra la cinemática de un mecanismo de whitworth de % retorno rápido, utilizando la matriz Jacobiano, para la obtención de la % velocidad y aceleracion. % Nota: Estas ecuaciones, tienen 2 incógnitas dependientes de Theta.
clear all %clears all variables and functions clc %clears the command window and homes the cursor close all %closes all the open figure windows
% La variable contador, es importante en el ciclo for, para ubicar en que % ciclo, se presentan los datos. Se utilizo principalmente para que % pudieramos comparar los resultados con el programa en Mathematica.
% La variable inc, nos dice como se va a incrementar la variable de
entrada % Theta.
contador=0; inc=10;
% Los siguientes vectores, se definen, puesto que van a guardar cada uno
%Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2;
%Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;
% Aceleracion ángular de entrada ThetaPP=0*pi/180;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
%*********************************************************** %************ RECOPILACIÓN DE DATOS ******************** %***********************************************************
%*********************************************************** %************ MECANISMO EN MOVIMIENTO ****************** %***********************************************************
axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on
hold off
% Este pause, se pone, para visualizar el mecanismo en movimiento.
pause(0.1);
end close all;
%*********************************************************** %************ GRAFICAS DE LAS VARIABLES ****************** %************ CON RESPECTO A THETA ****************** %***********************************************************
Cinematica_CG_4.m (MATLAB) Cinematica CG.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración del centro de gravedad de cada uno de los eslabones del mecanismo de Whitworth.
Cinemática_CG_4.m
% Este programa, muestra la cinemática de un mecanismo de whitworth de % retorno rápido, utilizando la matriz Jacobiano, para la obtención de la % velocidad y aceleracion. % Nota: Estas ecuaciones, tienen 4 incógnitas dependientes de Theta.
clear all %clears al variables and functions clc %clears the command window and homes the curso close all %closes all the open figure windows
% La variable contador, es importante en el ciclo for, para ubicar en que % ciclo, se presentan los datos. Se utilizo principalmente para que % pudieramos comparar los resultados con el programa en Mathematica.
% La variable inc, nos dice como se va a incrementar la variable de
entrada % Theta.
contador=0; inc=10;
% Los siguientes vectores, se definen, puesto que van a guardar cada uno
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;
% Aceleracion ángular de entrada ThetaPP=0*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
ANEXOS ANEXO D
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
ANEXOS ANEXO D
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2));
ANEXOS ANEXO D
% Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; RFCM=RBF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAC=[RACx;RACy]; RCCM=RBA+RAC+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEP=[RAExP;RAEyP] REFCMP=RAEP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFP=[RBFxP;0]; RFCMP=RBFP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACP=[RACxP;RACyP]; RCCMP=RACP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*PhiP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEPP=[RAExPP;RAEyPP]; REFCMPP=RAEPP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaPP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*BetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFPP=[RBFxPP;0]; RFCMPP=RBFPP; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACPP=[RACxPP;RACyPP]; RCCMPP=RACPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*PhiP^2; RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));
ANEXOS ANEXO D
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);
if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%*********************************************************** %************ RECOPILACIÓN DE DATOS ******************** %***********************************************************
%*********************************************************** %************ MECANISMO EN MOVIMIENTO ****************** %***********************************************************
axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on hold off
% Este pause, se pone, para visualizar el mecanismo en movimiento.
pause(0.1);
end close all;
ANEXOS ANEXO D
%*********************************************************** %************ GRAFICAS DE LAS VARIABLES ****************** %************ CON RESPECTO A THETA ****************** %***********************************************************
Cinematica_CG_2.m (MATLAB) Cinematica CG.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración del centro de gravedad de cada uno de los eslabones del mecanismo de Whitworth.
Cinemática_CG_2.m
% Este programa, muestra la cinemática de un mecanismo de whitworth de % retorno rápido, utilizando la matriz Jacobiano, para la obtención de la % velocidad y aceleracion. % Nota: Estas ecuaciones, tienen 2 incógnitas dependientes de Theta.
clear all %clears all variables and functions clc %clears the command window and homes the cursor close all %closes all the open figure windows
% La variable contador, es importante en el ciclo for, para ubicar en que % ciclo, se presentan los datos. Se utilizo principalmente para que % pudieramos comparar los resultados con el programa en Mathematica.
% La variable inc, nos dice como se va a incrementar la variable de
entrada % Theta.
contador=0; inc=10;
% Los siguientes vectores, se definen, puesto que van a guardar cada uno
%Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
%Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;
% Aceleracion ángular de entrada ThetaPP=0*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC];
ANEXOS ANEXO E
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
ANEXOS ANEXO E
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir %NOTA: Para calcular la componente y, es necesario restar H
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2));
ANEXOS ANEXO E
% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; RFCM=RBF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAC=[RACx;RACy]; RCCM=RBA+RAC+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEP=[RAExP;RAEyP]; REFCMP=RAEP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFP=[RBFxP;0]; RFCMP=RBFP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACP=[RACxP;RACyP]; RCCMP=RACP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*PhiP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEPP=[RAExPP;RAEyPP]; REFCMPP=RAEPP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaPP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*BetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFPP=[RBFxPP;0]; RFCMPP=RBFPP; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACPP=[RACxPP;RACyPP]; RCCMPP=RACPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*PhiP^2; RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));
ANEXOS ANEXO E
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
%NOTA: tuve que cambiar el signo de KPhi. Tenemos que revisar las %ecuaciones
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
%NOTA: tuve que cambiar el signo de LPhi. Tenemos que revisar las %ecuaciones
%*********************************************************** %************ RECOPILACIÓN DE DATOS ******************** %***********************************************************
%*********************************************************** %************ MECANISMO EN MOVIMIENTO ****************** %***********************************************************
axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on
hold off
% Este pause, se pone, para visualizar el mecanismo en movimiento.
pause(0.1);
end close all;
ANEXOS ANEXO E
%*********************************************************** %************ GRAFICAS DE LAS VARIABLES ****************** %************ CON RESPECTO A THETA ****************** %***********************************************************
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1 % clc % clear all % close all % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1;
function qpp=Dim_Simulk(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Posición Aplicacion de la Fuerza u7=6; v7=0;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
ANEXOS ANEXO F
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.5; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=100; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
ANEXOS ANEXO F
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)-P)/sin(Phi)))); end
LACH=LAC;
%Definimos las posiciones de los eslabones
RBFx=(-P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);
if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%Se divide entre ThetaP, Para que exista coherencia en este método, ya
que %las ecuaciones se obtuvieron, primero mediante el metodo de los %multiplicadores ó %Se obtienen nuevamente los coeficientes L, con respecto a ThetaP, como
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[LAE*sin(Phi);-LAE*cos(Phi)]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REF=[-LEF*sin(Beta);LEF*cos(Beta)]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCM=RBA+[-LAC*sin(Phi);LAC*cos(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************
% Derivada Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2));
ANEXOS ANEXO F
% Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
% %*********************************************************** % %****************** ACELERACIÓN CM ********************** % %*********************************************************** % % % Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; % RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); % RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; % RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); % RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; % REFCMxPP=REFCMPP((1)); % REFCMyPP=REFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; % RFCMxPP=RFCMPP((1)); % RFCMyPP=RFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
%*********************************************************** %******** Derivada Inercia General contra Theta ******** %***********************************************************
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP)+Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*LPhi*The
taP^2)-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP^2-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1
% clear all % close all % clc % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1; % Theta=t*pi/180;
function qpp=Dinamica_Simulk_2var(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.500; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200;
ANEXOS ANEXO G
% Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
ANEXOS ANEXO G
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
[0;LBC*sin(Theta)-P]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; end RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));
ANEXOS ANEXO G
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*LPhi*ThetaP
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMPP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; end RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));
ANEXOS ANEXO G
%*********************************************************** %*************** MATRIZ MASA ****************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3
%*********************************************************** %*************** MATRIZ NG ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x1
Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange y las ecuaciones cinemáticas
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1
% clear all % close all % clc % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1; % Theta=t*pi/180;
function qpp=Dinamica_Simulk_2var(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.500; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200;
ANEXOS ANEXO H
% Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
ANEXOS ANEXO H
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2));
ANEXOS ANEXO H
% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
[0;LBC*sin(Theta)-P]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; end RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*LPhi*ThetaP
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMPP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
%*********************************************************** %*************** MATRIZ MASA ****************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3
%*********************************************************** %*************** MATRIZ NG ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x1
Dim_Simulk.m (MATLAB) Dim.mdl (MATLAB) Dinamica_EK.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de EKsergian e incluyendo fuerzas
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1 % clc % clear all % close all % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1;
function qpp=Dim_Simulk(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Posición Aplicacion de la Fuerza u7=6; v7=0;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
ANEXOS ANEXO I
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.5; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=100; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
% Gravedad g=9.80;
%Torque MTorque=100; Fcorte=-50;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
ANEXOS ANEXO I
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)-P)/sin(Phi)))); end
LACH=LAC;
%Definimos las posiciones de los eslabones
RBFx=(-P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));
ANEXOS ANEXO I
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);
if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%Se divide entre ThetaP, Para que exista coherencia en este método, ya
que %las ecuaciones se obtuvieron, primero mediante el metodo de los %multiplicadores ó %Se obtienen nuevamente los coeficientes L, con respecto a ThetaP, como
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[LAE*sin(Phi);-LAE*cos(Phi)]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REF=[-LEF*sin(Beta);LEF*cos(Beta)]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCM=RBA+[-LAC*sin(Phi);LAC*cos(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************
% Derivada Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
% %*********************************************************** % %****************** ACELERACIÓN CM ********************** % %*********************************************************** % % % Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; % RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); % RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; % RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); % RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; % REFCMxPP=REFCMPP((1)); % REFCMyPP=REFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
%*********************************************************** %******** Derivada Inercia General contra Theta ******** %***********************************************************
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP)+Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*LPhi*The
taP^2)-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP^2-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange incluyendo fuerzas
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1
% clear all % close all % clc % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1; % Theta=t*pi/180;
function qpp=Dinamica_Simulk_2var(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
ANEXOS ANEXO J
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.500; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
% Gravedad g=9.80;
%Torque MTorque=100; Fcorte=-50;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
ANEXOS ANEXO J
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2));
ANEXOS ANEXO J
% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
% Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
[0;LBC*sin(Theta)-P]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; end RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*LPhi*ThetaP
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMPP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-
+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; end RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));
%*********************************************************** %*************** MATRIZ MASA ****************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3
%*********************************************************** %*************** MATRIZ NG ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x1
Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange incluyendo fuerzas
% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada
como1
% clear all % close all % clc % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1; % Theta=t*pi/180;
function Solqpp=Dinamica_Simulk_2var(u)
%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.500; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200;
ANEXOS ANEXO K
% Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
% Gravedad g=9.80;
%Torque MTorque=100; % FBCG=100; Fcorte=-50;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
ANEXOS ANEXO K
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
%*********************************************************** %*************** MATRIZ MASA ****************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3
%*********************************************************** %*************** MATRIZ NG ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x1
Dim_Simulk.m (MATLAB) Reacciones_DimEK.m (MATLAB) Dim.mdl (MATLAB) Dinamica_Reacciones_DimEK.wm2d (Working Model) Reaction Force.wm2d (Working Model) Se presentan las reacciones en los pares del mecanismo
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = -3; m = 2; RBA=[P;H];
% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;
% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Posición Aplicacion de la Fuerza u7=6; v7=0;
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));
ANEXOS ANEXO L
% Masa e Inercia BB1 mBB1=1; IBB1=1; % Masa e Inercia DD1 mDD1=1; IDD1=1; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************
% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))-H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)-P)<0 && ((LBC*cos(Theta))-H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
ANEXOS ANEXO L
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)+P)/sin(Phi)))); end
LACH=LAC;
%Definimos las posiciones de los eslabones
RBFx=(P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);
if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%Se divide entre ThetaP, Para que exista coherencia en este método, ya
que %las ecuaciones se obtuvieron, primero mediante el metodo de los %multiplicadores ó %Se obtienen nuevamente los coeficientes L, con respecto a ThetaP, como
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[LAE*sin(Phi);-LAE*cos(Phi)]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REF=[-LEF*sin(Beta);LEF*cos(Beta)]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCM=RBA+[-LAC*sin(Phi);LAC*cos(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************
% Derivada Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2));
ANEXOS ANEXO L
% Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
% %*********************************************************** % %****************** ACELERACIÓN CM ********************** % %*********************************************************** % % % Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; % RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); % RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; % RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); % RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; % REFCMxPP=REFCMPP((1)); % REFCMyPP=REFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; % RFCMxPP=RFCMPP((1)); % RFCMyPP=RFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
%*********************************************************** %******** Derivada Inercia General contra Theta ******** %***********************************************************
%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP)+Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*LPhi*The
taP^2)-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP^2-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi
LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = -3; m = 2; RBA=[P;H];
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2));
ANEXOS ANEXO L
% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));
% Posición Aplicacion de la Fuerza u7=6; v7=0;
% Masa e Inercia BB1 mBB1=1; IBB1=1; % Masa e Inercia DD1 mDD1=1; IDD1=1; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %*********************************************************** % Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la
% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder
if ((LBC*cos(Theta))-H)<0 Phi=pi+Phi;
end
if -(-LBC*sin(Theta)-P)<0 && ((LBC*cos(Theta))-H)>0 Phi=2*pi+Phi; end
%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.
if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;
end
%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a
300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.
if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end
Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF));
%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir
else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)+P)/sin(Phi)))); end
ANEXOS ANEXO L
LACH=LAC;
%Definimos las posiciones de los eslabones
RBFx=(P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial
%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.
KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);
if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end
%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP
%Se divide entre ThetaP, Para que exista coherencia en este método, ya
que %las ecuaciones se obtuvieron, primero mediante el metodo de los %multiplicadores ó %Se obtienen nuevamente los coeficientes L, con respecto a ThetaP, como
%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************
% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];
% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[LAE*sin(Phi);-LAE*cos(Phi)]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REF=[-LEF*sin(Beta);LEF*cos(Beta)]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCM=RBA+[-LAC*sin(Phi);LAC*cos(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));
ANEXOS ANEXO L
%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************
% Derivada Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a
% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th
etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-
[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)
cos(Phi)]*[KPhi*ThetaP;KLAC*ThetaP]+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2)); %*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP)+Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*LPhi*The
taP^2)-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph
LEF*cos(Beta)]*(KBeta^2*ThetaP^2); RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)