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0
INSTITUTO PEDAGÓGICO NACIONAL MONTERRICO
PROGRAMA DE FORMACIÓN INICIAL DOCENTE
ESTUDIO SOBRE EL NIVEL DE LENGUAJE MATEMÁTICO SIMBÓLICO
ESCRITO QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES EN FORMACIÓN INICIAL
DOCENTE DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS DE MATEMÁTICA FÍSICA
PERTENECIENTE AL INSTITUTO PEDAGÓGICO NACIONAL MONTERRICO
DEL
DISTRITO SANTIAGO DE SURCO.
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN
EDUCACIÓN SECUNDARIA
PROGRAMA DE ESTUDIOS: MATEMÁTICA FÍSICA
AMPUERO GUTIÉRREZ, Anaís del Carmen
ARONI MAMANI, Nelida Margot
DE LA ROSA RUELAS, Johanna Yvonne
MEJÍA CHAUCAYANQUI, Rocio Ingrid
Lima- Perú
2018
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1
Agradecimientos y Dedicatoria
Queremos manifestar nuestro agradecimiento a nuestro asesor de
investigación, el
profesor Miguel Ángel Díaz Sebastián por su constante
acompañamiento y paciencia para
la realización del trabajo de investigación y al Programa de
Estudio de Matemática Física
por la posibilidad de aplicar el instrumento de investigación,
mostrando apertura para el
desarrollo de esta.
Queremos dedicar este trabajo a nuestros familiares, padres,
madres e hijos por su
apoyo incondicional, lo cual nos impulsó a alcanzar este logro
profesional.
Esta tesis la dedico con todo el amor y cariño a mis padres,
hermanos y sobrinos. A
mis padres Nila Gutiérrez y Segundo Ampuero por su sacrificio y
esfuerzo, por darme una
carrera para mi crecimiento profesional y personal, por creer
firmemente en mi capacidad
y por el cariño, amor y paciencia que me brindan cada día. A mis
hermanos Isabel Ampuero
y Wilmer Ampuero por ser soporte emocional, por sus palabras de
aliento y por
acompañarme en estos cinco años que a pesar de las dificultades
que se presentaron en el
camino, lo enfrentamos con respeto y amor. A mis sobrinos
Mariana y Santiago Allauca
por ser fuente de motivación e inspiración para superarme día a
día y demostrarles que,
con perseverancia, dedicación y esfuerzo cada objetivo trazado
se puede lograr. A mis
compañeros y amigos quienes sin esperar nada a cambio me
compartieron todos sus
conocimientos, alegrías y tristezas, y a todas aquellas personas
que estuvieron presente en
toda esta faceta universitaria apoyándome y lograron que este
sueño se hiciera realidad.
Gracias a todos.
El presente trabajo investigativo lo dedico a mis padres
Leonardo Aroni y Flora
Mamani por su amor, trabajo, esfuerzo y sacrificio en todos
estos años. A mis hermanos
Aldair y Lizzet por estar siempre presentes, acompañándome y por
el apoyo incondicional.
A mis amigos y a todas las personas especiales que me
acompañaron en esta etapa,
aportando a mi formación tanto profesional y como ser humano.
Gracias a todos.
Esta tesis se la dedico en primer lugar a Dios por siempre darme
sabiduría y salud, a
mis padres Gabriel De La Rosa y Virna Ruelas por guiarme por el
buen camino y seguir
-
2
apoyándome para seguir adelante. A mí esposo Jhonny Anicama, a
mis hijos Adrian
Anicama y Jaycob Anicama por su apoyo, consejos, compresión,
amor y ayuda en estos
momentos de mi vida. Gracias también a mis compañeras de tesis,
que me apoyaron y me
permitieron entrar en su vida.
La presente tesis la dedico a mi madre Cointa Chaucayanqui que
me dio todo su apoyo
y la fuerza necesaria para culminar de manera satisfactoria mis
cinco años de estudios y
que día a día se esfuerza por darnos la mejor educación a mis
hermanos y a mí. A mis
hermanos que me ayudaron a continuar en este camino de
constantes retos y dificultades.
Gracias a todos.
-
3
Índice de Tablas
Tabla 1. Resultados de la prueba escrita de resolución de
problemas primera fase 1er Año
...........................................................................................................................................
16
Tabla 2. Resultados de la prueba escrita de resolución de
problemas primera fase 2do
Año
....................................................................................................................................
17
Tabla 3. Resultados de la prueba escrita de resolución de
problemas primera fase 3er Año
...........................................................................................................................................
17
Tabla 4. Resultados de la prueba escrita de resolución de
problemas primera fase 4to Año
...........................................................................................................................................
18
Tabla 5. Cantidad de Estudiantes del Programa de Estudios de
Matemática Física del
IPNM.................................................................................................................................
54
Tabla 6. Estructura del cuestionario “Identificando mi Lenguaje
Matemático” por
Dimensión, Indicadores y puntajes
...................................................................................
59
Tabla 7. Distribución de niveles según sus categorías
...................................................... 62
Tabla 8. Resultados generales del Programa de Estudios de
Matemática Física .............. 65
Tabla 9. Resultado general del Programa de Estudios de
Matemática Física .................. 65
Tabla 10. Análisis general de resultados del Programa de
Estudios de Matemática Física
...........................................................................................................................................
67
Tabla 11. Resultados en la dimensión
Logogramas..........................................................
69
Tabla 12. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión Logograma
..............................................................................................
71
Tabla 13. Resultados en la dimensión Pictogramas
.......................................................... 73
Tabla 14. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión Pictogramas
............................................................................................
74
Tabla 15. Resultados en la dimensión Símbolos de puntuación
....................................... 76
Tabla 16. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión Símbolos de Puntuación
.........................................................................
78
Tabla 17. Resultados en la dimensión Símbolos Alfabéticos
........................................... 79
Tabla 18. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión de Símbolos Alfabéticos
.........................................................................
81
Tabla 19. Resultados generales de las
dimensiones..........................................................
83
-
4
Índice de Figuras
Figura 1. Evaluación Nacional de Egreso. Egresados 2013 Fuente:
Ministerio de
Educación 2014.
................................................................................................................
13
Figura 2. Ángulos alternos internos y correspondientes
................................................... 31
Figura 3. Resultados generales del Programa de Estudios de
Matemática Física ........... 66
Figura 4. Análisis general de los resultados del Programa de
Estudios de Matemática
Física.
................................................................................................................................
68
Figura 5. Gráfico de los resultados en la dimensión Logogramas
.................................... 70
Figura 6. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión Logogramas
............................................................................................
71
Figura 7. Gráfico de los resultados en la dimensión Pictogramas
.................................... 73
Figura 8. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática Física
en la dimensión Pictogramas
............................................................................................
75
Figura 9. Gráfico de los resultados en la dimensión Símbolos de
Puntuación ................. 77
Figura 10. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática
Física en la dimensión Símbolos de Puntuación
...............................................................
78
Figura 11. Gráfico de los resultados en la dimensión Símbolos
Alfabéticos ................... 80
Figura 12. Resultados de primero a quinto del Programa de
Estudios de Matemática
Física en la dimensión Símbolos Alfabéticos
...................................................................
81
Figura 13. Resultados porcentuales generales del Lenguaje
Matemático Simbólico Escrito
del Programa de Estudios de Matemática Física
..............................................................
83
Figura 14. Gráfico Resultados porcentuales generales del
Lenguaje Matemático
Simbólico Escrito del Programa de Estudios de Matemática
Física................................. 84
file:///C:/Users/Usuario%20Local/Downloads/TESIS%20INFORMANTE_17_12%20_2018_listo.docx%23_Toc532832101file:///C:/Users/Usuario%20Local/Downloads/TESIS%20INFORMANTE_17_12%20_2018_listo.docx%23_Toc532832101file:///C:/Users/Usuario%20Local/Downloads/TESIS%20INFORMANTE_17_12%20_2018_listo.docx%23_Toc532832102
-
5
Índice
Introducción
........................................................................................................................
8
I. MARCO TEÓRICO
..................................................................................................
10
1. Planteamiento del problema
......................................................................................
10
2. Antecedentes
..............................................................................................................
20
3. Sustento Teórico
........................................................................................................
24
3.1. Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
........................................................... 24
3.1.1. La función simbólica del ser humano
......................................................... 25
3.1.2. La simbolización notacional
.......................................................................
26
3.1.3. Los sistemas notacionales
...........................................................................
27
3.1.4. De las notaciones al sistema simbólico matemático
................................... 28
3.1.5. Incrementar el discurso, incrementar el aprendizaje
................................... 29
3.1.6. Avanzar en la comunicación matemática con una finalidad
....................... 29
3.1.7. Dimensiones del Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
........................ 30
3.2. La metáfora como parte de la creación de un registro.
...................................... 32
3.2.1. Tipos de Metáfora según Pimm
..................................................................
32
3.2.2. Otros Pensamientos sobre metáfora
............................................................ 33
3.3. Representaciones internas y externas
.................................................................
34
3.3.1. Representaciones internas
...........................................................................
34
3.3.2. Representaciones externas
..........................................................................
35
3.3.3. Interacción entre representaciones externas e internas
............................... 35
3.4. Importancia de manejo del lenguaje matemático
............................................... 36
3.4.1. La naturaleza del registro semiótico matemático
........................................ 37
3.4.2. Representaciones semióticas
.......................................................................
37
3.4.3. Confusión del registro matemático
.............................................................
38
-
6
4. Objetivos
....................................................................................................................
40
4.1 Objetivo general
.................................................................................................
40
4.2 Objetivos
específicos..........................................................................................
40
5. Variables
....................................................................................................................
41
5.1. Variable general
.................................................................................................
41
5.2. Categorías
...........................................................................................................
41
Logogramas
...................................................................................................................
41
Pictogramas
...................................................................................................................
42
Símbolos de puntuación
................................................................................................
42
Símbolos alfabéticos
.....................................................................................................
43
Niveles de Logro
...........................................................................................................
43
NIVELES DE LA VARIABLE: LENGUAJE MATEMÁTICO SIMBÓLICO
ESCRITO
......................................................................................................................
44
II. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
..................................................... 52
1. Diseño De Investigación
............................................................................................
53
2. Criterios y procedimientos de selección de la población
.......................................... 54
2.1 Marco
Poblacional...................................................................................................
54
3. Instrumento
................................................................................................................
56
3.1. Fundamentación
.................................................................................................
56
3.2. Objetivo
..............................................................................................................
56
3.2.1. Específicos
..................................................................................................
57
3.2.2. Descripción
.................................................................................................
57
3.2.3. Estructura
....................................................................................................
58
3.2.4. Administración
............................................................................................
62
3.2.5. Calificación
.................................................................................................
62
-
7
3.2.6. Validez
........................................................................................................
63
3.2.7.
Confiabilidad...............................................................................................
64
III. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS
RESULTADOS................................. 65
Conclusiones
.....................................................................................................................
85
Recomendaciones
.............................................................................................................
88
Propuesta del trabajo de investigación
..............................................................................
91
Referencias
........................................................................................................................
92
Apéndices
..........................................................................................................................
96
-
8
Introducción
La presente investigación se refiere al Lenguaje Matemático
Simbólico Escrito que
presentan los estudiantes del Instituto Pedagógico Nacional
Monterrico, que se puede
definir como la forma de comunicación a través de símbolos
propios y especializados
mediante los cuales se expresan ideas matemáticas.
Según Pimm (1999) este Lenguaje Matemático posee cuatro
dimensiones
Logogramas, Pictogramas, Símbolos Alfabéticos y Símbolos de
Puntuación los cuales
están presentes en todos los campos temáticos del área de
matemática, aunque no en la
misma proporción.
La presente investigación se realizó por el interés de conocer
el nivel de Lenguaje
Matemático Simbólico Escrito que presentan los estudiantes en
Formación Inicial Docente
del Programa de Estudios Matemática Física perteneciente al
Instituto Pedagógico
Nacional Monterrico del distrito de Santiago de Surco. Esto
permitió identificar el dominio
de las cuatro dimensiones del Lenguaje Matemático por parte de
los estudiantes en
Formación Inicial Docente y así contribuir en la mejora de la
educación superior.
La recopilación de datos se realizó mediante un cuestionario
titulado “Identificando
mi Lenguaje Matemático” cuya clasificación consta de cuatro
dimensiones, cada una con
12 ítems. El instrumento fue aplicado a los estudiantes en
Formación Inicial Docente del
Programa de Estudios de Matemática Física perteneciente al
Instituto Pedagógico Nacional
Monterrico del distrito de Santiago de Surco.
Por consiguiente, se cree pertinente presentar y describir el
proceso que se ha
considerado en cada capítulo, y la división de cada una de
estas.
El Marco teórico inicia con el Planteamiento del problema donde
se explica los
argumentos que fundamentan la problemática de nuestra
investigación; continua los
Antecedentes donde se muestran las investigaciones que han
aportado significativamente
a la nuestra; luego, se presenta el Sustento Teórico donde se
fundamente la base de nuestra
variable de estudio; también se presentan los objetivo general y
específicos que se lograron
al finalizar la presente investigación.
-
9
La Metodología de la Investigación hace referencia al diseño,
criterios y
procedimientos de selección de la población e instrumento.
Finalmente, la Presentación y Análisis de los Resultados
muestran la recopilación
de datos obtenidos a través del cuestionario aplicado a la
población; asimismo, se realizan
las conclusiones y recomendaciones a las que se llegó al
finalizar la investigación.
-
10
I. MARCO TEÓRICO
1. Planteamiento del problema
La matemática es una ciencia exacta que forma parte esencial de
todos los actos
humanos, está presente en cada actividad familiar, social,
cultural e incluso en la
naturaleza. Por eso, la matemática es considerada un eje
fundamental en el desarrollo de
las sociedades y la base para el progreso de la ciencia y
tecnología que actualmente se
desarrollan a pasos agigantados.
Según Kamii (2005), la matemática es la ciencia universal que se
fundamenta en
principios como son: clasificación, seriación, correspondencia,
valor cardinal,
reversibilidad, etc, esto implica que los símbolos matemáticos
son identificados y
comprendidos en cualquier parte de los continentes a través de
operaciones que tienen
propiedades universalmente aceptadas, teniendo en cuenta que
durante el pasar de los
siglos, este lenguaje formal y abstracto no cambia, sigue siendo
el mismo.
En el análisis de los antecedentes histórico-filosóficos de “La
Paradoja
Cognitiva De Duval”, reconoce que “existe una palabra a la vez
importante y marginal en
Matemáticas, por ejemplo “que” es la palabra `representar´. Una
escritura, una notación,
un símbolo, representan un objeto matemático: un número, una
función, un vector…”
(Duval, 2015, p. 180), por ello el estudiante entra
concretamente en contacto con estas
representaciones simbólicas.
Acorde con lo mencionado anteriormente, en el 2014 la Revista de
Postgrado FACE-
UC, Venezuela, recalcó lo necesario que es promover un lenguaje
matemático adecuado
en el status epistemológico de la Didáctica en la enseñanza del
conocimiento matemático,
reconociendo así la preocupación y los esfuerzos de algunos
países como Francia y España,
que aplicaron desde la Teoría Antropológica de la Didáctica y la
Teoría de la Transposición
Didáctica orientados a la trasposición didáctica y en la
Praxeología de la matemática,
generando una primera descripción del lenguaje en que están
escritos los textos
matemáticos.
https://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml
-
11
Otros argumentos e investigaciones que enfatizan el uso del
lenguaje matemático
como herramienta fundamental y uno de sus procesos generales de
la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas es la filosofía de Wittgenstein
quien en su investigación
sobre la metáfora del objeto matemático abstracta, referido a un
objeto que no posee
materia en matemática pero que puede definirse en acciones y
resoluciones, nos da el
alcance que es una herramienta útil tanto para estructurar el
cuerpo de conocimientos
matemáticos, así como también para organizar los procesos de
estudio de las matemáticas.
Como afirma Cañón (1993), la matemática es creación y
descubrimiento; tras el estudio de
Wittgenstein, y teniendo en cuenta las reflexiones y
aportaciones de las investigaciones
didácticas se afirma que la matemática es gramática y es
heurística
A nivel de Latinoamérica, Puga (2016) menciona que el lenguaje
matemático permite
interrelacionar el lenguaje formal y abstracto con el natural, a
través de principios y reglas
que rigen el mundo de la matemática. Asimismo, para que haya
mejoras en el aprendizaje
del área, se debe aplicar recursos didácticos. Dentro de estos
recursos es indispensable el
uso adecuado del lenguaje verbal o escrito. Por lo tanto, es
fundamental que el docente
conozca y aplique el lenguaje matemático y sea capaz de
trasponerlo de manera adecuada
a sus estudiantes, quienes deben pasar de lo concreto a lo
abstracto.
Por ello, Hilton y Dreyfus (2000) hacen referencia a que, en las
aulas, la enseñanza
de la matemática depende de varios factores, desde la
formulación del currículo general
hasta la puesta en acción del docente que influye en el
aprendizaje del estudiante de manera
directa.
Ante a esta realidad, García (2014), en su investigación sobre
el lenguaje y
comunicación matemática, da el alcance que para aprender
matemática es necesario que
los docentes y estudiantes conozcan su idioma, sus palabras
clave, los objetos que se
utilizan y las herramientas necesarias que permitan manejar el
objeto matemático como
son los números, conjuntos, funciones y figuras geométricas.
En tal sentido, en el Proyecto Edumat-Maestros dirigido por
Godino (2004), se
recalca que el objetivo principal de los docentes en la
educación matemática no es
transformar a los estudiantes en matemáticos puros o ingenieros;
sino proporcionar
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
-
12
conocimientos que se relacionen con su cultura, desarrollando
así ciertas capacidades como
interpretar y evaluar la información matemática y discutir y
comunicar dicha información
para resolver los problemas matemáticos en la vida o en el
trabajo profesional.
Bajo la misma premisa, el Consejo Nacional de Maestros de
Matemáticas (NCTM,
2000, Una Visión de las Matemáticas Escolares) citado por Godino
(2004) hace énfasis en
que el docente ayuda al estudiante a hacer, refinar y explorar
conjeturas sobre la evidencia,
donde ellos son capaces de comunicar sus resultados oralmente o
por escrito. Del mismo
modo:
La persona que sabe matemáticas ha de ser capaz de usar el
lenguaje y conceptos
matemáticos para resolver problemas. No es posible dar sentido
pleno a los objetos
matemáticos si no los relacionamos con los problemas de los que
han surgido.
(Godino, 2004, p. 66)
La base fundamental del proceso de enseñanza aprendizaje es el
diálogo, donde el
mayor objetivo es favorecer el aprendizaje de los estudiantes,
en consecuencia:
Quien comunica debe hacer que el lenguaje utilizado no sea
fuente de obstáculos
para la comprensión; la matemática tiene un lenguaje específico
uno de los
principales objetivos de quien enseña, es hacer que los
estudiantes aprendan y no
solo que entiendan, otro de los principales objetivos es que se
apropien de ese
lenguaje especializado para que lo hagan propio. (D’ Amore,
2006)
Frente a las distintas aproximaciones sobre la educación a nivel
mundial como en
Latinoamérica; a nivel nacional, el Diseño Curricular Básico
Nacional para la Carrera
Profesional de Profesor de Educación Secundaria en la
Especialidad de Matemática (2010),
aún vigente por el marco del Proyecto Educativo Nacional al
2021, se reconoce que en los
últimos ciclos de Formación Inicial Docente, el estudiante
mantiene deficiencias en el
contenido teórico por las diversas evaluaciones tomadas por el
Ministerio de Educación.
Además, en el mismo documento menciona que los docentes
nombrados de la especialidad
de matemática que participaron de la Evaluación Censal 2007 y
2008 tenían un gran
porcentaje de déficit en el conocimiento básico de
Matemática.
Acorde con lo mencionado anteriormente, esta disciplina aún
parece complicada para
el estudiante en su Formación Inicial Docente ya sea por el
contenido teórico o por la falta
-
13
de variedad metodológica en el proceso de su enseñanza.
Evidencia de ello, en el 2013 el
Ministerio de Educación aplicó a los estudiantes de los
Institutos Superiores Pedagógicos
Públicos del X ciclo una evaluación la cual abordó cuatro
dominios entre ellos la
comprensión de textos, la alfabetización matemática, el
desarrollo del estudiante y los
enfoques pedagógicos.
Esta evaluación se clasificó en tres niveles, siendo el nivel 2
cuando el estudiante
mostraba un desempeño satisfactorio; nivel 1, cuando el
estudiante muestra un desempeño
incipiente; y por último, debajo del nivel 1 cuando los
estudiantes presentan un desempeño
de comportamiento errático.
Los resultados de la evaluación mostraron que en el área de
matemática el 74% de la
población evaluada se ubicaban por debajo del nivel 1, sin
embargo el dominio con mejor
desempeño fue el Enfoque Pedagógico. Estos resultados nos ayudan
a evidenciar que
existen dificultades en la formación académica de los
estudiantes.
Otra prueba fue la Evaluación en Razonamiento Lógico en el
Instituto Pedagógico
Nacional Monterrico realizada por el Ministerio de Educación,
cuya categoría
8,1 %
59,0 %
12,2 %
74,0 %
Comunicación Alfabetización
Matemática
Nivel 2 Debajo Nivel 1
Evaluación Nacional de Egreso.
Egresados 2013
Figura 1. Evaluación Nacional de Egreso. Egresados 2013
Fuente:
Ministerio de Educación 2014.
-
14
“aprobado/desaprobado” se calificaba por niveles de desempeños:
Básico, Satisfactorio y
Avanzado, siendo el nivel satisfactorio el mínimo para aprobar.
Esta evaluación fue
aplicada dos veces en años diferentes, 2015 y 2018, ambas
pruebas piloto y, a su vez,
comparadas en los resultados, obteniendo considerables mejoras
de forma general.
Con respecto al Programa de Estudios de Matemática Física,
también hubo mejoras
con un 2,9% en las calificaciones .En el 2015 el porcentaje de
aprobados fue de 92,9
obteniendo como mayor desempeño el nivel satisfactorio, mientras
que los desaprobados
fue de 7,1%. En el año 2018 el porcentaje de aprobados fue de
95,9 obteniendo como mayor
desempeño el nivel avanzado, mientras que el porcentaje de
desaprobados disminuyó, cuyo
resultado fue 4,1%.
Sin embargo, a pesar de que se lograron mejoras calificativas
significativas en dicha
evaluación, la estructura que tenía no guardaba relación con el
plan de estudio propuesto
por el Ministerio de Educación en el DCBN, ya que este menciona
que en la formación
general se debe llevar cursos desde Matemática I hasta
Matemática IV, donde se
desarrollan temas de trigonometría, geometría, álgebra, etc.
Además este diseño menciona
que el estudiante al culminar la formación general, es decir los
dos primeros años, debe
conocer y aplicar los fundamentos teóricos de la matemática,
además de “orientar el
desarrollo del pensamiento lógico matemático de los estudiantes,
mediante el
razonamiento, la abstracción, selección y utilización del
lenguaje” (MINEDU, 2010, p, 34).
Siempre hay que destacar la importancia de la función del
docente de matemática
como mediador del conocimiento, y esto implica que además de la
actitud, la disposición
y el respeto por la labor educativa, tiene que ser idóneo en el
área. Además Piaget (1969)
afirma que la comunicación entre los actores educativos es
importante, ya que por
naturaleza el hombre es un ser social que se comunica mediante
el lenguaje para expresar
sus pensamientos; sin embargo, durante las clases de matemática
se requiere un lenguaje
formal que permita la comprensión y comunicación entre docente y
estudiante, por ello
“los alumnos deben adquirir un vocabulario concreto, así como
medios de expresión y
frases que son específicamente matemáticas y que hacen posible
explicar los conceptos
matemáticos” (Lee, 2010, p. 19)
-
15
Por ello se afirma que:
La matemática posee un lenguaje específico que simplifica y
clarifica la
comunicación, designando de una manera exacta sus contenidos.
Por medio del
lenguaje matemático, los enunciados se presentan de forma
genuina, sin
ambigüedades. Todos y cada uno de los símbolos utilizados tienen
una tarea
determinada, sin solapamientos ni posibles equívocos, mientras
que también la
estructura de su presentación es idónea para su perfecta
comprensión (Ortega, 2004,
p.2)
El lenguaje matemático se diferencia del lenguaje natural,
puesto que “cuando
hablamos de lenguaje matemático nos estamos refiriendo a dos
cuestiones distintas pero
interrelacionadas, por una parte nos referimos a la simbología
utilizada en matemática y
por otra, nos referimos a la estructura y presentación de los
contenidos matemáticos”
(Laguna, 2009); por lo tanto, es necesario realizar un proceso
de pensamiento que implique
entender estas dos cuestiones durante la clase de matemática
para lograr un aprendizaje
significativo. Además, de acuerdo con los estudios de Alcalá
(2002) se puede afirmar que
para pensar de manera espontánea no solo nos apoyamos en objetos
directamente, sino que
nos ayudamos de simbolizaciones de objeto, tales como íconos,
gráficos, dibujos, entre
otros.
Por ello es muy probable que las personas representen a la
matemática como un
conocimiento compuesto de reglas rígidas e incuestionables, que
se aplican a problemas
que solo tienen una solución, problemas alejados de la realidad
cuya verdadera
comprensión está al alcance. También es innegable que la
comprensión matemática exige
el dominio de un lenguaje formal riguroso y abstracto, que,
aunque tenga un claro
significado referencial, no deja de estar dominado por reglas
complejas y muy precisas.
Para el Instituto Pedagógico Nacional Monterrico, el Perfil del
Egresado del
Programa de Estudios de Matemática Física está regido bajo la
tercera y cuarta dimensión
del Perfil de Egreso del Estudiante, todas subdivididas por
competencias, siendo la tercera
“Gestión de los procesos de enseñanza”, cuya competencia de
“Domina teorías y
conocimientos disciplinares de su nivel y especialidad”,
relacionada directamente con el
lenguaje matemático que debe evidenciar el estudiante en
formación la cual involucra
desempeños como:
-
16
Maneja los fundamentos epistemológicos, Sustenta la
aplicabilidad de la matemática
como herramienta de interpretación de la realidad física y
social, Maneja la estructura
de la matemática, Utiliza las formas de pensamiento lógico para
formular y
comprobar conjeturas, realizar inferencias y deducciones,
Identifica las formas
espaciales que se representan en la realidad, analizando las
propiedades y relaciones
geométricas implicadas, etc. (Instituto Pedagógico Nacional
Monterrico, 2018, p. 4)
En el presente año, el Programa de Estudios de Matemática Física
del Instituto
Pedagógico Nacional Monterrico realizó su 1° Olimpiada de
Matemática y Física desde el
primer al séptimo ciclo, siendo en total cuatro evaluaciones
aplicadas por año.
El análisis y observación de las evaluaciones rendidas por los
estudiantes en
Formación Inicial Docente, permitió al grupo investigador
identificar los diferentes
campos temáticos por cada ciclo, obteniendo lo siguiente:
En el primer ciclo del Programa de Estudios se vieron temas
como: Adición y
sustracción de números racionales, intervalos, progresiones,
áreas de figuras poligonales e
interpretación y análisis de gráficos estadísticos.
En la tabla 1, correspondiente al primer año con 32 estudiantes,
se muestra que más
del 50% del año desaprobó la evaluación, aun cuando estas no
comprendían temas
directamente relacionados al Programa de Estudios de Matemática
Física.
Tabla 1.
Resultados de la prueba escrita de resolución de problemas
primera fase 1er Año
Clasificación Número de estudiantes %
Aprobados 10 31,30
Desaprobados 19 59,40
NSP 3 9,40
Fuente: Escuela Profesional de Ciencias y Tecnología
En el tercer ciclo del programa de estudio llevaron temas afines
a: porcentaje,
divisibilidad, áreas de figuras poligonales y física.
En la tabla 2, correspondiente al segundo año con 22
estudiantes, se muestra que
-
17
más del 50% del año aprobó la evaluación; sin embargo, un
36,40%, un poco menos de la
tercera parte no aprobó, incluso cuando los temas ya se habían
realizado, según la malla
curricular del Instituto Pedagógico Nacional Monterrico.
Tabla 2.
Resultados de la prueba escrita de resolución de problemas
primera fase 2do Año
Clasificación Número de estudiantes %
Aprobados 13 59,10
Desaprobados 8 36,40
NSP 1 4,50
Fuente: Escuela Profesional de Ciencias y Tecnología
En el quinto ciclo del programa de estudio se vieron temas como:
cuatro
operaciones, ecuaciones lineales, áreas de figuras poligonales,
estadística y física.
En la tabla 3, correspondiente al tercer año con 14 estudiantes,
se muestra que la
mitad de los estudiantes que rindieron la evaluación obtuvieron
resultados satisfactorios.
Tabla 3.
Resultados de la prueba escrita de resolución de problemas
primera fase 3er Año
Clasificación Número de estudiantes %
Aprobados 5 35,70
Desaprobados 5 35,70
NSP 4 28,60
Fuente: Escuela Profesional de Ciencias y Tecnología
En el séptimo ciclo del Programa de Estudios de Matemática
Física se vieron temas
como: fracciones, volumen, probabilidad y física.
En la tabla 4, correspondiente al cuarto año con 12 estudiantes,
se muestra que el
-
18
50% del año aprobó la evaluación; sin embargo, el 41,70%, poco
menos de la mitad, no
aprobó, aun cuando los temas ya se visto en el transcurso de la
carrera.
Tabla 4.
Resultados de la prueba escrita de resolución de problemas
primera fase 4to Año
Clasificación Número de estudiantes %
Aprobados 6 50,00
Desaprobados 5 41,70
NSP 1 8,30
Fuente: Escuela Profesional de Ciencias y Tecnología
En dichas evaluaciones, siendo estas realizadas por el Programa
de Estudios de
Matemática Física, es pertinente mencionar que de una población
de 80 estudiantes, un
46,25% haya desaprobado dicha evaluación que contenía conceptos
afines del Programa
de Estudios, pero que en sí, estos problemas han estado
relacionados al enfoque de
resolución de problemas cuya solución requería de conceptos
matemáticos básicos.
Por lo dicho anteriormente, podemos afirmar que el lenguaje
matemático es
importante durante las clases de matemática, puesto que su buen
manejo posibilita una
adecuada comunicación y comprensión entre docentes y
estudiantes, además se convierte
en una herramienta metodológica del docente para generar el
correcto aprendizaje.
Ante los resultados existentes y el reconocimiento de la
importancia que tiene la
simbología matemática en las diversas estrategias didácticas
para la resolución de
problemas, se cree necesario y pertinente aportar al Programa de
Estudios de Matemática
Física del Instituto Pedagógico Nacional Monterrico cuál es el
nivel de Lenguaje
Matemático Simbólico Escrito que presentan los estudiantes en
Formación Inicial Docente
para contribuir en la mejora de su aprendizaje.
Para nuestra investigación emplearemos como instrumento un
cuestionario
“Identificando mi Lenguaje Matemático” que consta de 48 ítems de
respuesta cerrada y
-
19
opción múltiple; tomados y adaptados de la tesis “Lenguaje
Matemático Simbólico Escrito
usado por estudiantes de 1er año diversificado de educación
media general” para conocer
el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito mediante las
Dimensiones:
Logogramas (son símbolos especiales que sustituyen palabras
completas se denominan
signos ejemplo: √ ,×,÷, 𝑒𝑡𝑐.), Pictogramas, (se refiere a la
parte geométrica de la
matemática, y son representados por imágenes), Símbolos de
Puntuación (son símbolos
que se emplean en la ortografía convencional con un significado
diferente al que tienen
éstos dentro de la matemática) y Símbolos Alfabéticos (son
letras del alfabeto romano,
utilizados en matemáticas como: 𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝑒𝑡𝑐.), usado por los
estudiantes en Formación
Inicial Docente del Programa de Estudios de Matemática Física
perteneciente al Instituto
Pedagógico Nacional Monterrico del distrito Santiago de Surco.
Finalmente llegamos a la
siguiente pregunta:
¿Cuál es el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito que
presentan los
estudiantes en Formación Inicial Docente del Programa de
Estudios de Matemática Física
perteneciente al Instituto Pedagógico Nacional Monterrico del
distrito Santiago de Surco?
-
20
2. Antecedentes
Durante la investigación se ha revisado y buscado diversos temas
sobre: el Lenguaje
Matemático Simbólico Escrito en relación al tema en mención,
entre las revisiones a nivel
del Instituto Pedagógico Nacional Monterrico y algunas tesis
virtuales de las diversas
universidades, en el Perú no se ha encontrado ningún antecedente
con nuestra misma
variable, optando por una búsqueda y revisión en tesis o
investigaciones internacionales,
obteniendo mejores resultados y encontrando antecedentes muy
vinculados a nuestra
investigación.
En primer lugar, tenemos como antecedente la investigación
realizada en el año 2014
por las estudiantes Kerlyn García y otros de la Universidad de
Carabobo de la Facultad de
Ciencias de la Educación del Departamento de Matemática y
Física, Venezuela. El estudio
fue sobre: “Lenguaje Matemático Simbólico Escrito usado por
estudiantes de 1er año
diversificado de educación media general”.
Dicha investigación tuvo como objetivo analizar el Lenguaje
Matemático Simbólico
Escrito usado por los estudiantes de cuarto año de ciencias de
la U.E. Antonio Herrera Toro
del Municipio Valencia Estado Carabobo en el año escolar
2013-2014. El estudio se
sustenta en un marco teórico del Lenguaje Matemático en el Aula
de David Pimm (1999),
que consiste en aclarar y analizar las principales clases de
símbolos usados en matemática.
Está enmarcada dentro de una investigación descriptiva de campo.
La población
considerada fue de ciento cuarenta y ocho estudiantes, de la
cual se seleccionó una muestra
dirigida de treinta y siete estudiantes que representa el 25% de
la población. Para recabar
información se aplicó como instrumento un cuestionario de
treinta y dos ítems de preguntas
cerradas de selección simple.
Al igual que nuestra investigación, la tesis en mención presenta
un diseño descriptivo
simple, orientado a hacer énfasis en la importancia que tiene el
buen uso del lenguaje
matemático por parte del docente para un mejor desempeño en sus
procesos de aprendizaje
e interacción docente-estudiante. Esta ofrece los resultados
mediante la aplicación del
instrumento de recolección de información, en nuestro caso un
cuestionario adaptado de
esta investigación, donde también las clasificaciones que hace
David Pimm (1999) en su
-
21
teoría “El lenguaje matemático en el aula”, sirven de apoyo para
todos los participantes del
proceso educativo.
Esta investigación llegó a la conclusión de que los estudiantes
de primer año
diversificado de educación media general de la U.E. Antonio
Herrera Toro del Municipio
valencia, Venezuela, presentan debilidades en el uso e
interpretación de los símbolos en el
lenguaje matemático escrito, a pesar de que dominan ciertas
dimensiones más que otras.
Las respuestas incorrectas arrojaron un porcentaje elevado,
siendo la dimensión de
Pictogramas la que mayor desacierto obtuvo con un 73% y la
dimensión que obtuvo un
menor error porcentual fue Logogramas con un 56%, lo que indica
que los docentes de
matemática deben enfocarse en enseñar la correcta utilización de
los símbolos, además de
motivar a los estudiantes a indagar más sobre el tema,
mostrándoles la importancia que
tienen dichos símbolos dentro de la matemática.
En segundo y último lugar, tenemos como antecedente la
investigación realizada en
el año 2016 por el Lic. Abraham de la Fuente de la Universidad
Autónoma de Barcelona
del Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las
Ciencias. El estudio se titula:
“Construcción del lenguaje algebraico en un entorno de
resolución de problemas El rol del
conocimiento del profesor”.
Esta investigación surgió tras los resultados de las
evaluaciones PISA o TIMSS que
rindieron los estudiantes de Barcelona, cuyos resultados no
fueron agradables a la vista de
las autoridades correspondientes, por tal motivo se vio la
necesidad de realizar diferentes
cambios, tanto en el currículum como las leyes
institucionales.
Dicha tesis doctoral tuvo como una de sus objetivos “diseñar
secuencias didácticas
que brinden a los alumnos oportunidades para construir en el
lenguaje algebraico a través
de la resolución de problemas” el cual guarda relación con
nuestra tesis, ya que para los
estudiantes en Formación Inicial Docente el conocimiento
correcto del Lenguaje
Matemático Simbólico y el manejo adecuado de las secuencias
didácticas deben
considerarse en el proceso de las prácticas pre profesionales
como eje fundamental para
lograr una enseñanza de calidad.
-
22
Dado que uno de los objetivos fue hacer un análisis de cómo los
profesores usan su
conocimiento durante su práctica docente, De La Fuente tomó
diferentes teorías para
desarrollar su metodología, analizar sus datos y fundamentar su
trabajo. Así como también,
para identificar cuáles son los puntos clave del conocimiento
profesional que necesita un
profesor para enseñar, y lo primero que se debe aclarar es qué
enseñar "es todo aquello que
el profesor hace para ayudar a los alumnos a aprender. Con esto
hablamos de las actividades
interactivas que se llevan a cabo en el aula y de todas las
tareas que se desprenden alrededor
de estas" (Ball, Hill y Bass, 2005, p. 17)
Parece obvio que un profesor de matemática necesita conocer los
conceptos y
procedimientos que está enseñando (números primos, fracciones
equivalentes, etc.),
pero la pregunta clave es de qué forma los necesita conocer, con
qué nivel de
profundidad, y también cómo usará esos conocimientos en la
práctica (Ball, Hoover
y Phelps, 2008, p. 395).
El autor hace referencia al proyecto desarrollado por Hill y
otros en 2008 ya que
consigue una experiencia que tiene por objeto encontrar una
relación cuantitativa entre el
conocimiento matemático del profesor, MKT por sus siglas en
inglés, y la calidad de la
enseñanza de ese profesor,
Viendo las conclusiones de su investigación, Abraham de la
Fuente detectó la
importancia de hacer un seguimiento completo del proceso de
implementación de un
material en el aula, con el apoyo de la implementación de
grabaciones que duraron 117
horas y con la puesta en acción de 6 profesores que enseñaron a
1° y 2° de ESO. Quiso ver
cómo diferentes profesores implementan en el aula las mismas
actividades, cómo las
interpretan y las transforman y cómo su conocimiento influye en
las decisiones que toman
durante la implementación.
De acuerdo con uno de los objetivos de la investigación, se
diseñaron unidades
didácticas que brindasen a los profesores suficientes
oportunidades para ayudar a sus
alumnos a construir el lenguaje algebraico, pero este diseño lo
quiso hacer respetando la
forma en la que el Departamento de Matemática del centro trabaja
habitualmente.
Los alumnos tendrían que poseer en primer lugar el pensamiento
algebraico
necesario para generalizar a partir de relaciones aritméticas,
describir la variación y
modelizar. Solo cuando el alumno tiene cierta competencia en
estos aspectos, está
-
23
preparado para empezar a utilizar símbolos para expresar estos
pensamientos. Dela
misma forma, para que un alumno pueda comprender el proceso de
resolución de
ecuaciones, debe en primer lugar ser capaz de dar significado a
las letras y símbolos,
y para ello tiene que haberlos usado para comunicar
generalizaciones. (De la Fuente,
2016, p. 227)
-
24
3. Sustento Teórico
La interpretación de la matemática escolar es útil, y puede
integrar diferentes
concepciones metodológicas, siendo una de ellas; la matemática
concebida como lenguaje,
lo que quiere decir, comprendida como un sistema simbólico
complejo.
El área de matemática se caracteriza por el constante uso de
símbolos que se pueden
expresar de manera verbal como: tres, centenas, número, igual a,
plano, segmento, recta,
decimal, etc. Otra manera de expresarlos es mediante el uso de
notaciones y expresiones
simbólicas organizadas: 3, +, =, etc.
La Revista de Investigación Educativa de la Universidad
Internacional de La Rioja
en España publicó lo siguiente:
El aprendizaje de las matemáticas introduce a los estudiantes en
un mundo nuevo,
tanto conceptual como simbólico, pero sobre todo representativo:
enunciados dados
en las lenguas vernáculas, organizaciones visuales, gráficas,
geométricas, icónicas,
etc. son algunos de los medios más empleados en la formación,
comunicación y
transferencia del conocimiento matemático. (Sánchez, 2014)
Como observamos el conocimiento de los símbolos matemáticos es
importante para
obtener un lenguaje matemático adecuado y a la vez el
conocimiento matemático mismo.
Pero en cualquier caso hay que tener en cuenta que, aunque sea
muy importante los
aspectos semióticos del aprendizaje matemático, la actividad
matemática va más allá de
cual función lingüística, representacional o simbólica.
3.1.Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
Según Alcalá (2002), cuando hablamos de Lenguaje Matemático nos
estamos
refiriendo a dos aspectos diferentes, pero que se relacionan: la
simbología utilizada y la
presentación de los contenidos matemáticos. Por un lado, la
simbología matemática que
contiene a los caracteres gráficos denominados Logogramas (Pimm,
1999), para ellos estos
símbolos se deben conocer para poder interpretar lo que se
quiere decir con ellos. Por otra
parte, tenemos la presentación de los contenidos que se realiza
mediante enunciados como
definición, Teoremas, Demostración, Corolario, etc.
-
25
Lenguaje: Según Carreter (1990) El Lenguaje es la capacidad que
toda persona tiene para
comunicarse con las demás personas, mediante signos orales (y,
si su desarrollo cultural lo
permite también escritos. Trata pues de una facultad
humana).
Simbólico: “Los símbolos proporcionan un medio eficaz de
almacenar y transmitir
información, puesto que facilitan la comprensión” (Pimm,
1999).
Lenguaje Matemático Simbólico Escrito: Existen innumerables
formas escritas que los
estudiantes pueden utilizar para expresar ideas matemáticas y,
de modo especial, el
desarrollo del simbolismo algebraico que con tanta frecuencia se
considera como el sello
del lenguaje matemático escrito. (Pimm, 1999)
El lenguaje matemático, así como lo menciona Pimm es exacto,
preciso y se trata de
un lenguaje especializado, el cual se define como la forma de
comunicación a través de
símbolos propios y especializados mediante los cuales se
expresan ideas matemáticas.
3.1.1. La función simbólica del ser humano
Los seres humanos, por encima de cualquier consideración, somos
seres culturales,
nuestra especie es participativa por lo mismo que vivimos en
sociedad, por lo tanto,
simbólico. Desde nuestro nacimiento estamos sujetos a la
influencia de signos: los primeros
cuidados y caricias ya nos envuelven en un arroyo continuo de
sonidos cargados de
significado (la lengua natural). Con el pasar del tiempo vamos
aprendiendo a diferenciar
gestos de atención y cariños de otros acometedores o de
desaprobación.
A medida que nos vamos socializando vamos copiando,
interiorizando gestos,
contribuyendo en el juego simbólico en el que los objetos son
soportes de cosas
imaginarias, y conforme vamos creciendo, nos vemos rodeado de
inscripciones, imágenes
significativas, letras, números, palabras en la casa, en la
calle, frente al televisor, etc.
Cabe destacar también que, frente al uso de las TICs, somos
partícipes de comenzar
a imprimir las huellas en papeles, diseñar gráficos, descifrar
dibujos, expresarnos mediante
el trazo, etc.
-
26
Como resultado general, crecemos en un entorno simbólico, nos
adecuamos a él
interiorizando sus exigencias, sus objetos, características,
etc., siendo el pensamiento
representacional la exigencia principal, pues somos seres
sociales y como tal no dejamos
de participar o contribuir de la cultura de nuestra
sociedad.
Siendo la cultura, generalmente entendido como un conjunto de
ritos, costumbres,
ideas, creencias, signos, formas propias de una sociedad en un
momento determinado. En
otras palabras, la cultura es el humus en el que se desarrolla
la sustancia invisible que nos
atraviesa y configura.
Tengamos en cuenta que mientras los seres humanos transmitimos
el suministro
necesario para la adaptación al medio que nos rodea y su
subsistencia por vía instintiva,
también completamos nuestro equipamiento biológico con la
transmisión educacional.
Siendo el entorno familiar la principal preparación, así como la
educación
institucionalizada.
Existen quienes piensan que el ser humano nace con ningún tipo
de conocimiento, y
que es por medio de nuestros sentidos y la experiencia que vamos
conformando nuestro
conocimiento. Frente a la postura innatista podríamos
contradecir estas ideas mediante la
búsqueda de una explicación sobre nuestro aprendizaje tan rápido
y tan cuantioso que
desarrollamos a tan temprana edad.
3.1.2. La simbolización notacional
El lenguaje, como conjunto de signos de todo tipo que empleamos
en los procesos
comunicativos, no solo es intermediario entre nuestra percepción
de lo real y nuestro
pensamiento mismo. Pues cuando leemos un texto lo transformamos
en representaciones
subjetivas, en significados, en conjunto de gráficas, etc.,
cuando hacemos matemática
utilizamos signos particulares de este ámbito para razonar y
comunicar. En conclusión,
utilizamos las creaciones simbólicas como mediadoras, como
recursos, como herramientas
para pensar y comunicar.
La capacidad notacional (capacidad de expresar algo mediante
señales impresas en
soportes diversos), es una obtención históricamente llevada a
cabo por la evolución
cultural.
-
27
La simbolización notacional es específicamente un hecho
cultural, y para que tenga
un valor comunicativo ha tenido que ser referido de modo
consensuado como un
significado. Esto quiere decir que para que una huella gráfica
sea significante hay que
pactar previamente su significado, debe remitir a conocimientos
previos compartidos, es
de ahí la información anterior de que la simbolización
notacional es un hecho cultural.
3.1.3. Los sistemas notacionales
Existen diversas formas de simbolizar, todas han contribuido
sistemas simbólicos,
esto es, grupos organizados de símbolos con particularidad
sintáctica, semántica, y
funcionales peculiares.
Tolchinsky (1993) nos dice que existen dos sistemas siendo una
de ellas “la
semiográficos”, son aquellas que representan ideas y no son,
necesariamente, traducibles a
codificación lingüística, otros sistemas son glotográficos, son
traducibles a enunciados
verbales, hay que decodificarlos en términos lingüísticos.
Los sistemas semiográficos impulsan directamente a un grupo de
acciones, intentan
promover un comportamiento. Por motivos económicos y
sociopolíticos van en incremento
como son las instrucciones de uso de artículos que compramos
como electrodomésticos,
ordenadores, juguetes, la señalización del tráfico, gran parte
de la informática, etc. Todos
estos son sistemas conformados por mensajes codificados
pictóricamente, cuyo análisis y
ejecución requiere destrezas específicas y pretenden ser
independientes de toda forma
lingüística.
Los glotográficos, buscan su difusión verbal, han de ser
traducidos no a acciones sino
a codificación lingüística. Algunos personajes que estudian
estas ramas suelen clasificar
los sistemas glotográficos en logográficos y fonográficos.
En el entorno donde vivimos, la escritura alfabética y la
notación aritmética son dos
sistemas importantes y desde la enseñanza fundamental, en efecto
lengua escrita y notación
numérica son ámbitos simbólicos con muchos parecidos, pero
también con grandes
diferencias.
-
28
Conforme avanzamos en la escolaridad la alusión aritmética se
irá incrementando a
aspectos espaciales (notación y terminología geométricas), el
código naciente será más
complicado, debido a las nuevas relaciones y propiedades de los
símbolos mismos.
3.1.4. De las notaciones al sistema simbólico matemático
Si examinamos la matemática como un lenguaje debemos considerar
que el lenguaje
no se resume a notaciones sino que es un firmamento mucho más
complejo.
Los componentes de ese firmamento, empezando por el ámbito
notacional responden
a las siguientes preguntas: ¿qué símbolos forman el sistema
notacional matemático
elemental?, ¿cuál es su procedencia?, ¿qué convenciones regulan
su uso?.
Pimm, en su libro “El lenguaje matemático en el aula” describe
cuatro tipos de
símbolos: logogramas, pictogramas símbolos de puntuación y
símbolos alfabéticos.
1.- Los logogramas los determina como signos inventados
específicamente para referirse a
conceptos totales, además de las diez cifras (0, 1, 2, 3,…9)
tenemos también los operatorios
y relacionantes: + - x, todos estos signos no tienen parecido
alguno con lo que significan.
2.- Los pictogramas en la notación matemática se define unos
pocos iconos geométricos,
estos son las imágenes estilizadas pero entendibles con toda
claridad, del objeto en
cuestión, algunos ejemplos son, los signos de ángulo, de
cuadrado o triángulo.
3.- Los símbolos de puntuación son orientados por la ortografía
normal, pero asignándoles
un significado específico; ( ), /, [ ], { }, “ ”, etc. Cada
signo se denomina con un término
extraído de la lengua común, pero sus funciones son diferentes y
absolutamente
convencionales.
4.- Por último, los símbolos alfabéticos son letras tomadas del
alfabeto romano o del
griego: a, b, c, x, y, A, B, C, Y que son utilizadas con
finalidad y significado muy diferentes
al alfabético.
Pimm, en su trabajo expuesto, intenta dar a conocer la sintaxis
de la escritura
matemática en términos gramaticales, entablando un paralelismo
con la lengua escrita.
-
29
3.1.5. Incrementar el discurso, incrementar el aprendizaje
La razón más importante por la que el discurso es importante es
porque aumenta el
potencial para que los estudiantes aprendan la definición de las
palabras matemáticas y
estas puedan ser dialogadas; sin embargo, la palabra propia es
abstracta y por ello la
escritura puede hacer que dichas ideas sean recordadas
fácilmente y a largo plazo, (Lee,
2010, p. 17- 18)
Para la mayoría de los estudiantes resulta complicado emplear
palabras matemáticas,
dado que para su uso se requiere de ciertas convenciones
técnicas. Sin embargo, el
estudiante debe de adquirir estos conocimientos, vocabulario
concreto, con la ayuda del
docente siendo él un potenciador de habilidades desconocidas
para los estudiantes, puesto
que debe permitirle la expresión libre mediante un lenguaje
apropiado y concientizando
que este debe de ser utilizado a diferencia del lenguaje
coloquial.
En el momento que el estudiante pueda articular las nociones
matemáticas, y estas
puedan ser expresadas, tanto el docente como discente obtendrán
mayor seguridad con
respecto a sus conocimientos, puesto que cuando el estudiante
refleja lo comprendido, el
docente ya no se ve en la necesidad de suponer lo que este
entiende o no.
3.1.6. Avanzar en la comunicación matemática con una
finalidad
La comunicación de los estudiantes entre ellos mismos es
importante, ya que según
Lee (2010), cuanto más se les pide que hablen sobre los
conceptos matemáticos, y utilicen
palabras y expresiones matemáticas, más podrán usar, dominar y
vincular estas ideas y
valorarán de manera más precisa su capacidad para hacerlo.
Involucrar a los estudiantes en el proceso de aprendizaje
significa que tiene que
dirigir su propio proceso y tener cierto control sobre la forma
de actuar en su aprendizaje.
Los estudiantes se implican cuando participan plenamente en el
discurso de clase. Cuanto
más implicados estén en el proceso de aprendizaje, más
probabilidades de éxito tendrán
porque:
● Serán capaces de hablar sobre la matemática que aprenden, por
tanto, sabrán que
conceptos entienden y aplican mejor, y cuales tienen que
trabajar aún, y como proceder
-
30
para progresar.
● Los estudiantes serán capaces de responsabilizarse de su
propio aprendizaje.
El objetivo de centrarse en el lenguaje es permitir a los
estudiantes tomar el control
sobre sus propios pensamientos e ideas matemáticas. Entonces
podemos decir, que es un
gran paso hacia su implicación en el proceso de aprendizaje, que
permite que los
estudiantes aprendan con mayor eficacia cuando asumen su
responsabilidad desde el
comienzo del proceso de aprendizaje.
3.1.7. Dimensiones del Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
El lenguaje matemático, así como lo menciona Pimm es exacto
preciso y que se trata
de un lenguaje especializado, la cual se define como la forma de
comunicación a través de
símbolos propios y especializados mediante las cuales se
expresan ideas matemáticas.
En matemática una de las razones para utilizar la simbolización
es porque permite su
manipulación rápida y eficaz. El lenguaje al hacerse visible a
través de la simbolización
escrita pone en marcha un mecanismo de control y discriminación
más fino en lo visual –
manual en vez del oral – vocal.
Según Pimm (1999) los símbolos que se emplean de modo
convencional en
matemática son cuatro principales las cuales son las dimensiones
de esta investigación.
A. Logogramas
Son aquellos símbolos especiales que sustituyen a palabras
completas, es decir,
fueron creados para ser usados en la matemática ya que en ella
obtienen un sentido propio.
Por ejemplo, los casos más conocidos son los dígitos es decir
las cifras, 0, 1, …, 9. Cabe
mencionar que en esta dimensión no se distinguen mayúsculas ni
minúsculas. Tenemos
también otros logogramas matemáticos como son: +, -, x, %, √, ∩
, ∪ , ≅, ∫ ,∧ ,∨ ,∃ , ∀ ;
todos estos símbolos se denomina signos, como en el caso del
signo de raíz cuadrada y el
signo de integral.
Pimm afirma que algunos logogramas adquieren la primera letra de
la palabra que
representa el símbolo cambiando en forma y tamaño, por ejemplo,
el signo de la integral
-
31
inició siendo la primera letra de la palabra suma en mayúscula y
luego de algunos años se
modificó y tomó una forma alargada como se le conoce
actualmente.
B. Pictogramas
Los pictogramas son iconos geométricos en los que el símbolo es
una imagen
estilizada que se puede interpretar con claridad, por ejemplo,
∠, en representación de un
ángulo; ⊿, del triángulo rectángulo; ⊥, perpendicular u
ortogonal. Estos símbolos se
refieren a la parte geométrica de la matemática puesto que son
representadas por imágenes
estilizadas; por ejemplo, el triángulo rectángulo que se
presenta de manera que se puede
observar lo ortogonal en dicha figura.
Otro ejemplo resaltante es las representaciones que se hacen a
las denominaciones
de los ángulos alternos, internos y correspondientes, y la
pregunta que se realiza es ¿por
qué dibujar Z a los alternos y F a los correspondientes? En
realidad, el origen es
pictográfico, dado que se elige la letra más representativa de
lo que refleja y muestra las
configuraciones de líneas paralelas y una transversal que dan
lugar a los ángulos
mencionados.
C. Símbolos de puntuación
En matemática se utilizan muchos símbolos que emplea la
ortografía como son el
punto y coma (;), para indicar la operación de diferenciación
parcial de tensores; dos puntos
(:), para denotar la definición de una función f: A → B; punto
(.) y la coma (,) indican el
decimal de un número. Asimismo, se tiene el signo de admiración
(!) que denota el
factorial. Los símbolos de puntuación son los mismos signos que
utilizamos a diario, pero
adquieren otro significado dentro de la matemática; por ejemplo,
en el caso de los signos
diacríticos « ˆ» y « ʹ », si añadimos un apóstrofe en el término
f (x) cambia el significado
de la expresión siendo f´(x) la derivada de la anterior.
Figura 2. Ángulos alternos internos y correspondientes
-
32
D. Símbolos alfabéticos
En este de símbolos se considera al alfabeto romano y al
alfabeto griego que son los
más utilizados, el uso de los diferentes alfabetos se hace bajo
convenciones acordadas entre
matemáticos influyentes como Descartes. Además, fruto del
consenso de los matemáticos
de los siglos XVII y XVIII, de aceptar el sistema de descartes,
según el cual, las letras del
principio del abecedario se emplean para representar los
parámetros y las del final, para las
variables, por ejemplo, en la fórmula general de la ecuación
cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
0, en esta convención las vocales se refieren a las variables y
las consonantes a los
parámetros.
Cuando se escoge una letra coincidente con la inicial de un
nombre; por ejemplo, f
suele aceptarse como denominación de una función. Para los
nombres de vértices se suele
utilizar las mayúsculas, mientras las longitudes suelen
expresarse con minúsculas, de modo
que la letra minúscula que representa un lado de un triángulo
sea la misma que denota el
ángulo opuesto a ése, pero en mayúsculas.
3.2.La metáfora como parte de la creación de un registro.
Se considera que la metáfora es un medio que permite insertar
palabras, expresiones
o frases para un registro no explorado. La metáfora y la
analogía forman parte de formas
de expresión que potencian a un lenguaje natural, asumiendo que
por investigaciones en el
área de matemática tiene procesos comparables, al mismo tiempo
que en la metáfora se
utiliza de forma habitual en su enseñanza.
3.2.1. Tipos de Metáfora según Pimm
Hay dos fuentes de metáforas desde el punto de vista matemático.
La primera
metáfora denominada por Pimm es “metáforas extra - matemáticas”,
la cual consiste en
explicar o interpretar ideas y procesos en relación a términos
que acontecen en el mundo
real, incluyendo objetos y procesos de la vida cotidiana.
Las metáforas extra - matemáticas pueden utilizarse como ayuda
para la persona e
incluso para uno mismo con el propósito de analizar y comprender
algo, incluso cuando no
-
33
tienen por qué explicarse de forma pública en clase. Algunos
ejemplos pueden ser frente a
la expresión de gráfica, realizamos un cuadrado, la aritmética
modular es la aritmética del
reloj, una ecuación lineal es una palanca.
La segunda metáfora es denominada por Pimm metáforas
estructurales que supone
una ampliación metafórica de ideas que tienen procedencia de la
matemática. Estas
metáforas se encuentran mayormente en las notaciones, utilizadas
en la matemática escrita.
Algunos ejemplos que podemos mencionar, el uso generalizado del
signo “X” o la notación
exponencial.
En ambas metáforas, el proceso tanto de construcción como
ampliación del
significado es fundamental.
3.2.1.1 Lenguaje Metafórico vs Lenguaje literal
La perspectiva ampliada hace referencia en que la comparación
entre las imágenes y
expresiones escritas muestra la luz sobre la situación original
en el plano y proporciona
una perspectiva acerca de la significación de las definiciones y
teoremas de esta, que de
otro modo quedarían en la sombra. La significación de los
resultados en matemática
constituye una noción a la que no suele presentarse atención en
la letra impresa.
Según Pimm (1990) la diferencia entre lenguaje metafórico y el
literal, la definición
de metáfora debe llevarse un paso más adelante. La metáfora no
está constituida sólo por
la extensión de una palabra a un nuevo referente sobre la base
de la semejanza, sino también
la extensión deliberada de esta palabra.
3.2.2. Otros Pensamientos sobre metáfora
Diversas discusiones sobre la metáfora se deben a una falsa
adscripción de un
término a otro. Algunos ejemplos son la locución “área negativa”
suele oírse en el contexto
del cálculo. Surge a partir de la afirmación de que una integral
calcula el área situada bajo
una curva. Las integrales definidas calculan un número que a
veces es positivo y a veces
negativo y puede interpretarse, en determinadas ocasiones como
el valor numérico de un
área (como en el caso en que el integrando fuese no negativo en
el intervalo de la
integración).
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3.3.Representaciones internas y externas
En este contexto sobre las representaciones del lenguaje
matemático se presentan de
dos maneras una de ellas son las representaciones mentales o
también conocidas como
representaciones internas, son aquellas donde predominan los
constructos que designan los
conocimientos del sujeto y la segunda es la representación
externa que está ligada a los
conocimientos individuales de los objetos ostensivos como son
notaciones, gráficos,
símbolos, etc.
3.3.1. Representaciones internas
Dentro de las representaciones internas se tiene en cuenta las
construcciones de
simbolización personal de los estudiantes, las asignaciones de
significado a las notaciones
matemáticas. Godino (1998) incluye también como representaciones
internas el lenguaje
natural del estudiante, su imaginación visual y la
representación espacial incluyendo
estrategias heurísticas en la resolución de los problemas y
también sus afectos en relación
a la matemática.
Muchas configuraciones de construcción cognitiva interna del
estudiante pueden
tener o no tener semejanza en la estructura con los diversos
sistemas internos, al menos en
el modelo unificado que propone Godino (1998, p. 147); la
relación simbólica se puede
establecer con sistemas externos o entre sistemas internos.
Las representaciones de construcción cognitiva interna o también
conocida como
mental se introducen como una herramienta teórica para
caracterizar las cogniciones
complejas que pueden ser construidas por los estudiantes sobre
las representaciones
externas. Estas no son observadas directamente por el
estudiante, sino que son inferidas a
partir de las conductas observables.
Para Godino (1998) se describe los tipos de representaciones
cognitivas entre ellos
verbales o sintácticas que incluye la gramática y la sintaxis,
los sistemas figurales y
gestuales que incluyen las configuraciones cognitivas espaciales
y visuales también
conocidas como esquemas gestuales y corporales, manipulación
mental de notaciones
formales que emplea los pasos simbólico para resolver una
ecuación, procesos heurísticos
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que son las diferentes estrategias por la cual se puede resolver
un problema, y los sistemas
de representación sobre el valor de la matemática.
3.3.2. Representaciones externas
Los sistemas de representaciones externas comprenden los
sistemas simbólicos
convencionales de la matemática tales como la numeración en base
diez, notación formal
algebraica, la recta numérica real, la representación en
coordenadas cartesianas. También
se incluyen entornos de aprendizaje, como los que utilizan
materiales manipulativos
concretos, o micro mundos basados en el uso de ordenadores.
(Godino, 2003, p. 53)
Se tiene en cuenta que la representación es un signo o una
configuración de signos,
que presentan características de caracteres u objetos que pueden
ponerse en lugar de algo
distinto de él mismo como el simbolizar, codificar, dar una
imagen o representar.
Considerando que la representación del objeto tiende a variar
según el contexto o el uso de
la representación, se presenta como ejemplo un gráfico
cartesiano que puede formar una
función o representar el conjunto solución de una ecuación
algebraica.
Muchos sistemas de representación externos, generalmente, son
notacionales y
formales, como son los sistemas de numeración, la escritura de
expresiones algebraicas,
expresión de las funciones, derivadas, integrales, entre
otros.
Otros sistemas externos están en relación de manera visual o
gráfica, como son las
rectas numéricas, los diagramas geométricos, la representación
de los conjuntos, los
sistemas cartesianos o polares, pero cabe destacar que en esta
representación externa
también se ubica las palabras y expresiones del lenguaje
ordinario. Pueden denotar y
describir objetos materiales, propiedades físicas, acciones y
relaciones, u objetos que son
mucho más abstractos (Goldin, 1998, p. 4).
3.3.3. Interacción entre representaciones externas e
internas
La interacción entre las representaciones tanto externas como
internas tiene como eje
fundamental la enseñanza y el aprendizaje del estudiante. El
interés primario del proceso
de instrucción se centra sobre la naturaleza de las
representaciones internas en proceso de
desarrollo por los estudiantes. Las conexiones entre
representaciones se pueden basar en el
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uso de analogías, imágenes y metáforas, así como semejanzas
estructurales y diferencias
entre sistemas de representación.
Los objetivos representacionales se dan con el desarrollo de
sistemas internos
eficientes de representación en los estudiantes que correspondan
de manera coherente, e
interactúen bien, con los sistemas externos convencionalmente
establecidos de la
matemática.
En matemática se habla de “objetos matemáticos” y no de
“conceptos”. Por lo tanto,
el objeto matemático por conceptualizar no es un objeto real y
en consecuencia no existe
accesibilidad objetiva a la percepción, por esta causa surge la
necesidad de recurrir a signos
concretos para representarlos.
La actividad en el área de matemática se lleva a cabo sobre los
objetos y sobre las
distintas representaciones surgiendo así la paradoja del
pensamiento matemático, la misma
que consiste en las representaciones semióticas que posibilitan
la actividad sobre los
objetos matemático, siendo el aprendizaje de los objetos
matemáticos un aprendizaje
conceptual.
3.4.Importancia de manejo del lenguaje matemático
El constructivismo muestra cómo los estudiantes encuentran un
sentido a lo que les
ocurre al “construir” el mundo de forma activa para ellos
mismos. Las teorías
socioculturales sitúan el lenguaje en el centro del aprendizaje,
ya que el lenguaje es el
principal mediador de la interacción social. Vygotsky (1962) y
Bruner (1996) han
argumentado sobre cómo los niños aprenden a situarse en la
sociedad a través de la
trasmisión de sus compañeros más competentes usando herramientas
y símbolos, muchos
de ellos lingüísticos, que forman parte del mundo social. Es
decir, los niños desarrollan
funciones mentales a través de interacciones sociales.
Por lo tanto, la comunicación satisfactoria en una clase es
vital para aprender y,
puesto que las dificultades del lenguaje en matemática pueden
traducirse en una barrera
para dicha comunicación, el docente debe dominar este lenguaje
para transmitirlo de
manera sencilla y eficaz a los estudiantes.
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3.4.1. La naturaleza del registro semiótico matemático
La preocupación por el bajo rendimiento en el área de matemática
evidenciada en las
pruebas PISA y ECE nos conduce a investigar la estructura de la
evaluación encontrando
y centrándonos en la raíz del problema central que es la
naturaleza del lenguaje matemático
como conocimiento y práctica.
Según Raymond Duval (2004) el aprendizaje de la matemática es un
campo de
estudio propicio para el análisis de actividades cognitivas
importantes como la
conceptualización, el razonamiento, la resolución de problemas y
la comprensión de textos.
Enseñar y aprender matemática conlleva que estas actividades
cognitivas requieren además
del lenguaje natural o el de las imágenes, la utilización de
distintos registros de
representación y de expresión.
El registro matemático hace referencia a un conjunto de términos
técnicos,
expresiones y argumentos que forma parte del aprendizaje el cual
tiene como eje
fundamental el aprender a dominar el habla y escritura
matemática. Siendo los principales
actores de transición los docentes y los libros.
3.4.2. Representaciones semióticas
En el área de matemática las representaciones semióticas son
importantes tanto para
los fines de comunicación como para el desarrollo de la
actividad matemática. El
tratamiento de los objetos matemáticos depende directamente del
sistema de representación
semiótico utilizado. Cuando realizamos cálculos numéricos vemos
que existe una
dependencia del sistema de escritura elegida: escritura decimal,
escritura fraccionaria,
escritura binaria, etc.
Como parte de un sistema de escritura matemática podemos
mencionar a los
números, notaciones simbólicas para los objetos, escrituras
algebraicas, lógicas,
funcionales que se tornan en lenguajes paralelos al lenguaje
natural para expresar
relaciones y operaciones, figuras geométricas, gráficos
cartesianos, redes, diagramas de
barra, diagramas de torta, etc.
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Dummett (1991) relaciona, asimismo, el significado y la
comprensión desde una
perspectiva más general: "una teoría del significado es una
teoría de la comprensión; esto
es, aquello de lo que una teoría del significado tiene que dar
cuenta es lo que alguien conoce
cuando conoce el lenguaje, esto es, cuando conoce los
significados de las expresiones y
oraciones del lenguaje" (p. 372).
3.4.3. Confusión del registro matemático
Cuando se hace uso de diferentes elementos del registro
matemático (lenguaje
corriente), muchos de ellos tomados de otros idiomas, y lo
insertamos en nuestra habla
ordinaria, tiene como principal impacto la contaminación
semántica debido a las
alteraciones de significados empleados a gran escala.
Actualmente, las tecnologías y las diferentes interacciones
sociales con personas
extranjeras, se evidencia en las clases de matemática el
desarrollo de mezclas de registros
de lenguaje ordinario y matemático en torno a la falta de
discriminación entre ambos, lo
cual provoca incongruencias y rupturas de comunicación.
El principal aspecto está en relación a los procesos que los
estudiantes tratan de
relacionar expresiones o frases que escucharon en la clase de
matemática con respecto a la
asimilación y manejo de significados que aprendieron de
niño.
Este proceso se desarrolla porque para asignar un significado
plausible a una
expresión de uso poco corriente, acudimos a nuestro
conocimiento, así como de nuestro
lenguaje incluido desde niños. Haciendo uso de esta adquisición
tratamos, entonces, de
aplicarlo para luego experimentarlo.
Ejemplo de ello es tomado de The Life and Letters Of Lewis
Carroll (DODGSON,
1898) cuando el Dr. Piaget llevaba a cabo un examen escolar de
matemática y se le ocurrió
preguntar a un estudiante de la clase qué significaba promedio.
Cuenta que quedo
desconcertado ante la respuesta: “las cosas sobre las que se
acuestan las gallinas”, mediante
investigaciones y preguntas para saber porque tenía ese
significado de promedio el
estudiante, dieron con el punto de partida del problema, pues el
niño había leído en un libro
que las gallinas ponían en promedio tantos huevos al año.
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El origen de la confusión se encuentra en el análisis gramatical
alternativa, pero
válido, de la frase o expresión, junto con la presunción del
significado de un elemento
léxico desconocido, más que de la existencia de una expresión no
habitual.
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4. Objetivos
4.1 Objetivo general
Determinar el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito que
presentan los
estudiantes en Formación Inicial Docente del Programa de
Estudios de Matemática Física
perteneciente al Instituto Pedagógico Nacional Monterrico del
distrito Santiago de Surco.
4.2 Objetivos específicos
- Determinar el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
en la dimensión de
Pictogramas que presentan los estudiantes en Formación Inicial
Docente del Programa
de Estudios de Matemática Física perteneciente al Instituto
Pedagógico Nacional
Monterrico del distrito Santiago de Surco.
- Determinar el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
en la dimensión de
Logogramas que presentan los estudiantes en Formación Inicial
Docente del Programa
de Estudios de Matemática Física perteneciente al Instituto
Pedagógico Nacional
Monterrico del distrito Santiago de Surco.
- Determinar el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
en la dimensión de
Símbolos de Puntuación que presentan los estudiantes en
Formación Inicial Docente del
Programa de Estudios de Matemática Física perteneciente al
Instituto Pedagógico
Nacional Monterrico del distrito Santiago de Surco.
- Determinar el nivel de Lenguaje Matemático Simbólico Escrito
en la dimensión de
Símbolos Alfabéticos que presentan los estudiantes en Formación
Inicial Docente del
Programa de Estudios de Matemática Física perteneciente al
Instituto Pedagógico
Nacional Monterrico del distrito Santiago de Surco.
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5. Variables
5.1. Variable general
Lenguaje matemático simbólico escrito
El Lenguaje Matemático es la base de la comprensión matemática
en cualquier nivel
que sea estudiada ya que, si esta no se propicia, se caería en
el error de dicha materia. Este
lenguaje se divide en cuatro categorías o dimensiones las cuales
serán evaluadas mediante
los siguientes indicadores
5.2. Categorías
Logogramas
Son Símbolos especiales que sustituyen palabras completas; se
denominan signos en
la mayoría de los casos, como en el de “signo de raíz cuadrada”,
éstos han sido inventados
para ser usados en la matemática, por lo cual tienen sentido
propio sólo dentro de ella.
El Logograma mide el nivel de reconocimiento de los estudiantes
al identificar los
símbolos que sustituyen palabras completas como el caso de los
conjuntos numéricos
● Reconoce el símbolo que representa al conjunto de los números
reales y los símbolos
conectores lógicos usando los símbolos correctos.
● Identifica los símbolos utilizados en la teoría de conjuntos
usando la simbología
correcta.
● Expresa la oración de lógica proposicional usando el conector
correcto.
● Distingue los símbolos utilizados en una función e identifica
el símbolo utilizado en la
congruencia de triángulos.
● Lee y escribe símbolos de desigualdad.
● Identifica los símbolos utilizados en la teoría de conjuntos
marcando la opción correcta.
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Pictogramas
Son representados por imágenes estilizadas, que son bastante
claras a la hora de
interpretarlas con relación al objeto en cuestión.
● Analiza los conjuntos en diagramas de Venn Euler e identifica
por medio de ello las
diferentes operaciones en la teoría de conjunto como es la unión
e intersección.
● Identifica el complemento de un conjunto, así como los
elementos de la unión de los
conjuntos L y B.
● Reconoce una función mediante un diagrama sagital, así como
identifica mediante una
gráfica de A x A los elementos del dominio de una relación y su
respectiva suma.
● Reconoce las gráficas que representan una función y la
parábola.
● Identifica en la gráfica las líneas notables asociadas al
triángulo y cuando está inscrito.
● Expresa y reconoce simbólicamente al ángulo y su posición.
Símbolos de puntuación
Son símbolos que se emplean en la ortografía convencional con un
significado
diferente al que tienen éstos dentro de la matemática. Ejemplo:
los dos puntos, que se
utilizan para denotar la razón de una recta, para definir una
función y para separar la
descripción de un conjunto.
● Identifica las siguientes expresiones en lenguaje matemático
simbólico “tres mil
seiscientos” y la suma de los ángulos internos de un
cuadrilátero.
● Identifica el símbolo que representa la equivalencia y la
prioridad al resolver
“operaciones combinadas”
● Identifica la expr