Instituto de F ´ ısica da Universidade de S˜ ao Paulo F´ ısica para Engenharia II - 4320196 Lista de exerc´ ıcios 3 - 2014 (Quando necess´ario utilize g = 10 m/s 2 ) 1. Um oscilador n˜ ao amortecido de massa m e frequˆ en- cia pr´ opria ω 0 move-se sob a a¸c˜ ao de uma for¸ ca externa F = F 0 sen(ωt), partindo da posi¸ c˜ ao de equil´ ıbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x(t). R: x(t)= F0 m(ω 2 0 -ω 2 ) h sen(ωt) - ω ω0 sen(ω 0 t) i . 2. (Poli 2006) Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a trˆ es for¸ cas: uma for¸ ca el´ astica resultante da a¸c˜ ao de uma mola de cons- tante el´ astica k, uma for¸ ca devido ` A resistˆ encia viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistˆ encia vis- cosa ρ e uma for¸ca externa peri´ odica F (t)= F 0 cos(Ωt), sendo Ω a frequˆ encia externa. (a) Escreva a equa¸ c˜ ao diferencial que descreve o movi- mento do corpo e encontre a sua solu¸ c˜ ao estacion´ a- ria. (b) Considerando que m = 50 kg, k = 5000 N/m, F 0 = 50 N e ρ = 500 kg/s, calcule a frequˆ encia natural do sistema e o seu fator de qualidade. (c) No regime estacion´ ario, usando os valores do item anterior, determine o valor de Ω para o qual a am- plitude do movimento ´ e m´ axima. (d) No regime estacion´ ario, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude m´ axima. R: (a) d 2 x dt 2 + dx dt + ω 2 0 x = F0 m cos(Ωt), x(t) = A(Ω) cos[Ωt + Φ(Ω)], A(Ω) = F0 m 1 √ (ω 2 0 -Ω 2 ) 2 +γ 2 Ω 2 e Φ(Ω) = - arctan γΩ ω 2 0 -Ω 2 , (b) ω 0 = 10s -1 e Q = 1, (c) Ω R =5 √ 2s -1 e (d) A max = 1 50 √ 3 m. 3. (Poli 2007) Um corpo de massa 50 g est´ a preso a uma mola de constante k = 20 N/m e oscila, inicialmente, li- vremente. Esse oscilador ´ e posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso ´ e ρ =0,9 kg/s. De- pois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, ´ e excitado por uma for¸ ca externa F = F 0 cos(Ωt), onde F 0 =9,0N e Ω = 20,0 rad/ s. (a) Determine a frequˆ encia natural do sistema. (b) Qual o regime de oscila¸c˜ ao do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela for¸ca externa? Justifique a resposta. (c) Depois que a for¸ca externa ´ e aplicada e que o sis- tema entrou no regime estacion´ ario, qual o valor da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequˆ encia externa deexcita¸c˜ ao para que a amplitude de oscila¸c˜ ao, no regime estacion´ ario, fosse m´ axima? R: (a) ω 0 = 20s -1 ; (b) Regime subcr´ ıtico (ω 0 > γ 2 ); (c) A =0,5m e (d) Ω R = √ 238 s -1 . 4. Duas part´ ıculas de mesma massa m = 250 g, est˜ ao penduradas no teto por barras idˆ enticas, de comprimento l =0,4m e massa desprez´ ıvel, e est˜ ao ligadas uma ` A outra por uma mola de constante el´ astica k = 25 N/m. No instante t = 0, a part´ ıcula 2 (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade v = 15 cm/s. Determine os deslocamentos x 1 (t)e x 2 (t) das posi¸c˜ oes de equil´ ıbrio das duas part´ ıculas (em cm) para t> 0. R: x 1 (t) = 1,5 sen(5t) - 0,5 sen(15t) e x 2 (t) = 1,5 sen(5t)+0,5 sen(15t). 5. Considere duas part´ ıculas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante el´ astica k e comprimento natural a. Cada part´ ıcula est´ a ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas ca- racter´ ısticas da primeira mola. Os dois suportes s˜ ao se- parados por uma distˆ ancia 3b, como mostrado na figura abaixo. Em um dado instante de tempo t o deslocamento das part´ ıculas A e B ´ e x e y a partir da posi¸ c˜ ao de equil´ ı- brio, resultando nas for¸ cas mostradas na figura. Calcule as frequˆ encias de oscila¸c˜ ao do sistema. 1