iprom I P NSTITUT FÜR RODUKTIONSMESSTECHNIK T U B ECHNISCHE NIVERSITÄT RAUNSCHWEIG Statistische Messdatenverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch Dr. rer.nat. Hanno Dierke Institut für Produktionsmesstechnik – IPROM Technische Universität Braunschweig WS 2018/19
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iprom I PNSTITUT FÜR RODUKTIONSMESSTECHNIK
T U BECHNISCHE NIVERSITÄT RAUNSCHWEIG
Statistische
Messdatenverarbeitung
Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch
Dr. rer.nat. Hanno Dierke
Institut für Produktionsmesstechnik – IPROM
Technische Universität Braunschweig
WS 2018/19
iprom I PNSTITUT FÜR RODUKTIONSMESSTECHNIK
T U BECHNISCHE NIVERSITÄT RAUNSCHWEIG
Literatur:
Profos, Pfeifer (Hrsg.): Grundlagen der Messtechnik
Oldenbourg-Verlag
iprom Messen kann jeder!
iprom Beispiele für Messfehler mit katastrophalen Folgen
Hubble Space Telescope
1990
Mars Polar Lander 1999
Mars Climate Orbiter 1999
iprom I PNSTITUT FÜR RODUKTIONSMESSTECHNIK
T U BECHNISCHE NIVERSITÄT RAUNSCHWEIG
Gliederung der Vorlesung:
1. Grundlagen der Messtechnik, Teil 1
Begriffsbestimmungen, Einheiten, Kalibrieren
Messsysteme, Messabweichungen
2. Statistische Verfahren der Messdatenauswertung
Deskriptive Statistik, Verteilungsfunktionen
Erwartungswert, Vertrauensbereich, Fehler-
fortpflanzung, Statistische Tests, Regression
3. Grundlagen der Messtechnik, Teil 2
Digitalisierung, Dynamische Systeme
iprom Definition des Begriffs „Messen“
DIN 1319:Ausführung von geplanten Tätigkeiten zum
quantitativen Vergleich einer Messgröße mit einer Einheit
X = x N mit: X: Messgröße
x: Maßzahl
N: Einheit
Die Größe X muss messbar sein
Die Einheit N muss eindeutig definiert sein
iprom Informationsgehalt von Maßangaben
iprom Informationsgehalt von Maßangaben
iprom Informationsgehalt von Maßangaben
iprom Definition des Begriffs „Messen“
DIN 1319:Ausführung von geplanten Tätigkeiten zum
quantitativen Vergleich einer Messgröße mit einer Einheit
X = x N U mit: X: Messgröße
x: Maßzahl
N: Einheit
U: Unsicherheit
Die Größe X muss messbar sein
Die Einheit N muss eindeutig definiert sein
iprom Straßenverkehr: Beschränkung der Fahrzeugbreite
Messtechnik-Newsletter 204 vom 20.04.2011
Ärger mit breitem SUV-Außenspiegel Teil II
Wir berichteten über die rüde Abzocke der Autobahnpolizei nach engen Baustellen, die mit
dem Schild Nr. 264 für die linke Fahrspur versehen sind: Verbot für Fahrzeuge über 2 m
Breite einschließlich Ladung.
Der ADAC setzt in der ADAC Motorwelt (Ausgabe 02/2011) noch einen drauf: Das kann
Sie schon ab 1,90 m oder sogar noch weniger im Kfz-Schein angegebener Fahrzeugbreite
bis zu 75 Euro Verwarngeld und ein Punkt in Flensburg kosten, denn dieses Schild
adressiert nach Auslegung der Polizei die Abmessungen über die ausgeklappten Spiegel.
Im Kfz-Schein hingegen steht die Fahrzeugbreite ohne Berücksichtigung der
Außenspiegel. Das trifft dann bereits moderate SUV wie zum Beispiel den BMW X3. Die
Autobahnpolizei hat die Daten aller in Frage kommenden Fahrzeuge. Diskussion mit der
Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messeinrichtung beeinflusst
Den Messwert.
Drei Arten, das zu berücksichtigen:
1. Effekt vernachlässigen (wenn man dies begründen kann)
2. Rechnerische Korrektur des Messwerts
3. Anwendung eines Kompensationsmessverfahrens
Messobjekt
(Messung)
Referenzobjekt
(Kalibrierung)
Messeinrichtung
Übertragungs-verhalten
x
x
x
e
N
a
Messsystem
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
p, V
a) Beginn des Experiments
Gas mit Druck p in Volumen V Messvorrichtung in Ruhestellung
arretiert
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen
Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden
Dp - p
V + VD
b) Arretierung wird gelöst
Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus.
Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung
vergrößert V und im abgeschlossenen System
wird die Messgröße p kleiner
pV=const.
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen
Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden
Dp - p
V + VD
b) Arretierung wird gelöst
Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus.
Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung
vergrößert V und im abgeschlossenen System
wird die Messgröße p kleiner
pV=const.
0
1
DD
D
DD
DDDD
DD
D
pVV
p
VV
Vpp
pVVpVppVpV
pVVVpp
VV
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
Messabweichung wird durch Anwendung eines
Kompensationsverfahrens aufgehoben
p, V
c) Durch Verschieben des Gegenlagers der Feder wird der Kolben wieder in die Ausgangsstellung gebracht. Dadurch wird die Wirkung der Messgröße . Messgröße p ist jetzt wieder unverfälscht messbar.
kompensiert
iprom Analoge und digitale Anzeigen
06:30
12
6
9 3
Digitalanzeige: Analoganzeige:
iprom Einsatzbereiche analoger und digitaler Anzeigen
Leitstand eines Kraftwerks (Bildquelle: Wikimedia)
Analog: schnell erfassbar
Digital: genau ablesbar
iprom Begriffsbestimmungen für Anzeigen
Empfindlichkeit: Zeigerweg je Einheit der Messgröße (analog)
Ziffernschritte je Einheit der Messgröße (digital)
Anzeigebereich: umfasst alle Werte, die angezeigt werden können
Messbereich: Der Teil des Anzeigebereichs, in dem das Messgerät
seine Spezifikationen einhält
(kann gleich dem Anzeigebereich sein, muss es aber nicht)
Unterdrückungsbereich: Der Bereich zwischen 0 und dem kleinsten
anzeigbaren Wert (sofern dieser >0 ist)
Skalen: Ziffernskalen
Strichskalen linear
nichtlinear
iprom Begriffsbestimmungen für Anzeigen
Skalen:
Ziffernskalen
(Beispiel: Tachometer Oldsmobile Toronado 1970)
Strichskalen linear nichtlinear
iprom Kalibrieren - Justieren - Eichen
Kalibrieren: Bestimmung der Messabweichung an einer oder
an mehreren Stellen im Messbereich
Vergleich mit kalibrierten Meisterteilen oder
mit kalibrierten Messgeräten einer höheren
Genauigkeitsklasse
Justieren: Eingriff in das Messgerät mit dem Ziel,
Messabweichungen zu verkleinern
Eichen: Amtliche Prüfung von Messgeräten durch akkreditierte
Personen (juristischer Begriff)
iprom Beispiel: Kalibrieren eines Messschiebers mit Parallelendmaßen
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 0
L1
L
L1
x =Lai i
xa5
xa4
xa3
xa2
xa1
L2
L2
L3
L3
L4
L4
L5
L5
ParallelendmaßeAnzeigewert xa
Richtiger Wert L
iprom Rückführbarkeit - Kalibrierkette
Nationales Normal
BezugsnormalDKD-Kalibrierlabor
Innerbetriebliches KalibrierlaborGebrauchsnormal
Prüfmittel
Produkt
Def.: Rückführbarkeit ist die Eigenschaft eines Messergebnisses oder des Wertes eines
Normals, durch eine ununterbrochene Kette von Vergleichsmessungen mit angegeben-
en Messunsicherheiten auf geeignete Normale, im allgemeinen internationale oder na-
tionale Normale, bezogen zu sein.
iprom Messabweichungen und Abweichungsursachen
Messabweichungen
und
Abweichungsursachen
iprom Messabweichungen und Abweichungsursachen
Repräsentativitätsfehler
iprom Repräsentativitätsfehler bei der Bestimmung der Fahrzeugbreite
Messtechnik-Newsletter 204 vom 20.04.2011
Ärger mit breitem SUV-Außenspiegel Teil II
Wir berichteten über die rüde Abzocke der Autobahnpolizei nach engen Baustellen, die mit
dem Schild Nr. 264 für die linke Fahrspur versehen sind: Verbot für Fahrzeuge über 2 m
Breite einschließlich Ladung.
Der ADAC setzt in der ADAC Motorwelt (Ausgabe 02/2011) noch einen drauf: Das kann
Sie schon ab 1,90 m oder sogar noch weniger im Kfz-Schein angegebener Fahrzeugbreite
bis zu 75 Euro Verwarngeld und ein Punkt in Flensburg kosten, denn dieses Schild
adressiert nach Auslegung der Polizei die Abmessungen über die ausgeklappten Spiegel.
Im Kfz-Schein hingegen steht die Fahrzeugbreite ohne Berücksichtigung der
Außenspiegel. Das trifft dann bereits moderate SUV wie zum Beispiel den BMW X3. Die
Autobahnpolizei hat die Daten aller in Frage kommenden Fahrzeuge. Diskussion mit der
Staatsmacht zwecklos!
iprom Komponenten eines Messsystems
Messystem: Messobjekt + mindestens eine Messeinrichtung
Messeinrichtung: mindestens ein Messgerät + Zubehör
Messobjekt
(Messung)
Referenzobjekt
(Kalibrierung)
Messeinrichtung
Übertragungs-verhalten
x
x
x
e
N
a
iprom Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-verhalten
MessgrößeAusgabe
iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-
verhalten
MessgrößeAusgabe
Äußere Störeinflüsse
auf Messsignal
superponierend
iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-
verhalten
MessgrößeAusgabe
Äußere Störeinflüsse
auf Messsignal auf Übertragungsverhalten
superponierend
deformierend
iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-
verhalten
MessgrößeAusgabe
Innere Störeinflüsse
Äußere Störeinflüsse
auf Messsignal auf Übertragungsverhalten
superponierend
deformierend
iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-
verhalten
Messgröße
Rückwirkung
Ausgabe
Innere Störeinflüsse
Äußere Störeinflüsse
auf Messsignal auf Übertragungsverhalten
superponierend
deformierend
iprom Abweichungsbehaftetes Messsystem
Messobjekt
Messeinrichtung
Übertragungs-
verhalten
Messgröße
Rückwirkung
Ausgabe
Rückwirkung
vom Empfänger
Innere Störeinflüsse
Äußere Störeinflüsse
auf Messsignal auf Übertragungsverhalten
superponierend
deformierend
iprom Messabweichung und Korrektion
x: wahrer Wert
xa: Messwert
Messabweichung E: E = xa – x
Korrektion B: B = x – xa
iprom Systematische und zufällige Abweichungen
x
µ
xa
n
E
E
s
ai
E = µ - x
E = x - µs
ai ai
iprom Unterscheidung zwischen systematischer und statistischer Abweichung
x
µ???
xa
n
iprom 1. Abschnitt der Vorlesung
Statistische Auswertung
von Messwerten
iprom Grundlegende Begriffe der Statistik
Grundgesamtheit:
Menge aller potentiellen Untersuchungsobjekte für eine bestimmte Fragestellung
Stichprobe:
Teilmenge der Grundgesamtheit, sollte
„statistisch repräsentativ“ für die
Grundgesamtheit sein
(anderenfalls: Repräsentativitätsfehler!)
Eisenprobe aus dem
Hochofenabstich
Quel
le:
Uni
Ess
en, 2004
GrundideeDie Verteilung des Merkmals ist eine intensive Größe;
d. h. die Verteilung bleibt in der Probe erhalten.
Verteilung des Merkmals in
der Grundgesamtheit
Verteilung des Merkmals in
der Stichprobe
Stichprobe
aus
Grundgesamtheit
iprom Skalierung von Zufallsgrößen
Zufallsgröße oder Zufallsvariable:
Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten
Versuchen verschiedene Werte annehmen kann.
Zur Beschreibung von Variablen werden
verschiedene Skalenniveaus verwendet:
Nominalskala
Ordinalskala
Intervallskala
Verhältnisskala
Absolutskala
Nominalskalen: Klasseneinteilung ohne Hierarchie
z.B.: Personen nach Haarfarbe oder Geschlecht
Ordinalskalen: Klasseneinteilung mit Hierarchie
z.B.: Ränge beim Militär: General > Oberst > Gefreiter
Ligen im Fussball: 1. Liga > 2. Liga > 3. Liga
Energieeffizienzklasse für Elektrogeräte: A > B > C
Intervallskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den
Werten verschiedener Variabler, aber ohne natürlichem Nullpunkt
z.B.: Temperatur in °C, Jahreszahlen, Zeitpunkte
Verhältnisskalen: Metrische Skalen mit eindeutigen Differenzen zwischen den
Werten verschiedener Variabler, mit natürlichem Nullpunkt
Im Gegensatz zu Intervallskalen sind hier auch Multiplikationen
und Divisionen erlaubt.
z.B.: Temperatur in K, Masse in kg, Preis in €
Absolutskalen: Verhältnisskala mit „natürlicher Maßeinheit“, praktisch nur für
zählbare Größen erfüllt.
z.B.: Einwohnerzahl eines Landes
iprom Skalenniveaus für Variablen
iprom Skalierung von Zufallsgrößen
Zufallsgröße oder Zufallsvariable:
Variable, die bei mehreren, unter gleichen Bedingungen durchgeführten
Versuchen verschiedene Werte annehmen kann.
Zur Beschreibung von Variablen werden
verschiedene Skalenniveaus verwendet:
Nominalskala
Ordinalskala
Intervallskala
Verhältnisskala
Absolutskala
Kategoriale Skalen
Merkmale sind
Kardinalskalen metrisch
iprom Streuung von Messwerten bei Wiederholmessung
iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse
iprom Klasseneinteilung für die statistische Analyse
iprom Histogramm einer Messreihe
iprom Histogramm einer Messreihe
Fläche eines Rechtecks:
Relative Häufigkeit der Messwerte in der betrachteten Klasse
Gesamtfläche:
n
nx
xn
nxhF mm
mm
DD
D
DD
1
D
D
n
n
n
n
n
n m
m
m
m
iprom Histogramm und relative Summenhäufigkeit
Relative Summenhäufigkeit:
Dm
mm xhS
iprom Vergrößerung der Stichprobe
Höhere Auflösung der Darstellung
Geringere Streuung zwischen
wiederholten Messreihen
iprom Übergang von der Stichprobe zur Grundgesamtheit
Grenzübergang n → ∞
Δx → 0
Relative Häufigkeitsdichte hm
→ Verteilungsdichte h(x)
iprom Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
iprom Wahrscheinlichkeitsvorhersage für Messwerte
Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x):
)()(
)()(
12
21
2
1
xPxP
dxxhxxxP
x
x
1)(
)()(
P
dhxP
x
Fläche unter der Kurve h(x) im Intervall [x1, x2]
iprom Kenngrößen empirischer Verteilungen
Lageparameter:
Modalwert größte Häufigkeit
Medianwert mittlere Häufigkeit
arithmetischer Mittelwert gewichtete mittlere
Häufigkeit
Streuungsparameter:
Spannweite
Quartilsabstand
Empirische Streuung
iprom Lageparameter
iprom Median- und arithmetischer Mittelwert
Beispiel:
Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7
Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8
Median
Arithmetischer
Mittelwert:
39/9=4,333
n
i
aixn
x1
1Arithmetischer Mittelwert:
iprom Median- und arithmetischer Mittelwert
Zufallszahlen: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7
Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8
Median
Arithmetischer
Mittelwert:
39/9=4,333
Zufallszahlen
mit Ausreißer: 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7000
Sortiert: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 7000
Median
Arithmetischer
Mittelwert:
7032/9=781,333
iprom Streuungsparameter
iprom Empirische Streuung
2
1
2 )(1
1xx
nS
n
i
i
Streuung S:
Warum (n-1) und nicht n?
Nur (n-1) Summanden sind statistisch unabhängig,
da der Mittelwert als bekannt vorausgesetzt wird.
1
1
n
in xxnx
iprom Mittelwert und Erwartungswert
xhnnxn
nh mm
mm DD
D
Dm
m
m
n
i
ai xnn
xn
x D
11
1
xxhxxnhn
x m
m
mm
m
m DD 1
D
dxx
xhh
xx
x
n
m
m
m
)(
xdxxh )(
Summation auf die Klassen des
Histogramms verteilen
iprom Erwartungswert µ
µ ist erstes Moment der Verteilungsdichtefunktion
Anschaulich: x-Koordinate des Flächenschwerpunkts
µ
iprom Streuung und Standardabweichung
xhnn mm DDSummation auf die Klassen des
Histogramms verteilen
mi
m
mmi
m
m
n
i
i xxxhn
nxxn
nxx
nS
222
1
2
11
1)(
1
1D
D
11
)(
22
D
n
n
dxx
xxx
xhh
x
n
m
mi
m
dxxxhS222 )(
: Standardabweichung,
2: Varianz .
iprom Standardabweichung
σ ist das zweite Moment der Verteilungsdichtefunktion h(x).
Anschaulich: Flächenträgheitsmoment
iprom Kenngrößen für Stichprobe und Verteilung
Theoretischer Wert
= Grenzfall für
Stichprobenumfang
Näherungswert bei einer
endlichen Stichprobe
Erwartungswert Mittelwert
Standardabweichung Streuung S
x
iprom
22
22
22
22
)(
12)(
)()(2)(
)(
dxxhx
dxxhx
dxxhdxxxhdxxxh
dxxxh
Alternative Berechnungsformel für die Varianz
iprom
Beispiele für kontinuierliche
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
iprom Die Gaußsche Normalverteilung
2
2
1
22
1)(
x
exh
Kurvenschar mit den beiden
Parametern µ und σ
Symmetrisch zu µ
Maximum bei µ
Wendepunkte bei
Für geht h(x) asymptotisch gegen 0, ist aber stets >0
x =
x
iprom Die Gaußsche Normalverteilung
2
2
1
22
1)(
x
exh
Gauß-Verteilung
(in normierten Koordinaten)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
h(x
)*
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
P(x
)
P(x)
h(x)
x -
µ = µ und σ = σ
iprom Die Rechteck- oder Gleichverteilung
sonst
xxxfürxxxh
0
1
)( maxmin
minmax
2
minmax xx
32
minmax xx
iprom Die Dreieckverteilung
2
minmax xx
sonst
xxxx
fürxxxx
xxxxfürxx
xx
xh
0
2
4
2
4
)( max
minmax
max2
minmax
minmax
minmin2
minmax
62
minmax xx
iprom Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Die Zufallsgröße X kann nur diskrete Werte annehmen.
P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert k annimmt.
Erwartungswert und Standardabweichung werden wie folgt berechnet:
dxxxh
kXkPk
)(
)(
222
222
)(
)(
dxxhx
kXPkk
iprom Die Binomialverteilung
Die Zufallsgröße kann bei jeder Wiederholung einen von zwei
möglichen Werten annehmen, mit der Wahrscheinlichkeit p für das
„positive“ und der Wahrscheinlichkeit q = 1-p für das negative Ergebnis
knk qpk
nkXP
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Wiederholungen k-mal das positive
Ergebnis auftritt:
Bin(n,p):
=np 2=npq
!!
!
knk
n
k
n
Beispiel:
Ziehen aus Urne mit Zurücklegen
iprom Binomialverteilungen mit verschiedenen Parameterwerten
Bin(10, 0.2) Bin(10, 0.8)
Bin(10, 0.5) Bin(30, 0.5)
iprom Die Poissonverteilung
Statistische Beschreibung von Zählereignissen
Beispiel: Zählimpulse bei radioaktivem Zerfall
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis im Beobachtungszeitraum
k-mal auftritt:
Po(): !k
ekXPk = 2=
iprom Poissonverteilung mit verschiedenen Parameterwerten
Po(0,5) Po(1)
Po(2) Po(5)
iprom Parameterschätzung
Wie stellt man den Verteilungstyp einer Zufallsgröße fest?
Experimentelle Untersuchung einer Stichprobe, Erstellen eines
Histogramms, Ähnlichkeit des Histogramms mit den bekannten
Verteilungen prüfen -> Hypothese
Die Verteilung habe s Parameter 1,...s
Wie bestimmt man die am besten passenden Werte?
iprom Parameterschätzung
Die Maximum-Likelihood-Methode ermittelt den Parametervektor
= (1, ... ,s), für den die Wahrscheinlichkeit des Auftretens
genau der n experimentell ermittelten Meßwerte x1,...xn maximal ist.
Maxxh
MaxxXP
n
j
j
jj
n
j
)(1
1
für diskrete Verteilungen
für kontinuierliche Verteilungen
Ergebnisse:
Normalverteilung: 22, Sx
Binomialverteilung: n
xp
Poissonverteilung: x
iprom Lineare Approximation
xx
fxfxxf D
D )()(
Taylor-Entwicklung
iprom Abweichungsfortpflanzung
Y = f(X1, X2, ..., Xm)
Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi
Systematische Abweichung Esi = µi - xi
Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi
iprom Abweichungsfortpflanzung
Y = f(X1, X2, ..., Xm)
Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi
Systematische Abweichung Esi = µi - xi
Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi
Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm)
Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm)
iprom Abweichungsfortpflanzung
Y = f(X1, X2, ..., Xm)
Die Größen Xi seien Messgrößen mit wahrem Wert xi und Erwartungswert µi
Systematische Abweichung Esi = µi - xi
Zufällige Abweichung Eaik bei k-ter Messung von Xi: Eaik = xaik - µi
Wahrer Wert von Y: y = f(x1, x2, ..., xm)
Erwartungswert von Y: µ = f(µ1, µ2, ..., µm)
Frage: wie pflanzen sich die systematischen und zufälligen Abweichungen
der Xi fort?
iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung
),...,(),...,(
),...,(),...,(
111
11
msmms
mm
s
xxfExExf
xxff
yE
iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung
),...,(),...,(
),...,(),...,(
111
11
msmms
mm
s
xxfExExf
xxff
yE
xx
fxfxxf D
D )()( Taylor-Entwicklung
iprom Fortpflanzung der systematischen Abweichung
si
m
i i
msi
m
i i
m
msmms
mm
s
Ex
f
xxfEx
fxxf
xxfExExf
xxff
yE
1
1
1
1
111
11
),...,(),...,(
),...,(),...,(
),...,(),...,(
Die systematische Abweichung der
resultierenden Größe ist die Summe der
systematischen Abweichungen der
Eingangsgrößen, gewichtet mit der
partiellen Ableitung der resultierenden Größe
nach der jeweiligen Eingangsgröße
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
Von den Eingangsgrößen Xi werden Stichproben vom
Umfang ni genommen: {xiki}ki=1,...,ni
Die zufällige Abweichung eines solchen Meßwerts beträgt
Eaiki=xiki-i
Für jedes Xi kann ein Mittelwert und eine Streuung
berechnet werden:
ni
ki
iki
i
i xn
x1
1 2
1
2 )(1
1i
ni
ki
iki
i
i xxn
S
ist die Abweichung eines Einzelwerts vom Mittelwert.iikiiki xxx D
01
D
ni
ki
ikix
iprom Fortpflanzung der Abweichung bei zusammengesetzten Größen
X1 X2 X3 X4
Y1
Y2
Y3
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
A14
A24
A34
4
1
3
13*4
1
i j
ijAA 24
1
3
1
)(13*4
1AAS
i j
ijA
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
Beispiel: Fläche eines Rechtecks A = a b
Seitenlänge a werde 5 mal gemessen: a1, a2, a3, a4, a5
Seitenlänge b werde 3 mal gemessen: b1, b2, b3
Es gibt 5 x 3 mögliche Kombinationen, die Fläche A zu berechnen:
A11=a1 b1 A21=a2 b1 A31=a3 b1 A41=a4 b1 A51=a5 b1
A12=a1 b2 A22=a2 b2 A32=a3 b2 A42=a4 b2 A52=a5 b2
A13=a1 b3 A23=a2 b3 A33=a3 b3 A43=a4 b3 A53=a5 b3
Diese 15 Werte Aij werden als Messwerte einer virtuellen Messreihe
interpretiert und es werden der Mittelwert x und die Streuung S berechnet.
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
Es gibt verschiedene Kombinationsmöglichkeiten der
Eingangsmesswerte, für die jeweils ein Wert für y berechnet werden
kann.
m
i
ni1
),...( 11...1 mkmkkmk xxfy
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
),...,(
1),...,(
)),...,((...1
),...,(...1
...1
1
11
1
1
1
1
11 1
1
1
11
1
11 1
1
1
1
11 1
...1
1
m
ni
ki
iki
ij
j
m
i i
m
i
m
iki
m
i i
m
n
k
nm
kmm
i
mkmmk
n
k
nm
kmm
i
n
k
nm
km
kmkm
i
xxf
xnx
f
ni
xxf
xx
fxxf
ni
xxxxf
ni
y
ni
y
D
D
DD
Der Mittelwert für y wird wie folgt berechnet:
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
Die zufällige Abweichung bei der Messung von Y kann
naturgemäß nur statistisch beschrieben werden. Unter der
Voraussetzung, daß die Eingangsgrößen Xi statistisch
unabhängig sind, erhält man für die Standardabweichung
bzw. die Streuung:
m
i
i
ix
f
1
2
m
i
i
i
Sx
fS
1
2
2
iprom Vollständiges Messergebnis
In der Praxis liegen systematische und zufällige Abweichungen
stets gemeinsam vor.
Vorgehensweise:
1. Systematische Abweichungen ermitteln und korrigieren
2. Vertrauensbereich für korrigierte Werte aus der Fortpflanzung
der statistischen Abweichung berechnen
iprom Standardabweichung des Mittelwerts
Die Messgröße X sei normalverteilt mit µ und .
Aus n wiederholten Messwerten werde der Mittelwert x berechnet.
Dieser kann formal als Wert einer Messgröße X betrachtet werden,
die wie folgt berechnet wird:
mit Xi normalverteilt mit µ und für alle i
n
i
in Xn
XXfX1
1
1),...,(
Fortpflanzung der zufälligen Abweichung:
nn
nn
X
Xn
X
XXf
n
k
n
i
k
k
k
n
i
in
k
k
k
nn
kX
2
21 1
2
2
2
1
1
2
1
1
11
1
),...,(
iprom Abschätzung des Erwartungswertes
Die Größe X sei normalverteilt,
die Standardabweichung und
der Erwartungswert µ seien
bekannt.
Wahrscheinlichkeit dafür, dass
der nächste Messwert im
Intervall µ c liegt (c > 0):
)()(
)(
cPcP
dhcxP
c
c
Dies ist eine Funktion von und c.
iprom Abschätzung des Erwartungswertes
dhcxP
c
c
)(
Formal ist das gleich cxP
Interpretation: Angenommen, µ sei nicht bekannt, dann wäre der
Messwert x ein Schätzwert für µ und die Wahrscheinlichkeit P dafür,
dass µ im Intervall x c liegt, kann mit obiger Gleichung berechnet
werden.
[x-c; x+c] ist ein Konfidenzintervall für µ
P ist die „statistische Sicherheit“ der Schätzung.
Dies ist eine Funktion von und c.
iprom Abschätzung des Erwartungswertes
dhcxP
c
c
)(
Formal ist das gleich
cxP
Dies ist eine Funktion
von und c.
iprom Statistische Sicherheit bei normalverteilten Größen
P(µ[x-, x+]) = 68,3%
P(µ[x-2, x+2] = 95,45%
P(µ[x-3, x+3] = 99,73%
iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen
1. Die Meßgröße X sei normalverteilt, sei bekannt: Das trifft auf z.B. auf die Anwendung eines bekannten Messverfahrens
zu. ist durch das Verfahren gegeben, µ ist die gesuchte Größe
a) wird abgeschätzt durch einen einzelnen Meßwert x Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit),
daß im Intervall [ x-c; x+c ] um einen Meßwert x liegt?
)()()( cPcPdxxhcxP
c
c
Nach Tabelle z.B.:
c=1 -> statistische Sicherheit P=68,3%
c=2 -> statistische Sicherheit P=95,5%
c=3 -> statistische Sicherheit P=99,7%
iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen
k=1: c = 1: P(µ[x-, x+]) = 68,3%
k=2: c = 2: P(µ[x-2, x+2] = 95,45%
k=3: c = 3: P(µ[x-3, x+3] = 99,73%
iprom Konfidenzintervalle für normalverteilten Größen
b) wird abgeschätzt durch den Mittelwert x aus n Messungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit),
daß im Intervall [ x-c; x+c] um den Mittelwert x liegt?
Nun muß durch
(Standardabweichung des Mittelwerts ) ersetzt werden.
nn
xx
Beispiel:
Für c=0,5 folgt für einen einzelnen Messwert
aus der Tabelle: P(µ[x-0,5, x+0,5]) = 38,3%
Für den Mittelwert von 36 wiederholten Messungen gilt:
xx nc 35,05,0
636
x
%7,99])3;3[( xx xxP
iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen
Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ zur
statistischen Sicherheit P% ist demnach:
n
kx
n
kx
;
Auf diese Weise kann berechnet werden, wie oft eine Messung
wiederholt werden muß, damit mit einer geforderten
statistischen Sicherheit der Erwartungswert innerhalb eines
geforderten Unsicherheitsintervalls bestimmt werden kann.
iprom Konfidenzintervalle für normalverteilte Größen
2. Die Meßgröße X sei normalverteilt, und seien unbekannt:
wird durch den arithmetischen Mittelwert aus n Meßwerten abgeschätzt.
wird durch die Streuung S abgeschätzt:
x
n
i
i xxn
S1
22
1
1
Frage: Mit welcher statistischen Sicherheit können wir rechnen?
Dazu werden der Begriff „p-Quantil einer Verteilung“
und zwei neue Verteilungsfunktionen eingeführt:
Die Studentsche t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung
iprom P-Quantil einer Verteilung
Das p-Quantil einer Verteilung mit Verteilungsdichte h(x) ist der Wert,
bis zu dem die Funktion h(x) von - an integriert werden muss, um die
Fläche p zu erhalten.
ph
pdxxh )(
iprom Die Studentsche t-Verteilung
2
12
1
2
2
1
1)(
s
ss
x
s
s
sxt
Die Studentsche t-Verteilung mit s Freiheitsgraden:
duuet tu 1
0
mit der Gammafunktion
Das p-Quantil ts,p der ts-Verteilung: pdxxtpst
s
)(,
iprom Die Studentsche t-Verteilung
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -2 0 2 4
x
t s(x
)
t1
t5
t
ts,p
Fläche=1-p
0
Dichten der Studentschen
t-Verteilung mit s Freiheitsgraden
p-Quantil der Studentschen
t-Verteilung
iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung
122
2
2
22
1)(
sx
ss xes
x
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit s Freiheitsgraden:
Das p-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung:2
, ps pdxxps
s
)(
2,
2
iprom Die Chi-Quadrat-Verteilung
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20
x
2 s
(x)
21
24
27
0 2s,p
Fläche=1-p
Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung
mit s Freiheitsgraden
p-Quantil der Chi-Quadrat-
Verteilung
iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen
Für eine normalverteilte Größe X mit unbekanntem µ und
unbekanntem ergeben sich auf der Basis einer Stichprobe
von n Messwerten x1,...,xn
das Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ mit statistischer
Sicherheit p = 1-:
und das Konfidenzintervall für die Varianz 2 mit statistischer
Sicherheit p = 1- :
2
1,12
1,1;
nnt
n
Sxt
n
Sx
2
2,1
2
2
21,1
2 1;
1
nn
snsn
iprom Konfidenzintervall für normalverteilte Größen
Frage:
Warum werden die 1-/2-Quantile eingesetzt?
Symmetrie der t-Verteilung
iprom Statistische Tests
Statistische
Tests
iprom Empirische Wissenschaften
Allgemeine
Vorgehensweise
in den empirischen
Wissenschaften
In den empirischen Wissenschaften gibt es keine „absolute Wahrheit“
iprom Statistische Tests
Die zu untersuchende Hypothese wird als Nullhypothese H0 bezeichnet.
Es wird eine Alternativhypothese H1 aufgestellt.
Meist (aber nicht immer) wird gewählt: H1 = H0
Es wird eine Messreihe durchgeführt (Kontrollbeobachtung).
Man erhält die Messwerte x1, ... , xn
Die Messwerte x1, ..., xn werden in eine Testfunktion eingesetzt, die
für den jeweiligen Test charakteristisch ist. Man erhält die
Testgröße T = T(x1, ..., xn)
T wird mit einem tabellierten Schwellenwert verglichen. Aus diesem
Vergleich folgt die Entscheidung, H0 anzunehmen oder nicht.
iprom Statistische Tests
Anschaulich:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p, dass unter Annahme der
Gültigkeit der Hypothese H0 das tatsächlich beobachtete Ergebnis
auftritt.
Diese Wahrscheinlichkeit heißt Signifikanzniveau oder p-Wert.
Wenn der p-Wert klein ist, wird die Hypothese H0 verworfen.
iprom Statistische Tests
Anschaulich:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p, dass unter Annahme der
Gültigkeit der Hypothese H0 das tatsächlich beobachtete Ergebnis
auftritt.
Wenn diese Wahrscheinlichkeit klein ist,
wird die Hypothese H0 verworfen.
Die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich eine wahre Nullhypothese abzulehnen,
heißt Signifikanzniveau und wird je nach Anwendung vorgegeben.
Als p-Wert wird dasjenige Signifikanzniveau bezeichnet, mit dem man
gerade noch die (wahre) Nullhypothese ablehnen würde.
iprom Statistische Tests
Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch
Nichtablehnung
von H0
richtige Entscheidung
mit Wahrscheinlichkeit 1-
Fehlentscheidung 2. Art
mit Wahrscheinlichkeit
Ablehnung von
H0
Fehlentscheidung 1. Art
mit Wahrscheinlichkeit
richtige Entscheidung
mit Wahrscheinlichkeit 1-
: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau,
typische Werte: 5%, 1%, 0,1%
1-ß: Güte des Tests
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
X sei normalverteilt, µ und seien unbekannt.
Nullhypothese: µ = µ0
Alternativhypothese?
Einseitige Alternativhypothesen:
Alternative 1: H1: µ > µ0
Alternative 2: H1: µ < µ0
Zweiseitige Alternativhypothese:
H1: µ µ0
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Stichprobe mit n Messwerten x1,...xn ,
daraus werden Mittelwert und Streuung berechnet.
Im allgemeinen wird 0x sein.
Für kleine Abweichungen wird man H0 beibehalten
(Nichtablehnungsbereich)
Für große Abweichungen wird man H0 ablehnen
(Ablehnungsbereich)
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Testgröße: t0 ist t-verteilte Zufallsgröße.
n
S
xt 0
0
1.) H0: = 0 gegen H1: < 0 (einseitige Hypothese)
Ist t0 < -tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
2.) H0: = 0 gegen H1: > 0 (einseitige Hypothese)
Ist t0 > tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau :
3.) H0: = 0 gegen H1: 0 (zweiseitige Hypothese)
Ist |t0| > tn-1;1-/2, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Erläuterung zur Konstruktion der Testfunktion:
Für normalverteilte Zufallsgrößen wird das Konfidenzintervall um
den Mittelwert x mit der statistischen Wahrscheinlichkeit p=1-
wie folgt berechnet:
2
1,12
1,1;
nnt
n
Sxt
n
Sx
2221,101,1
0
1,10
nnnttt
n
S
xt
n
Sx
21,1
n
tn
Sx
Wäre µ=µ0, so müsste daher gelten:
Wenn aber gilt, so kann nicht µ=µ0 sein.2
1,10
ntt
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Erläuterung zu den Quantilen:
a) Einseitige Tests:
b) Zweiseitiger Test:
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Erläuterung zur Irrtumswahrscheinlichkeit:
Tatsächlich: H0 richtig Tatsächlich: H0 falsch
Nichtablehnung
von H0
richtige Entscheidung
mit Wahrscheinlichkeit 1-
Fehlentscheidung 2. Art
mit Wahrscheinlichkeit
Ablehnung von
H0
Fehlentscheidung 1. Art
mit Wahrscheinlichkeit
richtige Entscheidung
mit Wahrscheinlichkeit 1-
: Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau,
typische Werte: 5%, 1%, 0,1%
1-ß: Güte des Tests
iprom Der t-Test für den Erwartungswert (Lokationstest)
Erläuterung zur
Irrtumswahrscheinlichkeit:
Beim Verschieben der
Entscheidungsgrenze
ändern und sich
gegensinnig.
Kompromiss erforderlich
Das Verkleinern von
(Vergrößern der Stichprobe)
verkleinert und gleichzeitig.
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
X sei (µx, )-normalverteilt,
Y sei (µy, )-normalverteiltµx, µy, seien unbekannt.
Man interessiert sich für den Vergleich der Erwartungswerte.
Das ist eine typische Situation beim Vergleich der Wirkung zweier
Maßnahmen (z.B. medizinische Behandlung) oder bei der Frage,
ob eine Änderung an einem technischen System zu einer (gewünschten)
Änderung der Systemeigenschaften führt.
Nullhypothese H0: µx = µy
YX Hilfsgröße: mit Streuung
yxyx
yyxx
nnnn
SnSnS
11
2
11 22
2
Kontrollmessungen: nx Messwerte für X, ny Messwerte für Y
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
Fallunterscheidung:
a) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die einander
sehr ähnlich sind
unabhängige Stichproben
b) Die betrachtete Grundgesamtheit besteht aus Einheiten, die
sehr unterschiedlich sind (Individuen)
verbundene Stichproben
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben
yxSnSnnn
nnnn
S
yxt
yyxxyx
yxyx
22011
2Testgröße:
Speziell für nx=ny=n: yxSS
nt
yx
220
Vergleich der Mittelwerte
Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau :
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
a) Der t-Test bei unabhängigen Stichproben
1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese)
Ist , wird H0
auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
1;20 yx nntt
2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese)
Ist , wird H0
auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
1;20 yx nntt
3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese)
Ist , wird H0
auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
2/1;20 || yx nntt
iprom Der t-Test für den Vergleich zweier Erwartungswerte
b) Der t-Test bei verbundenen Stichproben
Testgröße:
mit:
Vergleich der Mittelwerte
n
d
d
n
i
i 1
1
1
2
n
dd
s
n
i
i
ddi = xi - yi
n
s
dt
d
0
iprom Fortpflanzung der zufälligen Abweichung
Test der Nullhypothese bei vorgewähltem Signifikanzniveau :
1.) H0: x = y gegen H1: x < y (einseitige Hypothese)
Ist t0 < -tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
2.) H0: x = y gegen H1: x > y (einseitige Hypothese)
Ist t0 > tn-1;1-, wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
3.) H0: x = y gegen H1: x y (zweiseitige Hypothese)
Ist |t0| > tn-1;1-/2 , wird H0 auf dem Signifikanzniveau abgelehnt.
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Vermutung, dass die Zufallsgröße einer bestimmten Verteilung gehorcht.
Überprüfung mit dem Chi-Quadrat-Test
Nullhypothese H0: Die Größe X wird durch die
Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben.
Gegenhypothese H1: Die Größe X wird nicht durch die
Verteilungsdichtefunktion h(x) beschrieben.
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Durchführen einer Messreihe, Erstellen eines Histogramms
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Bestimmung der Parameter der Verteilungsdichtefunktion, für die
das Histogramm am besten angenähert wird
(Maximum Likelihood-Verfahren)
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Berechnung eines theoretischen Histogramms
aus der Funktion h(x)
Aus der Flächendifferenz von realem und theoretischem Histogramm
wird eine Testgröße berechnet Entscheidung
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
1. Schritt:
Aufteilen des Wertebereichs in r nicht überlappende Klassen Ti,
so daß jede Klasse wenigstens 5 Werte der Stichprobe x1,...xn enthält
(Diese Grenze ist willkürlich gewählt, häufig wird auch >10 gefordert).
Die Intervalle können auch ungleich breit sein.
Hinweis: Allgemeinere Form von Histogrammen als bisher:
Die Klassen dürfen unterschiedlich breit sein.
Sinn der Forderung nach mindestens 5 Werten je Klasse?
Zählstatistik (Poissonstatistik): µ=, 2=, =x
relative Standardabweichungx
11
Je kleiner die Zahl, um so unsicherer die Zählung
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
2. Schritt:
Bestimmen der Anzahl Bi von Meßwerten in der Klasse Ti
3. Schritt:
Falls die Verteilungsdichtefunktion h(x) Parameter enthält
(z.B. und bei der Normalverteilung),
so werden diese Parameter aus den Messdaten x1,...xn abgeschätzt.
Hinweis: Maximum-Likelihood-Verfahren
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
4. Schritt:
Berechnen der Wahrscheinlichkeit pi, mit der bei Annahme der
hypothetischen Verteilungsdichte h(x) unter Annahme der unter
Schritt 3 geschätzten Parameter ein Meßwert im Intervall Ti zu
erwarten ist.
Hinweis: 2
1
)()( 21
x
x
dhxxxP
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
5. Schritt:
Berechnen der Produkte Ei=npi, die die theoretischen
Besetzungszahlen der Klasse Ti bei Annahme der
Verteilungsdichte h(x) darstellen.
Hinweis:
„Theoretisches Histogramm“
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
6. Schritt:
Prüfen, ob für alle Klassen gilt: Ei 5. Klassen mit Ei < 5 werden mit
benachbarten Klassen zusammengelegt. Nach diesem Schritt liegen
r* Klassen vor mit r* r.
Hinweis: Auch für das theoretische Histogramm gilt die Zählstatistik
*
1
2
2
0
r
i i
ii
E
EB
7. Schritt:
Berechnen der Testgröße
Hinweis: Maß für die Abweichung zwischen realem und
theoretischem Histogramm
iprom Der Chi-Quadrat-Test für Verteilungsfunktionen
Der Chi-Quadrat-Test in 10 Schritten
8. Schritt:
Bestimmung der Zahl der Freiheitsgrade
r* ist die Zahl der auswertbaren Klassen (Besetzungszahl >5 bzw. > 10)
s ist die Zahl der Parameter der Verteilungsdichtefunktion
Die Zahl der Freiheitsgrade ist r*-s-1
9. Schritt:
Festlegen der Irrtumswahrscheinlichkeit
10. Schritt:
H0 ist abzulehnen mit Signifikanzniveau , wenn2
1;1*
2
0 sr
iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA
Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance)
k Stichproben werden untersucht. Man will prüfen, ob alle Stichproben
zur gleichen Grundgesamtheit gehören.
Anzahl der Messwerte der j-ten Stichprobe: nj
k
j
jnn1
Gesamtzahl der Messwerte:
Die Messwerte nij innerhalb jeder Stichprobe seien normalverteilt mit
jeweils gleicher Standardabweichung .
Nullhypothese H0: Alle Stichproben haben den gleichen Erwartungswert
Alternativhypothese H1: Es gibt mindestens zwei
Stichproben a, b mit a b
iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA
Die einfache Varianzanalyse - ANOVA (analysis of variance)
Prinzip des Tests:
Vergleich der mittleren Streuung der Messwerte innerhalb der Stichproben
mit der Streuung der Mittelwerte zwischen den Stichproben
iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA
Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten
Schritt 1:
Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQI innerhalb
der Stichproben:
Schritt 2:
Berechnung der mittleren Quadratsumme MQI innerhalb der
Stichproben:
2
1 1
)(
k
j
n
i
jij
j
xxSQI
kn
SQIMQI
n Summanden, k Mittelwerte n-k unabhängige Größen
iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA
Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten
Schritt 3:
Berechung der Summe der Abweichungsquadrate SQZ zwischen
der Stichproben:
Schritt 4:
Berechnung der mittleren Quadratsumme MQZ zwischen der
Stichproben:
2
1
)(
k
j
jj xxnSQZ
k
j
jj xnk
x1
1mit
1
k
SQZMQZ
k Summanden, 1 Mittelwert k-1 unabhängige Größen
iprom Die einfache Varianzanalyse - ANOVA
Die einfache Varianzanalyse in sieben Schritten
Schritt 5:
Berechnung der Testgröße F:
Schritt 6:
Festlegen des Signifikanzniveaus
Ermitteln des 1- Quantils Fk-1;n-k;1-a aus einer Tabelle („kritischer
Wert“)
Schritt 7:
H0 wird auf dem Signifikanzniveau abgelehnt, wenn F> Fk-1;n-k;1-a
MQI
MQZF
Würde die Hypothese H0 zutreffen, so würde die Testgröße einer
F-Verteilung mit den Freiheitsgraden f1=k-1 und f2=n-k genügen.
iprom Die lineare Regression
Die lineare Regression
Welche Gerade repräsentiert die Anordnung der Wertepaare (xi, yi)
am besten?
iprom Die lineare Regression
Die lineare Regression
Diese Gerade geht stets durch den Schwerpunkt der Punkte.
Approximation nach Gauss: Die optimale Gerade durch eine Anzahl von
Wertepaaren (xi, yi) wird so gewählt, dass die Summe der
Abweichungsquadrate minimal wird.
yx,
)()( xxbyy
n
i
i
n
i
ii
xx
yyxx
b
1
2
1
mit
Regressionskoeffizient
iprom Die lineare Regression
Vertrauensbereich für die Regressionsgerade:
1. Festlegen der geforderten statistischen Sicherheit p (z.B.: p=0,95)
2. Berechnen der Streuung Sx aus den Messwerten x1,...,xn
Berechnen der sogenannten Restvarianz 2̂
2
1
2 )(2
1ˆ
jj
n
j
xxbyyn
3. Vertrauensbereich für den Regressionskoeffizienten b zur statistischen
Sicherheit p=1-:
x
n
x
n
Sn
tb
Sn
tb
2/1,22/1,2ˆ
,ˆ
iprom Die lineare Regression
Durch die berechnete Gerade wird einem beliebig gewählten x-Wert
x* der y-Wert zugeordnet. )( ** xxbyy
Der Vertrauensbereich für y* zur statistischen Sicherheit p=1- ist:
2
2*2/1,2*
2
2*2/1,2* 1
ˆ,1
ˆ
x
n
x
n
S
xx
n
ty
S
xx
n
ty
iprom Die lineare Regression
Konfidenzintervall für die Regressionsgerade
Vorsicht: Ein mathematisch formaler Zusammenhang muss kein
Kausalzusammenhang sein!
iprom Die nichtlineare Regression
Nichtlineare Regression:
Näherungslösung durch Rückführung auf lineare Regression.
Beispiel:
Messreihe liefert Wertepaare (xi,yi)
Vermutung eines funktionalen Zusammenhangs baxey
Ansatz: Linearisierung Wertepaare (xi, ln(yi))
ln(y)=ax+b
Anwendung der linearen Regression
Aber: Die Fehler der einzelnen Messpunkte gehen mit unterschiedlicher
Gewichtung in das Mittelungsverfahren ein.
Mathematisch saubere least-square-fits sind numerisch aufwendig
spezielle Softwarepakete verfügbar, z.B. ORIGIN
iprom Messabweichungen und Abweichungsursachen
Grundlagen
der Messtechnik
2. Teil
iprom Begriffsbestimmungen
Messprinzip: Physikalisches Phänomen, auf dem die Messung basiert
Messmethode: Spezielle Vorgehensweise bei der
Durchführung von Messungen
direkte oder indirekte Messmethode
Ausschlags- oder Differenzmessmethode
zeitlich kontinuierliche oder diskontinuierliche
Messmethode
digitale oder analoge Messmethode
Messverfahren: praktische Anwendung eines Messprinzips und einer
Messmethode
iprom Direkte und indirekte Messmethoden
Direkte Messmethoden im engeren Sinne:
unmittelbarer Vergleich mit einem Normal der gleichen Art
Beispiel: Balkenwaage
Direkte Messmethoden im weiteren Sinne:
Ablesen des Messwertes von einer kalibrierten Anzeige
Die Anzeige muss mit Normalen der gleichen Art wie die
Messgröße kalibriert worden sein
Beispiel: Federwaage
Indirekte Messmethoden:
Ermittlung des Messwertes aus der Messung anderer Messgrößen
Beispiel: Fläche als Produkt zweier Längen
iprom Messmethoden
Ausschlagsmessmethoden:
Ablesen des Messwertes von einer Anzeige (analog oder digital)
Substitutionsmessmethode:
Ersetzen der gesuchten Größe durch eine Anordnung von
Normalen, so dass der gleiche Ausschlag gemessen wird
Differenzmessmethode:
Messung der Anzeigedifferenz zwischen der gesuchten Größe
⇒ Ausgangssignal: Sinus der Frequenz ω mit Phasenverschiebung
iprom Bode-Diagramm eines Tiefpasses 1. Ordnung
-90
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 21 3 4 5 7 10
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-10
-20
0
)(
w iG
w · T
0,1
0,1 0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,4
0,5
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,9
1
1 2 3 4 5 7 10
KiG
)(
w
w · T
iprom Federpendel als Beispiel für lineares System 2. Ordnung
Einer äußeren Kraft F (Eingangssignal) wirken drei Kräfte entgegen:
elastische Federkraft: aF xF
Bremskraft: aBr xkF
Trägheitskraft: am xmF
Wir erhalten eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung zwischen dem Eingangssignal F und dem Ausgangssignal Auslenkung xa.
aaa xmxkxF
iprom Lineares System 2. Ordnung
aaa xmxkxF
Durch eine Variablensubstitution erhält man: aaae D 2
Das Verhalten der Messeinrichtung bei Einwirkung eines speziellen Eingangssignals hängt stark vom Wert der Dämpfungskonstante D ab. Für eine Sprungfunktion am Eingang gilt: Für D > 1 läuft das Ausgangssignal asymptotisch dem Eingangssignal nach (träge) Für 0 < D < 1 tritt gedämpfte Schwingung auf, die sich asymptotisch dem Eingangssignal annähert. Für D=1: Übergang, aperiodischer Grenzfall.
m
kD
2
iprom Sprungantwort eines linearen Systems 2.Ordnung
Ansprechschwelle: kleinste Messgrößenänderung am Eingang, die zu einem ersten Ausschlag des Messgerätes führt. Zur Bestimmung wird die Kennlinie aufgenommen und zurück-extrapoliert -> genauer, als direkte Ermittlung des Wertes Anlaufwert: bei integrierenden oder zählenden Messgeräten
iprom Beispiel für Hysterese
Magnetisierungskurve eines ferromagnetischen Materials
Bildquelle: Wikipedia
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Hysterese: Anzeigewert ist abhängig von vorhergehenden Werten Umkehrspanne: Differenz der Anzeige, wenn derselbe Wert der physikalischen Größe von größeren bzw. kleineren Werten her eingestellt wird. Ursachen: Lagerspiel, Reibung, ferromagnetische bzw. ferroelektrische Effekte (Remanenz) -> Umkehrspanne hängt von Vorgeschichte ab. Elastische Nachwirkung: Stark belastete Feder geht nach Entlastung nicht sofort in den Ausgangszustand zurück. Effekt verschwindet im Laufe der Zeit wieder.
iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen
SkalaAugen-
position
Zeiger
iprom Parallaxe beim Ablesen von Skalen
Skala Spiegel-
skala
Augen-
position
Augen-
position
Zeiger Zeiger Spiegelbild
des Zeigers
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Beim visuellen Ablesen von Skalen ist auf Blickrichtung senkrecht zur Skalenfläche zu achten, sonst treten Parallax- und Brechungseffekte auf. Günstig sind Spiegelskalen: wenn der Zeiger und sein Spiegelbild zur Deckung kommen, ist die Blickrichtung senkrecht.
Bildquelle: Wikipedia
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Auflösung: a) erforderliche Änderung der Eingangsgröße, um festgelegte
Änderung der Ausgangsgröße zu bewirken. Ohne Hysterese ist dies der Kehrwert der Empfindlichkeit.
b) Bei digitalen Systemen: Ziffernschritt der letzten anzeigenden Stelle
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Nullpunktsstabilität: Stabilität gegenüber Störgrößen, z.B. bei elektronischen Messgeräten: Nullpunktdrift in mV/K oder mV/24h
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Messunsicherheit: Systematische Abweichungen sind korrigierbar. Zufällige Abweichungen können statistisch abgeschätzt werden -> Wahrscheinlichkeitsaussage: Messunsicherheit gibt an, welche Abweichung mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird.
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Abweichungsgrenze gibt an, welcher Fehler keinesfalls überschritten wird. Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie:
a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression)
Toleranzband
a) konstante Abweichung b) vom Messwert abhängige Abweichung
iprom Abweichungscharakteristiken von Messsystemen
Linearitätsabweichung: Verschiedene Bestimmungsmöglichkeiten einer linearen Kennlinie:
a) Durch die beiden Endpunkte des Messbereichs b) Statistisch berechnete Gerade (lineare Regression)
Die Wechselwirkung zwischen Messobjekt und Messeinrichtung beeinflusst
Den Messwert.
Drei Arten, das zu berücksichtigen:
1. Effekt vernachlässigen (wenn man dies begründen kann)
2. Rechnerische Korrektur des Messwerts
3. Anwendung eines Kompensationsmessverfahrens
Messobjekt
(Messung)
Referenzobjekt
(Kalibrierung)
Messeinrichtung
Übertragungs-verhalten
x
x
x
e
N
a
Messsystem
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
p, V
a) Beginn des Experiments
Gas mit Druck p in Volumen V Messvorrichtung in Ruhestellung
arretiert
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
Messabweichung könnte durch Anwendung der idealen
Gasgleichung pV=nRT rechnerisch korrigiert werden
Dp - p
V + VD
b) Arretierung wird gelöst
Gasdruck p übt Kraft auf Kolben aus.
Feder wird komprimiert. Kolbenverschiebung
vergrößert V und im abgeschlossenen System
wird die Messgröße p kleiner
pV=const.
iprom Beispiel für Messung mit Rückwirkung
Messung des Gasdrucks in einem Behälter
Messabweichung wird durch Anwendung eines
Kompensationsverfahrens aufgehoben
p, V
c) Durch Verschieben des Gegenlagers der Feder wird der Kolben wieder in die Ausgangsstellung gebracht. Dadurch wird die Wirkung der Messgröße . Messgröße p ist jetzt wieder unverfälscht messbar.
kompensiert
iprom Kalibrieren - Justieren - Eichen
Kalibrieren: Bestimmung der Messabweichung an einem oder
an mehreren Stellen im Messbereich
Vergleich mit kalibrierten Meisterteilen oder
mit kalibrierten Messgeräten einer höheren
Genauigkeitsklasse
Justieren: Eingriff in das Messgerät mit dem Ziel,
Messabweichungen zu verkleinern
Eichen: Amtliche Prüfung von Messgeräten durch akkreditierte
Personen (juristischer Begriff)
iprom Beispiel: Kalibrieren eines Messschiebers mit Parallelendmaßen
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 0
L1
L
L1
x =Lai i
xa5
xa4
xa3
xa2
xa1
L2
L2
L3
L3
L4
L4
L5
L5
ParallelendmaßeAnzeigewert xa
Richtiger Wert L
iprom Rückführbarkeit - Kalibrierkette
Nationales Normal
BezugsnormalDKD-Kalibrierlabor
Innerbetriebliches KalibrierlaborGebrauchsnormal
Prüfmittel
Produkt
Def.: Rückführbarkeit ist die Eigenschaft eines Messergebnisses oder des Wertes eines
Normals, durch eine ununterbrochene Kette von Vergleichsmessungen mit angegeben-
en Messunsicherheiten auf geeignete Normale, im allgemeinen internationale oder na-