INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO - PALMIRA 1
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Cronograma actividades grado 10 Periodo lectivo: primero Año lectivo 2018 DOCENTE RESPONSABLE: Subleyman Ivonne Usman Narváez Asignatura: trigonometría
SEMANA
No. FECHA TEMA – ACTIVIDAD
1 22 –26 de enero
SEMANA DE DIRECCION DE GRUPO E INDUCIÓN SOBRE NORMAS GENERALES Y FORMAS DE EVALUACIÓN
TALLER SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS (RACIONALES E IRRACIONALES, TEOREMA DE DENSIDAD Y DE COMPLETEX.) ACTIVIDAD GRUPAL ( TRES ESTUDIANTES) ME PREPARO Y ACTIVIDAD No. 1
2 29 de enero al – 2 de febrero
TALLER SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS (RACIONALES E IRRACIONALES, TEOREMA DE DENSIDAD Y DE COMPLETEX.) ACTIVIDAD No. 2 Y 3 EVALUACIÓN DIAGNOSTICA (INDIVIDUAL) TIPO OCFES
3 5 al 9 de febrero
TEOREMA DE PITÁGORAS, ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS, RAZONES Y PROPORCIONES, CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS, SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, ACTIVIDAD GRUPAL (TRES ESTUDIANTES). PÁGINA 14. SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS, FACTORES DE CONVERSION,AACTIVIDAD No. 4
4 12 – 16 de febrero
EVALUACION INDIVIDUAL SOBRE ACTIVIDADES 1,2,3 Y 4 POSICION NORMAL DE UN ANGULO, ANGULOS COTERMINALES, ACTIVIDAD No. 5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS, ACTIVIDAD No. 6 FUNCIONES PERIODICAS Y FUNCION CIRCULAR
5 19 – 23 de febrero
ACTIVIDAD GRUPAL ME PREPARO DE TRES ESTUDAINTES; PÁGINA 27FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL, SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES, ANGULOS DE REFERENCIA
6 26 de febrero al 2 de marzo
ACTIVIDAD No. 7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES, 30°,
45° Y 60° EVALUACION INDIVIDUAL ACTIVIDADES 5,6 Y 7
7 5 al 9 de marzo ENTREGA DE LA ACTIVIDAD VIRTUAL MANEJO DE CALCULADORA EN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
8 12 – 16 de marzo
TALLER DE NIVELACION (INDIVIDUAL)PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO BASICO TALLER DE RECUPERACION ( INDIVIDUAL ) PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO BAJO TALLER DE PROFUNDIZACION (INDIVIDUAL)PARA ESTUDIANTES CON DESEMPEÑO ALTO Y SUPERIOR
9 20 – 23 de marzo
MARCHA EVALUATIVA
ENTREGA DE ACTIVIDAD DE EDUCACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA.
10 2 – 6 de abril
ACTIVIDAD DE MEJORAMIENTO INSTITUCIONAL No. 1 TIPO ICFES TALLER DE MEJORAMIENTO ICFES No. 2 Y 3
Registro de notas
Notas individuales Notas grupales M. E EVAL.. DIAGNOSTICA
EVAL. No.1
EVAL No.2
EVAL. No. 3
Act matemática financiera
Actividades en general cuaderno Taller de nivelación, recuperacion o profundizacion
Autoevaluación
ACTIVIDADES MEJORAMIENTO ICFES (1,2 Y 3)
ACT, No. 1 Y PREVIA
ACT. ME PREPAROP Pág. 27
Nota de entorno
INSTITUCION EDUCATIVA
NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
SEDE LICEO FEMENINO AREA DE MATEMATICAS
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ÁREA DE MATEMÁTICAS AÑO LECTIVO 2018
GUIA No. 1 DE TRIGONOMETRÍA GRADO DÉCIMO
ESTANDARES:
1. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grado de precisión específico.
2. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y otras ciencias.
3. Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos
y algebraicos
4. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y la de sus
operaciones y relaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
DBA 1. Utiliza las propiedades de los números reales para justificar procedimientos y diferentes representaciones
de subconjunto de ellos.
DBA 2. Utiliza las propiedades algebraicas de equivalencia y de orden de los números reales para comprender y crear
estrategias que permitan compararlos y comparar subconjuntos de ellos ( por ejemplo, intervalos)
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE 1. Argumenta la existencia de los números irracionales. *Utiliza representaciones geométricas de los números irracionales
y los ubica en una recta numérica.
2. Describe la propiedad de densidad de los números reales y utiliza estrategias para calcular un número entre otros dos.
3. Ordena de menor a mayor o viceversa números reales. *Describe el ‘efecto’ que tendría realizar operaciones con
números reales (positivos, negativos, mayores y menores que 1) sobre la cantidad.
4. Utiliza las propiedades de la equivalencia para realizar cálculos con números reales.
5. Realizo conversiones en los diferentes sistemas de medición de ángulos
6. Resuelvo problemas de semejanza de triángulos.
7. En el círculo trigonométrico encuentra las razones de los ángulos cuadrantales y especiales.
8. Dibujo ángulos en posición normal. *Dado un ángulo dibujo varios ángulos coterminales a él.
9. Resuelvo problemas sobre triángulos rectángulos.
10. Calculo las razones trigonométricas de un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en un cuadrante
dado.
11. Hallo las razones trigonométricas del ángulo θ en posición normal cuyo lado final pasa por un punto cuyas
coordenadas se indican.
LOS NÚMEROS REALES Como surgió? Una vez descubiertos los números irracionales (descubrimiento que se atribuye al griego Hippaso de Metaponte, en el siglo V a.c) como razones no conmensurables entre magnitudes en Grecia y en otros pueblos (indios, árabes y egipcios), se trabaja con aproximaciones sin plantear su fundamentación teórica. Más tarde en el renacimiento y en el siglo XVII, algunos matemáticos y físicos (entre ellos Newton) los asumen como símbolos y como números dependientes de las magnitudes geométricas; otros como Stevin y Wallis, los reconocen como números abstractos. En el siglo XVIII, D`Alembert y Evler demuestran que π y e
son números irracionales, asumiendo que la representación decimal de los irracionales es no periódica, pero sin dar una definición de numero irracional. En el siglo XIX dentro del movimiento de aritmetización del análisis orientado por Weierstrass, Dirichlet, Cauchy, Dedekind y Cantor entre otros, se da un estatus de número a los irracionales y se reconoce que los números reales son o racionales o irracionales.
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Cauchy define número real como “el límite de las diversas fracciones que tiene valores más y más cercanos”. Weirstrass los forma a partir de sucesiones infinitas de números racionales. Cantor los construye a partir de sucesiones infinitas de racionales (la sucesiones de Cauchy) y postula: “A cada número real le corresponde un punto definido en la recta, cuya coordenada es igual al número “. Dedekind, en su obra continuidad y números irracionales en la cual intenta disipar dudas y explicar el comportamiento de los irracionales en la aritmética, parte también de los racionales, sus operaciones y su orden, y construye ciertos conjuntos de racionales que “ de alguna manera” producen “cortaduras” sobre el conjunto de los números racionales; esas cortaduras pueden ser producidas por números racionales o no. A esas cortaduras no producidas por racionales las llama números irracionales y define, en general, una cortadura es un número real.
5. √
6. √ √ √
PROPIEDADES DE LA RADICACION
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ME PREPARO. 1. Efectúa
a). —
b).
c). (
) (
)
d). -2 { }
e).
f). √ √ √
g). 32+
h).
i). √
2. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas si
,
, c=0, d=
a). 2 { }
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
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b). {
}
c).
3. En los siguientes triángulos rectángulos encontrar el lado que falte:
En cada caso verifique el teorema de Pitágoras.
¿EN QUE SE APLICA?
Los números reales, como antes abstractos, son usados en matemáticas para relacionar magnitudes inconmensurables como el lado y la diagonal de un cuadrado. Son además el fundamento para la construcción de conjuntos y conceptos abstractos de un cierto nivel superior de razonamiento, como el concepto de límite y algunas otras nociones del cálculo infinitesimal. Cuando hacemos cálculos o realizamos mediciones y en general, cuando empleamos los números para usos prácticos es suficiente el conjunto de los números racionales; sin embargo, cuando comparamos segmentos inconmensurables es necesario usar los números irracionales. El conjunto de los números reales enriqueció el campo de las aplicaciones de las matemáticas. En la actualidad son fundamento de varias teorías y han contribuido al avance y desarrollo de las ciencias físicas. Sobre este conjunto se trabaja el cálculo integral y diferencial, y son un instrumento poderoso para solucionar problemas que surgen en física, astronomía, ingeniería, química y en otros campos incluyendo algunas de las ciencias sociales. CONJUNTOS NUMERICOS N= { } Z= { }
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Q= {
}
= = = { } REALES= R= Q U
¡OBSERVA QUE!
a) El cero no es ni positivo ni negativo
b)
c)
d)
𝑄 √ √ 7 7 𝜋 𝜖 7 ….
CONJUNTOS NUMERICOS DIAGRAMA DE VENN-
EULER
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e)
f)
g)
RECUERDA……..
ACTIVIDAD No. 1
1. Cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos: N, Z, Q, I, R
2. En un solo diagrama de Venn- Euler, graficar: N, Z, Q, I, R
3. Evalúa cada expresión cuando a= 1/3 b= -4 c=-1/5 d= 6
a) { }
b) [ ]
c) { }
d) { }
4. Cada operación ) de las escritas a continuación, tienen la respuesta exacta en
una
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5. clasifica en Q e
6. Escribe los siguientes racionales en forma decimal e indica cual es el periodo de cada uno:
7
7
7
7. Cuáles de los números son racionales y cuáles irracionales?.
a) -53, 251251251251…
b) -0,32179431…
c) 9, 3454566788910…
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d) 3, 14159265
e) 321, 1010101010…
f) -2, 718281…
8. El polvo volcánico está formado por partículas de 0, 01 pulgadas de diámetro. Expresa este decimal en forma de fracción.
9. Efectúe (sin calculadora)
(√ )(√ )
(
)
=
(
)
[
] =
10. Dado el siguiente conjunto de números clasificados en un cuadro, según el
conjunto numérico a que pertenezca, (ver ejemplo)
NUMERO
0, 016151413…. NO NO NO SI SI
√ √ √ √
[ 7 ] ]
11. Cuando el valor de √
√ es:
√
12. Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 1`000000 exactamente?
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13. El valor de √ √
√ es:
√ √ √
14. Si los siguientes números se arreglan en orden de magnitud, ¿Cuál sería el número del medio?
15. Escribe un cuento, poesía, canción, con los visto sobre conjuntos numéricos. 16. Escribe la Visión de la institución 17. Efectué:
19. Despejar:
20. Graficar: 21. Resolver:
SUMA Y RESTA DE RADICALES
OPERACIONES CON RADICALES
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Para sumar y restar radicales procederemos así: Solo sumamos o restamos radicales semejantes, dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical. EJEMPLO:
MULTIPLICACION Y DIVISION DE RADICALES A). DE IGUAL INDICE
Para multiplicar radicales con igual índice se coloca por INDICE el mismo y por SUB-RADICAL el producto de los subradicales. Ejemplo 1
√
√
√
√
√
√
√ √
√
Ejemplo 2 Ejemplo 3
√
√
√ √
√
B. DE DIFERENTE INDICE
Para hallar el producto o cociente de radicales de diferente índice procedemos así:
𝑎
𝑏
4 √
𝑏
𝑐
4
𝑐
𝑎
4 √𝑎𝑏
4 √
𝑎
𝑏 𝑏
𝑐 𝑐
𝑎 𝑎𝑏
4
√𝑎𝑏4
√ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
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a) Hallamos el mínimo común múltiple de los radicales que será el índice común del nuevo radical.
b) El exponente de cada subradical será el cociente entre el nuevo índice
común y su anterior índice radical. EJEMPLO 1
a.√
√ √ 4 sacamos el m.c.m (3,2,4) =12
√
√ √
√
EJEMPLO 2
√
√ √
√
√
√
√
ACTIVIDAD No. 2
A.√
4 √
4 √
4 √
4
B. √7
√ √ √
C. √
√
√
√
D.
E.
4
F. (√ )(√ )(√ ) √
G). (√ 4
) (√ ) √7
H). √
I).
√
RACIONALIZACION
Al proceso de eliminar los radicales en una fracción (denominador) se le conoce como racionalización, para racionalizar debemos tener en cuenta si el denominador es:
a). UN MONOMIO:
𝑚 𝑐 𝑚
𝑎 𝑎
√𝑏
𝑎
√𝑏
√𝑏
√𝑏
𝑎√𝑏
𝑏 𝑏
√
√
√ √
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b). UN BINOMIO:
DE LA FORMA: √ √
DE LA FORMA: √ √
ACTIVIDAD No 3
I. Racionaliza el denominador y simplifica:
1.
√
√
√ 4
√
√
2.
√ √ 7
√
√
√ √
√ √
3.
√
√
√
√
√ √ √
𝑎
√ √
√ √ √ √
√ √
(√ √ )
(√ √ )
√ √
𝑎
√𝑥 √
𝑎
√𝑥 √
√𝑥
√𝑥𝑦 √𝑦
√𝑥
√𝑥𝑦 √𝑦
𝑎 √𝑥
√𝑥𝑦 √𝑦
𝑥 𝑦
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 √𝑎 √𝑏 √𝑎 √𝑏
a. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
b. 𝑎 𝑏 √𝑎
√𝑏
√𝑎
√𝑎 𝑏 √𝑏
c. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏
d. 𝑎 𝑏 √𝑎
√𝑏
√𝑎
√𝑎𝑏
√𝑏
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4.
√ √
√ √
II. Realiza las siguientes operaciones
a). √ √ √ √
b). √ √ √
c). √ √ √ √
d). √ √ √ √
e). √ √
III. Encuentro el valor de “X”:
a).
b).
c).
d).
I. Factorizo las expresiones:
a).
b).
c). 7
II. Soluciona las siguientes ecuaciones:
a). 5x=16 b). 12x-20=0 c). 7
d). 3y-2=7-y
e). -8z+4=-5+10z f). 3(4x-2)=2x+3 g).
h).
FUNCIONES TRIGONOMÉTICAS
A. Dadas los siguientes ángulos nómbrelos, mídalos y clasifíquelos
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B. Encuentra los complementos de los siguientes ángulos
M ABC = 40° 2. M ABC = 30°15‟ 3. M DEF = 50°15‟35”
C. Encuentra el suplemento de los siguientes ángulos
1. M OPQ = 60° 2. M LOM = 101°59‟ 3. M α= 6°14‟94”
D. En cada uno de los ángulos del literal A, señala el lado inicial , el lado final y el
vértice.
E. Construye los siguientes ángulos
1. M β = 90° 2. M AOL = -120° 3. M OPQ = 46°
F. Encuentra el valor de la incógnita
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS
EQUILATERO
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
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SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tiene sus ángulos respectivamente congruentes y
sus lados proporcionales
𝑨𝑩 𝑩𝑪 𝑪𝑨
𝑴𝑵 𝑵𝑷
ΔMNP ISÓSCELES
DOS LADOS DE IGUAL MEDIDA
Δ RST ESCALENO
SUS LADOS SON DE DIFERENTE
MEDIDA
EQUIANGULO Sus tres ángulos de igual medida (EQUILATERO)
Tiene un ángulo recto ( 90°)
los lados que forman el
ángulo de 90° se llaman
catetos (c y b), el lado que se
opone al ángulo de 90° se
llama hipotenusa (a) ( es el
lado de mayor medida
“ESTUDIA NO PARA SABER ALGO MÁS ,
SINO PARA SABER ALGO MEJOR”
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CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para saber si dos triángulos son semejantes existen 3 criterios:
1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente igales
Δ ABC ~ Δ ADE
=
=
2. Dos triángulos son semejantes cuando tienen 2 lados proporcionales e
igual el ángulo comprendido entre ellos.
~
Δ ABC ~ Δ DEF
3. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
~
Δ ABC ~ ΔDEF
G. SISTEMA DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Existen tres métodos para medir ángulos:
Sistema cíclico de radianes, sistema sexagesimal y sistema centesimal, pero los
más usados son:
A ‚≡ A
B ≡ D
C ≡ E
𝐴𝐶
𝐷𝐸 =
𝐶𝐵
𝐸𝐹 y el C ≡ E
=
12 = 12
𝐴𝐵
𝐹𝐷
𝐵𝐶
𝐹𝐸
𝐴𝐶
𝐷𝐸 ;
36 = 36 144=144
72 =72
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1. SISTEMA CÍCLICO DE RADIANES O CIRCULAR: se toma una
unidad de medida directamente relacionada con la circunferencia llamada
RADIAN.
un radian es un ángulo central de la circunferencia tal que la longitud del arco
sea igual a la longitud del radio de la circunferencia.
m = m del arco ̂ = 1 radian
= r ̂= S
Si S = r AOB = 1 radian
¿Cuántos radianes tiene la circunferencia?
2. SISTEMA SEXAGESIMAL: su unidad es el grado sexagesimal que se define
así: un grado (°C) =
, 1°=
de la circunferencia, entonces 360° = 1
circunferencia.
Si dividimos un grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada uno de
ellos se denomina 1 minuto de grado sexagesimal.
Si dividimos un minuto de grado sexagesimal en 60 partes iguales,
cada uno de ellos se denomina 1 segundo de grado sexagesimal. De lo
anterior 1° = 60‟ 1‟ = 60‟‟ 1° = 3600‟‟
α = 90° β = 180°
α = 89° 60‟ β =
α = 89° 59‟ 60” β =
H. FACTORES DE CONVERSIÓN: 1. expresar θ = 105,328° en grados, minutos y segundos.
θ = 105,328° Notación decimal factor de conversión
= 105 + ⏟
(
) = 19,68‟
Resto 19 + ⏟
Resto
(
) = 40,8”
θ=105,328° = 105°19´40,8”
2. Expresar α = 503°77‟86” en grados
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Conversión
77‟ (
)= 1,2°
86” (
) = 0,02 °
ACTIVIDAD No. 4
A.
1. Expresar β= 232,462° en grados, minutos y segundo
2. Expresar α= 28°43´92” en grados
B. Relación entre grados y radianes
1. ¿Cuántos radianes tiene una circunferencia?
2. ¿Cuántos grados sexagesimales tiene una circunferencia?
3. Con estos dos valores establece una igualdad
4. ¿Cuántos grados sexagesimales vale π radianes?
5. ¿Cuántos grados sexagesimales vale
radianes?
6. ¿Cuántos grados sexagesimales vale
radianes?
7. ¿Cuántos grados sexagesimales vale
radianes?
8. ¿Cuántos radianes son 180°?
9. ¿Cuántos radianes son 90°?
10. ¿Cuántos radianes son 45°?
11. ¿Cuántos radianes son 270°?
C.
5 0 3 , 00° 1 , 20° + 0 , 02° 5 0 4 , 22°
Para convertir en grados una medida dada en radianes,
multiplicamos dicha medida por 180° y luego la dividimos entre π.
Para convertir en radianes una medida dada en grados
multiplicamos dicha medida por π y luego la dividimos entre 180°.
En este caso el valor π puede dejarse indicado como factor, sin
necesidad de expresarlo como 3,1415…
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1. Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:
a.
b.
c.
d.
e.
f. -2,5 π
2. expresa en radianes los siguientes ángulos:
a. -180° b. 45° c. 12°15´18” d. 6,297° e. - 90°
POSICION NORMAL DE UN ÁNGULO: un ángulo está en posición normal o
canónica, cuando su vértice coincide con el punto de origen de un sistema de
coordenadas cartesianas y su lado inicial con el semieje positivo de las x positivas.
Un ángulo pertenece al cuadrante en el que esté ubicado su lado terminal, no
importa que sea negativo o positivo, para estar en posición normal.
1. Dibujar los siguientes ángulos en posición normal
a. m α=
c. m θ= 105°
b. m β= - 360° d. m δ =
ÁNGULOS COTERMINALES: ángulos coterminales son diferentes ángulos en
posición normal que tienen el mismo lado final.
Si se quiere encontrar un ángulo coterminal positivo se le suma al ángulo dado
360°, pero si se quiere negativo se le resta al ángulo 360°, en general θ±360°
45° - 360° = -315°
45°
-135°
Cuando se usa la medida en
radianes se puede obviar la unidad
de medida, por ejemplo θ = 2 rad, se
puede escribir θ = 2
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1. Halla dos ángulos positivos y 2 negativos que sean coterminales
con un ángulo de 90°
2. Dibuja el ángulo dado en posición normal y determina dos ángulos
coterminales positivos y dos negativos.
a. 120° b.135° c. -30° d.
e.
f.
g.
RECUERDA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS
1. Longitud de la circunferencia : 2πr
2. Área de la circulo: πr2
3. Longitud de arco : S = rθ; θ medido en radianes
4. Área del sector circular: Ar=
r2θ, θ medido en radianes
5. Velocidad angular: ῳ =
, θ es el ángulo de rotación, θ medido en radianes
6. Velocidad lineal: de un punto a una distancia r de centro de rotación está dada
por V = rῳ
ACTIVIDAD No. 5
1. Halla la medida del arco subentendido por un ángulo de 2 rad; si el radio del
círculo es de 5 cm
2. Halla la medida de un círculo , si se sabe que un ángulo central de 30°
subentiende un arco de 1,57 cm
3. Si ΔABC es equilátero y D, E, F son puntos medios de cada lado, ¿cuál es el
área sombreada?
4. ¿Cuál es la medida de un ángulo cuya medida es
de la medida de su
complemento?
El ángulo que está comprendido en el intervalo 0 ≤ θ
≤ 2 π es considerado el ángulo base fundamental
del conjunto de ángulos coterminales
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5. ¿cuál es la medida de un ángulo cuya medida es 5 veces la medida de su suplemento?
6. Copia la misión y explica lo que entiendes de ella
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD No. 6
Para construir los conceptos sobre las relaciones trigonométricas es necesario
que recuerdes algunos conceptos vistos en años anteriores como: teorema de
Pitágoras, semejanza de triángulos y clases de triángulos.
A. 1. Investiga los criterios de semejanza de triángulos, el teorema de Pitágoras y
clases de triángulos
2. Construye 4 triángulos isósceles, toma la medida de sus lados y de sus
ángulos.
3. ¿Qué observas respecto a las medidas de sus lados y de sus ángulos en cada
uno?
4. Respecto a lo observado, ¿qué puedes concluir?
Un triángulo rectángulo es isósceles si y solo si la longitud de su hipotenusa es igual a √
veces, la de uno de los lados iguales K, de esta manera los pitagóricos encontraron el
irracional “√ ”
5. Dale a K el valor de 1,2,10 y comprueba el
enunciado anterior
6. Construye 4 triángulos rectángulos en donde
uno de sus ángulos sea de 30°
7. Mide en cada triángulo construido el valor de
otro ángulo agudo que puedes generalizar.
8. Mide en cada triángulo sus 3 lados, encuentra
la relación que existe entre el lado más corto
y la hipotenusa. Generaliza esta relación.
9. Con la generalización anterior, aplicando el
teorema de Pitágoras, encuentra la medida
del tercer lado.
10. Generaliza lo anterior
Un ángulo de un triángulo rectángulo es de 30° si y
solo si la hipotenusa de dicho triangulo es dos veces
mayor que el lado más corto P
𝐾 √
√
Es mejor haber batallado y perdido que no haber batallado nunca A. Hugh Clough
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11. Dale a p el valor de 1, 2, 10 y comprueba lo anterior.
12. Determina el valor de las incógnitas en cada caso
13. Halla el valor de h en la siguiente figura
14.Halla los valores de las incógnitas
en la siguiente figura
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15.Determina el valor de la diagonal de los siguientes cuadriláteros
16.Calcular el valor de x en las siguientes figuras
B. ¿Qué son ángulos complementarios y suplementarios?
C. Realiza las siguientes operaciones
1. 3°15‟16” + 18°49‟52”
2. 25° - (12°5´25”)
D. ¿Cuáles de las siguientes parejas de razones forman una proporción?
1.
2.
3.
4
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E. Investiga los criterios de semejanza de triángulos
F. Si un triángulo tiene lados de 3, 3.5 y 5 cm respectivamente, construye otro
triángulo que sea semejante con este
G. A las 3 pm un edificio proyecta ya sombre de 12 m; al frente del edificio un
semáforo de 2 m de altura, proyecta una sombra de 3 m a la misma hora.
¿cuántos metros mide el edificio?
H. Copia la visión de la institución y explica lo que entiendes de ella
FUNCIONES PERIODICAS Y CIRCULARES
Observemos las siguientes gráficas
a. b.
c. d.
1. ¿Qué podemos observar en el grafico a y d?
2. Encuentra dominio y rango de cada función.
3. La grafica b que clase de función es?
4. La grafica c que clase de función es?
Las funciones periódicas más frecuentes son las funciones circulares y las
funciones trigonométricas. Las funciones periódicas se usan ampliamente en el
estudio de fenómenos como el sonido, corrientes eléctricas alternas, ondas
electromagnéticas, etc.
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FUNCION PERIODICA: sea f una función con dominio un subconjunto de lR, si
existe un número real a ≠ 0, tal que x + a pertenezca al dominio de f y, además: f
(x+a) = f (x) => f es una función periódica, de periodo a.
Si f tiene periodo a, tendrá también períodos 2 a, 3 a, -2 a, -3 a y en general, Ka,
donde K ϵ Ƶ y K ≠ 0.
El menor a positivo para el cual la función es periódica se denomina periodo
fundamental o simplemente periodo.
5. Grafica la siguiente relación: x2 + Y2 =1
a) Es R una función, ¿Por qué?
b) Qué clase de ecuación representa R?
c) Como encuentras la longitud de una circunferencia?
FUNCION CIRCULAR: esta función nos servirá de soporte para definir las funciones
trigonométricas.
La base para construir esta función, como su nombre lo dice, es una circunferencia con
centro (0,0) y radio igual a 1.
Definamos en ésta función:
Conjunto de partida
Conjunto de llegada
La regla que define la función.
El conjunto de partida está formado por todos los ángulos centrales en posición normal de
la circunferencia unitaria o por los arcos de la misma circunferencia que parten del punto
(1,0).
Θ1, θ2, θ3 Son ángulos centrales ¿Por qué?
Θ1 y θ2 Son ángulos positivos ¿Por qué?
Θ3 es un ángulo negativo ¿Por qué?
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El conjunto de llegada está formado por todos los puntos de la circunferencia
unitaria, es decir, por todas aquellas parejas ordenadas (x, y) que satisfacen la ecuación:
X2 + Y2 = 1
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL.
1) ¿Cómo surgió?
Los historiadores han dado crédito a los griegos acerca de los primeros desarrollos
formales de las funciones trigonométricas. Sin embargo, no fueron ellos los primeros
en usarlas. Uno de los usos más remotos de la trigonometría es una tabla egipcia,
que muestra la relación entre la hora del día y la longitud de la sombra que proyecta
una escala vertical. Los egipcios conocían que la sombra era la más larga en la
mañana, decrecía al mínimo a medio día y volvía a crecer al atardecer. La regla que
da la hora del día en función de la longitud de la sombra, es un precursor de las
funciones tangentes y cotangente que estudiamos hoy. Estas ideas fueron conocidas
por egipcios y babilonios en el oriente medio, hace por lo menos 3500 años.
Los griegos usaron las funciones trigonométricas en una variedad de problemas
importantes, incluyendo contadores de tiempo, prediciendo la trayectoria de cuerpos
En adelante, los puntos que pertenecen a la
Circunferencia x2
+ y2 = 1 se llamaran
PUNTOS TRIGONOMÉTRICOS.
La regla que define la función es: a cada ángulo
Central o arco, con las condiciones ya
Establecidas le asignamos o asociamos el punto
Trigonométrico correspondiente al extremo del lado del
ángulo del arco
(√
)2 + (
)2 =
+
=
= 1
(√
)2 + (
√
)2 =
+
=
= 1
(
)2 + (
√
)2 =
+
=
= 1
(-1)2 + 02 = 1 + 0=1
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celestes (sol, luna, planetas, estrellas), definiendo rumbos en la navegación y
diseñando calendarios. La trigonometría inicialmente fue esférica, es decir fue
desarrollada sobre la superficie de una esfera (semejante a la tierra).
Hiparco de Rodas realizo en su observatorio, el cálculo del tiempo promedio de
duración de un mes lunar, con una diferencia, de un segundo de valor aceptado hoy.
2) Ideas previas…
a) Identificar los elementos de un triángulo rectángulo
b) Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras.
c) Identificar la relación de semejanza entre triángulos.
3) Me preparo…
a) Halla el perímetro y el área de los siguientes triángulos:
b) sea el triángulo equilátero ABC,. Si la longitud de cada lado es 36 m. calcula el
área del triángulo.
c) Dibuja un triángulo equilátero uno isósceles, uno obtusángulo y rectángulo. Traza en
cada uno sus líneas notables. (mediana, altura, bisectriz y mediatriz)
d) Construye un triángulo de lados 2, 5 y 5, 5 (cm) cada uno y luego haz otro que sea
semejante a este.
e) Los lados de un terreno triangular de 50m2 de área miden 15,19 y 22m.
Respectivamente. Calcula el perímetro y el área de los lotes que se forman al dividir
el terreno por una recta paralela como lo indica la figura:
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN GENERAL
A. A continuación definiremos funciones cuyos dominios son medidas de angulos
en posición normal. Observemos el grafico donde P= ( x,y ) y P „ = (x‟, y‟) son
dos puntos del lado final del ángulo θ, OP= r y OP‟=r‟.
6. Determinar la funciones trigonométricas para el ángulo θ en el triangulo OP’Q’, tomando
como base la siguiente grafica.
7. ¿Porqué θ es un ángulo central?
8. ¿Porqué θ está en posición normal?
9. ¿Cómo r ≠ 1, entonces en el triangulo OP’Q’
r = √
10. El lado opuesto a θ se llama ordenada y el lado
adyacente a θ se llama abscisa y hipotenusa h es el radio r
distancia porque estamos trabajando en un circulo
trigonométrico
11. Con la información anterior, completa la siguiente tabla:
Nombre de la función. Abreviatura. Definición
Seno θ
Coseno θ
Tangente θ
Cosecante θ
Secante θ
Cotangente θ
1. Observamos que el ángulo θ tiene la misma
abertura para el punto P y para el punto P’.
2. En el punto P el radio es 1, para el punto P’ el
radio es mayor que 1.
3. Proyectamos P y P’ en los ejes de coordenadas.
4. Los triángulos O Ø y O Ø’ P’ son semejantes
porque tienen sus 3 ángulos congruentes por el
criterio A. A.A.
5. Determinar las funciones trigonométricas para el
ángulo θ en el triangulo OPQ.
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SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A. Dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el lado terminal de θ, una o
ambas coordenadas de P(x, y) pueden ser negativas. Como r =√ , siempre es
positivo, cada una de las seis funciones trigonométricas de θ, tienen valores tanto
negativos como positivos.
3. De acuerdo al ejercicios anterior, completa el siguiente cuadro para las 6
funciones trigonométricas del ángulo θ
FUNCIONES I II III IV
SENO θ -
COSENO θ -
TANGENTE θ +
COSECANTE θ
SECANTE θ +
COTANGENTE θ
1. Sea el ángulo θ: escribir las 6 funciones trigonométricas
con su signo correspondiente.
2. Haz lo mismo para cada uno de los siguientes ángulos,
según las graficas a, b y c
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
1. ¿Qué es un ángulo cuadrantal?
2. Ubícate en el círculo trigonométrico de radio 1
a. Para determinar las funciones trigonométricas de los ángulos que separan los
cuadrantes
(Ángulo cuadrantal), se puede utilizar cualquier punto P ubicado sobre el lado final del ángulo.
Como observas, los ángulos cuadrantales son 0°,
90°, 180°, 270°, 360°
1. Vamos a averiguar las 6 funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos
cuadrantales; para ello utiliza las siguientes gráficas.
270° = 𝜋
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Si θ es un ángulo en posición normal no cuadrantal, entonces el
ángulo de referencia de θ es el ángulo agudo θR que forma el lado
terminal de θ con el eje x
2. Con el ejercicio anterior completa la siguiente tabla:
3. Evalúa cada una de las siguientes expresiones sin utilizar calculadora
a. tan 180°- 2cos 180° c.
b. 4cos
- 5sen
d.
ÁNGULOS DE REFERENCIA
Las funciones trigonométricas de cualquier ángulo θ en grados o en radianes pueden ser
reducidos a las funciones trigonométricas de un ángulo del I cuadrante, para esto
utilizaremos el concepto de ángulo de referencia.
ANGULO SEN θ COS θ TAN θ COT θ SEC θ CSC θ
0 rad = 0°
rad = 90°
π rad= 180°
rad = 270°
2 π rad = 360°
Si θ ϵ I Cuadrante
Si θ ϵ II Cuadrante
Si θ ϵ III Cuadrante
Si θ ϵ IV Cuadrante
Las funciones trigonométricas de un ángulo dado y su ángulo referencial son
iguales en valor absoluto
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ACTIVIDAD No. 6
1. Realiza un cuadro para cada cuadrante, su ángulo θ y el ángulo referencial θR
con la información del ejercicio anterior.
2. Encuentra el ángulo de referencia de cada uno de los siguientes ángulos:
a. – 30° b. 300 c. 420° d.
e.
3. Halla las funciones trigonométricas de:
a. 225° b. 298° c. 320°
4. Determina el valor de cada una de las 6 funciones trigonométricas del ángulo θ, si
θ está en posición normal y su lado terminal contiene el punto dado. Dibuja cada
uno de ellos:
a. (6,8) b. (-8,-15) c. (-2,3) d. (√ √
e . (√ f. (0,2) g. (5 ,1) h. (-1,2)
5. En cada caso, encuentra el cuadrante en el que se halla el lado terminal de θ, si θ
satisface las siguientes condiciones:
a. senθ <θ y tanθ >0
b. tanθ<0 y cscθ>0
c. cscθ>0 y ctgθ<0
d. senθ>0 y cosθ<0
e. cosθ>0 y senθ<0
6. Dibuja el escudo del colegio
7. Resolver un triángulo es: encontrar la medida de sus ángulos y de sus lados.
Resolver los siguientes triángulos.
8. En la figura hallar x, y, C
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9. Hallar el perímetro del rectángulo ABCD
10. Hallar al altura del árbol
ACTIVIDAD VIRTUAL
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES 30°, 45° y 60°
Las funciones trigonométricas de 30° y60° se hallan en un triángulo
equilátero
El triángulo ABC es equilátero; m = m = m = L
Todo triángulo equilátero tiene 3 alturas y el punto donde se cortan se
llama ORTOCENTRO
En un triángulo equilátero sus alturas, medianas mediatrices y bisectrices coinciden.
Dibuja un triángulo equilátero de 6 cm de lado y traza las líneas notables.
¿cómo se llama el punto donde se cortan: las medianas, las mediatrices y las bisectrices?
1. Encuentra el valor de h en el siguiente triángulo
2. Encuentra las 6 funciones trigonométricas de 30°
sen 30°= cos 30°= tan 30°=
csc 30°= sec 30°= cot 30°=
INGRESA A LA PAGINA http://matematicamentehablando.jimdo.com en grado DECIMO – PRIMER PERIODO e ingresa al ENLACE http://www.thatquiz.org/es-q/?-jg040-l2-p0 en el cuaderno denominado PROBLEMAS MATEMÁTICOS, COPIA Y DESARROLLA LA ACTIVIDAD “ PRACTICA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS”, DIBUJANDO LOS TRIANGULOS QUE ALLI APARECEN. Una vez ingreses y realices la actividad propuesta, deja tu comentario. Indicando nombre completo y grado FECHA DE ENTREGA: SEMANA 10
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3. Encuentra las 6 funciones trigonométricas de 60°
sen 60°= cos 60°= tan 60°=
csc 60°= sec 60°= cot 60°=
4. Copia el himno del colegio y dibuja la bandera
Las funciones trigonométricas para el ángulo de 45° se encuentran en un triángulo rectángulo
isósceles
1. Encuentra el valor del (hipotenusa del triángulo ABC)
2. Encuentra las 6 funciones trigonométricas de 45°
sen 45°= cos 45°= tan 45°=
csc 45°= sec 45°= cot 45°=
3. Llena la siguiente tabla con la información obtenida
MANEJO DE LA CALCULADORA EN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
1. Hallar…
sen 40° cos 120° csc 75° sen 35°
sen 55° tan 36° sec 30° tan 45°
cos 35° cos 55° csc 65° cot 55°
2. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
a.
b. [ ]
c. csc
+ cos
– 2 tan
d. .
4
e.
función ángulo
Sen cos Tan Cot Sec csc
30°
45°
60°
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TALLER INSTITUCIONAL DE NIVELACIÓN No. 1
1. Si f(x) = x2 + x – 3; f(-3) es:
a. -5 b. -3 c. 3 d. 0
2. Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).
3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por cualquier método
4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por suma y resta:
5. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones por factorización:
a. 9m2 – 12 m + 4 = 0 c. 3x
2 = 27x
b. P4 + 2p
2 + 1 = 0 d. 10P
2 – 7p – 12 =0
6. Encuentra el punto máximo o mínimo :
a. y = x2 – 3x + 1 c. f (h)= 5h
2 – 15h + 6
b. f (u) = - 5u2 – 10u + 3 d. f(t) = - 2t
2 + 6t + 5
7. En un triángulo rectángulo, la diferencia de los catetos es de 1,8 m y el área del triángulo es 24,26 m2 .
Hallar el valor de cada uno de los catetos.
8. Una bolsa contiene 3 monedas de $50 menos que monedas de $100 si en la bolsa hay $ 2850,
¿cuántas monedas de cada una hay?
9. Calcula la diferencia de una progresión si el primer término es 21 y el quinceavo termino es -35
10. Un niño colecciona 185 estampillas, en tres días si cada día consiguió los tres cuartos de lo conseguido
el día anterior ¿cuántas estampillas consiguió cada día?
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TALLER INSTITUCIONAL DE PROFUNDIZACIÓN No. 1
1. Resolver los siguientes problemas:
a. El producto de dos enteros pares consecutivos es 120 hallas los números
b. La diagonal de un rombo mide 12 cm se sabe que la otra diagonal es igual al lado ¿cuánto
mide el lado del rombo y la otra diagonal?
2. Dados los números complejos: z1 = – 3 + 2i y z2 = 2 + i
Encontrar:
a. El conjugado de z2
b. El conjugado de z1
c. z1 + z2
d. z1 – z2
e. (z1)(z2)
f.
3. Simplifica
a. – c. √ e. √
b. √ √ + √ + √7 -
√ d. √
4. Graficar las siguientes funciones:
a. y = 5x2 – 15 + 6 b. y = - 2x + 5 c. y =
d. y = log2X
5. despejar la variable K; q1
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EDUCACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA
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TALLER PLAN DE MEJORAMIENTO INSTITUCIONAL No. 1 TIPO ICFES
ESTANDAR identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no
matemáticas.
DBA No. 1 Utiliza los números reales (sus operaciones, relaciones y propiedades) para resolver problemas con expresiones
polinómicas. COMPETENCIA: Resolución
APRENDIZAJE A MEJORAR: No resuelve problemas que involucran potencia ion, radicación y logaritmación
REALIZAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES QUE JUSTIFIQUEN LA RESPUESTA DE CADA PREGUNTA
A. 12 Meses
B. 24 Meses
C. 36 Meses
D. 81 Meses
2. Un microchip rectangular tiene las siguientes dimensiones como se muestra en la siguiente figura ¿Cuál es el
área del microchip?
A. 5 mm2
B. √7 mm2
C. 25 mm2
D. √ mm2
A. 5
5 = 3125 Fotos
B. 5(3) = 15 Fotos
C. 5(5+5) = 50 Fotos
D. 53 = 125 Fotos
4. Antes de determinar la dosis de una droga para un paciente, los doctores a veces calculan su Área de
Superficie Corporal o (BSA por sus siglas en Inglés). Una manera de determinar el BSA de un paciente es usando
la siguiente fórmula:
, donde w = peso (en libras), h = altura (en centímetros), y el BSA es medido en
metros cuadrados.
A. 140 cm
B. 160 cm
C. 170cm
D. 180cm
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A. La primera parcela si es el doble la segunda
B. La primera parcela es el cuádruple que la segunda
C. La primera parcela es ocho veces la segunda
D. La primera parcela es 81 veces la segunda
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TALLER DE MEJORAMIENTO ICFES No. 2
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TALLER MEJORAMIENTO ICFES No. 3
La prueba es de selección múltiple, selecciona la respuesta correcta. Consta de 10 puntos, cada punto tiene el
mismo valor.
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TALLER DE RECUPERACION INSTITUCIONAL No. 1
}
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AHORRO PROGRAMADO
Cada cuadro representa lo que echaras a la alcancía diariamente, empezando con $50 y así
sucesivamente. Iras tachando el cuadro cada día para realizar mejor el control de tu ahorro
Este cuadro será el ahorro programado para el primer y segundo periodo
50
450 850 1250 1650 2050 2450 2850 3250 3650
100
500 900 1300 1700 2100 2500 2900 3300 3700
150
550 950 1500 1750 2150 2550 3950 3350 3750
200
600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800
250
650 1050 1450 1850 2250 2650 3050 3450 3850
300
700 1100 1500 1900 2300 2700 3100 4500 3900
350
750 1150 1550 1950 2350 2750 3150 3550 3950
400
800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000