INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA Girardota –Antioquia e-mail [email protected]1. Área MATEMÀTICAS Grado: Noveno Educador: Mauricio Salazar Periodo: 2 Eje temático: Sistemas Numéricos y Algebra Tiempo estimado: 9 semanas 2. ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas Radicación y propiedades. Racionalización. Números complejos Realiza operaciones donde intervienen radicales. Realiza operaciones con Números Complejos. Aplica las propiedades de la radicación para hacer simplificaciones. Realiza operaciones con radicales. Resuelve ejercicios de racionalización. Hace cálculos con los números complejos. Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. Teorema de Pitágoras. Teorema 30,60,90. Semejanza de triángulos. Áreas Sombreadas. Utiliza el teorema de Pitágoras, criterios de semejanza y otras propiedades de triángulos rectángulos para resolver problemas. Halla la hipotenusa o uno de los catetos a partir de otros datos conocidos. Utiliza propiedades de las figuras geométricas para calcular áreas sombreadas.
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ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas
Radicación y propiedades. Racionalización. Números complejos
Realiza operaciones donde intervienen radicales. Realiza operaciones con Números Complejos.
Aplica las propiedades de la radicación para hacer simplificaciones. Realiza operaciones con radicales. Resuelve ejercicios de racionalización. Hace cálculos con los números complejos.
Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
Teorema de Pitágoras. Teorema 30,60,90.
Semejanza de triángulos. Áreas Sombreadas.
Utiliza el teorema de Pitágoras, criterios de semejanza y otras propiedades de triángulos rectángulos para resolver problemas.
Halla la hipotenusa o uno de los catetos a partir de otros datos conocidos.
Utiliza propiedades de las figuras geométricas para calcular áreas sombreadas.
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.
Ejemplo: Racionalizar n ea
1
Solución: La idea es hacer que desaparezca la raíz del denominador. Para ello hay que multiplicar numerador y denominador por la misma expresión, y luego simplificar.
En el conjunto de los números reales, una ecuación tan sencilla como x2 + 1 = 0 no se puede resolver ya que es equivalente a x2 = -1 y no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Así, para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario construir un conjunto de números que contenga a los reales y en el que se puedan calcular las raíces cuadradas y, en general, de índice par de números negativos.
Un número complejo es un número de la forma a+bi, donde a y b son números reales,
llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como i = √-1
El conjunto de números complejos es C = {a+bi / a, b ϵ R}.
Los números complejos con parte imaginaria no nula, es decir de la forma a+bi, a=0 se llaman
números imaginarios y si además la parte real es nula, es decir son de la forma bi, se
llaman números imaginarios puros. Si la parte imaginaria del número complejo a+bi es nula, entonces se tiene el número real a+0i = a.
Se dice que dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir, a+bi = c+di si se verifica a = c y b = d.
Ejemplo:
a) 2- 4i es un número complejo con parte real 2 y parte imaginaria -4.
b) El número real -2 se puede considerar como un número complejo con parte real -2 y parte imaginaria O, ya que se puede escribir -2 = -2+0i.
c) 7i es un número complejo con parte real 0 y parte imaginaria 7, por tanto, es un número imaginario puro.
Dado un número complejo, a+bi, su conjugado es otro número complejo que tiene la misma
parte real y la parte imaginaria de signo contrario. Se representa a+bi = a-bi.
Se verifica que el conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número, es decir,
Algunas ecuaciones que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales, tienen solución en el conjunto C. En general, se verifica que toda ecuación polinómica con coeficientes reales de grado n tiene n soluciones en el conjunto de los números complejos, pudiendo ser éstas números reales o imaginarios. Además, si tiene como solución un número imaginario, también es solución el conjugado de éste.
Ejemplo:
a) La ecuación x2 + 9 = 0 es equivalente a x2 = -9, por tanto, no tiene solución en R. Sin embargo, sí la tiene en C ya que en este conjunto se pueden realizar las siguientes operaciones:
x = ±.√-9= ± √9 √-1 = ± 3i
Por tanto, en el conjunto de los números complejos la ecuación tiene dos soluciones que son x
= -3i y x = 3i y se observa que son números complejos conjugados entre sí.
OPERACIONES
Suma de números complejos
Dados dos números complejos se define su suma como otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.
(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Ejemplo:
a) (3-2i) + (4+5i) = (3+4)+(-2+5)i = 7+3i b) En la práctica es habitual no poner cada sumando entre paréntesis. Así, para sumar 4+1/3i y 3/2 + 2/3i se procede como sigue: (4 + 3/2) + (1/3 + 2/3)i = 11/2 + 2i/3
Los números complejos se representan en el plano. Para ello se consideran los ejes coordenados y se representan en el eje de abscisas la parte real del número complejo y en el eje de ordenadas la parte imaginaria. Así, dado el número complejo a+bi, su representación en el plano se corresponde con el punto dado por el par (a, b). Y recíprocamente, dado un punto en el plano definido por el par (a, b), este punto representa el numero complejo a+bi.
Debido a la correspondencia biunívoca que se establece entre los números complejos y los puntos del plano, éste recibe el nombre de plano complejo, el eje de abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas, eje imaginario.
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
En este tema resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. Comencemos con la siguiente situación…
Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones lineales con una incógnita.
En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco…
- Piensa un número…
- Súmale 15 al número pensado…
- Multiplica por 3 el resultado…
- Al resultado réstale 9…
- Divide por 3…
- Resta 8…
- Dime cuál es el resultado obtenido y te diré qué número pensaste. El espectador
Las soluciones de una ecuación son los valores que al reemplazar o sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver algunas ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto "transformaremos" la ecuación en otras equivalentes a la original, hasta obtener una ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real.
Algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre sí
1. Permutar miembros de la ecuación
La ecuación es equivalente a la ecuación
2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad
Definición
Sean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer
grado con una incógnita a toda ecuación de la forma
Por ejemplo, son ecuaciones lineales con una incógnita:
En el proceso de resolución de ecuaciones no es necesario enumerar todas las transformaciones que se realicen, pues a veces se pueden "dejar de escribir" algunos pasos.
El enunciado del Teorema de Pitágoras es el siguiente: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
Puede enunciarse diciendo que, en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido con lado igual a la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos con lado igual a cada cateto. Una forma de demostrarlo sería viendo que para todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado amarillo es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados verdes.
Partiendo de la ecuación para el teorema de Pitágoras el cual se enuncia como.
La suma del cuadrado de los dos catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado
a2 + b2 = c2
Despejando el valor que deseamos tenemos
c2 - b2 = a2
a2 = c2 - b2
a2 = 72 - 52
Sustituyendo los valores en la ecuación
a2 = (7)2 unidades - (5)2 unidades
a2 = 49 - 25
a2 = 24
a = √24 unidades
a = 4.89 unidades
Un ejercicio practico…. Un conductor tiene dos opciones para llegar a su casa. Primera Opción. Conducir una distancia de 500 mts el línea hasta un semáforo y de ahí girar a la derecha y conducir 400 mts para llegar a su casa. Segunda Opción.
Subir una pendiente desde el punto donde se encuentra hasta su casa. ¿Cuál opción crees que sea la opción mas corta?
Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y demás actividades
que se diseñen: www.matematicacentral.blogspot.com