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Chapitre B-XVI
Initiation à la mécaniquelagrangienne et hamiltonienne.
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RÉSUMÉ :
La mécanique lagrangienne et hamiltonienne n’est pas ici
présentée pour elle-même maisparce qu’elle sous-tend la mécanique
quantique ; elle ne sera donc pas approfondie.
On montre qu’en utilisant des fonctions formelles des positions
et des vitesses, considé-rées comme variables indépendantes et en
introduisant un principe de moindre action, onse dote d’un puissant
outil pour mettre en équations un problème de mécanique. On
évoqueaussi les limitations de cette mécanique dans le cas de
déformations élastiques ou de forcesde contact.
Les lois de conservation de l’énergie, de la quantité de
mouvement et du moment ciné-tique sont déduites de l’homogénéité du
temps, de l’homogénéité et de l’isotropie de l’espace.
On montre comment l’approche hamiltonienne, dans un contexte de
résolution algorith-mique, est préferable à l’approche
lagrangienne. On cite l’exemple de la mécanique céleste.
On montre comment gérer l’interaction électromagnétique, ce qui
sera primordial enmécanique quantique.
On introduit enfin les crochets de Poisson pour leur analogie
avec les commutateurs enmécanique quantique, en particulier pour
les moments cinétiques.
2
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Table des matières
B-XVI Initiation à la mécanique lagrangienne et hamiltonienne.
1
1 Genèse de la mécanique lagrangienne. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5
1.a Système isolé de points matériels en interaction. . . . . .
. . . . . 5
1.b Système en interaction avec un extérieur « imperturbable ».
. . . 8
2 Principe de moindre action. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 8
2.a Approche variationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 8
2.b Calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 9
2.c Présentation cartésienne du principe de moindre action. . .
. . . . 10
3 Mécanique lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 10
3.a Coordonnées généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 10
3.b Lagrangien d’un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 11
3.c Intégrale d’action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 12
3.d Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 12
4 Exemples d’application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 13
4.a Mouvement à force centrale. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 13
4.b Pendule double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 14
5 Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 16
5.a L’interaction électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 16
5.b Indications sur les autres types de forces non
conservatives. . . . . 18
6 Lois de conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 19
6.a Conservation de l’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 19
6.b Conservation de la quantité de mouvement. . . . . . . . . .
. . . . 20
3
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6.c Conservation du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . .
. . . . 21
7 Hamiltonien et équations de Hamilton. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 22
7.a Définition et propriétés essentielles. . . . . . . . . . . .
. . . . . . 22
7.b Application à un ensemble de points en interaction
conservative. . 23
7.c Application à l’interaction électromagnétique. . . . . . . .
. . . . 24
7.d Méthode des perturbations en mécanique céleste. . . . . . .
. . . 25
8 Crochets de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 25
8.a Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 25
8.b Crochets de Poisson et hamiltonien. . . . . . . . . . . . .
. . . . . 26
8.c Crochets de Poisson et moments cinétiques. . . . . . . . . .
. . . 26
4
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1 Genèse de la mécanique lagrangienne.
En mécanique classique, on insiste sur le fait que le théorème
de l’énergie cinétiquene permet de résoudre un problème que si la
position du système peut être décrite parun unique paramètre
scalaire pour la simple raison que c’est un théorème scalaire et
nonvectoriel.
La mécanique lagrangienne conduit à nuancer ce propos ; il
s’agit d’une relecture trèsmathématisée des axiomes de la mécanique
et il n’est pas ici inutile de rappeler qu’il y a peula « mécanique
rationnelle » (mécanique du point et du solide, classique ou
lagrangienne)faisait partie non du programme de physique mais de
celui des mathématiques.
Le passage par le « principe de moindre action » analogue au «
principe de Fermat » del’optique (voir le chapitre D-V), très à la
mode jadis, permet d’extrapoler une formulationvalable dans tous
les systèmes de paramètres possibles. La mécanique lagrangienne
s’estainsi avérée un outil agréable pour l’étude des solides.
Toutefois son intérêt est bien moindrequ’il ne semble ; la
recherche industrielle tient désormais compte des déformations
élastiqueset la « méthode des éléments finis », assistée par
ordinateur, l’a totalement supplantée.
Si l’on présente ici cette mécanique, ce n’est pas en fait pour
elle-même, mais parce queles pères de la mécanique quantique en
étaient imprégnés et que les outils quantiques ensont directement
issus. En quelque sorte la mécanique rationnelle est le chaînon
manquantentre la mécanique classique et la mécanique quantique.
Signalons toutefois qu’en mécanique céleste, la mécanique
hamiltonnienne permet assezaisément, par approximations
successives, de gérer les perturbations entre planètes dans
lesystème solaire, ce qui lui offre un petit îlot de survie.
1.a Système isolé de points matériels en interaction.
Soit un système deN points matériels repérés par un indice i, de
massesmi, de positions−→r i(t) de composantes xi(t), yi(t) et zi(t)
et de vitesses −→v i(t) de composantes dxidt notéeẋi(t) avec un
point au dessus de la variable, dyidt = ẏi(t) et
dzidt = żi(t).
L’énergie cinétique totale K a pour expression :
K =i=N∑i=1
12mi−→v 2i =
i=N∑i=1
12mi (ẋ2i + ẏ
2i + ż
2i )
Si l’on considère K comme une fonction formelle de tous les ẋi,
ẏi et żi, considérés
5
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comme 3N variables indépendantes, alors pour une valeur donnée k
de l’indice i, on a :
∂K
∂ẋk= mk ẋk = pxk
∂K
∂ẏk= mk ẏk = pyk
∂K
∂żk= mk żk = pzk
où l’on reconnaît les composantes de la quantité de mouvement
−→p k = mk−→v k du pointmatériel d’indice k. En généralisant la
notion de gradient, on peut conventionnellementnoter : −−→
grad−→v kK =−→p k
L’énergie potentielle d’interaction est somme des énergies
d’interaction de tous lescouples de points d’indices i et j (avec j
6= i bien sûr) qui sont obligatoirement de laforme d’une fonction
Uij de la distance rij entre les deux points soit :
Uij = Uij(rij) = Uij (‖−→r j −−→r i‖) = Uij(√
(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2)
ce qui est une simple conséquence de la loi d’action et réaction
appliquée aux momentsdynamiques (voir cours de mécanique du point
aux chapitre B-II et B-VIII). On rappelleen outre (voir au même
endroit) que les composantes de la force exercée par le point i
surle point j sont
Fi→j,x = −∂Uij∂xj
= −dUijdrij
∂
∂xj
(√(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2
)= · · ·
· · · = −dUijdrij
2 (xj − xi)2√
(xj − xi)2 + (yj − yi)2 + (zj − zi)2= −dUij
drij(xj − xi)
rij
et de même Fi→j,y = · · · = −dUijdrij(yj−yi)rij
et Fi→j,z = · · · = −dUijdrij(zj−zi)rij
que l’on peutformuler globalement de façon vectorielle :
−→F i→j = −
−−→grad−→r jUij = −
dUijdrij
−→r j −−→r irij
= −dUijdrij
−→u ij
en introduisant −→u ij , vecteur unitaire de −→r j − −→r i
dirigé de i vers j. Bien sûr, on aaussi :
−→F j→i = −
−−→grad−→r iUij = −
dUijdrij
−→r i −−→r jrij
= −dUijdrij
−→u ji
avec −→u ji = −−→u ij .
6
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L’énergie potentielle totale, en veillant à ce que chaque couple
de points n’interviennequ’une fois s’écrit :
U =∑∑
16i
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1.b Système en interaction avec un extérieur « imperturbable
».
Nous supposons ici que les points matériels d’indice i font
partie soit du système conte-nant N points (i ∈ [1, N ], on notera
i ∈ I), soit d’un « extérieur »(i ∈ [(N + 1), Ntotal], onnotera i ∈
E).
Si le milieu extérieur est énorme par rapport au système (disons
Ntotal � N), il n’estquasiment pas influencé par le système et les
positions −→r i (donc les vitesses −→v i) des pointsde l’extérieur
sont indépendantes des positions et vitesses des points du système.
On peutdonc, avec des conditions initiales données, les considérer
comme des fonctions données dutemps t indépendantes des positions
−→r i (donc des vitesses −→v i) des points du système.
Si nous reprenons l’étude du paragraphe précédent, ce qui a été
dit de l’énergie cinétiqueK du système est inchangée. Pour son
énergie potentielle U , à la somme des énergiesd’interaction deux à
deux des points du système, elle aussi inchangée, il faut ajouter
lasomme des énergies d’interaction entre un point de l’extérieur
(d’indice noté i) et un pointdu système (d’indice noté k). On a
certes toujours, pour tout terme de cette somme,Uik = Uik(rik) =
Uik (‖−→r k −−→r i‖) et
−→F i→k = −
−−→grad−→r kUik = −
dUikdrik
−→r k−−→r i‖−→r k−−→r i‖
mais avec
cette fois −→r i est une fonction donnée du temps ; Uik et−→F
i→k n’apparaissent plus comme
des fonctions de −→r i et −→r k mais comme des fonctions de t et
de −→r k, ce qui ne remet pasen jeu la relation
−→F i→k = −
−−→grad−→r kUik. Par sommation l’énergie potentielle totale
sera
une fonction du temps t et de tous les −→r k du système ; mais
la relation−−→grad−→r kU = −
−→F k
reste valable. La seule chose qui change c’est que U dépend
explicitement du temps parl’interaction avec l’extérieur, sauf bien
sûr si l’extérieur est indéformable.
Un exemple pour éclairer la chose : sur terre, l’énergie
potentielle de pesanteur d’unsystème de masse total M est M g z
dans un référentiel lié au sol ; mais dans un référentiellié à un
ascenseur en mouvement vertical uniforme de vitesse v, elle sera M
g (z+ v t) où z(du centre de masse) dépend des −→r k du système et
où le temps apparaît bien explicitement.
2 Principe de moindre action.
2.a Approche variationnelle.
Imaginons un système de N points matériels d’indice i et
considérons son évolutionentre deux instants t1 et t2. A l’instant
initial t1 les positions −→r i(t1) et les vitesses −→v i(t1)sont
connues. Les lois de la mécanique permettent théoriquement d’en
déduire les positions−→r i(t2) et les vitesses −→v i(t2) à
l’instant final t2. Entre les deux instants les positions ri(t)et
les vitesses −→v i(t) dépendent du temps de façon conformes aux
lois de la mécanique.
Imaginons maintenant une évolution arbitraire, non conforme aux
lois de la mécanique,restant infiniment proche de l’évolution
précédente. On note, à l’instant t, les positions−→r ′i(t) =
−→r i(t) +−→δri(t) avec ‖
−→δri(t)‖ � ‖−→r i(t)‖ pour tous les points et à tout
instant.
Cette nouvelle évolution est supposée dérivable par rapport au
temps (on adopte pour la
8
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dérivée temporelle la notation avec un point au dessus de la
fonction) de sorte que les
vitesses soient−→v′ i(t) =
−̇→r′ i(t) = −̇→r i(t)+
−̇→δri(t) = −→v i(t)+
−̇→δri(t) et l’on impose enfin que les
positions initiales et finales (mais pas les vitesses) soient
les mêmes que dans la situationconforme aux lois de la mécanique,
soit pour tous les points
−→δri(t1) =
−→0 et
−→δri(t2) =
−→0 . On
concède au lecteur moderne que l’idée (ainsi que celles qui
suivent) est bien peu naturellemais elle a été féconde.
2.b Calcul des variations.
L’énergie potentielle U est une fonction formelle U(t,−→r 1,−→r
2, · · · ,−→r N ) du temps etde toutes les positions, ce que l’on
notera ici U(t, {−→r i}) ({−→r i} signifie l’ensemble des −→r
i).Calculons pour le « vrai » mouvement du système l’intégrale
:
I =∫ t2t1
U(t, {−→r i(t)}) dt
et pour le mouvement imaginaire l’intégrale conçue de la même
façon :
I ′ =∫ t2t1
U(t, {−→r′ i(t)}) dt
Grâce à un développement limité à l’ordre 1 de la fonction des N
positions −→r i, lavariation de cette intégrale est :
δI = I ′ − I =∫ t2t1
(U(t, {
−→r′ i(t)})− U(t, {−→r i(t)})
)dt = · · ·
· · · =∫ t2t1
(U(t, {−→r i(t) +
−→δri(t)})− U(t, {−→r i(t)})
)dt =
∫ t2t1
∑i
−−→grad−→r iU ·
−→δri(t) dt = · · ·
· · · =∑i
∫ t2t1
−−→grad−→r iU ·
−→δri(t) dt = −
∑i
∫ t2t1
−→F i ·−→δri(t) dt
avec−−→grad−→r iU = −
−→F i (cf supra).
Raisonnons de la même façon avec l’énergie cinétique fonction
formelle des vitesses ; onpose pour le « vrai » mouvement du
système l’intégrale :
J =∫ t2t1
K({−→v i(t)}) dt
et pour le mouvement imaginaire l’intégrale conçue de la même
façon :
J ′ =∫ t2t1
K(t, {−→v′ i(t)}) dt
9
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On poursuit de même et l’on termine par une intégration par
parties :
δJ = J ′ − J =∫ t2t1
(K({−→v′ i(t)})−K({−→v i(t)})
)dt = · · ·
· · · =∫ t2t1
(K({−→v i(t) +
−̇→δri(t)})−K({−→r i(t)})
)dt =
∫ t2t1
∑i
−−→grad−→v iK ·
−̇→δri(t) dt = · · ·
· · · =∑i
∫ t2t1
−−→grad−→v iK·
−̇→δri(t) dt =
∑i
[−−→grad−→v iK ·
−→δri(t)
]t2t1−∑i
∫ t2t1
ddt
(−−→grad−→v iK
)·−→δri(t) dt = · · ·
· · · = 0−∑i
∫ t2t1
d−→p idt·−→δri(t) dt
avec d’une part−→δri(t1) =
−→0 et
−→δri(t2) =
−→0 (cf supra) et d’autre part
−−→grad−→v iK =
−→p i(cf supra)
2.c Présentation cartésienne du principe de moindre action.
Or pour tous les points, le principe fondamental de la dynamique
d−→p idt =
−→F i ; on en
déduit que δI = δJ soit de façon plus parlante :
δ
∫ t2t1
(K − U) dt = 0
Ce que l’on exprime en disant que l’intégrale∫ t2t1
(K − U) dt calculée avec le vrai mou-vement est extrémale par
rapport à tous les mouvements imaginaires infiniment voisins.Cette
intégrale est appelée intégrale d’action et ce résultat démontré
ici avec les seulescoordonnées cartésiennes est connu sous le nom
de principe de moindre action.
Il s’agit de la même philosophie que le principe de Fermat en
optique ; mais aucontraire de celui-ci qu’on interprète en terme de
trajet le plus rapide, il est vain de cher-cher un sens physique à
ce principe. Son intérêt est surtout d’en déduire aisément
unegénéralisation de la physique valable pour tous les systèmes de
paramètres possibles pourdécrire le système.
3 Mécanique lagrangienne.
3.a Coordonnées généralisées.
Les coordonnées cartésiennes, composantes xi, yi et zi des
vecteurs positions −→r i nesont pas toujours les plus pertinentes ;
on peut à partir d’un axe priviligié Oz, donner lescoordonnées
cylindriques ri, θi et zi ou sphériques ri, θi et ϕi de chaque
vecteur position −→r i.
10
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Illustrons, par l’exemple des coordonnées cylindriques,
l’incidence de ce type de choixsur l’expression formelle de
l’énergie cinétique. Pour tout point i, dans la base locale
clas-sique associée aux coordonnées cylindriques, la vitesse est
(voir cinématique du point) :
−→v i = ṙi−→er + ri θ̇i−→eθ + żi−→ez
et l’énergie cinétique totale du système sera donc :
K =∑i
12mi (ṙ2i + r
2i θ̇
2i + ż
2i )
En coordonnées sphériques on aura (voir cinématique du point)
:
−→v i = ṙi−→er + ri θ̇i−→eθ + ri sin θi ϕ̇i−→eϕ
etK =
∑i
12mi (ṙ2i + r
2i θ̇
2i + r
2i sin
2 θi ϕ̇2i )
Si le système est un solide, on pourra le repérer par six
paramètres, les coordonnéescartésiennes du centre de gravité et les
trois angles d’Euler (cf mécanique du solide).Nous ne développerons
pas plus avant.
Retenons que la position de tout système peut être décrit par un
ensemble de paramètresscalaires notés 2 traditionnellement qi, que
son énergie potentielle est fonction uniquementdes positions donc
des qi mais pas des vitesses donc pas des q̇i et éventuellement (cf
supra)du temps ; on la note U(t, {qi}). Par contre, les exemples
qui précèdent montrent quel’énergie cinétique totale ne dépend pas
seulement des dérivées q̇i mais aussi de tout oupartie des qi, mais
pas du temps ; on la note K({q̇i}, {qi}).
3.b Lagrangien d’un système.
Dans un changement de système de coordonnées, la transformation
de la relation∀k ddt
(−−→grad−→v kK
)+−−→grad−→r kU =
−→0 est extrêmement délicate et déroutante. Par contre,
le principe de moindre action qui a une définition intrinsèque,
indépendante du système decoordonnées permet une démonstration
aisée.
Par définition la fonction lagrangienne ou plus simplement le
lagrangien d’un systèmerepéré par les paramètres qi est la fonction
formelle des qi, des q̇i et éventuellement dutemps définie par
:
L(t, {q̇i}, {qi}) = K({q̇i}, {qi})− U(t, {qi})
2. Jusqu’ici, l’indice i était celui d’un point matériel ;
maintenant, c’est celui d’un paramètre ; que lelecteur ne se
trouble pas à cause de cela.
11
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3.c Intégrale d’action.
On généralise ainsi l’intégrale d’action pour un mouvement
conforme aux lois de lamécanique caractérisé par des paramètres
dépendant du temps selon une loi horaire notéeqi(t), de dérivée
q̇i(t) :
S(t1, t2) =∫ t2t1
L(t, {q̇i(t)}, {qi(t)}) dt
Pour un mouvement imaginaire, non conforme aux lois de la
mécanique de paramètresqi(t) + δqi(t), de dérivée q̇i(t) + δ̇qi(t)
où les δqi(t1) et les δqi(t2) sont tous nuls, l’intégraled’action
variée est :
S′(t1, t2) =∫ t2t1
L(t, {q̇i(t) + δ̇qi(t)}, {qi(t) + δqi(t)}) dt
et, en reprenant le principe d’un calcul précédent, la variation
de cette intégrale d’actionest, au premier ordre :
δS = S′−S =∫ t2t1
[L(t, {q̇i(t) + δ̇qi(t)}, {qi(t) + δqi(t)})− L(t, {q̇i(t)},
{qi(t)})
]dt = · · ·
· · · =∑i
∫ t2t1
∂L
∂q̇iδ̇qi(t) dt+
∑i
∫ t2t1
∂L
∂qiδqi(t) dt = · · ·
· · · =∑i
[∂L
∂q̇iδqi(t) dt
]t2t1
−∑i
∫ t2t1
ddt
(∂L
∂q̇i
)δqi(t) dt+
∑i
∫ t2t1
∂L
∂qiδqi dt = · · ·
· · · =∑i
0−∑i
∫ t2t1
[ddt
(∂L
∂q̇i
)− ∂L∂qi
]δqi dt = −
∑i
∫ t2t1
[ddt
(∂L
∂q̇i
)− ∂L∂qi
]δqi dt
3.d Equations de Lagrange
Le principe de moindre action stipule que ce résultat est nul
quelque soit le mouvementvarié envisagé, en particulier quand
toutes les fonctions δi(t) sont nulles sauf celle d’in-dice k ; on
doit donc avoir, pour cet indice, quelconque en fait,
∫ t2t1
[ddt
(∂L∂q̇k
)− ∂L∂qk
]δqk dt
nul quel que soit le choix de qk(t) et si l’on choisit une
fonction nulle partout sauf dans unintervalle très restreint autour
d’un instant t, on en déduit qu’à cet instant, quelconque enfait,
ddt
(∂L∂q̇k
)− ∂L∂qk est nul. On peut donc affirmer que :
∀k ∀t ddt
(∂L
∂q̇k
)=∂L
∂qk
ensemble d’équations connues sous le nom d’équations de
Lagrange.
12
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La prudence aurait voulu que l’on formulât les choses ainsi
:
L est une fonction formelle L(t, {q̇i}, {qi}) des paramètres, de
leurs dérivées temporelleset éventuellement du temps ; il en est
donc de même des dérivées partielles ∂L∂qk et
∂L∂q̇k
. Sil’on considère dans ces expressions que les qi sont les
qi(t) du mouvement conforme auxlois de la mécanique et les q̇i(t)
leurs dérivées, ∂L∂qk et
∂L∂q̇k
deviennent alors des fonctions dutemps et l’on devrait insister
sur ce changement de point de vue par un signe quelconque,par
exemple un « chapeau », soit ∂̂L∂qk et
∂̂L∂q̇k
indiquant qu’on les considère désormais commefonction du temps.
Les équations de Lagrange sont en fait :
∀k ∀t ddt
(∂̂L
∂q̇k
)=∂̂L
∂qk
Une fois que le lecteur a bien compris, on peut bien sûr alléger
l’écriture mais pas avantsinon le lecteur est dans le brouillard.
Peu d’auteurs partagent hélas mon point de vue.
4 Exemples d’application.
Donnons ici deux exemples pour illustrer l’intérêt historique de
la méthode.
4.a Mouvement à force centrale.
Le premier exemple est de routine et ne montre pas la
supériorité de la mécaniquelagrangienne sur la méthode classique.
Dans un mouvement à force centrale où l’énergiepotentielle
attractive est en U = −Kr , on sait que le mouvement est plan. En
coordonnéespolaires r et θ dans le plan du mouvement, l’énergie
cinétique d’un point matériel de massem est, classiquement, K = 12
m (ṙ
2 + r2 θ̇2) et le lagrangien :
L = K − U = 12m (ṙ2 + r2 θ̇2) +
K
r
Formellement on a ∂L∂r = mr θ̇2 − K
r2, ∂L∂θ = 0,
∂L∂ṙ = m ṙ et
∂L∂θ̇
= mr2 θ̇, d’où après
substitution ddt(∂L∂ṙ
)= m r̈ et ddt
(∂L∂θ̇
)= m ddt(r
2 θ̇).
Les équations de Lagrange sont ici :
ddt
(∂L
∂θ̇
)=∂L
∂θd’où m
ddt
(r2 θ̇) = 0
où l’on retrouve la loi des aires affirmant que r2 θ̇ est une
constante du mouvement et
ddt
(∂L
∂ṙ
)=∂L
∂rd’où m r̈ = mr θ̇2 − K
r2
13
-
conforme à la projection classique du principe fondamental sur
la direction radiale,soit :
m (r̈ − r θ̇2) = −Kr2
Certes cet exemple n’apporte rien de plus à la méthode
classique... sinon le fait devérifier que c’est une méthode qui
marche.
4.b Pendule double.
La figure 1 p. 14 montre un pendule double formé de deux tiges
homogènes, rectilignesde section négligeable, de masse m, de
longueur 2 ` et dont le moment d’inertie par rapportà un axe qui
leur est perpendiculaire en leur milieu est J = 13 m`
2 (ce dernier résultat estici admis sans démonstration). Elles
sont assujetties à se mouvoir dans un même planvertical fixe ; la
première a pour extrémités O et A, la seconde A et B. Deux
liaisonsparfaites imposent respectivement O à être fixe et A à être
commun aux deux tiges. Ellessont repérées par les angles θ1 et θ2
qu’elles forment avec la verticale descendante. Toutceci est
éclairé par la figure.
!
O
!
A
!
B!
"1
!
"2
!
G2
!
G1
!
! e "1
!
! e "2
Figure 1 – Pendule double.
Classiquement (voir le chapitre B-VIII) les énergies cinétiques
des deux tiges sont res-pectivement pour OA, 12 m
−→v 2G1 +12 J θ̇
21 et pour AB,
12 m−→v 2G2 +
12 J θ̇
22 où
−→v G1 est d−→OG1dt
et −→v G2 se calcule par ddt(−→OA+
−→AG2). En introduisant les vecteurs unitaires orthoradiaux
relatifs à OA et AB (cf figure), l’on a comme énergie cinétique
totale :
K =12m (` θ̇1−→eθ1)2 +
12m (2 ` θ̇1−→eθ1 + ` θ̇2
−→eθ2)2 +16m`2 θ̇21 +
16m`2 θ̇22 = · · ·
· · · = 12m`2 [θ̇21 + (4 θ̇
21 + 4 θ̇1 θ̇2 cos(θ2 − θ1) + θ̇22) +
13θ̇21 +
13θ̇22] = · · ·
· · · = 12m`2
[163θ̇21 + 4 θ̇1 θ̇2 cos(θ2 − θ1) +
43θ̇22)]
14
-
L’énergie potentielle de pesanteur est (attention à l’axe
vertical descendant) :
U = −mg zG1 −mg zG2 = · · ·· · · = −mg ` cos θ1 −mg (2 ` cos θ1
+ ` cos θ2) = −mg ` (3 cos θ1 + cos θ2)
et puisqu’il n’y a pas d’autre énergie potentielle (liaisons
parfaites), le lagrangien estL = K − U dont on ne croit pas utile
de recopier l’expression.
Ceci étant réalisé, montrons comment la mécanique lagrangienne
conduit rapidementà un système d’équations directement
exploitable.
Les dérivées formelles en considérant θ1, θ2, θ̇1 et θ̇2 comme
quatre variables indépen-dantes sont :
∂L
∂θ̇1=
163m`2 θ̇1 + 2m`2 θ̇2 cos(θ2 − θ1)
∂L
∂θ̇2= 2m`2 θ̇1 cos(θ2 − θ1) +
43m`2 θ̇2
∂L
∂θ1= 2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)− 3mg ` sin θ1
∂L
∂θ2= −2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)−mg ` sin θ2
En considérant ensuite θ1 et θ2 comme des fonctions du temps et
θ̇1 et θ̇2 comme leursdérivées, on a en outre :
ddt
(∂L
∂θ̇1
)=
163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇2 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 −
θ̇1)
ddt
(∂L
∂θ̇2
)= 2m`2 θ̈1 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇1 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1)
+
43m`2 θ̈2
Finalement le système est régi par les deux équations de
Lagrange suivantes
163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇2 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 −
θ̇1) = · · ·
· · · = 2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)− 3mg ` sin θ1
2m`2 θ̈1 cos(θ2 − θ1)− 2m`2 θ̇1 sin(θ2 − θ1) (θ̇2 − θ̇1) +43m`2
θ̈2 = · · ·
· · · = −2m`2 θ̇1 θ̇2 sin(θ2 − θ1)−mg ` sin θ2
qu’il eût été beaucoup plus long d’obtenir par les voies
classiques.
Bien sûr, elles sont, classiquement dans ce contexte, non
linéaires. Dans le cas simpledes oscillations de faible amplitude,
en confondant les cosinus avec l’unité et les sinus avec
15
-
leur arguments et en négligeant les termes obtenus qui seraient
d’ordre supérieur à 1 commeceux en θ̇1 θ̇2 θ1, on arrive au système
linéarisé suivant :
163m`2 θ̈1 + 2m`2 θ̈2 = −3mg ` θ1
2m`2 θ̈1 +43m`2 θ̈2+ = −mg ` θ2
La solution est cherchée sous forme de combinaison linéaire de
deux modes propres etnous renvoyons le lecteur au chapitre D-I de
mécanique vibratoire qui développe ce grandclassique.
Comme nous l’avons mentionné plus haut, nous voyons sur cet
exemple que la méca-nique lagrangienne est une alternative fort
commode à la mécanique classique pourvu quen’interviennent pas de
phénomènes de déformations élastiques (cf supra : l’informatiqueest
plus puissante) ou de frottements (cf infra).
5 Généralisations.
5.a L’interaction électromagnétique.
Ce paragraphe est délicat et il n’y aurait aucune honte à le
sauter.
La première approche de la mécanique lagrangienne suppose les
forces conservatives,ce qui convient pour les forces de
gravitation, les forces purement électrostatiques mais pasles
forces électromagnétiques. Nous allons ici toutefois montrer que
l’on peut adapter leformalisme pour inclure ces dernières.
Comme on peut aisément procéder par addition de particules (cf
supra), nous allonsétudier le cas d’une seule chargée de charge
électrique q placée dans un champ électrique−→E (−→r , t) et un
champ magnétique
−→B (−→r , t). Nous appelons −→r (t), de composantes x(t),
y(t) et z(t), le vecteur position de la charge et −→v = −̇→r (t)
sa vitesse. Nous travaillons icien coordonnées cartésiennes, le
principe de moindre action permettant de généraliser lerésultat à
tout autre système de repérage.
L’idée est de partir de la formulation classique et de lui
donner une allure lagrangienne.En faisant abstraction des autres
forces pour alléger l’exposé, l’équation du mouvementest :
m −̈→r (t) = q [−→E (−→r , t) + −̇→r (t) ∧
−→B (−→r , t)]
Introduisons le potentiel électrique V (−→r , t) et le
potentiel-vecteur magnétique−→A (−→r , t),
on arrive (cf le chapitre C-VIII sur les équations de Maxwell),
en reprenant la notationintroduite plus haut pour le gradient (et
étendue au rotationnel) à :
m −̈→r (t) = q
[−−−→grad−→r V (
−→r , t)− ∂−→A (−→r , t)∂t
+ −̇→r (t) ∧ −→rot−→r A(−→r , t)
]
16
-
Pour viser une formulation lagrangienne, essayons d’introduire
ddt [−→A (−→r (t), t)] ; on a :
ddt
[−→A (−→r (t), t)] = d
dt[−→A (x(t), y(t), z(t), t)] =
∂−→A
∂x
dxdt
+∂−→A
∂y
dydt
+∂−→A
∂z
dzdt
+∂−→A
∂t
soit encore, en pensant très fort à la mécanique des fluides et
à la dérivée particulière(chapitre B-XIII) et en en reprenant les
notations :
ddt
[−→A (−→r (t), t)] = (−→v ·
−−→grad−→r )
−→A +
∂−→A
∂t= (−̇→r ·
−−→grad−→r )
−→A +
∂−→A
∂t
On peut donc réécrire ainsi l’équation du mouvement et en
allégeant les notations :
ddt
[m −̇→r + q
−→A]
= q [−−−→grad−→r V + (
−̇→r ·−−→grad−→r )
−→A + −̇→r ∧ −→rot−→r A]
Si l’on applique la formule d’analyse vectorielle (cf le
chapitre A-IX) suivante :
−−→grad (
−→V ·−→W ) =
−→V ∧
−→rot−→W + (
−→V ·−−→grad )
−→W +
−→W ∧
−→rot−→V + (
−→W ·−−→grad )
−→V
au vecteur−→W =
−→A (−→r , t) et au vecteur
−→V = −̇→r considéré comme variable indépen-
dante de −→r (philosophie de la mécanique lagrangienne) dont les
dérivées par rapport auxcomposantes de −→r sont donc nulles, on a
:
−−→grad−→r (
−̇→r ·−→A ) = −̇→r ∧ −→rot−→r A+ (−̇→r ·
−−→grad−→r )
−→A
On peut donc écrire :
ddt
[m −̇→r + q
−→A]
=−−→grad−→r
[−q V + q −̇→r ·
−→A]
et même en ajoutant une constante vis-à-vis de −→r donc fonction
f arbitraire de −̇→r
ddt
[m −̇→r + q
−→A]
=−−→grad−→r
[−q V + q −̇→r ·
−→A + f(−̇→r )
]De même essayons de présenterm −̇→r +q
−→A comme un gradient par rapport à la variable
formelle −̇→r . Puisque l’on peut écrire Ax, composante sur x
de−→A sous la forme Ax =
∂(Ax ẋ)∂ẋ
soit encore Ax =∂(Ax ẋ+Ay ẏ+Az ż)
∂ẋ et analogues, on a−→A =
−−→grad−̇→r (
−̇→r ·−→A ) et bien sûr (cf
supra) −̇→r =−−→grad−̇→r
(12−̇→r
2)d’où en faisant intervenir une constante vis-à-vis de −̇→r
donc
fonction f arbitraire de −→r :
ddt
[−−→grad−̇→r
(12m −̇→r
2+ q −̇→r ·
−→A + g(−→r )
)]=−−→grad−→r
(−q V + q −̇→r ·
−→A + f(−̇→r )
)17
-
Les deux expressions entre parenthèses sont identiques si l’on
prend g(−→r ) = −q V (−→r , t)et f(−̇→r ) = 12 m
−̇→r2. En posant donc L = 12 m
−̇→r2
+ q −̇→r ·−→A (−→r , t)− q V (−→r , t), on retrouve
la formulation typique (cf supra) ddt(−−→
grad−̇→r L)
=−−→grad−→r L et L est donc bien l’expression
du lagrangien de cette charge dans ce champ. Retenons donc :
L =12m −̇→r
2+ q −̇→r ·
−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)
ou si l’on préfère :
L =12m−→v 2 + q−→v ·
−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)
Remarque 1 : Une démarche plus théorique consiste à justifier,
dans le formalismequadri-vectoriel de la relativité, que le
lagrangien d’une charge ne peut avoir que ce genred’expression et
d’en déduire la théorie de l’electromagnétisme. C’est au delà des
ambitionsde mon cours.
Remarque 2 : On sait (cf le chapitre C-VIII sur les équations de
Maxwell) que pourun champ électromagnétique donné, le couple des
potentiels n’est pas unique et que si(V,−→A ) en est un, (V ′,
−→A ′) avec
−→A ′ =
−→A +
−−→grad Φ et V ′ = V − ∂Φ∂t en est un autre. On
voit aisément que remplacer le premier couple par le second
remplace le lagrangien L, enretrouvant (cf supra) une dérivée
particulaire, par :
L′ = L+ q(−→v ·−−→grad Φ +
∂Φ∂t
)= L+
ddt
[Φ(−→r (t), t)]
Pour toute intégrale d’action entre (−→r1 , t1) et (−→r2 , t2)
sur le chemin conforme aux loisde la mécanique ou sur un imaginaire
de mêmes extrémités, ce changement de potentielsremplace donc, pour
un même chemin, l’intégrale S par :
S′ = S +∫ t2t1
ddt
[Φ(−→r (t), t)] dt = S + [Φ(−→r (t), t)]t2t1 = S + [Φ(−→r 2,
t2)− Φ(−→r 1, t1)]
Et donc la variation δS au premier ordre d’un chemin imaginaire
par rapport au cheminréel est inchangée car la différence [Φ(−→r 2,
t2)− Φ(−→r 1, t1)] ne dépend pas du chemin suivimais de ses seules
extrémités. Le changement de couple de potentiels laisse donc
invariantle principe de moindre action ; ce qui assure la cohérence
de tout cela.
5.b Indications sur les autres types de forces non
conservatives.
Il y a bien d’autres types de forces non conservatives et pour
chaque type, on estamené à revoir l’expression du lagrangien comme
on l’a fait ci-dessus pour l’interactionélectromagnétique.
18
-
Pour une force de frottement de type fluide, proportionnelle à
la dérivée temporelled’un paramètre, ce ne sera guère difficile
mais pour une force de frottement de type solidedont l’expression
varie selon qu’il y a ou non glissement et si oui de la direction
et du sensdu glissement et qui, en outre, demande de connaître la
composante normale de la forcede contact, la situation sera
ingérable dans le cadre strict de la mécanique lagrangienne.
En outre, dans des situations de roulement sans glissement qui
lient deux dérivéestemporelles de paramètres, celles-ci ne peuvent
plus être considérées comme variables in-dépendantes ce qui
introduit des complexités supplémentaires 3.
Bref, on voit ici les limitations de la mécanique lagrangienne,
surtout adaptée au situa-tions non dissipatives. Compte tenu de
l’objectif de ce chapitre (cf supra), ce paragraphene sera pas
développé au delà de ces considérations initiales.
6 Lois de conservation.
6.a Conservation de l’énergie.
Soit un système isolé, nous avons vu dans le tout premier
paragraphe que le lagrangienne dépend pas explicitement du temps ;
c’est donc une fonction formelle des coordonnées etde leur dérivées
temporelles que l’on note L({qi}, {q̇i}). Pour un mouvement
conforme auxlois de la mécanique où leurs paramètres et leurs
dérivées temporelles sont des fonctions dutemps qi(t) et q̇i(t), si
on les substitue aux paramètres formels, la lagrangien devient
unefonction du temps dont la dérivée temporelle (dérivation de
fonction composée à plusieursvariables) est :
ddtL({qi(t)}, {q̇i(t)}) =
∑i
∂L
∂qiq̇i +
∑i
∂L
∂q̇iq̈i
En y reportant pour tout i l’équation de Lagrange ddt(∂L∂q̇i
)= ∂L∂qi , utilisée de droite
à gauche, on a :
ddtL({qi(t)}, {q̇i(t)}) =
∑i
[ddt
(∂L
∂q̇i
)q̇i +
∂L
∂q̇i
ddt
(q̇i)]
=ddt
(∑i
∂L
∂q̇iq̇i
)
d’où l’on déduit que la quantité∑i
(∂L
∂q̇iq̇i
)−L est constante au cours du mouvement.
On a vu qu’en coordonnées généralisées L est, pour un système
isolé, de la formeL = K({qi(t)}, {q̇i(t)}) − U({qi(t)}) et il n’est
pas trop difficile de se convaincre 4 que
3. On doit utiliser la méthode des « multiplicateurs de Lagrange
».4. En gros les vecteurs positions des points sont de la forme−→r
({qi}) donc les vecteurs vitesses de la formeP
i∂−→r∂qi
q̇i et l’énergie cinétique fait intervenir les carrés des
vitesses (voir les calculs aux paragraphes 3.ap. 10, 4.a p. 13 et
4.b p. 14 ).
19
-
K est somme de termes en q̇2i ou q̇i q̇j notée classiquement
sous l’une des deux formeséquivalentes (dans la seconde aij = aji)
:
K =∑i
aii({qk}) q̇2i +∑
16i
-
exploiterons ici cette propriété en disant qu’un changement
d’origine ne doit pas modifierl’expression formelle du
lagrangien.
Nous partirons d’un système de points matériels, repérés par un
indice i et de vecteurspositions −→r i. Changer d’origine revient à
remplacer les −→r i par −→r ′i =
−→r i + −→ε où −→εest le même pour tous les points et
indépendant du temps de sorte que les vitesses sontinchangées. Nous
raisonnerons ici avec un −→ε infiniment petit.
Dans ce changement, le lagrangien formel L est remplacé par L′ =
L + δL où δL estdonné par un développement au premier ordre soit
:
δL =∑i
−−→grad−→r iL ·
−→ε
qui doit être nul (L formellement invariant) quelque soit −→ε ,
donc en exploitant leséquations de Lagrange et en retrouvant en
coordonnées cartésiennes les quantités demouvement
−−→grad−→v i = mi
−→v i = −→p i (cf supra) :
−→0 =
∑i
−−→grad−→r iL =
ddt
(∑i
−−→grad−→v iL
)=
ddt
(∑i
−→p i
)=
d−→p totdt
Ce qui lie la conservation de la quantité de mouvement totale
−→p tot à l’homogénéité del’espace comme celle de l’énergie l’est à
l’homogénéité du temps.
6.c Conservation du moment cinétique.
L’espace est aussi isotrope en ce sens que les lois de la
physique ne dépendent pas del’orientation du système isolé auquel
on les applique. Nous exploiterons ici cette propriétéen disant
qu’une rotation des axes ne doit pas modifier l’expression formelle
du lagrangien.
Nous partirons d’un système de points matériels, repérés par un
indice i et de vecteurspositions −→r i et de vitesses −→v i. Une
rotation infiniment petite des axes revient (voir chan-gement de
référentiel, chapitre B-I, ou mécanique des solides, chapitre
B-VIII) à remplacerl’expression de tout vecteur
−→V par
−→V ′ =
−→V +
−→δV où
−→δV =
−→δϕ ∧
−→V avec
−→δϕ de direction
l’axe de rotation et de module l’angle de rotation. C’est en
particulier le cas des vecteurspositions et des vecteurs
vitesses.
Dans ce changement, le lagrangien formel L est remplacé par L′ =
L + δL où δL estdonné par un développement au premier ordre soit,
en utilisant les propriétés du produit
21
-
mixte :
δL =∑i
−−→grad−→r iL ·
−→δri +
∑i
−−→grad−→v iL ·
−→δvi = · · ·
· · · =∑i
−−→grad−→r iL · (
−→δϕ ∧ −→r i) +
∑i
−−→grad−→v iL · (
−→δϕ ∧ −→v i) = · · ·
· · · =∑i
[−→δϕ · (−→r i ∧
−−→grad−→r iL) +
−→δϕ · (−→v i ∧
−−→grad−→v iL)
]= · · ·
· · · =−→δϕ ·
∑i
[−→r i ∧ −−→grad−→r iL+−→v i ∧ −−→grad−→v iL]
qui doit être nul (L formellement invariant) quelque soit−→δϕ
donc, avec par définition
(cf supra)−−→grad−→v i =
−→p i, grâce à aux équations de Lagrange qui donnent−−→grad−→r
iL =
ddt
(−−→grad−→v iL
)= d
−→p idt et puisque
−→v i = d−→r idt :
−→0 =
∑i
[−→r i ∧ −−→grad−→r iL+−→v i ∧ −−→grad−→v iL] = · · ·· · · =
∑i
[−→r i ∧
d−→p idt
+d−→r idt∧ −→p i
]=
ddt
[∑i
−→r i ∧ −→p i
]
La quantité∑i
−→r i ∧−→p i où l’on reconnaît l’expression du moment cinétique
calculée à
l’origine du repère, est donc une constante du mouvement,
propriété liée donc à l’isotropiede l’espace.
7 Hamiltonien et équations de Hamilton.
7.a Définition et propriétés essentielles.
Pour un système décrit par N coordonnées généralisées, les N
équations de Lagrangesont N équations différentielles d’ordre 2 à N
variables. Si elles ne sont pas linéaires, ce quiest le cas le plus
courant, une résolution algorithmique assistée par ordinateur
s’impose.Malheureusement au contraire de la résolution
algorithmique de équations d’ordre 1 qui estparfaitement maîtrisée,
celle des équations d’ordre 2 souffre de graves problème de
stabilitéet de convergence. La mécanique hamiltoniennne est une
solution à cet inconvénient.
Pour un système décrit par les paramètres généralisé qi, on
généralise la notion d’im-pulsion (ancien nom de la quantité de
mouvement) en appelant impulsions généralisées lesgrandeurs pi =
∂L∂q̇i ; les équations de Lagrange s’écrivent alors
∂L∂qi
= dpidt = ṗi.
Soit un système décrit par le lagrangien L({qi}, {q̇i}, t),
dépendant éventuellement du
22
-
temps de façon explicite ; sa différentielle est, compte tenu de
ce qui précède :
dL =∑i
∂L
∂q̇idq̇i +
∑i
∂L
∂qidqi +
∂L
∂t=∑i
pi dq̇i +∑i
ṗi dqi +∂L
∂tdt
Par analogie avec la thermodynamique (définition de l’enthalpie
ou de l’énergie libreà partie de l’énergie interne), on définit la
fonction hamiltonienne ou plus simplement lehamiltonien du système
par H =
∑i pi q̇i − L dont la différentielle est :
dH = (∑i
dpi q̇i+∑i
pi dq̇i)−(∑i
pi dq̇i+∑i
ṗi dqi+∂L
∂tdt) =
∑i
q̇i dpi−∑i
ṗi dqi−∂L
∂tdt
Ce qui montre en considérant H comme fonction des N coordonnées
généralisées qiet des N impulsions généralisées pi (et
éventuellement du temps) et en assimilant lescoefficients de dqi et
dpi (et de dt) aux dérivées partielles que l’on a :
∂H
∂qi= −ṗi et
∂H
∂pi= q̇i
(et anecdotiquement ∂H∂t = −dLdt ) que l’on peut réécrire
ṗi = −∂H
∂qiet q̇i =
∂H
∂pi
qu’on appelle équations de Hamilton et qui sont 2N équations
différentielles d’ordre 1dont les 2N variables sont les N
coordonnées qi et les N impulsions pi, ce qui se prêtebeaucoup
mieux aux résolutions algorithmiques.
Une remarque intéressante : si le hamiltonien ne dépend pas
explicitement d’un qiparticulier, alors ṗi = −∂H∂qi = 0 et
l’impulsion pi correspondante est une constante dumouvement.
7.b Application à un ensemble de points en interaction
conservative.
On choisit les coordonnées cartésiennes des points, que l’on
regroupe trois par troisde façon à présenter les dérivées
partielles comme des gradients (cf supra) vis-à-vis desvecteurs
positions −→r i ou formellement des vecteurs vitesses −→v i. On a
vu au début de cechapitre que :
L =∑i
12mi−→v 2i − U({−→r k}), t)
où la dépendance vis-à-vis du temps existe ou non selon le
contexte (cf supra).
On retrouve rapidement −→p i =−−→grad−→v iL = mi
−→v i d’où :
H =∑i
−→p i · −→v i − L =∑i
mi−→v 2i − L =
∑i
12mi−→v 2i + U({−→r k}), t)
23
-
ce qui montre que le hamiltonien se confond, dans ce contexte,
avec l’énergie mécanique.
Attention toutefois, la philosophie du hamiltonien veut qu’on le
considère comme fonc-tion des −→r i et des −→p i ; avec −→v i =
−→p imi
, on doit donc écrire :
H =∑i
−→p 2i2mi
+ U({−→r k}, t)
Pour mémoire les équations de Hamilton sont ici :
−̇→p i = −−−→grad−→r iH = −
−−→grad−→r iU({
−→r k}, t) =−→F i
d’une part (avec le lien classique entre force et énergie
potentielle) et d’autre part
−→v i = −̇→r i =−−→grad−→p iH =
−→p imi
ce qui bien sûr n’apporte rien de plus que la mécanique
lagrangienne.
7.c Application à l’interaction électromagnétique.
Comme pour l’approche lagrangienne, on raisonne sur une seule
charge ponctuelle ; ilne restera qu’à faire une sommation sur
toutes les charges. On part (voir paragraphe 5.ap. 16) de :
L =12m−→v 2 + q−→v ·
−→A (−→r , t)− q V (−→r , t)
L’impulsion est donc 7 :
−→p =−−→grad−→v L = m
−→v + q−→A
et le hamiltonien :
H = −→p · −→v − L =(m−→v 2 + q−→v ·
−→A)−(
12m−→v 2 + q−→v ·
−→A − q V
)=
12m−→v 2 + q V
qu’il faut exprimer en fonction de −→p et −→r (cf supra) soit
avec m−→v = −→p − q−→A :
H =1
2m(−→p − q
−→A )2 + q V
A vrai dire les équations de Hamilton sont ici malaisées à
exploiter et nous en resteronsà l’expression du hamiltonien que
l’on a ici établi pour son intérêt en mécanique quantique 8.
7. avec un crayon et un bout de papier ou en retrouvant plus
haut comment démontrer la relation−→A =
−−→grad−̇→r (
−̇→r ·−→A )
8. Toutefois, l’interaction magnétique n’est pas étudiée dans
mon cours d’initiation à la mécaniquequantique.
24
-
7.d Méthode des perturbations en mécanique céleste.
Imaginons que nous voulions étudier l’influence de Jupiter sur
le mouvement de laTerre. On simplifiera ici le système solaire
ainsi : un soleil fixe (à l’origine masse M) etuniquement la Terre
(masse mT , position −→r T et impulsion −→p T ) et Jupiter (masse
mJ ,position −→r J et impulsion −→p J). En notant G la constante de
gravitation universelle, lehamiltonien, qui s’identifie (cf supra)
à l’énergie mécanique est :
H =1
2mJ−→p 2J +
12mT
−→p 2T −GM mJ‖−→r J‖
− GM mT‖−→r T ‖
− GmJ mT‖−→r T −−→r J‖
En première approximation le dernier terme, énergie potentielle
d’interaction Jupiter-Terre est négligeable. Si l’on utilise les
équations de Hamilton sans ce dernier terme, lesystème obtenu se
séparera en un système d’équations pour Jupiter et un système pour
laTerre, chacun d’entre eux redonnant une situation de mouvement à
force centrale dont lessolutions sont connues et notées −→r J0(t)
et −→r T0(t).
Un approximation plus fine consistera à introduire le terme
négligé mais en y remplaçant−→r J et −→r T respectivement par −→r
J0(t) et −→r T0(t) car l’erreur commise dans un termecorrectif est
doublement négligeable. GmJ0(t)mT‖−→r T0(t)−−→r J‖ devient alors
une fonction du temps quigénérera dans les équations de Hamilton
des fonctions du temps qui maintiendront ledécouplage et ne
compliqueront guère la résolution, les nouvelles solutions seront
notées−→r J1(t) et −→r T1(t) et l’on peut itérer le processus.
Cette méthode dite des perturbations dans le cadre d’équations
différentielles d’ordre 1s’avère très efficace et reste couramment
utilisée en astrophysique, bastion resté fidèle à lamécanique
rationnelle.
8 Crochets de Poisson.
On n’introduit cette notion uniquement pour son analogie avec
les commutateurs enmécanique quantique et on taira leur intérêt en
mécanique hamiltonienne car cela nous mè-nerait trop loin dans des
domaines qui relèvent plus des mathématiques que de la
physique.Cette partie sera donc traitée de façon minimaliste.
8.a Définition.
Soit un système repéré par les coordonnées généralisées qi
associées aux impulsionsgénéralisées pi ; soit f et g deux
fonctions des qi et des pi et éventuellement du temps. Ondéfinit le
crochet de Poisson associé aux fonctions f et g par :
{f, g} =∑i
(∂f
∂pi
∂g
∂qi− ∂f∂qi
∂g
∂pi
)
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-
qui est manisfestement linéaire vis-à-vis de f et de g
(bilinéaire donc) et anti-symétrique(la permutation de f et g donne
un résultat opposé).
8.b Crochets de Poisson et hamiltonien.
Dans le même contexte soit f une fonction des qi et des pi et
éventuellement du temps.Pour un mouvement donné du système, on a,
grâce aux équations de Hamilton :
ddt
[f({qi(t)}, {pi(t)}, t)] =∂f
∂t+∑i
∂f
∂qi
dqidt
+∑i
∂f
∂pi
dpidt
= · · ·
· · · = ∂f∂t
+∑i
(∂f
∂qi
∂H
∂pi− ∂f∂pi
∂H
∂qi
)=∂f
∂t+ {H, f}
Dans le cas d’une fonction f ne dépendant pas explicitement du
temps (∂f∂t = 0), si{H, f} est nul, alors f({qi(t)}, {pi(t)}) est
une constante du mouvement et réciproquement.On retrouvera le
pendant de cette propriété en mécanique quantique.
8.c Crochets de Poisson et moments cinétiques.
Raisonnons sur un point matériel ; il sera aisé de généraliser
par sommation. Si lescomposantes de son vecteur position −→r sont
x, y et z et si celles de son vecteur impulsion−→p sont px, py et
pz, alors celles de son moment cinétique L =
−→r ∧−→p sont Lx = y pz−z py,
Ly = z px − x pz et Lz = x py − y px.
Calculons le crochet de Poisson entre deux composantes de−→L ,
par exemple les deux
premières :
{Lx, Ly} = · · ·
· · · =(∂Lx∂px
∂Ly∂x− ∂Lx
∂x
∂Ly∂px
)+(∂Lx∂py
∂Ly∂y− ∂Lx
∂y
∂Ly∂py
)+(∂Lx∂pz
∂Ly∂z− ∂Lx
∂z
∂Ly∂pz
)= · · ·
· · · = [0 (−pz)− 0 z] + [(−z) 0− pz 0] + [y px − (−py) (−x)] =
· · ·· · · = y px − x py = −Lz
On a donc {Lx, Ly} = −Lz et, par permutation circulaire, on peut
affirmer que l’on a{Ly, Lz} = −Lx et {Lz, Lx} = −Ly ;
l’anti-symétrie donne les trois autres crochets pos-sibles.
On retrouvera cette propriété en mécanique quantique et c’est
pourquoi elle figure ici.
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