- Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums? 31 Inhaltsverzeichnis Kapitel Seite Vorwort…………………………………………………………………………….... 1. Mathematische Grundlagen des Goldenen Schnittes…………………. 1.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?.............................................................. 1.2. Nähere Betrachtung des Teilungsverhältnisses – Herleitung der Zahlen τ und ρ………………………………………………………………. 1.3. Die Zahlen τ und ρ………………………………………………………….. 1.3.1. Allgemeine Eigenschaften………………………………………………………… 1.3.2. Linealisierung der Potenzen des Goldenen Schnittes………………………… 1.4. Geometrische Verfahren zur Konstruktion des Goldenen Schnittes…………………………………………………………………….. 1.4.1. „Die klassische Konstuktion“……………………………………………………… 1.4.2. „Die beliebte Konstruktion“………………………………………………………... 1.4.3. Konstruktion des Goldenen Schnittes nach Euklid……………………………... 1.4.4. Das Verfahren mit „äußerer Teilung“…………………………………………….. 2. Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Mathematik……………… 2.1. Angewandter Goldener Schnitt……………………………………………. 2.1.1. Goldenes Rechteck………………………………………………………………… 2.1.2. Die Goldenen Dreiecke – das spitze und das stumpfe………………………… 2.1.3. Goldener Winkel Ψ…………………………………………………………………. 2.2. Entdeckt und bewiesen – Vorkommen des Goldenen Schnittes ohne beabsichtigtes Anwenden…………………………………………………. 2.2.1. Regelmäßiges Fünfeck – Pentagramm – regelmäßiges Zehneck…………… 2.2.2. Der Goldene Schnitt im Ikosaeder……………………………………………….. 2.2.3. Die Reihe der Fibonacci-Zahlen………………………………………………….. 2.2.3.1. Der Stammbaum einer Drohne als Beispiel für die Fibonacci-Reihe……….. 2.2.3.2. Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe………………………….. 3. Vorkommen des Goldenen Schnittes außerhalb der Mathematik…… 3.1. Der Goldene Schnitt in der Biologie……………………………………… 3.1.1. Goldener Schnitt in der Anatomie………………………………………………… 3.1.2. Goldener Schnitt in der Botanik ………………………………………………….. 3.2. Der Goldene Schnitt in der Architektur…………………………………… 3.3. Der Goldene Schnitt in der Kunst…………………………………………. 3.4. Der Goldene Schnitt in der Musik………………………………………… 4. Die Historie des Goldenen Schnittes……………………………………… 4.1. Der Goldene Schnitt in der Antike: Pythagoräer – Euklid……………… 4.2. Der Goldene Schnitt in der Renaissance………………………………… 4.3. Der Goldene Schnitt von der Frühen Neuzeit bis zur Gegenwart…….. 5. Die Popularität des Goldenen Schnittes…………………………………. Nachwort……………………………………………………………………………. Glossar………………………………………………………………………………. Literaturverzeichnis………………………………………………………………. Erklärung……………………………………………………………………………. 2 3 3 3 4 4 5 7 7 8 9 10 11 11 11 12 15 15 15 18 18 18 20 22 22 22 23 24 25 25 26 26 27 28 29 30 31 31 31
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Inhaltsverzeichnis Kapitel Seite - fvss.de · PDF filesind die so genannten Fibonacci-Zahlen (→ Kap. 2.4.). Sie werden entsprechend der obigen Tabelle folgendermaßen definiert:
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- Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel Seite
Vorwort …………………………………………………………………………….... 1. Mathematische Grundlagen des Goldenen Schnittes …………………. 1.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?.............................................................. 1.2. Nähere Betrachtung des Teilungsverhältnisses – Herleitung der Zahlen τ und ρ………………………………………………………………. 1.3. Die Zahlen τ und ρ………………………………………………………….. 1.3.1. Allgemeine Eigenschaften………………………………………………………… 1.3.2. Linealisierung der Potenzen des Goldenen Schnittes………………………… 1.4. Geometrische Verfahren zur Konstruktion des Goldenen Schnittes…………………………………………………………………….. 1.4.1. „Die klassische Konstuktion“……………………………………………………… 1.4.2. „Die beliebte Konstruktion“………………………………………………………... 1.4.3. Konstruktion des Goldenen Schnittes nach Euklid……………………………... 1.4.4. Das Verfahren mit „äußerer Teilung“…………………………………………….. 2. Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Mathemat ik……………… 2.1. Angewandter Goldener Schnitt……………………………………………. 2.1.1. Goldenes Rechteck………………………………………………………………… 2.1.2. Die Goldenen Dreiecke – das spitze und das stumpfe………………………… 2.1.3. Goldener Winkel Ψ…………………………………………………………………. 2.2. Entdeckt und bewiesen – Vorkommen des Goldenen Schnittes ohne beabsichtigtes Anwenden…………………………………………………. 2.2.1. Regelmäßiges Fünfeck – Pentagramm – regelmäßiges Zehneck…………… 2.2.2. Der Goldene Schnitt im Ikosaeder……………………………………………….. 2.2.3. Die Reihe der Fibonacci-Zahlen………………………………………………….. 2.2.3.1. Der Stammbaum einer Drohne als Beispiel für die Fibonacci-Reihe……….. 2.2.3.2. Mathematische Eigenschaften der Fibonacci-Reihe………………………….. 3. Vorkommen des Goldenen Schnittes außerhalb der M athematik …… 3.1. Der Goldene Schnitt in der Biologie……………………………………… 3.1.1. Goldener Schnitt in der Anatomie………………………………………………… 3.1.2. Goldener Schnitt in der Botanik ………………………………………………….. 3.2. Der Goldene Schnitt in der Architektur…………………………………… 3.3. Der Goldene Schnitt in der Kunst…………………………………………. 3.4. Der Goldene Schnitt in der Musik………………………………………… 4. Die Historie des Goldenen Schnittes ……………………………………… 4.1. Der Goldene Schnitt in der Antike: Pythagoräer – Euklid……………… 4.2. Der Goldene Schnitt in der Renaissance………………………………… 4.3. Der Goldene Schnitt von der Frühen Neuzeit bis zur Gegenwart…….. 5. Die Popularität des Goldenen Schnittes …………………………………. Nachwort ……………………………………………………………………………. Glossar ………………………………………………………………………………. Literaturverzeichnis ………………………………………………………………. Erklärung …………………………………………………………………………….
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Vorwort
Der Begriff des „Goldenen Schnittes“ wird wahrscheinlich keinem ganz fremd erschei-
nen – allerdings wissen abgesehen von Architekten und Mathematikern vermutlich nur
wenige, worum es sich dabei im Einzelnen handelt. Bevor ich mich entschloss, meine
Jahresarbeit diesem Thema zu widmen, gehörte ich wie die meisten anderen zu den-
jenigen, die ausschließlich durch kurzes Ansprechen im schulischen Unterricht im Gro-
ben wissen, worum es sich bei diesem Ausdruck handelt.
Ich muss eingestehen, dass der Grund, der mich dazu veranlasste, meine Facharbeit
über den Goldenen Schnitt zu schreiben, zunächst einmal nicht das Thema an sich
war, sondern der Wunsch, aufgrund meiner Vorliebe für Mathematik meine Arbeit in
eben diesem Fach zu schreiben. Jedoch wurde ich bei meiner Suche nach einem pas-
senden Thema schnell auf den Goldenen Schnitt, einem einzigartigen Phänomen in
der riesigen Welt der Mathematik, aufmerksam und mein Interesse dafür steigerte sich
umso mehr, je weiter ich mich mit diesem Gebiet befasste.
Meine Annahme, dass dieses Thema nicht genug Stoff für meine Abhandlung liefern
würde, wurde sehr schnell widerlegt. Im Gegenteil: Aufgrund der Fülle an höchst inte-
ressantem Material sehe ich mich gezwungen in dieser Arbeit einen Schwerpunkt zu
setzen. Ich habe mich entschlossen mehr auf die „mathematischen“ den Goldenen
Schnitt betreffenden Dinge einzugehen als auf Aspekte wie seine Geschichte oder sein
Vorkommen in Kunst und Natur. Allerdings werde ich auch diese Bereiche nicht ganz
außer Acht lassen.
Alles in einem soll dies nach meinem Wunsch eine schwerpunktmäßig mathematische
Facharbeit werden, in der die mathematischen Eigenschaften des als „Goldener
Schnitt“ benannten Teilungsverhältnisses in den Vordergrund gestellt werden. Mithilfe
der insbesondere mathematischen und anderer Besonderheiten möchte ich Ihnen und
mir durch diese Arbeit zu erklären versuchen, woher die große Popularität des Golde-
nen Schnittes rührt.
Aufgrund meiner Schwerpunktsetzung besteht die gesamte Jahresarbeit aus zwei Tei-
len: Der erste von ihnen beinhaltet die ersten beiden – nicht unwesentlich größeren –
mathematischen Kapitel und der zweite die restlichen nichtmathematischen Kapitel.
Ich wünsche Ihnen viel Vergnügen beim Lesen meiner Arbeit und hoffe, dass ich Sie
mit neuen Erkenntnissen bereichern kann.
Anmerkung: kursiv und blau geschriebene Wörter sind im Glossar erläutert
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1. Mathematische Grundlagen des Goldenen Schnittes
1.1. Was ist der „Goldene Schnitt“?
Der Goldene Schnitt beschreibt die Teilung einer Strecke, bei der das Verhältnis des
längeren Teilstücks zum kürzeren mit dem Verhältnis der gesamten Strecke zum län-
geren Teilstück übereinstimmt.
Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt
Bezeichnet man gemäß der obigen Abbildung die längere Teilstrecke als a und die
kürzere als b, erhält man folgende Gleichung, die den Goldenen Schnitt beschreibt:
a
ba
b
a +=
1.2. Nähere Betrachtung des Teilungsverhältnisses – Herleitung der
Zahlen τ und ρ
Der Quotient aus dem längeren Teilstück a und dem kürzeren Teilstück b der durch
den Goldenen Schnitt geteilten Strecke ist konstant und wird mit dem griechischen
Buchstaben τ (ausgesprochen „tau“; bezieht sich auf das griechische Wort „tome“ für
„Schnitt“1.) bezeichnet2:
τ=+=a
ba
b
a
Demzufolge gilt τ⋅= ba . Man nehme nun, um die Größe von τ zu ermitteln, an, dass
die Länge der kürzeren Teilstrecke b = 1 betrage und bezeichne die längere Teilstrecke
a als x, sodass gelte τ⋅= 1x bzw. τ=x . Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt sich
Folgendes:
x
xx 1
1
+=
Durch Umformen erhält man diese quadratische Gleichung:
1 Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt 2 Vgl. Walser, Hans; Der Goldene Schnitt, Stuttgart; Leipzig: Teubner; Zürich: Verl. der Fachvereine, 1993, S.12 f.
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012 =−− xx
die durch Anwenden der pq-Formel und erneutes Umformen für x zwei Ergebnisse lie-
fert:
14
15,01 ++=x ∩ 1
4
15,02 +−=x
2
5
2
11 +=x ∩
2
5
2
12 −=x
2
511
+=x ∩ 2
512
−=x
618,11 ≈x ∩ 618,02 −≈x
Da der Quotient positiv sein muss, ist mit 618,12
511 ≈+=x ein eindeutiges Ergebnis
für τ gegeben; es gilt also:
618,12
51 ≈+=τ
So wie die Zahl τ das Verhältnis der längeren Teilstrecke zur kürzeren beschreibt, steht
ihr Kehrwert für das Verhältnis der kürzeren Teilstrecke zur längeren. Dieser wird mit
dem griechischen Buchstaben ρ (ausgesprochen: „rho“) beschrieben3 und beträgt ca.
0,618. Es gilt also:
618,051
21 ≈+
=+
===ba
a
a
b
τρ
1.3. Die Zahlen τ und ρ
1.3.1. Allgemeine Eigenschaften
Die beiden Zahlen τ und ρ sind irrational, d.h. sie können nicht durch den Quotienten
zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Für sie beide gelten folgende Beziehun-
gen4:
3 Vgl. Walser, S.12 f. 4 Vgl. Walser, S.13
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1
1
1
5
1
2
2
=−
=+=−=+
=⋅
ττρρ
ρτρτ
ρτ
Die quadratische Gleichung 012 =−− xx aus → Kap.1.2. hat die beiden Lösungen
x1 = τ und x2 = -ρ. Wenn man bei der Anwendung des Goldenen Schnittes auf eine
Strecke mit der Annahme, dass das kürzere Teilstück b = 1 lang werden soll, das län-
gere Teilstück a berechnen möchte, erhält man aus der Gleichung 012 =−+ xx die
beiden Ergebnisse x1 = ρ und x2 = -τ. Diese beiden Gleichungen
012 =−+ xx � xx −= 12
012 =−− xx � 12 += xx
sind „die beiden Schlüsselgleichungen für den Goldenen Schnitt“5.
1.3.2. Linealisierung der Potenzen des Goldenen Sch nittes 6
Dadurch, dass τ eine Lösung der Gleichung
12 += xx
ist, und dass somit gilt
12 += ττ ,
kann τ2 durch den linearen Ausdruck τ + 1 ersetzt werden und höhere Potenzen von τ
können durch einen linearen Ausdruck in τ ersetzt werden, beispielsweise τ3:
121)1( 223 +=++=+=+== ττττττττττ
oder τ4:
23)1(22)12( 234 +=++=+=+== ττττττττττ
Wenn man die Gleichung
12 += ττ
mit τn multipliziert, erhält man folgende allgemeine Beziehung:
nnn τττ += ++ 12
Kennt man die linearen Ausdrücke für τn+1 und τn, erhält man nun durch Addition den
linearen Ausdruck für τn+2:
5 Vgl. Walser, S.13 6 Vgl. Walser, S.73 ff.
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Linealisierung der Potenzen von τ7
0τ = 1 = 1
1τ = τ = τ
2τ = 1+τ = 1+τ
3τ = ττ +2 = 12 +τ
4τ = 23 ττ + = 23 +τ
5τ = 34 ττ + = 35 +τ
6τ = 45 ττ + = 58 +τ
…
...
…
…
…
2+nτ = nn ττ ++1 = 12 ++ + nn aa τ
Die neue Zeile ist jeweils die Summe aus den beiden vorhergehenden.
Die Koeffizienten an in
1−+= nnn aa ττ , ,...}4,3,2{∈n
sind die so genannten Fibonacci-Zahlen (→ Kap. 2.4.). Sie werden entsprechend der
obigen Tabelle folgendermaßen definiert:
nnn aaa += ++ 12
Da –ρ wie τ eine Lösung der Gleichung
12 += xx
ist, muss für sie ebenfalls gelten:
nnn )()()( 12 ρρρ −+−=− ++
1)()( −+−=− nnn aa ρρ , ,...}4,3,2{∈n
7 Vgl. Walser, S.74 (verändert)
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1.4. Geometrische Verfahren zur Konstruktion des Go ldenen Schnittes
Es gibt viele Möglichkeiten, den Goldenen Schnitt zu konstruieren. Konstruktionsver-
fahren, die einzig mit Lineal und Zirkel auskommen, waren in der Vergangenheit, als
man keine so große Auswahl an Hilfsmitteln wie z.B. den Computer hatte wie heute,
von großer Bedeutung. Vier solche Verfahren, mit deren Hilfe der Goldene Schnitt kon-
struiert werden kann, sollen hier präsentiert und bewiesen werden.
1.4.1. „Die klassische Konstuktion“ 8
Dieses Verfahren ist laut Hans Walser das bekannteste. Anleitung:
1 Man zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten a = 1 und b = ½
2 Anschließend konstruiere man um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius b = ½
3 Man bezeichne daraufhin den inneren Schnittpunkt des Kreises mit der Hypotenu-
se c als Punkt D und den äußeren mit ihrer Verlängerung als Punkt E.
Klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes9
Die Strecke BE wird vom Punkt D nach dem Goldenen Schnitt geteilt. Beweis:
ρ=−=−
+=2
15
2
1
2
11
22BD τ=+=+
+=2
15
2
1
2
11
22BE
1=−=−= ρτBDBEDE ττ ==1DE
BE
8 Vgl. Hans Walser: Der Goldene Schnitt, 1993, S.32 9 eigenständig angefertigt mit EUKLID Dynageo 2.2d
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1.4.2. „Die beliebte Konstruktion“ 10
Dieses Verfahren ist „wegen seiner Einfachheit beliebt“11. Anleitung:
Die Schritte 1 und 2 entsprechen den ersten beiden Schritten der „Klassischen Kon-
struktion“. Weiter geht es folgendermaßen:
3 Man bezeichne den Schnittpunkt des Kreises mit der Hypotenuse c als Punkt D
4 Daraufhin zeichne man um den Punkt B einen Kreis mit dem Radius r = BD
5 Anschließend bezeichnet man den Schnittpunkt des Kreises um Punkt B mit der
Kathete a als Punkt S
Die „beliebte“ Konstruktion des Goldenen Schnittes12
Der Punkt S teilt die Strecke BC im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Beweis:
Ich versichere hiermit, dass ich diese Facharbeit selbstständig verfasst, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe und dass sämtliche Stellen, die benutz-ten Werken im Wortlaut oder dem Sinne nach entnommen worden sind, mit Quellenan-gaben kenntlich gemacht wurden. Diese Versicherung gilt auch für Zeichnungen, Skiz-zen und bildliche Darstellungen. Heli, den 08.05.2005