Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 7. Vorlesung „Evolutionsstrategie II“ Die goldene Regel der Evolution, das größte kleine Sechseck und das Maximum-Minimum-Distanz-Problem.

Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 7. Vorlesung „Evolutionsstrategie II“

Die goldene Regel der Evolution, das größte kleine Sechseck und das Maximum-Minimum-Distanz-Problem

Zur Theorie der Evolutionsstrategie

Bewiesenes und Unbewiesenes

Es gilt die Formel:

)2(,1,11,1 )1(

Verbale Argumentation: Die -malige Erzeugung von Nachkommen mitjeweils zufälliger Wiederwegnahme eines davon liefert handlungsgemäß mal , oder, häufigkeitsanalytisch gedacht, (-1) mal (mannimmt nicht den besten weg) und einmal (man nimmt gerade denbesten weg).

1,1 ,1)2(,1

Zweitbester von Nachkommen

Die -Regel von Nikolaus Hansen

Für maximalen Fortschritt ist in einer seriellen

(1, ) - Evolutionsstrategie so einzustellen,

dass = 0 gilt )2(,1

Allgemein für den nichtlinearen Fall !

Eine Rekursionsformel von Ivan Santibañez-Koref

,, )(

//

cc

Z. B. = 3, = 1046,0707,13

22,321,3

10,7710,33 )( 3103 // cc

Ein faszinierender mathematische Zusammenhang zwischen der

ES)1( 1

und der

ES),( /

ES),( /270,0opt/ n

rn

rc 224,1,270,0opt

nr

nrc

2498,1

22

,270,0max

(parallel)

nr

nrc

202,0)/( 22

,270,0max

(seriell)

für große Werte Nach Hans-Georg Beyer

nr

nr 202,0270,0498,1

2max

nr 224,1

opt270,0opte W

ES)11(

1n

1n

Ein überraschender Zusammenhang zwischen der ( , )-ES als höchsteNachahmungsstufe der Evolution undder (1+1)-ES als niedrigste Nachah-mungsstufe der Evolution.

Für das Kugelmodell !

)1(),( optopt e 1W/

)1(),( optopt 1

)1(),( maxmax 1 seriell !

Die „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie

(1, )-ES

Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nach-kommenschaft im Mittel ebenso sehr,

wie sich der beste Nachkomme verbessert.

E

N

Q

tanΔ Q

tan)(,1)2(,1)1(,1 EN QQ

tan2)(,1

2)2(,1

2)1(,1 cccQQ EN

01

)(,1

j

jc tan2 EN QQ

Ferner gilt: tan)( 2,1 cQQ ENB

,11 c

QQQQEN

ENB

NEENB QQQQ

= 2 für opt

Berechnung der mittleren Qualität QN der gesamten Nachkommenschaft

Fortschritt des besten Nachkommen Fortschritt des zweitbesten Nachkommen . . .

Verbesserung Fortschritt

Die „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie

(1, )-ES

Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nach-kommenschaft im Mittel ebenso sehr,

wie sich der beste Nachkomme verbessert.

Kultur-tropfen

Bakterien-klon

Schüttel Agarkultur

H2

Dirigierte Evolution

mit dirigierter Mutationsrate

1N

gQ

1NB

gQ

gQNB

gQN

Mutations-

stärke

NEENB QQQQ

Verbesserung bester Nachkomme

gegenüber Elter

Verschlechterung gesamte Nachkommenschaft

gegenüber Elter

>

<↓

↑

gQE

1EgQ

Die erweiterte „Goldene Regel“ der Evolutionsstrategie

(/, )-ES

Bei optimaler Mutationsschrittweite verschlechtert sich die gesamte Nach-kommenschaft im Mittel mal so sehr,

wie sich die besten Nachkommen intermediär rekombiniert verbessern.

Denkhinweis: μ-fach vergrößerte Schrittweite!

Goldene Regel zur Mutationsschrittweitenregelung

/ ELSE *THEN )()( IF ENBEN QQQQ

Für Funktionsmaximierung

Quasi-philosophische Gedanken zum Fortschrittsfenster, zur 1/5-Erfolgsregel und zur Goldene Regel der Evolutionsstrategie

Evolutionsfenster

Forts

chrit

t

Mutationsgröße

EQNBQ

QN

Rückschritt Fortschritt=

5/1e W

5/1e W

vergrößern

verkleinern

Ein Manager sollte wissen, wie schmal sein Entscheidungs-spielraum ist. Die Devise „Viel hilft viel“ ist genauso falsch wie „Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste“.

Misserfolge sollten nicht so negativ gesehen werden. Es ist richtig, wenn auf 5 Versuche 4 Misserfolge kommen.Um Fortschritt zu erzielen muss man viele Misserfolge hinter sich lassen (Goldene Regel der Evolutiosstrategie).

oder Entropiesatz der ES

Die Schaffung von Ordnung in einem Bereich geht immer einher mit der Schaffung von Unordnung an anderer Stelle !

Noch ungelöste Probleme in der Theorie der Evolutionsstrategie

1 3, 2,für ES-),/( Fortschrittsgeschwindigkeit der

Fortschrittsgeschwindigkeit der ES mit diploidem Vererbungsgang

Hat das Schema der Ortho-ES einen biologischen Hintergrund? Wie macht die biologische ES eine Koordinatentransformation? Wie kommt es in der Biologie zu korrelierten (harmonischen) Mutationen?

Philosophie der Problemkomplexität aus der Sicht des Evolutionsstrategen und der Sicht des Informatikers: Kausalität, starke Kausalität, schwache Kausalität versus der Komplexitätsklassen P- NP- und NP-vollständig.

NP vollständig

NP

P

Schwach kausal

Kausal

Stark kausal

Informatiker/Mathematiker Evolutionsstratege

Komplexitätsklassen von Problemen

P = polynomial

NP = nichtdeterministisch polynomial. (Eine „geratene“ Lösung kann in polynomialer Zeit überprüft werden)

Im deutschen Sprachraum lässt sich NP-Problem auch als „Nachweis-polynomiales Problem“ lesen

Über exotische mathematische Probleme und deren Lösung mit der Evolutionsstrategie

GRAHAMs „größtes kleines Sechseck“

Gesucht ist das Sechseck maximalen Inhalts, bei dem keine zwei Ecken einen größeren

Abstand als 1 voneinander haben.

Ronald L. Graham

Max41414141

}{}{}{

}{

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

1554155415541554

1343134313431343

1032103210321032

621621621621

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaQ

11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a

18 a 19 a 110 a 111 a 112 a 113 a 114 a 115 a

22

211 xxa 2

6253 xxa

210

295 xxa

226

2157 )()( xxxxa

24

232 xxa

28

274 xxa

0,0 1211 xx

G s “größtes kleines Sechseck”RAHAMQualitätsfunktion:

Nebenbedingungen:

Polygon Koordinaten:

246

23510 )()( xxxxa

268

25713 )()( xxxxa

228

2178 )()( xxxxa

248

23711 )()( xxxxa

2610

25914 )()( xxxxa

2210

2199 )()( xxxxa

224

2136 )()( xxxxa

2410

23912 )()( xxxxa

2810

27915 )()( xxxxa

011993784881444641232221360 1464962105630848300881924096

234

5678910

AAAAAAAAAA

...674981,0 :Lösung A

...64959,0 :Sechseck Reguläres A

Lösung des GRAHAMschen Problems ist eine algebraische Zahl vom Grad 10:

1

GRAHAMs größtes kleines Sechseck

Foptimal Fregulär = 1,0391

Foptimal Fregulär = 1,0280

Foptimal Fregulär = 1,0195

6-Eck

8-Eck

10-Eck

Lösungen für das größte kleine 6-, 8-, und 10-Eck

Schwärme

Mathematische Definition eines Schwarms als Maximum-Minimum-Distanz-Problem

y

x

Das max/min-Distanz-Problem

DD

min

max Minimum

Mathematischer Schwarm von 48 Individuen

Dmax

Dmin= 6,707

94

94

86

86

103

10377

77

Elemente der Optimalstruktur

Reguläre Struktur eines 48-Individuen-Schwarms

Maximale Distanz = 1

Minimale Distanz

Strukturelle Lösungen des max/min-Distanz-Problems

7 Pkt 12 Pkt

27 Pkt

9093,2325minmax/ DD2minmax/ DD

8045,4minmax/ DD48 Pkt

707,6minmax/ DD

Flugzeugschwarm

Melancholie, Kupferstich von Albrecht Dürer aus dem Jahr 1514

Magisches Quadrat

2 0 14

Es soll ein Magisches Quadrat mit 21 21 Feldern entwickelt werden. Die Summe der Zeilen, der Spalten und der Hauptdiagonalen soll jeweils 2010 betragen. Und in der Mitte des Quadrats soll sich, wie im Dürer-Quadrat, die Jahreszahl 2010 markieren. Die Figuren einer Zwei, Null und Eins mögen durch eine Serie der Ziffern 2, 0 und 1 gebildet werden. Es handelt sich bei der Lösung zwangsläufig um ein so genanntes unechtes Magisches Quadrat, da Zahlen doppelt vorkommen können und müssen.

Min)()()()()()()()(

2753

2951

2963

2852

2741

2987

2654

2321

1515151515151515

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnQ

Qualitätsfunktion für ein 3 3-Quadratnn

14

7

2

5

8

3

6

9

nnn

nnn

Magischer 5 5 5 - Würfel

mit der magischen Summe 3152003 gelöst von Walter Trump und Christian Boyer

Magische Würfel der Ordnung

6, 7, 8, … sind schon länger

bekannt

Michael Herdy: 16.06.1999

Evolutionsstrategie löst ein 7x7x7 Rubik-Würfel

=30=20

g=0=10

g

=90=40

g

=180=1200

g

=270=5000

g =290=5000

g =291=5000

g

=210=2400

g =240=3000

g

=120=200

g =150=800

g

=60=10

g

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