LABORATORIO DE FISICA CALOR Y ONDAS, SEMESTRE II 2008 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA Castillo Sierra Rafael ♦ , Ríos Nupan Luís ♦ Universidad del Norte (Recibido 03 de Octubre de2008, Aceptado 03 de Octubre de 2008, Publicado 03 de Octubre de 2008) RESUMEN En este laboratorio se analiza el comportamiento de una onda estacionaria en un modelo real de laboratorio donde se nota la relación entre la frecuencia y la tensión, la velocidad de la onda y la tensión, la longitud de la cuerda y la frecuencia; además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que nos ayudaron a comprender mejor fenómenos cotidianos asociados con dicho tema como lo son el análisis de la importancia de las cuerdas en los instrumentos musicales, el eco; entre otras. PALABRAS CLAVES: frecuencia, tensión, onda estacionaria, longitud de onda, velocidad de la onda, numero de usos, numero de segmentos. ABSTRACT In this laboratory the behavior of a standing wave in a real model of laboratory is analyzed where the relation betwee n the freq uency and t he tensio n notice s, the spe ed of t he wave an d the tension, the chord le ngth and t he frequency; besides other important aspects in the study of the movement of a wave that helped us to include/understand better associate daily phenomena with this subject as they are it the analysis of the importance of the cords in the musical instruments and the echo; among others. Key Words: frequency, tension, standing wave, wavelength, speed of the wave, I number of uses, I number ofsegments. Email:[email protected]Email:[email protected]1
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LABORATORIO DE FISICA CALOR Y ONDAS, SEMESTRE II 2008
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA
Castillo Sierra Rafael♦, Ríos Nupan Luís
♦
Universidad del Norte
(Recibido 03 de Octubre de2008, Aceptado 03 de Octubre de 2008, Publicado 03 de Octubre de 2008)
RESUMEN
En este laboratorio se analiza el comportamiento de una onda estacionaria en un modelo real de laboratorio
donde se nota la relación entre la frecuencia y la tensión, la velocidad de la onda y la tensión, la longitud de la
cuerda y la frecuencia; además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que no
ayudaron a comprender mejor fenómenos cotidianos asociados con dicho tema como lo son el análisis de laimportancia de las cuerdas en los instrumentos musicales, el eco; entre otras.
PALABRAS CLAVES: frecuencia, tensión, onda estacionaria, longitud de onda, velocidad de la onda,
numero de usos, numero de segmentos.
ABSTRACTIn this laboratory the behavior of a standing wave in a real model of laboratory is analyzed where the relation
between the frequency and the tension notices, the speed of the wave and the tension, the chord length and the
frequency; besides other important aspects in the study of the movement of a wave that helped us to
include/understand better associate daily phenomena with this subject as they are it the analysis of the
importance of the cords in the musical instruments and the echo; among others.
Key Words: frequency, tension, standing wave, wavelength, speed of the wave, I number of uses, I number of
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MARCO TEORICO
Para esta experiencia se necesitan conocer unos conceptos muy importantes como son:
• Onda estacionaria: son aquellas que se forman por una superposición de dos ondas que viajan en
sentido contrario y que tienen la misma velocidad amplitud y longitud de onda; además de que sunodos permanecen inmóviles.
( ) ( ) t senkx Asent xu ω =,
• Frecuencia de una onda estacionaria: se define como el número de oscilaciones por unidad de
tiempo para el caso de las ondas estacionarias la frecuencia tiene relación directa con la tensión quese le ejerce a la cuerda y relación inversa con la longitud de la cuerda y la densidad lineal de masa.
• Velocidad de la onda en una cuerda tensionada: para un sistema conformado por una cuerdatensionada con una frecuencia f se observa que se debe tener en cuenta la masa por unidad de
longitud de masa expresada por así que estos dos factores están relacionados de la siguiente
forma:
• Masa por unidad de longitud: pararecrear una onda con una cuerda debemos tener en cuenta la masa de la cuerda; para esto utilizam
la relación de masa por unidad de longitud. Ya que el segmento forma parte de una circunferencia
subtiende un ángulo obteniendo la siguiente relación:
• Tensión: para una onda observada en una cuerda debemos tener en cuenta la tensión de esta ya que
existe una relación inversa entre la tensión ejercida y el numero de segmentos de la onda de la
siguiente forma:
µ
22
=
n
Lf T n
ANÁLISIS DE DATOS
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Pregunta 5. ¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la frecuenci
aumenta y la tensión permanece constante?
Por la relación:
µ
T v =
Vemos que la velocidad no depende de la frecuencia, si no de la tensión; y si la tensión permanec
constante entonces no habrá variación alguna en la velocidad de propagación de la onda. Cuando s
dedujo la ecuación diferencial que define a una onda senoidal unidimensional, la velocidad con la que propaga la onda solo depende de un factor de fuerza, la cual es la tensión, dividido entre un factor d
masa, que en este caso es la densidad lineal de masa. No importa la frecuencia que la onda tenga
velocidad de propagación siempre es la misma.
Pregunta 6. ¿A partir de la Tabla 2 que relación puedes inferir entre la frecuencia y el número d
segmentos o husos?
La relación que existe entre la frecuencia y el número de segmentos es directamente proporcional, ya qu
por la relación:
1nf f n =
Esta relación dice dos cosas, la primera es que la frecuencia de un modo normal de oscilación es un
múltiplo entero positivo de la frecuencia fundamental y la segunda es a medida que aumenta n la
frecuencia también lo hace, la grafica de la frecuencia versus numero de husos es una línea recta que pas
por el origen.
Pregunta 7.¿Aumenta o disminuye la longitud de onda de la cuerda al aumentar la frecuencia?
La frecuencia de vibración de la cuerda la podemos escribir como:
µ λ
T f
n
n
1=
Notamos que existe una relación inversa entre la frecuencia y la longitud de onda. De manera que
aumenta la frecuencia disminuya la longitud de onda.
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En conclusión los nodos poseen energía potencial en intervalos de tiempos en los cuales los límites de lo
intervalos están dados por:ω
π n
6. ¿Por qué los trastes de la guitarra no están uniformemente espaciados?
A partir del traste numero 12 de una guitarra acústica se comienza a disminuir el espacio entre ello
debido a que entre mas nos acercamos a la caja de resonancia el sonido varia con mayor amplitud lo qu
permite al músico tocar tonos uniformes; si los traste estuviesen separados a la misma distancia;
músico perdería la entonación.
7. ¿ Porque los instrumentos de cuerda son huecos?¿qué papel juega la forma del cuerpo d
un instrumento
En los instrumentos de cuerda son huecos por que cumple la función de amplificar el sonido y es un factor
decisivo en el timbre del instrumento, siendo importante la calidad de la madera, el número de piezas conlas que esté hecha la caja de resonancia y su estructura. Los instrumentos que cubren rangos de sonidos
graves, como el contrabajo o el violonchelo, necesitan una caja de resonancia mucho mayor que el resto, E
importante que la tapa inferior sea de una madera blanda, esto es para que vibre con facilidad.
CONCLUSION
1. A partir de la gráfica de la tensión en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemático quemejor relaciona estas cantidades físicas?De la relación de la frecuencia en los modos normales se saca la siguiente:
µ
22
=
n
Lf T n
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Este es el modelo matemático que mejor relaciona la tensión con el número de husos, se puede apreciar en la
figura 1 la representación grafica de esta relación.Se nota que la relación es inversa, es decir que cuando n aumenta la tensión disminuye.
2. A partir de la gráfica de la frecuencia en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemáticoque mejor relaciona estas cantidades físicas?
La ecuación:
µ
T
L
n f n
2=
Es la que mejor describe el comportamiento de la grafica de frecuencia versus
número de husos, la gráfica es una línea recta la cual su pendiente es:
µ
T
L f
dn
df
2
11 ==
La pendiente es la frecuencia en el estado fundamental, esto quiere decir que lasfrecuencias posteriores siempre van a ser mayores que la fundamental.
Figura 3. Frecuencia vs. n.
3. A partir de los datos registrados en la Tabla 2 ¿Qué relación puedes establecer entre la longitud de lacuerda y la longitud de onda?
λ
π π 2==
L
n K n →
λ
π π 2=
L
n
Si despejamos L nos queda:
2
λ n L =
Esta relación nos indica que la longitud de la cuerda siempre es un múltiplo entero de medias longitudes de
onda, como la longitud de la onda es constante y además como n aumenta, para mantener la igualdad la
longitud de la onda debe disminuir proporcionalmente a como aumente n.4. A partir de los modelos matemáticos hallados en las preguntas 1 y 2 de esta sección ¿cómo determinasla densidad lineal de la cuerda? ¿Qué factores físicos explican el error cometido?La densidad lineal de masa se puede hallar de la siguiente manera:
µ
22
=
n
Lf T n →
2
2
)2( n Lf
Tn= µ
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µ λ
T f n
1= → 2)( n f
T
λ µ =
Analizando las formulas se puede decir lo siguiente:
Para hallar la densidad lineal de masa se fija una tensión, luego escoger un modo normal de oscilación (n=1,2,…) y luego se procede a hallar la densidad, para mayor exactitud se hace varias veces el calculo con distintos
modos de oscilación.
5. Suponga que una cuerda 1 es dos veces más densa que la cuerda 2, pero ambas tienen la misma tensióy la misma longitud. Si cada una de las cuerdas está vibrando en su modo fundamental ¿qué cuerda
vibrará con la mayor frecuencia?Sean:
2
1
2
2
2
1
µ
µ
T
L
n f
T
L
n f
n
n
=
=
Las frecuencias de cada una de las cuerdas, la relación entre sus densidades es:
21 2 µ µ =Cada una de las cuerdas vibra en su modo fundamental:
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
µ
µ
T
L f
T
L f
=
=
Para hallar la relación entre las frecuencias, se despeja L en cada relación y se igualan ya que las dos cuerdas
poseen la misma longitud:
211121
2
1
2
1
µ µ
T
f
T
f =
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21 112
2 f f =
Esta relación nos indica que la frecuencia fundamental de la cuerda 1 es menor que la frecuencia fundamental
de la cuerda 2.
Lo cual es razonable ya que la cuerda 1 es mas densa y por ende la frecuencia a la que vibra va a ser menor qu
la frecuencia de la cuerda 2.
En un sistema conformado por una cuerda de nylon atada de un extremo a una fuente de vibración variable ydel otro extremo someterla a varias masas y con la ayuda del software dataestudio pudimos notar que cumple
las condiciones para producir ondas; al estudiarlas nos dimos cuenta de que se asemejaban mucho al modeloideal y al variarle el peso y la frecuencia pudimos notar los diferentes tipos de ondas que se presentan en lanaturaleza y que por ser invisibles no la podemos ver. Pero gracias al laboratorio hecho pudimos hacernos
ideas mas claras de ellas.
REFERENCIASSears, Zemansky, Young y Freedman. Física universitariaTeoría dada en clase.