informe Nº3 Fisica

Ajuste de curvas

El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una   serie   de   puntos   y   que   posiblemente   cumpla   una   serie   de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).

Ajuste de líneas y curvas polinómica a puntos.

Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:

Esta   línea   tiene pendiente a.   Sabemos   que   habrá   una   línea conectando   dos   puntos   cualesquiera.   Por   tanto,   una   ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.

Si aumentamos el orden de la ecuación a  la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

Esto   se   ajustará   exactamente   a   tres   puntos.   Si   aumentamos   el orden   de   la   ecuación   a   la   de   un   polinomio   de   tercer   grado, obtenemos:

Que se ajustará a cuatro puntos.

Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones.   Cada   restricción   puede   ser   un   punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o 1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A 

menudo se usan condiciones  finales   idénticas  para  asegurar  una transición   suave   entre   curvas   polinómica   contenidas   en   una única spline. También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas,   para   entender   las   fuerzas   a   las   que   somete   a   un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad.

Si   tenemos   más   de n + 1   restricciones   (siendo n el   grado   del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado   que   se   ajusta   a   tres puntos   colineales).   En   general,   sin embargo,   se   necesita   algún   método   para   evaluar   cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.

Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la   ecuación   polinómica   para   obtener   un   ajuste   exacto.   Existen varias:

Incluso   si   existe   un   ajuste   exacto,   no   quiere   decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo   que   se   use,   podríamos   encontrar   un   caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto.  De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada.

Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.

Los polinomios de orden superior pueden oscilar  mucho.  Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos 

que la curva pase también cerca del punto medio entre A yB. Esto puede no suceder con curvas polinómica de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy   grande.   Con   polinomios   de   grado   bajo   existen   más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado).

Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo depuntos de   inflexión de   una   curva   polinómica   es n-2,   donde n es   el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese  que  la  "bulbosidad"  de  los  polinomios  de orden alto   es   sólo   una   posibilidad,   ya   que   también   pueden   ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero.

Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho   ajuste.   Esto   es   malo   por   las   razones   comentadas anteriormente   si   los   polinomios   son   de   orden   alto,   pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de   soluciones.  Por  ejemplo,  un  polinomio  de  primer  grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales,  nos dará un número infinito de soluciones.  Esto nos   trae   el   problema   de   cómo   comparar   y   escoger   una solución   única,   lo   que   puede   ser   un   problema   tanto   para humanos   como  para   el   software.   Por   esta   razón  es  mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un 

ajuste  exacto  en todas   las   restricciones,  y  quizá   incluso  un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste.

Mínimos cuadrados es   una   técnica   de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que,   dados   un   conjunto   de   pares   (o   ternas,   etc.),   se   intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las   diferencias   ordenadas   (llamadas residuos)   entre   los   puntos generados   por   la   función   y   los   correspondientes   en   los   datos. Específicamente,   se   llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando  el   número  de  datos  medidos   es   1   y   se  usa   el  método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con  el  mínimo de  operaciones   (por   iteración),  pero   requiere  un gran número de iteraciones para converger.

Formulación formal del problema bidimensional

Supóngase   el   conjunto   de   puntos (xk,yk),   siendo  . Sea fj(x),  con   una base de m funciones linealmente independientes.  Queremos   encontrar   una   función   combinación lineal de las funciones base tal que , esto es:

Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximación puede variar, pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. El error en un punto (xk,yk) se podría definir como:

En este caso se trata de medir y minimizar el  error en el conjunto   de   la   aproximación.   En   matemáticas,   existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando éste se aplica a un conjunto de puntos (y no sólo a uno), a una función, etc. Dicho error podrá ser:

Error Máximo: 

Error Medio: 

Error Cuadrático Medio: 

La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio, o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:

Ajuste Cuadrado

X Y XY X² x²y x³ X4 -6.1 42.5          -259.25  37.21 1581.43 -226.98 1384.58-5.4 31.3          -169.02  29.16 912.71 -157.46 850.31-4.2 17.6            -73.92  17.64 310.46 -74.09 311.17-2.8 6.4            -17.92  7.84 50.18 -21.95 61.47-1.7 3               -5.10  2.89 8.67 -4.91 8.35-0.6 0.8               -0.48  0.36 0.29 -0.22 0.130.5 0.7                0.35  0.25 0.18 0.13 0.061.6 2.2                3.52  2.56 5.63 4.10 6.552.7 7.9              21.33  7.29 57.59 19.68 53.143.8 15.1              57.38  14.44 218.04 54.87 208.514.8 24            115.20  23.04 552.96 110.59 530.846 41            246.00  36 1476.00 216.00 1296.00

ΣX -1.4

ΣY 192.5

ΣXY            -81.91 

ΣX² 178.68

Σx²y 5174.13

Σx³ -80.25

ΣX4  4711.12

Planteando las ecuaciones normales 

ΣY    = AΣX² + BΣX + CN

ΣXY  = AΣx³+ BΣX²+CΣX

Σx²y = AΣX4+ BΣx³+CΣX²

  Remplazando y Hallando los valores de A, B, C

ΣY = AΣX² + BΣX + CN

192.5 = A (178.68) + B (-1.4) + 84C

ΣXY=A Σx³+ BΣX²+CΣX

-81.91=A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4)

Σx²y = AΣX4+ BΣx³+CΣX²

5174.13 = A (4711.12) + B (-80.25) + C (178.68)

I. A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4) = -81.91A (178.68) + B (-1.4) + 84C            =192.5 

       250.15 A – 1.96 B + 117.60 C     =   269.50

-6741 A + 15009.12 B – 117.60C = - 6879.60

                -6490.85 A + 15007.16B  = - 6610.10

II. A (-80.25) + B (178.68) + C (-1.4)         = 81.91A (4711.12) + B (-80.25) + C (178.68) =5174.13 

-14339.07 A + 31926.54B -250.15 C = -14635.68      6595.58 A – 112.35 B + 250.15 C = 7243.78

-7743.49 A + 31814.19B = -7391.90

III.                     -6490.85 A + 15007.16B  = - 6610.10    -7743.49 A + 31814.19B = -7391.90

-50261754.63 A +116207793.3  B =-51185243.25-50261754.63 A –   20651135.1 B = 47979714.12

   95556658.20 B = -3205529.13

            B = -0.03

IV. -6490.85 A + 15007.16B  = - 6610.10       -6490.85 A – 450.21  = -6610.10                       

    -6490.85 A  = -6159.89 A = 0.95

V. A (178.68) + B (-1.4) + 84C  =192.5169.75 + 0.004 + 84C =192.5

84C = -0.29  C = 0.0035

Y= Ax2 + B y + CY = 0.95 x2-0.03 y + 0.0035

Ajuste Lineal

Ajustes de curvas (Ajuste Lineal y Ajuste Cuadrática)

Objetivos:

1. Comprender el proceso de medición en el plano de coordenadas y expresar correctamente el resultado de una medida realizada.

2. Descubrir que los métodos referidos a la interpolación lineal se utilizan, fundamentalmente, cuando se conoce que los datos son muy exactos y deben 

entonces, asimilar y dominar todos los conceptos relativos al ajuste de curvas por medio de la función de potencia. 

3. Desarrollar habilidades en la generación y uso de modelos matemáticos empleados en la simulación de procesos para desarrollar software que nos permita resolver los diferentes problemas de la vida cotidiana

4. Plantear y desarrollar un modelo que permita estudiar las variables de un proceso de desarrollo de software. Comparar los resultados del modelo con datos experimentales.

Conclusiones:

1. Después de haber utilizado diversos métodos y formulas para dibujar en el plano de las ordenadas hemos a prendido a utilizar correctamente herramientas de medición de curvas.

2. Aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas   de   ingeniería   y   de   matemática   aplicada relacionados con esta temática. Dominar las distintas 

técnicas,   deben   haber   aprendido   a   valorar   la confiabilidad   de   las   respuestas   y   ser   capaces   de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema.

3. Entender   la   derivación   de   la   regresión   lineal   con mínimos   cuadrados   y   ser   capaces  de   valorar   la confiabilidad del ajuste usando gráficas.

4. Usar los métodos numéricos para el ajuste de curvas en   la   solución  de  algunos  problemas  de   ingeniería ambiental,  pero podemos modelar matemáticamente en  un  lenguaje  de  programación  en   la   Ingeniería  en Sistemas como el ejemplo práctico que realizamos.