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5/19/2018 Informe Metamaterial (David S nchez Fuentes)
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Estudio de un metamaterial (en 2-D)
David Sanchez FuentesElectromagnetismo II, 3o Curso de Grado en
Fsica
Profesores:Ernesto Martn, Juan Munoz
23 de diciembre de 2014
RESUMEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Estudio de las propiedades de un material artificial formado por
una red de cilindrosmetalicos. Para ello se estudia primero los
cilindros individualmente y mas tarde el
efecto global que tiene la red. Se obtendran expresiones
teoricas para la permitividad delmaterial en funcion de su
caractersticas. Tambien se simulara el material mediante un
programa de elementos finitos, Quickfield. Se comprobara
mediante la simulacion ladependencia con el radio de los cilindros
de la permitividad, comparando los resultados
de la simulacion con la teora obtenida.
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Indice1. Estudio individual de los cilindros 3
1.1. Polarizabilidad de un cilindro metalico en un campo
constante . . . . . . . 31.2. Estudio del problema del cilindro
conQuickfield . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Estudio para un cilindro metalico en un campo E=cte . . .
. . . . 51.2.2. Estudio para un cilindro con aire y carga
superficial . . . . . . . . . 6
2. Estudio de la red de cilindros 72.1. Version 2-D del campo
local de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Suponiendo interaccion pequena entre cilindros. ( ELocal
E) . . . . 7
2.1.2. Suponiendo campo local de Lorentz . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 82.2. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Estudio del problema del
metamaterial conQuickfield . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1. Metodos de comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 102.3.2. Permitividad relativa de un metamaterial. .
. . . . . . . . . . . . . 102.3.3. Valores simulados de la
permitividad en funcion de (R/D) . . . . . 11
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1. Estudio individual de los cilindros1.1. Polarizabilidad de un
cilindro metalico en un campo cons-
tante
(Resolveremos este problema mediante el metodo de las
imagenes)
Al aplicar un campo Ea un cilindro, este sepolariza tal y como
se puede ver en la ima-gen.
Podemos representar el cilindro polarizadocomo dos lineas de
carga opuestas y sepa-radas una distancia(dipolo), que producenla
misma distribucion de carga en la super-ficie del cilindro. Cuyo
momento dipolar esp= = E, (=polarizabilidad).
Necesitamos obtener la distancia. Para ello supongamos dos
lineas de carga externasal cilindro que se colocan a cada lado a
una distancia d. De tal forma que el potencial enla superficie del
cilindro sea constante.
Vamos a centrarnos solamente en una mitaddel cilindro ya que la
otra es similar.Tenemos el siguiente esquema donde ri es
ladistancia de la carga del dipolo a la super-ficie, r la distancia
de la carga externa a lasuperficie, R el radio del cilindro y el
valor es el mismo para todas las lineas de carga.
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Por la ley de Gauss podemos deducir el campo producido por una
linea cargada:S
Ecilds=Q
o Ecil(r) =
2orr
Y por tanto el potencial que produce sera :
Ecil= cil cil(r) =
2oln(
ror
)
Queremos que en la superficie del cilindro se cumpla que (R) =
cte, por tanto sedebe cumplir que:
(R) =
2oln(ro/r) +
2oln(ro/ri) =
oln(ri/r)
rir
=cte
Por otro lado tenemos que:
En (r, ) = (R, 0)
r= d Rri= R di
, En (r, ) = (R, 0)
r= d+Rri=di+R
Por lo que nos queda la siguiente relacion:
rir
= RdidR
= R+diR+d
d di = R2
Podemos ahora poner el momento dipolar del cilindro en la
forma:
p= 2di
i= 2di=R2
d 2i
Considerando d >> di podemos aproximar que el campo E es
el producido por laslneas de carga externas:
E=
odSustituyendo den la expresion para el momento dipolar:
p= 2oR2
E
Donde la polarizabilidad es:
= 2oR2
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1.2. Estudio del problema del cilindro con QuickfieldSe
estudiaran dos casos:
Cilindro metalico en un campo E=cte
Cilindro con carga superficial relleno de aire.
1.2.1. Estudio para un cilindro metalico en un campo E=cte
Se ha simulado un cilindro metalico en el seno de un campo E
constante, con su ejeperpendicular a la direccion del campo E.
(En la imagen podemos ver el campo y laslneas equipotenciales
alrededor del cilindro)Podemos apreciar commo el campo permane-ce
constante lejos del cilindro. Al acercarnosa el el campo se curva,
siendo la suma delcampo externo constante mas el producidopor la
carga superficial. Ya que el cilindro esmetalico dentro de el no
existe campo.
Estudiemos a continuacion la distribucion de carga producida por
el campo E en lasuperficie. Para ello representaremos la componente
normal a la superficie del campo D,( Dn=).
(En la imagen podemos ver la distribucion de carga a lo largo
del perimetro del cilindro)Se ve claramente que la distribucion es
de tipo senoidal, es decir =osin(). (Siendoel angulo polar)
Para saber cual es la frecuencia de la distribucion hacemos uso
de la herramientaHarmonics Browser. Gracias a esta herramienta
podemos hacer un analisis de Fourierpara la distribucion de carga
en la superficie.
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Haciendo esto podemos ver que existe un ar-monico que predomina
respecto a todos losdemas. Segun esto podemos escribir la
distri-bucion de carga del cilindro como:
= osin()
1.2.2. Estudio para un cilindro con aire y carga superficial
Estudiemos ahora el caso de un cilindro con una carga
superficial como la obtenidaen el apartado anterior. Esto equivale
a estudiar el cilindro metalico ignorando el campo
externo E.
Se ha simulado un cilindro con carga superficial = osin().(En
este caso no hay campo externo)
Podemos ver en la imagen el campo produci-do por la distribucion
de carga. En el interiorel campo es constante y con el mismo
modu-lo que el campo externo E, esto hace que altener en cuenta el
campo externo el campo
total en el interior del cilindro se anule.Por otro lado podemos
ver que el campo enel interior se asemeja al de un dipolo.
Para hace evidente que el campo producido por la distribucion de
carga es de tipodipolar, se ha simulado dipolo. A continuacion se
muestran: a izquierda el cilindro concarga superficial, a derecha
el dipolo.
(Carga supeficial en el cilindro) (Dipolo)
Como se puede ver en las imagenes es evidente que el campo
producido por la cargadel cilindro es de tipo dipolar.
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2. Estudio de la red de cilindros2.1. Version 2-D del campo
local de Lorentz
Consideramos una red (2D) regular de cilindros metalicos como se
muestra en la figu-ra (seccion por un plano perpendicular a los
ejes de los cilindros). La distancia entre loscilindros es D y el
diametro d. Aplicaremos un campo electrico estatico en la
direccionperpendicular al eje de los cilindros.
A continuacion vamos a obtener las expresiones teoricas para la
permitividad delmetamaterial bajo dos supuestos:
No hay interaccion entre los cilindros pues estos estan muy
alejados. ( ELocal E)
Los cilindros estan proximos y se debe considerar la interaccion
entre ellos.
Para ambos casos supondremos que la red de cilindros es
cuadrada.
2.1.1. Suponiendo interaccion pequena entre cilindros. ( ELocal
E)
Suponiendo que los cilindros no interactuan podemos suponer (
ELocal E).
La red esta formada por un conjunto de cilindros polarizados. Ya
hemos deducido enel apartado 1.1 el momento dipolar de estos
cilindros. Por tanto el vector polarizacionviene definido por
P =Ni=1
piA
=np= nEL= n E
, donden es el numero de cilindros por unidad de area, Nes el
numero total de cilin-dros en la red y Aes el area del corte
transversal (estamos en 2D).
Por otro lado tenemos la siguiente expresion para el vector
polarizacion:
P =oe E ,donde e=r 1
Igualando las dos expresiones que tenemos para Pnos queda:
n E=oe E n
o=e
Recordando la expresion para la polarizacion de un cilindro =
2oR2 , y que r =
o
obtenemos la expresion para la permitividad absoluta del
material.
= n+o = n2oR2 +o
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Podemos expresar n en funcion de la distancia entre cilindros
D:
n=N
A =
N
N D2 =
1
D2
Por lo que finalmente nos queda:
= [2R2
D2 + 1]o
* Nota:Llamaremos a esta relacion Gases ideales, ya que muchos
de ellos cumplen la condicion
de interecciones debiles
2.1.2. Suponiendo campo local de Lorentz
Como en el apartado anterior, tenemos que:
P =n ELP =oe E
Pero en este caso E= EL, ya que debemos considerar el efecto que
tienen unos dipolossobre otros. En este caso el campo local EL
sera:
EL= E+P
2o
,donde P2o
es la influencia de los dipolos. (en 2D)
Tenemos por tanto tres ecuaciones de las que podemos sacar una
expresion para lapermitividad del material:
P =n ELP =oe E
EL= E+ P2o
n[ E+ P2o
] =n E[1 + e2
] =eo E
n[1 + e2
] =eo
Despejando r de la ultima expresion:
r = 1 + n2o
1 n2o
(Relacion de Clausius-Mossoti)
Teniendo en cuenta que r = o
, y recordando que n= 1D2
y = 2oR2 nos queda:
= [1+R
2
D2
1R2
D2
]o
* Nota: Recordar que R es el radio del cilindro. (R= d)
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2.2. Resumen teoricoEn el apartado 2.2 hemos obtenido dos
expresiones distintas para la permitividad en
distintas situaciones. A continuacion las representamos
graficamente:
Podemos ver como para valores pequenos de RD
las dos expresiones coinciden. Sin em-bargo a partir de valores
proximos a R
D= 0,3 se hace significativo el efecto de los dipolos.
Es facil llegar a la expresion para Gases ideales a partir de la
relacion de Clausius-Mossotti, supuesto que D >> R. Llamando
a= R
2
D2:
r
=
1 + a
1 a Clausius-Mossotti
=
(1 +a)(1 +a
(1 a)(1 +a) =
a2 + 1 + 2a
1 a2 Si D >> R
a
2
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2.3. Estudio del problema del metamaterial con QuickfieldSe ha
simulado una red de cilindros de radio R y separados una distancia
D. Tambien
se ha simulado un dielectrico con las mismas dimensiones para
comparar sus propiedadescon las del metamaterial.Lo que se pretende
con esto es ir variando la permitividad del dielectrico hasta que
laspropiedades de este coincidad con las del metamaterial, para asi
obtener la permitividadefectiva de metamaterial.
2.3.1. Metodos de comparacion
A continuacion se explican algunos de los metodos para comparar
las propiedades deldieletrico y el metamaterial:
Metodo del volta je:
Se comparan las graficas del voltaje hasta que la del dieletrico
tenga la mismapendiente que la del metamaterial. Habiendo obtenido
previamente la pendientepara el metamaterial mediante un ajuste
lineal.
Metodo de la energa:
Definimos un contorno que se ajuste al metamaterial y medimos la
energa en suinterior. Tambien medimos la energa del dielectrico. La
permitividad que haga queel dielectrico tenga la misma energa que
el metamaterial sera la correcta.
De los dos metodos propuestos el mas comodo es el de la energa,
ya que solo tenemosque seleccionar un contorno para obtener la
energa. Y sera por tano el metodo que seutilice.
2.3.2. Permitividad relativa de un metamaterial
Se ha simulado un metamaterial de 10x10 ci-lindros de radio R =
0,03 m y separacionD = 0,1 m. Como el que se muestra en laimagen.
Tambien se ha simulado un dielectri-co cuya permitividad iremos
cambiando.
Para hallar la permitividad efectiva, que el metamaterial en
conjunto tiene, procedere-mos de la siguiente forma usando el
metodo de la energa. Primero medimos la energa del
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metamaterial. Mediante la herramientaLabelMovervariamos la
permitividad del dielectri-co y le pedimos que para cada paso nos
muestre la energa contenida en el. Cuando laenerga sea la misma
tendremos la permitividad de nuestro metamaterial.
Haciendo esto para el metamaterial simulado y comparando con los
valores teoricos,tenemos que:
Gases ideales Clausius-Mossotti Quickfieldr 1.56 1.80 1.87
Se puede ver como la relacion de Clausius-Mossotti se ajusta
mejor al valor obtenido con
Quickfield.
2.3.3. Valores simulados de la permitividad en funcion de
(R/D)
Se han simulado varios metamateriales variando el tamano de los
cilindros y mante-niendo constante la distancia entre ellos. Se ha
podido obtener la permitividad de cadauno de ellos mediante el
procedimiento explicado en el apartado anterior.
Los resultados son los siguientes:
Como podemos ver al principio todo coincide. Pero a medida que
el valor de RD
aumentasolamente coincide con los datos de Quickfield la
relacion de Clausius-Mossotti. Si se au-menta mucho R
Dse puede apreciar claramente que los datos se separan de la
curva te orica
y la teora deja de valer.
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Cuanto mayor es R
D mas cerca estan los cilindros y peor se adaptan los datos a
lateora. La separacion de los ultimos datos podra ser un error
numerico de Quickfield.Pero suponiendo que no hay ningun error en
el programa podemos intentar dar unaexplicacion:
Si suponemos que en la formacion de la dis-tribucion de carga
solo interviene el campoexterno, la carga es de tipo dipolar como
he-mos visto en el apartado 1
Sin embargo cuando los cilindros estan muy cerca unos de otros
el campo de los dipolosse hace importante y puede que los mismos
dipolos influyan en la distribuci on de cargade los cilindros.
(Influencia de los dipolos en la distribucion de carga
supeficial)
Tendramos entonces que considerar otro tipo de carga
superficial, formada por dos dipolos(cuadrupolo): el creado por el
campo externo Ey el creado por las cargas superficiales
dealrededor. Por tanto tendramos que considerar cuadrupolos en vez
de dipolos.