Informe de Laboratorio 299003_46

FÍSICA MODERNA

TRABAJO COLABORATIVO DOS

GRUPO No. 46

OTTO RUEFLI BARRERA - 1118538282

LUIS ALFREDO SALAS TORO -1128063751

(NOMBRE COMPLETO DEL ESTUDIANTE - CÉDULA DE CIUDADANÍA)

(Solo se incluyen a los estudiantes que hicieron aportes reales al trabajo)

TUTOR:ANGELO ALBANO REYES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

ABRIL 2014

CONTENIDO

Página

INTRODUCCIÓN.....................................................................................................0

1. OBJETIVOS.........................................................................................................4

1.1 Objetivo General.............................................................................................4

1.2 Objetivos Específicos.....................................................................................4

2. MARCO TEÓRICO.........................................................................................5-15

3. RESULTADOS...................................................................................................16

3.1 Resultados Actividad 1...................................................................................6

3.2 Resultados Actividad 2...................................................................................6

3.3 Resultados Actividad 3...................................................................................7

3.4 Resultados Actividad 4...................................................................................7

3.5 Resultados Actividad 5...................................................................................7

3.6 Resultados Actividad 6...................................................................................8

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS......................................................................9

4.1 Actividad 1......................................................................................................9

4.2 Actividad 2......................................................................................................9

4.3 Actividad 3......................................................................................................9

4.4 Actividad 4......................................................................................................9

4.5 Actividad 5......................................................................................................9

4.6 Actividad 6......................................................................................................9

5. CONCLUSIONES...............................................................................................10

6. BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................11

INTRODUCCIÓN

La presente actividad nos permitirá comprender a profundidad de forma práctica y

dinámica los conceptos relacionados con la teoría de la relatividad lo cual comprende

la materia, el espacio y el tiempo.

Con la realización de los ejercicios propuesto y al completar las tablas de exel de

dicha actividad estaremos en las capacidades de identificar las transformaciones de

que sufren el tiempo, la materia y el espacio por medio de los cálculos o formulas

matemáticas que encontramos en l modulo de física moderna.

1. OBJETIVOS

1.1 Objetivo General

Identificar las variable de las Transformaciones de Lorentz como lo son el tiempo ,

el espacio , posición y la velocidad atreves de la aplicación de los teoremas y

planteamientos del modulo de física moderna.

1.2 Objetivos Específicos

Desarrollar y Comprender de forma práctica las características fundamentales de la teoría de la relatividad y de sus cambios fundamentales.

Aplicar las transformadas de Lorentz para la posición y el tiempo. comprender las transformadas de Lorentz con relación a la velocidad.

Asimilar e interpretar los fenómenos producidos por la radiación del cuerpo

negro con una temperatura especifica.

2. MARCO TEÓRICO

Se realiza una descripción breve de las teorías desarrolladas (transformadas de Lorentz para: la velocidad, posición y tiempo; radiación del cuerpo negro, ley de Wien, etc) con sus respectivas fórmulas.

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teoría de la relatividad especial, son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las medidas de una magnitud física obtenidas por dos observadores diferentes. Estas relaciones establecieron la base matemática de la teoría de la relatividad especial de Einstein, ya que las transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometría del espacio-tiempo requeridas por la teoría de Einstein.

Matemáticamente el conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman el grupo de Lorentz.

Forma de las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz relacionan las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

De las coordenadas

Una de las consecuencias de que —a diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica— en mecánica relativista no exista un tiempo absoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distancias efectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimiento son diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas por dos observadores inerciales difieran entre sí. Sin embargo, debido a la objetividad de la realidad física las medidas de unos y otros observadores son relacionables por reglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de las coordenadas se consideran dos sistemas de referencia inerciales u observadores

inerciales: y y se supone que cada uno de ellos representa un mismo suceso S o punto del espacio-tiempo (representable por un instante de tiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes:

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Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismo punto del espacio-tiempo, estas deben ser relacionables de algún modo. Las

transformaciones de Lorentz dicen que si el sistema está en movimiento uniforme a velocidad a lo largo del eje X del sistema y en el instante inicial (

) el origen de coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidas por los dos observadores están relacionadas por las siguientes expresiones:

O equivalentemente por las relaciones inversas de las anteriores:

Donde es la velocidad de la luz en el vacío. Las relaciones anteriores se pueden escribir también en forma matricial:

Donde se ha introducido para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz:

La transformación de Lorentz anterior toma esa forma en el supuesto de que el origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0; si se elimina esta restricción la forma concreta de las ecuaciones se complica. Si, además, se elimina la restricción de que la velocidad relativa entre los dos sistemas se dé según el eje X y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas

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sean paralelos, las expresiones de la transformación de Lorentz se complican más aún, denominándose la expresión general transformación de Poincaré.

Para el momento y la energía

El requerimiento de covariancia de la teoría de la relatividad requiere que cualquier magnitud vectorial de la mecánica newtoniana venga representada en mecánica relativista por un cuadrivector o cuadritensor en teoría de la relatividad. Así, el momento lineal requiere ser ampliado a un cuadrivector llamado cuadrivector energía-momento o cuadrimomento, que viene dado por cuatro componentes, una componente temporal (energía) y tres componentes espaciales (momentos lineales en cada dirección coordenada):

Cuando se examina los cuadrimomentos medidos por dos observadores inerciales, se encuentra que ambos miden componentes diferentes del momento según su velocidad relativa a la partícula observada (algo que también sucede en mecánica newtoniana). Si se denota al cuadrimomento medido por dos

observadores inerciales y con sistemas de coordenadas cartesianas de ejes paralelos y en movimiento relativo según el eje X, como los que se consideraron en el apartado anterior, los cuadrimomentos medidos por ambos observadores están relacionados por una transformación de Lorentz dada por:

Y la transformación inversa viene dada similarmente por:

O equivalentemente en forma matricial los dos conjuntos anteriores de ecuaciones se represetan como:

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Donde se ha introducido de nuevo para abreviar las expresiones el factor de Lorentz y la velocidad relativa respecto de la luz.

Para cuadrivectores

Hasta ahora se ha considerado sólo sistemas inerciales en movimiento relativo respecto al eje X, pero igualmente se podría haber considerado sistemas de ejes paralelos respecto a los ejes Y y Z y, en ese caso, las matrices de transformación de coordenadas vendrían dadas por matrices similares a las consideradas en los apartados anteriores de la forma:

Las transformaciones anteriores se llaman a veces boosts, rotaciones espacio-temporales o a veces transformaciones de Lorentz propiamente dichas. El producto de cualquier número de transformaciones del tipo anterior constituye también una transformación de Lorentz. Todos esos productos conforman un subgrupo del grupo de Lorentz propio. En general el grupo de Lorentz propio está formado por:

Rotaciones espacio-temporales o boosts, que pueden escribirse como el producto de un número finito de boosts del tipo [*].

Rotaciones espaciales, consistentes en un giro de ejes. Este tipo de transformación también forma parte del grupo de Galileo.

El grupo de Lorentz propio así definido es un grupo de Lie conexo. Si a estas transformaciones propias se le añaden transformaciones impropias como las inversiones temporales y las reflexiones espaciales resulta el grupo de Lorentz completo, formado por cuatro componentes conexas cada una de ellas homeomorfa al grupo de Lorentz propio. Una vez definido el grupo de Lorentz

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podemos escribir las transformaciones lineales más generales posibles entre medidas tomadas por observadores inerciales cuyos ejes de coordenadas coinciden en el instante inicial:

Donde además del boost que da la transformación de coordenadas según la velocidad de separación relativa se han incluido las dos rotaciones en términos de los ángulos de Euler:

La matriz R(φ1,φ2,φ3) alinea el primer sistema de coordenadas de tal manera que el eje X transformado pase a ser paralelo a la velocidad de separación de los dos sistemas.

La matriz R(θ1,θ2,θ3) es la rotación inversa de la que alinearía el eje X del segundo observador con la velocidad de separación.

En forma más compacta podemos escribir la última transformación en forma tensorial usando el convenio de sumación de Einstein como:

Forma tensorial general

Supongamos ahora que en lugar de medir magnitudes vectoriales dos observadores se ponen a medir las componentes de alguna otra magnitud

tensorial, supongamos que los observadores y miden en sus sistemas de coordenadas la misma magnitud tensorial pero cada uno su propio sistema de coordenas llegando a:

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El postulado de que existe una realidad objetiva independiente de los observadores y que las medidas de estos pueden ser comparadas mediante las transformaciones de covariancia adecuadas conduce a que si estos observadores son inerciales sus medidas estarán relacionadas por las sigientes relaciones:

Donde las matrices Λ se definen, al igual que el apartado anterior mediante el producto de dos rotaciones espaciales y una rotación temporal (boost) simple.

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RADIACIÓN DEL “CUERPO NEGRO”

Consideramos “cuerpo negro” a una cavidad cuyas paredes están a una determinada temperatura. Los átomos de sus paredes están emitiendo radiación electromagnética y, al mismo tiempo absorbiendo radiación emitida por otros átomos de las paredes. La radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio ya que entonces, la cantidad de energía emitida por unidad de tiempo es igual a la absorbida en ese tiempo. En el interior pues, la densidad de energía es constante. La experiencia demuestra que, a cada frecuencia corresponde una densidad de energía por unidad de tiempo que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente del material. La densidad de energía correspondiente a la radiación con longitud de onda comprendida entre y + d es E () d llamada “intensidad de energía monocromática. La teoría clásica de la radiación aplicada al “cuerpo negro”, llega a deducir dos leyes que están de acuerdo con los anteriores hechos experimentales. Dichas leyes son la ley de Stefan-Bolrzman y la ley de Wien. Pero, la forma de la curva experimental que aparece en la anterior figura no se podía interpretar por la Física.

DESARROLLO DEL LABORATORIO A partir de la transformación de Lorentz para la coordenada (x) y el tiempo (t), imagine que se sincronizan dos relojes para dos sistemas inerciales, uno viaja a una velocidad (v0) respecto al otro en la coordenada de las(x), los dos sistemas inician a un tiempo (t)=(t’)=0 segundos y en (x)=(x’)=0, pero en el sistema primado (‘) ocurre un evento (un evento puede ser el bostezo de una persona, un beso, una palmada, etc…), dicho evento ocurre en el sistema primado cuando (x’)= (xf’) en un tiempo (t’)=(tf’), la pregunta sería en que tiempo (t) y coordenada (x) ocurre este evento en el sistema no primado.

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La fórmula usada fue la siguiente: β=v_0/c x=(x^'+β(ct^'))/√(1-β^2 ) t=((V_0/c^2 +x^'+t'))/√(1-β^2 )

A partir de la transformación de Lorentz para la velocidad, imagine que un cohete se aleja de un sistema de referencia a una velocidad (v0), y lanza un proyectil a una velocidad (v’) en la misma dirección del movimiento, diga cuál es el valor de la velocidad (v) que percibe el sujeto que se encuentra inmóvil respecto al cohete.

La fórmula que se usaron para realizar los cálculos fue: v=(v^'+v_0)/(1+v_0/c^2 *v')

Usando las fórmulas para la contracción de la longitud realizar los respectivos cálculos y sus respectivos análisis. (Todos los integrantes del grupo deben participar en el llenado de la tabla y su respectivo análisis), Un cohete de longitud (l0) viaja a una velocidad (v0) respecto a un sujeto fijo, calcule cual es la longitud (l) percibida por el sujeto que se encuentra en las coordenadas no primadas.

La fórmula empleada para realizar los cálculos es: l=l_0*√(1-β^2 )

RADIACIÓN CUERPO NEGRO

En esta parte del laboratorio, el grupo deberá llenar los datos correspondiente a la radiación de cuerpo negro; en la parte de la onda máxima que se alcanza en un cuerpo negro a determinada temperatura, el cálculo lo encontraran en el módulo del curso, para la onda máxima experimental deberán entrar a (Lab1) (Fernández) y (lab2) (García) y hallar dicho valor, finalmente se deberá calcular el valor de la onda máxima experimental multiplicada por la temperatura. Una vez llena la tabla por todos los estudiantes, realizar los respectivos análisis y conclusiones. Para hallar el valor de los análisis se utilizó esta formula

λ_max=(2,90* 〖 10 〗 ^(-3)m*K)/T

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Ley de desplazamiento de Wien

La ley de desplazamiento de Wien es una ley de la física. Especifica que hay una relación inversa entre la longitud de onda en la que se produce el pico de emisión de un cuerpo negro y su temperatura.

donde es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin (K) y es la longitud de onda del pico de emisión en metros.

Las consecuencias de la ley de Wien es que cuanta mayor sea la temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite. Por ejemplo, la temperatura de la fotosfera solar es de 5780 K y el pico de emisión se produce a 475 nm = 4,75 · 10-7 m. Como 1 angstrom 1 Å= 10-10 m = 10-4 micras resulta que el máximo ocurre a 4750 Å. Como el rango visible se extiende desde 4000 Å hasta 7400 Å, esta longitud de onda cae dentro del espectro visible siendo un tono de verde.

Deducción de la Ley de Wien

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La constante c de Wien está dada en Kelvin x metro.

Esta ley fue formulada empíricamente por Wilhelm Wien. Sin embargo, hoy se deduce de la ley de Planck para la radiación de un cuerpo negro de la siguiente manera:

donde las constantes valen en el Sistema Internacional de Unidades o sistema MKS:

Para hallar el máximo la derivada de la función con respecto a tiene que ser cero.

Basta con utilizar la regla de derivación del cociente y como se tiene que igualar a cero, el numerador de la derivada será nulo es decir:

Si definimos

entonces

Esta ecuación no se puede resolver mediante funciones elementales. Como una solución exacta no es importante podemos optar por soluciones aproximadas. Se puede hallar fácilmente un valor aproximado para :

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Si x es grande resulta que aproximadamente así que x esta cerca de 5.

Así que aproximadamente .

Utilizando el método de Newton o de la tangente:

De la definición de x resulta que:

Así que la constante de Wien es por lo que:

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3. RESULTADOS

3.1 Resultados Actividad 1.

Uso de las transformación de Lorentz para la coordenada (x) y el tiempo (t): imagine que al sincronizar dos relojes para dos sistemas inerciales, uno que viaja a una velocidad (v0) respecto al otro en la coordenada del eje (x); y teniendo presente que los dos sistemas inician a un tiempo (t)=(t’)=0 segundos y en (x)=(x’)=0. Se conoce a priori que el sistema primado (‘) ocurre un evento (un evento puede ser el bostezo de una persona, un beso, una palmada, etc…), dicho evento ocurre en el sistema primado cuando (x’)= (xf’) en un tiempo (t’)=(tf’), la pregunta sería en que tiempo (t) y coordenada (x) ocurre este evento en el sistema no primado.

Utilizando las transformaciones de Lorentz, para coordenadas (x) y tiempo (t), para el desarrollo de la tabla grupal, de la siguiente manera:

Formula usada para hallar el tiempo y teniendo en cuenta que “c” es la velocidad de la luz en metros:

Cálculos Teóricos

Ahora reemplazamos en la fórmula de tiempo

Para el desarrollo de las coordenadas utilizaremos la siguiente formula:

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Ejercicio 1

vo=25∗c=120000000

x ´=14,30m

t ´=1,10 E−8

Ahora reemplazamos en la fórmula de tiempo

t=1,10E−8+( 1,2 E89 E16 )14,30

√1−1,44 E169 E16

Simplificamos algunos exponentes

t=1,10E

−8+( 1,29 E8 )14,30√1−1,449

=3,28054E-08

t=3,28054 E−8

Para el desarrollo de las coordenadas utilizaremos la siguiente formula:

vo=25∗c=120000000

x ´=14,30m

t ´=1,10 E−8

x=14,30+120000000∗1,10E−8

√1−1,449=1,70 E1

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x=1,70 E1

Ejercicio 2

vo= 110

∗c=30000000

x ´=24.50m

t ´=8,70 E−8

Ahora reemplazamos en la fórmula de tiempo

t=8,70 E−8+( 3 E79E16 )24,50

√1−9 E149 E16

=9,56461E−08

t=9,56461 E−08

Para el desarrollo de las coordenadas utilizaremos la siguiente formula:

vo= 110

∗c=30000000

x ´=24.50m

t ´=8,70 E−8

x=24,50+30000000∗8,70 E−8

√1−9E149E16

¿

=2,72E1¿

x=2,72 E1

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Ejercicio 3

vo=35∗c=180000000

x ´=50,00m

t ´=9,70 E−8

Ahora reemplazamos en la fórmula de tiempo

t=9,70 E−8+(1,8 E89 E16 )50,00

√1−3,2 E169 E16

t=2,46 E−7

Para el desarrollo de las coordenadas utilizaremos la siguiente formula:

vo=35∗c=180000000

x ´=50,00m

t ´=9,70 E−8

x=50,00+1,8 E−8∗9,70 E−8

√1−3,2 E169 E16

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x=8,43 E1

Ejercicio 4

vo= 710

∗c=210000000

x ´=34,80m

t ´=6,00 E−8

Ahora reemplazamos en la fórmula de tiempo

t=6,00 E−8+(2,1 E89 E16 )34,80

√1−4,41 E169 E16

t=1,97 E−7

Para el desarrollo de las coordenadas utilizaremos la siguiente formula:

vo= 710

∗c=210000000

x ´=34,80m

t ´=6,00 E−8

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x=34,80+2,1 E−8∗6,00 E−8

√1−4,41 E169 E16

x=6,63 E1

.

Cálculos Teóricos

Aquí van todos los desarrollos realizados para cada uno de los ejercicios. Recuerde utilizar el editor de fórmulas que trae incorporado Word (haga doble clic

en la fórmula): x2

ln (2 )∫ x2

Ejercicio 1Ejercicio 2, etc

3.2 Resultados Actividad 2.

Uso de la transformación de Lorentz para la velocidad: imagine que un cohete se aleja de un sistema de referencia a una velocidad (v0), y lanza un proyectil a una velocidad (v’) en la misma dirección del movimiento, diga cuál es el valor de la velocidad (v) que percibe el sujeto que se encuentra inmóvil respecto al cohete.

Cálculos Teóricos

Aquí van todos los desarrollos realizados para cada uno de los ejercicios. Recuerde utilizar el editor de fórmulas que trae incorporado Word (haga doble clic

en la fórmula): x2

ln (2 )∫ x2

Ejercicio 1Ejercicio 2, etc

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3.3 Resultados Actividad 3.

Un cohete de longitud (l0) viaja a una velocidad (v0) respecto a un sujeto fijo, calcule cual es la longitud (l) percibida por el sujeto, si el cohete viaja en la coordenada “x”, y el sujeto se encuentra en las coordenadas no primadas.

Cálculos Teóricos

Aquí van todos los desarrollos realizados para cada uno de los ejercicios, es decir, el cálculo teórico de λmax=… Recuerde utilizar el editor de fórmulas que trae

incorporado Word (haga doble clic en la fórmula): x2

ln (2 )∫ x2

Ejercicio 1Ejercicio 2, etc

3.4 Resultados Actividad 4.

Cálculos Teóricos y experimentales

Aquí van todos los desarrollos realizados para cada uno de los ejercicios. Recuerde utilizar el editor de fórmulas que trae incorporado Word (haga doble clic

en la fórmula): x2

ln (2 )∫ x2

Ejercicio 1Calculo teórico (λmax=…, λmax∗T ¿Imagen del simulador (Lab1 o Lab2) del cálculo experimental de λmax

Ejercicio 2, Calculo teórico (λmax=…, λmax∗T ¿Imagen del simulador (Lab1 o Lab2) del cálculo experimental de λmax

3.5 Resultados Actividad 5.

Cálculos Teóricos y experimentales

Identificación de tres puntos de la gráfica y asócielos a cuerpos luminosos. (NO conteste la pregunta formulada)

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3.6 Resultados Actividad 6.

Cálculos Teóricos y experimentales

Colocar la gráficas solicitadas y realizar el cálculo de la pendiente.

4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

4.1 Actividad 1.

(Respectivo análisis)

4.2 Actividad 2

(Respectivo análisis)

4.3 Actividad 3

(Respectivo análisis)

4.4 Actividad 4

(Respectivo análisis)

4.5 Actividad 5

(según los puntos identificados en los resultados responda la pregunta suministrada y haga el respectivo análisis)

4.6 Actividad 6

(analice el respectivo cálculo de la pendiente)

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5. CONCLUSIONES

Considerando las Transformaciones de Lorentz yla toria de la relatividad podemos

concluir lo siguiente.

La velocidad de la luz es constante para todos los sistemas.

No existe tiempo absoluto, el tiempo difiere de un observador a otro.

Es imposible distinguir un sistema inercial de otro

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6. BIBLIOGRAFÍA

Cortes, G. A. (2010). Modulo fisica moderna . Bogota : UNAD.

http://es.wikipedia.org. (14 de Abril de 2014). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_Lorentz

http://www.fisica-relatividad.com.ar/. (14 de Abril de 2014). Obtenido de http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/transformadas-de-lorentz-1

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