Informe 2

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN

MARCOS

(Universidad del Perú, decana de América) FACULTAD DE QUÍMICA & INGENIERIA QUÍMICA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA

Laboratorio de Física I

Práctica número 2

Tema: Tratamiento de Datos Experimentales

Lunes de 10 am a 12 pm

Integrantes

- García Corman Alejandra Abigail.

- Joaquín, Diego Jesús.

- Calle Lazarte, Paris Leonel.

- Muñoz Ccorizapra, Pamela.

Fecha de entrega: lunes 14 de setiembre de 2015

I. RESUMEN:

En el siguiente informe presentaré como primer punto

una introducción, luego hago mención a los materiales

del experimento, el proceso de experimento, algunas

fórmulas matemáticas y las tablas de datos con sus

respectivos gráficos realizados en MS Excel.

II. INTRODUCCIÓN:

El adecuado tratamiento de los datos obtenidos en base a

esta nueva experiencia en el laboratorio puede brindarnos

dos panoramas muy distintos según donde quede graficada,

tal es el caso de del papel milimetrado que nos puede

mostrar una serie de graficas tales como la parábola, elipse

una recta, etc. En cambio en el papel logarítmico y

semilogaritmico las que son de tipo curva tienden a

linearse lo q nos va a permitir establecer parámetros y

porque no leyes que pidan describir con mayor precisión y

exactitud el comportamiento de un cuerpo o fenómeno q se

viene estudiando.

Es fundamental tener en cuenta q el mínimo error puede

marcar una diferencia significativa en el resultado para ello

se exige la seriedad del caso y seguir cuidadosamente cada

paso a seguir.

III. OBJETIVOS:

1. Aprender a organizar y graficar los datos

experimentales haciendo uso de tablas y papeles

gráficos.

2. Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente

el método de regresión lineal y el método de mínimos

cuadrados.

3. Obtener ecuaciones experimentales que describan el

fenómeno físico e interpretarlas.

IV. MATERIALES :

V. FUNDAMENTO TEÓRICO: Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan

en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos

informan acerca de las relaciones existentes entre una

magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas

relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema

de ejes coordenados con divisiones milimetradas,

logarítmicas y semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin

de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitarla

construcción de las fórmulas experimentales que representen

las leyes que gobiernan el fenómeno.

-Calculadora científica.

-Hojas de papel

milimetrado.

-Hojas de papel

logarítmico.

-Hoja de papel

semilogarítmico.

Papel Papel Papel

milimetrado logaritmico semilogarítmico

USO DEL PAPEL MILIMETRADO:

Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en

el papel milimetrado:

1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la

variable independiente en el eje de las abscisas y las

variables dependientes en el eje de las coordenadas.

2. La distribución de puntos así obtenida se unen

mediante una curva suave, usando una regla curva o

trazo a media alzada.

3. La representaciones gráficas que aparecen con más

frecuencia son:

Función lineal y = b

+ mx

Función Potencial y = k

xn

Función Exponencial y = k

10xn

Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el

papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se

realiza el ajuste de la recta mediante el método de

regresión lineal por mínimos cuadrados .Esto significa que

la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya

ecuación es:

y = mx + b

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente

de la recta y b ordenada en el origen (intercepto), siguiendo

el procedimiento que se detalla a continuación:

Primero se construye una tabla de la forma:

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el

papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los

datos de la tabla un papel logarítmico o semilogarítmico,

en alguno de estos papeles la distribución de los puntos

saldrá una recta.

USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO:

Las relaciones de la forma y = k xn; (n≠1), son funciones

potenciales y sus gráficas en el papel logarítmico son

rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en b

= log k. Se recomienda preferentemente usar papel

logarítmico 3x3; en donde cada ciclo está asociado a una

potencia de base 10. El origen de un eje coordenado

logarítmico puede empezar con 10-1, 100, 101, 102, 103, etc.

Al tomar logaritmo decimal a la ecuación

y = k xn; (n≠1)

obtenemos

logy = mlogx + logk, que tiene la forma lineal.

Y = mX + b, en donde X = logx, Y = logy y b = logk.

Concluimos entonces, que el método de regresión lineal

puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos,

para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los

datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de

colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de

redondeo en cada columna.

Para determinar la ecuación de la recta en el papel

logarítmico, se calculan ahora los valores de:

Para encontrar la ecuación de la función potencial y = k xn

graficada en el papel milimetrado debemos determinar los

valores de m y k. Del párrafo anterior se tiene que m = n y

k = 10.

USO DEL PAPEL SEMILOGARÍTMICO:

Para relaciones exponenciales de la forma y = k 10xn se

utiliza papel semilogarítmico, ¿por qué? Construya

adecuadamente su tabla para aplicar el método de regresión

lineal.

EXTENSION DEL MÉTODO DE REGRESION

LINEAL:

El estudio de este método relativamente sencillo y tiene doble

interés: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre

magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias

más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante

un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran

en la siguiente tabla:

USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA:

Estas calculadoras presentan la función LR del inglés

linear regresión lo cual nos permite obtener en forma

directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de

la recta y el factor de correlación (r) usando el método de

regresión lineal por mínimos cuadrados.

Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de

datos y presentan otros modos de regresión tales como:

lineal, logarítmica, exponencial, potencial, inversa y

cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación

juega un rol muy importante.

Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en

papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:

Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o

Basic para hacer los ajustes que se requieran. También se

puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin,

entre otros. Pero el más accesible es el EXCEL que nos

permite hacer gráficas y presentar las curvas de regresión

con sus respectivas fórmulas de correspondencia y

coeficientes de correlación.

VI. PROCEDIMIENTO:

Se analizarán tres experimentos: la conducción de

corriente por un hilo conductor de micrón, la evaluación de

agua de un depósito y la actividad radiactiva del radón.

1. En la tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de

corriente eléctrica i conducida por un hilo

conductor de nicrón y la diferencia de potencial V

aplicada entre sus extremos.

2. La tabla 2 muestra las medidas del tiempo de

vaciado (t) de un depósito con agua y las medidas

de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves

de salida de diferentes diámetros (D).

3. La tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas

de la actividad radiactiva del radón. El día cero se

detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.

VII. CUESTIONARIO:

2. Hallar las fórmulas experimentales:

a) Obtenga las fórmulas experimentales usando el

método de regresión lineal para las gráficas

obtenidas en los casos a), d), e) y f).

Caso a)

xi yi xi yi xi2

0.5 2.18 1.09 0.25

1.0 4.36 4.36 1.0

2.0 8.72 17.44 4.0

4.0 17.44 69.76 16.0

∑ 𝑋𝑖 = 7.5 ∑ 𝑌𝑖

= 32.7

∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖

= 92.65

∑ 𝑋𝑖2

= 21.25

m = 4(92.65)− (7.5)(32.7)

4(21.25)− (7.5)2 = 125.35

28.75 = 4.36

b = (21.25)(32.7)− (7.5)(92.65)

4(21.25)− (7.5)2 = 0

28.75 = 0

Y = mx + b

Y = 4.36x

Caso d)

Para h = 30 cm

m = 5(2.4264)− (2.4983)(6.0806)

5(1.552)− (2.4983)2 = −3.059

1.5185 = -2.0145

b = (1.552)(6.0806)− (2.4983)(2.4264)

5(1.552)− (2.4983)2 =

3.3752

1.5185 = 2.227

10b = 168.655

Y = 168.655x- 2.0145

Para h = 20 cm

xi yi log xi log yi logxi logyi (log xi)2

1.5 73.0 0.1761 1.8633 0.3281 0.3010

2.0 41.2 0.3010 1.6149 0.4861 0.0906

3.0 18.4 0.4771 1.2648 0.6034 0.2276

5.0 6.8 0.69897 0.8325 0.5819 0.4886

7.0 3.2 0.8451 0.5051 0.4269 0.7142

∑ = 2.4 983 ∑ = 6.0806 ∑ = 2.4264 ∑ = 1.552

xi yi log xi log yi logxi logyi (log xi)2

1.5 59.9 0.1761 1.7774 0.3130 0.3010

2.0 33.7 0.3010 1.5276 0.4598 0.0906

3.0 14.9 0.4771 1.1732 0.5597 0.2276

5.0 5.3 0.69897 0.7243 0.5063 0.4886

7.0 2.7 0.8451 0.4314 0.3646 0.7142

∑ = 2.4 983 ∑ = 5.6339 ∑ = 2.2034 ∑ = 1.552

m = 5(2.2034)− (2.4983)(5.6339)

5(1.552)− (2.4983)2 = −3.0582

1.5185 = - 2.01396

b = (1.552)(5.6339)− (2.4983)(2.2034)

5(1.552)− (2.4983)2 = 3.239

1.5185 = 2.133

10b = 135.8313

Y = 135.8313x- 2.01396

Para h = 10 cm

xi yi log xi log yi logxi logyi (log xi)2

1.5 43.0 0.1761 1.6335 0.2877 0.3010

2.0 23.7 0.3010 1.3747 0.4138 0.0906

3.0 10.5 0.4771 1.0212 0.4872 0.2276

5.0 3.9 0.69897 0.5911 0.4132 0.4886

7.0 2.0 0.8451 0.3010 0.2544 0.7142

∑ = 2.4 983 ∑ = 4.9215 ∑ = 1.8563 ∑ = 1.552

m = 5(1.8563)− (2.4983)(4.9215)

5(1.552)− (2.4983)2 = −3.0139

1.5185 = - 1.9848

b = (1.552)(4.9215)− (2.4983)(1.8563)

5(1.552)− (2.4983)2 = 3.0006

1.5185 = 1.9760

10b = 94.6237

Y = 94.6237x- 1.9848

Caso f)

Para h = 1 cm

xi yi log xi log yi logxi logyi (log xi)2

0.4444 13.5 - 0.3522 1.1303 - 0.3981 0.1240

0.25 7.8 - 0.6021 0.8921 - 0.5371 0.3625

0.1111 3.7 - 0.9543 0.5682 - 0.5422 0.9107

0.04 1.5 - 1.3979 0.1761 - 0.2462 1.9541

0.02 0.8 - 1.69897 -0.0969 - 0.1646 2.8865

∑ = −5. 0055 ∑ = 2.6698 ∑ = −1.559 ∑ = 6.2378

m = 5(−1.559)− (−5.0055)(2.6698)

5(6.2378)− (−5.0055)2 =

5.5687

6.13397 = 0.9078

b = (6.2378)(2.6698)− (−5.0055)(−1.559)

5(6.2378)− (−5.0055)2 =

8.8501

6.13397 = 1.4428

10b = 27.7

Y = 27.700.9078

b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las fórmulas

experimentales e indique el factor de correlación para todos las

gráficas obtenidas en los casos desde la a) hasta la h).

Caso a)

Y = 4.36x r = 1

Caso b) y d)

Para h=30 cm Y = 166.9654x-

2.0143

r = -0.9997

Para h=20 cm Y = 135.8455x-

2.0139

r = -0.99998

Para h=10 cm Y = 94.6428x-

1.9849

r = -0.99994

Para h=4 cm Y = 58.4211x-

1.9488

r = -0.99991

Para h=1 cm Y = 27.9005x-

1.8245

r = -0.99993

Caso c) y e)

Para D=1.5 cm Y = 13.4934x0.4978 r = 0.99993

Para D=2 cm Y = 7.7163x0.4905 r = 0.99987

Para D=3 cm Y = 3.6241x0.4712 r = 0.9994

Para D=4 cm Y = 1.4582x0.4383 r = 0.9982

Para D=7 cm Y = 0.7748x0.4129 r = 0.9983

Caso f)

Para h=30 cm Y = 165.7728x1.0023 r = 0.99986

Para h=20 cm Y = 134.84099x1.0019 r = 0.99998

Para h=10 cm Y = 93.9498x0.9875 r = 0.99991

Para h=4 cm Y = 58.0087x0.9696 r = 0.99995

Para h=1 cm Y = 27.7139x0.9077 r = 0.99993

Caso g) y h)

Y = 100.08995e-0.1795 r = - 0.99949

c) Haciendo uso del MS EXCEL grafique y presente fórmulas

experimentales y el factor de correlación para todos los

casos desde la a) hasta la h) .

Caso a)

i (A) v (V)

0.5 2.18

1 4.36

2 8.72

4 17.44

Caso b)

y = 4,36x + 4E-1R² = 10

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5

Dif

ere

nci

a d

e

po

ten

cial

(v)

Intensidad de corriente (A)

v vs. i

0

20

40

60

80

0 2 4 6 8

Tiem

po

(s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =30 cm

t

D (cm) t (s)

1.5 73.0

2 41.2

3 18.4

5 6.8

7 3.2

D (cm) t (s)

1.5 59.9

2 33.7

3 14.9

5 5.3

7 2.7

D (cm) t (s)

1.5 43.0

2 23.7

3 10.5

5 3.9

7 2.0

0

50

100

0 2 4 6 8Tie

mp

o (

s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =20 cm

t

0

50

0 5 10

Tiem

po

(s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =10cm

t

Y = 135.85x-2.0139

R2 = 1

Y = 94.643x-1.9849

R2 = 0.9999

D (cm) t (s)

1.5 26.7

2 15.0

3 6.8

5 2.6

7 1.3

0

10

20

30

0 5 10

Tiem

po

(s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =4 cm

t

Y = 58.421x-1.9488

R2 = 0.9998

D (cm) t (s)

1.5 59.9

2 33.7

3 14.9

5 5.3

7 2.7

1

10

100

1 10

Tie

mp

o (

s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =30 cm

t

Y = 166.97x-2.0143

R2 = 0.9995

D (cm) t (s)

1.5 43.0

2 23.7

3 10.5

5 3.9

7 2.0

1

10

100

1 10

Tie

mp

o (

s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =20 cm

t

1

10

100

1 10

Tiem

po

(s)

Diámetro (cm)

t vs. D cuando h =10 cm

t

Y = 135.85x-2.0139

R2 = 1

Y = 94.643x-1.9849

R2 = 0.9999

D (cm) t (s)

1.5 26.7

2 15.0

3 6.8

5 2.6

7 1.3

Caso g)

t

(dia

s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

A

(%)

10

0

8

4

7

0

5

9

4

9

4

1

3

4

2

7

2

4

2

0

1

7

0

5

10

15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Tiem

po

(s)

Z

t vs. Z cuando h =1 cm

t

Y = 27.714x0.9077

R2 = 0.9999

Caso h)

t

(dia

s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0

A

(%)

10

0

8

4

7

0

5

9

4

9

4

1

3

4

2

7

2

4

2

0

1

7

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10

A (

%)

T (dias)

A vs. T

A

1

10

100

0 2 4 6 8 10

A (

%)

T (dias)

A vs. T

A

Y = 100.09e-0.1795x

R2 = 0.999

Y = 100.09e-0.1795x

R2 = 0.999

d) Compare sus resultados. ¿Cuál (es) de los métodos

de regresión le parece confiable?

RPTA:

El uso de EXCEL y de la calculadora científica

(CASIO fx-3650P SUPER - FX) son los métodos

más confiables porque permiten trabajar con

mayor facilidad las cifras decimales y así afinar

resultados, cosa que nos permite el método de

regresión lineal ya que el uso de cifras decimales

se hace tedioso e induce al error al aproximar

cifras.

4. Haga 𝒘 =√𝒉

𝒅𝟐 para las alturas y diámetros

correspondientes y complete la tabla.

𝑡(𝑤) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5

w 2.434 1.405 0.888 0.500 0.351 0.126 0.040

Para t = 73.0, h = 30, d = 1.5

𝑤1 =√30

1.52= 2.434

Para t = 43.0, h =10, d = 1.5

𝑤2 =√10

1.52= 1.405

Para t = 26.7, h = 4, d = 1.5

𝑤3 =√4

1.52= 0.888

Para t = 15.0, h = 4, d = 2.0

𝑤4 =√4

2.02= 0.500

Para t = 10.5 h = 10, d =3.0

𝑤5 =√10

3.02= 0.351

Para t = 3.9 h = 10, d = 5.0

𝑤6 =√10

5.02= 0.126

Para t = 1.5, h = 1, d = 5.0

𝑤7 =√1

5.02= 0.040

- Luego 𝑡 = 𝑚𝑤 + 𝑏

𝑚 =𝑝 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖

𝑝 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖)2

, 𝑏 =∑ 𝑥𝑖

2 ∑ 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑝 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖)2

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑥𝑖2

2.434 73.0 177.682 5.9243

1.405 43.0 60.415 1.9740

0.888 26.7 23.709 0.7885

0.500 15.0 7.500 0.2500

0.351 10.5 3.685 0.1232

0.126 3.9 0.491 0.0159

0.040 1.5 0.060 0.0016

∑ 𝑥𝑖=5.744 ∑ 𝑦𝑖=173.6 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖=273.542 ∑ 𝑥𝑖2=9.0775

P = número de mediciones = 7

𝑚 =7(273.542) − (5.744)(173.6)

7(9.0775) − (5.744)2= 30.0382

𝑏 =(9.0775)(173.6) − (5.744)(273.542)

7(9.0775) − (5.744)2= 0.1515

a) Calcular la formula t(h,d)

𝑡(𝑤) = 30.0382𝑤 + 0.1515

𝑡(ℎ, 𝑑) = 30.0382√ℎ

𝑑2+ 0.1515

b) Hallar t para h = 15 d = 6

𝑡(ℎ, 𝑑) = 30.0382√15

62+ 0.1515 = 3.3831

c) Hallar t para h = 40 d = 1

𝑡(ℎ, 𝑑) = 30.0382√40

12+ 0.1515 = 190.1298

VIII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

Como queda demostrado el uso de las gráficas es de

gran importancia establecer el comportamiento

fenómeno.

A través del método de regresión lineal y el método de

mínimos cuadrados es posible hacer el ajuste de las

curvas.

Si en la hoja milimetrada obtenemos una curva,

hacemos la gráfica en el papel logarítmico, si

obtenemos otra curva, repetimos la gráfica en la hoja

semilogarítmica donde nuestra curva a de convertirse

en una recta.

El uso correcto de las fórmulas para poder obtener las

ecuaciones de las graficas

IX. BIBLIOGRAFIA:

http://www.orlandonaranjo.com/papelmilimetrado

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Escalas_y_gr%

C3%A1ficas_logar%C3%ADtmicas

http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs-

306/contenido/lab3.html