Informationsmanagement in Organisationen I Wolfgang H. Janko / Stefan Koch Abteilung für Informationswirtschaft Wirtschaftsuniversität Wien.

Informationsmanagement in Organisationen I

Wolfgang H. Janko / Stefan Koch Abteilung für Informationswirtschaft

Wirtschaftsuniversität Wien

IV. Investitionsrechnung für IT-Projekte

Informationsmanagement I SS 2003Seite 3

• Einleitung• Kosten von Informationssystemen• Nutzen / Wert von Informationssystemen

– Informationswertermittlung

– TSTS-Modell

– Hedonistisches Modell

• Investitionsentscheidung– unter Sicherheit

– unter Unsicherheit

Inhalt


• IT-Projekte sind Projekte und mit Kosten verbunden• stellen damit für das Unternehmen eine Mittelverwendung dar• in Konkurrenz mit anderen Projekten (Errichtung neuer

Fabrik, Marketing,...)• Unternehmen muss entscheiden, wo Ressourcen investiert

werden• daher: Investitionsentscheidung aufgrund von Einzahlungs-

und Auszahlungsströmen (nicht immer so klar wie bei anderen Projekten, daher spezielle Methoden zur Abschätzung)

Einleitung


• Kosten - diverse Aspekte bzw. Bestandteile– Anschaffungskosten (bei Fremdbezug)

– Erstellungskosten (bei Individualentwicklung) - Softwareprojektkostenschätzung (COCOMO, Function Point,... - Informationsmanagement II)

– Einführungskosten (Personal, Altdatenübernahme,...)

– Hardwarekosten, Wartungskosten

– verminderte Leistung in Einlernphase

– späterer Umstieg auf anderes System: Switching Costs

– ...

– Gesamtkosten über Lebensdauer: Total Cost of Ownership

Kosten


• ebenfalls diverse Aspekte bzw. Bestandteile - teilweise Methoden zur Abschätzung (auch im Einsatz schwierig)– „bessere“ Information - direkte Informationswertermittlung

– Freisetzung von Personalresourcen - TSTS-Modell

– Änderung von Arbeitsanteilen - hedonistisches Modell

– Verbesserung der Wettbewerbsposition (besserer Service,...) - Modell der Wettbewerbskräfte nach Porter (kaum quantifizierbar)

– weniger Resourceneinsatz aufgrund Geschwindigkeit, Qualitätsverbesserungen,... - Benchmarking, Simulation

– ...

Nutzen


• Exkurs: Grundmodell der Entscheidungstheorie (I)– Menge von Handlungsalternativen

– Menge von Umweltzuständen (gegenseitig ausschliessend)

– Konsequenz der Entscheidung hängt ab von gewählter Alternative und eintretendem Umweltzustand

– jeder Konsequenz kann ein Nutzenindex (Wert) zugeordnet werden

– zumindest subjektive Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Umweltzustände sind bekannt

– Entscheidungsregeln (Erwartungswert, Dominanz, geringste Verluste,... - Einstellung zu Risiko)

Informationswertermittlung


• Exkurs: Grundmodell der Entscheidungstheorie (II)

– Matrix

Zust. A(0.2)

Alternative 1 5

3Alternative 2

Alternative 3 4

7

5

5

2 3

5 6

3 6

Zust. B(0.3)

Zust. C(0.4)

Zust. D(0.1)

Konsequenz

Eintrittswahrscheinlichkeit



• Direkte Informationswertermittlung– Ausgangspunkt: Grundmodell der Entscheidungstheorie

– Wert perfekter Information

– Unterschied zwischen bestem Erwartungswert und dem Wert, der resultiert, wenn bei jedem Umweltzustand die beste Alternative gewählt wird

– Bsp.:

E(A1) = 4.2, E(A2) = 4.7, E(A3) = 4.1 --> gewählt A2

ZA-->A1(5), ZB-->A1(7), ZC-->A2(5), ZD-->A2/3(6)

--> Erwartungswert=5.7

Wert perfekter Information = 5.7 - 4.7 = 1



– Wert partieller Information

– Informationssystem: Menge von Nachrichten über das Eintreffen von Umweltzuständen sowie Struktur (Wahrscheinlichkeiten, daß eine gewisse Nachricht bei einem vorherrschenden Umweltzustand empfangen wird)

– a priori Wahrscheinlichkeiten für Umweltzustände gegeben (z.B. subjektiv abschätzbar)

– dann können mittels Bayes‘schem Theorem die (bedingten) Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Zustandes, wenn eine Nachricht empfangen wird, berechnet werden



– daher können mit Hilfe des Informationssystems bessere Entscheidungen getroffen werden

– Unterschied zu normalem Nutzen (Erwartungswert) wird berechnet (für alle Nachrichten und Handlungen)

– Erwartungswert partieller Information - Wert des Informationssystems

– immer nichtnegativ, jedoch praktisch schwierig einsetzbar

– weitere mögliche Auswirkungen von mehr Information: mehr Handlungsalternativen, bessere Einschätzung der Konsequenzen

– Frage bei Kosten von Informationsbeschaffung: Wann soll der Abbruch der Informationsbeschaffung erfolgen (z.B. Surfen)?



• TSTS-Modell– Time savings times salary

– nur zur Bewertung von Freisetzungen

– erfolgt durch die entsprechenden Lohnanteile

– z.B. Zeiteinsparung beträgt 5% durch neues IS, daher können 5% freigesetzt werden, ergibt 10 Personen, mal deren Gehalt ergibt X EUR

TSTS-Modell


Ursprung: Name von Court (Hedonic price index with automotive examples, 1939)

Grundidee: Supermarkt hat 5 Güter und 5 Einkaufskörbe; jeder Korb hat alle Güter in unterschiedlicher Anzahl

Supermarkt verkauft nur die Körbe!

Um die Preise der einzelnen Güter mit einem anderen Supermarkt vergleichen zu können, der dasselbe tut, genügt es, bei eindeutigen Preisen ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Hedonistisches Modell


Allgemein:

Preis eines Bündels hängt von den darin enthaltenen Gütern ab (bzw. analog Preis eines Gutes von seinen Merkmalsausprägungen).

Interessant: ‚Charakteristische‘ oder ‚hedonistische‘ Preise der einzelnen Merkmale (können nicht direkt beobachtet werden).

Erste Untersuchungen: • Spargel (Zoll an grüner Farbe, Anzahl Stangen je Paket

und durchschnittliche Dicke)• Autos (Gewicht, Länge, Motorleistung)



Frage die somit beantwortet werden kann:

Was trägt ein Bestandteil des Produktes zu dessen Preis bei (was bezahlen Kunden dafür)?

Damit möglich:

Wie viel würden Kunden für ein neues Produkt mit einer anderen Kombination von Merkmalen zahlen?

Wie ändern sich Preise für Produkte über die Zeit, wenn sich gleichzeitig die Merkmale ändern (Preisindizes)?



Fall 1: Hedonistisches Modell in der Bewertung von

Automatisierungsvorteilen

Fall 2: Hedonistisches Modell in der Bewertung von

Netzwerkexternalitätseffekten, Soft- und Hard-

wareattributen und Preisindizes für Hard- und

Software.

Anwendungen in der Informationswirtschaft


Chow‘s Hardwareuntersuchung (1967)

• MULT=*-Zeit, MEM=Anzahl der Bits, ACC=Durchschn. Zugriffszeit auf Hauptspeicher, D1-5=Jahr (1961, 1962,...)

• ln(Pi)=a0+a1*D1+a2*D2+..a5*D5+b1*MULT+b2*MEM+b3*ACC+eps

• Resultat: a0=-0.1045,a1=-0.1398,a2=-0.4891,a5=-1.163, b1=-0.0654, b2=0.5793, b3=-0.1406

• Preisänderung daher 1961 0.8695(=exp(-0.1398)),..., 1965 0.3125

• Durchschnittliche um Qualitätsveränderungen bereinigte Preisänderungen: -20.8 % (=(1-sqrt5(0.3125))*100)


• zur Bewertung von Informationssystemen anhand der Veränderung der Tätigkeitsprofile von betroffenen Mitarbeitern

• Idee: durch IS ändern sich die Tätigkeiten (mehr Zeit für ‚sinnvolle‘ Tätigkeiten, weniger Warten, Verwalten,...)

• sieht Arbeit eines MA (mit Preis = Lohn) als Bündel aus Einzel-Tätigkeiten

Bewertung von Automatisierungsvorteilen


• Schritt 1: Erhebung der Tätigkeitsprofile der verschiedenen Gruppen (werden anhand gleichartiger Tätigkeitsprofile gebildet) mit Zeitanteilen für einzelne Tätigkeiten

• z.B. Univ.-Prof.: Management 39%, Spezialistentätigkeit 36%,...

• Erhebungsmethoden analog zur Prozessanalyse (Fragebogen, Selbstaufschreibung, Multi-Moment-Verfahren,...)

• ‚Preis‘ des Tätigkeitsprofiles = Lohn des MA



• gesucht: hedonistischer Preis für jede Tätigkeitsgruppe (= Wert der reinen Tätigkeit)

• Schritt 2: Gleichungssystem für jede Gruppe aus Zeitanteilen und Lohn:A: 0.39a + 0.36b + 0.10c + 0.03d + 0.12e = 70 000

B: 0.10a + 0.40b + 0.26c + 0.12d + 0.12e = 50 000

C: 0.02a + 0.20b + 0.43c + 0.23d + 0.12e = 35 000

D: 0.00a + 0.00b + 0.18c + 0.70d + 0.12e = 20 000

E: 0.00a + 0.00b + 0.00c + 0.00d + 1.00e = 0

--> a=102 961, b=72 298, c=32 190, d=20 312, e=0



• Schritt 3: Voraussage der zukünftigen Tätigkeitsprofile• Probleme Einlernzeit,... berücksichtigen• Schritt 4: Bewertung der neuen Profile mit den

hedonistischen Preisen:

z.B.: C‘: 0.05*102961 + 0.30*72298 + 0.50*32190 + 0.03*20312 + 0.12*0 = 43 542

• Schritt 5: Vergleich mit vorherigem Wert (35 000) ergibt die Änderung des Wertes der Arbeit des MA durch die Einführung des IS = Wert des IS (Summe über alle MA)



• Annahmen: – ausreichende Aufgaben

– Mitarbeiter können andere Tätigkeiten wahrnehmen

– Beschäftigtenklassen vorhanden

– wirtschaftlicher Personaleinsatz

– Motivation der Mitarbeiter



• Wenn alle Einzahlungs- und Auszahlungsströme bekannt sind, muss eine Entscheidung getroffen werden

• normalerweise sind die Ressourcen einer Organisation begrenzt

• daher oftmals Entscheidung zwischen verschiedenen Alternativen (nicht nur IT-Projekten)

• Möglichkeit zum Vergleich daher notwendig - monetäre Quantifizierung

Investitionsentscheidung


• Investitionsrechnung– unter Sicherheit vs. unter Unsicherheit

• Investitionsrechnung– statische Verfahren

• Zahlungszeitpunkte werden nicht berücksichtigt

• Kosten-, Gewinn-, Rentabilitäts-, Amortisationsvergleichrechnung

– dynamische Verfahren

• Auf- bzw. Abzinsungen der Zahlungen

• Kapitalwert-, Interne Zinsfuß-, Annuitäten-Methode, Optionen

Investitionsentscheidung


,


Warum kann man Investitionsentscheidungen unabhängig von den Investoren treffen?

Abnehmender Grenznutzen

1-Perioden-Modell

Investitionsentscheidungen unterSicherheit


Abb.2

2-Perioden-Modell


‚

= Substitutionsrate des heutigen vs. zukünftigen Konsums


Investor hat Wohlstand y0 bzw. y1, möchte Teil c0 davon konsumieren, anderen Teil investieren

optimale Lösung B - Isonutzenkurve tangential zu „productive opportunity set“ der Investitionsmöglichkeiten

für jedes Individuum anders

Robinson-Crusoe-Ökonomie:Keine Möglichkeit intertemporären Konsumausgleichs zwischen Individuen.


A: Anfangszuwendung

D: Aufgabe C0 für C1 zur Maximierung des subj. Nutzens

C: Weitere Aufgabe von C0 für Produktion B + Leihen von Geld für C0

*und C1*

Bei Einführung eines Kapitalmarktes kann man Geld zu einem Zinssatz r leihen und borgen.

Optimale Investition ist damit immer B. Investoren können Unterschiede über Kapitalmarkt ausgleichen.



Folglich:

Trennung zwischen Eigentümer und Management möglich (trotz zwischen Eigentümern unterschiedlichen Präferenzen). Diese können Wohlstand über Kapitalmarkt an beliebige Zeitpunkte tranformieren.

Barwert als vernünftiges und stabiles Investitionskriterium. Management maximiert Wohlstand aller Eigentümer durch Annahme der Projekte mit Barwert > 0.

Problem: Agency-Problem (beheben z.B. Nebenleistungen in Aktien)


Maximierung des Wohlstands der Eigner W0 (= S0):

(Auszahlungen)S0 =t=0

Div t(1+ks)

t

ks = Ertrag von Anteilen am Markt (Opportunitätskosten des Kapitals)

d.h. Barwert der Erträge des Anteils (Aktie) ist ihr Marktwert (enthält alle Wertsteigerungen!) (ohne Steuer)


Für Investitionsrechnung gilt (keine Steuern):

Divt = Ertragt - (Löhne + Material + Dienstleistungen) -Investitionen

undErtg t – (L&M&D)t – It

S0 = (1+ks)t

t=0

= Discounted Cash Flow (DCF!) - Barwert

Also:

Maximiere Wohlstand der Eigner = Maximiere abgezinsten Cashflow!

Modelle für Investitionsentscheidungen = Capital budgeting techniques.


Anforderungen an Projektauswahlverfahren:

1) Cashflows sollten verwendet werden.

2) Cashflows sollten zu Opportunitätskosten diskontiert werden.

3) Entscheidungstechniken sollten aus einer Menge sich gegenseitig ausschließender Projekte wählen

4) Wertadditivitätsprinzip: Projekte sollten unabhängig voneinander betrachtet werden können; Wert des Unternehmens ist damit gleich der Summe der Barwerte seiner Projekte (V= Vj).


Wie werden Investitionsentscheidungenunabhängig von den Investoren getroffen?

Four Mutually Exclusive ProjectsCash Flows

Year A B C DPV Factorat 10 %

0 -1000 -1000 -1000 -1000 1.0001 100 0 100 200 .9092 900 0 200 300 .8263 100 300 300 500 .7514 -100 700 400 500 .6835 -400 1300 1250 600 .621

Amortisationsdauer: Projekt A, 2 Jahre; Projekt C, 4 Jahre Projekt B, 4 Jahre; Projekt D, 3 Jahre



Accounting Rate of Return

Buchhalterische Ertragsrechnung (ROI, RO Assets = ROA):

Zuflüsse sind „After Tax Profits“, nicht CFs.

Annahme Bsp.: Erträge sind nicht CF, sondern „After Tax Profits“!

1 Average after-tax profit -80

I0 ATPr.i = ARR = Initial outlay = 1000 = -8 %

-1000 + 100 + 900 + 100 – 100 – 400Projekt A:

5= -80

Project A, ARR = -8 % Project C, ARR = 25 %Project B, ARR = 26 % Project D, ARR = 22 %

Kritik: keine Verwendung von Cashflows, keine Diskontierung

i=1

N


Barwertverfahren (PV – Present Value)

(Cash Flow) x (PV Factor) = PV

-1000 1000 -1000.00100 .909 90.90900 .826 743.40100 751 75.10

-100 .683 -68.30-400 .621 -248.40

NPV = -407.30

NCFtNPV= (1+k)t - I0

=Barwert

Projekt A, NPV = -407.30; Projekt C, NPV = 530.85Projekt B, NPV = 510.70; Projekt D, NPV = 519.20Gegen Intuition: Bei negativem Barwert gilt: weniger Zins „erhöht“ negativen Wert. Bsp: 3 % 1 Mio. neg. Barwert; 10 % 1/2 Mio neg. Barwert.

Opportunitätskosten des Kapitals wurde gewählt!

N

i=1


Interner Zinsfuß (Internal Rate of Return) für Projekt C

YearCashFlow PV at 10 % PV at 20 % PV at 25 % PV at 22.8 %

0 -1000 1.000 -1000.00 1.000 -1000.00 1.000 -1000.00 1.000 -1000.00

1 100 .909 90.90 8.33 83.33 .800 80.00 .814 81.40

2 200 .826 165.20 .694 138.80 .640 128.00 .663 132.60

3 300 .751 225.30 .579 173.70 .512 153.60 .540 162.00

4 400 .683 273.20 .482 192.80 .410 163.84 .440 176.00

5 1250 .621 776.25 .402 502.50 .328 410.00 .358 447.50

530.85 91.13 -64.56 -.50

NCFtNPV = 0 = (1+IRR)t -I0

t=1

N



Barwert und interner Zinssatz


Kritik: interner Zins

a) diskontiert nicht zu den Opportunitätskosten des Kapitals

b) nimmt implizit an, der Zeitwert des Geldes sei gleich; Reinvestitionsratenannahme (Verletzt somit auch Fishers Separation Theorem)

c) Es kann gezeigt werden, daß Wertadditivitätsprinzip verletzt wird (Prinzip: Wert des Ganzen ist gleich Summe der Teile).

d) Mehrfacher Interner Zinsfuß möglich (rechnerisch).

Folge: DCF ist das einzig vertretbare Verfahren zur Wahl von Projekten zur Maximierung des Wohlstands des Eigners.


St. Petersburg Paradoxon:

Münzwurf:

Wenn das 1.Mal Wappen nach N Würfen auftritt, dann wird 2N bezahlt.

Erwarteter Wert: 2i = 1+1+....

Ergebnis: Das Spiel ist seinen Erwartungswert nicht wert!

LÖSUNG:

Individuen interessiert nicht der Geldwert, es interessiert der subjektive Nutzen des Geldwertes:

Grenzertrag von Geldeinkommen nimmt mit Zunahme des Einkommens ab! Zudem wird für Unsicherheit Risikoprämie erwartet.

12i

{i}

Investitionsentscheidungen unterUnsicherheit


Erwarteter Nutzen:

Nutzen des Geldeinkommens x für Individuum U(x) = log2 (x)

Erwarteter Nutzen: 1 1 . i2i U(2i) =

2i = 2{i} {i}

Hypothese:

Individuen wählen in Unsicherheit nach erwartetem Nutzen.

Individuen verwenden Bayes Entscheidungsregel!

Unter den Voraussetzungen des v.Neumann-Morgenstern-Axiomensystems kann man eine Nutzenfunktion u: W R1

konstruieren, die effizienter verwendbar ist als ein ordinaler Nutzenindex (kardinal).


AXIOMENSYSTEM von v.Neumann - Morgenstern

N1. Auf der Menge der Lotterien W existiert eine schwache Präferenzrelation < , es sei < die zur Relation < gehörige

strikte Präferenz.

N2. Es seien P, Q, R Lotterien und 0<1, dann gilt

P < Q P + (1- )R < Q + (1- )R

N3. P,Q,R seien Lotterien und P<Q<R, dann gibt es Zahlen , mit 0< <1 und 0< <1 , so daß gilt:

P + (1- )R <Q< P + (1- )R.

~~


Damit konstruierbare Nutzenfunktion: Erwartungsnutzen

Definition: Eine Funktion U:W R1 heißt Erwartungsnutzen, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

A) Ordnungstreue (Monotonie):

P< Q U(P) U(Q)

B) Linearität:

U(1P1+ 2P2+...+ KPK)

= 1U(P1) + 2U(P2)+...+ KU(PK)

C) Eindeutigkeit bis auf positiv-lineare Transformationen:

seien u,v zwei Funktionen, welche A) und B) erfüllen,

dann gilt: U(P) = AV (P) + B mit A >0

~


Hauptsatz der kardinalen Nutzentheorie

Auf einer Menge von Lotterien W, welche

1. die Axiome von v.Neumann - Morgenstern erfüllen und

2. in der es mindestens ein paar P, Q mit P< Q gibt

existiert ein Erwartungsnutzen.

Ergebnis: u(P) = E(u(x)) für (P Є W)


Beispiel: x1 x2

P =

p 1-p

Zwei Zufallsvariable: u(x) (Nutzen u(xi) mit Wahrscheinl. pi)

x (Geldbetrag xi mit Wahrscheinl. pi)

Nach Hauptsatz gilt: u(P) = p u(x1) + (1-p) u(x2) (=E(u(x)))

Meist gilt zudem u(P) E(x) außer wenn u(x) linear

Problem des Sicherheitsäquivalents:

Finde einen Wert ξ derart, dass z.B. (Zweipunktverteilung) gilt:

u(ξ) = u(P) = p(u(x1)) + (1-p)u(x2) (P Є W)

= E(u(x)) u-1(E(u(x)) = ξ


Bsp: konvexe Nutzenfunktion (Risikofreudigkeit)u(x) = x²/10 : Fixpunkte u(x) : x = 0

x = 10Ermittle für u(x) das Sicherheitsäquivalent von Lotterie:

u(x2)-u(x1)

Also: ξ > E(x)

½

½

ξ 15,8113....


p

1-p

u(x2)-u(x1) Also: ξ < E(x)

ξ



Kardinale Nutzenfunktion ist unter gewissen rationalen Voraussetzungen aus Präferenzrelation bildbar.

Bsp.: a b 1-

Risikoprämie: Maximum an Wohlstand, den ein Individuum aufgeben würde, um Risiko zu vermeiden.

Wahrscheinlichkeit


E(R) = µ

σRσ

Indifferenzkurven für einen risiko-aversen Investor


Problem: Wie sollen Investitionsbeträge investiert werden? (In jedes mögliche Projekt)

Markowitz Ansatz:

Betrachte Trade-off von Risiko und Ertrag

Risiko: Fast immer mit Varianz-Modell.

Hauptidee: Ertrag von Investition ist Zufallsvariable

Wie investiert man:

Investiere alles in das Projekt mit höchstem E(W) erwartetem Ertrag.

Investoren machen das nicht, da risikoavers.

Diversifikation reduziert Risiko - Projektportfeuille!


Portfolio P aus 2 partiell durchführbaren Investitionen (X,Y) mit Ertrag (R):

RP = aX + bY mit b = 1-a

E(RP) = a E(x) + b E(Y)

² (RP) = a²²x + b²²y + 2ab xy ...Kovarianz

Negative Kovarianz:

Gewinn in X Verlust in Y

Investition partiell „gehedged“ geringeres Risiko

Ertrag = Linearkombination / Risiko geringer


Wahrschein-lichkeit

Xi Yi

0.2 11 % -3 %

0.2 9 % 15 %

0.2 25 % 2 %

0.2 7 % 20 %

0.2 -2 % 6 %

E(X) = 10 %

E(Y) = 8 %

²x = 0,0076

²y = 0,00708

xy = -0,0024

ρxy = -0,33 = xy / x y

(Korrelation)

Beispiel:


²RP = a² ²x + (1-a)² ²y + 2a (1-a) ρxy x y

d RP²y - ρxy x y

da= 0 a* = ²x +²y – 2 ρxy

x y

Mean and Standard Deviation of ReturnsPercentage inX

Percentage inY

E(RP) (RP)

100 0 10,0 % 8,72 %

75 25 9.5 6.18

50 50 9.0 4.97

25 75 8.5 5.96

0 100 8.0 8.41

=Optimum


The portfolio return mean and standard deviation as a function of the percentage invested in risky asset X.

in % in %


Minimum Varianz Portfolio

²Rρ = a² ²x + (1-a) ²y + 2a (1-a) ρxy x y

d Rρ²

da = 2a ²x - 2²y + 2a²y + 2 ρxy x y – 4a ρxy

x y = 0

Minimale Varianz durch:

²y - ρxy x y

a* = ²x +²y – 2 ρxy

x y

Bsp: a* = 0,487

Optimales Portfolio: E(Rp) = 8,974 %

Rp = 4,956 %


Perfekte Korrelation

Securtiy ReturnsProbability X Y.2 -1.408 % -3 %.2 17.258 15.2 3.777 2.2 22.443 20.2 7.925 6

X = 1,037Y + 1,703

ρxy = 1

ρ = -1

a* = 0,49...

E(Rpa*) = 8,98.. %

(Rpa*) = 0 %


MINIMUM VARIANCE OPPORTUNITY SET

Ort aller Risiko-Ertrags-Kombinationen von Portfeuilles risikoreicher Anlagen die minimale Varianz für gegebenen Ertrag R aufweisen.

Bei unterschiedlichen Korrelationen sieht das Minimum

Variance Opportunity Set anders aus (gezeigt 1, -0.1, -0.33, -1).

ρxy=-0,33ρxy= -0,1

ρxy= 1

ρ xy=-1


Wahl des optimalen Portfeuilles

2 risikoreiche Anlagen

• Robinson-Crusoe-Fall: keine Tauschmöglichkeit

• Robinson-Crusoe-Portfeuille:

Subjektive Grenzrate der Substitution von Risiko+Ertrag =

Objektive Grenzrate der Transformation

(M-Var.-Opt. Set) und Risiko + Ertrag

E(Rp) E(Rp)MRS (Rp) = MRT (Rp)


Optimale Portfolio-Wahl für einen risiko-aversen Investor und zwei risiko-reiche Assets.

E(Rρ)

MR

S=M

RT

Rρ


Problem: Auch bei homogenen Erwartungen verschiedene opt. Portfeuilles wegen individueller Nutzenfunktion (MRS).

E(Rρ)

Rρ

E(R) of MIN Effiziente Menge:Nicht dominierte Portfeuilles

MIN (R)


Risikofreier Zinssatz

Was bedeutet die Verfügbarkeit eines risiko-freien Zinssatzes?

Risk free asset = one with a certain return

Unternehmen haben ein Bankrott (default) Risiko, daher sind treasury securities zu betrachten.

Für eine 1-Jahr Halte-Periode:

- 10-Jahr T-note hat Zinsrisiko

- 90-Tage T-bill hat Re-Investitions Risiko

Daher ist die einzige risiko-freie Asset eine treasury security mit maturity gleich der Länge der Halte-Periode des Investors.

(Anmerkung: - keine Coupons (Re-Investitions Risiko)

- immer noch Inflationsrisiko)


Effiziente Menge mit einer Investition mit Risiko und einer risikofreien Anlage Rf

Rƒ hat Varianz Ø.

Es gilt dann:

E(Rp) = a E(X) + (1-a) Rƒ

² (Rp) = a² x²

E(Rp)

E(X)

Rƒ

Borrowing =Leerverkauf der risikofreien An-lage

0 α 1

a > 1

(X)(Rp)

Lending


=


Eine risikofreie und n Anlagen mit Risiko

Rƒ

B ungünstiger als M


Einführung von vollkommenem Kapitalmarkt : Wirkung

E(Rm) – RƒMRSi = MRSj= (Rm)= MRT

Jeder Investor ist mindestens ebenso gut (II) wenn nicht besser dran.


Marginal Rate of Substitution =Marginal Rate of Transformation

Two-fund separation. Jeder Investor hat ein Nutzen-maximierendes Portfolio, das eine Kombination aus risiko-freiem Asset und einem Portfolio (oder Fund) von risiko-behafteten Assets ist, die durch die Linie von der risiko-freien Zinsrate tangential zur effizienten Menge der risiko-behafteten Assets für den Investor bestimmt wird. (Tobin)

Capital market line (CML). Wenn die Investoren homogene Erwartungen haben, dann haben alle die selbe lineare effiziente Menge (genannt Capital Market Line).

E(Rm) – RƒE(Rp) = Rƒ + (Rm) (Rp)

Jedes opt. Portfeuille P liegt dort mit dem Ertrag E(Rp)


CAPM(Capital Asset Pricing Model)

CAPM ist die intellektuelle Basis für den Grossteil der momentanen Investment Industrie.

Markowitz - Wie soll ein Investor investieren? (normativ)

CAPM - Was wird passieren, wenn jeder auf diese Weise investiert?


Annahmen:

1) Investors are Markowitz efficient diversifiers who delineate and seek the efficient frontier

a) they look at expected returns and variances

b) they are never satiated

c) they are risk averse

d) assets are infinitely divisible

e) taxes and transaction costs are irrelevant

f) there is a risk free rate at which an investor may either borrow or lend


2) All investors have the same one-period horizon

3) Risk free rate is the same for all investors

4) Information is freely and instantly available

5) Investors have homogeneous expectations

Welche Preise entstehen für die Assets unter diesen Annahmen, wenn man weiters annimmt, daß die Märkte im Gleichgewicht sind?

Genauer, was ist die Gleichgewichtsbeziehung zwischen Risiko und Ertrag einer Anlage?


Folgerungen aus den CAPM Annahmen:

Alle Investoren werden das gleiche tangentiale Portfolio wählen.

Folgt aus dem separation theorem und der Annahme vonthe �homogenen Erwartungen.

E (Rp)

p

rƒ

M


Was ist M?

1) Jede Anlage muss repräsentiert sein (wenn niemand Anlage T kaufen würde, würde der Preis fallen und damit die erwartete Rendite steigen)

2) Die Anzahl der nachgefragten Anteile jeder Anlage wird gliehc zur ausstehenden Menge sein, die Proportion jeder Anlage gibt dann ihren relativen Marktwert an.

w(A) = market value of asset A / total market value of all assets

(market value = market clearing price; im Gleichgewicht)

Wenn jeder weniger als w(A) halten würde, wären Anteile ausstehend Preis würde sinken

Wenn jeder mehr als w(A) wollen würde, würden Anteile fehlen Preis würde steigen


Daher ist M das Marktportfolio!

Beispiel:

S&P500 Index (gewichtetes Mittel der Marktpreise von 500 grossen Aktien; Stellvertreter für das Aktiensegment des Marktportfolios), auch verwendet: NYSE-Index

Auswirkungen auf CAPM:

Da jeder Investor das Marktportfolio hält (zusätzlich zu Kreditaufnahme/vergabe zum risikofreien Zinssatz), sind alle vom Risiko des Marktportfolios betroffen.

Was ist das relevante Maß für das Risiko einer Anlage?

- nicht die Standardabweichung

- sondern die Kovarianz mit dem Marktportfolio

Um das zu sehen, wird die Varianz des Marktportfolios berechnet.


NOTATION:

M= w1A1 + w2A2 + ... + wNAN

Ai = die i-te Anlage

ri = Ertrag der i-ten Anlage

i,j = COV(ri,rj)

LEMMA:

Die Kovarianz einer Anlage mit einer gewichteten Summe von anderenist die gewichtete Summe der Kovarianzen mit jeder.

COV(ri,rM) = COV (ri, wjrj) = wjCOV(ri,rj)

oder ²M = WW = W (W)

= wi iM


Folglich ist das das Risiko des Marktportfolios die gewichtete Summe der Kovarianzen jeder Anlage mit dem Marktportfolio.

Wenn man diese Kovarianzen mit der Varianz von M normalisiert, dann erhält man die Definition von Beta.

βi = σiM / σM²

Das relevante Maß für das Risiko einer Anlage in CAPM.

Für i = M gilt: βM = 1

BETA


CAPITAL ASSET PRICING MODEL:

E (ri) = rf + (E(rM) - rf) βi

wobei

βi = COV (ri, rM) / σM²

Daher ist die erwartete Rendite einer Anlage positiv und linear abhängig von seinem Beta.


SML:

(Security Market Line)

Jede Anlage liegt auf dieser

Linie (auch jene, die nicht im

Portfolio des eff. Randes liegen)

z.B. AI

CML:

(Capital Market Line)

M

AIrƒ

rM

SML

β

rp

E (rM)

rƒ

σMσp

Anstieg =

E (rM) - rƒ

σM

AI

M


CAPM bezieht sich sowohl auf aktives als auch passives Portfolio Management.

passiv: S&P500 kaufen, und Treasuries

aktiv: (=tactical asset allocation = market timing)

Preise von Assets vorhersagen, wenn eine Über- oder Unterbewertung vorliegt, entsprechend kaufen/verkaufen

Schätzung mit lin. Regression: j

E(rj) = aj + j RM + j (= unkorrelierte Zufallsvariable)

σ²j= ² σ²m+ σ² = system.Risiko + unsyst.Risiko

rf

E(r)

B=3%

A=4%


Table 7.2 Rates of Return and Betas for Selected Companies, 1945-1970

AverageAnnualReturn

StandardDeviation

Beta

City Investing Co. 17.4 % 11,09 % 1.67

Radio Corporation of America 11.4 8.30 1.35Chrysler Corporation 7.0 7.73 1.21Continental Steel Co. 11.9 7.50 1.12100-stock portfolio 10.9 4.45 1.11NYSE index 8.3 3.73 1.00Swift and Co. 5.7 5.89 .81Bayside Cigar 5.4 7.26 .71American Snuff 6.5 4.77 .54Homestake Mining Co. 4.0 6.55 .24

From F.Modigliani and G.Pogue, „An Introduction to Risk and Return“,reprinted from Financial Analysts Journal, March-April 1974,71.


Weiterentwicklung:

Arbitrage Pricing Theory = APT (Ross 1976)

statt

1-Faktor Modell (CAPM)

Faktor = rM = Ertrag des Marktportfolio

n-Faktoren Modell


ARBITRAGE

Eine Bewertungsmethode

Gesetz eines Preises: Eine Anlage kann nur einen Preis haben

Arbitrage = risiko-freier Profit aufgrund von Preisunterschieden

Die Hypothese von Arbitragefreiheit erlaubt die Bewertung von Derivativen.

Beispiel: Future-Kontrakt auf eine Anlage ohne Dividenden

Wie viel ist er wert?F* = Fair Price F0 = Futures price nowS0 = Stock price now FT = Futures price at expirationST = Stock price at expiration r = riskless rate

F* = S0 (1 + r)

Die Antwort hat nichts mit Erwartungen zu tun!


Futurespreis muß gleich F* = S0 (1+r) sein, sonst risikoloser Gewinn!

Grund: Falls F0 > S0 (1+r)

Futures verkaufen; hedging nötig

S0 GE borgen und Anlage kaufen

Am Ende liquidieren:

Futures: F0 - FT

Anlage: ST - S0 (1+r)

Aber FT = ST

(F0 - FT ) + (ST - S0 (1+r)) = F0 - S0 (1+r) >0

Risiko-freier Profit!

Ergebnis: Verkäufe von Futures werden den Preis senken, bis Arbitrage verschwindet. Analog bei F0 < S0 (1+r).


Hauptargument:

Arbitrage-Möglichkeiten können nicht bestehen bleiben - Arbitrageure sind wie Polizisten die das Gesetz des einen Preises durchsetzen.

Annahmen:

Short selling möglich

Keine Transaktionskosten

Borgen und leihen zur selben Zinsrate möglich

Zudem leicht vereinfacht:

1) In der Industrie werden koninuierliche Modelle verwendet:

F* = S0 ert

2) Cash Flows möglich

F* = (S0 - I) ert I = present value of cash flows

3) Dividenden möglich

F* = S0exp[(r-d)T]


OPTIONEN (Aktien)

Kaufoption (CALL): Vertrag, der erlaubt, eine Aktie der Gesellschaft zu einem festen Preis (Ausübungspreis) zu einem gewissen Zeitpunkt (oder innerhalb einer gewissen Frist) zu kaufen.

Verkaufoptionen (PUT): Erlauben Inhaber des Vertrages zu späterem Zeitpunkt (oder innerhalb einer Frist) zu festem Preis zu verkaufen.

Sie können:

1) gekauft oder

2) verkauft werden


S = $ 20.00 = Aktienpreis,

q = .5 = Wahrscheinlichkeit für Steigen des Aktienpreises,

1+rƒ = 1.1 = 1 plus risiko-freie Zinsrate,

u = 1.2 = die multiplikative Aufwärtsbewegung des Aktienpreises

(u > 1 + rƒ > 1),

d = .67 = die multiplikative Abwärtsbewegung des Aktienpreises

(d < 1 < 1 + rƒ )

Europäische Kaufoption in einer „alternativen“ Welt.


uS = 24

dS = 13,40

X = 21.--

Wert der Option c?


Konstruktion eines risikofreien sicheren Endvermögens:

Ausgangspunkt:

Wir

kaufen 1 Aktie um S und

verkaufen m Kaufoptionen um cm.

Nach einer Periode soll gelten (=egal ob rauf oder runter):

uS - mcu = dS - mcd

d.h. es muß gelten: S (u - d)

m =cu - cd


20 (1,2-0,67)m =

3 - 0= 3,53

Umweltzustand Portf. VermögenSteigen uS-mcu = 13,40Fallen dS-mcd = 13,40

in unserem Beispiel gilt:


Da das sichere Endvermögen risikolos war, muß gelten:

(1+rf) (S-mc) = uS - mcu oder:

S((1+rf)-u)+mcuc=m(1+rf)

S(u-d)Setzen wir m=

(cu-cd)ein, so erhält man:


(1+rf)-d u-(1+rf)für p=

u-dund 1-p=

u-derhält man:

1 (1+rf)-d u-(1+rf)c=

(1+rf)cu u-d

+cd u-d

C=(pcu + (1-p) cd) / (1+rf)

1.1-0.67Bsp: P=

1.2-0.67=0.8113 also:

c= (0.8113 x 3 + 0.1887 x 0) / 1.1 = 2.21..

(rf=0,1)


Es gilt: 0<p<1 und

p wird als Hedging-Wahrscheinlichkeit bezeichnet!


Wir behandeln dies wie eine Stichprobe aus alternativ verteilter Gesamtheit mit p; es gilt für T Perioden für die Option:

Cun d

T-n = max (0, un dT-n S-X)

Also:

T! 1C=

(T-n)! n! pn (1-p) T-n max (0, un dT-n S-X) (1+rf) T

T

n=0


Durch Umformung kann man schreiben:

c= S B(na / T,p´) - X(1+rf) -T B(na / Tp) mit

T T! B(na / T,p´) =

n=a (T-n)! n! (p‘)n . (1-p‘) T-n

und p= (1+rf) - d sowie p‘

= u

p u-d (1+rf)

und a = ln (X/Sd“) / ln (u/d)


Cox, Ross und Rubinstein (1979)

Es gilt mit n

B(na / T,p´) N (d1) und

B(na / T,p) N (d2)

d.h. mit n gilt die Black-Scholes-Formel (1973):

c = S N (d1) - Xe -rfT N (d2)

ln (S/X) + r Tmit d1 = T

+ ½ T

d2 = d1 - T


Gilt nicht für amerikanische Optionen!

Gilt für:

• Optionen auf Anleihen, Indexen

• Optionen auf Futures

• Optionen auf Zinssätze und Wechselkurse

• Optionen auf SWAPS

usw.

Aktien: Optionen hängen von einer zugrundeliegenden Zufallsvariablen ab: Vermögenswert = Aktie


Idee, Optionsbewertung auch für andere Underlying als Aktien einzusetzen. Call/Put-Option auf den Projektwert!

Optionen treten dann auf, wenn Flexibilität vorhanden ist.

Haben immer Wert >= 0.

Erste Anwendungen: Ölfelder (kaufe Ölfeld, muss aber nicht gleich bohren - je nach Preisentwicklung, Proben,... - erwerbe

also Option auf Bohrung, kann eingelöst werden oder nicht)

Reale Optionen sind durch Management zu sehen und damit zu schaffen, sie erhöhen den „Wert“ eines Projektes. Es wird nicht mehr Sturheit des Managements angenommen, es kann aktiv auf Umwelt reagieren.

Oftmals mehrere Optionen vorhanden (compound) - nicht einfach additiv.

Real Optionen


Probleme bei diesem Ansatz:

• Mangelnde Erfassbarkeit des Underlyings

• Mangelnde Erfassbarkeit der Unsicherheit des Underlyings

• Ineffizienter oder keine Handel des Underlyings

• Mangelnde Exklusivität (Spieltheorie notwendig!)


Barwertanalyse hat u.a. den Mangel der Nichtbeachtung strategischer Aspekte:

Beispiel:IT-Investition (2 Umweltzustände nach 1 Jahr)

Projekt nicht mit Geschäftsrisiko des Unternehmens selbst hoch korreliert, daher vergleichbares „Gut“ zu suchen, mit demselben Ertrag:

DM 200

DM 80

0.5

0.5

DM 118

S=DM 28

uS= 1.7857 x 28 = 50

dS= 0.7143 x 28 = 20

Strategische Aspekte und IT-Einsatz


0.5 x 50 + 0.5 x 20 3528 = 1 + r = 1 + r

oder r = 25 %

0.5 x 200 + 0.5 x 80Barwert = 1.25 -118 = -6

Alternative: 1 Periode warten

0.5

0.5

200

80

0.5

0.5

max {200-118 x 1.08,0} = 72.56

max {80-118 x 1.08,0} = 0

Investieren ?

Warten

BW = -6

BW = ? (Investitionskosten steigen mit 8 %)

janein BW = 0

Lineares Vielfaches von Projekt, daher gilt für Zins


m x (uS) - (1 + rƒ ) B = 72.56

m x (dS) - (1 + rƒ ) B = 0

und für uS = 50 und dS = 20 mit rƒ = 0.08:

B= 44.79 und m = 2.42 Aktien

Da dieses Portfeuille den gleichen Ertrag hat, wissen wir dessen Wert:

mS - B = 2.42 x 28 - 44.79 = 22.97

Der Wert der Option auf Verzögerung ist also

22.97 - Projektbarwert (-6) = 28.97

Suche replizierendes Portfeuille am Markt!

Wir kombinieren unser korreliertes Gut S mit dem risikolosen Entlehnen von B DM (m = Anzahl der Anteile von S, B = Anzahl der risikolosen Anteile): Wir erhalten das Gleichungssystem


Andere reale Optionen:

• Option auf Projektabbruch (mit Teilerlösen) (Put-Option)

• Option auf Projektbeginn - oder -entwicklungsverzögerung

• Option auf Projekterweiterung

• Option auf Projektreduktion u.a.m.

Viele hiervon relevant für IS- und IT-Investitionen bisher praktisch nicht explizit berücksichtigt.

Z.B. SAP inkludiert Option auf Erwerb/Einsatz neuer Module

Siehe auch das Seminar aus Informationswirtschaft zu diesem Thema: http://wwwai.wu-wien.ac.at/~koch/lehre/inf-sem-ws-02/

Informationsmanagement in Organisationen I Wolfgang H. Janko / Stefan Koch Abteilung für Informationswirtschaft Wirtschaftsuniversität Wien.

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