Information chiffrée Première Proportions ( ou fréquence) • Proportion d’une sous population A dans une population E • Comparaison de proportions, d’effectifs. • Proportions et réunion. • Proportions échelonnées. Taux d’évolution ( ou variation relative) • Taux d’évolution entre deux nombres réels strictement positifs. • Evolutions successives • Evolution réciproque
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Information chiffrée Première Proportions ( ou fréquence) Proportion dune sous population A dans une population E Comparaison de proportions, deffectifs.
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Information chiffrée PremièreProportions ( ou fréquence)•Proportion d’une sous population A dans une population E•Comparaison de proportions, d’effectifs.•Proportions et réunion.•Proportions échelonnées.
Taux d’évolution ( ou variation relative)•Taux d’évolution entre deux nombres réels strictement positifs.•Evolutions successives•Evolution réciproque
Commentaires Première
• Les pourcentages sont étudiés en 4ème et en 3ème mais pas du tout en 2nd.
• Les calculs de pourcentages sont illustrés par des exemples empruntés à l’économie et à la comptabilité.
• Dans les classes précédentes il est peu fait allusion à la population de référence
Pourcentages Première
Vocabulaire
• Taux d’activité: population active / population totale
• Taux de chômage:nombre de chômeurs / population active
• Part de marché :
ventes réalisées par une entreprise pour un produit
ventes totales du produit
Le rôle de la population de référence est prépondérant
• Dans une entreprise, la moyenne des salaires masculins est
de 2400 €, celle des salaires féminins de 1600 €.
• On peut dire que les hommes gagnent 50% de plus que les femmes.
• On peut aussi dire que les femmes gagnent 33,33% de moins que les hommes
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
sal. Hommes sal.Femmes
sal. Hommes
sal.Femmes
50%-33,33%
Population de référence première
Une famille consacrait 24% de son budget à l’alimentation en 1980.En 2004, elle ne consacre plus que 18% à ce poste.La famille mange-t-elle moins en 2004?
1980
1
2
24%
2004
1
2
18%
Première
• Tableau de contingence
Tableau dynamique croisé
Question posée à 40 jeunes :
« Regardez-vous le foot à la télévision ? »
OUI NON Total
Garçons 20 4 24
Filles 10 6 16
Total 30 10 40
Première
Fréquences conjointes :
OUI NON Total
Garçons 0,5 0,1 0,6
Filles 0,25 0,15 0,4
Total 0,75 0,25 1
OUI NON Total
Garçons 20 4 24
Filles 10 6 16
Total 30 10 40
Les effectifs sont divisés par l’effectif total
Première
Fréquences marginales:
OUI NON Total
Garçons 0,5 0,1 0,6
Filles 0,25 0,15 0,4
Total 0,75 0,25 1
OUI NON Total
Garçons
20 4 24
Filles 10 6 16
Total 30 10 40
30 / 40 = 0,75
Première
Fréquences conditionnelles:
OUI NON Total
Garçons 0,83 0,17 1
Filles 0,625 0,375 1
OUI NON Total
Garçons 20 4 24
Filles 10 6 16
Total 30 10 40
20 / 24 = 0,83
première• Fréquences conditionnelles
G
F
60%
40%
O
N
O
N
83%
17%
62,5%
37,5%
83% des garçons ont répondu oui
Première
Proportions échelonnées: Savoir que,si p est une proportion de A dans E, et p’ celle de E dans F, alors
la proportion de A dans F est pp’.
Dans une classe de 1ère STG, on a 60% de filles. Parmi les filles 40% fument. Quel est le pourcentage de filles fumeuses ?
0,60 0,40 = 0,24 soit 24%
Première
Proportions échelonnées:
Dans cette même classe (60% de filles) on a 12% defilles faisant allemand 1ère langue.
Quel est le pourcentage de germanistes parmi les filles?
0,60 P = 0,12
première
Proportions échelonnées:
Dans une classe de 1ère STG, on sait que 80% des fillesfont anglais 1ère langue et que les filles anglicistesreprésentent 60% des élèves.
Quel est le pourcentage de filles dans cette classe?
P x 0,80 = 0,60
Evolutions Première
Variation relativeValeur d’arrivée - Valeur de départ
Valeur de départ
Variation absolue
Valeur d’arrivée - Valeur de départ
Première
Une variation exprimée en pourcentage est toujours une variation relative.
Dire que t est le taux d’évolution entre y1 et y2 équivaut à dire que:
y2 = y1 (1 + t )
1 + t est le coefficient multiplicateur
Evolutions Première
Point de pourcentage
4% 5%
1 point de pourcentage
Mais 25% d’augmentation
Première
Evolutions successives
0
20
40
60
80
100
120
1er trim.
Départ20%-30%
Baisse de 16%
Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 30 %
Première
Evolutions successives
Une évolution de t1 suivie d’une évolution de t2
(1 + t1)(1 + t2) = 1 + T
T = (1 + t1)(1 + t2) - 1
1,20 0,70 = 0,84
T est le taux global
Première
Evolution réciproque
Une hausse de 25% est annulée par une baisse de 20%
0
20
40
60
80
100
120
140
1er trim.
Départ
25%
-20%
PremièreEvolution réciproque
1 / 1,25 = 0,80
Si y2 = y1 (1 + t ) alors y1 = y2
Si t est le taux d’évolution de y1 à y2,
alors le taux d’évolution de y2 à y1 est
t11
11
1
t
Première
Capitalisation
Je place un capital C0 à 4 % en 2005.
• Quelle sera la somme acquise en 2006 ?
C1 = C0 (1 + 0,04 )
• Quelle sera la somme acquise en 2010 ?
C5 = C0 (1 + 0,04 )5
Première
Actualisation
Pour pouvoir comparer deux sommes d’argent à des dates différentes, il est nécessaire de les convertir en valeurs équivalentes à une même date.
Au taux d’actualisation annuel de t %,
une somme S’ dans un an équivaut à une somme
aujourd’hui'
1100
St
Première
Suites arithmétiques et géométriques
Pas de changement,
l’utilisation du tableur est fortement recommandée.
Au programme :
La représentation graphique des suites.
Le sens de variation d’une suite.
La somme des premiers termes est reportée en
terminale.
Terminale
• Information chiffrée et suites
Le programme est identique pour toutes
les spécialités, exceptée la limite d’une
suite géométrique qui ne figure pas pour les
CGRH.
Terminale
• Taux d’évolution moyen
T est le taux global lié à deux évolution successives t1 et t2.
1 +T = ( 1 + t1)(1 + t2)
Taux moyen = t
(1 + t)2 = (1 + t1)(1 + t2)
• 1 + t est la moyenne géométrique des deux
multiplicateurs 1 + t1 et 1 + t2
21 111 ttt
Terminale
Généralisation
T est le taux global lié à n évolutions successives.
t est le taux d’évolution moyen.
1 + T = (1 + t )n
1 + t = ( 1 + T )1/n
Terminale
Indices simples en base 100
L’indice de y2 par rapport à y1 est égal à:
100 1
2
y
y
Terminale
Approximation d’un taux d’évolution pour un petit taux
d’évolution t
Savoir que :
pour n variations successives au taux t, le taux
d’évolution global peut être rapproché par nt.
le taux d’évolution réciproque peut être approché
par - t
Terminale
Approximation d’un taux d’évolution
Le lien se fait avec le nombre dérivé et l’approximation affine..
Pour t proche de 0
Pour t proche de 0
tt 21)1( 2
tt
11
1
terminale
Taux proportionnelLes intérêts sont simples; la suite est arithmétique.
Ex: le taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 10% est
t =
Taux équivalentLes intérêts sont composés; la suite est géométrique.
Ex: le taux mensuel t équivalent à un taux annuel de 10% est