Page 1
1
MontfortcollegeRotselaar
Infoavond4ejaars:Wiskunde
(10/3/2020)
Overzicht:wiskundeinMCR.
WISKUNDEIN
DE DERDE GRAAD
• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:
• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen
Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen
• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:
• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde-6
Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde-6+2
OVE
RZIC
HT:
WIS
KUN
DE
IN M
CR
Page 2
2
Hieropschooliserindederdegraadkeuzetussenstudierichtingenmet3,4,6,of6+2uurwiskunde.
• Destudierichtingenzondercomponentwiskundehebbenalsfocustalen,humanewetenschappen,of(exacte)wetenschappen.Dezestudierichtingenhebben3of4uurwiskunde.*Destudierichtingenzondercomponentwetenschappenhebben3uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.*Destudierichtingenmetcomponentwetenschappenhebben4uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Detweeverschillende3-uurs-richtingenziendezelfdeleerstof.Afhankelijkvanhetleerlingenaantalkunnendezetweerichtingenvoorhetvakwiskundeeventueelsamenzittenofeventueelapartzitten.Ookhetexamenishetzelfde.Dezelfdeopmerkinggeldtvoordetweeverschillende4-uurs-richtingen.
• Destudierichtingenmetcomponentwiskundehebbenofwel6ofwel6+2uurwiskunde.*Met6uwiskundebiedenwijopschoolLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6aan.*Met6+2uwiskundebiedenwijopschoolWetenschappen-Wiskunde-6+2aan.Deinhoudvanhetvak"wiskunde-6"isindezestudierichtingeninprincipehetzelfde.Ookhetexamenishetzelfde,eventueelop1of2vragenna.Ditlaatstekaneengevolgzijnvaneenverschillendenadrukdieeenandereleerkrachtlegt.Hetkanookzijndaterinde6+2watmoeilijkereoefeningenbehandeldworden.Inhetverledeniseraleenseenhoofdstukweggevalleninde6uo.w.v.tijdsdruk,terwijlweditindeWe-Wi-6+2welbehoudenhebben.DeleerlingendiekiezenvoorWe-Wi-6+2hebbeneenvak"wiskunde-6"endaarnaasttweeuurperweek"wiskunde-plus".Wevertellenhieropheteindevandezeuiteenzettingmeerover.
Hoemaakjeeenkeuze?Voorwedekeuzemogelijkhedenoverlopenwillenwebenadrukkendathetmakenvaneenkeuzeeenprocesis.Hetiseenbeslissingdiejenochineens,nochalleenmaakt.Weradenaanommetverschillendemensenoverdezekeuzetepraten:verschillendemensenzoalsfamilie(ouders,broersofzussen,nonkelsoftantes,meterofpeter),vrienden(vanjezelfofvanjeouders)enmensenopschool(jetitularis,jevakleerkrachten,deleerlingenbegeleidsters,decoördinatie,hetCLB)kunnenjeindezekeuzebegeleiden.Nuvolgtwatmeeruitlegvoordeverschillendepakkettenwiskunde.
Page 3
3
3uurwiskunde-algemeen.
Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.WiegoedisinLatijn,talen,ofhumanewetenschappen,kannatuurlijkeenpositievekeuzevooréénvandezerichtingenmaken.Echter,voorleerlingendiekiezenvoor3uwiskundeindederdegraad,zijnhogerestudiesmeteenzwaarpakketwiskundeeigenlijkniethaalbaar.Erzijndaarnaastookveelstudierichtingeninhethogeronderwijsbinnenhetdomeinmenswetenschappen(zoalspsychologieofpedagogie),waarstatistiektraditioneelvoorveelstudentenhetmoeilijkstevakis.Omhieraantegemoettetreden,komenstatistischeonderzoeksvaardighedenvoordeleerlingenhumanewetenschappenreedsaanbodbinnenhetseminarie(2uperweekinhet6ejaar).Daarnaastiserdemogelijkheidomindevrijeruimteinhet6ejaartekiezenvoorhetvak"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar).
Interessegebied = talen en Latijn, humane wetenschappen
3 U
UR
WIS
KUN
DE
–A
LGEM
EEN
Latijn – Moderne Talen of Humane Wetenschappen
• Voor HuWe: aandacht voor statistische onderzoeksvaardig-
heden binnen het seminarie
• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en Kansrekenen
voor leerlingen met <6u” te kiezen
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet haalbaar
Page 4
4
4uwiskunde-algemeen.
Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Wedenkendat,vanalleverschillendeoptiesvoorwiskunde(dus3-4-6-8u),hetvieruurspakketinhetvijfdequawerklast,niveauenmoeilijkheidsgraadhetmeestindelijnligtvan5uwiskundeinhetvierde.Datmaakteigenlijkookdateenkeuzevoor4uwiskundeindederdegraadnietlogischisalsjejaartotaalwiskundeinde5uursinhetvierde55%ofminderis.Hetisookmogelijkomvoor4uwiskundeindederdegraadtekiezenalsjeinhetvierdejaarinLat4ofHumWet4zat.Maarallichtzaljeinhet4evoor4uwiskundegekozenhebbenomdat5uniethaalbaarwas.Indatgevalis4uwiskundeindederdegraad,denkenwe,ookhooggegrepen.Eenstudiekeuzebinneneenwetenschappelijkecontext,waarduseenvak"hogerewiskunde"of"calculus"of"differentiaal-enintegraalrekening"inkanvoorkomen,ismogelijk.Wedenkenbv.aanfarmaceutischewetenschappenofT.E.W.Eenstudiekeuzewaareenzwaarderpakketwiskundeinvoorkomt,zoalsbio-ingenieur,industrieelingenieur,handelsingenieur,burg.ingenieur,offysica,isnietevident.(Wezeggennietdathetonmogelijkis.)Leerlingenmet4uwiskundehebbeninhet6ejaarookdemogelijkheidomdevrijeruimteinhet6ejaar"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.
Interessegebied = talen/Latijn en exacte wetenschappen
Resultaat in het vierde situeert zich rond de 60% of hoger
4 U
UR
WIS
KUN
DE
–A
LGEM
EEN
Latijn – Wetenschappen of Moderne Talen – Wetenschappen
• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en
Kansrekenen voor leerlingen met <6u” te kiezen
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet evident
Page 5
5
6uwiskunde-algemeen.
Ditis(hieropschool)vantoepassingvoorLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde6+2.Leerlingendievoor6ukiezen,hebbenvoldoendeaanlegeninteressevoorwiskunde.Indepraktijkzienwedatleerlingenuitde5-uursvanhet4e,wiensjaartotaalwiskundeminstens65%is,hiervoorinaanmerkingkunnenkomen.Gemiddeldgezienzakkendepuntenwiskundemet10%bijdeoverstapnaarhetvijfdejaarindezesuurs.Voorleerlingendiegeen60%alsjaartotaalwiskundehaleninhet4ejaar,is6uwiskundeindederdegraadvaaktehooggegrepenis.Voorleerlingendieindetweedegraad4uwiskundevolgen,is6uwiskundeindederdegraadinprincipeuitgesloten.Webenadrukkendaterbestwelwatverschilistussen"6uwiskundeinhet5e"en"5uwiskundeinhet4e":
• Jehebt1umeerlesinhet5edaninhet4e;• Erwordtopéénlesuurmeerleerstofbehandeldinhet5edanopéénlesuurin
het4e;• Jehebtmeerwerkthuis.Jezounaelkelesjeleerstofthuismoeten
inoefenen/studeren/herhalen.• Erwordtmeernadrukoptheorieenbewijzengelegd.Erwordtmeerinzicht
gevraagd.Erwordtmeercreativiteitenzelfstandigheidbijmoeilijkereoefeningenverwacht.Erzijnsomsoefeningendieinverschillendestukkenuiteenvallenofwaarjeverschillendestukkenleerstofmoetcombineren.
Jezietdat"6uwiskundeinhet5e"wezenlijkmeerenmoeilijkerisdan"5uwiskundeinhet4e".Onderschatditniet.Hetisnietvooriedereenweggelegd,enookdesterkeleerlingengaaneentandjemoetenbijsteken.
Interessegebied = Latijn/wetenschappen en wiskunde
Leerlingen met voldoende aanleg en interesse voor wiskunde
Resultaat in het vierde situeert zich rond 65% of hoger
6 U
UR
WIS
KUN
DE
–A
LGEM
EEN
Latijn – Wiskunde of Wetenschappen – Wiskunde
• “6u in het 5e” is wezenlijk meer en moeilijker dan “5u in het 4e”
• Iedereen moet tandje bijsteken, ook ‘sterkere’ leerlingen
• Eventuele adviezen goed in overweging nemen!
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde mogelijk
Page 6
6
AfentoehorenwedaterleerlingenzijndiezonderveelnadenkenindederdegraadWeWi6kiezen,omdatditzondermeeralshetvervolgopWetenschappenindetweedegraadgezienwordt.Ditisgeenjuistezienswijze.Hetiséénvandemogelijkevervolgen.ErzijnveleanderevervolgopleidingenindederdegraadnaWetenschappenindetweedegraad,enWeWi6isdaaréénvan,enéénwaarjeeigenlijkbewustenkritischvoorzoumoetenkiezen.Devolgendepuntjesgevenonzeverwachtingenvoordeleerlingeninde6uverderweer:
• Jekomtindederdegraadineenklasleerlingendieallemaalvoorwiskundekiezenendieallemaalsterkerinwiskundezijn.Inhetvierdejaarzatjeineenklaswaarvanersommigenvoorhetdrie-uurspakketkozen.Deklaswordtdushomogenerensterker.
• Erzijnookgroteregehelen.ErzijngeenPaasexamensindederdegraad.• Houdinhetachterhoofddatookvooranderevakkendeeisenindederdegraad
hogerliggen.DeervaringleertdatleerlingeninWeWi6nietenkelvoorhetvakwiskunde,maarookvooráldewetenschapsvakken,methogereeisengeconfronteerdwordenbijdeoverstapnaarhetvijfdejaar.
• Somsvraagtmenonshoeveeljealsleerlingzoumoetenlerenalsje6uwiskundedoet.Hetantwoordhieropisperleerlingverschillend.Maargemiddeldgezienverwachtenwedatjeelkeavondnaeenleswiskundeookeenhalfuurbesteedtaandeverwerkingvandeleerstofofhetmakenvanoefeningen.Endanzoujeéénoftweekeerperweeknogeenseengrotergeheelgrondigmoeteninstuderenofaaneentaakwerken.Alsjedeoptelsommaakt,denkikdatjegemiddeldaanvijfofzesuurperweekzalkomen.
• Gaera.u.b.nietvanuitdathetvoldoendeisomdeavondvoordetoetsinactieteschieten…ditwerktéchtniet,zelfsindienditinhetvierdewelwerkte.
Wevermeldennogeensdatdeinhoudvanhetvak"wiskunde6"hetzelfdeofzogoedalshetzelfdeisinderichtingenLatijn-Wiskunde,Wetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde-6+2.Dezeleerlingenkunnenooksamenleshebben.Leerlingenmet6uwiskundekunneninhetzesdejaardevrijeruimte"Wiskundeennatuurkunde"kiezen,waarinzetijdenshettweedesemester2uperweekdewisselwerkingtussenwiskundeennatuurkundezien.DaarnaasthebbendeleerlingenvandeWe-WidekeuzeomWe-Wi-6tedoenofWe-Wi-6+2.
Page 7
7
DanwillenwenogevenophetverschiltussenWe-Wi-6enWe-Wi-6+2focussen.
• AlsjevoorWe-Wi-6kiesthebjeinhetvijfdejaar1uDuitsen1uWetenschappen-Plus,eninhetzesdejaar1uDuits.Jehebtsteeds32uperweekles.
• AlsjevoorWe-Wi-6+2kiest,hebjeinhetvijfdejaarenhetzesdejaar2uwiskunde-plus.Inhetvijfdejaarhebje32uperweekles.Inhetzesdejaarhebje33uperweekles.
• Alleandereuren(dus30uinhet5een31uinhet6e)zijnhetzelfde.Voorleerlingendieeenrichtingmet6uwiskundemetgoedgevolgafgewerkthebben,zijnhogerestudiesmeteenzwaarderpakketwiskundemogelijk.Denkbijvoorbeeldaaneeningenieursrichting.
• Inhetidealegevalmaakjeeenpositievekeuzevoorwiskunde.Wehopendaterveelleerlingenindezesuursrichtingzitten,dieookgraagwiskundedoen,diegraagpuzzelen,diehetplezierigvindenomergensoptezoeken,diehetfijnvindenomzelfietstevinden,diedeuitdagingaangaanomeenbewijshelemaaltebegrijpenennietgewoonvanbuitenteleren,diezichaangesprokenvoelenalsdeleerkrachteenuitdagendeoefeningopgeeft.
• Voordetwijfelaars:bekijkhetalseenuitdagingomopjePaasexameneenstetonenwatjeéchtkan.
Wewillennudeverwachtingendiewijhebbenvoorleerlingeninde6-uurs(endeandereopties)watconcretermaken:
Wetenschappen-Wiskunde 6
• Vijfde jaar: 1u Duits, 1u Wetenschappen Plus
• Zesde jaar: 1u Duits
• Zowel in het vijfde als zesde: 32u/w les.
Wetenschappen-Wiskunde 6+2
• Vijfde jaar: 2u wiskunde-plus
• Zesde jaar: 2u wiskunde-plus
• Vijfde jaar 32u/w les; zesde jaar 33u/w les.
• Alle andere lesuren zijn hetzelfde.
WEW
I6 O
F W
EWI 6
+2?
Page 8
8
Vergelijkingtussendepakketten:Goniometrischefuncties.Indezeslideziejehetverschiltussendeverschillendeoptiesaandehandvanéénenkelonderwerp.
Vergelijkingtussendepakketten:Eenvoorbeeldvraag.Omhetverschiltussendeverschillendeoptiesteverduidelijken,hebbenweeenvraaguithetvierdejaaropverschillendemanierenvoorgesteld.Delinkerkolomverduidelijktonzeverwachtingenvoorde3-uurs,derechterkolomvoorde6-uurs.
vb. G
ON
IOM
ETR
ISCH
E FU
NCT
IES
3 uur 4 uur 6 uurDomein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functie
aflezen van de grafiek en beschrijven.
Domein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functies
aflezen van de grafieken en beschrijven.
Domein, bereik, periodiciteit, stijgen/ dalen, extrema van de functies , en aflezen van de grafieken en beschrijven.
uitbreidingsleerstof Som- en verschilformules en de formules van Simpson hanteren met een formularium.
Som- en verschilformules, verdubbelingsformules en formules van Simpson bewijzen en gebruiken om goniometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen, vergelijkingen op te lossen en eenvoudige identiteiten te bewijzen.
f(x) sinx= f(x) cosx=f(x) tanx=f(x) sinx en= f(x) cosx=f(x) sinx=
Page 9
9
Wiskunde-plusenWe-Wi-6+2.
Leerlingendieéchtgebetenzijnvoorwiskunde,kunnenvoorWe-Wi-6+2kiezen.Naast"wiskunde-6"hebbenzenogtweeuurperweek"wiskunde-plus".Dezestudierichtingisduseigenlijkbedoeldvoordeleerlingendieerggoedzijninwiskundeenhierookvoorwillenwerken.Indepraktijkisdezestudierichtingeigenlijkeerderbedoeldvoorleerlingenmetalsjaartotaalwiskundeinhet4ejaarminstens75%.Alsleerkrachthebbenwehogeverwachtingenvanjealsleerling,zowelvoorhetvakwiskunde-6alsvoorhetvakwiskunde-plus.KiesdezestudierichtingdusnietenkelenalleenmaaromdatjegeenDuitswilhebben.Beschouwwiskunde-plusnietzomaaralseenleukextraatje.Jezalweekperweektijdmoeteninvestereninditvak,enerisookeenexamenvoorhetvakwiskunde-plus.Dekeuzevandeonderwerpenvanhetvakwiskunde-pluskanjeverdervoorbereidenopeenwiskundigestudierichtinginhethogeronderwijs.Eenaantalonderwerpenlaattoeomhetabstractievermogenenwiskundigredeneringsvermogenverderaantescherpen.Bijenkeleonderwerpenzullenwedefinitiesopstriktrigoureuzewijzegeven,watinhethogeronderwijskanterugkomen.Inhethogeronderwijsmoetjeookvaakeenerggrootstuktheoriebeheersen(bv.bewijzenofafleidingenvaneenformule)terwijldeleerstofdiejetotnutoehebtmoetenstuderenbeperktwas.Viahetvakwiskunde-pluswordjeookvoorbereidopdezegrotereleerstofgehelen.
6 +
2 U
UR
WIS
KUN
DE
–A
LGEM
EEN
• Resultaat wiskunde situeert zich rond 75% of hoger.
• Goed zijn in wiskunde en er ook voor willen werken.
• 2 uur extra als apart vak bovenop ‘gemeenschappelijk programma’ van 6 uur.
• Er is een examen van dit vak.
• Soms aparte klas, soms niet
Page 10
10
Inwiskunde-pluszullenweookenkeleonderwerpenuitdedifferentiaal-enintegraalrekening(m.n.limieten,reeksontwikkelingenendubbeleintegralen)behandelendiejetypischineencursushogerewiskundeinhethogeronderwijstegenkomt.Enkeleonderwerpendieopditmomentinhet5een6eophetprogrammastaan,zijn:
• limieten(de𝜀-𝛿-definitie)• meetkundigeplaatsen• determinanten,eigenwaardeneneigenvectoren• reeksontwikkelingen• dubbeleintegralen.
Ditkannatuurlijkperschooljaarverschillen.
Lessentabellen.Inonderstaandoverzichtvergelijkenwedeverschillendelessentabellenindeverschillendestudierichtingenmet6+2,6,en4uurwiskunde.
WIS
KUN
DE
PLU
S
Enkele onderwerpen:
Ø Limieten (! − #-definitie)
Ø Meetkundige plaatsen
Ø Determinanten, eigenvectoren,
eigenwaarden
Ø Reeksontwikkelingen
Ø Dubbele integralen
5. Rekenregels.
Stelling 2 (Veelvoud van een eindige limiet).
Veronderstel a, b, c � R en limx�a
f(x) = b. Dan bestaat de limiet limx�a
c · f(x) ook, en deze
limiet is eindig en gelijk aan c · b.
Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.
We moeten nu aantonen dat er een � > 0 bestaat zodat, voor elke x � R \ {a}, van zodra|x � a| < � ook geldt dat |c · f(x) � c · b| < �.
Eerste geval. Als c = 0, dan nemen we bijvoorbeeld � = 17. Als |x � a| < 17 dan is|c · f(x) � c · b| = |0 · f(x) � 0 · b| = |0 � 0| = 0 en dit is strikt kleiner dan �.
Tweede geval. Veronderstel nu dat c �= 0. Omdat limx�a
f(x) = b kan je een � kiezen
waarvoor |f(x) � b| < �|c| van zodra |x � a| < � en x � R \ {a} .
Veronderstel nu dat x � R \ {a} en |x � a| < �. Dan is
|c · f(x) � c · b| = |c · (f(x) � b)| = |c| · |f(x) � b| < |c| · �
|c| = � .
Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.
Stelling 3 (Som van eindige limieten).
Veronderstel a, p, q � R en limx�a
f(x) = p en limx�a
g(x) = q. Dan bestaat de limiet
limx�a
�f(x) + g(x)
�ook, en deze limiet is eindig en gelijk aan p + q.
Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.
Omdat limx�a
f(x) = p kan je een �1 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},
|x � a| < �1 � |f(x) � p| <�
2.
Omdat limx�a
g(x) = q kan je een �2 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},
|x � a| < �2 � |g(x) � q| <�
2.
We noemen nu � = min {�1, �2}. Veronderstel x � R \ {a}, en |x � a| < �. Dan is|x � a| < �1 en |x � a| < �2. Dan volgt dat
��(f(x)+g(x))�(p+q)�� = |(f(x) � p) + (g(x) � q)| � |f(x) � p|+ |g(x) � q| <
�
2+
�
2= � .
Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.
5 WW 8 — Limieten van Functies 15.
WeWi 6+2 WeWi-6 Lat-Wisk LaWet MtWet
5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de
Wiskunde 6+2 6+2 6 6 6 6 4 4 4 4Moderne vreemde talen(Duits+Eng+Fra)
5 5 6 6 5 5 5 5 9 9
Wetenschappen(Aard+Bio+Chem+Fys+WetPlus)
8 7 9 7 6 4 8 7 8 7
Latijn 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0Totaal (alle vakken) 32 33 32 32 32 32 32 33 32 33
Page 11
11
Maakeengoedestudiekeuze.Totslotbenadrukkenwedatjeinhetvijfdeenzesdemiddelbaardezelfdestudierichtingdienttevolgen.Bovendienishetgeenszinsdebedoelingomindeloopvanhetvijfdemiddelbaarvanstudierichtingteveranderen.Somsiszo’nveranderingvanstudierichtingindeloopvanhetjaarookpraktischonmogelijkomdateenklasvolzetis.Maakdusonmiddellijkdejuistestudiekeuze!Opmerking.Informatieondervoorbehoud.Deplanningendebinnendevrijeruimteaangebodenkeuzemogelijkhedenkunnenperschooljaargewijzigdworden.Vakgroepwiskundederdegraad.