INE 5111 – Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade 1 INE 5111 – LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE 1) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram transmitidos 4 dados. a) Qual é a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão? (R.: 0,1855) b) Qual é a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dados? (R.: 0,0135) Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em contrário). n = 4 π = 0,05. A fórmula será: P(X= x i ) = C 4,xi ×0,05 xi ×0,95 n-xi a) Haverá erro quando X for maior do que zero, então 1 : x i = 0 P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C 4,0 × 0,05 0 × 0,95 4-0 = 1855 , 0 8145 , 0 1 95 , 0 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 95 , 0 05 , 0 )! 0 4 ( ! 0 ! 4 1 4 4 0 b) Exatamente 2 dados, significa x i = 2, então: P(X = 2) = C 4,2 × 0,05 2 × 0,95 4-2 = 0135 , 0 95 , 0 05 , 0 1 2 1 2 1 2 3 4 95 , 0 05 , 0 )! 2 4 ( ! 2 ! 4 2 2 2 2 2) Jogando-se uma moeda honesta cinco vezes e observando a face voltada para cima. Há interesse em calcular a probabilidade de ocorrência de uma, duas, ..., cinco caras. Qual é a probabilidade de obter ao menos quatro caras? (R.: 0,1875) Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em contrário). n = 5 π = 0,5. A fórmula será: P(X= x i ) = C 5,xi ×0,5 xi ×0,5 n-xi Pelo menos 4 caras, significa 4 ou mais, como o limite máximo é 5, procura-se P(X≥4): P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C 5,4 × 0,5 4 × 0,5 5-1 + C 5,5 × 0,5 5 × 0,5 5-5 = 1875 , 0 5 , 0 ! 0 ! 5 ! 5 5 , 0 1 ! 4 ! 4 5 5 , 0 5 , 0 )! 5 5 ( ! 5 ! 5 5 , 0 5 , 0 )! 4 5 ( ! 4 ! 5 5 5 5 5 5 4 5 4 3) Suponha que você vai fazer uma prova com 10 questões do tipo verdadeiro-falso. Você nada sabe sobre o assunto e vai responder as questões por adivinhação. a) Qual é a probabilidade de acertar exatamente 5 questões? (R. 0,2461) b) Qual é a probabilidade de acertar pelo menos 8 questões? (R.: 0,05468) Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma informação em contrário), e igual a 0,5 (50%), pois você nada sabe sobre o conteúdo e há apenas duas respostas possíveis (verdadeiro ou falso). n = 10 π = 0,5. A fórmula será: P(X= x i ) = C 10,xi ×0,5 xi ×0,5 n-xi a) Exatamente 5 questões, significa X = 5. P(X = 5) = C 10,5 × 0,5 5 × 0,5 10-5 = 2461 , 0 5 , 0 1 2 3 4 5 ! 5 ! 5 6 7 8 9 10 5 , 0 5 , 0 )! 5 10 ( ! 5 ! 10 10 5 5 b) Pelo menos 8 questões significa acertar 8, ou 9 ou 10 questões: X ≥ 8 P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = C 10,8 × 0,5 8 × 0,5 2 + C 10,9 × 0,5 9 × 0,5 1 + C 10,10 × 0,5 10 × 0,5 0 10 10 10 9 10 9 2 10 8 5 , 0 5 , 0 )! 10 10 ( ! 10 ! 10 5 , 0 5 , 0 )! 9 10 ( ! 9 ! 10 5 , 0 5 , 0 )! 8 10 ( ! 8 ! 10 1 Lembre-se que 0! (fatorial de zero) vale 1, e que um número elevado a zero, por exemplo, 0,5 0 , é igual a 1.
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INE 5111 – Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade
1
INE 5111 – LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
1) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser
transmitido erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram
transmitidos 4 dados.
a) Qual é a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão? (R.: 0,1855)
b) Qual é a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dados? (R.:
0,0135)
Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de
realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma
informação em contrário). n = 4 π = 0,05. A fórmula será: P(X= xi) = C4,xi×0,05xi×0,95
n-xi
a) Haverá erro quando X for maior do que zero, então1: xi = 0
P(X>0) = 1 – P(X = 0) = 1 – C4,0 × 0,050 × 0,95
4-0 =
1855,08145,0195,0112341
1234195,005,0
)!04(!0
!41 440
b) Exatamente 2 dados, significa x i = 2, então:
P(X = 2) = C4,2 × 0,052 × 0,95
4-2=
0135,095,005,01212
123495,005,0
)!24(!2
!4 2222
2) Jogando-se uma moeda honesta cinco vezes e observando a face voltada para cima. Há interesse
em calcular a probabilidade de ocorrência de uma, duas, ..., cinco caras. Qual é a probabilidade de
obter ao menos quatro caras? (R.: 0,1875)
Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de
realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma
informação em contrário). n = 5 π = 0,5. A fórmula será: P(X= xi) = C5,xi×0,5xi×0,5
n-xi
Pelo menos 4 caras, significa 4 ou mais, como o limite máximo é 5, procura-se P(X≥4):
P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = C5,4 × 0,54 × 0,5
5-1 + C5,5 × 0,5
5 × 0,5
5-5 =
1875,05,0!0!5
!55,0
1!4
!455,05,0
)!55(!5
!55,05,0
)!45(!4
!5 55555454
3) Suponha que você vai fazer uma prova com 10 questões do tipo verdadeiro-falso. Você nada
sabe sobre o assunto e vai responder as questões por adivinhação.
a) Qual é a probabilidade de acertar exatamente 5 questões? (R. 0,2461)
b) Qual é a probabilidade de acertar pelo menos 8 questões? (R.: 0,05468)
Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de
realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma
informação em contrário), e igual a 0,5 (50%), pois você nada sabe sobre o conteúdo e há apenas
duas respostas possíveis (verdadeiro ou falso). n = 10 π = 0,5. A fórmula será: P(X= xi) =
C10,xi×0,5xi×0,5
n-xi
a) Exatamente 5 questões, significa X = 5.
P(X = 5) = C10,5 × 0,55 × 0,5
10-5 = 2461,05,0
12345!5
!56789105,05,0
)!510(!5
!10 1055
b) Pelo menos 8 questões significa acertar 8, ou 9 ou 10 questões: X ≥ 8
P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
= C10,8 × 0,58 × 0,5
2 + C10,9 × 0,5
9 × 0,5
1 + C10,10 × 0,5
10 × 0,5
0
10101091092108 5,05,0)!1010(!10
!105,05,0
)!910(!9
!105,05,0
)!810(!8
!10
1 Lembre-se que 0! (fatorial de zero) vale 1, e que um número elevado a zero, por exemplo, 0,50, é igual a 1.
INE 5111 – Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade
2
05468,05,0!0!10
!105,0
!1!9
!9105,0
!2!8
!8910 101010
4) Suponha que 10% da população seja canhota. São escolhidas 3 pessoas ao acaso, com o objetivo
de calcular a probabilidade de que o número de canhotos entre eles seja 0, 1, 2 ou 3. Qual é a
probabilidade de ao menos uma das pessoas ser canhota? (R.: 0,271)
Trata-se do modelo Binomial: cada realização tem apenas 2 resultados possíveis, o número de
realizações é conhecido, e a probabilidade de sucesso é suposta constante (pois não há nenhuma
informação em contrário). n = 3 π = 0,1. A fórmula será: P(X= xi) = C3,xi×0,1xi×0,9
n-xi
Ao menos uma pessoa canhota significa 1 ou 2 ou 3, ou seja, X ≥ 1.