Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

OLEH:

FERNINDA

130803042

BAB IIINDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika diperkenalkan pada akhir abad ke-19 oleh matematikawan R. Dedekind dan G. Peano. Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang mengambarkan bilangan bulat positif, sedangkan Peano memperbaiki interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Plostulat Peano.Teori bilangan berhubungan dengan sifat-sifat bilangan asli 1,2,3,… yang juga disebut bilangan positif, Bilangan – bilangan ini bersama-sama dengan bilangan bulat negatif dan nol membentuk himpunan bilangan bulat. Diantara bilangan Asli tersebut terdapat bilangan prima dan bilangan lainnya yang akan dibahas beserta sifat-sifatnya.

2.1 Notasi

Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep,oleh karena itu untuk memudahkan uraian, penjelasan, atauketerangan diperlukan seperangkat kesepakatan bersama sebagaidasar dalam memahami matematika sehingga apa yang ingindiketahui menjadi lebih mudah dan sederhana.

Notasi – notasi yang ada dalam matematika dapatberkaitan dengan himpunan. Misalnya penggunaan huruf kapitallatin, operasi atau pengerjaan misalnya penjumlahan berunrunatau perkalian beruntun, hubungan antara unsur misalnyakesamaan atau ketidaksamaan.

Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya. Notasi yang berkaitan dengan operasi :

1.) + : Jumlah2.) - : Selisih3.) x : Perkalian4.) : : Pembagian5.) √ : Akar kuadrat6.) ∑ : Penjumlahan beruntun7.) ∏ : Perkalian beruntun8.) ∫ : Integral

Notasi yang berkaitan dengan hubungan :1. “=“ Sama dengan2. “≠“ Tidak sama dengan3. “>“ Lebih besar daripada

4. “<“ Lebih kecil daripada5. “≤“ Lebih kecil atau sama dengan6. “≥“ Lebih besar atau sama dengan7. “≡“ Ekuivalen8. “ “ Sama dan sebangun9. “ “ Gabungan10. “ “ Irisan11. “ “ Anggota12. “ “ Bukan anggota

Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan• KPK : Kelipatan persekutuan terkecil (low command

multiple)2. FPB : Pembagi persekutuan terbesar (great commond

devisor)

3. : Implikasi (jika … maka …)4. : Biimplikasi (… jika dan hanya jika …)5. ┴ : Tegak lurus6. ∟ : Sudut 90°7. ǁ : Sejajar8. : Himpunan kosong9. ∆ : Segitiga10. □ : Bujur sangkar (persegi)

Notasi yang berkaitan dengan himpunan :1.) Himpunan bilangan Nol yaitu {0}2.) N = Himpunan bilangan Asli (Natural) N = (1,2,3,4,5…}3.) W = Himpunan bilangan Cacah (Whole) W = {0,1,2,3,4,…}

4.) Z = Himpunan bilangan Bulat (Zahlen) Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}, sehingga dalam bilangan bulat terdapat bilangan bulat positif ( ), bulat negatif ( ) dan bilangan nol.

5.) Q = Himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a,b Z, b ≠ 0. Bilangan rasional juga dinamakan dengan bilangan desimal bentuk berulang. Q ={x : x = , dengan a,b ϵ Z , b ≠ 0}Contoh bilangan desimal berulang :p = 0,716171617161…q = 1.144444444444… r = 0,023232323232323…Sehingga bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagaiQ = {x : x = , a,b Z, b ≠ 0}

Z Z

ba

ba

ba

6.) = Himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a,b Z, b ≠ 0. Bilangan tidak rasional juga disebut dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak berulang.

7.) R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata lain :R = .

8.) Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner) yaitu bilangan yang dinyatakan dengan i dimana i = .

9.) C = Himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk C = , a,b Z, i = }.

Notasi – notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk penyimpulan konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.

Q

ba

}{ QQZWN

1

biaxx :{

1

2.2 Proposisi Bilangan Bulat

Proposisi yang menyangkut bilangan bulat cukupbanyakdijumpai di dalam matematika diskrit maupun di dalamIlmu komputer. Untuk memberikan ilustrasi mengenai proposisiseperti apa yang dimaksudkan, marilah tinjau tiga contohproposisi sederhana sebagai berikut : 1. Perhatikan proposisi atau pernyataan berikut : “ jumlah buah

bilangan bulat positif pertama adalah “.2. Jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah .3. Didalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu

lainnya hanya sekali. Jika ada orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah .

2/)1( nn2n

n2/)1( nn

n

2.3 Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode yangpenting dalam pembuktian dan sering digunakan dalamberbagai buku. Induksi matematika merupakan suatu metodeyang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yangdiberikan dalam istilah – istilah bilangan asli (N).

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yangbaku dalam matematika. Melalui induksi matematika dapatmengurangi langkah langkah pembuktian bahwa semuabilangan termasuk di dalam suatu himpunan kebenaran denganhanya sejumlah langkah tertentu.

Prinsip Induksi Matematika (PIM) sederhana berbunyisebagai berikut :Misalkan p(n) adalah proposisi bilangan bulat positif dan ingindibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positifn. Untuk membuktikan proposisi ini, perlu ditunjukkan bahwa :

1. p(1) benar , dan2. Jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥1

Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif nLangkah 1 disebut Basis InduksiLangkah 2 disebut Langkah Induksi

Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwaPernyataan tersebut benar bila diganti dengan 1, yang merupakanBilangan bulat positif terkecil.

Langkah induksi berisi asumsi yang menyatakan bahwa p(n)benar. Asumsi tersebut dinamakan Hipotesis Induksi. Apabila

menunjukkan kedua langkah tersebut benar berarti bahwa p(n)benar untuk semua bilangan positif n, perlu menunjukkan bahwap(n+1) tidak mungkin salah jika p(n) benar.Contoh :1. Tunjukkan bahwa untuk , melalui

induksi matematika.Penyelesaian :Andaikan bahwa p(n) menyatakan proposisi bahwa untuk jumlah bilangan bulat positif pertama adalah , yaitu , harus dibuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi sebagai berikut :(i) Basis induksi p(1) benar bahwa karenaUntuk .(ii) Langkah induksi : Misalkan p(n) benar, yaitu mengasumsi bahwa

2)1(...54321

nnn1n

1n

nnn )1(

nnnn )1(...54321

1n 12

)11(11

2)1(...54321

kkk

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk benar, maka

, karena , maka:

Karena rumus ini terpenuhi untuk , kita menyimpulkanbahwa ϵ S. Jadi dari induksi metematika terpenuhi. Olehkarena itu dengan prinsip induksi metematika disimpulkan bahwa

1kn

)1(2

)1()1(...54321

kkkkk

2)1)((

2)1)1)(1(

2)2)(1(

213

2122

)1(22

)1(

2

2

nn

kk

kk

kk

kkk

kkk

1kn

1kn1k

S = N dan rumus tersebut adalah benar untuk semua n N danrumus tersebut adalah benar untuk semua n N.

SEKIAN DAN TERIMA KASIH