CAPITULO IV
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CAPITULO IV
IV. LNEAS DE TRANSMISIN.
IV.1 Introduccin.
Las lneas de transmisin son los elementos constituyentes de un
SEP a travs de los cules se transmiten grandes cantidades de
potencia elctrica de un lugar a otro y lo cual debe de buscar
realizarse en la mejor forma tcnica y econmicamente posible es
decir hay que buscar hacerlo de manera ptima y para lograrlo hay
que hacerlo a niveles de tensin de operacin adecuados de tal manera
que se minimicen los costos de: inversin, amortizacin, operacin y
mantenimiento. Actualmente las lneas de transmisin de potencia
elctrica lo hacen en corriente alterna (ca) y en corriente directa
(cd), aunque la gran mayora son de ca debido a sus ventajas tcnicas
y econmicas sobre las de cd a los niveles de potencia que se
transmite y de tensin de operacin que ms comnmente se utilizan, las
de cd llegan a presentar ventajas sobre las de ca solo si
transmiten grandes cantidades de potencia elctrica a muy altas
tensiones, por lo que cuando se habla de disear lneas de transmisin
en un SEP generalmente se refiere uno a las de ca. En ste captulo
no se pretende tratar como se disea una lnea de transmisin, sino
sealar las caractersticas bsicas ms relevantes, como son: indicar
los fenmenos elctricos y magnticos que se presentan en ellas
durante su operacin en el estado permanente, identificar y calcular
los parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y
capacitancia, para que en base a ellos se calculen la impedancia en
serie y la admitancia en derivacin por fase que presentan, y en
base a estas ltimas se estructuren sus circuitos equivalentes y
estos se utilicen para establecer las expresiones que permitan
calcular las tensiones, corrientes y potencias que se transmiten a
travs de las lneas de transmisin en el estado permanente
equilibrado.
IV.1. Generalidades.
Este tema se iniciar haciendo referencia a los elementos que
constituyen principalmente a las lneas de transmisin, los cules
son: conductores, torres, aisladores, hilos de guarda, herrajes y
contra-antenas.
Los conductores son los elementos a travs de los cules fluye la
energa elctrica y para hacerlo adecuadamente deben de ser de una
material que presente un valor bajo de resistencia a la circulacin
de la corriente, los ms usados son el cobre y el aluminio, en lneas
de transmisin de preferencia se utilizan conductores de aluminio,
lo cual se debe a que tiene menor precio y peso que el cobre, lo
cual permite utilizar apoyos (torres) menos robustos, pero presenta
el inconveniente de tener baja resistencia a la tensin mecnica, lo
cual obliga a localizar los apoyos a distancias menores. Los
conductores que se utilizan en las lneas de transmisin que operan a
tensiones altas actualmente son construidos a base de aluminio
puro, aluminio con alguna aleacin, o el reforzado con alma de
acero, en el mercado a los diferentes tipos de conductores se les
identifica por las iniciales de su denominacin en ingls, como los
casos siguientes:
AAC All Aluminium Conductor.
AAAC All-Aluminium-Alloy Conductors.
ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforce
ACAR Aluminium Conductor Alloy_Reinforced.
Los conductores de las lneas son cables constituidos de varios
alambres trenzados helicoidalmente en varias capas, donde una capa
es enrollada en una sentido y la siguiente en sentido opuesto, lo
cul se hace con el fin de que no se destrencen fcilmente y
presenten buena flexibilidad para poder manipularse. Las diferentes
caractersticas de los conductores las muestran los fabricantes de
conductores en tablas que indican: el nombre con que se identifica
al conductor, el nmero de alambres del material conductor y el
nmero de alambres que se utilizan para reforzarlos, el rea en
circular mils, el radio exterior, el valor de resistencia que
presenta el conductor a la corriente directa y a la corriente
alterna y para esta ltima se indica a que valor de temperatura de
operacin se refieren y tambin para que valor de frecuencia, el
valor de radio medio geomtrico, as como los valores de reactancia
inductiva y capacitiva a un pie de separacin. (Se adicionar
posteriormente una tabla donde se muestren las caractersticas de
los conductores en un apndice al final del libro).
Las torres de las lneas de transmisin son grandes estructuras de
acero que se utilizan como apoyos localizadas a determinadas
distancias una de otra de tal manera que los conductores se
localicen a una altura adecuada con respecto a la superficie del
suelo y no presenten un riesgo alto de que los seres vivos sean
sometidos a intensidades altas de campos elctricos y magnticos, que
los afecten negativamente. Adems por supuesto, para que no vayan a
ser expuestos a descargas elctricas en alta tensin que generalmente
tiene consecuencias mortales. Por supuesto tambin para que los
autos y camiones pasen libremente y de manera segura por debajo de
las lneas.Los aisladores se disponen formando cadenas de longitudes
adecuadas, para aislar y colgar los conductores de las torres que
se encuentran conectadas a tierra. Se les construye a base de
porcelana que es vidriada en su superficie, tambin los hay
completamente de vidrio y otro tipo de ms reciente fabricacin son
los hechos a base de resinas sintticas. En nuestro pas de
preferencia se utilizan los de porcelana y en menor cantidad los de
vidrio, en los pases desarrollados donde se tienen lneas que operan
a tensiones muy altas se utilizan los hechos a base de resinas
sintticas.
Los hilos de guarda son cables de acero que se localizan en las
partes ms altas de las lneas de transmisin con la finalidad de
proporcionar un blindaje a los conductores que transportan la
energa elctrica y no incidan directamente sobre ellos los rayos
producidos por las descargas elctricas de las nubes a tierra y sean
un conducto para que la energa elctrica de la descarga se derive a
tierra a travs de dichos hilos de guarda, las torres y la conexin a
tierra que termina en las contra-antenas.
Las contra-antenas son electrodos a base de un material
conductor como el acero que son enterrados en las bases de las
torres y presentan diferentes arreglos de tal manera que propicien
una conexin a tierra que minimice la resistencia y presente una
trayectoria para que la energa elctrica de los rayos se derive a
tierra y se disipe en sta. El diseo de las contra-antenas es funcin
de la resistividad que presente el terreno.Los herrajes son hechos
a base se acero y sirven para que los conductores se sujeten a las
cadenas de aisladores y para que estas se sujeten a la vez a las
torres que sirven de soportes.
IV.2. PARMETROS DE LAS LNEAS DE TRANSMISIN.
Como se indic anteriormente las lneas de transmisin tienen como
objetivo principal el de ser un medio para transmitir potencia
elctrica en grandes cantidades a grandes distancias, dicha potencia
elctrica como se sabe es funcin de la tensin y de la corriente, por
lo que para una lnea de transmisin trifsica en cada fase se aplica
tensin entre fase y tierra que propicia la circulacin de corriente
a travs de los conductores los cules presentan cierto valor de
resistencia a la circulacin de dicha corriente, la cul es necesario
cuantificar. Adems como la corriente es alterna senoidal origina
lneas de campo magntico que se localizan alrededor de los
conductores, lo cul da lugar al efecto inductivo que se representa
por medio del parmetro de inductancia que se localiza en serie con
la resistenacia, que tambin es necesario cuantificar. Por otra
parte las tensiones que se aplican entre fase y tierra dan lugar a
la presencia de corrientes que se fugan de la lnea hacia tierra y
que circulan a travs de grandes valores de resistencia que
presentan los aislamientos y que por estar en derivacin es ms
conveniente representarlas como conductancias. Dichas tensiones
originan lneas de campo elctrico que dan lugar a los campos
elctricos intensos que se manifiestan como efectos capacitivos
considerables, que se representan por capacitancias en derivacin
que se localizan en paralelo con las conductancias, a travs de
dichas capacitancias tambin se fuga corriente de la lnea hacia
tierra y desde luego ser necesario cuantificar dichas
capacitancias.
En resumen para el anlisis de las lneas de transmisin ser
necesario calcular los parmetros de resistencia, inductancia,
conductancia y capacitancia, que representan cuantitativamente los
fenmenos elctricos y magnticos que se presentan en las lneas de
transmisin solamente durante su operacin en el estado permanente
equilibrado. La representacin de variables y parmetros de la lnea
de transmisin se muestran en la Fig. 4.1.
IV.2.1. RESISTENCIA.
El parmetro de resistencia de una lnea de transmisin se refiere
al que presenta el conductor de cada fase cuando circula por l
corriente alterna senoidal a la frecuencia nominal de 60 Hz., dicho
valor de resistencia depende de varios factores que son: la
resistividad que presenta el material o los materiales de que es
hecho el conductor, de las caractersticas de la corriente que
circula por l, de la longitud, del rea de la seccin transversal y
de la temperatura.
La resistencia de los conductores es necesario determinarla
porque en base a ella se determinan en gran medida las prdidas de
potencia activa en la lnea, y al estar conectada en serie con la
reactancia inductiva colabora a la cada de tensin. El trmino de
resistencia se refiere a la resistencia efectiva de un conductor,
que se define as:
(4.1)
Donde la potencia esta en watts e |I| es el valor eficaz de la
corriente en amperes. La resistencia efectiva es igual a la
resistencia del conductor solo si la distribucin de la corriente a
travs de l es uniforme. La resistencia que un conductor presenta a
la corriente directa es dada por la frmula:
(4.2)
Donde:
( - resistividad del conductor.
- longitud del conductor.
A rea de la seccin transversal.
Cualquier conjunto consistente de unidades puede ser utilizado,
en unidades inglesas se tiene que es dado en pies, A en circular
mils (CM), y ( en ( - CM por pie. En el sistema internacional de
unidades esta en metros, A en metros cuadrados y ( en ( - m. El
circular mil es el rea de un circulo cuyo dimetro es de un milsimo
de pulgada. La resistividad del aluminio a una temperatura de 200 C
es de 2.83 x 10-8 ( - m ( 17.0 ( - CM / pie), que es el material
que preferentemente se utiliza en los conductores de las lneas de
transmisin.
La resistencia de los conductores metlicos varia
proporcionalmente con la temperatura dentro de los rangos normales
de operacin, tal y como se muestra en la Fig. 4.2.
En la grfica se aprecia el punto de interseccin de la recta con
el eje de temperatura para un valor de resistencia cero,
identificado por T, que es un valor constante para cada material,
que puede tomar los valores siguientes.
T = 234.5 - para cobre con 100% de conductividad.
T = 241 - para cobre estirado en fro de 97.3 % de
conductividad
T = 228 - para aluminio estirado en fro de 61% de
conductividad
De acuerdo con la variacin lineal del valor de resistencia con
la temperatura, se puede establecer la expresin siguiente.
(4.2)
El valor de resistencia calculado de acuerdo con la expresin
(4.2) considera que la corriente es directa y que sta se distribuye
uniformemente en el rea de la seccin transversal del conductor,
pero el tipo de corriente que circula por los conductores de las
lneas de transmisin en un SEP generalmente es corriente alterna
cuya distribucin no es uniforme en el rea de la seccin transversal
del conductor y dicha no uniformidad es debida al efecto piel el
cual depende de la frecuencia de la corriente. La no uniformidad se
manifiesta mediante una densidad de corriente que se incrementa
progresivamente desde el centro del conductor hacia el exterior,
provocando que la corriente alterna tienda a circular
preferentemente por la periferia del conductor, razn por la cul a
ste fenmeno se le conoce como efecto piel. Esto se debe a que la
corriente alterna produce lneas de flujo magntico concntricas al
conductor que parten desde el centro del mismo y se expanden
tericamente hasta el infinito, de tal manera que la cantidad de
lneas de flujo que eslabonan a la parte central del conductor son
en mayor nmero y ste decrece conforme se desplaza hacia la
periferia, de tal manera que la tensin inducida en la parte central
del conductor es mayor provocando una oposicin mayor a la
circulacin de la corriente en esa parte, la cual va decreciendo de
la parte interna hacia la externa produciendo el efecto piel.
El clculo de la resistencia de los conductores considera los
factores siguientes: la resistividad del material, la longitud y el
rea de la seccin transversal del conductor, la temperatura, el
efecto piel y adems el hecho de que los cables pueden estar
constituidos de alambres del mismo material o de materiales
diferentes, del mismo calibre o de calibres diferentes.
Afortunadamente los fabricantes de conductores determinan los
valores de resistencia y los proporcionan en tablas, en los cuales
solo hay que consultarlos.Distancia Media Geomtrica Propia y
Mutua.
Antes de mostrar como se determinan los parmetros de inductancia
y capacitancia se van a establecer dos conceptos matemticos en los
cules se basa la obtencin de ambos parmetros. Para establecerlos es
necesario considerar que se tiene dos grupos de conductores uno
constituido por n conductores y otro de m conductores, tal y como
se muestra en la Fig. 4.3.
El concepto matemtico de distancia media geomtrica se puede
aplicar a un grupo de elementos o a dos grupos de elementos, que en
este caso son los grupos de conductores que se muestran en la Fig.
4.3. Primero se definir el concepto de Distancia Media Geomtrica
Propia (DMGp), que es tambin conocida como Radio Medio Geomtrico
(RMG), el cul en este caso se establece en relacin al grupo de
conductores A de la Fig. 4.3, como la raz n-cuadrada-sima del
producto de las distancias de cada conductor a s mismo y a los dems
del mismo grupo, que matemticamente se expresa as:
(4.3)
Para el grupo de conductores B se tendra:
(4.4)
El concepto de Distancia Media Geomtrica Mutua entre dos grupos
de conductores se define como la raz mn-sima del producto de las
distancias de cada conductor de un grupo a cada uno de los
conductores del otro grupo, que para el caso entre los grupos de
conductores A y B se tiene lo siguiente:
(4.5)
Debido a la coincidencia entre los valores de las distancias
entre ambos grupos de conductores, la DMG mutua de A a B es igual a
la de B a A.
Distribuciones de los Campos Elctricos y Magnticos en la Lnea de
Transmisin.
A las lneas de transmisin se les aplica simultneamente tensiones
de fase a tierra y de fase a fase, as como corriente en cada fase
para que transmitan potencia elctrica a travs de ellas, debido a
las tensiones aplicadas se establecen campos elctricos que pueden
ser representados por lneas de flujo elctrico dirigidas de cada
conductor de fase hacia tierra y de un conductor hacia otro
conductor tal y como lo muestran las lneas punteadas de la Fig.
4.4. La corriente que circula por cada conductor produce campos
magnticos que son representados por lneas de flujo magntico que
enlazan a los conductores por los que circula la corriente que los
origin y adems puede ser que enlacen tambin a otro u otros
conductores, lo cul tambin se muestra mediante las lneas continuas
en la Fig. 4.4, que muestra la distribucin de los campos elctrico y
magntico entre dos conductores de una lnea monofsica, que incluye
tambin el efecto de la presencia de la tierra.
IV.2.2. INDUCTANCIA.
El parmetro de inductancia de la lnea de transmisin, es aquel
que representa la cuantificacin del efecto magntico producido por
la circulacin de la corriente alterna en cada uno de los
conductores de las fases, as que la corriente en cada fase produce
lneas de flujo magntico que eslabonan a la misma corriente que las
produce y tambin una parte de ellas llegan a eslabonar las
corrientes que circulan por los otros conductores que constituyen
la lnea y como la inductancia es la relacin de la variacin del
flujo magntico con respecto a la variacin de la corriente, entonces
en la lnea se pueden establecer en general dos tipos de relaciones
entre flujo y corriente, una que es la relacin del flujo producido
por una determinada corriente a la misma corriente que lo produce a
la cul se le identifica como inductancia propia y a la relacin del
flujo que es producido por una determinada corriente pero que
eslabona a una corriente que no lo produce se le identifica como
inductancia mutua. Para considerar los efectos antes citados se
establece una expresin para la inductancia por fase que los
comprende ha ambos, lo cul se mostrar en esta seccin, que permitir
poder calcular la reactancia inductiva que determina en proporcin
mayoritaria la magnitud de la impedancia en serie por fase que
presenta una lnea y por lo tanto de la magnitud de la cada de
tensin , de la regulacin de la tensin, y desde luego tambin es
parte importante de la magnitud de las prdidas reactivas
inductivas.
De acuerdo con la Ley de Faraday la tensin inducida por la
presencia de flujo magntico variable es dada por la expresin. , y
la expresin de la tensin aplicada a una inductancia es:, por lo que
si se igualan , se determina que: , que indica que el parmetro de
inductancia en un circuito representa la relacin de la variacin de
los eslabonamientos flujo magntico a la variacin de la corriente.
El eslabonamiento de flujo, se debe interpretar como aquella lnea
de flujo que eslabona a un conductor o ms precisamente a una
corriente y dichos eslabonamientos de flujo son dados por la
relaciones siguientes: , cuando la relacin de flujo a corriente es
lineal. As que la inductancia se pude expresar como L = ( / i ,
donde i es la corriente instantnea en amperes y ( es el
eslabonamiento de flujo en weber-vuelta.
El flujo creado por la corriente se expande en forma de lneas de
flujo cerradas concntricas, partiendo desde la parte central del
conductor hacia el exterior y tericamente hasta el infinito, de tal
manera que habr lneas de flujo interiores y exteriores. As que el
valor de la inductancia deber comprender los eslabonamientos de
flujo internos que solamente eslabona a una fraccin de la corriente
y los eslabonamientos de flujo externos que eslabonan a toda la
corriente que transporta el conductor, es decir que la inductancia
total de un conductor comprender la inductancia interna ms la
inductancia externa.
IV.2.2.a. Inductancia Interna de un Conductor Cilndrico.
Para determinar la expresin de la inductancia interna de un
conductor cilndrico como el que se ilustra en la Fig. 4.4, en el
cul se considera que no hay ningn conductor cercano que influya en
la distribucin de las lneas de flujo, sobretodo el conductor de
retorno. Se parte de la Ley de Ampere, que establece que la fuerza
magnetomotriz en ampere-vueltas alrededor de cualquier trayectoria
cerrada es igual a la corriente neta encerrada por la trayectoria.
La fmm es igual a la integral de lnea alrededor de la trayectoria
cerrada de la componente de la intensidad de campo magntico, que es
tangente a la trayectoria y es dada por la ecuacin (4.6).
A-vueltas.(4.6)
Donde:
H Intensidad de campo magntico.
s Distancia a lo largo de la trayectoria de integracin.
I Corriente eslabonada.
El punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente
tangente a la trayectoria ds. Si se considera que la intensidad de
campo magntico a una distancia de x metros desde el centro del
conductor es Hx, el cul es constante en todos los puntos
equidistantes desde el centro del conductor, de tal manera que la
integracin indicada en (4.6) en la trayectoria circular concntrica,
da como resultado la corriente Ix, como se muestra en la ecuacin
(4.7).
(4.7)
Donde Ix es la corriente eslabonada, que en este caso es dada
por la expresin siguiente.
2 ( x Hx = Ix(4.8)
Si se supone que la densidad de corriente es uniforme, se
tiene:
(4.9)
Donde I es la corriente total. Sustituyendo (4.9) en (4.8), se
obtiene.
(4.10)
Como: B = ( H, entonces:
(4.11)
Donde:
B Densidad de flujo magntico.
( - Permeabilidad del material del conductor.
En el elemento tubular de espesor dx el flujo d( es dado por el
producto de Bx por el rea de la seccin transversal del elemento
normal a las lneas de flujo, donde el rea es dada por dx veces la
longitud axial. Por lo que el flujo por metro de longitud ser:
(4.12)
Los eslabonamientos de flujo d( por metro de longitud, que son
producidos por el flujo en el elemento tubular, son dados por el
producto del flujo por metro de longitud y la fraccin de corriente
enlazada.
(4.13)
Integrando desde el centro del conductor hasta la superficie del
conductor de radio r, se tiene:
(4.14)
Se sabe que: ( = (0 (rDonde: (r = 1 y (0 = 4 ( (10-7) H / m
Entonces se tiene que:
(4.15)
(4.16)
Esta ltima expresin es la inductancia interna por unidad de
longitud de un conductor cilndrico.
IV.2.2.b. Inductancia Externa Entre Dos Puntos a un Conductor
Cilndrico.
Para calcular la inductancia externa a un conductor cilndrico es
necesario primero calcular los eslabonamientos de flujo externos
entre dos puntos P1 y P2 localizados a una distancia D1 y D2
respectivamente a partir del centro de un conductor aislado que
lleva una corriente I, que produce lneas de flujo concntricas, tal
y como se muestra en la Fig. 4.7, en la cul se muestra un elemento
tubular de espesor dx, localizado a x metros del centro del
conductor, en donde la intensidad del campo magntico es Hx, de tal
manera que la fmm alrededor del elemento es dada por la expresin
(4.17).
(4.17)
La densidad de flujo en el punto x ser:
(4.18)
El flujo en el elemento tubular de espesor dx , es:
EMBED Equation.3
(4.19)
Los enlaces de flujo externos al conductor son iguales a el
flujo exterior y enlazan a toda la corriente en el conductor solo
una vez. Por lo que los enlaces de flujo entre P1 y P2, son:
(4.20)
Si (r = 1, entonces:
EMBED Equation.3 (4.21)
La inductancia debida al flujo entre P1 y P2, es:
EMBED Equation.3 (4.22)
IV.2.2.c. Enlaces de Flujo de un Conductor en un Grupo de
Conductores.
Las lneas de transmisin en alta tensin utilizan como conductores
a los cables que estn constituidos por grupos de alambres, as que
cada a cable se le puede considerar como un grupo de n conductores
y donde cada uno de ellos correspondientemente conduce la corriente
I1, I2, I3,...., In. Las distancias de cada uno de estos
conductores a un punto P se muestran en la Fig. 4.8, que se utiliza
como referencia para determinar los enlaces de flujo en un
conductor, que en ste caso es el conductor 1, cuando se consideran
los enlaces de flujo internos y externos producidos por I1 y los
enlaces de flujo sobre dicho conductor producido por cada una de
las corrientes que circula por cada uno de los dems conductores del
grupo, pero se excluye todo el flujo mas all del punto P.
Los eslabonamientos de flujo debidos a I1, son:
(4.23)
(4.24)
Los enlaces de flujo sobre el conductor 1 debidos a I2, pero que
excluyen los que estn ms all del punto P, son:
(4.25)
Los enlaces de flujo totales sobre el conductor 1, pero
excluyendo los que estn ms all del punto P, son:
(4.26)
Al expandir los trminos logartmicos y reagrupar, se obtiene.
(4.27)
Si la suma de las corrientes del grupo de conductores es
cero.
, entonces: In = -( I1 + I2 + I3 +.In-1)
Sustituyendo la expresin para In en el ltimo trmino de (4.27) y
reagrupando los ltimos n trminos de la misma ecuacin se
obtiene:
(4.28)
Finalmente si se aleja el punto P hasta una distancia infinita,
se igualarn las distancias D1p, D2p, e inclusive Dnp, por lo que
los ltimos (n 1) trminos se hacen cero, quedando la expresin
siguiente.
(4.29)
Al considerar que el punto P se aleja hasta el infinito se
incluyen todos los enlaces de flujo sobre el conductor 1.
IV.2.2.d. Inductancia de Lnea Monofsica Constituida por Dos
Cables.
Ahora se considera que se tiene una lnea monofsica constituida
por dos grupos de conductores, uno de los cules esta formado por n
hilos idnticos paralelos y se le identifica como el conductor A y
el otro como el conductor B constituido por m hilos idnticos
paralelos, tal y como se muestra en la Fig. 4.9.
Cada hilo del conductor A transporta una corriente de valor I /
n, al cul se le considera el conductor de ida y cada hilo del
conductor B, que es el de retorno se considera que transporta una
corriente de valor -I /m. Al aplicar los conceptos que implic el
establecimiento de la ecuacin (4.29) al hilo a del conductor A, se
determinan los enlaces de flujo sobre el hilo a, cuya expresin
es:
(4.30)
Que se puede expresar de la forma equivalente siguiente:
(4.31)
Si se divide la expresin anterior entre I/n, se determinar la
inductancia del hilo a.
(4.32)
La inductancia del hilo b, ser:
(4.33)
La inductancia promedio de los hilos del conductor A, ser:
(4.34)
Si se considera que los n - hilos del conductor A estn en
paralelo y cada uno tiene una inductancia igual al de la Lprom,
entonces la inductancia del conductor A se determinar por medio de
la siguiente expresin.
(4.35)
Si se sustituye cada una de las expresiones que corresponden a
las inductancias en la expresin anterior y se reagrupan los trminos
logartmicos, se obtiene:
4.36
Para darle a la expresin anterior una representacin homognea se
han reemplazado los valores de ra, rb y rc por Daa, Dbb y Dcc
respectivamente. Al numerador del argumento del logaritmo se le ha
identificado como la Distancia Media Geomtrica Mutua (DMGm) entre
dos grupos de conductores, tal y como se indic en la expresin (4.5)
y al trmino del denominador se le identific como Radio Medio
Geomtrico (RMG) de un grupo de conductores, tal y como se indic en
las expresiones (4.3) y (4.4), por lo que la expresin (4.36), se
puede expresar as:
(4.37)
Anlogamente, se tendr que:
(4.38)
Debido a que la corriente en cada conductor tiene direccin
opuesta, las inductancias se suman y la inductancia de la lnea
monofsica estar dada por la expresin siguiente.
Si se considera que la DMGm entre grupos de conductores es igual
a la distancia D entre centros de grupos de conductores y que los
dos grupos de conductores tienen conductores idnticos y el mismo
nmero de conductores, lo que origina que: RMG =RMGA =RMGB, entonces
la expresin anterior se simplifica a la forma siguiente.
(4.39)
Que es la expresin para la inductancia de una lnea monofsica
constituida por dos cables de la mismas caractersticas.
IV.2.2.e. Inductancia de Una Lnea Trifsica con Disposicin
Simtrica.
En ste caso se considera que el conductor de cada fase, que es
un cable del mismo calibre, se localiza en los vrtices de un
tringulo equiltero, tal y como se muestra en la Fig. 4.10. Donde la
corriente en cada fase tiene forma de onda alterna senoidal, que en
cada caso es representada por su fasor de corriente y las tres
corrientes forman un conjunto de tres fasores equilibrados cuya
suma es cero ( Ia + Ib + Ic = 0 ).
La ecuacin establecida para determinar los eslabonamientos de
flujo sobre un conductor cuando est en un grupo de conductores,
dada por la expresin (4.29), y que al aplicarse a ste caso da lugar
a la expresin siguiente.
Como: Ia = - ( Ib + Ic ), entonces.
Por lo que la inductancia por fase de la lnea ser:
(4.40)
La inductancia para las fases b y c tendrn la misma expresin
como la ecuacin (4.40), lo cul se debe a que para esta disposicin
los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor son iguales.
IV.2.2.f. Inductancia de una Lnea Trifsica con Disposicin
Asimtrica.
En el caso de que los conductores de cada fase de una lnea
trifsica sean dispuestos en los vrtices de un tringulo que no es
equiltero los eslabonamientos de flujo sobre cada conductor sern
diferentes, lo que ocaciona que la inductancia de cada uno de ellos
sea diferente, lo cul no es deseable, por lo que se recomienda
efectuar con ellos un ciclo de transposicin, que consiste en
cambiar de posicin cada conductor cada tercera parte de la longitud
total de la lnea, de tal manera que a lo largo del ciclo completo
de transposicin cada conductor habr ocupado las tres posiciones en
longitudes iguales, lo que propiciar que los eslabonamientos de
flujo sobre cada conductor de fase en promedio ser igual y dar
lugar a una inductancia igual para cada fase, esto se muestra en la
Fig. 4.12, donde los conductores de las fases a, b y c ocupan las
posiciones 1, 2 y 3 a lo largo de la lnea.
En realidad las lneas de transmisin es difcil que se transpongan
a intervalos regulares y lo ms comn es que la transposicin se
llegue a efectuar en las subestaciones o en algn lugar a lo largo
de la lnea, que lo permita por las caractersticas del terreno y no
necesariamente en un ciclo completo. Inclusive gran cantidad de
lneas ni siquiera se transponen en algn lugar, pero
independientemente de que la lnea se transponga o no desde el punto
de vista analtico se considera que las lneas son transpuestas en un
ciclo completo.
Para calcular los eslabonamientos de flujo promedio sobre cada
conductor en una lnea que se supone est transpuesta, se determinan
las expresiones de los eslabonamientos de flujo en cada posicin del
ciclo de transposicin y luego se obtiene el valor promedio. De
acuerdo con la Fig. 4.11 para la fase a, el primer tercio el
conductor est en la posicin 1, el de la fase b en la posicin 2 y el
de la fase c en la posicin 3. Los eslabonamientos de flujo sobre el
conductor de la fase a se obtiene aplicando la expresin (4.29).
(4.41
Con a en la 2, b en la 3 y c en la 1, se tiene.
(4.42)
Con a en la posicin 3, b en la1 y c en la 2, se tiene.
(4.43)
El valor promedio de los eslabonamientos de flujo sobre el
conductor a, son:
(4.44)
(4.45)
Si en la lnea trifsica se cumple que: Ia = - ( Ib + Ic ),
entonces.
(4.46)
La inductancia promedio por fase es.
(4.47)
Donde:
(4.48)
Ejemplo 4.1.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva
por Km. y por fase, de una lnea trifsica que tiene un conductor por
fase el cul es del tipo ACSR, denominado Rail, cuyo RMG es de un
valor de 0.0386 pies. La disposicin y distancias se muestran en la
Fig. 4.12.
Solucin.
El RMG que esta expresado en pies es conveniente expresarlo en
metros, as.
RMG = 0.0386 pies = 0.01176 metros
La inductancia se calcula con la expresin 4.47, por lo que es
necesario determinar Deq, por medio de igualdad siguiente.
La reactancia inductiva si f = 60 Hz. es:
IV.2.2.g. Inductancia de Lneas Trifsicas de Varios Conductores
por Fase
En las lneas trifsicas en alta tensin ha sido necesario
incrementar las magnitudes de las tensiones de operacin, lo que ha
ocasionado que las intensidades de campo elctrico en las vecindades
de los conductores se incrementen tambin y esto ha provocado que la
ionizacin del aire circunvecino a los conductores se incremente,
manifestndose por medio del aumento de las prdidas por efecto
corona y de los niveles de interferencia en las seales de radio,
televisin y en general de comunicaciones. Estos efectos indeseables
se pueden reducir si se utilizan varios conductores por fase debido
a que se logra una mejor distribucin del campo elctrico, por lo que
se utilizan varios conductores por fase que pueden ser dos, tres y
hasta cuatro, en las disposiciones que se muestran en la Fig.
4.14.
Otras consecuencias positivas de utilizar grupos de conductores
se debe a que el RMG del grupo de conductores se incrementa con el
nmero de estos, lo cul se manifiesta con la reduccin de la
inductancia del grupo de conductores comparada con la que se
calcula para un solo conductor por fase.
La inductancia de las lneas que estn constituidas por grupos de
conductores se determinan mediante la misma frmula que se estableci
para el caso de un conductor por fase, pero con la diferencia de
que en la frmula en lugar de utilizar el RMG del conductor se debe
de utilizar el RMG del grupo de conductores, que en cada caso es
igual a la expresin siguiente.
Para dos conductores por fase.
(4.49)
Para tres conductores por fase.
(4.50)
Para cuatro conductores por fase.
(4.51)
Donde: d es la distancia entre conductores del grupo, tal y como
se muestra en la Fig. 4.14, RMG es el radio medio geomtrico de cada
conductor del grupo que desde luego son iguales y RMGg es la
distancia media geomtrica propia del grupo de conductores o radio
medio geomtrico del grupo, que se obtiene aplicando los conceptos
sealados anteriormente en las expresiones (4.3) y (4.4). Entonces
la expresin para la inductancia para grupos de conductores es:
(4.52)
Ejemplo 4.2.- Calcule la inductancia y la reactancia inductiva
por fase de una lnea trifsica con disposicin asimtrica que tiene
tres conductores por fase, que se muestra en la Fig. 4.15. Se
utilizan conductores ACSR denominados Dove, que tienen un RMG de
0.0314 pies, considere que f = 60 Hz. Las distancias entre centros
de grupos de conductores son: D12 = D31 = 5 m. y D23 = 8.66 m.
Adems calcule la reactancia inductiva total si la lnea tiene una
longitud de 320 Km.
Solucin.De acuerdo con la expresin (4.48), se calcula Deq:
De acuerdo con la expresin (4.50), se calcula RMGg, cuando el
RMG del conductor en metros es: RMG = 0.00957 m. y d = 0.25 m., por
lo tanto:
La inductancia por fase de acuerdo con (4.52), es:
La reactancia inductiva por fase es:
La reactancia inductiva total por fase si la lnea tiene una
longitud de 320 Km. es:
IV.2.3. CAPACITANCIA.
En la lneas de transmisin al aplicrseles voltajes entre fase y
tierra y entre conductores se crean campos elctricos que se
manifiestan por la presencia de lneas de campo elctrico que van
desde las cargas positivas a las negativas, en el primer caso desde
el conductor hacia tierra y en el segundo caso de un conductor
hacia el otro, tal y como se ilustra en la Fig. 4.4, dichas lneas
de flujo elctrico se propagan en un medio aislante que en el caso
de las lneas areas es el aire el cul presenta una determinada
constante de permitividad ((0 = 8.85 x 10-12 F/m), y como es sabido
todo aislante bajo la aplicacin de un campo elctrico se polariza en
la direccin del campo, formndose en el dipolos que se alargan
almacenando energa potencial que en ste caso se manifiesta como
energa elctrica. Entonces en las lneas de transmisin se aplica
tensin entre dos electrodos que pueden ser un conductor y tierra, o
un conductor y otro conductor, y que en ambos casos se localiza un
aislante entre ellos que es el aire, que tiene la capacidad de
almacenar carga elctrica, y si a la relacin de carga a voltaje se
le conoce como capacitancia, entonces en las lneas de transmisin
areas habr capacitancia entre conductor y tierra y entre
conductores, los cules son parmetros que hay que cuantificar ya que
afectan el comportamiento elctrico de las lneas de transmisin.
A la capacitancia se le ha identificado como la relacin de carga
a voltaje, pero tambin se puede demostrar que depende
geomtricamente de la forma y dimensiones de los electrodos, de la
separacin entre estos, y del tipo de aislante que se localiza entre
ellos, de tal manera que ste parmetro alcanza valores ms
significativos a medida que las dimensiones de la lneas aumentan y
como se sabe stas son funcin de la magnitud de la tensin que se les
aplique, as que el efecto capacitivo es ms significativo en lneas
de transmisin que operan a niveles de tensin mayores y que
generalmente son las ms largas, debido a que el efecto capacitivo
se localiza en derivacin y ste crece de manera proporcional con la
longitud de la lnea.
El voltaje que se aplica a las lneas de transmisin tiene forma
de onda senoidal y como ste tiene una relacin lineal con la carga
entonces el comportamiento de la carga incrementar y decrecer con
el incremento y decrecimiento del valor instantneo del voltaje en
un punto determinado. Como se sabe a la variacin de la carga se le
conoce como corriente, y si sta es producida por la carga y
descarga de la lnea debido a la aplicacin de un voltaje alterno
sobre la capacitancia en derivacin, provoca que dicha corriente
fluya del conductor hacia tierra o hacia otro conductor y se
manifieste como una corriente de fuga o de carga, sta corriente se
fugar de la lnea aunque no halla carga conectada.
IV.2.3.a. Campo Elctrico y Voltaje en la Vecindad de un
Conductor Cilndrico Slido.
Partiendo de considerar que se tiene un conductor cilndrico
recto en el cul se localiza carga uniformemente distribuida
alrededor de su periferia, que esta fuera de la influencia de otras
cargas e inmerso en un medio aislante, tal y como se muestra en la
Fig. 4.16, donde la circunferencia en lnea punteada representa
puntos equipotenciales que tienen la misma densidad de flujo.
La densidad de flujo a x metros del centro del conductor puede
ser calculada considerando una superficie cilndrica concntrica al
conductor que tiene un radio de x metros. La densidad de flujo
elctrico en la superficie del cilindro es igual a flujo por metro
de longitud saliendo del conductor dividido por el rea de la
superficie en una longitud axial de un metro, y la expresin es.
(4.53)
Donde:
q carga en el conductor en coulombs por metro de longitud.
x distancia en metros desde el centro del conductor al punto
donde D es calculado.
Si se sabe que en un medio aislante lineal la relacin entre los
vectores de densidad de flujo elctrico y el de intensidad de campo
elctrico es dado por la expresin. D = ( E, entonces la intensidad
de campo elctrico a una distancia x del centro del conductor es
dada por la expresin.
(4.54)
La intensidad de campo elctrico es la fuerza que se aplica sobre
la carga en un punto determinado del campo y la integral de lnea
entre dos puntos de la fuerza que acta sobre una carga positiva es
el trabajo hecho para mover la carga desde un punto de menor a uno
de mayor potencial, es igual a la diferencia de potencial entre los
dos puntos.
Para establecer la expresin de la diferencia de potencial entre
dos puntos en la vecindad de un campo elctrico creado por una carga
que se considera que esta uniformemente distribuida a lo largo de
un conductor, que se puede reemplazar por una carga equivalente
concentrada en el centro de dicho conductor de valor q [C/m], tal y
como se muestra en la Fig. 4.17.
Los puntos P1 y P2 se localizan a las distancias D1 y D2 a
partir del centro del conductor y la carga positiva sobre el
conductor ejercer una fuerza de repulsin sobre las cargas positivas
que se coloquen en el campo, por lo que en este caso como D2 es
mayor que D1 se debe de realizar trabajo sobre una carga positiva
para moverla de P2 a P1, ya que P1 esta a un mayor potencial que
P2. Debido a que la diferencia de potencial es independiente de la
trayectoria que se siga, la forma ms simple de determinar la
diferencia entre los dos puntos P1 y P2 ser mediante la integracin
de la intensidad de campo en una trayectoria radial entre las
superficies equipotenciales, por lo que:
(4.55)
La diferencia de potencial dada por la ecuacin (4.55) puede ser
positiva o negativa dependiendo de si la carga q es positiva o
negativa y de que si la diferencia de potencial se calcule desde el
punto ms cercano a la carga hasta el ms alejado, o viceversa. Adems
el trmino logartmico es positivo o negativo dependiendo de que D2
sea mayor o menor que D1.
IV.2.3.b. Capacitancia de una Lnea de Dos Alambres.
La capacitancia entre dos alambres se debe interpretar como la
relacin de la carga sobre los conductores por unidad de diferencia
de potencial entre ellos, por lo que la capacitancia por unidad de
longitud se puede expresar as.
(4.56)
Donde:
q carga en la lnea en coulombs por metro.
v diferencia de potencial entre conductores en volts.
La capacitancia entre los dos alambres se puede determinar si se
sustituye en (4.56) la expresin obtenida para v de la ecuacin
(4.55), en ste caso para llevarlo a cabo se tomar como referencia
la Fig. 4.18, donde el voltaje vab entre los dos alambres a y b se
determinar aplicando el principio de superposicin considerando que
es la suma de las cadas de voltaje causadas por la carga en cada
conductor.
Entonces la expresin de la diferencia de potencial vab
ocasionada por la presencia de las cargas qa y qb sobre cada
conductor de acuerdo con la expresin (4.55) se determina as.
Primero se considera el efecto de qa, donde ra representa a D1 y D
representa a D2, luego se superpone el efecto de qb donde D
representa a D1 y rb representa a D2, dando lugar a la expresin
(4.57).
(4.57)
Como en este caso se cumple que: qa = - qb, entonces.
(4.58)
Que da lugar a la expresin.
(4.59)
De tal manera que la capacitancia ser dada por la expresin.
(4.60)
Generalmente se tiene que ra = rb = r, por lo que:
(4.61)
Esta expresin permite el clculo de la capacitancia entre los
conductores a y b, en funcin de la cul se puede establecer una
expresin que calcule la capacitancia al neutro o a tierra, cuya
interpretacin se muestra en la Fig. 4.19.
(
Si la capacitancia entre conductores Cab de la ecuacin (4.60) es
dividida entre Vab, la correspondiente para Can o Cbn de acuerdo a
la Fig. 4.19(B) solo se le aplicar Vab/2, por lo que la expresin
resultante ser.
(4.62)
IV.2.3.c. Capacitancia de una Lnea Trifsica con Disposicin en
Tringulo Equiltero.
Cuando tres conductores de radio r se localizan en los vrtices
de un tringulo equiltero y las cargas en cada uno de ellos se
considera que estn uniformemente distribuidas, tal y como se
muestra en la Fig. 4.20. Entonces el voltaje Vab debido a las
cargas qa, qb y qc es dado por la expresin (4.63).
(4.63)
Determinando anlogamente el voltaje Vac, se tiene.
(4.64)
Hay que sealar que solo existen las tres cargas de los
conductores y que el efecto de la tierra es ignorado, por lo que se
cumple que: qa + qb + qc = 0, de tal manera que si se suman los
voltajes Vab y Vac, se obtiene la expresin (4.65).
(4.65)
Como qb + qc = - qa, entonces se tiene.
(4.66)
Ahora se construye el diagrama fasorial con los voltajes de lnea
y el voltaje al neutro de la fase a como se muestra en la Fig.
4.21.
La relacin entre los voltajes de lnea Vab y Vac, y el voltaje de
fase a neutro Van de acuerdo a la Fig. 4.21, es la siguiente.
Sumando los voltajes de lnea anteriores, se obtiene.
Vab + Vac = 3 Van (4.67)
Sustituyendo (4.57) en (4.66), es obtiene.
(4.68)
Si la capacitancia es la relacin de carga a voltaje, la
capacitancia al neutro, ser.
(4.69)
IV.2.3.d. Capacitancia de Lneas Trifsicas con Disposicin
Asimtrica.
Cuando los conductores de las lneas de un conductor por fase se
localizan en los vrtices de un tringulo que no es equiltero se dice
que estn localizados en una disposicin asimtrica, tal y como se
muestra en la Fig. 4.22.
En este caso las capacitancias al neutro de cada fase sern
diferentes puesto que las diferencias de potencial entre cada par
de conductores es diferente debido a que el campo elctrico global
producido por la presencia de las cargas sobre los conductores no
presenta una distribucin que propicie la igualdad de dichas
diferencias de potencial, as que lo ms conveniente para aproximarse
a que esto se de, se considerar que la lnea se transpone en un
ciclo de transposicin, tal y como se consider anteriormente para
calcular la inductancia.
Por lo que si se toma como referencia la Fig. 4.22, donde se
considera que durante el primer tercio del ciclo de transposicin el
conductor de la fase a esta en la posicin 1, el de la fase b en la
posicin 2 y el de la fase c en la posicin 3: La expresin para Vab,
ser.
(4.70)
Cuando el conductor de la fase a esta en la posicin 2, el de la
fase b en la posicin 3 y el de la fase c en la posicin 1, se tiene
que Vab, es.
(4.71)
Cuando el conductor de la fase a esta en la posicin 3, el de la
fase b en la posicin 1 y el de la fase c en la posicin 2, se tiene
que Vab, es.
EMBED Equation.3 (4.72)
Si se desprecia la cada de voltaje a lo largo de la lnea
entonces el voltaje al neutro de una fase en una parte del ciclo de
transposicin es igual en cualquier parte del ciclo y esto tiene
como consecuencia que el voltaje entre cualquier par de conductores
ser el mismo en cualquier parte a lo largo de la lnea. Respecto a
la carga en un conductor esta es diferente cuando la posicin del
conductor cambia con respecto a los otros conductores, pero con los
espaciamientos y conductores usuales suficiente exactitud se
obtiene si se considera que la carga por unidad de longitud es la
misma en cada parte del ciclo de transposicin. Cuando sta ltima
suposicin es asumida con relacin a la carga entonces el voltaje
entre un par de conductores es diferente para cada parte del ciclo
de transposicin, por lo que un valor representativo ser un valor
promedio del voltaje entre conductores para cada parte del ciclo de
transposicin y en funcin de este voltaje promedio se podr
determinar un valor representativo para la capacitancia. Entonces
el voltaje promedio entre los conductores a y b es.
(4.73)
Donde:
(4.74)
Anlogamente se determina que el valor promedio del voltaje entre
los conductores a y c, es.
(4.75)
Ahora de acuerdo con la igualdad (4.67), se tendr que:
Debido a que: qa + qb + qc = 0, entonces:
Y la capacitancia al neutro ser:
F/m al neutro (4.76)
Esta es la expresin que se utiliza para calcular la capacitancia
al neutro de una lnea trifsica con disposicin asimtrica tal y como
se ilustra mediante el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4.3.- Calcule la capacitancia y la reactancia capacitiva
por Km. para la lnea trifsica cuyos datos se citan en el ejemplo
4.1 y cuyo radio del conductor es 1.165 pulg.
solucin.
Para calcular la capacitancia se hace por medio de la frmula
(4.76), donde.
Sustituyendo en (4.76) se tiene.
La reactancia capacitiva ser:
IV.2.3.e. Capacitancia de Lneas Trifsicas con Varios Conductores
por Fase.
Las lneas trifsicas pueden estar constituidas por uno, dos, tres
y hasta cuatro conductores por fase, para las cuales se deben de
establecer las ecuaciones para voltaje del conductor a al b como se
hizo para la ecuacin (4.70), excepto que ahora se deben considerar
las cargas en todos los conductores de los tres grupos de
conductores. Por ejemplo si se considera una lnea trifsica de dos
conductores por fase como la mostrada en la Fig. 4.23, donde se
considera que la carga por grupo de conductores se divide
igualmente entre cada conductor del grupo y que las distancias
entre centros de grupos de conductores es mucho mayor que las
distancias entre conductores de un mismo grupo o conductores de una
fase. La exactitud en los resultados no se ve alterada por estas
consideraciones de manera significativa.
Si la carga del conductor a es qa, cada uno de los conductores a
y a tendrn una carga de qa/2 y similar divisin de carga es asumida
para los otros conductores de las fases b y c, entonces.
(4.77)
Haciendo simplificaciones se llega a la expresin siguiente.
(4.78)
La ecuacin (4.78) es equivalente a la ecuacin (4.70) con la
diferencia de que en lugar de r esta la cantidad . Por lo que si se
considera que la lnea es transpuesta, se obtendr que la
capacitancia es dada por la expresin (4.79).
(4.79)
El trmino es similar al trmino RMGg de la expresin (4.49)
excepto que r reemplaza al trmino RMG, esto da lugar a que se
concluya que el mtodo de la Distancia Media Geomtrica se aplique al
clculo de la capacitancia, pero modificado debido a que en lugar de
usar el RMG del conductor se utiliza el radio del conductor. Si se
hace extensivo el mtodo a los casos de tres y cuatro conductores
por fase se obtiene.
Para un grupo de dos conductores por fase se tiene.
(4.80)
Para tres conductores por fase se tiene.
(4.81)
Para cuatro conductores por fase, se tiene.
(4.82)
Por lo que la ecuacin general para la capacitancia tendr la
forma.
(4.83)
Ejemplo 4.4.- Calcular la reactancia capacitiva al neutro en
Ohm-Km por fase de una lnea trifsica de tres conductores por fase
cuya disposicin es la mostrada en la Fig. 4.24, si los conductores
de cada fase son bluejay y estn localizados en los vrtices de un
tringulo equiltero. El dimetro del conductor es de 1.259
pulgadas.
Donde: d = 40 cm, D12 = D23 = 7.5 m, D13 = 15 m.
Solucin
El radio del conductor en metros es.
El radio medio geomtrico corregido es.
La Deq es:
La capacitancia al neutro por fase es:
Si la frecuencia es de 60 Hz., la reactancia capacitiva ser.
IV.3. ECUACIONES DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE EN LNEAS DE
TRANSMISIN.
Para el establecimiento de las ecuaciones de voltaje y de
corriente de las lneas de transmisin en alta tensin es conveniente
clasificarlas de acuerdo a su longitud en cortas, medianas y
largas. Se considera como una lnea corta a la que tiene una
longitud menor a 80 Km., a una lnea mediana la que tiene entre 80 y
240 Km. y una lnea larga aquella que tiene ms de 240 Km. Como se ha
sealado anteriormente toda lnea de transmisin contiene los cuatro
parmetros de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia,
pero respecto a ellos prcticamente en cada caso se hacen algunas
consideraciones para llevar a cabo su representacin y modelado, que
se sealarn cuando se trate cada caso.
IV.3.1. LNEA DE TRANSMISIN CORTA.
En este caso debido a que los efectos de conductancia y
capacitancia en derivacin llegan a tener valores muy pequeos se
desprecian y por lo tanto solo se consideran la resistencia y la
inductancia en serie que constituyen la impedancia en serie, por lo
que la lnea se representa tal y como se muestra en la Fig. 4.24
La nomenclatura que se utilizar en el desarrollo de ste tema es
la siguiente.
r resistencia por unidad de longitud.
l inductancia por unidad de longitud.
g conductancia por unidad de longitud.
c capacitancia por unidad de longitud.
z impedancia por unidad de longitud.
y admitancia por unidad de longitud.
l longitud total de la lnea.
R resistencia en serie total de la lnea.
L inductancia en serie total de la lnea.
G conductancia en derivacin total de la lnea.
C capacitancia en derivacin total de la lnea.
Z = z l - impedancia en serie total de la lnea.
Y = y l - admitancia en derivacin total de la lnea.
Donde:
Z = ( r + j ( l ) l = R + j ( L
Y = ( g + j ( c ) l = G + j ( C
Adems:
Vs voltaje de fase a neutro en la terminal transmisora de la
lnea.
Is corriente en la terminal transmisora.
VR voltaje de fase a neutro en la terminal receptora.
IR corriente en la terminal receptora.
Como se puede apreciar en este caso la corriente en ambas
terminales son iguales y los voltajes en ambas terminales difieren
debido a la cada de tensin, por lo que las ecuaciones de voltaje y
de corriente en este caso son:
Is = IR (4.84)
Vs = VR + Z IR (4.85)
Es conveniente en este caso construir los diagramas fasoriales
para diferentes tipos de carga como son: resistiva,
predominantemente inductiva y predominantemente capacitiva, las
cuales se muestran en la Fig 4.25.
Los diagramas fasoriales de la Fig. 4.25 muestran el efecto de
variar la magnitud y el factor de potencia de la carga, que para la
carga resistiva la magnitud de voltaje en la terminal transmisora
es ligeramente mayor que la de la terminal receptora (Vs(( (VR(,
para la carga predominantemente inductiva se tiene que (Vs(((VR(, y
para la carga predominantemente capacitiva se tiene que (Vs(( (VR(,
que se le identifica a este ltimo como efecto Ferranti .
Regulacin de Voltaje.- Es conveniente establecer lo que se debe
entender por regulacin de voltaje de una lnea de transmisin que es
la elevacin en el voltaje en la terminal receptora expresada en por
ciento del voltaje en la misma terminal a plena carga, cuando se
remueve la plena carga y pasa a la condicin de no carga a un factor
de potencia especfico mientras se mantiene constante el voltaje en
la terminal transmisora. La expresin que comprende el concepto
anteriormente citado es:
(4.86)
Donde:
VR,NC Voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga. ( IR
= 0 )
VR,PC Voltaje en la terminal receptora a plena carga.
IV.3.2. LNEA DE LONGITUD MEDIA.
En la lnea de longitud media se toman en cuenta los cuatro
parmetros R, L, G y C, pero se considera que estn concentrados de
tal manera que constituyen un circuito (, donde la impedancia en
serie que comprende la resistencia y la inductancia se considera
concentrada en la parte media de la lnea, y la admitancia en
derivacin que comprende a la conductancia y la capacitancia en
derivacin se considera que esta concentrada la mitad en el lado de
la terminal transmisora y la otra mitad en el lado de la terminal
receptora, tal y como se muestra en la Fig. 4.26.
Del circuito se observa que la expresin del voltaje en el
extremo transmisor Vs es posible obtenerla en funcin del voltaje en
el extremo receptor VR ms la cada de voltaje en la impedancia en
serie que se da al circular por ella la corriente IR + VR Y/2, lo
cual da lugar a la expresin siguiente:
(4.87)
Que da lugar a la expresin siguiente.
(4.88)
La expresin para la corriente en la terminal transmisora ser
funcin de la corriente que circula a travs de la admitancia en
derivacin de lado de dicha terminal VsY/2, ms la corriente que
circula por la impedancia en serie, que se cit previamente,
obtenindose la expresin siguiente.
(4.89)
Al sustituir la expresin (4.88) en la (4.89) y reordenarla se
llega a la expresin siguiente.
(4.90)
En este caso la expresin para el por ciento de regulacin obtendr
la forma siguiente.
(4.91)
Donde el primer trmino del numerador de la expresin anterior
representa el voltaje en la terminal receptora cuando no hay carga
VR,NC, que se obtiene en funcin de la expresin (4.88), despejando
para VR y considerando que IR = 0, debido a que no hay carga. Desde
luego la expresin (4.86) se toma como referencia.
Para ilustrar la aplicacin de las expresiones establecidas para
las lneas corta y mediana se mostrar un ejemplo.
Ejemplo 4.5.- Una lnea de transmisin trifsica que opera a 60 Hz,
que tiene una longitud de 150 Km, que presenta una impedancia en
serie total de 32 + j 145 ( y una admitancia en derivacin de 915 x
10-6 (900 S. La cual suministra potencia a una carga trifsica de 50
MW a un factor de potencia en atraso de 0.88. Calcule el voltaje,
la potencia activa en la terminal transmisora y el por ciento de
regulacin considerando que: a) se trata de una lnea corta y b) que
se trata de una lnea mediana.
Solucin.
a).- Cuando se trata de una lnea corta se desprecia la
admitancia en derivacin y se cumple que:
Donde:
Por lo que la corriente en la terminal transmisora es:
Si el fasor de tensin de fase en la terminal receptora se toma
como referencia, entonces:
La impedancia en serie por fase de la lnea es:
Sustituyendo valores en la ecuacin (4.88), se obtiene la tensin
de fase en la terminal transmisora.
La tensin de lnea en la terminal transmisora es:
La potencia activa en la terminal transmisora ser:
En este caso el por ciento de regulacin de la lnea de acuerdo a
la expresin (4.86) es.
Donde: ( VS (= (VR,NC(, cuando IR = 0
b).- En el caso de la lnea de longitud media las expresiones
para calcular VS, IS y el %Reg son dadas por (4.88), (4.89) y
(4.91) respectivamente. Empezando por calcular VS, primero se har
el clculo correspondiente a (ZY/2 + 1).
As que la tensin de fase en la terminal transmisora por fase de
acuerdo a (4.88), ser.
Para calcular IS, es conveniente calcular primero el trmino
(ZY/4 + 1)Y.
Sustituyendo en la ecuacin (4.89), se obtendr la corriente en la
terminal transmisora.
La tensin de lnea en la terminal transmisora es:
La potencia activa en la terminal transmisora es.
El por ciento de regulacin en este caso es dado por la expresin
(4.91) y sustituyendo en ella se obtiene:
Comparando los resultados obtenidos en ambos casos se puede
establecer que la tensin en la terminal transmisora en el caso (a)
es mayor que en el caso (b) debido a que se produce una mayor cada
de tensin cuando no hay corriente en derivacin, esto tambin
lgicamente se refuerza al ver los valores de corriente en la
terminal transmisora que es mayor en el caso (a) que en el (b) y en
ste ltimo caso se le debe sumar la corriente que suministra el
efecto capacitivo en derivacin. Por lo tanto las prdidas activas
(PS PR) en el caso (b) son ligeramente mayores en el caso (a) que
en el (b). El por ciento de regulacin es ligeramente mayor en el
caso (b) que en el (a).
IV.3.3. LNEA DE TRANSMISIN LARGA.
En las lneas de transmisin largas se considera que sus parmetros
de resistencia, inductancia, conductancia y capacitancia estn
uniformemente distribuidos, aunque esto solo se cumple en gran
medida en el caso de la resistencia y la inductancia en serie, pero
no as con la conductancia y la capacitancia en derivacin. La
representacin de la lnea se muestra la Fig. 4.27 donde un elemento
diferencial de lnea de longitud dx se encuentra localizado a una
distancia x, con respecto al extremo receptor y debido a que el
voltaje y la corriente varan en funcin de la distancia x, al inicio
del elemento diferencial tendrn respectivamente los valores de V +
dV e I + dI y al final V e I, la diferencia lgicamente se debe en
que en el elemento diferencial se presenta una variacin en la
tensin dada por I zdx y una variacin en la de corriente en dada por
V ydx.
La variacin de la tensin en elemento diferencial de lnea es dada
por la expresin.
(4.92)
La variacin de la corriente en el elemento diferencial es dada
por la expresin.
(4.93)
De (4.92) y (4.93) se establece respectivamente que:
(4.94)
(4.95)
Derivando ambas ecuaciones nuevamente con respecto a x, se
obtiene:
(4.96)
(4.97)
Ahora sustituyendo (4.95) en (4.96) y (4.94) en (4.97), se
obtiene.
(4.98)
(4.99)
Al observar las dos ltimas ecuaciones se aprecia que tienen la
misma estructura, pero con la diferencia de que una se refiere a
voltaje y otra a corriente y las soluciones deben ser expresiones
que cuando se diferencian dos veces con respecto a x deben dar la
expresin original propuesta como solucin, pero multiplicada por la
constante yz. El tipo de solucin que satisface esta caracterstica
es de la forma exponencial y como se trata de una ecuacin de
segundo grado entonces debe tener dos constantes, que en este caso
son A1 y A2, por lo que la solucin propuesta para el voltaje tiene
la estructura siguiente.
(4.100)
Derivando dos veces la expresin anterior con respecto a x, se
obtiene.
(4.101)
La cual es yz veces la solucin asumida para V, por lo que
(4.100) es la solucin de (4.98). Ahora si se sustituye (4.100) en
(4.94) y se despeja I, se obtiene.
(4.102)
Las constantes A1 y A2 se pueden determinar en base a considerar
las condiciones en la terminal receptora, que son: x = 0, V = VR e
I = IR, que al sustituirse en (4.100) y (4.102), se obtiene.
Estableciendo que la impedancia caracterstica de una lnea de
transmisin se define como: , y resolviendo para A1 y A2, se
obtiene.
Al sustituir las expresiones obtenidas para A1 y A2 en las
ecuaciones (4.100) y (4.102), considerando que la constante de
propagacin se define como , se obtiene.
(4.103)
(4.104)
La constante de propagacin ( es una cantidad compleja cuya parte
real ( se le conoce como constante de atenuacin medida en nepers
por unidad de longitud y la parte imaginaria ( se le conoce como
constante de fase, que es medida en radianes por unidad de
longitud, entonces.
(4.105)
Arreglando las expresiones (4.103) y (4.104)de la manera
siguiente.
(4.106)
(4.107)
Si se sabe que las igualdades trigonomtricas para el seno y
coseno hiperblico son:
(4.108)
Al considerar estas igualdades en (4.106) y (4.107), cada una
toma la forma respectiva siguiente.
(4.109)
(4.110)
Cuando x = l de (4.109) y (4.110) se obtendrn las expresiones
para el voltaje y la corriente en la terminal transmisora, cuyas
expresiones son:
(4.111)
(4.112)
Debido a que ( l es una cantidad compleja, entonces las
funciones trigonomtricas de seno y coseno son funciones hiperblicas
de variable compleja, que pueden ser evaluadas auxilindose de
alguna calculadora o una computadora, pero tambin se puede recurrir
a las igualdades siguientes que estn expresadas en trminos de
funciones circulares e hiperblicas de argumentos reales.
(4.113)
(4.114)
IV.3.3.a. Circuito ( Equivalente de una Lnea Larga.
Se ha indicado anteriormente que los parmetros en una lnea de
transmisin larga se considera que estn uniformemente distribuidos y
en base a estas consideraciones se llegaron a establecer las
ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora
(4.111) y (4.112) y que el circuito ( equivalente para una lnea
mediana tiene la estructura mostrada en la Fig. 4.26, cuyas
ecuaciones para voltaje y corriente en la terminal transmisora son
(4.88) y (4.90). Si se considera que es posible que un circuito
cuya estructura es igual al de la lnea mediana pero con valores de
sus componentes diferentes sea un circuito equivalente al de una
lnea larga, sera posible solamente si se cambiarn las cantidades de
Z y Y/2 por Z y Y/ 2 de las ecuaciones (4.88) y (4.90), de tal
manera que en base a (4.88) se obtendra una nueva ecuacin cuya
estructura es.
(4.115)
Y al comparar esta ecuacin con la (4.111) la equivalencia sera
posible solo si los coeficientes respectivos de VR e IR de ambas
ecuaciones fueran idnticos, y por lo tanto se tendra que.
(4.116)
(4.117)
En esta expresin se observa que la impedancia total en serie de
la lnea es multiplicada por un factor que esta encerrado entre
parntesis que hace que el circuito nominal ( para la lnea mediana
de la Fig 4.26 se convierta a el equivalente ( para la lnea
larga.
Para determinar el elemento en derivacin para el equivalente de
la lnea larga se igualan los coeficientes de VR de las expresiones
(4.88) y (4.111), obtenindose.
(4.118)
Sustituyendo (4.116) en (4.118), se tiene.
Despejando para Y/2, se tiene.
(4.119)
Si:
Entonces:
Que se puede adecuar de la forma siguiente.
(4.120)
Esta ecuacin muestra el factor de correccin por el cual se debe
de multiplicar Y/2 para que el elemento en derivacin del circuito (
equivalente de la lnea mediana de lugar al elemento Y/2 del
circuito ( equivalente de la lnea larga.
Por lo tanto en general se puede establecer que el circuito
equivalente de una lnea de transmisin corta, mediana o larga tiene
la forma general de un circuito ( , donde en el caso de la lnea
corta el elemento en derivacin es nulo, en el caso de la lnea
mediana la admitancia en derivacin se divide en dos partes iguales
y concentrada cada una en cada terminal, y en el caso de la lnea
larga sus elementos componentes son dados por las expresiones
(4.117) y (4.120).
Ejemplo 4.6.- Se tiene una lnea de transmisin de 350 Km. de
longitud que opera a la frecuencia de 60 Hz., cuyos parmetros son:
resistencia de 0.115 (/Km., reactancia inductiva de inductancia
0.55 (/Km., y admitancia de 3.55 x 10-6 S/Km. La lnea alimenta una
carga de 90 MW., cuyo FP = 0.85(-), a la cual le aplica una tensin
de lnea de 230 KV. Determine:
a) La tensin, corriente y potencia activa en la terminal
transmisora.
b) El por ciento de regulacin.
c) Los elementos que constituyen el circuito ( equivalente de la
lnea larga.
Solucin.
Primero se calcularn los elementos que se necesitan para
calcular las cantidades sealadas en el inciso a), que son los
siguientes.
La impedancia en serie total.
La admitancia en derivacin total es.
La impedancia caracterstica es.
El producto del coeficiente de propagacin por la longitud total
de la lnea es:
La corriente en la terminal receptora es.
Para calcular la tensin de fase a neutro en la terminal
transmisora se recurre a la ecuacin (4.111), de la cual es
conveniente primero evaluar las funciones hiperblicas por medio de
las identidades (4.113) y (4.114), tal y como se muestra a
continuacin.
Donde: , de tal manera que:
a).- Sustituyendo en la expresin para VS, que es la (4.111), se
tiene.
La corriente en la terminal transmisora se calcular de acuerdo a
la ecuacin (4.112) y sustituyendo en ella los valores previamente
calculados se tiene.
La potencia activa en la terminal transmisora ser dada por la
expresin siguiente.
Donde:
Entonces:
b).- El por ciento de regulacin de la lnea que en este caso es
dado por la expresin siguiente.
Donde: , que se sustituye en la expresin (4.86) y sustituyendo
valores se obtiene el resultado siguiente.
c).- Los elementos componentes que constituyen el circuito (
equivalente de esta lnea larga cuya estructura es igual al de la
Fig.4.27, tendrn los valores que se calculan a continuacin.
La impedancia serie.
La admitancia en derivacin.
IV.3.4. Constantes Generalizadas de las Lneas de Transmisin.
Al observar la estructura de las ecuaciones para las lneas
corta, mediana y larga de voltaje y corriente en la terminal
transmisora, que son expresadas todas en funcin del voltaje y la
corriente en la terminal receptora, como se puede apreciar en las
ecuaciones respectivas (4.85), (4.84), (4.88), (4.90), (4.111) y
(4.112). Estas expresiones se pueden representar en base a su
estructura general de acuerdo a unas constantes que se les conoce
como constantes generalizadas de las lneas de transmisin,
denominadas A, B, C y D, dando las expresiones generales
siguientes.
(4.121)
(4.122)
Por lo tanto para la lnea corta de acuerdo a las ecuaciones
(4.85) y (4.84), se tiene.
A = 1 y B = Z
(4.123)
C = 0 y D = 1
Para la lnea mediana de acuerdo con las ecuaciones (4.88) y
(4.90), se tiene.
(4.124)
Para la lnea larga de acuerdo con las ecuaciones (4.111) y
(4.112), se tiene.
(4.125)
Finalmente en general el por ciento de regulacin de una lnea de
transmisin se puede expresar as.
(4.126)
t
R
R1
R2
t1
t2
T
Fig. 4.2.- Variacin de la resistencia con la temperatura.
Conductor A
Conductor B
a
a
n
b
c
d
b1
a1
d1
c1
m
Fig. 4.3.- Dos grupos de conductores
Ra
La
Ga
Ca
Va
Ia
Rb
Lb
Lc
Rc
Gb
Gc
Ca
Cc
Fig. 4.1.- Parmetros de la lnea de transmisin.
r4
r
x
ds
dx
(
Fig. 4.6.- Seccin transversal del conductor cilndrico
D1
P2
x
D2
dx
Flujo
Fig. 4.7.- Eslabonamientos de flujo externos entre los puntos P1
y P2.
P1
P
1
2
3
n
D1p
D2p
D3p
Dnp
Fig. 4.8.- Grupo de n conductores, cuya suma de corrientes es
cero
y alejados de un punto P.
Conductor A
Conductor B
a
n
b
c
1
m
3
2
Fig. 4.9.- Lnea monofsica, constituida por dos grupos de
conductores.
a
b
c
D
D
D
Fig. 4.10.- Disposicin simtrica de los conductores de una lnea
trifsica.
1
Posicin 1
Posicin 2
Posicin 3
2
3
D12
D23
D31
a
b
c
a
b
b
c
c
a
L/3
L/3
L/3
L
Fig. 4.11.- Ciclo de transposicin de una lnea trifsica.
5.66 m
3.5 m
3.5 m
Fig. 4.13.- Conductores de lnea trifsica de un conductor por
fase.
d
d
d
d
d
d
d
d
Fig. 4.14.- Grupos de conductores por fase.
d = 25 cm.
d
d
1
3
2
Fig. 4.15.- Lnea trifsica asimtrica de tres conductores por
fase.
+
-
Lneas de flujo magntico
Lneas de campo elctrico
Fig. 4.4.- Distribucin de campos elctricos y magnticos en una
lnea monofsica.
D12
D31
D23
q
+
+
+
+
+
+
Fig. 4.16.- Lneas de flujo elctrico alrededor de un conductor
cilndrico.
ra
rb
a
b
D
Fig. 4.18.- Dos alambres separados una distancia D.
a
b
Cab
a
b
Can
Cbn
Can = Cbn = 2 Cab
n
Fig. 4.19.- Representacin de capacitancia entre conductores (A)
y al neutro (B).
(A)
(B)
qa
qc
qb
D
D
D
Fig. 4.20.- Disposicin equiltera de conductores de una lnea
trifsica.
Vca
Vab
Vbc
Van
Fig. 4.21.- Diagrama fasorial de voltajes de lnea y al
neutro.
P2
+q
D1
D2
P1
Trayectoria de
integracin.
Fig. 4.17.- Trayectoria de integracin entre dos puntos P1 y P2
de
dos superficies equipotenciales.
1
3
2
D12
D31
D23
Fig. 4.22.- Disposicin asimtrica de conductores en una lnea
trifsica.
d
d
d
a
a
b
b
c
c
D12
D31
D23
Fig. 4.23.- Lnea trifsica de dos conductores por fase.
d
D12
D31
D23
Fig. 4.4.- Lnea trifsica de tres conductores por fase.
-
+
+
-
Vs
Is
R
L
IR
VR
Fig 4.24.- Representacin de una lnea de transmisin corta.
(c) carga predominantemente
capacitiva
IR
VR
R IR
Vs
Vs
XL IR
R IR
VR
IR
(a) carga resistiva
(b) carga predominantemente inductiva
Vs
XL IR
R IR
VR
IR
Fig. 4.25.- Diagramas fasoriales para una lnea de transmisin
corta.
XL IR
IR
Y/2
Y/2
Z
+
+
Vs
-
VR
-
Is
Fig. 4.26.- Circuito ( equivalente de la lnea de longitud
media.
V
V+dV
-
-
+
+
I
I+ dI
dx
x
IS
-
-
+
+
VS
IR
VR
Fig. 4.27.- Lnea de transmisin larga con parmetros uniformemente
distribuidos.
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